SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta"

Транскрипт

1 SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta iz zadanih veličina. U pravokutnom trokutu s katetama duljine a i b, hipotenuzom duljine c i kutovima mjere α i β vrijedi cos α = b c, cos β = a c. (1) S pomoću tih relacija možemo izračunati duljinu katete iz duljine hipotenuze i mjere priležećeg kuta, a s pomoću relacija sin α = a c, sin β = b (2) c iz mjere nasuprotnog kuta. Relacije koje povezuju duljine dviju kateta s mjerama kutova su tg α = ctg β = a b, tg β = ctg α = b a. (3) Pravokutni trokut odreden je jednim svojim oštrim kutom do na sličnost, a omjeri njegovih stranica jednoznačno su odredeni. Zato su ove relacije zapravo definicije trigonometrijskih funkcija za kutove iz intervala 0, π. Poznatom konstrukcijom namatanja brojevnog pravca 2 na kružnicu proširujemo ih do funkcija definiranih na R. Prema nedavno objavljenom radu [8], trigonometrijske probleme rješavali su još stari Babilonci u 18. stoljeću prije nove ere. Ipak, otkriće trigonometrije obično se pripisuje starogrčkim matematičarima iz 2. stoljeća prije nove ere [11]. Zbog primjena u astronomiji, u tom razdoblju već su bili poznati trigonometrijski identiteti za trokute na sferi (vidi sliku 1). Kao ilustraciju primjena trigonometrije u astronomiji i drugdje, upućujemo čitatelja na [1] i [6]. Zbroj kutova ravninskog trokuta jednak je π, a sfernog trokuta je veći od π. Mnogo kasnije, u Date: Autorica je diplomirala na Matematičkom odsjeku PMF-a i radi kao koordinatorica operativnog i digitalnog poslovanja u tvrtki Styria medijski servisi; iva.kavcic@gmail.com. 2 Autor je izvanredni profesor na Matematičkom odsjeku PMF-a; vedran.krcadinac@math.hr. 1

2 2 IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 A α c b B β a γ C Slika 1. Sferni trokut. 19. stoljeću, otkrivena je hiperbolička geometrija [2] u kojoj je zbroj kutova trokuta manji od π. U ovom članku izvest ćemo trigonometrijske identitete za sferni i hiperbolički trokut koristeći se modelima sfere i hiperboličke ravnine u vektorskom prostoru R 3. Vidjet ćemo sličnosti i razlike prema klasičnoj, euklidskoj trigonometriji. Izvedene formule dat će nam informacije o nekim svojstvima geometrije na sferi i u hiperboličkoj ravnini. Članak je nastao iz diplomskog rada [5]. 2. Model sfere i hiperboličke ravnine Skup uredenih trojki realnih brojeva R 3 je uz operacije zbrajanja po koordinatama i množenja realnim brojem trodimenzionalni vektorski prostor. Standardni skalarni produkt vektora x = (x 1, x 2, x 3 ) i y = (y 1, y 2, y 3 ) je x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. S pomoću skalarnog produkta definiramo duljinu vektora x = x, x i kut izmedu vektora (x, y) = cos 1 x, y x y. Ovdje cos 1 označava inverznu funkciju kosinusa, tj. arkus kosinus. Tako ćemo označavati i druge inverzne funkcije. Vektorski produkt

