Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Транскрипт

1 Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan β : x y z =, a zatim odrediti jednaqinu ravni α koja sadri pravu p i normalna je na ravan β Deta no ispitati funkciju f(x) = xe x i skicirati en grafik 4 Izraqunati e ln (x + )dx MATEMATIKA { septembar 5godine Odrediti graniqnu vrednost lim x + x + 5x x Oderediti jednaqinu ravni α koja sadri pravu p : z 5 = = y Deta no ispitati funkciju f(x) = arctg ( + x) i skicirati en grafik 4 Izraqunati e ln xdx = z i normalna je na ravan β : 4 x + y MATEMATIKA { septembar 5godine Odrediti realni deo, imaginarni deo, moduo i argument kompleksnog broja z = +i i Data je ravan α : y +z = i prave p : x 7 = y = z 4 i q : x+8 = y+9 = z 4 Ako je taqka A presek prave p i ravni α,taqka B presek prave q i ravni α, taqka C presek pravih p i q i taqka D(6,, ), odrediti zapreminu tetraedra ABCD Deta no ispitati funkciju f(x) = x e x i skicirati en grafik 4 Odrediti povrxinu ograniqenu krivama x = y i x + y = 4 MATEMATIKA { jul 5godine Odrediti iu, direktrisu i teme parabole y = (x + ) Skicirati! Izraqunati lim a n, a zatim ispitati konvergenciju reda + a n ako je: n + n= ( ) (a) a n = n e n (b) a n = ( ) n+ ( n n ) Data je funkcija f(x) = x+ x a) Deta no ispitati funkciju f(x) i skicirati en grafik b) Predstaviti funkciju f(x) Tejlorovim polinomom stepena u okolini taqke x = c) Izraqunati zapreminu tela dobijenog rotacijom krive y = f(x), x [, ] oko x-ose MATEMATIKA { jun 5godine

2 ( Predstaviti kompleksan broj u Ojlerovom zapisu z = i +i Odrediti jednaqinu ravni α koja je normalna na ravan β : x y + 5z = i sadri pravu p : x+ = y = z+ a zatim odrediti parametarsku jednaqinu prave q = α β Deta no ispitati funkciju f(x) = x ln x ) 5 i skicirati en grafik 4 Izraqunati vrednost odreenog integrala π x sin x dx, MATEMATIKA { februar 5godine Rexiti jednaqinu z 5 + +i 5 Nai graniqnu vrednost funkcija: a) lim ( x + x + 5x + x ) x e b) lim x x sin x 5 Napisati jednaqinu prave n koja sadri taqku A(,, ) i normalna je na ravan α : x + y 5z + 7 = ( 4 Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergeciju reda ( ) n + cos ) n 5 Ispitati neprekidnost funkcije f(x) = n= e x +x, x (, + sin πx, x [, ] ln ( x + e ), x (, ] x 4x+4 +, u taqkama x =, x =, i x = Odrediti tip prekida x (, + ) 6 Deta no ispitati funkciju f(x) = e x x i skicirati en grafik 7 Izraqunati integral dx x +8 8 Odrediti zapreminu tela nastalog rotacijom krive x = y +, x + y = oko y-ose ) MATEMATIKA { januar 5 godine Odrediti Re z, Im z, z i z ako je (a) z = e π( i )i 6 (b) z = i+ i 5, x+ Date su prava p : = y = z i ravan α : x y + z = Odrediti taqku prodora M prave p kroz ravan α, a zatim odrediti ravan β koja sadri taqu M i normalna je na pravu p Koliki ugao zaklapaju ravni α i β? Nai poluose, ie, ekscentricitet i asimptote hiperbole (x ) 4(y + ) = ( ) n(n ) n 4 Ispitati konvergeciju reda n + n= 5 Odrediti konstantu a tako da funkcija f(x) bude neprekidna u x = { ln( + x x) x < ; f(x) = e sin(ln(x4 +a)), x Predstaviti funkciju f(x) Tejlorovim polinomom stepena u okolini taqke x = 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x 7 Izraqunati (x + ) ln x dx 8 Izraqunati povrixinu figure ograniqene krivama y = x +, y = (x + ) 4 ln x

3 Matematika - drugi kolokvijum 55 Odrediti konstantu a tako da funkcija f(x) bude neprekidna u x = f(x) = { ln( + x x) x < ; e cos(ln(x4 +a)), x Predstaviti funkciju f(x) Tejlorovim polinomom stepena u okolini taqke x = Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x Izraqunati (x + 4) ln x dx 4 Izraqunati povrixinu figure ograniqene krivama y = x +, y = (x + ) 4 ln x Matematika - prvi kolokvijum 4godine Odrediti Re z, Im z, z i z ako je (a) z = e π( i 5)i (b) z = i+5 i, Matematiqkom indukcijom pokazati da za svako n N vai n! n n x+ Date su prava p : = y = z i ravan α : x y + z = Odrediti taqku prodora M prave p kroz ravan α, a zatim odrediti ravan β koja sadri taqu M i normalna je na pravu p Koliki ugao zaklapaju ravni α i β? 4 Nai poluose, ie, ekscentricitet i asimptote hiperbole 9(x ) (y + ) = 5 Neka je a n = sin(/n) n, n N Odrediti lim a n Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergeciju reda n ( ) n a n n= MATEMATIKA { oktobar, 4godine Neka je a n = ( n+ ) n n, n N Izraqunati lim a n Da li red a n konvergira i zaxto? n n= Napisati jednaqinu hiperbole qije su asimptote prave p : y = x i q : y = x, a prava t : 6x 5y + 8 = je ena tangenta Odrediti asimptote funkcije f(x) = x e x 4 Parcijalnom integracijom izraqunati x cos(ln x) dx MATEMATIKA { septembar, 4godine Ispitati monotonost niza a n = n n Napisati jednaqinu ravni α koja sadri taqku A(,, 4) i normalna je na pravu n : y z 5 =, x + y + 7 = Nai intervale zakriv enosti i prevojne taqke funkcije f(x) = x x 4 Osenqiti i izraqunati povrxinu ravnog lika ograniqenog krivama x + y =, y = i 4y = 4 x MATEMATIKA { septembar, 4godine Rexiti jednaqinu z 5 = ( + i)

