(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
|
|
- Antun Sarić
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom skupu zapravo pripadaju svi brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Ti cijeli brojevi su očito,, 0, i. Ima ih ukupno B. Podsjetimo da dijeljenje dvaju realnih brojeva možemo zapisati i pomoću razlomačke crte. Točnije, prema definiciji razlomačke crte vrijedi jednakost Stoga dobivamo:. D. Koristimo jednakosti: [( ) : ] A A: B =. B ( A + B) ( A + B) D A + B C D = D = C C Podijelimo li prvu jednakost s 000, dobit ćemo: Kubiramo li drugu jednakost, dobit ćemo: kg = 000 g, m = 00 cm. g = 000 kg = 0 kg = 0 kg. m = (00 cm) = 00 cm = (0 ) cm = 0 cm = 0 6 cm. Odatle dijeljenjem s 0 6 dobivamo: cm = 6 0 m = 0 6 m. Tako konačno imamo: 0 kg ( 6) kg + 6 kg kg kg kg.8 g/cm =.8 =.8 0 =.8 0 =.8 0 = = m m m m m m mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
2 4. C. Neka je a duljina kraće, a b duljina dulje dužine. Iz podatka da su te duljine u omjeru : 5 slijedi da postoji strogo pozitivan realan broj k takav da istodobno vrijede jednakosti Stoga je tražena razlika duljina jednaka a = k b = 5 k d = b a = 5 k k = k. Skratimo li kraću dužinu za.6 cm, njezina duljina bit će jednaka a' = a.6 = k.6 cm. Analogno, skratimo li dulju dužinu za.6 cm, njezina duljina bit će jednaka b' = b.6 = 5 k.6 cm. Iz podatka da vrijedi jednakost a' : b' = : 7 slijedi: Dakle, d = k = 6 cm. 5. D. Imamo redom: a ' : b' = : 7, ( k.6) : (5 k.6) = : 7, ( k.6) 7 = (5 k.6), 4 k. = 0 k. 4 k 0 k = k = 8 / 4 k = 6 n, = n n ( n ) = n, n n = n, / n n = n 6, n = 6 Odatle dijeljenjem s ( ) dobivamo n = 6. Taj je broj jedino rješenje polazne jednadžbe. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
3 6. A. Jednadžba x = 0 ima jedinstveno rješenje x =, a jednadžba x + 5 = 0 ima jedinstveno rješenje 5 x =. To znači da vrijede jednakosti 5 x, za x x + 5, za x x = i x + 5 = 5 x, za x < x 5, za x <. Stoga imamo: x ( x + 5), za x 5 x x + 5 = x ( x + 5), za x < = 5 x ( x 5), za x < x x 5, za x x 8, za x 5 5 = x x 5, za x < = 5 x, za x < 5 5 x x, za x < x 8, za x + < Odredimo x takav da je x x + 5 = 0. Iz x 8 = 0 slijedi x = 8, ali taj broj ne zadovoljava uvjet x. 5 Iz 5 x = 0 slijedi x =. Taj broj zadovoljava uvjet x < i on jest rješenje polazne 5 jednadžbe. 5 Iz x + 8 = 0 slijedi x = 8. Taj broj zadovoljava uvjet x < i on jest rješenje polazne jednadžbe. Dakle, polazna jednadžba ima točno dva rješenja: x = 8 i x =. Njihov je umnožak jednak 5 6 x x = ( 8) = 5 5. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
4 7. A. Koristeći pravila za logaritmiranje i antilogaritmiranje imamo redom: Odatle dijeljenjem s b dobivamo log b + log x =, a log ( b x) =, a b x = a. a a x =. b 8. D. Prisjetimo se da su svi brojevi oblika k π, pri čemu je k Z, periodi funkcija tangens i kotangens. To konkretno znači da vrijede jednakosti: Stoga je zadani izraz jednak tg( x 5 π ) = tg x, ctg( x 8 π ) = ctg x. tg( x 5 π ) + 5 tg x tg x + 5 tg x 6 tg x tg x = = = = tg x. ctg x + ctg( x 8 π ) ctg x + ctg x ctg x tg x 9. A. Iz jednadžbe parabole y = x očitamo Odatle dijeljenjem s ( 4) dobivamo: p =. p =. Dakle, ravnalica parabole je pravac r x =. Udaljenost točke T od pravca r jednaka je d(t, r) = 7 = 0 = 0 jediničnih duljina. Napomena: Nije teško pokazati da je udaljenost točke T = (a, b) od pravca x = m jednaka d = m a, te da je udaljenost iste točke od pravca y = m jednaka d' = m b. 0. B. Funkcija g definirana je za sve x R za koje je f (x) 0, a takvi x ne moraju zadovoljavati nejednadžbu f (x) 0. (Moguće je da vrijedi i nejednakost f (x) < 0.) Funkcija k je kompozicija eksponencijalne funkcije čija je domena cijeli skup R i funkcije f čija je domena takoñer skup R (prema pretpostavci), pa je domena funkcije k cijeli skup R. No, skup R se ne mora podudarati sa skupom svih rješenja nejednadžbe f (x) 0. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4
