vjezbe-difrfv.dvi

Транскрипт

1 Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je otvoren, diferencijal DL(X) je jedinstveno linearno preslikavanje koje zadovoljava svojstvo (5.1), pa slijedi DL(X) = L. Zadatak 5.2. Neka je f : R n R m preslikavanje takvo da postoji konstanta M R takva da za svaki x R n vrijedi f(x) M x 2. Dokažite da je f diferencijabilna u točki x 0 = 0 i da je Df(0) = 0. Iz f(0) M 0 2 najprije zaključujemo da je f(0) = 0. Da bi pokazali da je Df(0) = 0, dovoljno je pokazati da za r(h) = f(h) f(0) 0H = f(h) vrijedi lim H 0 r(h) = 0. Kako za H R n vrijedi 0 f(h) M, primjenom teorema o sendviču zaključujemo lim H 0 f(h) = 0, pa slijedi tvrdnja. Zadatak 5.3. Vrijedi li tvrdnja prethodnog zadatka uz pretpostavku f(x) M x? Ne, preslikavanje f : R R, f(x) = x zadovoljava traženi uvjet, diferencijabilno je u 0, ali Df(0) = f 0. 15

2 Zadatak 5.4. Neka je L: R n R m linearni operator i g: R n R m preslikavanje takvo da postoji konstanta M R takva da za svaki x R n vrijedi g(x) M x 2. Dokažite da za funkciju f = L + g vrijedi Df(0) = L. Iz zadataka 5.1 i 5.2. slijedi da su L i g, a onda i f diferencijabilne u 0. Vrijedi i Df(0) = DL(0) + Dg(0) = L + 0 = L. Zadatak 5.5. Za preslikavanje f : R 2 R definirano sa f(x, y) = x 2 + y 2 odredite u kojim je točkama diferencijabilno, te u tim točkama odredite diferencijal. Za (x, y) (0, 0) vrijedi x f(x, y) = x x2 + y 2, xf(x, y) = x x2 + y 2. Kako su parcijalne derivacije x, y neprekidne funkcije na R 2 \ {(0, 0)}, zaključujemo da je f diferencijabilna na R 2 \ {(0, 0)}, te da je za (x, y) (0, 0) Df(x, y) linearni operator koji u paru kanonskih baza ima matrični zapis [ f(x, y) = x x 2 +y 2 ] y x 2 +y 2 Preostaje još ispitati diferencijabilnost u točki (0, 0). Računamo x f(0, 0) iz definicije f(t, 0) f(0, 0) x f(0, 0) t 0 t. t t 0 t. Kako gornji limes ne postoji, ne postoji x (0, 0), pa f nije diferencijabilna u (0, 0). Zadatak 5.6. Zadana je funkcija f : R 2 R { xy f(x, y) =, y x 2 +y x2 0, y = x 2 Pokažite da u točki (0, 0) postoje derivacije u svim smjerovima, ali da f nije diferencijabilna u (0, 0). Neka je v = (v 1, v 2 ) proizvoljan jedinični vektor. Računamo f f(0 + hv) f(0) f(hv 1, hv 2 ) (0, 0) v h 0 h h 0 h Pretpostavimo najprije da je v 2 0. Tada za dovoljno mali h vrijedi v 2 > h v 2 1, pa je dalje f f(hv 1, hv 2 ) (0, 0) v h 0 h hv 1 hv 2 h 0 h(h 2 v1 2 + hv 2) = v 1v 2 = v 1. v 2 16.

3 U slučaju da je v 2 = 0 dobivamo f f(hv 1, 0) (0, 0) = 0. v h 0 h f Time je pokazano da uvijek postoji (0, 0). Računanjem lim v (x,y) (0,0) f(x, y) provjeri se da taj limes ne postoji, odnosno da f nije neprekidna u (0, 0), pa nije ni diferencijabilna. Zadatak 5.7. Zadana je funkcija f : R 2 R { x 2 y 2, (x, y) (0, 0) (i) f(x, y) = x 2 +y2 0, (x, y) = (0, 0) { xy, (x, y) (0, 0) (ii) f(x, y) = x 2 +y2 0, (x, y) = (0, 0) Ispitajte gdje je funkcija f diferencijabilna i odredite diferencijal. (i) Najprije, za (x, y) (0, 0) dobivamo x f(x, y) = x 3 y 2 + 2xy 4 (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2, yf(x, y) = x 2 y 3 + 2x 4 y (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2. Vidimo da su parcijalne derivacije x, y neprekidne funkcije na R 2 \{(0, 0)}, pa je f diferencijabilna na R 2 \ {(0, 0)}. Za (x, y) (0, 0) Df(x, y) je linearni operator koji u paru kanonskih baza ima matrični zapis [ x f(x, y) = 3 y 2 +2xy x 4 x 2 y 3 +2x 4 y. 2 +y 2 (x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 ] Preostaje još ispitati diferencijabilnost u točki (0, 0). Računamo x f(0, 0) iz definicije f(h, 0) f(0, 0) 0 x f(0, 0) h 0 h h 0 h = 0. Kako je lim r cosϕr 2 sin 2 ϕ(r 2 cos 2 ϕ + 2r 2 sin 2 ϕ) xf(x, y) (x,y) (0,0) r 0 r 3 r 0 cosϕsin 2 ϕr 2 (1 + sin 2 ϕ) = 0, zaključujemo da je x f neprekidna u (0, 0). Slično se provjeri da je y f(0, 0) = 0, te da je y f neprekidna u (0, 0). Iz egzistencije i neprekidnosti svih parcijalnih derivacija, slijedi da je f diferencijabilna u (0, 0), te da je Df(0, 0) = 0. (ii) Za (x, y) (0, 0) dobivamo x f(x, y) = y 3 (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2, yf(x, y) = 17 x 3 (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2.