4 Odrediti graniqne vrednosti: (a) lim n ( n ) n ( n, (b) lim x + x ) x + Odrediti vrednost konstante A tako da funkcija f(x) bude neprekidna u taqki x = +, x > +e x f(x) = A, x = tg x x, x < 4 Izraqunati t + t 7 (t )(t + 4) dt MATEMATIKA { septembar, 4godine Ispitati konvergenciju reda n= Date su prave a : x = y+ = z 5 i b : x+ preseqne taqke od ravni γ : x y z 8 = (n )n(n + )(n + ) = y+4 = z 7 Odrediti izvod (po x) parametarski zadate funkcije x = 6t + sin t, y = 4 sin t 4 Data je funkcija f(x) = x 5x +4x 6 4x (a) Odrediti asimptote grafika funkcije f(x) Dokazati da se prave a i b seku Odrediti rastoja e (b) Odrediti lokalne ekstemume funcije f(x) i intervale na kojima funkcija raste odnosno opada MATEMATIKA { jul 4godine Nai graniqnu vrednost funkcija: a) lim x ( + x + x + x ) b) lim ( x sin x e x ) Nai jednaqine tangenti na parabolu y = x u preseqnim taqkama sa pravom p : x y + = Izraqunati izvod implicitno zadate funkcije x + y 4 = 4 Izraqunati integral x + x 4 dx MATEMATIKA { jun 4godine Rexiti jednaqinu z 5 = i Napisati jednaqinu prave p koja je normalna na ravan α : x + y + z = i sadri taqku S(, 9, ) Odrediti taqku prodora prave p kroz ravan α Deta no ispitati funkciju f(x) = x +x 4 i skicirati en grafik 4 Izraqunati povrixinu figure ograniqene krivama x = y i x = y Matematika - februar 4 4 Matematiqkom indukcijom pokazati da za svaki prirodan broj n vai 6 5(n n + 5 n ) + n+

5 Odrediti graniqne vrednosti: (a) lim x x x + ln( + x), (b) lim x x Odrediti ravan α koja zaklapa jednake uglove sa ravnima β : x + y z + = i γ : x + y + z 5 = i sadri preseqnu pravu ( ) (n )(n 4) n 4 Ispitati konvergeciju reda n n= 5 Odrediti izvod (po x) parametarski date funcije x(t) = t sin t, y(t) = cos t 6 (a) Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = sin x (b) Izraqunati povrxinu lika u ravni ograniqenog krivama y = f(x) i y = πx x (v) Izraqunati zapreminu tela dobijenog rotacijom lika u ravni ograniqenog krivama y = f(x) i y = oko y ose 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala sin x cos x dx Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Studenti koji polau samo drugi deo rade zadatke 5,6,7 tg x Matematika - februar 4 4 Matematiqkom indukcijom pokazati da za svaki prirodan broj n vai 6 n+ + 5(n n + 5 n ) x x Odrediti graniqne vrednosti: (a) lim + ln( + x), (b) lim x + x x Odrediti ravan α koja zaklapa jednake uglove sa ravnima σ : x + y z + = i π : x + y + z 6 = i sadri preseqnu pravu ( ) (n )(n 4) n 4 Ispitati konvergeciju reda n n= 5 Odrediti izvod (po x) parametarski date funcije x(t) = t sin 5t, y(t) = 5 cos 5t 6 (a) Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = sin x (b) Izraqunati zapreminu tela dobijenog rotacijom lika u ravni ograniqenog krivama y = f(x) i y = oko y ose (v) Izraqunati povrxinu lika u ravni ograniqenog krivama y = f(x) i y = πx x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala sin x cos x dx Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Studenti koji polau samo drugi deo rade zadatke 5,6,7 tg x 7 MATEMATIKA { januar 4godine a) Odrediti moduo i argument kompleksnog broja z = e + 4π 6 i b) Rexiti jednaqinu z 6 + +i = Nai graniqnu vrednost funkcija: a) lim x x x 6 x +x+6 x +4x+ b) lim x 5x sin x x + Napisati jednaqinu prave koja pripada ravni α : x+z =, sadri taqku S(, 7, ) i sa ravni β : x+y+z = zaklapa ugao π 6 4 Ispitati konvergeciju reda sa pozitivnim qlanovima 5 Ispitati neprekidnost funkcije n= ( cos ) n

6 e x+4, x ( ), 4 cos πx, x [ 4 f(x) =, ] ln (x + e), x (, 5] x 5 +, x (5, + ) u taqkama x = 4, x =, i x = 5 Odrediti tip prekida ( ) 6 Deta no ispitati funkciju f(x) = ln i skicirati en grafik 7 Izraqunati integral cos x cos x+sin 4 x dx x x 8 Odrediti zapreminu tela nastalog rotacijom krive y = x, y =, x + y = oko prave y = Studenti koji polau prvi deo rade zadatke,, i 4 Studenti koji polau drugi deo rade zadatke 5,6,7 i 8 Matematika - drugi kolokvijum 54 Odrediti konstantu a tako da funkcija f(x) bude neprekidna u taqki x = { tg x f(x) =, x < ; 4 x a cos πx 4(x + ), x Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x 6x x Izraqunati + 4x + 7 x + x 5x dx 4 Izraqunati povrixinu figure ograniqene krivama y = i x + y = x 5 Izraqunati vrednost nesvojstvenog integrala e x cos xdx Matematika - prvi kolokvijum Odrediti Re z, Im z, z i z ako je (a) z = i i+, (b) z = ( i) 4 Matematiqkom indukcijom pokazati da za svako n N vai 9 4 n + 6n Odrediti prodor prave p kroz ravan α : x 4y + 5z 5 =, ako prava p sadri taqku P (7, 9, ) i paralelna je sa pravom q : x = y = z 4 Data je parabola (y ) = (x + ) Odrediti jednaqinu tangente t na parabolu u taqki A(, ) Koliki ugao zaklapa tangenta t sa pravom AF ako je F ia parabole? 5 Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergeciju reda ( ) n ( n + n) n= Matematika - oktobar 9 ( n Izraqunati + ) n+ lim n n 4n + 5 Odrediti (sve) pete korene iz z = i Odrediti jednaqinu tangenti na hiperbolu x 5 y 6 =, koje su paralelne pravoj x + y =

