DM

Транскрипт

1 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA.4 Rekurete relacije izova.5 Geeratore fukcije Ako je broji iz zadat rekuretom relacijom, kao alat za rešavaje uvodimo pojam geeratore fukcije. Geeratora fukcija iza je formali stepei red čiji su koeficijeti člaovi datog iza. Na taj ači brojom izu pridružujemo eprekidu fukciju. Defiicija 5 Neka je {a } N =(a,a,a,...) broji iz. Za formali stepei red X A(z) = a z, = kažemo da je geeratora fukcija iza {a }. Kažemo da je stepei red formali, zato što se e razmatraju vredosti argumeta i fukcije, već se samo posmatraju operacije a stepeim redovima, koje se defiišu uz pomoć operacija a jihovim koeficijetima. U tom smislu, kovergecija tih redova ije relevata. Ako iz (a,a,a,...) sadrži koačo mogo elemeata različitih od ule, oda je geeratora fukcija poliom. Primer broji iz geeratora fukcija zatvorea forma (,,,...) (,,,...) (3,,,,...) 3+z + z 3+z + z (,,,...) +z + z +... z (,,,...) z + z z z Zatvoreu formu za iz (,,,...) možemo izvesti a sledeći ači: ( z)( + z + z +...) = +z +z +z z z z 3... ( z)( + z + z +...) = Odatle je +z + z +...= z. Primetimo da je u pitaju geometrijski red koji kovergira za z < i jegova suma je u tom slučaju z. Kao što smo već aglasili, vredosti argumeta z se e razmtraju, a shodo tome i kovergecija reda. Operacije ad geeratorim fukcijama. Neka su A(z) i B(z) redom geeratore fukcije izova (a,a,a,...) i (b,b,b,...). skaliraje ca(z) =(ca,ca,ca,...)

2 .5. GENERATORNE FUNKCIJE deso pomeraje z k A(z) =(,,...,,a {z },a,...) k sabiraje A(z)+B(z) = X (a + b )z možeje A(z) B(z) = X a j b j z j= difereciraje (A(z)) X a z A = X ( + )a + z = X a z Primer Kako bismo odredili iz čija je zatvorea forma geeratore fukcije ( z), iskoristićemo možeje redova. ( z) = z z = X z X z = A z = X + )z j= ( Možemo zaključiti da je a = + opšti čla iza čja je geeratora fukcija ( z). Defiicija 5 Neka je k eegativa priroda broj, a u proizvolja reala broj. u Uopštei biomi koeficijet, u ozaci k, je defiisa sa u u (u )... (u k+) = k! ako je k> k ako je k =. Sada možemo pokazati da važi uopštea bioma formula. Fukcija (+z) u je geeratora fukcija iza ( u, u, u,...). Teorema 5 (uopštea bioma formula) Neka je u proizvolja reala broj. Tada je ( + z) u = X u z. Zadatak 53 Rešiti rekuretu relaciju a = 3 a = a +,

3 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA Rešeje: Neka je A(z) = P a z. Možejem jedakosti a = a + sa z dobijamo: a z = a z + z,. Sumirajem svih levih i desih straa, dobijamo X z a z = X a z + X, X a z a = z X a z + z X, A(z) a = z X a z + X z A z, z A(z)+3=zA(z)+z z, z A(z)+3=zA(z)+ ( z), ( z z)a(z) = ( z) 3 z 3, A(z) = ( z) 3 z, A(z) =z X + X z z, A(z) = X ( + )( + ) X z + z, A(z) = X ( + ) X z z, A(z) = X ( + ) 3 z, A(z) = X ( )( + 3) z ( )(+3) ) a() =,