5 Funkcija l definirana je za sve realne brojeve x takve da je logaritmand f (x) strogo veći od nule, tj. za sve realne brojeve x koji su rješenja nejednadžbe f (x) > 0. Skup svih takvih realnih brojeva je podskup skupa svih rješenja nejednadžbe f (x) 0, odnosno ta dva skupa ne moraju nužno biti jednaka. Funkcija h definirana je za sve realne brojeve x za koje postoji drugi korijen iz f (x). Drugi korijen je funkcija čija je domena skup [0, +. To znači da se domena funkcije h dobije rješavanjem nejednadžbe f (x) 0. Zbog toga je ta funkcija rješenje ovoga zadatka.. B. Riješimo zasebno svaku pojedinu jednadžbu. x A. + = x / 6 ( x) + = x, B 4 x + = x, x x = 4, 4 x = 7, / : ( 4) 7 x = =. 4 x. 5 = 0., x 5 =, 0 x 5 =, 5 x 5 = 5. x =, x = +, x =.. log x =, C x = = = 8 D.. ( x 5) = 0, x 5 = 0, x = 5. Od četiriju dobivenih rješenja jedino x = pripada skupu,. Dakle, jednadžba B ima rješenje u skupu,.. C. Nakon godina vrijednost automobila iznosit će ukupno = 800. Budući da se 00 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5
6 vrijednost automobila svake godine smanjivala za isti iznos, godišnje smanjenje vrijednosti automobila iznosi d = = = 50. Godišnje vrijednosti automobila tvore aritmetički niz s početnim članom a 0 = i razlikom d = % početne vrijednosti automopbila iznosi =. Tražimo prirodan broj n takav da je n ti član uočenoga aritmetičkoga niza jednak Zbog nultoga člana, tj. člana a 0, uobičajenu formulu za n ti član aritmetičkoga niza preinačimo u sljedeću formulu: Imamo: a n = n ( 50) = 50 n n = 7 00, 50 n = , 50 n = Odatle dijeljenjem s ( 50) slijedi n = 8. Dakle, prema procjeni, vrijednost automobila će iznositi 40% njegove početne vrijednosti na kraju osme godine.. C. Računamo redom: c = a+ b= i j+ ( i 7 j) = i j i 7 j = ( ) i+ ( 7) j = i 0 j, d = a b= i j ( i 7 j) = i j+ i+ 7 j = (+ ) i+ ( + 7) j = i+ 4 j, c d = + ( 0) 4 = 40 = 7, c = + ( 0) = + 00 = 0, d = + 4 = = 5 = 5. Tako je traženi kut jednak c d ϕ = arccos = arccos = arccos = arccos = c d = arccos '0'' 505 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6
7 4. C. Površina trokuta ABC jednaka je PABC = AB BC sin ABC = 0 0 sin = 00 sin kv jed. Duljina stranice b = AC, prema kosinusovu poučku, jednaka je: b = AB + BC AB BC cos ABC = cos = = cos = cos = 00 ( cos ) = = 00 cos = 0 cos Stoga je duljina tražene visine jednaka P 00 sin 60 sin vb = = = cm 6.77 cm. b 0 cos cos 5. D. Primijetimo da je vrijediti jednakost K 5 = a. b0 0 i L 5 = 0. ba 0. Iz podatka K + L = slijedi da mora a. b ba = 9.49 Promatrajući znamenku na mjestu stotinki u gornjoj jednakosti zaključujemo da mora vrijediti jednakost 0 + a = 9. Odatle je a = 9. Nadalje, promatrajući znamenku desetinki zaključujemo da mora vrijediti jednakost b + b = 4. Odatle slijedi b =. Konačno imamo: a b = 9 = 7. II. ZADATCI KRATKOGA ODGOVORA 6. F r G M. Odmah imamo: m M F = G / r r / : ( ). F r = G m M G M F r m =. G M Neka je m dnevna proizvodnja mlijeka iskazana u litrama. Primijetimo da vrijedi jednakost 5 75 = = = 75% Iz podataka u zadatku slijedi da mljekaru dnevno preostane ukupno mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7
