Analiticka geometrija
|
|
|
- Борко Којић
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22
2 Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
3 Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
4 Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
5 Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
6 Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
7 Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
8 Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
9 Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
10 Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
11 Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
12 Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika U nastavku, pretpostavimo da F / d. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
13 Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika U nastavku, pretpostavimo da F / d. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
14 Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. U nastavku, pretpostavimo da F / d. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
15 Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. U nastavku, pretpostavimo da F / d. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
16 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
17 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
18 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F(0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
19 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
20 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
21 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
22 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
23 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
24 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
25 Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
26 Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
27 Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
28 Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
29 Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
30 Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
31 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
32 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
33 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
34 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
35 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
36 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
37 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
38 Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
39 Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
40 Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
41 Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
42 Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
43 Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
44 Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
45 Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
46 Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
47 Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
48 Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
49 Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
50 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
51 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
52 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
53 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
54 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
55 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
56 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
57 Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
58 Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
59 Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
60 Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
61 Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
62 Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
63 Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
64 Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
65 Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
66 Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
67 Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
68 Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
69 Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
70 Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
71 Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
72 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
73 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
74 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
75 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
76 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
77 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
78 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
79 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
80 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
81 Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
82 Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
83 Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
84 Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
85 Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
86 Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
87 Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
88 Kanonska jednačina elipse centrirana elipsa sa fokusima na x osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b fokusi na x osi su F i (±c, 0), i = 1, 2 gde je c = a 2 b 2 temena su T i (±a, 0), i = 1, 2 centrirana elipsa sa fokusima na y osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a < b fokusi na y osi su F i (0, ±c), i = 1, 2 gde je c = b 2 a 2 temena su T i (0, ±b), i = 1, 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 15 / 22
89 Kanonska jednačina elipse centrirana elipsa sa fokusima na x osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b fokusi na x osi su F i (±c, 0), i = 1, 2 gde je c = a 2 b 2 temena su T i (±a, 0), i = 1, 2 centrirana elipsa sa fokusima na y osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a < b fokusi na y osi su F i (0, ±c), i = 1, 2 gde je c = b 2 a 2 temena su T i (0, ±b), i = 1, 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 15 / 22
90 Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
91 Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
92 Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
93 Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
94 Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
95 Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
96 Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
97 Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
98 Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
99 Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
100 Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
101 Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22
102 Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22
103 Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22
104 Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni
untitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Microsoft Word - 7. cas za studente.doc
VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
Ravno kretanje krutog tela
Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela
Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt
Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b+ c Gde je R, a i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b+ c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
Microsoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
Microsoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
Tehnicko crtanje 2010-pitanja
ПИТАЊА ИЗ ТЕХНИЧКОГ ЦРТАЊА 1. Нацртати трећу прејекцију 2 2. Нацртати трећу прејекцију 2 3. Нацртати трећу прејекцију 2 4. Нацртати сва три изгледа модела приказаног у изометрији 2 5. Нацртати сва три
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
![VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E](/thumbs/102/155964078.jpg "VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E")
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
8. ( )
8. Кинематика тачке (криволиниjско кретање) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити 1. Криволиниjско кретање Преглед
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА ax x c 0 x x D 4ac a ( сви задаци су решени) c D xx x/ a a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реална D Двоструко решење (реална и једнака решења) D=0 Комплексна решења (нису
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
Динамика крутог тела
Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап.
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
RG_V_05_Transformacije 3D
Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli
Geometrija I–smer - deo 4: Krive u ravni
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 4: Krive u ravni Tijana Xukilovi 3. decembar 2018 Konus Neka su i i s dve prave u prostoru koje se seku u taqki T. Kruni konus sa temenom
MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s
MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja
kolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc
NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE NULE FUNKCIJE su mesta gde grafik seče osu a dobijaju se kao rešenja jednačine y= 0 ( to jest f ( ) = 0 ) Mnogi profesori vole da se u okviru ove tačke nadje i presek sa y
Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]](/thumbs/99/142687321.jpg "Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]")
КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje
PowerPoint Presentation
Nedjelja 6 - Lekcija Projiciranje Postupci projiciranja Projiciranje je postupak prikazivanja oblika nekog, u opštem slučaju trodimenzionalnog, predmeta dvodimenzionalnim crtežom. Postupci projiciranja
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
Microsoft Word - TPLJ-januar 2017.doc
Београд, 21. јануар 2017. 1. За дату кружну плочу која је еластично укљештена у кружни прстен и оптерећења према слици одредити максимални напон у кружном прстену. М = 150 knm/m p = 30 kn/m 2 2. За зидни
Romanian Master of Physics 2013 Теоријски задатак 1 (10 поена) Каменобил Фред и Барни су направили аутомобил чији су точкови две идентичне призме са к
Теоријски задатак 1 (1 поена) Каменобил Фред и Барни су направили аутомобил чији су точкови две идентичне призме са квадратном основом (слика 1). Аутомобил се креће по путу који се састоји од идентичних
Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
![СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто](/thumbs/102/155791469.jpg "СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто")
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje 0. (Vladimir Marinkov).nb Kvadratna jednačina. Rešiti jednačine: a x 8 b x 0 c x d x x x e x x x f x 8 x 6 x x 6 rešenje: a) x,, b x,, c x,,d x, 6, e x,, (f) x,.