3 SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA 3 x y računamo razvojem determinante e 1 e 2 e 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 po prvom retku, u kojem su vektori standardne baze e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) i e 3 = (0, 0, 1). Jedinična sfera sa središtem u ishodištu je skup svih vektora duljine jedan: S 2 = {x R 3 x = 1}. Ulogu pravaca na sferi igraju velike kružnice, tj. presjeci sfere s ravninama kroz ishodište. Svake dvije točke A, B S 2 leže na jedinstvenoj velikoj kružnici, presjeku sfere i ravnine s jednadžbom A B, x = 0, kojoj je vektor normale A B. Iznimka je slučaj kad su A i B antipodalne točke, tj. B = A. Tada je A B nulvektor i imamo beskonačno mnogo velikih kružnica kroz A i B. Dualno, presjek svake dvije velike kružnice je par antipodalnih točaka sfere. Identificiranjem antipodalnih točaka dobivamo projektivnu ravninu; u njoj kroz svake dvije točke prolazi jedinstveni pravac i svaka dva pravca sijeku se u jedinstvenoj točki. Uočimo da u projektivnoj ravnini i na sferi ne postoje paralelni pravci, odnosno velike kružnice. Udaljenost točaka na sferi ne podudara se s udaljenošću u R 3. Točke A i B dijele veliku kružnicu na kojoj leže na dva luka. Udaljenost izmedu A i B je duljina kraćeg od ta dva luka i računamo je po formuli d(a, B) = cos 1 A, B. (4) Sferni trokut zadan je trima točkama A, B, C S 2 koje su nekolinearne, tj. ne pripadaju istoj velikoj kružnici. Duljine njegovih stranica su a = d(b, C), b = d(a, C) i c = d(a, B). Mjere njegovih kutova odgovaraju mjerama kutova izmedu normala ravnina u kojima leže velike kružnice AB, AC i BC. Mjera kuta pri vrhu A je α = cos 1 A B, A C A B A C, (5) a tako računamo i kutove β i γ. Model hiperboličke ravnine možemo izgraditi analogno, kao sferu imaginarnog polumjera i = 1. Za to trebamo modificirati standardni skalarni produkt na R 3 promjenom predznaka zadnjeg pribrojnika: x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 x 3 y 3. Vektorski prostor s takvim skalarnim produktom nazivamo prostorom Minkowskog ili Lorentzovim prostorom. On predstavlja prirodnu prostorno-vremensku geometriju Einsteinove specijalne teorije relativnosti [3]. Dok je standardni skalarni kvadrat x, x nenul vektora x uvijek pozitivan, u prostoru Minkowskog može

4 4 IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 A B c β a α b γ C Slika 2. Hiperbolički trokut. biti pozitivan, nula ili negativan. U prvom slučaju kažemo da je x prostorni vektor, u drugom je svjetlosni vektor (npr. x = (1, 0, 1)), a u trećem vremenski vektor (npr. x = e 3 = (0, 0, 1)). Duljina x = x, x prostornog vektora je pozitivan realan broj, svjetlosnog vektora je nula, a vremenskog vektora imaginarni broj oblika r 1 za r > 0. Vektorski produkt u prostoru Minkowskog takoder treba modificirati promjenom predznaka zadnje koordinate; računamo ga kao determinantu e 1 e 2 e 3 x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3. Točke hiperboličke ravnine čine svi vektori duljine i s pozitivnom trećom koordinatom: H 2 = {x R 3 x = i, x 3 > 0}. To su vektori iz R 3 koji leže na gornjoj plohi dvoplošnog hiperboloida x x 2 2 x 2 3 = 1 (vidi sliku 2). Pravci u H 2 su presjeci hiperboloida s ravninama kroz ishodište, kao i velike kružnice sfere S 2. Takva ravnina siječe hiperboloid ako i samo ako joj je vektor normale prostorni.