8 00% (75% + 4%) = 00% 99% = % dnevne proizvodnje mlijeka. Tih % mora iznositi litre. Tako iz jednadžbe množenjem sa 00 odmah dobivamo m = m = 8..) 8. U izraz za N uvrstimo T = 5, pa dobivamo: N = 40 ( ) = 40 ( ) Dakle, nakon 5 sati uvježbavanja radnik može zgotoviti 8 proizvoda..) 5. Tražimo najmanji prirodan broj T za koji je N. (Radnik može zgotoviti i više od proizvoda, ali nama je važno da zgotovi proizvoda.) Imamo redom: N 0.05 T 40 ( 0 ), / : T 0, T 40 0, T 7 0, / : ( ) T log / : ( 0.05) 40 7 log 40 (log7 log40) log 40 log T = = = (log40 log7) T 0, 0.05 T 0 /log Približnim izračunom dobivamo T Najmanji prirodan broj T koji zadovoljava tu nejednakosti je T = 5. Dakle, radniku će trebati najmanje 5 sati uvježbavanja. 9..) x = 6, x =. Primijetimo da mora vrijediti nejednakost x 0. Množenjem polazne jednadžbe s x dobivamo: x 6 = 5 x, x 5 x 6 = 0, mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8
9 x, x = = = 6, 5 ± ( 5) 4 ( 6) 5± ± 49 5± 7 = = = = 5 7 x = = =. Oba dobivena rješenja su različita od nule, pa su ona ujedno i sva rješenja zadane jednadžbe..) x =. Lijeva i desna strana zadane jednadžbe su strogo pozitivni realni brojevi, pa zadanu jednadžbu smijemo kvadrirati, a da pritom ne izgubimo niti jedno njezino rješenje. Tako odmah dobivamo linearnu jednadžbu odnosno x = 5, x = 5, x =, a odatle dijeljenjem s ( ) slijedi x =. Taj je realan broj ujedno i jedino rješenje polazne jednadžbe. 0..) ( a + b) ( a b) ili obratno. Koristeći formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata imamo redom: a a b b = a a b + b 4 b = ( a a b + b ) ( b) = ( a b) ( b) = [ ] [ ] = ( a b) + b ( a b) b = ( a b + b) ( a b b) = ( a + b) ( a b)..) y x. Koristimo formulu za razliku kubova: x y = ( x y) ( x + x y + y ). Tako dobivamo: x y y x y ( x y) ( x + x y + y ) y ( y x) x y y x x + x y + x y x y x ( x + x y + y ) x y x x x y + y x y = =. x x + = + = + =..). Primijetimo da je zadana funkcija kvadratna funkcija oblika f (x) = a x + b x + c. Ta 4 4 funkcija ima ekstrem u točki b, a T c b =. U našem je slučaju c = 0, pa funkcija f ima a 4 a ekstrem u točki mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9
10 b b T =,. a 4 a Taj će ekstrem biti maksimum ako i samo ako je a < 0. Iz zadanih podataka dobivamo sljedeći sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice: Kvadriranjem prve jednadžbe dobivamo: Pomnožimo tu jednakost s ( a): b =, a b =, 4 a b 4 a = 4 b ( a) = 4 ( a), 4 a b = 4 a, 4 a Uvrstimo li posljednju jednakost u drugu jednadžbu sustava, dobivamo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom: 4 a =.. Odatle dijeljenjem s ( 4) slijedi rješenje podzadatka. a =. Očito je a < 0, pa je dobivena vrijednost ujedno i 4.),. Graf funkcije f (x) = 6 x + x + je parabola oblika. Ona se nalazi iznad ili na osi apscisa na segmentu odreñenom nultočkama funkcije f. Stoga najprije nañimo te nultočke: f ( x) = = x 6 x x 0, x = = =, ± 4 ( 6) ± + 4 ± 5 ± 5 = = = = ( 6) 5 6 x = = =. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 0
11 Dakle, f (x) 0 ako i samo ako je nejednadžbe. x,. Taj je segment ujedno i skup svih rješenja polazne..) 4 cis π = 4 cos π + i sin π = + i. Primijetimo da je apsolutna vrijednost traženoga broja jednaka polumjeru nacrtane kružnice, tj. z = r = 4. Argument traženoga broja, tj. kut kojega spojnica točke pridružene zadanom broju i ishodišta pravokutnoga koordinatnoga sustava zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa, jednak je: π = 0 = 0 = 80 ϕ 0 = π = π. 80 Tako je trigonometrijski oblik zadanoga broja jednak z = r cisϕ = 4 cis π = 4 cos π + i sin π. Da bismo ovaj broj zapisali u standardnom (algebarskom) obliku, primijenimo jednakosti cos π =, sin π =. Stoga je algebarski oblik zadanoga kompleksnoga broja z = 4 cos π + i sin π = 4 + i = + i..) i. Prema definiciji imaginarne jedinice, vrijedi jednakost i =. Tako redom imamo: i = i = i i = i i = i = i = i + i = i = i i = i i = i = i = i i = ( i ) = ( ) =, ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), z = i i + i = i i + = i + i = + i 0 4 ( ) 4 ( ) ).7. Drugi šiljasti kut zadanoga trokuta (pri vrhu K) jednak je 90 7 = 6. Stoga se najkraća stranica zadanoga trokuta nalazi nasuprot najmanjemu kutu. Taj je kut očito kut pri vrhu mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
