Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

Транскрипт

1 Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima. Zadaci. Ispit sadrži 6 računskih zadataka. 1 iz matrica, 2+1 iz funkcija/derivacija (2 zadatka iz funkcija jedne varijable i 1 iz funkcija više varijabli ILI obrnuto), 1 iz integrala, 1 iz financijske matematike. Teorija. Čekaju te 4 teorijska pitanja, svako po a i b. 1 pitanje iz matrica, 1 iz funkcija jedne varijable, 1 iz funkcija više varijabli i 1 pitanje iz integrala ILI iz financijske matematike. Ispit iz matematike #1. Primjer ispita u kojem osim rješenja zadataka imaš i riješenu teoriju, da vidiš kako to treba izgledati i da uopće nije tako strašno kao što se priča. Ispit iz matematike #2 & #3 dolaze s konačnim rješenjima zadataka, a služe ti da se sam okušaš u rješavanju teorije nakon što si naučio skriptu. 2 sata. Taman vremena za riješiti jedan ispit, ako si dobro izvježbao sve tipove zadataka i naučio teoriju s razumijevanjem. PROTIP. Prvo pročitaj teoriju o dijelu gradiva kojeg učiš. Nakon toga riješi zadatke. Na kraju se vrati na teoriju te detaljno i s razumijevanjem nauči definicije, zapise, izvode i formule. I ne zaboravi #PonavljanjeJeMajkaZnanja. Sretno!

2 Ispit iz Matematike #1 1. Gauss-Jordanovom metodom eliminacija riješite sustav: x=1, y=0, z=3 2. Zadana je funkcija. Odredite parametar p takav da je funkcija elastična odnosno neelastična. Za funkcija je elastična, a za funkcija je neelastična. 3. Odredite ekstreme funkcije uz ograničenje. Max(5,2,60) 4. Zadana je funkcija graničnih troškova. Ako su fiksni troškovi za proizvodnju jednaki 20, odredite funkciju ukupnih troškova. 5. Zajam od 30000kn odobren je na 3 godine uz godišnji kamatnjak 10 i plaćanje jednakih anuiteta krajem godine. Sastavite otplatnu tablicu za prve dvije godine. Obračun je godišnji, složen i dekurzivan. Rj. : k a I R c , , , , , , ,77 6. Kako se približno mijenja funkcija proizvodnje ako rad L i kapital K padaju za 10%? Kada K i L padaju za 10%, tada Q približno pada za 10*1,1=11%

3 7. a) Za koje matrice je definirana determinanta? Izvedite Sarrusovo pravilo. Determinanta je definirana samo za kvadratne matrice. Sarrusovo pravilo se koristi samo za 3x3 matrice. b) Navedite teorem o Laplaceovom razvoju determinante od. nazivamo Laplaceovim razvojem po jednom proizvoljnom retku ili stupcu: (razvoj po i-tom retku) (razvoj po j-tom stupcu) 8. a) Definirajte asimptotu grafa realne funkcije Kažemo da je asimptota grafa realne funkcije pravac koji ima svojstvo da udaljenost točke na graf od tog pravca teži nuli, kada točka gibajući se po grafu teži u beskonačno. b) Što vrijedi za kosu asimptotu? Kosa asimptota krivulje je pravac gdje je: 9. a) Definirajte Lagrangeovu funkciju Lagrangeova funkcija glasi f i g koje imaju neprekidne parcijalne derivacije prvog i drugog reda. za funkcije b) Objasnite metodu Lagrangeovih multiplikatora za traženje ekstrema funkcije f(x,y) uz ograničenje g(x,y). Prvo odredimo sve parcijalne derivacije prvog reda funkcije L i izjednačimo ih s 0. ili ili ili Rješenja tih jednadžbi kandidati su za ekstreme. Dalje odredimo matricu M i izračunamo njenu determinantu u svakoj kritičnoj točki.