7 4 Ispitati konvergeciju reda n= n (n)!! ((n + )!) (n + ) 5 Odrediti vrednost konstante C, tako da f bude neprekidna funkcija x x, x < ; f(x) = C, x = ; ln(+4x) e, x > x 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(t) = t+ t 5 t 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala 5t t t + 4t 8 dt 8 Odrediti vrednost odreenog integrala π sin 5 x dx Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - septembar 9 Matematiqkom indukcijom dokazati da za sve prirodne brojeve n vai 9 n4 n+ (n + )4 n + Oderediti moduo i argument kompleksnog broja ( + cos π 5 + i sin π 5 ) Date su prave p : x 9 4 = y = z+ i q : x = y = z+7 9 Odrediti jednaqinu ravni α koja sadri pravu q i paralelna je pravoj p Odrediti normalu n iz taqke M(,, 4) na ravan α 4 Ispitati konvergeciju reda ( ) n n! + n (n)!! n! n= tg x sin x 5 Izraqunati graniqnu vrednost lim x sin x 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(t) = ln t t + 6x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala 5 9x x 6 x + dx 8 Izraqunati vrednost nesvojstvenog integrala + x e x dx Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - septembar 88 Matematiqkom indukcijom dokazati da za svako n N vai n > ( n + ) Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = ( + cos π 9 ) π 88 + i sin 9 Date su taqke A(, 4, 6), B(,, ) i prava p : x = y = z Da li su prave AB i p mimoilazne? Koliko je rastoja e izmeu ih? 4 Ispitati uslovnu i apsolutnu konvergeciju reda ( ) n( n + ) n n 4 5 Ispitati neprekidnost funkcije f(x) u taqki x = i odrediti tip prekida e x cos x x, x < ; f(x) =, x = ; ( + x ) ctg x, x > n= n

8 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = sin x + sin x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala (x + 5x + 6) cos x dx 8 Odrediti povrxinu lika u ravni ograniqenog krivama y = cos x, x = π, y = + π x i x osom Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - jul 7 (n + )( + cos nπ Izraqunati lim ) n n + Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = ( ) i 4 Odrediti jednaqinu elipse sa centrom u koordinatnom poqetku koja dodiruje prave 6x + y = i x + y = Odrediti ie i ekscentricitet dobijene elipse 4 Ispitati konvergeciju reda n= 5 Izraqunati graniqne vrednosti (a) lim ctg πx x (n)!(4n + ) 5 n ((n + )!!) x (b) lim 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(t) = t ln t 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala 4t + 5t + 7 t + t + t + dx 8 Izraqunati nesvojstveni integral xe x dx Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 ( + x ) x sin x Matematika - jun 46 Matematiqkom indukcijom pokazati da za svaki prirodan broj vai 4 n(n + )(n + )(n + ) Odrediti qetvrte korene iz kompleksnog broja z = 8 Ispitati uzajamni polaj pravih p : x = + 4t, y = t, z = 4 + 6t i q : x 4 = y+ = z 4 Ispitati konvergeciju reda n= n! (n+) n (n)!!(n+) 5 Odrediti vrednost konstante C, tako da f bude neprekidna funkcija sin x 6(e x ), x < ; f(x) = C, x = ; ln(+x ) 9x, x > 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = (x )e 4x x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala ( sin x cos x + sin x cos x ) dx 8 Data je elipsa x 8 + y 9 = Odrediti zapreminu tela koje nastaje rotacijom elipse oko: (a) x ose (b) y ose Koje od ova dva tela ima ma u zapreminu?

9 Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - februar 9 Matematiqkom indukcijom pokazati da za svaki prirodan broj vai 4 (n + ) (n + ) Odrediti qetvrte korene iz kompleksnog broja z = i Za koju vrednost parametra p je prava x y + p = normalna na elipsu x + 4y = 48 4 Ispitati konvergeciju reda n= x 5 Izraqunati ( + x lim ) x tg x n+( n+5 n) 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = ln(x ) + x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala dt (t 4t+8) 8 Izraqunati Zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko y ose lika u ravni ograniqenog krivama y = 9 x i x + y = Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - januar 6 Dokazati da za tri proizvo na skupa A, B i C vai jednakost (A B) C = (A C) (B C) Oderediti moduo i argument kompleksnog broja (i ) Data je prava p kao presek ravni x 4y 5z + = i x z + 5 = Orderditi jednaqinu ravni koja je normalna na p i uda ena je za od taqke M(,, ) 4 Ispitati konvergeciju reda 5 Izraqunati: n= (n)!! e n (n + )! ( (a) lim x sin x ctg x) ; (b) levi i desni limes funkcije h(x) = [ + ln x] u taqki x = e 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = cos x + sin x dx 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala cos x 8 Izraqunati integral e x sin 4x dx Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - drugi kolokvijum 9 Odrediti konstantu K tako da funkcija f(x) bude neprekidna u taqki x = + x, x < f(x) = K, x = ; +ln(+x) +x, x >

10 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = xe x Izraqunati integral ln x dx 4 Izraqunati integral 5t + t + 7 t + t + t + 6 dt 5 Odrediti povrxinu lika u ravni ograniqenog krivama x =, y = x i y = x Matematika - drugi kolokvijum 9 Odrediti konstantu A tako da funkcija f(x) bude neprekidna u taqki x = x, x < f(x) = A, x = ; +sin x +x, x > Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = xe x Izraqunati integral ln x dx 4 Izraqunati integral 5t t + 7 t t + t 6 dt 5 Odrediti povrxinu lika u ravni ograniqenog krivama x =, y = x i y = x Matematika - prvi kolokvijum 4 Odrediti xeste korene iz i + i Matematiqkom indukcijom pokazati da za svako n 8 vai n > n Date su taqke A(,, ), B(,, ), C(, 4, ) i D(,, ) Dokazati da su prave AB i CD mimilazne Odrediti rastoja e izmeu pravih AB i CD 4 Odrediti jednaqine zajedniqkih tangenti elipse x 45 + y = i parabole y = x ( n 5 Ispitati konvergeciju reda ) n( n 6 + n +) n n n= Matematika - prvi kolokvijum 4 Odrediti xeste korene iz + i i Matematiqkom indukcijom pokazati da za svako n 8 vai n > n Date su taqke A(,, ), B(4,, 4), C(, 5, ) i D(,, ) Dokazati da su prave AB i CD mimilazne Odrediti rastoja e izmeu pravih AB i CD 4 Odrediti jednaqine zajedniqkih tangenti elipse x 45 + y = i parabole y = x ( n 5 Ispitati konvergeciju reda ) n( n 4 + n + 5) n + n + n=

