Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

Транскрипт

1 MATRICE ZADACI ( III DEO) SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI MATRICE Postupak tražeja sopstveih vredosti je sledeći: i) Za datu kvadratu matricu ( recimo matricu A) odredimo matricu A λi, gde je I jediiča matrica. Zači, u datoj matrici po glavoj dijagoali oduzmemo λ. Ova matrica A λi se aziva karakterističa matrica. ii) Tražimo vredost determiate karakterističe matrice: det( A λi ). Dobićemo poliom po λ. Taj poliom se obeležava sa PA ( λ ) i aziva se karakterističi poliom matrice A. iii) Dobijei poliom izjedačimo sa ulom: PA ( λ ). Ovo je karakterističa jedačia matrice A. Rešeja ove jedačie su λ, λ, λ,... ( zaviso kog je karakterističa jedačia stepea, toliko će imati i rešeja...) i azivaju se sopstvee (karakterističe) vredosti matrice A. Skup svih sopstveih vredosti matrice A azivamo spektar matrice A i obeležavamo ga sa Sp ( A ). Primer. Odrediti sopstvee vredosti za matrice: a) 4 b) Rešeje: a) 4 Najpre formiramo matricu A λi, gde je I, jediiča matrica drugog reda. 4 4 λ 4λ A λi λ λ λ Dalje tražimo determiatu ove matrice: 4λ A λi λ λ λ λ λ λ det( ) (4 )( ) λ λ λ det( A I) 6 + 9

2 Dobili smo karakterističi poliom: P λ λ λ A( ) λ λ λ λ 6 + 9, Rešavajem karakterističe jedačie smo dobili sopstvee vredosti: λ, λ. Vidimo da je ovde u pitaju dvostruka vredost ( ula drugog reda), jer su rešeja jedaka. b) λ A λi λ λ λ λ A λi λ λ λ det( A λi) λ λ λ λ λ ( λ) ( ) + λ λ λ ( λ) [( λ)( λ) ] + [( λ) + 6] λ λ+ λ+ λ λ+ ( ) [ ] 6 λ λ λ λ+ ( ) [ 5] λ λ λ λ λ λ + + λ λ λ λ ( λ ) + ( λ ) λ λ λ λ + λ ( )( ) ( )( )( ) Kad ovo izjedačimo sa ulom dobijamo tri različite sopstvee vredosti: ( λ )( λ)( + λ) λ λ + λ λ, λ, λ Spektar matrice A je dakle: Sp ( A ) {,, }

3 Postupak tražeja sopstveih vektora je sledeći: i) Proadjemo sve sopstvee vredosti, to jest spektar matrice A ii) Za svaku sopstveu vredost posebo radimo sledeće: - λ zameimo u karakterističu matricu A λi - dobijea matrica je ustvari matrica homogeog sistema koji će uvek biti eodreñe, odoso imaće beskoačo mogo rešeja. Nañemo ta rešeja koja am ustvari daju taj sopstvei vektor. Malo je zezuta situacija kad su ule karakterističog polioma dvostruke ili trostruke, pa ćemo mi a sledećem primeru pokušati da vam objasimo sve tri situacije ( aravo ako govorimo o matrici ). Primer. Odrediti sopstvee vektore sledećih matrica: a) b) v) g) A

4 Rešeje: a) A Dakle, ajpre tražimo sopstvee vredosti: λ A λi λ λ A λi λ λ+ λ λ λ λ det( ) ( ) P λ λ A( ) λ λ λ λ λ, Dobili smo dve različite sopstvee vredosti, sad ih vraćamo u karakterističu matricu: λ A λi Odavde pravimo homoge sistem i rešimo ga: x+ y x+ y x+ y yx ( x, y) ( x, x) x R E sad, svaki profesor ima svoja obeležavaja... Vi aravo radite kako vaš profesor zahteva, a mi smo aučili da sopstvee vektore izražavamo preko grčkog alfabeta... x ( α, α) α(, ) evo prvog sopstveog vektora. Vraćamo i drugu sopstveu vredost u karakterističu matricu: λ A λi Pravimo homoge sistem: 4