4 .5. GENERATORNE FUNKCIJE 3 Zadatak 54 Odrediti broj rešeja jedačie x + x + x = 9 ako je x,x,x 3 N i 3 apple x apple 6 i 4 apple x apple 7 i 5 apple x 3 apple 8. Rešeje. Posmatrajmo proizvod tri polioma p(x) =(x 3 + x 4 + x 5 + x 6 )(x 4 + x 5 + x 6 + x 7 )(x 5 + x 6 + x 7 + x 8 ), ukojimasuekspoetiodx redom dozvoljee vredosti za x,x i x 3. Dati proizvod je jedak p(x) = x3 ( x 4 ) x4 ( x 4 ) x5 (x x 4 ) x x x = x ( x 4 ) 3 ( x) 3 = x ( 3x 4 +3x 8 x ) X + = (x 3x 6 +3x x 4 ) X + x x Koeficijet uz x 9 dobijamo možejem x sa + x za =7imožejem 3x 6 sa + x za =3,štoje = 36 3 = 6. Zadatak 55 Koristeći geeratore fukcije, odrediti broj euređeih izbora od m elemeata iz skupa A = {a,...,a }, ako se elemeti e mogu poavljati (broj kombiacija bez poavljaja od elemeata klase m). Ueuređeimizborimaelemeata(bezpoavljaja),svakiod elemeata je ili izabra tačo jedom ili ije izabra. Ekspoeti polioma ( + x) pokazuju da li je eki elemet izabra ili ije.. Tako ćemo posmatrati proizvod takvih polioma ( + x)( + x)...( + x). Broj izbora od k elemeata oda odgovara koeficijetu uz x k. Prema biomoj formuli, posmatrai proizvodpolioma jedak je ( + x) = X x m, m applemapple odakle je broj kombiacija od elemeata klase m jedak m.

5 4 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA Zadatak 56 Koristeći geeratore fukcije, odrediti broj euređeih izbora od m elemeata iz skupa A = {a,...,a }, ako se elemeti mogu poavljati (broj kombiacija sa poavljajem od elemeata klase m). Ako je u euređeim izborima eozvoljeo poavljaje elemeata, oda se svaki elemet može poavljati,,... puta, što odgovara ekspoetima polioma ( + x + x +...). Posmatraćemo proizvod takvih polioma p(x) = (+x + x +...) ( + x + x +...)...( + x + x +...) = (+x + x +...) = =( x) ( x) = X ( ) m x m = X + m x m. m m m Za svako apple m apple koeficijet uz x m odgovara broju kombiacija sa poavljajem od elemeata klase m. Zadatak 57 Neka je apple apple m. Koristeći geeratore fukcije, odrediti broj izbora m elemeata iz skupa A = {a,...,a }, ako se elemeti mogu poavljati i od svake vrste je izabra bar jeda elemet. Rešeje. Posmatrajmo proizvod polioma p(x) =(x + x + x )(x + x + x )...(x + x + x ) ukojimaekspoetiodx u i-toj zagradi ( apple i apple ) odgovarajubrojumogućih kopija elemeta a i uizboru.sadaje x p(x) = = x x ( x) = x ( x) = x X + l x l l l = X + l x +l l l Ako uvedemo smeu m = + l, odaje p(x) = X m m m odakle je koeficijet uz x m jedak m m. x m

6 .5. GENERATORNE FUNKCIJE 5 Zadatak 58 Koristeći geeratore fukcije, dokazati idetitet za svako N. + Rešeje. Posmatraćemo idetitet = ( + x) ( + x) =(+x). Prema biomoj formuli, koeficijet uz x urazvojustepeabioma( + x) jedak je. Ako posmatramo poliom p(x) sa leve strae i primeimo biomu formulu, dobijamo p(x) = + x + x x + x + x x mx m m A x m j m j m= j= Koeficijet uz x tada dobijamo za = m, atoje j= j Zadatak 59 Napisati otvorei oblik za Rešeje. Treba prvo primetiti da je +z j. +z 3z 3z = 5 Razvijajem u otvorei oblik dobijamo +z 3z +z z = X z + 3 X ( ) 3 z 5 5 = X Zadatak 6 Rešiti rekuretu relaciju 5 z + X 3 5 ( ) 3 z = X ( ) z. 5 a = a =9 a 6a +9a =,.

