Algebarska topologija VAN KAMPENOV TEOREM Algebarska topologija VAN KAMPENOV TEOREM 10. Slobodni produkt grupa Slobodni produkt grupa 3 VA

Транскрипт

1 lgbarska topologija 77 lgbarska topologija Slobodni produkt grupa Slobodni produkt grupa 3 VN KMPENOV TEOREM Slobodni produkt grupa Van Kampnov torm Primjna na ćlijsk komplks Žlimo za danu familiju grupa {G α } α konstruirati grupu koja sadrži sv grup G α kao podgrup. Produkt grupa α G α i dirktna suma α G α jsu takv grup. On sadrž G α kao svoj podgrup, ali lmnti iz različitih podgrupa mđusobno komutiraju, bz obzira jsu li sam grup G α komutativn ili n. To n žlimo. Tražimo dakl nkomutativnu vrziju dirktnog produkta grupa. Takav j upravo slobodni produkt grupa *α G α. Dfinicija: Skup *α G α sastoji s od svih rijči oblika g 1 g 2... g m proizvoljn konačn duljin m 0, pri čmu j svako slovo g i G αi, različito od nutralnog lmnta grup G αi, i susjdna slova su iz različitih grupa G α. Takv rijči nazivamo rduciranim rijčima. Množnj s dfinira nadovzivanjm rijči i kraćnjm ako j moguć. Prazna rijč, koja j takođr dozvoljna, j nutralni lmnt. Invrz s dfinira na očit način. Ima posla da s dokaž da s na taj način dobij grupa (vidi [Hatchr]). lgbarska topologija 78 Motivacija lgbarska topologija Slobodni produkt grupa Univrzalno svojstvo slobodnog produkta grupa Van Kampnov torm omogućuj da s odrdi fundamntalna grupa prostora koji s sastoji od dijlova čij fundamntaln grup znamo. Čmu j jdnaka fundamntalna grupa osmic? Iz gomtrijskih j razloga jasno da ć sadržavati b fundamntaln grup obiju kružnica od kojih j sastavljna. Pojavit ć s i izrazi oblika a 5 b 2 a 3 ba 2 i slični, gdj prdznak ksponnta ovisi o smjru obilaska. množnju putva odgovarat ć nadovzivanj takvih izraza, rijči, uz odgovarajuć kraćnj : (b 4 a 5 b 2 a 3 )(a 4 b 1 ab 3 ) = b 4 a 5 b 2 ab 1 ab 3. Prazna rijč bit ć nutralni lmnt, a invrz npr. ovako: (ab 2 a 3 b 4 ) 1 = b 4 a 3 b 2 a 1. I konačno, ta grupa možda nij komutativna. To j grupa Z * Z, slobodna grupa s dva gnratora spcijalan slučaj konstrukcij koju ćmo sada opisati. a Slobodni produkt *α G α sadrži svaku grupu G α kao podgrupu: rijči od jdnog slova, a prazna rijč s idntificira s nutralnim lmntom grup G α. Osnovno, tzv. univrzalno svojstvo slobodnog produkta grupa j da s svaka familija homomorfizama φ α : G α H mož na jdinstvn način proširiti do homomorfizma φ: *α G α H, i to formulom φ(g 1... g m ) := φ α1 (g 1 ) φ αm (g m ), gdj s na dsnoj strani radi o produktu u grupi H.

