1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
|
|
|
- Игор Ковач
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako je a n 0, za polinom P (x) kažemo da je stepena n i to označavamo sa dgp (x) = n. Koeficijent a n 0 je vodeći ili najstariji koeficijent polinoma P (x). Ako je a n = 1, polinom P (x) se naziva monični polinom. Skup svih polinoma ne višeg stepena od n po promenljivoj x označavamo sa P n [x]. Teorema 1. Za svaki polinom P (x) i svaki nenula-polinom Q(x) postoje jedinstveni polinomi S(x) i R(x) takvi da važi jednakost k=0 P (x) = S(x)Q(x) + R(x), pri čemu je R(x) nula-polinom ili dgr(x) < dgq(x). Polinom S(x) se naziva količnik, a polinom R(x) ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x). U slučaju da važi P (x) = S(x)Q(x), kažemo da polinom Q(x) deli polinom P (x) i pišemo Q(x) P (x). Teorema 2. (Bezuov stav) Ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x a jednak je P (a). Za element a K kažemo da je nula polinoma P (x) ako je P (a) = 0. U tom slučaju, na osnovu Bezuovog stava, imamo tj. P (x) je deljiv polinomom x a. Neka je, nadalje, K = R ili K = C. Polinom P (x) = S(x)(x a), P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 sa kompleksnim koeficijentima a 0, a 1,..., a n i a n 0 ima n kompleksnih nula x 1, x 2,..., x n i važi P (x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ).
2 2 Broj a je nula reda (višestrukosti) k, k N, polinoma P (x) ako i samo ako je (x a) k P (x) i (x a) k+1 P (x). Nule višestrukosti 1 nazivaju se proste nule. Teorema 3. (Vietove formule) Neka je P (x) polinom sa kompleksnim koeficijentima stepena n P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a n 0) i x 1, x 2,...,x n nule polinoma P (x). Tada važi x 1 + x x n = a n 1 a n, x 1 x 2 + x 1 x x n 1 x n = a n 2 a n, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x x n 2 x n 1 x n = a n 3 a n,. x 1 x 2 x n = ( 1) n a 0 a n. Ako su koeficijenti polinoma P (x) realni brojevi, takav polinom zovemo realni polinom. Teorema 4. Ako je z i kompleksna nula reda k i realnog polinoma P (x), tada je i z i takod e njegova kompleksna nula istog reda. Teorema 5. (Teorema o racionalnim nulama) Neka je P (x) realni polinom sa celobrojnim koeficijentima P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a k Z, a 0 a n 0). Ako je p/q, p, q Z, NZD(p, q) = 1, nula polinoma P (x), tada p a 0 i q a n. Realan ili kompleksan polinom P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a n 0) je Hurvicov polinom ili H-polinom ako sve njegove nule x k (k = 1,..., n) imaju osobinu Re x k < 0. Teorema 6. Realni polinom P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a 0 > 0) je H-polinom ako i samo ako je
3 a 1 a a 3 a 2 a 1 a 0 0 Dk n = a 5 a 4 a 3 a 2 0 > 0,. a 2k 1 a 2k 2 a 2k 3 a 2k 4 a k za k = 1, 2,..., n, gde je a j = 0 za j > n. 3 Zadaci 1. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 6x 4 7x 3 + ax 2 + 3x + 2 bude deljiv sa Q(x) = x 2 x + b. Rešenje: Deljenjem polinoma P (x) sa Q(x) dobijamo količnik S(x) = 6x 2 x + (a 6b 1) i ostatak R(x) = (a 5b + 2)x + 2 b(a 6b 1). Da bi polinom P (x) bio deljiv sa Q(x) potrebno je da R(x) bude nula-polinom, odakle dobijamo sistem jednačina a 5b + 2 = 0, 2 b(a 6b 1) = 0. Rešenja datog sistema jednačina su (a, b) {( 12, 2), ( 7, 1)}. 2. Odrediti a, b R tako da je polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx 15 deljiv sa (x + 2)(x 3), a zatim razviti P (x) po stepenima binoma (x 2). Rešenje: Da bi polinom P (x) bio deljiv sa (x+2)(x 3) treba da važi P ( 2) = P (3) = 0. Iz ovih uslova dobijamo sistem linearnih jednačina 4a 2b = 23, 9a + 3b = 12, odakle je a = 3/2 i b = 17/2. Da bismo razložili polinom P (x) po stepenima x 2, formiramo Hornerovu šemu: 2 1 3/2 17/ /2 3/ /2 19/2 1 15/2 1
4 4 Sada je x x x 15 = 1(x 2) (x 2) (x 2) Odrediti ostatke pri deljenju polinoma P (x) = x x x x x + 3 polinomima x + 1, x 3 i (x + 1)(x 3). Rešenje: Ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x + 1 prema Bezuovom stavu jednak je P ( 1) = 6. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x 3 jednak je P (3) = 6. Neka je S(x) količnik pri deljenju polinoma P (x) sa (x+1)(x 3), a R(x) = ax+b ostatak. Tada je x x x x x + 3 = (x + 1)(x 3)S(x) + ax + b. Ako u ovoj jednačini stavimo da je x = 1, a zatim x = 3 dobićemo sistem jednačina a + b = 6, 3a + b = 6, čije je rešenje a = 3, b = 3. Stoga je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x + 1)(x 3) polinom R(x) = 3x Ako je ostatak deljenja polinoma P (x) stepena n 2 binomom x 3 jednak 4, a ostatak deljenja binomom x 2 jednak 2, odrediti ostatak deljenja polinoma P (x) polinomom (x 2)(x 3). Rešenje: Neka je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x 2)(x 3) polinom R(x) = ax + b. Tada je P (x) = (x 2)(x 3)S(x) + ax + b, gde je S(x) polinom stepena n 2. Prema Bezuovom stavu je P (3) = 4 i P (2) = 2. Kako je P (3) = 3a + b, a P (2) = 2a + b, dobijamo sistem linearnih jednačina čije je rešenje a = 2, b = 2. Dakle, traženi ostatak je R(x) = 2x 2.