11 Matematika - septembar 49 e n Izraqunati lim n + n + n Oderediti moduo i argument kompleksnog broja ( + i)6 Odrediti jednaqinu zajedniqke normale mimoilaznih pravih p : x = y = z 6 i q : x 8 = y+ = z 8 4 Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergeciju reda 5 Odrediti izvod funkcije (a) f(x) = (ln x) tg x (b) g(t) = arctg t t +t ( ) n+ 4n + n(n + ) + ln (x 5) 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x 5 x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala x + 7 dx 5 4x x 8 Odrediti vrednost odreenog integrala n= dx 4x x Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - septembar 9 ( n Izraqunati 4 ) n + lim n + n 4 Oderediti moduo i argument kompleksnog broja ( i) 9 Odrediti jednaqinu elipse sa centrom u koordinatnom pocetku koja dodiruje prave x+y 8 = i x+y+6 = Odrediti ie, kescentricitet i poluose dobijene elipse 4 Ispitati konvergeciju reda 5 Odrediti izvod funkcije (a) f(t) = (arctg t) t (b) g(t) = +t t t t n= 4 (n + ) (n)! 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = (x + ) ln(x + ) 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala sin x cos x dx 8 Odrediti vrednost neodreenog integrala π e x cos x dx Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - septembar 8 ( ) Izraqunati lim n + 4n + + 4n n + n

12 Oderediti moduo i argument kompleksnog broja (i ) 8 Date su prave p : x 9 4 = y+ = z i q : x = y+7 9 = z Odrediti jednaqinu ravni α koja sadri pravu q i paralelna je pravoj p Odrediti normalu n iz taqke M(, 4, ) na ravan α Da li je prava n normalna na q? 4 Ispitati konvergeciju reda n= n! ( )( ) ( n ) 5 Ispitati neprekidnost i odrediti tip prekida funkcije x, x < ; +e x f(x) = sin π x, x ; x ln x x, x > 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = sin x + cos x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala (x + ) ln x dx 8 Izraqunati povrxinu lika u ravni ograniqenog krugom x + y = 8, parabolom y = x i lei u poluravni x Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - jul 67 8 cos nπ Izraqunati lim n + n + 5 Matematiqkom indukcijom dokazati da za sve prirodne brojeve vai 9 8n + (n + ) + 8(n + ) Date su taqke A(,, 5), B(,, ), P (,, ) i Q(4, 6, ) Odrediti jednaqinu ravni AP Q Koja je zapremina paralelepipeda razapetim vektorima P A, P B i P Q? 4 Ispitati konvergeciju reda n= (n!) n (4n )!! 5 Ispitati neprekidnost i odrediti tip prekida funkcije f(x) = x tg x, x < ; ln(+x) x+5, x ; x x, x > 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = ex x 5 (4x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala x + )dx x + 8 Izraqunati povrxinu ograniqenu graficima funkcija y = 7 4 x i y = x x + 4 Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - jun 6 ( (n + ) Izraqunati (n ) ) lim n + (n + ) 4n Dat je kompleksan broj z = ( i) Oderediti moduo i argument kompleksnog broja z, kao i z49 Ispitati uzajamni polaj pravih p : x = + t, y = t, z = + t i q : x 4 = y+ = z

13 4 Ispitati konvergeciju reda 5 Odrediti izvod funkcije (a) f(x) = tg (e x + x ); ( n= (b) g(t) = t sin( t + 4) ln(t + ) n + (n + )(n ) 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala 8 Izraqunati π x sin x dx ) n + x x (x + ) x Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 dx x Matematika - februar 4 Odrediti raziku kompleksnih brojeva ( + i )4 i ( + i ) 6 Izraqunati n+ n n lim n + 6 n + n+ Odrediti tangente na elipsu 4x + 9y = koje su paralelne pravoj x y + 5 =, kao i ihove dodirrne taqke (n!) 4 Ispitati konvergeciju reda (n)!(4n )!! n= 5 Odrediti graniqnu vrednost lim x x cos x x 4 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = e e x x+ sin x dx 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala sin x + 4 cos x 8 Izraqunati 4 (ln x + ) Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - januar ( n Izraqunati ) 4n + 5n + 5 n +5 lim n + n + n + Matematiqkom indukcijom pokazati da za sve prirodne brojeve n vai! +! + 4! + + n n! = n! x Data je prava p : = y = z i taqke R(4,, 6), S(,, ) Dokazati da su prave p i RS mimoilazne, a zatim oderiti rastoja e izmeu pravih p i RS 4 Ispitati uslovnu konvergeciju reda ( ) n ( n + 5 n ) 5 Ispitati neprekidnost funkcije f(x) i odrediti tip prekida x +8 x+, x < f(x) = 6x, x ; +x 4x, x > ; n=