12 M i njegova je mjera 7. Koristeći definiciju funkcije sinus odmah imamo: KL sin 7 = KL = KM sin 7 = 5 sin cm. KM 5 Napomena: Može se pokazati da je točna vrijednost duljine stranice KL jednaka ( ) KL = + + cm. 8.) 5. Tvrdimo da je P ABT = PABCD. Primijetimo da vrijede jednakosti: 8 ASD = BSC, ASB = DSC, ASD + ASB = BSC + DSC = 80, AS = SC, BS = BD, sin(80 α) = sin α, za svaki α R. (Posljednju jednakost je lako provjeriti primjenom adicijskoga poučka za funkciju sinus.) Tako je: PABS = AS BS sin ASB, PASD = AS SD sin ASD = AS BS sin(80 ASB) = AS BS sin ASB = PABS, PBSC = BS SC sin BSC = BS AS sin(80 DSC) = AS BS sin(80 ASB) = PABS, PDSC = DS SC sin DSC = BS AS sin ASB = AS BS sin ASB = PABS, P = P + P + P + P = P + P + P + P = 4 P. ABCD ABS ASD BSC DSC ABS ABS ABS ABS ABS Nadalje, trokutovi ABS i ABT imaju zajedničku visinu iz vrha A na stranice BS, odnosno BT. Stoga je omjer površina tih dvaju trokutova jednak omjeru duljina stranica BS i BT, a taj je jednak : jer je T, prema pretpostavci, polovište stranice BS. Dakle, P : P = : P = P. ABS ABT ABS ABT Kombinirajući posljednje dvije jednakosti dobivamo: PABCD = 4 PABS = 4 PABT = 8 PABT PABT = PABCD, 8 što smo i željeli pokazati. Stoga je napokon mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
13 PABT = PABCD = AB v = AB 5 8 = 5 cm ) π. Prema formuli za obujam kugle polumjera r, traženi obujam jednak je = = = = cm. V r π π 8 π π.) 96 =. Prema rezultatu podzadatka.), obujam željeznih kuglica od kojih svaka ima polumjer cm jednak je V = V = π = 4 π = 8 π cm. Toliki je i obujam kugle koja se dobije taljenjem. Označimo li traženi polumjer s r, onda mora vrijediti jednakost Iz ove jednakosti izrazimo r : 4 V = r π. 4 V = r π / 4 π V r = / 4 π r = V. 4 π U ovu jednakost preostaje uvrstiti V = 8 π. Tako konačno dobijemo: 8 π 4 π = = 96 = 8 = 8 = r 5..) 08. Zadani brojevi će biti tri uzastopna člana istoga geometrijskoga niza ako i samo ako je valjana jednakost Odatle dobivamo kvadratnu jednadžbu a = 7 6. a = 664. Njezino jedino strogo pozitivno rješenje je a = 08 i to je tražena vrijednost. cm. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
14 .) Svi navedeni brojevi tvore aritmetički niz kojemu su prvi član i razlika jednaki, tj. a = d =. Podijelimo li 000 s, dobit ćemo količnik 76 i ostatak. Stoga imamo ukupno n = 76 takvih brojeva. Njihov je zbroj jednak n Sn = [ a + ( n ) d ]. 76 S76 = [ + (76 ) ] = 8 [ ( + 76 ) ] = 8 77 = 808.) x 0,. Odredimo najprije količnik zadanoga geometrijskoga reda. U tu je svrhu dovoljno podijeliti drugi član reda prvim članom: x q = = x. x Zadani red će imati konačan zbroj ako i samo ako vrijedi nejednakost q <. Tako dobivamo nejednadžbu s apsolutnim vrijednostima: Nju riješimo standardno: x <. x <, x <, x <, / x <. Svi realni brojevi čija je apsolutna vrijednost strogo manja od tvore otvoreni interval,. Prema uvjetu zadatka, mi tražimo strogo pozitivne elemente toga skupa. Oni tvore otvoreni interval 0, i to je skup svih traženih vrijednosti x. 6. 0; 80. Neka je c tražena cijena cipela, a t tražena cijena torbe (obje iskazane u kunama). Prema prvom uvjetu zadatka je Nakon sniženja od 0% cijena cipela iznosi: c + t = 600. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4