4 M= Ako je za točku det m<0 onda se u toj točki postiže lokalni MINIMUM funkcije f(x,y) uz ograničenje g(x,y)=0 tj.. Ako je za točku f(x,y) uz ograničenje g(x,y)=0. det m>0 onda se u toj točki postiže lokalni MAKSIMUM funkcije 10. a) Napišite definiciju određenog integrala. Neka je f(x) neprekidna i strogo rastuća (nenegativna) funkcija na <a,b>, tada je površina ispod te funkcije na <a,b> jednaka Riemannovom integralu određeni integral. kojeg onda zovemo b) Navedite svojstva određenog integrala. Osnovni teorem diferencijalnog i integralnog računa poznat je i kao Newton-Leibnitzova formula. Neka je neprekidna funkcija na. Tada vrijedi: gdje je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x). Svojstva: Ako je f(x) 0 za sve tada je

5 Ispit iz Matematike #2 1. Zadana je matrica tehničkih koeficijenata. Ukupna proizvodnja prvog sektora je, a drugog, a finalna potražćnja drugog sektora je. Sastavite pripadnu input-output tablicu Odredite ekstreme funkcije. Min (0,1) 3. Izračunajte ako je. 4. Dane su cijene i te funkcija ukupnih troškova. Izračunajte maksimalnu dobit. Max(5,2,60) 5. Izračunajte 6. Dug od 15000kn se mora otplatiti u dva jednaka iznosa: krajem prve i krajem treće godine. Odredite te iznose ako je godišnji kamatnjak 6, a obračun kamata godišnji, složen i dekurzivan. 8412,71kn

6 7. a) Definirajte rang matrice b) Ako su matrice A i B ekvivalentne, može li biti r(a)<r(b)? Obrazložite. 8. a) Definirajte strogo rastuću funkciju na intervalu (a,b). b) Dokažite: Ako je funkcija diferencijkabilna u ingtervalu (a,b) i f'(x)>0 za svako, tada je f strogo rastuća u (a,b). 9. a) Za funkciju definirajte parcijalne derivacije drugog reda. b) Iskažite Youngov teorem za funkciju 10. a) Što su prenumerando, a što postnumerando isplate? Obavezno nacrtajte pripadne skice. b) Izvedite formulu za sadašnju vrijednost n postnumerando nominalno jednakih godišnjih uplata ako je godišnji kamatnjak fiksan,a primjenjuje se složen kamatni račun i dekurzivan način ukamaćivanja. Obavezno nacrtajte pripadnu skicu.

7 Ispit iz Matematike #3 1. Izračunajte ako je te ako su, det X=1 2. Zadana je matrica tehnologije neke trosektorske ekonomije. Sastavite input-output tablicu ako su ukupne proizvodnje prvog i trećeg sektora jednake,, a finalna potražnja drugog sektora Odredite asimptote funkcije Pravac x=0 je V.A. Nema H.A. Pravac y=3x je K.A. 4. Izračunajte zbroj svih parcijalnih koeficijenata elastičnosti funkcije: 5. Izračunajte 6. Poduzeće treba isplatiti iznose od 10000kn krajem prve godine, i 20000kn krajem šeste godine od danas. Kojim iznosom može to poduzeće podmiriti navedena dugovanja krajem četvrte godine od danas ako je godišnji kamatnjak u prve tri godine 3, a u narednim godinama 4? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan ,48kn

8 7. a) Navedite potrebne i dovoljne uvjete da bi sustav linearnih jednadžbi imao rješenja, pri čemu je matrica koeficijenata sustava, vektor nepoznanica i vektor slobodnih koeficijenata. b) Gauss-Jordanovom metodom provjerite ima li rješenje sustav linearnih jednadžbi Ako sustav ima rješenje, navedite sva njegova rješenja. 8. a) Kada kažemo da je funkcija, homogena stupnja homogeniteta α? Navedite interpretaciju stupnja homogeniteta α. b) Je li funkcija homogena? Ako jest, odredite stupanj homogeniteta i interpretirajte ga. 9. a) Navedite potrebne i dovoljne uvjete lokalnog minimuma (maksimuma) funkcije dviju varijabli. b) Ispitajte ima li ekstrema funkcija 10. a) Objasnite otplatu zajma u iznosu od C kn jednakim anuitetima krajem godine kroz n godina, uz godišnji, složen, dekurzivan obračun kamata i godišnji kamatnjak p. Prikažite otplatnu tablicu! b) Odobren je zajam od ,00kn, na 10 godina, uz otplatu jednakim anuitetima krajem godine, godišnji kamatnjak p=12, te godišnji, složen, dekurzivan obračun kamata. Načinite otplatnu tablicu za prve dvije godine otplate tog zajma.