14 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = cos x + cos x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala e t sin t dt 8 Data je elipsa x 5 + y 6 = Odrediti zapreminu tela koje nastaje rotacijom elipse oko: (a) x ose (b) y ose Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - januar 6 ( n Izraqunati ) 4n n + n + lim n + n 5n + 5 Matematiqkom indukcijom pokazati da za prirodne brojeve vai n + n+ > n x Data je prava p : = y = z i taqke M(6,, 4), N(,, ) Dokazati da su prave p i MN mimoilazne, a zatim oderiti rastoja e izmeu pravih p i MN 4 Ispitati uslovnu konvergeciju reda ( ) n ( n + n ) 5 Ispitati neprekidnost funkcije f(x) i odrediti tip prekida +x x, x < ; f(x) = x +, x ; x 4 x, x > 6 Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = sin x + sin x 7 Odrediti vrednost neodreenog integrala e t cos t dt n= 8 Data je elipsa x 9 + y 4 = Odrediti zapreminu tela koje nastaje rotacijom elipse oko: (a) x ose (b) y ose Koja od dobijenih zapremina je vea? Studenti koji polau samo prvi deo rade zadatke,, i 4 Matematika - drugi kolokvijum Izraqunati graniqnu vrednost lim x cos x x sin x Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x + 5x + 4 x Izra qunati integral x + 4 x 4 dx 4 Odrediti povrxinu lika u ravni ograniqenog krivama y = x 4x, y = x i x = 5 Izraqunati vrednost nesvojstvenog integrala + (x + )e x dx

15 Matematika - drugi kolokvijum Izraqunati graniqnu vrednost lim x cos 5x x sin x Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x 5x + 4 x Izraqunati integral + 4x x x 4 dx 4 Odrediti povrxinu lika u ravni ograniqenog krivama y = 4x x, y = x i x = 5 Izraqunati vrednost nesvojstvenog integrala + (x + )e x dx Matematika - prvi kolokvijum Dokazati da za skupove A, B X vai A B = A C B C Matematiqkom indukcijom pokazati da za svako n vai n + 6 n Date su taqke A(,, ), B(,, ), C(4,, 5) i D(,, ) Odrediti koordinate podnoja normale iz A na ravan BCD Izraqunati zapreminu tetraedra ABCD 4 Odrediti jednaqinu elipse sa centom u koordinatnom poqetku koja dodiruje prave x+6y = i x y = Odrediti ie i ekscentricitet dobijene elipse ( 5 Ispitati konvergeciju reda n (n + ) ) n n n n= Matematika - oktobar 69 (75p) Rexiti sistem linearnih jednaqina (75p) Izraqunati izvod funkcije (a) f(x) = ln(x + + x ) (b) g(t) = te t+ cos(t t) x + 4y z = 6x 6y + 4z = 7x y + z = (75p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(t) = ln t (x + 5)dx 4 (75p) Izraqunati x + 8x + 7 Teorija ( p) Izraqunati skalarni proizvod vektora u = (,, 8) i v = (4, 4, ), a zatim odrediti ugao koji zaklapaju vektori u i v (4 p) Definisati ekscentricitet elipse Skicirati elipsu 5 x + 4 y =, i izraqunati en ekscentricitet (5 p) Definisati pojam geometrijskog reda i dati uslove egove konvergencije ( p) Formulisati i dati geometrijski smisao Fermaovog stava o nunim uslovima postoja a ekstremalne vrednosti diferencijabilne funkcije u taqki t

16 (6 p) Formulisati, objasniti i dokazati fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn- Lajbnicova formula) Matematika - oktobar 9 (75p) Ispitati meusobni poloaj pravih p : x 4 = y = z i q : x = y = z 5 4 (75p) Izraqunati graniqne vrednosti (a) lim n + (b) lim t ln( + t ) cos t (n + ) + (n ) (n + ) (n ) (75p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = 4 5 x 4 (75p) Izraqunati Teorija e π cos ln t dt t ( p) Izraqunati rastoja e taqke A(, 4) od prave π x + 4 y 5 = (4 p) Definisati pojam vektorskog prostora i objasniti kako se na R uvodi struktura vektorskog prostora (5 p) Definisati pojam neprekidnosti funkcije f : R R u taqki x Ispitati da li je funkcija f(x) = x neprekidna u taqki x = ( p) Formulisati i objasniti fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn-lajbnicova formula) (6 p) Formulisati, dokazati i objasniti geometrijski smisao Lagranove teoreme Formulisati sva tvre a koja koristite u dokazu Lagranove teoreme Matematika - septembar 9 (75p) Rexiti sistem linearnih jednaqina (75p) Izraqunati izvod funkcije (a) f(t) = + ln t (b) g(t) = et t+ x + 4y + 9z = 8 6x + 4y + z = 4 9x + y + 4z = 5 (75p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = 4x +x 4 (75p) Izraqunati povrxinu ograniqenu krivama x =, y =, x = 4 i y = x Teorija (a) ( p) Ispitati da li su vektori u = (,, ) i v = (,, ) meụsobno normalni (b) (4 p) Definisati ekscentricitet elipse Skicirati elipsu 4 x + 5 y = (c) (5 p) Definisati pojmove izvoda funkcije u taqki, kao i pojmove levog i desnog izvoda funkcije u taqki Da li je funkcija x diferencijabilna u taqki x = i da li ima levi i desni izvod u u taqki x =? ( p) Formulisati i objasniti smisao Tejlorove teoreme o razvoju u red (n + ) puta diferencijabilne funkcije na nekoj okolini taqke x

17 (6 p) Definisati neodreẹni integral Formulisati i dokazati fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn-lajbnicova formula) Matematika - jul 87 (75p) Rexiti sistem linearnih jednaqina (75p) Izraqunati izvod funkcije (a) f(x) = tg (x x) (b) x 4 ln x x + y z = x + y z = 4 x + y z = 7 (75p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x +8 4 (75p) Izraqunati integral Teorija (x x + )e x dx ( p) Izraqunati skalarni proozvod vektora u = (,, 4) i v = (,, ), a zatim odrediti ugao koji zaklapaju vektori u i v x 5 (4 p) Definisati ekscentricitet elipse Skicirati elipsu 9 x + 4 y = 6 (5 p) Definisati pojmove limesa i graniqne vrednosti realnog niza Objasniti razliku izmeụ limesa i taqke nagomilava a niza na nekom primeru ( p) Formulisati i objasniti fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn-lajbnicova formula) (6 p) Formulisati, dokazati i objasniti geometrijski smisao Rolove teoreme Matematika - jun 46 (75p) Date su taqke A(,, ), B(,, 4), C(,, ) i D(,, ) Odrediti zapreminu paralelepipeda razapetog vektorima AB, AC i AD i jednaqinu ravni ABD (75p) Izraqunati graniqne vrednosti sin x (a) lim x xtg x ( (b) x + x ) lim x + (75p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x+ xdx 4 (75p) Izraqunati integral x Teorija ( p) Napisati formulu za rastoja e taqke A(x, y ) od prave π x + 4 y 5 = (4 p) Definisati pojam vektorskog prostora i objasniti kako se na R uvodi struktura vektorskog prostora x 4 (5 p) Definisati pojam geometrijskog reda i dati uslove egove konvergencije ( p) Formulisati i objasniti geometrijski smisao Lagranove teoreme (6 p) Formulisati i dokazati fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn-lajbnicova formula)

