Studij Ime i prezime Broj bodova MATEMATIKA 2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minut

Транскрипт

1 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minuta. Od pomagala su dopu²teni ravnala, trokuti, kutomjer i ²estar. Svaki zadatak se mora pisati na svom papiru. 1. zadatak (i) Denirajte primitivnu funkciju funkcije f. Odgovor zapi²ite pomo u derivacije i pomo u integrala. (ii) Odredite tri primitivne funkcije funkcije f(x) = 2x(x 2). 1 (iii) Koriste i derivacije objasnite za²to vrijedi dx = ln x + c, za x 0. x

2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja zadatak b (i) Objasnite slikom i rije ima zna enje odreženog integrala a f(x)dx za pozitivnu funkciju f. (ii) Geometrijski interpretirajte odreženi integral 5 0 (x2 6x + 8)dx. (iii) Bez ra unanja integrala odredite i obrazloºite odgovor x 109 dx

3 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja zadatak (i) Koriste i supstituciju rije²ite integral 3 2 4x(3 x 2 ) 6 dx. (ii) Navedite primjer nepravog integrala s beskona nim podru jem integracije i gra ki predo ite integral koji ste uzeli za primjer.

4 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja zadatak (i) Napi²ite formulu za povr²inu podru ja odreženog nejednakostima a x b i g(x) y f(x). Objasnite tu formulu u slu aju kada je f pozitivna, a g negativna funkcija. (ii) Napi²ite i izvedite formulu za volumen tijela nastalog rotacijom oko osi x podru ja omeženog pozitivnom funkcijom f, osi x i pravcima x = a i x = b.

5 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja zadatak (i) Napi²ite jednadºbu (zakon) hlaženja/zagrijavanja tijela u sredini stalne temperature S. (Ne trebate pisati izvod.) Gra ki predo ite promjenu temperature u slu aju kada je po etna temperatura tijela y 0 ve a od temperature sredine. (ii) Napi²ite formulu za teºi²te segmenta [a, b] s funkcijom gusto e mase f(x). Izra unajte teºi²te segmenta [0, 2] ija je funkcija gusto e mase f(x) = 3x.

6 1. dio, grupa B 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minuta. Od pomagala su dopu²teni ravnala, trokuti, kutomjer i ²estar. Svaki zadatak se mora pisati na svom papiru. 1. zadatak (i) Denirajte primitivnu funkciju funkcije f. Odgovor zapi²ite pomo u derivacije i pomo u integrala. (ii) Odredite tri primitivne funkcije funkcije f(x) = x(5 x). 1 (iii) Koriste i derivacije objasnite za²to vrijedi dx = ln x + c, za x 0. x

7 1. dio, grupa B 1. kolokvij 12. travnja zadatak b (i) Objasnite slikom i rije ima zna enje odreženog integrala a f(x)dx za negativnu funkciju f. (ii) Geometrijski interpretirajte odreženi integral 6 0 (x2 4x + 3)dx. (iii) Bez ra unanja integrala odredite i obrazloºite odgovor. 5 5 x 201 dx

8 1. dio, grupa B 1. kolokvij 12. travnja zadatak (i) Koriste i supstituciju rije²ite integral 2 3 3x(4 x 2 ) 5 dx. (ii) Navedite primjer nepravog integrala s beskona nim podru jem integracije i gra ki predo ite integral koji ste uzeli za primjer.

9 1. dio, grupa B 1. kolokvij 12. travnja zadatak (i) Napi²ite formulu za povr²inu podru ja odreženog nejednakostima a x b i g(x) y f(x). Objasnite tu formulu u slu aju kada su f i g pozitivne funkcije. (ii) Napi²ite i izvedite formulu za volumen tijela nastalog rotacijom oko osi x podru ja omeženog pozitivnom funkcijom f, osi x i pravcima x = a i x = b.

10 1. dio, grupa B 1. kolokvij 12. travnja zadatak (i) Napi²ite jednadºbu (zakon) hlaženja/zagrijavanja tijela u sredini stalne temperature S. (Ne trebate pisati izvod.) Gra ki predo ite promjenu temperature u slu aju kada je po etna temperatura tijela y 0 manja od temperature sredine. (ii) Napi²ite formulu za teºi²te segmenta [a, b] s funkcijom gusto e mase f(x). Izra unajte teºi²te segmenta [0, 3] ija je funkcija gusto e mase f(x) = 5x.