5 5. Polinom P (x) pri deljenju sa x i daje ostatak 1, a pri deljenju sa x 2 daje ostatak 5. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x 2 + 1)(x 2). Rešenje: Prema Bezuovom stavu je P (i) = 1 i P (2) = 5. Ako je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x 2 + 1)(x 2) polinom R(x) = ax 2 + bx + c, tada je P (x) = (x 2 + 1)(x 2)S(x) + ax 2 + bx + c. Kako je P (i) = a + bi + c i P (2) = 4a + 2b + c, dobijamo sistem linearnih jednačina čije je rešenje a = 6/5, b = 0, c = 1/5, pa je traženi ostatak R(x) = 6/5x 2 1/ Odrediti koeficijente a, b, c, d R tako da polinom P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d pri deljenju sa x 1 daje ostatak 10, pri deljenju sa x + 1 ostatak 4, pri deljenju sa x + 2 ostatak 8, a pri deljenju sa x daje ostatak 2. Rešenje: Na osnovu Bezuovog stava je: P (1) = 10, P ( 1) = 4, P ( 2) = 8 i P (0) = 2, pa dobijamo sledeći sistem linearnih jednačina a + b + c + d = 10, a + b c + d = 4, 8a + 4b 2c + d = 8, d = 2. Rešavanjem datog sistema linearnih jednačina, na primer Gausovim metodom eliminacije, dobijamo a = 4, b = 5, c = 1 i d = 2, pa je P (x) = 4x 3 + 5x 2 x Odrediti koeficijente a, b, c R, tako da polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c bude deljiv sa x + i, a pri deljenju sa x + 2 daje ostatak 10. Predstaviti polinom P (x) u faktorisanom obliku. Rešenje: Kako binom x + i deli P (x), to je x = i nula polinom P, tj.
6 6 P ( i) = 0 ( i) 3 + a( i) 2 + b( i) + c = 0 i a ib + c = 0 c a + i(1 b) = 0 { a = c, b = 1. (0.1) S obzirom da je ostatak pri deljenju P (x) sa x+2 jednak 10, na osnovu Bezuovog stava to je P ( 2) = a 2b + c = 10. Zamenom (0.1) u poslednju jednakost dobijamo vrednosti koeficijenata Polinom P tada glasi a = c = 4. P (x) = x 3 + 4x 2 + x + 4 = x 2 (x + 4) + x + 4 = (x 2 + 1)(x + 4) i u faktorisanom obliku. 8. Odrediti polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c (a, b, c R) koji ima nulu x = i 2, a pri deljenju sa (x 2) daje ostatak 6. Rešenje: Kako je P (x) realni polinom, on ima i konjugovanu nulu i 2, pa je, dakle, deljiv faktorom (x i 2)(x + i 2) = x Deljenjem polinoma P (x) sa x dobijamo količnik S(x) = x + a i ostatak R(x) = (b 2)x + c 2a. Iz uslova da je R(x) nula-polinom sledi b = 2 i c = 2a. Dalje, prema Bezuovom stavu imamo P (2) = 6, tj. a = 3. Dakle, traženi polinom je P (x) = x 3 3x 2 + 2x Naći ostale nule polinoma P (x) = x 3 + a 2 x + 10a 3 (a R) ako se zna da je jedna nula a(1+2i), a da se pri deljenju polinoma P (x) sa (x a) dobija ostatak 12. Rešenje: Druga nula polinoma P (x) je x 2 = x 1 = a(1 2i), pa je polinom P (x) deljiv sa (x a(1 + 2i))(x a(1 2i)) = x 2 2ax + 5a 2. Kako je (x 3 + a 2 x + 10a 3 ) : (x 2 2ax + 5a 2 ) = x + 2a, to je treća nula datog polinoma x 3 = 2a. Dalje, na osnovu uslova zadatka je P (a) = 12, tj. 12a 3 = 12, odakle je a = 1. Dakle, nule polinoma P (x) su: x 1 = 1 2i, x 2 = 1 + 2i i x 3 = 2.