18 Matematika - popravni kolokvijum 74 (p) Ispitati konvergenciju reda n= n + n (p) Nai izvod funkcije (a) f(x) = arctg e x (b) g(x) = +cos x +sin x (p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = x x+ 4 (p) Izraqunati integral xe x dx 5 (p) Odrediti vrednost odreenog integrala π x cos xdx Teorija (p) Definisati izvod funkcije u taqki (p) Formulisati i objasniti geometrijski smisao Fermaove leme (o nunim uslovima egzistencije ekstremnih vrednosti diferencijabilne funkcije) (4p) Formulisati i dokazati fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn-lajbnicova formula) Matematika - popravni kolokvijum 74 (p) Rexiti sistem linearnih jednaqina x + y z = x y + z = 4 4x + y + 4z = (p) Izraqunati vrednost determinante 7 4 (p) Dat je kompleksn broj z = + i Izraqunati moduo i argument kompleksnog broja z, kao i z68 4 (p) Date su taqke A(,, ), B(4,, ) i C(,, 5) Odrediti (a) jednaqinu ravni ABC (b) ugao izmeu vektora BA i BC 5 (p) Odrediti jednaqine tangenti na hiperbolu x 8 y 9 = iz taqke P (, ) Teorija (p) Definisati pojam taqke nagomilava a niza (p) Objasniti kako se na R n uvodi struktura vektorskog prostora (4p) Definisati pojam niza umetnutih intervala, formulisati i dokazati Koxi-Kantorovu teoremu (o preseku niza umetnutih intervala)

19 Matematika - februar 8 (6p) Rexiti sistem linearnih jednaqina 4x y + 9z = 8 x y + 5z = x 9y + 4z = 5 (6p) Odrediti jednaqinu tangente i normale na elipsu x + y 48 = u taqki B(, ) (6p) Ispitati konvergenciju reda ( n + n ) n n= 4 (6p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = arctg ( + x ) 5 (6p) Izraqunati integral Teorija +x dx (+x) x (a) ( p) Definisati pojam vektorskog prostora (b) ( p) Napisati formulu za rastoja e taqke A(x, y ) od prave π x y + 4 = (c) ( p) Definisati limes funkcije u taqki (d) ( p) Dati primer niza koji ima 5 taqaka nagomilava a ( p) Definisati pojam umetnutih intervala i formulisati Kantor-Koxijevu teoremu o preseku umetnutih intervala (6 p) Formulisati, dokazati i dati geometrijski smisao Fermaovog stava o nunim uslovima postoja a ekstremalne vrednosti diferencijabilne funkcije u tački Matematika - januar 4 (6p) Rexiti sistem linearnih jednaqina x + 9y + 4z = 8 x + 5y + z = 9x + 4y + z = 5 (6p) Date su taqke A(,, ), B(,, ) i prava q : x = y = z 4 Odrediti jednaqinu prave AB, a zatim ispitati meusobni poloaj pravih AB i q (6p) Bez upotrebe lopitalovih pravila izraqunati graniqne vrednosti (a) lim ( + x + + x )4x sin x (b) lim x e x 4 (6p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = sin x +cos x 5 (6p) Odrediti zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko y-ose lika ograniqenog krivama y = x Teorija i x+y = (a) ( p) Definisati pojam linearne nezavisnosti vektora (b) ( p) Definisati skalarni proizvod i napisati formulu za ugao izmeụ dva vektora u i v (c) ( p) Opisati pojam geometrijskog reda (d) ( p) Definisati izvod funkcije u taqki ( p) Formulisati i objasniti geometrijski smisao Rolove teoreme

20 (6 p) Definisati neodreẹni integral Formulisati i dokazati fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn-lajbnicova formula) Matematika - popravni kolokvijum 5 (p) Ispitati konvergenciju reda (p) Nai izvod funkcije (a) f(x) = x ln x x (b) g(x) = x sin(ln x) n= n(n + 5)(n + ) n (p) Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = xe x 4 (p) Izraqunati integral (x + )e x dx 5 (p) Odrediti vrednost odreenog integrala π sin x cos x + sin x dx Teorija (p) Dati geometrijski smisao izvoda funkcije u taqki (p) Formulisati Bolcano-Koxijevu teoremu za neprekidne funkcije (4p) Definisati neodreẹni integral Formulisati i dokazati fundamentalnu vezu izmeụ neodreẹnog i odreẹnog integrala ( utn-lajbnicova formula) Matematika - popravni kolokvijum 5 (p) Rexiti sistem linearnih jednaqina x + y z = x + 7y + z = x + y + 4z = 9 (p) Izraqunati vrednost determinante 5 (p) Dat je kompleksn broj z = i Izraqunati moduo i argument kompleksnog broja z, kao i z 7 4 (p) Dati su vektori a = (,, ), b = (,, ), c = (,, 5) (a) a b + c (b) b c (c) [ a + b, b + c, c + a ] 5 (p) Data je prava s jednaqinom x 5y + = i parabola η : y = 4x Odrediti tangente na parabolu η u preseqnim taqkama sa pravom s Teorija

