Slide 1

Величина: px

Почињати приказ од странице:

Download "Slide 1"

Jožefa Lazarević
пре 6 година
Прикази:

1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine, pomodu kojih opisujemo ponašanje raznih pojava, ne smiju ovisiti o izboru referentnog sustava pa demo najprije promotriti ponašanje komponenti vektora položaja pri rotacijama. Rotacijom referentni sustav K postaje K koordinatne osi :: jedinični vektori :: vektor položaja ::

sustava oko osi z za 30 suprotno smjeru kazaljke na satu.

2 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Izrazite radij-vektor točke T(1,-,3) u novom koordinatnom sustavu koji se dobije rotacijom Kartezijevog sustava oko osi z za 30 suprotno smjeru kazaljke na satu. Usporedite duljine vektora u jednom i drugom koordinatnom sustavu. x 1 30 x 1 x 3 =x 3 30 x x

0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: o zbrajanju :: Ako se u izrazu indeks pojavljuje dvaput, onda se izraz sumira po svim dopustivim vrijednostima tog indeksa, a ako jedanput, onda slična jednadžba vrijedi

3 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: o zbrajanju :: Ako se u izrazu indeks pojavljuje dvaput, onda se izraz sumira po svim dopustivim vrijednostima tog indeksa, a ako jedanput, onda slična jednadžba vrijedi za sve komponente navedene veličine. :: Poopdenje :: Definiciju vektora sada možemo poopditi preko načina na koji se njegove komponente transformiraju (kovariraju) kod rotacije koordinatnog sustava: Za skup od N veličina Vj kažemo da su komponente N-dimenzionalnog vektora V, ako i samo ako su njihove vrijednosti u rotiranom koordinatnom sustavu dane sa Neovisnost o referentnom sustavu (koja slijedi iz kovarijancije) je potrebna da bi se formulirali univerzalni zakoni fizike koji uključuju vektore ili opdenitije tenzore. :: Vektori u Kartezijevim koordinatama :: Samo u Kartezijevim koordinatama nema razlike između kovarijantnih i kontravarijantnih transformacija:

4 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Tenzor je matematička ili fizikalna veličina invarijantna na translacije, a ima N n komponenti gdje je N dimenzija prostora te n stupanj tenzora. Rang (stupanj) tenzora možemo odredit promatrajudi ponašanje njegovih komponenti pri prijelazu iz koordinatnog sustava K u koordinatni sustav K : gdje indeksa imamo n (stupanj tenzora), a svaki poprima vrijednosti od 1 do N (dimenzija prostora). tenzor 0. stupnja ima samo jednu komponentu (invarijantan je) :: skalar tenzor 1. stupnja :: vektor tenzor. stupnja :: 9 komponenti u R 3 (npr. tenzor tromosti, tenzor napetosti ) Prema transformacijama komponenti tenzore dijelimo na ( navedene su relacije za tenzore. stupnja): kovarijantne (indeksi dolje) kontravarijantne (indeksi gore) miješane (indeksi analogno prethodnima) Tenzor. stupnja je simetričan ako vrijedi, a antisimetričan ako

0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: sa ma :: Množenje tenzora brojem te zbrajanje ili oduzimanje tenzora istog stupnja vrši se po komponentama analogno operacijama s vektorima i matricama.

5 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: sa ma :: Množenje tenzora brojem te zbrajanje ili oduzimanje tenzora istog stupnja vrši se po komponentama analogno operacijama s vektorima i matricama. Direktni produkt: :: :: Koristedi invarijantnost skalara na rotacije, pokažite da je skalarni produkt vektora skalar. :: :: Ako je kontravarijantni tenzor. stupnja S simetričan, a A antisimetričan, odredite A ij S ij. Uvijek vrijedi U pojedinom pribrojniku umjesto ij mogu pisati bilo koji drugi indeksi pa ih možemo zamijeniti Iskoristimo li zadanu simetričnost imamo

6 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Pokažite da se proizvoljni tenzor ranga može napisati kao zbroj simetričnog i antisimetričnog tenzora. Kako su dokazi za kovarijantne, kontravarijantne i miješane tenzore slični, dokazat demo za kontravarijantni: Dodamo li i oduzmemo imamo Zamjena indeksa odgovara transponiranju matrične reprezentacije vektora pa ako transponiramo prvi sumand dobijemo isti taj što znači: Transponiranjem drugog imamo je simetričan tenzor. što znači je antisimetričan tenzor.

7 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Dokažite: doprinos antisimetričnog dijela metričkog tenzora u kvadratu linijskog elementa iznosi 0. Kvadrat linijskog elementa: Koristedi tvrdnje dokazane u prethodnom zadatku, metrički tenzor možemo zapisati kao

8 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: (pridruženi) tenzor :: tenzor dobivamo operacijama spuštanja/podizanja indeksa: :: :: Dokažite:, a oba su i invarijantna dok nije. Koristedi podizanja i spuštanja indeksa dokazujemo jednakost: Pošto se radi o jednakim ma dovoljno je pokazati invarijantnost jednoga. Polazedi od umnoška u rotiranom koordinatnom sustavu i koristedi transformacijske relacije prelazimo u početni: invarijantan izraz ne možemo više reducirat, znači: izraz nije invarijantan

