Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14
|
|
|
- Monika Blažič
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14
2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
3 Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
4 Definicija. Neka je f : X R funkcija, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
5 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
6 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
7 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
8 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
9 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
10 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
11 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
12 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
13 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
14 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
15 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
16 Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. D(f ) =, + D(f ) =, x 0 x 0, + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
17 Kažemo da funkcija f ima: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
18 Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
19 Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
20 Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
21 Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
22 Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. prekid druge vrste u točki x 0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesa u točki x 0 beskonačni ili ne postoje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
23 Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. prekid druge vrste u točki x 0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesa u točki x 0 beskonačni ili ne postoje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
24 Zadatak. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
25 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
26 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, lim f (x) = 2 x 1 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
27 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, lim f (x) = 2 x 3 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
28 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
29 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
30 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
31 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
32 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
33 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
34 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
35 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
36 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3. c) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
37 Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3. c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
38 Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
39 Definicija. Kažemo da je funkcija f : X R neprekidna Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
40 Definicija. Kažemo da je funkcija f : X R neprekidna ako je neprekidna u svakoj točki domene X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
41 Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
42 Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
43 Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
44 Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: 1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
45 Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: 1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija, 2 utvrdimo da svih 5 računskih operacija čuvaju neprekidnost, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
46 Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: 1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija, 2 utvrdimo da svih 5 računskih operacija čuvaju neprekidnost, iz čega možemo zaključiti da su sve elementarne funkcije neprekidne. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
47 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
48 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
49 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
50 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
51 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
52 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
53 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
54 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
55 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
56 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
57 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
58 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Zaključujemo: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
59 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Zaključujemo: Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
60 Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Zaključujemo: Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
61 Zadatak. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
62 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
63 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1 x za x 1, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
64 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1 x za x 1, b) f (x) = { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
65 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
66 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
67 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
68 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
69 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
70 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
71 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
72 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) = x 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
73 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
74 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
75 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ = 1 0 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
76 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ = 1 0 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
77 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ = 1 0 ] = lim f (x) = x 1 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
78 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
79 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = [1 1 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
80 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = [1 1 ] = 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
81 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = [1 1 ] = 1 Funkcija u x 0 = 1 ima prekid druge vrste. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
82 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
83 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
84 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
85 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
86 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
87 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) = x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
88 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) = lim x 2 x 2 (x 2 1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
89 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) = lim x 2 x 2 (x 2 1) = [4 1] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
90 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) = lim x 2 x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
91 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 lim x 2 + = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
92 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = lim x 2 x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
93 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = [3 2] = lim x 2 x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
94 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = [3 2] = 1 lim x 2 x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
95 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = [3 2] = 1 lim x 2 x 2 Funkcija u x 0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
96 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
97 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
98 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
99 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
100 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
101 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
102 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = x 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
103 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
104 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
105 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
106 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) x 1 = lim x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim x 1 + = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
107 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) x 1 = lim x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) x 1 + = lim x 1 +(3 x 2 ) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
108 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) x 1 = lim x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) x 1 + = lim x 1 +(3 x 2 ) = [3 ( 1) 2 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
109 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) = lim x 1 + x 1 +(3 x 2 ) = [3 ( 1) 2 ] = 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
110 Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) = lim x 1 + x 1 +(3 x 2 ) = [3 ( 1) 2 ] = 2 Funkcija je neprekidna u x 0 = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
111 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
112 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
113 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
114 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
115 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
116 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
117 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
118 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
119 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
120 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
121 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
122 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
123 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
124 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
125 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni jer bez njih tvrdnja Teorema općenito ne vrijedi. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
126 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni jer bez njih tvrdnja Teorema općenito ne vrijedi. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
127 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni jer bez njih tvrdnja Teorema općenito ne vrijedi. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
128 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
129 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
130 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevi suprotnog predznaka, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
131 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevi suprotnog predznaka, onda postoji x [a, b] takav da je f (x) = 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
132 Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevi suprotnog predznaka, onda postoji x [a, b] takav da je f (x) = 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
133 Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
134 Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
135 Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 i ako je funkcija g neprekidna u točki y 0, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
136 Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 i ako je funkcija g neprekidna u točki y 0, onda vrijedi ( ) lim g (f (x)) = g lim f (x) = g(y 0 ). x x 0 x x 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
137 Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 i ako je funkcija g neprekidna u točki y 0, onda vrijedi ( ) lim g (f (x)) = g lim f (x) = g(y 0 ). x x 0 x x 0 Kažemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
vjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJE (PONAŠANJE FUNKCIJE NA KRAJEVIMA OBLASTI DEFINISANOSTI) Ovo je jedna od najznačajnijih tačaka u ispitivanju toka funkcije. Neki profesori zahtevaju da se asimptote rade kao. tačka u
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (x) M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i prim
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i primjene Završni rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera
Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]
3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir
3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papira. Neprekinute funkcije vaºne su u teoriji i primjenama.