21 (p) Definisati limes realnog niza (p) Definisati eksentricitet konike (4p) Koliko graniqnih vrednosti moe imati konvergentan niz? Objasniti razliku izmeụ graniqne vrednosti i taqke nagomilava a niza Matematika - drugi kolokvijum 5 Ispitati konvergenciju reda Nai izvod funkcije n= (n!) (n + )!! ((n)!) (a) f(x) = arctg +ex e x (b) g(x) = x arcsin x Deta no ispitati tok i skicirati grafik funkcije f(x) = +ln x ln x 4 Izraqunati integral ( + x )dx x 4 + x + 5 Odrediti povrxinu lika ograniqenog krivama y = x i y = 4 x Matematika - prvi kolokvijum 7 Rexiti sistem linearnih jednaqina 4x + y + z = x 7y + z = x + 4y z = Izraqunati vrednost determinante Izraqunati ( ı ) 7 4 Dati su vektori a = (,, ), b = (,, ), c = (,, ) (a) a + b + c (b) c a (c) [ a, a + b, a + b + c ] 5 Data je hiperbola η : x 4 y = i elipsa ε : x + y 6 = i neka su taqke F i F ie hiperbole η Odrediti koordinate taqaka F i F i jednaqine tangenti iz taqaka F i F na elipsu ε Teorija Navesti definiciju vektorskog prostora Navesti definiciju graniqne vrednosti niza Ispitati konvergenciju geometrijskog reda Teorija

22 ( p) Definisati izvod funkcije u taqki (4 p) Formulisati, dokazati i objasniti geometrijski smisao Lagranžove teoreme o sred oj vrednosti ( p) Formulisati utn-lajbnicovu teoremu o vezi Rimanovog i neodreenog integrala MATEMATIKA { 79godine (p) a) Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = +i7 i (p) b) Izraqunati 4 i (6p) Svesti jednaqinu 7x 8x + y + 4 = na kanonski oblik, a zatim odrediti ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema Ne koristei( Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcije: (p) a) lim z 5z + z ) x+tan 5x (p) b) lim z + x x sin x 4 (6p) Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije u taqkama x =, x =, i x = f(x) = e x+, x (, sin π 4 x, x [, ] ln (x + e) +, x (, ) x, x (, + ) 5 (6p) Izraqunati ugao izmeu vektora a i b ako je vektor a + b normalan na vektor 7 a 5 b, a vektor a 4 b normalan na vektor 7 a b 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = x x +4 7 (p) Izraqunati integral ( + x 5x )e x dx i skicirati en grafik 8 (p) Izraqunati zapreminu tela nastalog rotacijom figure ograniqene krivama y = x, y = x i y = x oko Oy-ose ) MATEMATIKA { 4godine (6p) Odrediti 5 i +i (6p) Izometrijskom transformacijom svesti jednaqinu krive x + y 6x 4y + = na kanonski oblik Odrediti koordinate ia u oba sistema, a u sluqaju hiperbole odrediti jednaqine asimptota (6p) Na i graniqnu vrednost funkcije lim x ( 5x + x + x) 4 (6p) Ispitati { neprekidnost funkcije f i odrediti tip prekida, a zatim nai (g f)(x), f(g(x)) i g (x): x sin f(x) = x, x, x =, g(x) = ex + 5 (6p) Neka su dati vektori a = (, 5, ), b = (, 5, 7) i c = (4,, 8) Izraqunati: a) c 5b + a b) c b v) [ b, a, b ] 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = ln x x i skicirati en grafik 7 (p) Izraqunati integral cos x sin x dx 8 (p) Predstaviti funkciju f(x) = (5 + x x )e x Tejlorovim polinomom 4 stepena u okolini taqke x = MATEMATIKA { godine

23 (6p) Odrediti moduo i argument kompleksnog broja z = ( ı) 4 (6p) Svesti jednaqinu x + 4xy y + 6 = na kanonski oblik Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema, a u sluqaju hiperbole odrediti jednaqine asimptota (6p) Nai graniqnu vrednost funkcije lim cos t cos t t tan t 4 (6p) Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije f(x) = { (+x) 7 x, x > 7 + x, x 5 (6p) Odrediti jednaqinu ravni α koja sadri pravu p : x = y = z i normalna je na ravan β : 5x + y z + = 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = ex x+ i skicirati en grafik 7 (p) Izraqunati integral x e x (x+) dx 8 (p) Izraqunati zapreminu tela dobijenog rotacijom figure ograniqene krivama xy = i (x ) y + = oko y ose MATEMATIKA { Drugi kolokvijum, januar (p) Deta no ispitati funkciju f(x) = ( x 4x + ) e x i skicirati en grafik (p) Izraqunati integral sin x+cos x +sin x cos x dx, x (, π) (p) Izraqunati povrxinu figure ograniqene krivama y = x +, y = (x + ) 4 4 (5p) Predstaviti funkciju f(x) = ln (( x) ( + x)) Tejlorovim polinomom stepena u okolini taqke x = MATEMATIKA { 59godine (p) a) Odrediti moduo i argument kompleksnog broja z = ( π ) 7iπ e (p) b) Izraqunati 5 (6p) Svesti jednaqinu x 7y x + 4y 9 = na kanonski oblik Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema, a u sluqaju hiperbole odrediti jednaqine asimptota Ne koristei Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcija: (p) a) lim ( x x + 6 x e + x 6) (p) b) lim x x x sin x 7 4 (6p) Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije u taqkama x =, x = 5, x = 5 ln 4x +, x (, ) sin x f(x) = x, x [, 5] (5 x ) +, x (5, + ) 5 (6p) Napisati jednaqinu prave koja sadri taqku S(, 5, ) i sa ravni α : x + 4z = zaklapa ugao π 6 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = (x )e x i skicirati en grafik 7 (p) Izraqunati integral e x cos(x + ) dx 8 (p) Razviti funkciju f(x) = e x sin x u Tejlorov polinom 4 stepena u okolini taqke x = MATEMATIKA { 499godine (p) a) Odrediti moduo i argument kompleksnog broja z = + cos π 5 + i sin π 5 (p) b) Izraqunati 6 + i