15 c c c c c = = = = c = c kn. Nakon sniženja od 50%, cijena torbe iznosi: t t t t t = = = = t = t kn Prema uvjetu zadatka mora vrijediti jednakost c + t = 64 kn. U ovu jednakost uvrstimo gornje izraze za c i t : 7 c + t = 64 / 0 7 c + t = Tako smo dobili sljedeći sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: c + t = c + t = 78 5 Oduzmimo prvu jednadžbu od druge, pa dobijemo: 7 c c = , 5 7 c = 8, c = 8, 5 c = 8. 5 Odatle dijeljenjem s 5 slijedi c = 0. Sada iz c + t = 600 slijedi t = 600 c, t = t = 80. Dakle, cijena cipela je 0 kn, a cijena torbe 80 kn. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5
16 7..) 4 k + π k π π = +, k Z. Koristimo tvrdnju: 6 6 Tako redom imamo: 4 k + sin x = x = π, k Z. f ( x) =, + sin( x) =, sin( x) =, sin( x) =, 4 k + x = π / : 4 k + x = π, k Z. 6.) cos( x). Derivacija bilo koje konstantne funkcije jednaka je 0. Dakle, ()' = 0. Funkciju sin( x) deriviramo prema pravilu za deriviranje složene funkcije. Pritom koristimo jednakosti: Dobivamo: Dakle, (sin x)' = cos x, (a x)' = a. [sin( x)]' = cos( x) ( x)' = cos( x) = cos( x). f '(x) = 0 + cos( x) = cos( x). 8..) Vidjeti Sliku. Jednadžba pravca zapisana je u segmentnom obliku. Iz nje očitamo da pravac siječe os apscisa u točki S = (5, 0), a os ordinata u točki S = (0, ). Te dvije točke ucrtamo u pravokutni koordinatni sustav u ravnini, pa ih spojimo pravcem. Dobivamo Sliku. x y.) = ili x 4 y =. Zadana krivulja je hiperbola čija je jednadžba oblika 4 x y =. Iz slike vidimo da krivulja prolazi točkom S = (, 0). Uvrstimo li u jednadžbu a b hiperbole x =, y = 0, dobit ćemo: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6
17 Slika. 0 =, a b 4 =. a Pomnožimo li ovu jednakost s a, odmah dobivamo a = 4. Nadalje, hiperbola prolazi i točkom T = (4, ). Stoga u jednadžbu hiperbole uvrstimo x = 4, y = = i a = 4. Dobivamo: 4 =, 4 b b =, 9 4 b =, 9 b = 4, 9 b = / : ( ) =. b mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7
18 Odatle množenjem s b izravno slijedi b x y =. Dakle, tražena jednadžba hiperbole je = 4 ili, u razvijenom obliku dobivenom množenjem navedene jednakosti s, x 4 y =. x y.) + = ili 4 x + 5 y = 00. Iz podatka da elipsa prolazi točkom B koja se nalazi na osi 5 4 ordinata zaključujemo da je duljina male poluosi elipse b =. Iz podatka da je prva koordinata jednoga žarišta elipse jednaka zaključujemo da je linearni ekscentricitet elipse e jednak. Budući da vrijedi jednakost odavde izrazimo a : e = a b, e = a b / e = a b, a = e + b. U ovu jednakost uvrstimo e = i b =, pa dobivamo: a = e + b, a a a ( ) = +, = + 4, = 5. Preostaje u jednadžbu elipse dobivamo: x a y + = uvrstiti a = 5 i b =, odnosno b = 4. Tako konačno b x y + =, 5 4 ili, ekvivalentno, nakon množenja te jednakosti sa 00, 4 x + 5 y = ) a) x = 5, x =. Iz slike vidimo da graf funkcije f siječe os apscisa u točkama S = ( 5, 0) i S = (, 0). To znači da su tražene nultočke x = 5 i x =. b) x, 5, 4. Tražimo otvorene intervale na kojima se graf funkcije nalazi strogo ispod osi apscisa (i ne siječe tu os). Jedan je takav interval, 5 na kojemu zadana funkcija mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8
19 raste. Drugi takav interval je odreñen većom nultočkom i asimptotom zadane funkcije. Ta je asimptota pravac x = 4, pa je riječ o intervalu, 4. Dakle, traženi skup je, 5, 4. c) R\, 4 ili, ] [4, +. Sa slike se vidi da pravci oblika y = a ne sijeku graf zadane funkcije ni u jednoj točki ako i samo ako je a, 4. Stoga funkcija kao svoje vrijednosti poprima sve realne brojeve osim onih iz otvorenoga intervala, 4. Dakle, traženi skup je R\, 4 ili, u ekvivalentnom zapisu kao unija dvaju intervala,, ] [4, +..) Vidjeti Sliku. Prirodno područje definicije zadane funkcije je cijeli skup R jer je izraz x definiran za svaki realan broj x. Baza zadane eksponencijalne funkcije je. Taj je