Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc

Транскрипт

1 Algebra i funkcije napredni nivo 01. Nenegativna znači da je vrednost izraza pozitivna ili je jednaka 0. ( 1) ( 1)( 1) 0 razlika kvadrata (( x) + x 1+ 1 ) (( x) 1 ) 0 ( + + 1) ( 1) 0 x x+ x x+ x x x + x+ 1 x 1 0 x+ 0 x x x 1 + Od nas se ne traži da prikažemo rešenje na brojevnoj pravoj, al će u srednjoj školi da traže, pa zato: 1 x [, ) Za 1 x ( ili možete napisati 1 x [, ) ) razlika datih izraza je nenegativna. 1

2 Neka su to brojevi x i y. x+ y= y.../ *1 x+ y= 8 y x+ y= 8... / * x y= 0 x+ y =+ 8 x y = x+ y= 8 1+ y= 8 y= 16 Prvi broj je 1 a drugi broj je 16. Obeležimo sa: x je broj godina koje sada ima ðorñe y je broj godina koje sada ima Lazar Pre deset godina ðorñe je bio pet puta stariji od Lazara. Pre deset godina oni su imali x 10 i y 10 godina. 5*(y-10) = x- 10 je jednačina koju saznajemo iz ove rečenice. ðorñe je sada tri puta stariji od Lazara. Ovde je jednačina y=x Sad radimo kao sistem:

3 5( y 10) = x 10 y= x 5y 50= x 10 y 5y y 5y 0 y 5y y= 0 y= 0 y= 0 y 0 60 ðorñe sada ima 60 godina. x 1 x < (*1 (* (* x 1 x <... / * 1 1(x ) (1 x) < 1 x + x< 1 x+ x< x< x< x< 7 7 Ovde nam traže samo prirodne brojeve koji su rešenja nejednačine. ( N= {1,,,,5,6,7..} je skup prirodnih brojeva ) pa je rešenje x {1,} ( Pazi, sad moramo pisati skupovne zagrade!) Za x {1, } razlika datih izraza je manja od.

4 6 x > (* (*1 (* 6 x > (6 x) > 1.../ * 1 6+ x> 1 x> x> 6 x> x> Treba dakle zaokružiti odgovor pod б)

5 = = = = 7 7 Treba zaokružiti v) = x x x 1 x x ( ) 5 11 x x : x 10 = : x 10 = x : x = x : x = x Kako je ( 5) = 5 dobijamo: x = 5 = 65 5

6 = 9 6 0,6 = ( 6) 0,6,6 =,6 Vrednost izraza je -,6. n Za prvi deo izraza primenjujemo pravila n n n a a n a b = ( a b) i = ( ), n b b to jest prva tričlana stavimo pod istu zagradu pa sve na 7. 7 : ( ) = : ( ( ) = = 1+ = ) = Vrednost izraza je. 6

7 a) 10, =, =, b) v) 1000= 0 = 0 0,10 = 0, = 0, Ovo jeste sistem jednačina, ali postupak za njegovo rešavanje se radi tek u II razredu srednje škole. Zato ćemo mi ovde da upotrebimo malo trikče, a vi ga zapamtite. Poći ćemo od formule za kvadrat binoma: ( a+ b) = a + ab+ b odavde izrazimo a + b a + b = ( a+ b) ab Sad zamenimo zadate vrednosti: 1 a + b = 5 1 a + b = 5 1 a + b = 7

8 ( a ) ( a 1)( a ) a(1 a) = ( a 6a 9) ( a a a ) a(1 a) = = a a a a a a a a a (x 5 y) [( x) ( y) ] + + = ( x) x 5 y (5 y) [9x 16 y ] = x + 0xy+ 5y 9x 16y = 5x + 0xy+ 9y ( a 1)(a+ 1) ( a 6)( a+ 6) = razlika kvadrata + = a a a 1 ( a 6 ) a + a a a + = a a Tačan odgovor je a) 8

9 a) b) v) g) 7 = 9 9= 0 (7 ) = = = 9+ 9= 58 (7+ ) = 10 = 100 Tražimo funkciju y = kx+n, gde trebamo da nadjemo k i n. Iz grafika y= x+ 99 k = Znamo da su grafici paralelni ako imaju isto k. Jedan posao gotov. Tačka A( -,8) pripada grafiku, pa ćemo njene koordinate zameniti umesto x i y u pravoj! y= x+ n 8= ( ) + n 8= 6+ n n= Funkcija je: y= x+ 9

10 Pazite ovde, ne pišemo 5 učenika...10 dana. Prošla su dva dana, a to znači da bi tih 5 učenika radilo još 8 dana. Dakle prvi red u postavci zadatka je: Došla su još učenika, pa ih sad ima 8, pa je : 5 učenika...8 dana 8 učenika...x dana 5 učenika 8 dana 8 učenika x dana x : 8 = 5 : 8 8x = 0 x = 5 dana Znači, celokupan rad bi bio završen za +5 = 7 dana. Farbanje ograde učenici će završiti za 7 dana. 1,75 h 1,5 h 60 km/h x km/h x : 60= 1,75:1,5 1,5x = 60 1, ,75 1,5 70 km / h Automobil treba da ide brzinom od 70 km / h. 10

11 9 drugara dana (9+x) drugara dana (9 + x) : 9= : (9 + x) = Bazen će biti očišćen za dana ako im pomognu još druga. Za funkciju y = - x + je : k = -1, to znači da je grafik opadajući, pa odmah odbacujemo grafike pod a) i b). n =, što znači da grafik seče y osu u tački ( 0,), a to je na grafiku pod v). Zaokružimo v). 11

12 Obeležimo sa: x je cena video igrice y je cena filma Iz prve rečenice formiramo jednačinu: x + y = 600 Iz druge rečenice imamo x = 6y. Napravimo sistem: x+ y= 600 6y 6y+ y= 600 6y 18y+ y= 600 6y 600 0y= 600 y= y= 10din 0 6y din Igrica košta 1860 dinara, film 10 dinara. 1

13 Trećenci: Za 1 minut predju rastojanje : 80 koraka puta 60 cm = 80*60 = 800cm. Za 9 minuta su prešli 800*9 = 00cm Šestenci: Za 1 minut predju rastojanje : 100 koraka puta 75 cm = 100*75= 7500cm. Obeležimo sa x vreme u minutima za koje šestenci stižu trećence. Jednačina je : x 7500x minuta Druga grupa gorana će se pridružiti prvoj za 16 minuta. 1

14 Obeležimo sa x broj putnika koji su izašli Kod mosta 5 (5-x)+=56-x (56-x)- 56-x +=5 Kod mosta 56 x (56 x) + = 5 56 x (56 x) = 5 56 x (56 x) =.../ * (56 x) (56 x) = x x Izašlo je putnika na stanici Kod mosta. 1

15 x y= y x+ = 1... / * x y = x+ y = 6 6 = x y= y= y= y= 1 Sada je: x + y =? 9 ( 1) = + = + = Zaokružujemo odgovor pod б) 15

16 Obeležimo sa: x broj pisama y broj razglednica Onda je x+y = 9 Marke za pisma- 10dinara Marke za razglednice 15 dinara Onda je 10x+15y=110 Rešavamo sistem: x+ y= 9... / *( 10) 10x+ 15y= x 10y= 90 10x + 15y= 110 5y= 0 y= x+ y= 9 x+ = 9 5 Nadja je poslala 5 pisama i razglednice. 16