5 x+ y x y x y ( x, y) ( x, x) x R Odavde je drugi sopstvei vektor: x ( β, β ) β (,) b) 5 λ A λi 5 λ λ λ det( A λi ) 5λ λ λ λ 5λ 5 λ ( λ)(5 λ)( λ) + + ( λ) ( λ) 9(5 λ) λ λ 7λ 6 + Dobili smo karakterističu jedačiu: P λ λ λ A( ) λ 7λ + 6 Evo malog problema... Karakterističa jedačia je trećeg stepea, jee ule ćemo aći tako što posmatramo sloboda čla, dakle 6 i brojeve sa kojima o može da se podeli: ±, ±, ±,... Redom ih mejamo u karakterističu jedačiu dok e dobijemo ulu. ( podsetite se Bezuove teoreme). Kod as je to : ( ) 7( ) λ Sad ceo karakterističi poliom delimo sa ( λ+ ). Podsetite se deljeja polioma. Imate kod as a sajtu, fajl I godia. 5

6 ( λ 7λ + 6) : ( λ+ ) λ 9λ+ 8 ± λ ± λ λ λ 9 8 λ 8λ+ 6 ± 8λ± , λ λ λ λ S ( ) {,,6} p A Imamo tri različite sopstvee vredosti, pa za svaku posebo: za λ ( ) A ( ) I 5 ( ) 7 ( ) x+ y+ z x+ 7y+ z x+ y+ z x+ y+ z x+ 7y+ z... / x+ y+ z x+ y+ z y x+ z zx ( x, y, z) ( x,, x) x R x ( α,, α ) α(,, ) za λ A I 5 IvrstaiII vrstazameemesta Ivrsta + IIvrsta IIvrsta 5 5 IIvrsta+ I Ivrsta ( ) + IIIvrsta IIIvrsta IIvrsta IIIvrsta

7 Kao što vidite, moramo da zamo i rad sa matricama da bi lakše rešili dobijei homogei sistem. Iz 5 5 apravimo sistem: x+ y+ z 5y+ 5z yz x+ y+ z x z+ z x z ( x, y, z) ( z, z, z) z R x ( β, β, β ) β (,,) za λ A 6I 5 6 IvrstaiII vrstazameemesta Ivrsta 5+ IIvrsta IIvrsta 4 8 IIvrst Ivrsta ( ) + IIIvrsta IIIvrsta a+ IIIvrsta IIIvrsta x y+ z 4y+ 8z y z x y+ z x z+ z x z ( x, y, z) ( z, z, z) x ( γ, γ, γ ) γ (,,) v) 4 λ λ A λi 4 λ det( A λi) 4λ λ λ 7

8 λ λ λ λ λ λ + + λ λ λ 4 4 ( ) (4 ) 4 4 4( ) 4( ) (4 ) λ λ λ λ λ λ λ ( + )(4 ) λ λ+ λ + λ λ + λ λ λ λ λ + 6 (6 ) λ λ λ λ λ (6 ), 6 Sad imamo da je ula dvostruka sopstvea vredost: za λ A I 4 4 x+ y+ z x+ 4y+ z x+ y+ z x+ y+ z xyz ( x, y, z) ( αβ, α, β ) gde je α, β R Ako uzmemo da je β ( α β, α, β ) ( α, α,) α(,,) Ako uzmemo da je α ( α β, α, β ) ( β,, β ) β (,,) ( α β, α, β ) α(,,) + β (,,) x (,, ) x (,,) za λ A 6I 4 6 Ivrsta IIIvrsta IIvrsta+ Ivrsta ( ) IIvrsta 6 IIIvrsta+ IIvrsta I IIIvrsta+ Ivrsta 5 IIIvrsta IIvrsta 6 4 x+ y 5z 6y+ z y z x+ y 5z x+ z 5z x z ( x, y, z) ( z, z, z) z R x ( γ, γ, γ ) γ (,,) 8