5 SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA 5 Pokazuje se da je za svaka dva vremenska vektora njihov vektorski produkt prostorni. Zato kroz svake dvije točke A, B H 2 prolazi jedinstveni pravac, presjek hiperboloida s ravninom A B, x = 0. Ograničili smo se na gornju plohu hiperboloida da izbjegnemo parove točaka oblika B = A, koji bi imali beskonačno mnogo spojnica. To je analogno identificiranju antipodalnih točaka sfere. Ključno svojstvo po kojem se H 2 razlikuje od euklidske ravnine je bogatija struktura paralelnih pravaca. Pravci odredeni ravninama n 1, x = 0 i n 2, x = 0 sijeku se ako i samo ako je vektorski produkt n 1 n 2 vremenski. Ako je n 1 n 2 svjetlosni vektor kažemo da su pravci paralelni, a u slučaju kad je n 1 n 2 prostorni vektor zovemo ih ultraparalelnim. Sva tri slučaja mogući su za prostorne vektore n 1 i n 2, a paralelni i ultraparalelni pravci nemaju zajedničkih točaka u H 2. Vidjeli smo da se na sferi i u projektivnoj ravnini svaka dva pravca sijeku. Euklidsku ravninu karakterizira poznati Euklidov peti postulat: za svaki pravac l i točku T koji nisu incidentni, postoji jedinstveni pravac kroz T koji ne siječe l. U hiperboličkoj ravnini H 2 postoji beskonačno mnogo pravaca kroz T koji ne sijeku l. Dva od njih su paralelni s l, a ostali su ultraparalelni. Udaljenost točaka u H 2 razlikuje se od udaljenosti u R 3, ali i od euklidske duljine luka hiperbole izmedu A i B koju vidimo na slici 2. Duljinu tog luka treba izračunati u metrici izvedenoj iz skalarnog produkta u prostoru Minkowskog. Pokazuje se da udaljenost točaka A, B H 2 računamo po formuli d(a, B) = ch 1 ( A, B ). (6) Ovdje se pojavljuje inverzna funkcija kosinusa hiperbolnog ch x = 1 2 (ex + e x ). Ostale hiperbolne funkcije su sinus hiperbolni sh x = 1 2 (ex e x ), tangens hiperbolni th x = sh x ch x i kotangens hiperbolni cth x =. ch x sh x Hiperbolne funkcije imaju slična svojstva kao odgovarajuće trigonometrijske funkcije, a s njima ih povezuje Eulerova formula e ix = cos x + i sin x. Iz nje slijedi da je ch(ix) = cos x, sh(ix) = i sin x, th(ix) = i tg x te cth x = i ctg x. Mjere kutova hiperboličkog trokuta računamo po istoj formuli (5) kao za sferni trokut. Budući da su A, B i C vremenski vektori, njihovi vektorski produkti su prostorni i duljine su im realni brojevi. Razlomak na koji primjenjujemo cos 1 uvijek pripada intervalu [ 1, 1], u prostoru Minkowskog kako i u R 3 sa standardnim skalarnim i vektorskim produktom.

6 6 IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 3. Teorem o kosinusu Relacije (1) (3) odnose se na pravokutni trokut. Elemente općeg trokuta povezuje poznati teorem o kosinusu, koji u euklidskoj ravnini glasi c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. (7) Analogne formule vrijede za cos α i cos β. Ovu relaciju možemo promatrati kao generalizaciju Pitagorina teorema na trokute koji nisu pravokutni. Vidimo da je γ = π 2 ako i samo ako vrijedi c2 = a 2 + b 2. Evo kako glasi teorem o kosinusu za sferne i hiperboličke trokute. Teorem 3.1. U sfernom trokutu vrijedi U hiperboličkom trokutu vrijedi cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ. (8) ch c = ch a ch b sh a sh b cos γ. (9) Dokaz. Na sferi po formuli (4) vrijedi cos a = B, C, cos b = A, C i cos c = A, B, a po formuli (5) je cos γ = C A,C B. Brojnik C A C B možemo izračunati iz sljedećeg identiteta za standardni skalarni i vektorski produkt u R 3, čiji se dokaz nalazi u knjizi [9] na str : x y, z w = x, z y, w x, w y, z. (10) Uvrštavanjem x = z = C, y = A i w = B slijedi C A, C B = cos c cos a cos b. Za izraze u nazivniku koristimo Lagrangeov identitet, koji dobijemo uvrštavanjem z = x i w = y u (10): x y 2 = x 2 y 2 x, y 2. Slijedi C A = 1 cos 2 b = sin b i C B = sin a. Uvrštavanjem u izraz za cos γ dobivamo sferni teorem o kosinusu (8). Stranice hiperboličkog trokuta zadovoljavaju ch a = B, C, ch b = A, C i ch c = A, B, a izraz za cos γ je isti. U prostoru Minkowskog identitet koji odgovara (10) glasi x y, z w = x, w y, z x, z y, w, a Lagrangeov identitet glasi x y 2 = x, y 2 x 2 y 2. Koristeći se tim identitetima i sa ch 2 x sh 2 x = 1, na isti način izvodimo hiperbolički teorem o kosinusu (9). Iz prethodnog teorema slijedi sferni i hiperbolički Pitagorin teorem.