broj strogo manji od, pa je riječ o strogo padajućoj funkciji. Njezin graf prolazi točkom S = (0, ) jer tom točkom prolaze grafovi svih eksponencijalnih funkcija oblika f (x) = a x, za a > 0 i a. Taj graf ne siječe os apscisa ni u jednoj točki jer za svaki x R vrijedi x > 0. Napokon, vrijede jednakosti lim = + i lim = 0, što znači da se za velike strogo pozitivne vrijednosti x x + varijable x graf funkcije asimptotski približava osi apscisa. Radi preciznosti, navedimo još neke točke traženoga grafa: x Traženi graf prikazan je na Slici. x x f (x) 4 Slika. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9
20 .) y = x 8 ili x y 8 = 0. Odredimo najprije obje koordinate dirališta tražene tangente. Prva koordinata dirališta jednaka je, dok je druga jednaka f (). Izračunajmo f (): f () = 5 = 9 5 = 5 =. Dakle, diralište tangente je točka D = (, ). Koeficijent smjera tangente k t jednak je vrijednosti prve derivacije zadane funkcije u točki x =. Izračunajmo tu prvu derivaciju: ' ' f '( x) = x 5 = x (5)' = ( x )' 0 = x 0 = x = x, kt = f '() = =. Preostaje napisati jednadžbu pravca kojemu je koeficijent smjera jednak k t = i koji prolazi točkom D = (, ): t... y ( ) = ( x ), t... y + = x 6, t... y = x 6, t... y = x 8 Zapišemo li dobivenu jednadžbu u implicitnom obliku, dobit ćemo: t x y 8 = 0. 4.) R \,,, + ili. Da bi logaritamska funkcija uopće bila definirana, logaritmand mora biti strogo pozitivan realan broj. To znači da mora vrijediti nejednakost: x > 0. x + Ovim zahtjevom ćemo ujedno osigurati i da nazivnik gornjega algebarskoga razlomka bude različit od nule, odnosno da taj razlomak bude dobro definiran. Riješimo gornju nejednadžbu. Dva su moguća slučaja: x > 0 x > x > I. x, + x + > 0 x > x > x 0 x < < x < II. x, x + < 0 x < x < mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 0
21 Dakle, prirodno područje definicije zadane funkcije je unija ovih skupova, tj. skup D f = =,, +. Taj skup kraće i preglednije možemo zapisati koristeći operaciju komplementiranja \: D f = R \,. 5.) 5 x. U jednakost f (x + ) = 5 x umjesto x pišimo 7 x. Dobivamo: [ ] f (7 x ) + = 5 (7 x ), f (7 x + ) = 5 x 0, f (7 x) = 5 x. Napomena: U zadatcima ovoga tipa uvijek je korisno pogledati koji izraz treba zapisati umjesto x tako da u zagradi dobijemo točno onaj argument čiju vrijednost tražimo. U ovom slučaju x + treba biti jednako 7 x, pa umjesto x treba pisati 7 x Odredimo najprije jednadžbu promjera kružnice k okomitoga na tangentu t. Koeficijent smjera te tangente je k t =, pa je koeficijent smjera promjera k p = = =. k Jednadžba pravca kojemu je koeficijent smjera k p, a prolazi točkom S glasi: t p... y +.5 = ( x ), p... y = x.5, p... y = x.5.5, p... y = x. U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini nacrtajmo sva četiri pravca koja odreñuju četverokut čiju površinu tražimo. Za svakoga od njih dovoljno je odabrati po dvije njegove točke (osim za os y, tj. os ordinata koju crtamo prigodom crtanja pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini). Dobivamo Sliku. (Četverokut čiju površinu računamo išrafiran je zelenom bojom, a njegovi su vrhovi označeni s A, B, C i D.) Odredimo koordinate točaka A, B, C, D i E naznačene na slici. U svakom od tih slučajeva rješavamo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
22 Slika. y = x 5 x = x + x + x = + x = 5 x = y = x + = + y = x + = 4+ = A= (, ) y = x 5 x = x + 7 x + x = 7 + x = 0 x = 4 y = x + 7 = y = x + 7 = 4+ 5= 8+ 7 = B = (4, ) x = 0 y = x + 7 = 0+ 7 = 7 C = ( 0,7 ), y = x + 7 x = 0 y = x + = 0+ = D = ( 0, ), y = x + x = 0 y = x = 0 = E = ( 0, ) y = x Tražena površina jednaka je razlici površina trokutova EBC i EAD. Ti trokutovi su pravokutni trokutovi s pravim kutovima kod vrhova A, odnosno B. Izračunajmo zasebno površinu svakoga od tih trokuta. Imamo redom: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