9 g) 5 6 5λ 6 5λ 6 A λi λ λ λ λ 5λ 6 det( A λi) λ λ 5λ 6 5λ 6 λ λ λ(5 λ)( λ) ( λ) (5 λ) λ λ λ(5 5 λ λ+ λ ) λ + λ λ + + 5λ 6λ λ 8 7 λ + λ 6λ 5λ+ 8 ( λ) ( λ) λ Evo situacije gde imamo trostruku sopstveu vredost: λ A I x+ 6y z x y+ z x+ y z x+ y z z x+ y ( x, y, z) ( x, y, x+ y); x, y R ( α, β, α+ β ) α ( α, β, α+ β ) (, β, β ) β (,,) β ( α, β, α+ β ) ( α,, α) α(,, ) x ( α, β, α+ β ) α(,,) + β (,, ) x (,,) x (,, ) x (,,) za recimo α β 9

10 I još am ostaje da pokušamo da vam objasimo kako se traži matrica U fajlu matrice zadaci (I deo) smo tražili matricu A uz pomoć sopstveih vektora. A a dva ačia: logički i to dokazivali matematičkom idukcijom i preko biome formule. Videli smo da a ova dva ačia radimo kad su u pitaju specifiče matrice. Rad sa sopstveim vektorima zahteva mogo posla... Primer. Data je matrica 5. Izračuati A, gde je N Kao što rekosmo, prvo treba aći sopstvee vredosti i sopstvee vektore. λ A λi 5 λ λ λ det( A λi) 5λ λ λ 5 λ posle sredjivaja ( λ+ )( λ)( λ 6) λ ( λ+ )( λ)( λ 6) λ, λ, λ 6 za λ + 7 A ( ) I 5 7 Ivrsta IIvrsta IIvrsta+ Ivrsta ( ) IIvrsta IIIvrsta Ivrsta ( ) IIIvrsta + x+ 7y+ z y y x+ 7y+ z x+ z zx ( x, y, z) ( x,, x), x R x ( α,, α) α(,, ) za α je x (,, )

11 za λ A I 5 Ivrsta IIvrsta IIvrsta+ Ivrsta IIvrsta 5 5 IIIvrsta+ IIvrsta IIIvr IIIvrsta+ Ivrsta ( ) IIIvrsta sta x+ y+ z 5y+ 5z y+ z yz x+ y+ z x z+ z x z ( x, y, z) ( z, z, z) z R x ( β, β, β ) β (,,) za β je x (,,) za λ A 6I 5 6 Ivrsta IIvrsta IIvrsta+ Ivrsta 5 IIvrsta 4 8 IIIvrsta+ IIvrsta II IIIvrsta+ Ivrsta ( ) IIIvrsta Ivrsta x y+ z 4y+ 8z y z x y+ z x z+ z x z ( x, y, z) ( z, z, z) z R x ( γ, γ, γ ) γ (,,) za γ je x (,,) Našli smo sopstvee vektore, i izabrali proizvolje vredosti za α, β i γ. Najčešće se uzima jediica ali može i eki drugi broj. Formiramo matricu S tako što sopstvee vektore aredjamo po koloama: S

12 Šta je ovde ideja? Pravimo dijagoalu matricu D:, ako je kvadriramo, dobijamo: D S A S D S A S D ( S A S) ( S A S)( S A S) S A S S A S D S A S Dalje bi bilo: D D D S A S S A S D S A S Zaključujemo da je : D S A S Odavde će biti: D S A S S D S S A S S D A S S D S A S S S D S A A S D S možimo sa leva sa S možimo sa desa sa S Pa da kreemo polako a posao: S adjs dets S dets 6

13 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S 6 6 Da adjemo matricu D: D S A S D D D D 6

14 Jaso je da važi: Rekosmo da je : ( ) D D 6 6 A S D S A A A ( ) 6 6 ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) I evo je tražea matrica A. Još jedom vam apomijemo da će vaš profesor verovato imati druga obeležavaja, pa vi ispoštujte jega a mi se adamo da smo vam približili postupak. 4