9 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Ako relacije vrijede u svim rotiranim Kartezijevim sustavima te ako je rang od A i B naznačen brojem indeksa, K je tenzor ranga koji je naznačen ukupnim brojem svojih indeksa: :: :: Dokažite kvocijentno : Pravilo vrijedi u svakom zarotiranom Kartezijevom sustavu pa demo ga napisati u crtkanom: // B transformiramo u necrtkani // Primijenimo kvocijentno // A transformiramo u crtkani // Izjednačimo početak i kraj jednakosti // A opdenit pa je izraz u zagradi 0 // Način transformacije tenzora. ranga

10 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: (tenzor 3. stupnja) :: :: :: Koristedi identitet za tenzore, dokažite:

11 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: :: :: Odredite metrički tenzor u cilindričnim koordinatama: Cilindrične koordinate Kartezijeve koorinate

12 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: Kutni moment (moment impulsa) za proizvoljnu kutnu brzinu :: Kutnu brzinu možemo zapisati u opdenitom obliku: ω iznosi Primijenimo li Prema tome opdi izraz za moment impulsa glasi: gdje su ( x, y, z ). L m r v m r ω r A ( B C) B( A C) C( A B) L x I xx x I xy y I xz z Ly I yxx I yyy I yzz L z I zx x I zy y I zz z I m y z xx I xy ( ) m x y te analogno definiramo ostale komponente I ij. r ωr imamo: ( y z ) x xy y xzz yx x ( z x ) y yzz zx x zy y ( x y ) z

13 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: I :: Dobivene relacije možemo zapisati u matričnom obliku (=> moment inercije I tenzor je. stupnja) I m y z Lx L Iω L Ly L z :: 0 (a) :: x ω y z I I I I I I I I I I xx xy xz yx yy yz zx zy zz Pronađite moment inercije homogene kocke mase M i stranice a pri rotaciji oko vrha (ishodište je u vrhu, orjentacija osi nije određena). Kada nađemo tenzor inercije, možemo odabrati bilo koju kutnu brzinu rotacije i odmah znamo pripadni moment impulsa L Iω Kako se radi o jednolikoj raspodjeli mase potrebno je izračunati 9 integrala za odrediti tenzor inercije. Međutim, zbog simetrije svi dijagonalni elementi su isti, a ostali su različiti, ali jednaki međusobno pa je dovoljno izračunati integrala. a a a I xx dx dy dz( y z ) M / a xx a a a a a a I dx y dy dz dx dy z dz a Ma a a a a a a xx I xy I dx dy dz xy, xdx ydy dz a Ma. xy Ma 4 Ma 4 Ma Ma I Ma Ma Ma Ma 4 Ma 3 Ma I I T ( ) m x y => simetrični tenzor

0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (b) :: Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko x-osi koja prolazi vrhom kocke. 1 ω 0 0 nema isti smjer kao os rotacije.

14 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (b) :: Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko x-osi koja prolazi vrhom kocke. 1 ω 0 0 nema isti smjer kao os rotacije. :: 0 (c) :: Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko osi koja prolazi vrhom kocke i ide dijagonalno kroz kocku. ω / 3 Ma L Iω / 4 1 Ma / Ma Ma Ma L Iω ω ima isti smjer kao os rotacije (kutna brzina).

0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (d) :: Odredite moment inercije za slučaj kada se središte rotacije nalazi u centru kocke te usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa a / a/ a/ a/ a/

15 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (d) :: Odredite moment inercije za slučaj kada se središte rotacije nalazi u centru kocke te usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa a / a/ a/ a/ a/ a/ 3 1 / / / / / / 3 ( / ) a a a a a a 6 I dx y dy dz dx dy z dz a a Ma xx a / a / a / a / a / a / I dx dy dz xy, xdx ydy dz 0 xy a / a/ a/ a/ a/ a/ Ma Ma I :: :: LIω Ma ω 6 Moment je inercije u koordinatnom sustavu odabranom pod (d) dijagonalna matrica, a moment impulsa uvijek ima isti smjer kao i kutna brzina bez obzira na položaj osi rotacije. Koordinatni sustav u kojem je tenzor dijagonalan nazivamo sustav glavnih osi. Kako se komponente tenzora mijenjaju pri rotaciji, rotacijom možemo (ako se radi o simetričnom tenzoru) proizvoljno odabrani koordinatni sustava transformirati u sustav glavnih osi u kojem je taj tenzor dijagonalan. Iz gore dobivene relacije možemo napisati opdeniti izraz: Iω ω --> Iω 1ω --> ( I1) ω 0 --> det( I1) 0 Znači: problem određivanja glavnih osi svodi se na određivanje svojstvenih vrijednosti λ (vrijednosti na dijagonali) i svojstvenih vektora ω. Jedinični vektori koordinatnog sustava u kojem je tenzor dijagonalan definirani su preko normiranih svojstvenih vektora v (i) = ω/ ω

16 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (e) :: Koristedi podatke izračunate pod (a), odredite glavne osi rotacije za kocku koja rotira oko vrha Ma I ; det( I1) ( )(11 ) 0 Za Za Ma imamo: x x y y z z 11 Ma imamo: x y 0 x y z z 1 ω e 0 e x y z ω,3 1 3,3 1 Znači: Možemo uzeti osi, s ishodištem u vrhu kocke, Ma I 1 0 x y z 0 x y z x y z Rj: x = y = z jednu u smjeru e 1, a druge dvije u smjeru dva proizvoljna međusobno okomita vektora e i e 3 koji su okomiti na e 1 i dobit demo dijagonalan oblik tenzora I. 1 1 e

Слични документи

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?