BROJNI REDOVI ZADACI ( II DEO) Dlmbrov kritrijum Ako z rd ostoji lim + - z r > rd divrgir - z r odlučivo - z r < kovrgir r od vži: Primr. Isitti kovrgciju rd! Ršj: Njr d odrdimo. Ovd j to! ( zči uzimmo sv iz ozk z rd). Dlj odrdjujmo +.Kko? Gldmo i umsto stvimo +, j + ( + )! Sd koristimo Dlmbrov kritrijum: ( + )!!! + ( + )!! + lim lim lim lim ( )! lim 0 ( + ) Dkl, dobili smo d j r 0 <, o ovom kritrijumu, rd kovrgir.! Primr. Isitti kovrgciju rd Ršj: + lim ( + ) + + + lim lim + lim lim ( ) + Ovd smo dobili d j r, to m govori d j rd divrgt.
Primr 3. ( )!! Isitti kovrgciju rd ( )!! + Ršj: ( )!! Ovd j, d s odstimo št zči ovj dvostruki fktorijl. + ( )!!! ( )( )... 3!! ( ) ( 4)... Zviso d li j r ili r, kd im!! stigmo do ili. Rcimo: 0!! 0864 9!! 9753 Ovd vm svtujmo d vodit rču o zgrdm ( rcimo (!)!!! ) D s vrtimo zdtk: (+ )!! ( )!! ( )!! ( )!! ( )!! + + + (+ )!! (+ )!! ( )!! lim lim lim + + + lim + (+ ) ( )!! + ( )!! ( )!! (+ ) ( )!! + lim + Dkl, r ½, dti rd kovrgir. Primr 4. Isitti kovrgciju rd Ršj: ( + )!! + + ( + ) ( + )! lim lim lim lim! +! ( ) + lim lim + + ( + )! lim! ( + ) ( + ) +
Ajd d rsimo ovo i drugi či: Uotrbićmo trikč koj s čsto koristi kd immo!. To j tkozv Stirligov roksimcij: Sd immo:! π! π π Probmo ot Dlmbrov kritrijum: ( + ) π ( + ) π + + lim lim lim lim + π π ( + ) lim π ( + ) π tži Dkl r /, ovj rd kovrgir Primr 5. Isitti kovrgciju rd! Ršj: Ako robmo bz Stirligov roksimcij, immo: ( + ) ( + )! ( + )! ( + )! + lim +! ( + ) +! + lim lim lim lim ( )! lim o lim + lim + lim 0 0 + + + Ako rimimo roksimciju:! π π 3
Sd ćmo ot robti isti kritrijum: + ( + ) + π + + + + ( ) ( ) + π ( ) lim lim lim + ( + ) π ( + ) π π ( + ) lim ( + ) π ( + ) ( + ) tži + lim lim + lim + + + + + + + tži ( ) ( ) lim + lim + + + + ( ) ( ) lim + lim 0 + + Dkl, dti rd kovrgir! Košijv kori kritrijum: Ako z rd ostoji - z > rd divrgir - z odlučivo - z < kovrgir lim od vži : Primr 6. Isitti kovrgciju rd + ( ) 4
Ršj: ( ) ( ) lim lim lim + + + lim + lim + lim + + + + + ( ) + + ( ) + + lim + lim + lim + + + Kko j r <, to zči d rd ( ) + kovrgir o Košijvom kritrijumu. Primr 7. Isitti kovrgciju rd + cos + cos l Ršj: l l l ( ) + cos + cos + cos lim lim lim cos cos + + + cos Zmo d izrz l tži 0 kd tži bskočosti, d cos mož imti vću vrdost od. Od j: l 0 + cos + 4 lim lim lim < cos + + 3 9 Dkl, ovj rd kovrgir. Rblov kritrijum: Ako z rd ostoji lim ( ) t od : + -z t > kovrgir -z t odlučiv -z t < divrgir 5
Primr 8. Isitti kovrgciju rd ( )!! ( )!! + Ršj: ( )!! ( )!! + ( )!! (+ )!! + 3 lim ( ) lim ( ) lim ( ) (+ )!! + (+ )!! ( )!! + (+ )!! + 3 ( )!! (+ ) ( )!! + 3 lim ( ) (+ ) ( )!! ( )!! + (+ )(+ 3) (+ )(+ 3) (+ ) lim ( ) lim ( ) (+ ) (+ ) 4 + 6+ 4+ 6 4 4 6+ 5 lim ( ) lim ( ) (+ ) (+ ) 6 + 5 6 3 4 + 4+ 4 lim > Zči d ovj rd, o Rblovom kritrijumu kovrgir. Primr 9. Ndji vrdost rmtr tko d rd! kovrgir. + Ršj: Njr ćmo srditi izrz +! + + + + +! ( + )! ( + ) ( + ) ( + ) + + + + + + ( + )! ( + )! ( + )! + + ( + ) + + + + Iskoristićmo trikč: 6
lθ Θ, gd j Θ + + + l + ( + )l + + Sd j + + + ( + )l + ( + )l + + ( + )l + + l + mormo rzviti koristći : l(+x) x (-) -, -<x< l( + ) + ο( ) sd j: ( )l + + + + ( + )( + o( )) + + + o( ) + o( ) + o( ) + + o( ) kd + Dlj ćmo iskoristiti Rblov kritrijum: lim ( ) lim (+ ) lim + Sd, ko j: 3 > > rd kovrgir Košijv itgrli kritrijum: Ako fukcij f(x) od, rkid j i ozitiv, td rd itgrlom f ( x) dx f ( ) kovrgir ili divrgir istovrmo s Primr 0. Isitti kovrgciju rd α 7
Ršj: Posmtrmo itgrl: dx x α A A α+ α+ α x A A dx dx x dx α x A α x A A α A α α lim lim lim lim( ) + + + α+ A i) Ako j α > od j lim( ) 0 A α+ α+ α+ α α+ A ii) Ako j α od j lim( ) A α+ α+ Dkl, rd kovrgir z α >, divrgir z α. Primr. Isitti kovrgciju rd s oštim člom Ršj: l gd j > dx lim dx x l x x l x A A Ršimo jr itgrl stru bz gric ( d bi morli d mjmo gric jr mormo uotrbiti smu) lx t + t t dx dt t dt x l x dx dt t + x A (l x) A (l A) (l ) dx lim dx lim lim x l x l A x x A A (l A) (l ) (l ) (l ) i) Ako j - < 0 > kovrgir 0 ( l A) (l ) ii) Ako j < divrgir lim A 8
Gusov kritrijum: Ako z rd s ozitivim človim ostoji: + µ + + o( ) z ε > 0 td: λ + ε i) Ako j λ > rd kovrgir ii) Ako j λ < rd divrgir z µ > rd kovrgir iii) Ako j λ td { z µ < rd divrgir } Primr. Isitti kovrgrciju rd ( )!! ( )!! Ršj: ( )!! ( )!! ( )!! (+ )!! ( )!! (+ )( )!! + + ( )!! ( )!! ( )!! ( )( )!! ( )!! + + + + (+ )!! Sd skujmo mlo ovj izrz i uotrbljvmo biomu formulu: + + + + + + + + + + 0 + + + ( + ) + + + o( ) + (+ ) 0 ( ) ( ) ( )... + + o( ) + + + o( ) ( + ) / + + o( ) kd + / / + + o( ) 9
µ Ovo uordjujmo s λ + + o( ) + ε + Jso j d j λ m trb µ i) Ako j µ > > rd kovrgir ii) Ako j µ < < rd divrgir www.mtmtirj.i.rs 0