7 6 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA Rešeje: Neka je A(z) = P a z. Možejem jedakosti a 6a +9a, sa z dobijamo: a z 6a z +9a z =,. Sumirajem svih levih i desih straa, dobijamo X a z 6 X a z +9X a z =. (.) Primeićemo sledeće trasformacije suma: P a z = A(z) a a z = A(z) 9z P a z = z P a z = z P a z P = z(a(z) a )=z(a(z) ) a z = z P a z = z P a z = z A(z) Zameom u jedačiu (.), dobijamo X a z 6 X a z +9X a z =, A(z) 9z =6z(A(z) ) 9z A(z), ( 6z +9z )A(z) =+3z +3z, A(z) = 6z +9z = +3z ( 3z) = ( 3z) +3z ( 3z) Imajući u vidu da važe sledeće trasformacije: = ( )( 3)...( +)! =( ) + =( ) ( + ) ( 3z) = P ( 3z) = P ( ) ( + )( ) 3 z = P + )3 ( z Sada je jedačia (.) ekvivaleta sa A(z) = X ( + )3 z +3z X, A(z) = X, A(z) = X, A(z) = X ( + )3 z + X ( + )3 z + X ( + )3 z + X ( + )3 z ( + )3 + z + 3 z 3 z, A(z) = X (( + )3 + 3 )z = X + )3 ( z ) a =( + )3,

8 .5. GENERATORNE FUNKCIJE 7 Zadatak 6 Valida lozika je iz cifara dužie koja ima para broj ula. Kostruisati i rešiti rekuretu relaciju koja defiiše iz {a } N, gde je a broj validih loziki dužie. Rešeje. Neka je A(z) = P a z. Tada važi sledeći iz jedakosti: X a + X a = 8a + a = a z = 8X a z + X a z = 8z X z a z + z X z +A(z) = 8z X a z + z X z +A(z) = 8zA(z)+z z ( 8z)A(z) = z + +A(z) = 8zA(z)+z z 9z A(z) = ( 8z)( z) = 8z + z A(z) X 8 z + X z A A(z) X 8 + A. Odatle je a = 8 +. Zadatak 6 Na koliko ačia se može platiti izos od diara ako je a raspolagaju 6 ovčaica od diara, 5 od diara i 4 od 5 diara? Rešeje. Ako sa x,x,x 3 ozačimo redom količiu plaćeu ovčaicama od, i 5 diara, oa važi x + x + x 3 = x {,,, 3, 4, 5, 6} x {,, 4, 6, 8, } x 3 {, 5,, 5, }

9 8 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA p(x) = (+x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) ( + x + x 4 + x 6 + x 8 + x ) ( + x 5 + x + x 5 + x ) =...+ (x 6 x 5 )+x (x x + x )+x (x 4 x 5 ) +x 3 (x 8 x )+x 4 (x x 5 ) +x 5 (x 6 x )+x 6 (x x 5 + x 5 )+... =...+9x +... Napomea: Dato rešeje je koriso ako se pri rešavaju koristi softver za možeje polioma, zato što obezbeđuje da se e izostavi eki slučaj. Ako se zadatak rešava "peške", oda se rešavaje svodi samo a kombiatoro rezoovaje. Korišćeje geeratorih fukcija e olakšava rešavaje ovog zadatka. Zadatak 63 Izračuati ( ) i. i i= Rešeje. Posmatraćemo idetitet ( x) ( + x) =( x ). Prema biomoj formuli, dobijamo l= i= ( ) i x i i j= x j = j lx! ( ) i x l = i i i= ( ) m m m= ( ) m m m= x m x m Posmatraćemo sa leve strae čla za koji je l =. Ako je epara broj, oda je koeficijet uz x sa dese strae jedak iodatle je ( ) i =. i i i= Ako je para broj, oda sa dese strae dobijamo čla koji sadrži x ako uzmemo m = itadaje ( ) i =( ) i i=