4 Vidimo da su parcijalne derivacije x, y neprekidne funkcije na R 2 \{(0, 0)}, pa je f diferencijabilna na R 2 \ {(0, 0)}. Za (x, y) (0, 0) Df(x, y) je linearni operator koji u paru kanonskih baza ima matrični zapis [ y f(x, y) = 3. (x 2 +y 2 ) ] x 3 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 Preostaje još ispitati diferencijabilnost u točki (0, 0). Računamo x f(0, 0) iz definicije f(h, 0) f(0, 0) x f(0, 0) h 0 h te na isti način dobijamo i y f(0, 0) = 0. Iz lim r 3 sin 3 ϕ xf(x, y) (x,y) (0,0) r 0 r 3 0 h 0 h = 0, r 0 sin 3 ϕ vidimo da ne postoji lim (x,y) (0,0) x f(x, y), to jest da funkcija x f nije neprekidna u (0, 0), pa ćemo diferencijabilnost funkcije f u (0, 0) provjeriti direktno iz definicije diferencijala. Kako smo izračunali x f(0, 0) = y f(0, 0) jedini mogući kandidat je Df(0, 0) = 0. Za računamo r(x, y) = f(x, y) f(0, 0) 0(x, y) = r(x, y) lim (x,y) (0,0) (x, y) = pa f nije diferencijabilna u (0, 0). lim (x,y) (0,0) xy x2 + y 2 xy x 2 + y 2 0, Zadatak 5.8. Neka je f : R n R parna funkcija, diferencijabilna u 0. Izračunajte Df(0). Za funkciju g: R n R, definiranu sa g(x) = f(x) f(0) vrijedi g(0) = 0. Nadalje, g je parna, diferencijabilna u 0, i Dg(0) = Df(0). Zbrajanjem jednakosti g(h) = Dg(0)(H) + r(h) i g( H) = Dg(0)( H) + r( H), koristeći parnost od g i linearnost od Dg(0), dobivamo a iz toga, koristeći lim H 0 r(h) 0 = 2Dg(0)(H) + r(h) r( H), = 0, dobivamo Dg(0)(H) lim = 0. H 0 A(H) Neka je A proizvoljan linearni operator za krojeg vrijedi lim H 0 za svaki vektor v 0 vrijedi A(tv) 0 t 0 tv ta(v) t 0 t v = A(v) v lim t t 0 t. Kako lim t 0 t t ne postoji, nužno je A(v) = 0, to jest A = = 0. Posebno,

5 Zadatak 5.9. Neka je dana diferencijabilna funkcija f : R n R m i neka je fiksiran vektor v 0 R m. Dokažite da je tada i funkcija g: R n R definirana s g(x) = (f(x) v 0 ) diferencijabilna na R n. Računamo g(x + H) g(x) = (f(x + H) f(x) v 0 ) = (Df(X)(H) + r f (H) v 0 ) = (Df(X)(H) v 0 ) + (r f (H) v 0 ) Preslikavanje H (Df(X)(H) v 0 ) je linearno i pokazat ćemo da je to Df(X). Za to je potrebno pokazati da je r g (H) = (r f (H) v 0 ) ostatak, to jest da je r lim g(h) r H 0 = 0. Ovo slijedi iz lim f (H) H 0 = 0 i 0 r g(h) = (r f(h) v 0 ) r f(h) v 0 Zadatak Neka je A M n (R) simetrična matrica, te f : R n R zadana s f(x) = (AX X). Dokažite da je f diferencijabilna na R n i nadite Df(X 0 )(H). Koristeći (H AX 0 ) = (AX 0 H) (što vrijedi jer je A simetrična), dobivamo f(x 0 + H) f(x 0 ) = 2(AX 0 H) + (AH H). Preslikavanje H 2(AX 0 H) je linearno i da bi pokazali Df(X 0 )(H) = 2(AX 0 H), r(h) treba provjeriti da za r(h) = (AH H) vrijedi lim H 0 = 0. To slijedi iz 0 r(h) = (AH H) AH ) = AH. Zadatak Neka je f : R n R m diferencijabilna na R n. Dokažite da je tada i g: R n R zadana s g(x) = sin f(x) 2 diferencijabilna i izrazite Dg(X) preko Df(X). Iz prethodnog zadatka, posebno za A = I M n (R), slijedi da je funkcija f 1 (X) = (X X) = X 2 diferencijabilna i da je Df 1 (X)(H) = 2(X H). I funkcija f 2 (y) = sin y je diferencijabilna, pa je g = f 2 f 1 f, diferencijabilna kao kompozicija diferencijabilnih funkcija. Dalje je Dg(X 0 )(H) = Df 2 ((f 1 f)(x 0 ))(Df 1 (f(x 0 ))(Df(X 0 )(H))) = Df 2 ( f(x 0 ) 2 )(2(f(X 0 ) Df(X 0 )(H))) = 2 cos( f(x 0 ) 2 )((f(x 0 ) Df(X 0 )(H)). 19