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
Београд, МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА ЗАДАТАК 1 За носач приказан на слици: а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач
Београд, 30.01.2016. а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач делују само концентрисане силе, б) ако је P = 0.8P cr, и на носач делује расподељено оптерећење f, одредити моменат савијања
Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]
vjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
Geometrija molekula
Geometrija molekula Oblik molekula predstavlja trodimenzionalni raspored atoma u okviru molekula. Geometrija molekula je veoma važan faktor koji određuje fizička i hemijska svojstva nekog jedinjenja, kao
Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr
Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odrediti njene krajeve. b) Odrediti sledeće skupove: -
Proracun strukture letelica - Vežbe 6
University of Belgrade Faculty of Mechanical Engineering Proračun strukture letelica Vežbe 6 15.4.2019. Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu Danilo M. Petrašinović Jelena M. Svorcan Miloš D. Petrašinović
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.
Prvi razred A kategorija Za brojeve a, b, c, x, y i z vaжi {a, b, c} = {x, y, z} = {15, 3, 2014}. Da li broj a bc + x yz mora biti sloжen? (Za m, n, k N je sa m nk oznaqen broj m (nk).) Neka su a, b i
MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 2 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Pozn
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Poznata su opterećenja F 1 = kn, F = 1kN, M 1 = knm, q =
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
Microsoft Word - mat_szerb_kz_1flap.doc
PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA СРЕДЊИ СТЕПЕН I. 45 минута Време за решавање задатака је 45 минута, након његовог истека треба завршити са радом. Редослед решавања задатака је произвољан. Приликом
(Geometrijska i algebarska interpretacija presjeka stoıca i valjka ravninom | math.e)
eometrijska i algebarska interpretacija presjeka stošca i valjka ravninom... Vol 33.2 1 of 11 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Geometrijska i algebarska interpretacija presjeka stošca i
Microsoft Word - 09_Frenetove formule
6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog
{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p
{ Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te
Задатак 4: Центрифугална пумпа познате карактеристике при n = 1450 min -1 пребацује воду из резервоара A и B у резервоар C кроз цевовод приказан на сл
Задатак 4: Центрифугална пумпа познате карактеристике при n = 1450 min -1 пребацује воду из резервоара A и B у резервоар C кроз цевовод приказан на слици. Разлике нивоа у резервоарима износе h = 5 m и
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina
Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1112_szerb.doc
Matematika szerb nyelven középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Формални
PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee
PRVI KOLOKVIJUM 1992. 1. Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t 1. 3. Rexiti sistem
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2015/
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2015/2016. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш
Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g.
Besselove funkcije y(x) = m=0 a m x m+σ, x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0 σ 2 = ν 2 (1 ± 2ν)a 1 = 0; n(n ± 2ν)a n + a n 2 = 0 za n 2. J ν (x) = n=0 Besselove funkcije prve vrste reda ν. ( 1) n ( x ) ν+2n n!γ(ν
Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година
СТЕПЕН појам и особине
СТЕПЕН појам и особине Степен чији је изложилац природан број N R \ 0 изложилац (експонент) основа степен Особине: m m m m : m m : : Примери. 8 4 7 4 5 4 4 5 6 :5 Важно! 5 5 5 5 5 55 5 Основа је број -5
Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena o uže BD, nosi kontinuirano opterećenje, kao što
Pismeni ispit iz MEHNIKE MTERIJL I - grupa 1. Kruta poluga, oslonjena na oprugu i okačena o uže D, nosi kontinuirano opterećenje, kao što je prikazano na slici desno. Odrediti: a) silu i napon u užetu
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobnost vizualizacije dijela prostora i skiciranja dvodimenzionalnih
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc
. C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева. Из скупа {,,,, 0,,, } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.. Запиши
Optimizacija
Optimizacija 1 / 43 2 / 43 Uvod u optimizaciju Zadana funkcija Uvod u optimizaciju f : R n R Cilj: Naći x, točku minimuma funkcije f : - Problem je jednostavno opisati x = arg min x R n f (x). - Rješavanje
MatematikaRS_2.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: drugi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Teme: 1. Trigonometrija trougla (18) 2. Stepeni
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
My_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc
Algebra i funkcije napredni nivo 01. Nenegativna znači da je vrednost izraza pozitivna ili je jednaka 0. ( 1) ( 1)( 1) 0 razlika kvadrata (( x) + x 1+ 1 ) (( x) 1 ) 0 ( + + 1) ( 1) 0 x x+ x x+ x x x +
Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n
4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
Microsoft Word - vodic B - konacna
VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi
Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег
Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили. Немојте
Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)
Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w)
Microsoft Word - Elektrijada_2008.doc
I област. У колу сталне струје са слике познато је: а) када је E, E = и E = укупна снага 3 отпорника је P = W, б) када је E =, E и E = укупна снага отпорника је P = 4 W и 3 в) када је E =, E = и E укупна
2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do
2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do ukljucivo (n + 1) vog reda, n 0; onda za svaku tocku
C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b
C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil
PowerPoint Presentation
Универзитет у Нишу Електронски факултет у Нишу Катедра за теоријску електротехнику ЛАБОРАТОРИЈСКИ ПРАКТИКУМ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ Примена програмског пакета FEMM у електротехници ВЕЖБЕ 3 И 4. Електростатика
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
Теориjска механика приредио Jован Марков контакт: 17. април Физика 2, пролећни семинар, Истраживачка станица Петница
Теориjска механика приредио Jован Марков контакт: jocin.meil@gmail.com 17. април 2019. Физика 2, пролећни семинар, Истраживачка станица Петница 1.1 Генералисане координате Jедан од основних поjмова у класичноj