7 SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA 7 Teorem 3.2. U sfernom trokutu je γ = π ako i samo vrijedi 2 cos c = cos a cos b. U hiperboličkom trokutu je γ = π ako i samo vrijedi 2 ch c = ch a ch b. Dokaz. Uočimo da je γ = π 2 ekvivalentno sa cos γ = 0. Sad možemo izvesti sfernu i hiperboličku verziju relacije (1). Za pravokutni trokut kosinus kuta izražava se kao omjer priležeće katete i hipotenuze, ali u sfernom slučaju na brojnik i nazivnik treba primijeniti tangens, a u hiperboličkom slučaju tangens hiperbolni. Teorem 3.3. U sfernom trokutu s kutom γ = π 2 vrijedi cos α = tg b tg c, tg a cos β = tg c. U hiperboličkom trokutu s kutom γ = π 2 vrijedi cos α = th b th c, th a cos β = th c. Dokaz. Iz sfernog teorema o kosinusu 3.1 i Pitagorina teorema 3.2 slijedi cos α = cos a cos b cos c sin b sin c = cos a sin2 b sin b sin c = cos a sin b sin c = cos a cos a cos2 b sin b sin c = cos c sin b cos b sin c = = cos a (1 cos2 b) sin b sin c sin b cos b sin c cos c = tg b tg c. Tako dobivamo i formulu za cos β, a u hiperboličkom slučaju umjesto trigonometrijskih u svakom koraku imamo hiperbolne funkcije. 4. Teorem o sinusima Drugi poznati trigonometrijski identitet za opći trokut je teorem o sinusima: a sin α = b sin β = c sin γ. (11) Geometrijska interpretacija ovog omjera je promjer trokutu opisane kružnice ili abc, gdje je P površina trokuta. Identitet možemo izvesti 2P iz teorema o kosinusu. Teorem 4.1. U sfernom trokutu vrijedi sin a sin α = sin b sin β = sin c sin γ. (12)

8 8 IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 U hiperboličkom trokutu vrijedi sh a sin α = sh b sin β = sh c sin γ. (13) Dokaz. Iz hiperboličkog teorema o kosinusu 3.1 te identiteta cos 2 x + sin 2 x = 1 i ch 2 x sh 2 x = 1 slijedi ( ) 2 ch a ch b ch c sin 2 γ = 1 cos 2 γ = 1 = sh a sh b Omjer sh2 c sin 2 γ = sh2 a sh 2 b ch 2 a ch 2 b + 2 ch a ch b ch c ch 2 c sh 2 a sh 2 = b = (ch2 a 1)(ch 2 b 1) ch 2 a ch 2 b + 2 ch a ch b ch c ch 2 c sh 2 a sh 2 b = 1 ch2 a ch 2 b ch 2 c + 2 ch a ch b ch c sh 2 a sh 2. b izražava se kao izraz simetričan u a, b i c: sh 2 a sh 2 b sh 2 c 1 ch 2 a ch 2 b ch 2 c + 2 ch a ch b ch c. Isti izraz dobili bismo računanjem sh2 a sin 2 α = i sh 2 b, pa se ta tri omjera sin 2 β podudaraju. U sfernom trokutu računanjem omjera sin2 a sin 2 α, sin2 b sin 2 β i sin2 c sin 2 γ dobijemo izraz sin 2 a sin 2 b sin 2 c 1 cos 2 a cos 2 b cos 2 c + 2 cos a cos b cos c, a u euklidskom trokutu omjeri a 2 sin 2 α, b 2 sin 2 β i c 2 sin 2 γ 4a 2 b 2 c 2 2(a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) a 4 b 4 c 4. jednaki su Nazivnik zadnjeg izraza je 16P, što se vidi iz Heronove formule za površinu trokuta P = s(s a)(s b)(s c), gdje je s = a+b+c poluopseg. 2 Iz teorema o sinusima lako se izvodi sferna i hiperbolička varijanta relacije (2). Teorem 4.2. U sfernom trokutu s kutom γ = π 2 vrijedi sin α = sin a sin c, sin β = sin b sin c.