2 lgbarska topologija 81 Van Kampnov torm obrazložnj i oznak Nka j X = α α pri čmu su svi α putvima povzani i sadrž baznu točku x 0. Prma univrzalnom svojstvu slobodnog produkta, homomorfizmi j α : π 1 ( α ) π 1 (X) inducirani inkluzijama α X, imaju proširnj Φ: *α π 1( α ) π 1 (X). Van Kampnov torm kaž da ć Φ čsto biti pimorfizam, ali prirodno j očkivati da ć jzgra biti ntrivijalna. Naim, nka j i αβ : π 1 ( α β ) π 1 ( α ) homomorfizam induciran inkluzijom α β α, onda j j α i αβ = j β i βα jr su obj kompozicij zapravo induciran inkluzijom α β X. Stoga jzgra od Φ mora sadržavati lmnt oblika i αβ (ω) i βα (ω) 1 za ω π 1 ( α β ). π 1( β ) i βα j β π 1( α β ) *α π1(α) Φ 3 π1(x) π 1( α) i αβ j α lgbarska topologija 83 Van Kampnov torm i univrzalno svojstvo Spcijalno, kada j X = 1 2 pri čmu su 1, 2 i 0 := 1 2 putvima povzani, onda j π 1 (X) = π 1 ( 1 ) * π 1 ( 2 )/N, gdj j N normalna podgrupa gnrirana svim lmntima oblika i 1 (ω) i 2 (ω) 1 za ω π 1 ( 1 2 ). i π 1( 0) 2 π 1( 2) Točnij, dsni dijagram, u kojmu su svi homomorfizmi inducirani inkluzijama, j kokartzijv i 1 push-out j 2 kvadrat, ili push-out dijagram. π 1( 1) π 1(X) Dakl, funktor π 1 prvodi push-out dijagram j 1 inkluzija u topološkoj katgoriji u push-out dijagram u katgoriji grupa. 0 = X π 1( 0) π 1( 2) π 1 i 1 j 2 π 1( 1) π 1(X) i 2 j 1 lgbarska topologija 82 Van Kampnov torm iskaz torma Torm 11.1 (van Kampn) Nka j X unija otvornih, putvima povzanih potprostora α koji svi sadrž baznu točku x 0. ko su svi prsjci α β putvima povzani, onda j Φ: *α π 1( α ) π 1 (X) pimorfizam. ko su osim toga i svi prsjci α β γ putvima povzani, onda j jzgra od Φ jdnaka normalnoj podgrupi N koja j gnrirana svim lmntima oblika i αβ (ω) i βα (ω) 1, ω π 1 ( α β ), pa Φ inducira izomorfizam π 1 (X) = ( *α π 1( α ) ) /N. Primjr: Fundamntalna grupa jdnotočkovn unij π 1 ( α X α) = *α π 1(X α ). (ako * X α imaju HEP) Spcijalno, π 1 ( α S1 α) j slobodni produkt Z-ova, po jdan za svaku kružnicu S 1 α. Općnito, fundamntalna grupa svakog povzanog grafa j slobodna grupa. lgbarska topologija 84 O dokazu van Kampnova torma Surjktivnost: Trba proizvoljnu ptlju u X prikazati kao produkt malih ptlji od kojih j svaka u nkom α (konačno mnogo njih). α f 2 Injktivnost j osjtno složnija za dokazati. Dtalj vidi u [Hatchr]. g 1 g 2 x 0 f 1 f 3 β

3 lgbarska topologija 85 Primjn van Kampnova torma na (n)ulančan kružnic Pogldajmo primjr iz uvoda (Booromovi prstni) 1. Odrdimo fundamntalnu grupu komplmnta kružnic. R 3 s dformacijski rtraktira na S 2 S 1. Lakš j vizualizirati dformacijsku rtrakciju od R 3 na uniju sfr S 2 i jdnog dijamtra ( napumpa s ), pa onda vidjti kako s mijnja ta dformacija kada krajnj točk dijamtra približimo. Stoga j π 1 (R 3 ) = π 1 (S 2 S 1 ) = Z jr j π 1 (S 2 ) = Slično s vidi da s komplmnt R 3 ( B) dviju nulančanih kružnica dformacijski rtraktira na S 2 S 1 S 2 S 1, pa j π 1 (R 3 ( B)) = Z*Z. 3. Kada su kružnic i B ulančan, onda s komplmnt R 3 ( B) dformacijski rtraktira na wdg sfr S 2 i torusa S 1 S 1 koji razdvaja i B, pa j π 1 (R 3 ( B)) = π 1 (S 2 (S 1 S 1 )) = Z Z. B lgbarska topologija 86 Torus s rupom Evo još dva prikaza dformacij torusa kojm j izvađn disk: lgbarska topologija 86 Fundamntalna grupa torusa pomoću van Kampnova torma Kao ilustraciju jdn malo složnij primjn van Kampnova torma, odrdimo ponovno fundamntalnu grupu torusa (koju otprij znamo jr j torus produkt dviju kružnica). = = = = lgbarska topologija 87 Fundamntalna grupa havajsk naušnic Havajska naušnica j potprostor H R 2 kojg čin kružnic C n radijusa 1 n sa srdištima u točkama ( 1 n, 0), n N. To nij wdg od prbrojivo mnogo kružnica! Rtrakcij r n : H C n koj sv osim kružnic C n stgnu u baznu točku (0, 0), induciraju pimorfizm ρ n : π 1 (H) π 1 (C n ). Njihov produkt ρ: π 1 (H) Z u dirktni produkt (n dirktnu sumu!) j surjktivan (obrazloži!). Kako j Z nprbrojiva grupa (za razliku od Z koja j prbrojiva), grupa π 1(H) j nprbrojiva. S drug stran, grupa π 1 ( S1 ) j prbrojivo gnrirana, pa j prbrojiva. Zapravo, fundamntalna grupa havajsk naušnic j vrlo komplicirana. Nij prbrojivo gnrirana i nij komutativna, jr npr. rtrakcija na C 1 C n koja sv kružnic koj su manj od C n stgn u točku, inducira pimorfizam grup π 1 (H) na slobodnu grupu s n gnratora. Ta j grupa zanimljiva i topolozima i algbraičarima, i o njoj u litraturi ima dosta radova.