6 Zadatak Neka je v 0 = (v 1,...,v n ) R n fiksirani vektor i f : R n R n R n funkcija zadana s f(x, Y ) = Xe (Y v 0). Pokažite da je f diferencijabilna na R n R n, nadite Df(X, Y ) i izračunajte Df(0, v 0 )(1, 1,..., 1). Stavimo f 1 (X, Y ) = X i f 2 (X, Y ) = e (Y v 0). Funkcija f 1 je linearna, pa je i diferencijabilna i Df(X, Y ) = f. Funkcija f 2 može se prikazati kao kompozicija funkcija f 2 = f 3 f 4, gdje je f 4 (X, Y ) = (Y v 0 ) i f 3 (x) = e x. Funkcija f 4 je linearna, pa je i diferencijabilna i Df 4 (X, Y ) = f 4. Zaključujemo da je f 2 diferencijabilna kao kompozicija diferencijabilnih funkcija, te da je f diferencijabilna kao produkt diferencijabilnih funkcija. Računamo najprije te zatim Df 2 (X, Y )(H 1, H 2 ) = Df 3 (f 4 (X, Y ))(Df 4 (X, Y )(H 1, H 2 )) = e (Y v 0) Df 4 (X, Y )(H 1, H 2 ) = e (Y v 0) f 4 (H 1, H 2 ) = e (Y v 0) (H 2 v 0 ), Df(X, Y )(H 1, H 2 ) = (Df 1 (X, Y )(H 1, H 2 ))f 2 (X, Y ) + f 1 (X, Y )Df 2 (X, Y )(H 1, H 2 ) = (f 1 (H 1, H 2 ))f 2 (X, Y ) + XDf 2 (X, Y )(H 1, H 2 ) = H 1 e (Y v 0) + Xe (Y v 0) (H 2 v 0 ) = e (Y v 0) (H 1 + (H 2 v 0 )X). Zadatak Ispitajte diferencijabilnost funkcije f : R 2 R zadane s f(x, y) = x 2 y 2. Funkcija je očito diferencijabilna izvan pravaca y = ±x. Neka je (x 0, x 0 ) na pravcu y = x i računamo x f(x 0, x 0 ) t 0 f(x 0 + h, x 0 ) f(x 0, x 0 ) t t 0 (x 0 + t) 2 x 2 0 t t t 0 t (2x 0+t). Ako je x 0 0, gornji limes ne postoji, to jest ne postoji x f(x 0, x 0 ), pa f u (x 0, x 0 ) nije diferencijabilna. Ako je x 0 = 0, gornji limes je 0, to jest x f(0, 0) = 0. Sličnim se računom dobije y f(0, 0) = 0, a isto tako i da u niti jednoj točki (x 0, x 0 ) na pravcu y = x različitoj od (0, 0) ne postoji x (x 0, x 0 ), to jest da f nije diferencijabilna u (x 0, x 0 ), x 0 0. Ostaje pitanje diferencijabilnosti u 20

7 (0,0). Kako je x (0, 0) = y f(0, 0) = 0, kandidat za Df(0, 0) je Df(0, 0) = 0. Kako je r(x, y) lim (x,y) (0,0) (x, y) f(x, y) f(0, 0) 0(x, y) (x,y) (0,0) (x, y) x 2 y 2 (x,y) (0,0) x2 + y 2 slijedi da je f diferencijabilna u (0,0). r 2 cos 2 ϕ sin 2 ϕ r 0 r = 0, Zadatak Neka su f, g: R n R m diferencijabilna preslikavanja na R n. Dokažite da je tada i h: R n R zadano s h(x) = (f(x) g(x)) diferencijabilno na R n i nadite diferencijal. Dh(X 0 )(H) = (Df(X 0 )(H) g(x 0 ) + (f(x 0 ) Dg(X 0 )(H)). 21