9 SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA 9 U hiperboličkom trokutu s kutom γ = π 2 vrijedi sin α = sh a sh c, sh b sin β = sh c. Dokaz. Slijedi direktno iz (12) i (13) zato što je sin γ = 1. Konačno, iz tg x = 1 = sin x te teorema 3.2, 3.3 i 4.2 vidimo kako ctg x cos x glasi sferna i hiperbolička varijanta relacije (3). Teorem 4.3. U sfernom trokutu s kutom γ = π 2 vrijedi tg α = 1 ctg α = tg a sin b, tg β = 1 ctg β = tg b sin a. U hiperboličkom trokutu s kutom γ = π 2 vrijedi tg α = 1 ctg α = th a sh b, tg β = 1 ctg β = th b sh a. Hiperboličku geometriju otkrili su nezavisno njemački matematičar Carl Friedrich Gauss ( ), ruski matematičar Nikolaj Ivanovič Lobačevski ( ) i madarski matematičar János Bolyai ( ). Bolyai je uočio da množenjem relacija (11), (12) i (13) s 2π u brojniku dobivamo izraze za duljinu kružnice. U euklidskoj ravnini duljina kružnice polumjera r računa se po poznatoj formuli O(r) = 2πr. Na sferi vrijedi formula O(r) = 2π sin r, a u hiperboličkoj ravnini O(r) = 2π sh r. Tako je dobio univerzalni iskaz teorema o sinusima: u svakom euklidskom, sfernom i hiperboličkom trokutu vrijedi O(a) sin α = O(b) sin β = O(c) sin γ. Riječima, omjer sinusa kuta i duljine kružnice kojoj je polumjer nasuprotna stranica trokuta je konstantan. Dokaz formula za duljinu kružnice nalazi se u knjizi [4] na str U euklidskoj ravnini duljina kružnice proporcionalna je njezinom polumjeru. Zbog svojstva sin r < r za r > 0, duljina kružnice na sferi manja je od duljine euklidske kružnice odgovarajućeg polumjera i omedena je odozgo s duljinom velike kružnice 2π. S druge strane, duljina hiperboličke kružnice raste eksponencijalno s r i veća je od odgovarajuće euklidske kružnice. Tako se u diferencijalnoj geometriji zakrivljenost plohe može odrediti iznutra (Gaussov Theorema Egregium, vidi poglavlje 4C knjige [7]). Sfera ima pozitivnu zakrivljenost, hiperbolička ravnina negativnu, a zakrivljenost euklidske ravnine je nula.