4 lgbarska topologija 88 Primjna na ćlijsk komplks Kako na π 1 utjč dodavanj 2-ćlija? (Dodavanj ćlija dimnzij 3 n utjč na π 1.) Nka j X putvima povzan a Y = X α 2 α nka j dobivn dodavanjm familij 2-ćlija 2 α pomoću prslikavanja φ α : S 1 X. Prslikavanja φ α su ptlj u X baziran u točkama φ α (s 0 ), gdj j s 0 bazna točka od S 1. Nka j x 0 X bazna točka, i za svaki α nka j γ α put u X od x 0 do φ α (s 0 ). Tada j γ α φ α γ α ptlja u X iz bazn točk x 0. Ta ptlja možda nij nulhomotopna u X, ali postaj nulhomotopna dodavanjm 2-ćlij 2 α, dakl u Y j nulhomotopna. Stoga, normalna podgrupa N gnrirana svim ptljama γ α φ α γ α lži u jzgri homomorfizma π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, x 0 ) induciranog inkluzijom X Y. Sljdća propozicija kaž da j ta podgrupa upravo jdnaka jzgri. Točnij, vrijdi: lgbarska topologija 90 Odrđivanj podgrup N X x 0 γ α S α y α 2 α Dakl, trba vidjti da j grupa π 1 ( B) gnrirana ptljama γ α φ α γ α, točnij ptljama u B koj su ovima homotopn. Opt ćmo primijniti van Kampnov torm tako da B pokrijmo otvornim skupovima α := ( B) β α 2 β (to su sv trak zajdno s po jdnom probušnom 2-ćlijom). Kako s α dformacijski rtraktira na kružnicu u 2 α {y α }, to j π 1 ( α ) = Z, s gnratorom koji j ptlja homotopna s γ α φ α γ α. φ α lgbarska topologija 89 Ubijanj fundamntaln grup Propozicija 12.1 Inkluzija X Y inducira pimorfizam π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, x 0 ) čija j jzgra jdnaka podgrupi N, pa j π 1 (Y ) = π 1 (X)/N. Dokaz: Nadogradit ćmo Y do prostora Z tako da dodamo trak S α = I I y α duž putva γ α i sgmntića u ćlijama α. 2 X Y j dformacijski rtrakt S α od Z, pa j dovoljno odrditi π 1 (Z). x 0 γ α φ α U svakoj ćliji α 2 odabrimo točku y α koja nij na sgmntiću. Nka j := Z α {y α} i B := Z X. π 1 (B) = 0 jr j B kontraktibilan, a X j dformacijski rtrakt od, pa j, prma van Kampnu, π 1 (Z) kvocijnt od π 1 () po normalnoj podgrupi N koju gnrira slika inkluzijom induciranog homomorfizma π 1 ( B) π 1 (). 2 α lgbarska topologija mski smstar 2005/ Primjna: fundamntalna grupa ploha orijntabilnih ploha Vidjli smo da orijntabilna ploha c d d M g roda (gnusa) g ima ćlijsku c d strukturu koja s sastoji od jdn b f 2-ćlij, 2g 1-ćlija i jdn 0-ćlij. 1-sklt j wdg od 2g kružnica, a f f a b pa mu j π 1 slobodna grupa s 2g kružnica, pa mu j π 1 slobodna grupa s 2g gnratora. 2-ćlija j nalijpljna po produktu komutatora parova susjdnih gnratora. Dakl, π 1 (M g ) = a 1, b 1,..., a g, b g [a 1, b 1 ] [a g, b g ] gdj j g α r β, ili g α : r β, uobičajna oznaka za przntaciju grup s gnratorima g α i rlatorima r β, tj. kvocijnt slobodn grup s gnratorima g α, po normalnoj podgrupi gnriranoj rijčima r β. Korolar 12.2 Za g g ploh M g i M g nisu niti istog homotopskog tipa. Dokaz: blizacij fundamntalnih grupa su 2g Z odnosno 2g Z. c a b

5 lgbarska topologija 92 Primjna: gomtrijska ralizacija grupa Korolar 12.3 Za svaku grupu G postoji 2-dimnzionalan CW komplks X G za koji j π 1 (X G ) = G. Dokaz: Odabrimo przntaciju G = g α r β, i nka j X G dobivn tako da wdgu kružnica α S1 α nalijpimo 2-ćlij 2 β kako odrđuju rijči r β. Primjr: Za grupu G = Z n = a a n prostor X G dobij s lijpljnjm 2-ćlij na kružnicu tako da rub 2-ćlij namotamo n puta na kružnicu. Za n = 2 dobijmo projktivnu ravninu RP 2, pa j π 1 (RP 2 ) = Z 2. Za n > 2 prostor X G nij mnogostrukost. Na slici j prikazano kako izglda okolina kružnic na koju j nalijpljna 2-ćlija za slučaj n = 3.