2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do
2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do ukljucivo (n + 1) vog reda, n 0; onda za svaku tocku
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8 2 A) (f () M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da je
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.
MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja 208. (Knjige bilježnice dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (8 bodova) Kao na predavanjima za d N sa P d : a b ] a d b d ] : a i b i R a i b i za i
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0
za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.
MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8 siječnja 00 Sadržaj Funkcije 5 Nizovi 7 3 Infimum i supremum 9 4 Neprekidnost i es 39 3 4 SADRZ AJ Funkcije 5 6 FUNKCIJE Nizovi Definicija Niz je
Microsoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln
Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.
ZADACI ZA VJEŽBU. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C).. Pomoću matematičke indukcije dokažite da za svaki n N vrijedi:
Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja
Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja semestra. Potrebno predznanje Ovaj seminar saºima sva
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23
i polja Mate Kosor 9.12.2010. 1 / 23 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23 Danas
(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)
Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (
C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b
C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elma Daferović HIJERARHIJA KONVEKSNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elma Daferović HIJERARHIJA KONVEKSNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Sanja Varošanec Zagreb, srpanj 218.
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
MATEMATIKA Preddiplomski studij molekularne biologije Damir Bakić
MATEMATIKA Preddiplomski studij molekularne biologije Damir Bakić i Predgovor Ovo je nastavni materijal za kolegij Matematika namijenjen studentima preddiplomskog studija biologije, smjer Molekularna biologija.
Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 57 66 Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Sažetak Cilj je ovog rada približiti neke osnovne pojmove
(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)
z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, lipanj 015. Ovaj diplomski
Osnovni pojmovi teorije verovatnoce
Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13 Verovatnoća i statistika:
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala analiza Irfan Glogić, Harun Šiljak When guys at MIT or Princeton had trouble doing a certain integral,
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lara Čigir PRIMJENA TEORIJE EKSTREMNIH VRIJEDNOSTI NA REZULTATE U ATLETICI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lara Čigir PRIMJENA TEORIJE EKSTREMNIH VRIJEDNOSTI NA REZULTATE U ATLETICI Diplomski rad Zagreb, studeni 2018. Voditelj rada:
07jeli.DVI
Osječki matematički list 1(1), 85 94 85 Primjena karakterističnih funkcija u statistici Slobodan Jelić Sažetak. U ovom radu odred ene su funkcije distribucije aritmetičke sredine slučajnog uzorka duljine
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?
Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler
Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija
UNIVERZITET U ZENICI
8 GRUPA A UNIVERZITET U ZENICI MAŠINSKI FAKULTET PISMENI ISPIT IZ MATEMATIKE Riješiti matriču jedačiu: ( A+ B) AX = A, gdje matrice A i B zadovoljavaju: A =, B = y + z Naći tačku simetriču tački M(,-,)
Konacne grupe, dizajni i kodovi
Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36 J. Moori, Finite Groups,
Skripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Posavčević IZRAČUNLJIVOST NA SKUPOVIMA Z, Q, R I C Diplomski rad Zagr
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Posavčević IZRAČUNLJIVOST NA SKUPOVIMA Z, Q, R I C Diplomski rad Zagreb, rujan 2016. Voditelj rada: doc. dr. sc. Vedran
Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013./ Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani
Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013/2014 1 5 Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani s više obilježja (atributa), ta se obilježja mogu međusobno
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupo 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibja 2017. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte općeitu vajsku mjeru i izmjerivi skup obzirom a dau
knjiga.dvi
1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............
10_Perdavanja_OPE [Compatibility Mode]
![10_Perdavanja_OPE [Compatibility Mode]](/thumbs/101/152226818.jpg "10_Perdavanja_OPE [Compatibility Mode]")
OSNOVE POSLOVNE EKONOMIJE Predavanja: 10. cjelina 10.1. OSNOVNI POJMOVI Proizvodnja je djelatnost kojom se uz pomoć ljudskog rada i tehničkih sredstava predmeti rada pretvaraju u proizvode i usluge. S
MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak
0255_Uvod.p65
1Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva U košari ima 12 jaja. U drugoj košari nedostaju tri jabuke da bi bila puna, a treća je prazna. Pozitivni,
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRALI Sastavio: Ante Bilušić Split, rujan 4. 1 Neodredeni
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Osijek, 2013
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević
Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Popravni ispit 7. rujna (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori
1. (ukuno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Poravni isit 7. rujna 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni airi i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (4 boda) Neka je nerazan sku. Precizno definirajte ojam σ-rstena
Microsoft Word - 12ms101
Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +
Teorija skupova - blog.sake.ba
Uvod Matematika je jedan od najomraženijih predmeta kod većine učenika S pravom, dakako! Zapitajmo se šta je uzrok tome? Da li je matematika zaista toliko teška, komplikovana? Odgovor je jednostavan, naravno
75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem
75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem glasi: Ako dva ravninska poligona imaju jednake površine,
Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,
Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskz pogledti u predvnjim (Teorem 1.7.) Zdtk 1 Izrčunjte ukupni fluks funkcije F kroz plohu, ko je F zdno s F (x, y, z) ( y, x, x ), je unij cilindr x + y (pri
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7
Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi
Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi dokazivanja 28. lipnja 2012. Zašto logika interpretabilnosti?
Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
Optimizacija
Optimizacija 1 / 43 2 / 43 Uvod u optimizaciju Zadana funkcija Uvod u optimizaciju f : R n R Cilj: Naći x, točku minimuma funkcije f : - Problem je jednostavno opisati x = arg min x R n f (x). - Rješavanje
Matematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vujičić 1045/2015 Beograd, 2018. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Stepena
Neodreeni integrali - Predavanje III
Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne
Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16. lipnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisan
Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16 lipnja 2018 Napomene Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 28. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJER I ITEGRL 2. kolokvij 28. lipja 29. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!). (ukupo 6 bodova) eka je (, F, µ) prostor mjere. (a) ( bod) Što to zači da je izmjeriva fukcija f
Title
1. Realni brojevi Prirodno bi bilo konstruisati skup realnih brojeva korak po korak, od prirodnih brojeva preko cijelih, racionalnih i na kraju iracionalnih. Medutim, mi ćemo tom problemu ovdje pristupiti
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
EНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 јануар Трофазни једнострани исправљач прикључен је на круту мрежу 3x380V, 50Hz преко трансформатора у спрези Dy, као
EНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 јануар 017. 1. Трофазни једнострани исправљач прикључен је на круту мрежу x80, 50Hz преко трансформатора у спрези Dy, као на слици 1. У циљу компензације реактивне снаге, паралелно
Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature
poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.
Maksimalni protok kroz mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp
Maksimalni protok kroz mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp PMF-MO Seminar iz kolegija Oblikovanje i analiza algoritama 22.1.2019. mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp 22.1.2019. 1 / 35 Uvod - definicije
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Linearna algebra Mirko Primc
Linearna algebra Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Polje realnih brojeva 5 1. Prirodni i cijeli brojevi 5 2. Polje racionalnih brojeva 6 3. Polje realnih brojeva R 9 4. Polje kompleksnih brojeva C 13 5.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada:
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Dražen Adamović Zagreb, rujan, 2015.
QS3-KOVIU-DI-R1-GM Detaljni izvedbeni plan kolegija 1. OPĆE INFORMACIJE 1.1. Naziv kolegija Gospodarska matematika Semestar I Nosi
1. OPĆE INFORMACIJE 1.1. Naziv kolegija Gospodarska matematika 1 1.6. Semestar I. 1.2. Nositelj kolegija v. pred. Bojan Radišić, mag.educ.math. et inf., pred. Marijana Špoljarić, mag.educ.math. et inf.
Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
Natjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Aleksandar Bulj DOKAZ CARLESONOVOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: iz
SVEUČILIŠTE U ZAGEBU PIODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Aleksandar Bulj DOKAZ CALESONOVOG TEOEMA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Vjekoslav Kovač Zagreb, rujan 08. pred
2015_k2_z12.dvi
OBLIKOVANJE I ANALIZA ALGORITAMA 2. kolokvij 27. 1. 2016. Skice rješenja prva dva zadatka 1. (20) Zadano je n poslova. Svaki posao je zadan kao vremenski interval realnih brojeva, P i = [p i,k i ],zai
Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predava
Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predavanje prošireno p. 1/120 Sadržaj proširenog predavanja
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
Problemi zadovoljavanja ogranicenja.
I122 Osnove umjetne inteligencije Tema:. 7.1.2016. predavač: Darija Marković asistent: Darija Marković 1 I122 Osnove umjetne inteligencije. 2/26 (PZO) Problem zadovoljavanja ograničenja sastoji se od 3
s2.dvi
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar 2016. 1. Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je 0.8. Ako je ispit težak, verovatnoća da se prvo pitanje
3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ
УНИВЕРЗИТЕТ У БАЊОЈ ЛУЦИ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ МАТЕМАТИКА 3- ПРЕДАВАЊА Aкадемска 207/208 6. ИНТЕГРАЦИЈА ФУНКЦИЈА КОМПЛЕКСНЕ ПРОМЈЕНЉИВЕ 6.. Интеграл функције комплексне промјенљиве 6.2. Кошијева интегрална
Процена максималних вредности годишње температуре ваздуха у Бањалуци
Процена екстремних годишњих температура у Бањалуци, Сарајеву и Мостару Највиша дневна температура ваздуха у Бањалуци, Мостару и Сарајеву за период 1960-2011 је приказана у сљедећој табели 1: Табела бр.