10 10 IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 5. Dualni teorem o kosinusu Na kraju ćemo dokazati trigonometrijski identitet u sfernoj i hiperboličkoj geometriji koji nema ekvivalenta u euklidskoj geometriji. S pomoću teorema o kosinusu (7), (8) i (9) iz duljina stranica trokuta a, b, c možemo izračunati mjere njegovih kutova α, β, γ. Obrnuto, ako su zadane mjere kutova α, β, γ euklidskog trokuta, ne možemo izračunati duljine njegovih stranica jer je trokut odreden samo do na sličnost. U sfernoj i hiperboličkoj trigonometriji ipak imamo formule koje nam to omogućuju. Teorem 5.1. U sfernom trokutu vrijedi U hiperboličkom trokutu vrijedi cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos c. (14) cos γ = cos α cos β + sin α sin β ch c. (15) Dokaz. Spustimo visinu iz vrha C na nasuprotnu stranicu (slika 3). Neka je njezino nožište N, duljina v i neka dijeli nasuprotnu stranicu na dijelove duljine c 1 i c 2. U sfernom trokutu iz Pitagorina teorema 3.2 primijenjenog na pravokutne trokute BN C i AN C slijedi cos a = cos c 1 cos v i cos b = cos c 2 cos v. Pomnožimo te dvije jednadžbe medusobno i sa cos c, koji s lijeve strane raspišemo po adicijskoj formuli cos(c 1 + c 2 ) = cos c 1 cos c 2 sin c 1 sin c 2 : cos a cos b(cos c 1 cos c 2 sin c 1 sin c 2 ) = cos c 1 cos c 2 cos 2 v cos c. Podijelimo sa cos c 1 cos c 2 i zamijenimo cos 2 v sa 1 sin 2 v: cos a cos b(1 tg c 1 tg c 2 ) = (1 sin 2 v) cos c. C a v b B c 1 N c 2 A Slika 3. Dokaz dualnog teorema o kosinusu.

11 SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA 11 Sad izmnožimo zagrade i presložimo jednadžbu ovako: cos a cos b cos c = cos a cos b tg c 1 tg c 2 sin 2 v cos c. Izraz na lijevoj strani raspišemo po teoremu o kosinusu 3.1: sin a sin b cos γ = cos a cos b tg c 1 tg c 2 sin 2 v cos c. Podijelimo sa sin a sin b, pa dobijemo cos γ = tg c 1 tg a tg c 2 tg b + sin v sin a sin v cos c. sin b Na kraju primijenimo teoreme 3.3 i 4.2 na pravokutne trokute BNC i AN C, pa dobijemo relaciju (14). Dokaz je za hiperbolički trokut analogan, samo se koristimo hiperboličkim verzijama teorema i adicijskom formulom ch(c 1 + c 2 ) = ch c 1 ch c 2 + sh c 1 sh c 2. Analogni dokaz možemo provesti i u euklidskoj ravnini, ali dobijemo relaciju koja ne uključuje duljine stranica (zapravo je to dokaz adicijske formule za sinus). Osim klasičnih teorema o sukladnosti SKS, KSK, SKK i SSK >, za sferne i hiperboličke trokute vrijedi i teorem o sukladnosti KKK. Dva trokuta koji se podudaraju u sva tri kuta su sukladna, a slični trokuti ne postoje. Čitatelje koji se žele bolje upoznati s ovim neobičnim geometrijama upućujemo na knjige [4], [9] i [10]. Literatura [1] B. Alihodžić, Primjena trigonometrije u planimetriji, stereometriji, fizici i geodeziji, Matematičko-fizički list LXVI 3 (2015./2016.), [2] F. M. Brueckler, Povijest matematike II, Sveučilište u Osijeku, [3] T. Dray, The geometry of special relativity, CRC Press, [4] M. J. Greenberg, Euclidean and non-euclidean geometries. Development and history, treće izdanje, W. H. Freeman and Company, [5] I. Kavčić, Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija, diplomski rad, PMF- Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, [6] V. Krčadinac, O veličini Mjeseca, Matematičko-fizički list LII 3 (2002./2003.), [7] W. Kühnel, Differential geometry. Curves surfaces manifolds, drugo izdanje, American Mathematical Society, [8] D. F. Mansfield i N. J. Wildberger, Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry, Historia Mathematica 44 (2017), [9] P. J. Ryan, Euclidean and non-euclidean geometry: An analytic approach, Cambridge University Press, [10] W. P. Thurston, Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1, Princeton University Press, 1997.