23 [ ] EB = ( x x ) + ( y y ) = (4 0) + ( ) = 4 + ( + ) = ( ) + = B E B E = + = + = = CB = ( x x ) + ( y y ) = (4 0) + ( 7) = 4 + ( 8) = = B C B C = + = + = + = = 4 ( 4) PEBC = EB CB = = 4 5 = 0 [ ] EA = ( x x ) + ( y y ) = ( 0) + ( ) = + ( + ) = + = = 4 + = 5 A E A E DA = ( x x ) + ( y y ) = ( 0) + ( ) = + ( 4) = + 4 = A D A D = + = + = + = = ( ) PEAD = EA DA = 5 5 = 5 Tako konačno dobivamo: P ABCD = P EBC P EAD = 0 5 = 5 kv. jed. pripremio: mr.sc. Bojan Kovačić, dipl.ing.mat., viši predavač mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
Више(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
Више(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
. D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj
ВишеMicrosoft Word - Rjesenja zadataka
1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u
Више(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
. D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:
ВишеMicrosoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj
Више(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)
. A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka
Више(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)
. D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979
ВишеMATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
ВишеMicrosoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
ВишеMicrosoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
ВишеNatjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)
. B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada
ВишеMicrosoft Word - 12ms121
Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +
ВишеMicrosoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
Више(Microsoft Word doma\346a zada\346a)
1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )
ВишеMicrosoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
ВишеZadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
ВишеJednadžbe - ponavljanje
PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili
Више1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
ВишеMAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S
MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
ВишеMicrosoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature
poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.
ВишеNAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima
ВишеPLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
ВишеŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
ВишеŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
ВишеMatematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
ВишеЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Вишеs2.dvi
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani
ВишеDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK
RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI
ВишеMatematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
ВишеNastavno pismo 3
Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA
ВишеSkalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
ВишеMicrosoft Word - z4Ž2018a
4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,
ВишеŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Више8. razred kriteriji pravi
KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag
ВишеSKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?
Више(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)
z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)