24 (6p) Svesti jednaqinu 7x 8x+y +4 = na kanonski oblik Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema, a u sluqaju hiperbole odrediti jednaqine asimptota Ne koristei Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcije: (p) a) lim x x+6 ) x +x 6 t x 4x+ (p) b) lim x e x x ( 4 (6p) Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije u taqkama x =, x =, i x = f(x) = e x+, x (, sin π 4 x, x [, ] ln (x + e) +, x (, ) x, x (, + ) 5 (6p) Izraqunati ugao izmeu vektora a i b ako je vektor a + b normalan na vektor 7 a 5 b, a vektor a 4 b normalan na vektor 7 a b 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = x ln x i skicirati en grafik 7 (p) Izraqunati integral dx +x+x +x 4 8 (p) Razviti funkciju f(x) = ln (( x) ( + x)) u Tejlorov polinom 4 stepena u okolini taqke x = ) MATEMATIKA { 99godine (p) a) Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = + i + e 5iπ ( ) n ( ) n (p) b) Izraqunati +, n N +i (p) c) Odrediti z i z ako je z = i i 5 i 4 +i 5i + (6p) Svesti jednaqinu 4x 9y 8x 8y 4 = na kanonski oblik Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema, a u sluqaju hiperbole odrediti jednaqine asimptota Ne koristei ( Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcije: (t ) (p) a) lim + a)(t + b) t (p) b) lim cos x t x x cos x 4 (6p) Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije f(x) = { sin x 6 sin x, x π, x = 5 (6p) Izraqunati ugao izmeu vektora a i b ako je vektor a + b normalan na vektor 7 a 5 b, a vektor a 4 b normalan na vektor 7 a b 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = x x + i skicirati en grafik 7 (p) Izraqunati integral dx +sin x 8 (p) Izraqunati povrxinu figure ograniqene krivama xy = i (x ) y + = MATEMATIKA { 669godine (p) a) Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = i7 +i i 4 4i 5 (p) b) Izraqunati i +i (p) c) Odrediti moduo i argument kompleksnog broja z = sin α + i cos α (6p) Svesti jednaqinu x 8x + 5y + = na kanonski oblik Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema O kojoj krivoj je req? Ne koristei Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcije: ( (p) a) lim x + x + x + x ) ln (p) b) lim x θ +θ θ tan(+θ) tan( θ) 4 (6p) Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije f(x) = { x sin x, x, x =

25 5 Neka su dati vektori a = (,, ), b = (, 4, ) i c = (,, 4) Izraqunati: (p) a) 4 c + b a (p) b) 5 a c (p) c) ( b c ) a 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = ln ( x + + x ) i skicirati en grafik 7 (p) Izraqunati integral sin t+cos t sin t cos t dt 8 (p) Izraqunati zapreminu tela dobijenog rotacijom figure ograniqene krivama xy = 6 i x + y 7 = oko y-ose MATEMATIKA { 9godine 7π π i (p) a) Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = e 6 (p) b) Izraqunati 4 + i (p) c) Odrediti z i z ako je z = i i+ i +i 5 (6p) Svesti jednaqinu x + y 6x 4y + = na kanonski oblik Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema Ne koristei Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcije: (p) a) lim x x +x 4 θ sin (p) b) lim x (x+ )( x) θ tan 5θ θ { 4 (6p) Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije f(x) = x +e x, x, x = 5 (6p) Odrediti rastoja e prave p : x + y 5 =, y + z = od ravni α : x y 5y + 7 = 6 (5p) Deta no ispitati funkciju f(x) = (x ) ln x x 7 (p) Izraqunati integral x x x x +x dx i skicirati en grafik 8 (p) Izraqunati povrxinu figure ograniqene krivama y = x i y = (x ), a zatim i zapreminu tela dobijenog rotacijom ove figure oko prave x = MATEMATIKA { Drugi kolokvijum, januar 9 (p) Deta no ispitati funkciju f(x) = x e x i skicirati en grafik (p) Izraqunati integral (x + 4) ln x dx (p) Izraqunati povrxinu figure ograniqene krivama (x ) + y =, y = x i y = x 4 (5p) Predstaviti funkciju f(x) = x cos (x ) polinomom stepena u okolino taqke x = MATEMATIKA { Prvi kolokvijum, decembar 9 (4p) Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = ( + i) 6 4 e πi (5p) Svesti jednaqinu krive x y x y = na kanonski oblik i odrediti koju krivu predstav a Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema (6p) Neka su date funkcije: f(x) = { cos πx 4, x (, ] ln( + x ), x (, + ), g(x) = ex + a) Ispitati neprekidnost funkcije f i odrediti tipove prekida b) Ispitati diferencijabilnost funkcije f

26 c) Nai (g f)() i g (x) 4 (p) Neka su dati vektori a = (,, ), b = (,, ) i c = ( 4, 6, ) Izraqunati: a) c 6b + a b) a c c) [ c, a, b ] 5 (p) Odrediti jednaqinu prave p koja je paralelna sa pravom a : x = t, y =, z = t, t R, i sadri taqku A(,, ) 6 (6p) Ne koristei Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcija: a) lim x + ( x(x + ) x) b) lim x e x ln(+x) 7 (p) Nai izvod funkcije f(x) = sin(ln(x 4 + )) MATEMATIKA { Prvi kolokvijum, decembar 8 (p) a) Predstaviti kompleksni broj z = i8 i u algebarskom zapisu i odrediti z (p) b) Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z = ( i ) 8 (p) c) Odrediti moduo i argument kompleksnog broja z = e 9πi 5 (5p) Ispitati { neprekidnost funkcije f i odrediti tip prekida, a zatim nai (g f)(x), f(g(x)) i g (x): x sin f(x) = x, x, x =, g(x) = ex + (5p) Svesti jednaqinu krive x xy + y x = na kanonsku oblik Odrediti poluose, ekcentricitet i koordinate ia u oba sistema 4 (p) Neka su dati vektori a = (,, ), b = (, 4, 5) i c = (,, 4) Izraqunati: a) c + 8b + a b) a b c) ( c a ) b 5 (p) Odrediti parametar α tako da prave p : x 6 (5p) Ne koristei Lopitalova pravila, nai graniqnu vrednost funkcije: a) lim ( x + x + 5x + x ) x b) lim x +x sin x e x 7 (4p) Nai izvode sledeih funkcija: a) y = ln(cos x + + cos 4 x) b) y = sin(cos x) cos(sin x) + x 5 = y = z+ i q : x α = y+ = z 4 zaklapaju ugao π 4