12 12 IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 [11] Wikipedia, History of trigonometry, siječanj

Jednadžbe - ponavljanje

Jednadžbe - ponavljanje PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili

Више

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad V

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad V Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Vedran Krčadinac Zagreb,

Више

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija 1.0 1 Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) euklidske geometrije ravnine i prostora koristeći algebarske

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

Microsoft Word - 12ms101

Microsoft Word - 12ms101 Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +

Више

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Више

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRALI Sastavio: Ante Bilušić Split, rujan 4. 1 Neodredeni

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:

Више

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja) . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,

Више

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi

Више

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka) . D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,

Више

Naziv studija

Naziv studija Naziv studija Integrirani preddiplomski i diplomski učiteljski studij Naziv kolegija Matematika 2 Status kolegija Obvezni Godina 1. godina Semestar 2. semestar ECTS bodovi 3 Nastavnik Mr.sc. Damir Mikoč

Више

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

My_P_Trigo_Zbir_Free

My_P_Trigo_Zbir_Free Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

Nastavno pismo 3

Nastavno pismo 3 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA

Више

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

Linearna algebra Mirko Primc

Linearna algebra Mirko Primc Linearna algebra Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Polje realnih brojeva 5 1. Prirodni i cijeli brojevi 5 2. Polje racionalnih brojeva 6 3. Polje realnih brojeva R 9 4. Polje kompleksnih brojeva C 13 5.

Више

4.1 The Concepts of Force and Mass

4.1 The Concepts of Force and Mass UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne

Више

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr 1 2 3 4 5 Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij - 24. studenog 2017. Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme rje²avanja je 120 minuta. Odmah

Више

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela

Више

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu ODLIČAN (5) navodi primjer kuta kao dijela ravnine omeđenog polupravcima analizira i uspoređuje vrh i krakove kuta analizira

Више

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7

Више

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet

Више

m3b.dvi

m3b.dvi 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su, na primjer, duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija, specifična gustoća:::

Више

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) . B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem

75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem 75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem glasi: Ako dva ravninska poligona imaju jednake površine,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Željka Ćaćić BARICENTRIČKE KOORDINATE 20 CENTARA TROKUTA Diplomski rad Vod

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Željka Ćaćić BARICENTRIČKE KOORDINATE 20 CENTARA TROKUTA Diplomski rad Vod SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Željka Ćaćić BARICENTRIČKE KOORDINATE 20 CENTARA TROKUTA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Vjekoslav Kovač Zagreb, 2017.

Више

gt1b.dvi

gt1b.dvi r t.h en el em 6 SUKLDNOST I SLI NOST Pripremi se za gradivo koje slijedi, rijes i pripremne zadatke koji se nalaze u elektronic kom dijelu udz benika. el em en t.h r Sukladnost je rijec koju c esto susrec

Више

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.

Више

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je 1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na

Више

Matematika 1 - izborna

Matematika 1 - izborna 3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva

Више

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski

Више

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca

Више

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x

Више

gt3b.dvi

gt3b.dvi r t. h en m le w.e w w 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su primjerice duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija,

Више

knjiga.dvi

knjiga.dvi 1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA

Више

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b

Више

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet

Више

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija

Више

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje

Више

Konacne grupe, dizajni i kodovi

Konacne grupe, dizajni i kodovi Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36 J. Moori, Finite Groups,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979

Више

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1 1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)

Више

Gajo Vučinić

Gajo Vučinić VELEUČILIŠTE U KARLOVCU STROJARSKI ODJEL Stručni studij Strojarstva Gajo Vučinić Jednostavni programski alati za crtanje grafa funkcije Završni rad Karlovac, 2017. VELEUČILIŠTE U KARLOVCU STROJARSKI ODJEL

Више

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www. ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело

Више

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak

Више