ВишеAlgebarski izrazi (4. dio)
Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija
ВишеEkipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR
Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći
Вишеos07zup-rjes.dvi
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI
ВишеMy_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
ВишеMinistarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja
Више1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
ВишеŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA
ВишеZadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln
Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln
ВишеMAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S
MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
ВишеMicrosoft Word - 09_Frenetove formule
6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog
ВишеDvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
Више(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)
Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (
Више1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
ВишеUDŽBENIK 2. dio
UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu
ВишеMicrosoft Word - 12ms101
Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +
ВишеPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
Више23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi
3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem
ВишеMy_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
ВишеMicrosoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija
Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x
Више7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16
7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.
ВишеMatematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat
Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni
ВишеVISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
ВишеCIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?
ВишеMatrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
ВишеMinistarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 9. siječnja
ВишеMy_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s
MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja
ВишеMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc
Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Вишеvjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
ВишеMicrosoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc
. C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ
ВишеGajo Vučinić
VELEUČILIŠTE U KARLOVCU STROJARSKI ODJEL Stručni studij Strojarstva Gajo Vučinić Jednostavni programski alati za crtanje grafa funkcije Završni rad Karlovac, 2017. VELEUČILIŠTE U KARLOVCU STROJARSKI ODJEL
ВишеALIP1_udzb_2019.indb
Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti
ВишеMicrosoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx
DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema
ВишеPITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
ВишеACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje
ВишеМатематика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
ВишеSveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRALI Sastavio: Ante Bilušić Split, rujan 4. 1 Neodredeni
ВишеElementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
ВишеMinistarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1
Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka
ВишеSVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
ВишеРационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева. Из скупа {,,,, 0,,, } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.. Запиши
Више