7 7 10. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 4x 4 20x 3 + ax 2 + bx 15 ima jednu nulu x 1 = 2 i, a zatim odrediti sve nule polinoma P (x). Rešenje: Budući da je P (x) realni polinom, njegova druga nula je x 2 = 2 + i. Dakle, polinom P (x) je deljiv sa (x (2 i))(x (2 + i)) = x 2 4x + 5. Kako je P (x) = (x 2 4x + 5)(4x 2 4x + a 36) + (4a + b 124)x 5a + 165, to je (4a + b 124)x 5a nula-polinom, pa je 4a + b 124 = 0, 5a = 0. Dakle, a = 33, b = 8. Druge dve nule polinoma P (x) su rešenja kvadratne jednačine 4x 2 4x 3 = 0, pa dobijamo x 3 = 1 2, x 4 = Dat je polinom P (x) = 3x 4 + px 3 + qx 2 + 4x 2 (p, q R). Odrediti p i q tako da je x 1 = 1 + i jedna nula polinoma P (x), a zatim odrediti ostale nule polinoma P (x). Rešenje: Druga nula polinoma P (x) je x 2 = 1 i, pa je polinom P (x) deljiv sa (x (1 + i))(x (1 i)) = x 2 2x + 2. Kako je P (x) = (x 2 2x + 2)(3x 2 + (p + 6)x + (2p + q + 6)) + (2p + 2q + 4)x 4p 2q 14, to je 2p + 2q + 4 = 0, 4p 2q 14 = 0, odakle je p = 5 i q = 3. Druge dve nule polinoma P (x) su rešenja kvadratne jednačine 3x 2 + x 1 = 0, te je x 3 = 1 6 ( 1 ) 13, x 4 = 1 ( 1 + ) 13. 6
8 8 12. Dat je polinom P (x) = 8x x x x 18. Ako je jedna nula polinoma P (x) oblika x 1 = ai (a R), naći sve nule polinoma P (x). Rešenje: Druga nula polinoma P (x) je x 2 = ai, pa je polinom P (x) deljiv polinomom (x ai)(x + ai) = x 2 + a 2. Kako je P (x) = (8x x a 2 )(x 2 + a 2 ) + (27 12a 2 )x (10 8a 2 )a 2 18, to je a 2 = 9/4, pa je a = ±3/2. Druge dve nule polinoma P (x) su nule kvadratne jednačine 8x x 8 = 0. Dakle, nule polinoma P (x) su: x 1 = 3 2 i, x 2 = 3 2 i, x 3 = 2, x 4 = Odrediti a R tako da je proizvod dve nule polinoma P (x) = x 3 + ax 2 11x + 5 jednak 1, a zatim predstaviti P (x) u faktorisanom obliku. Rešenje: Neka su x 1, x 2 i x 3 nule polinoma P (x). Vietove formule za dati polinom glase: x 1 + x 2 + x 3 = a, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 11, x 1 x 2 x 3 = 5. Ako je x 1 x 2 = 1, to iz treće jednačine sledi x 3 = 5, pa je x 1 + x 2 = a 5. Kako je x 1 x 2 + (x 1 + x 2 )x 3 = 11, to je 1 + 5( a 5) = 11, odakle je a = 3. Rešavanjem sistema jednačina x 1 + x 2 = 2, x 1 x 2 = 1, dobijamo Sada je x 1 = 1 2, x 2 = P (x) = (x )(x + 1 2)(x 5).
9 9 14. Odrediti koeficijente a, b, c, d R polinoma P (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d ako se zna da je zbir njegovih nula jednak 2, proizvod jednak 1 i da polinom P (x) pri deljenju sa x 2 daje ostatak 5, a sa x + 1 ostatak 8. Predstaviti polinom P (x) u faktorisanom obliku. Rešenje: Označimo sa x 1, x 2, x 3 i x 4 nule polinoma P (x). Na osnovu uslova zadatka i Vietovih formula imamo x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = a = 2, x 1 x 2 x 3 x 4 = d = 1, pa je a = 2 i d = 1. Dalje, na osnovu Bezuovog stava je P (2) = 5 i P ( 1) = 8, tj a + 4b + 2c + d = 5, 1 a + b c + d = 8. Koristeći nad ene koeficijente a i d, rešavanjem prethodnog sistema jednačina dobijamo b = 2 i c = 2, pa je P (x) = x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 1. Na osnovu teoreme o racionalnim nulama, jedine potencijalne racionalne nule polinoma P (x) su ±1. Proverom vidimo da je P (1) = 0. Da bismo utvrdili da li je broj 1 dvostruka nula polinoma P (x), iskoristićemo Hornerovu šemu: Sada je P (x) = (x 1) 2 (x 2 + 1) = (x 1) 2 (x + i)(x i). 15. Odrediti polinom P (x) četvrtog stepena sa realnim koeficijentima koji ima dvostruku realnu nulu 2, kompleksnu nulu 1 2i i za koji važi P ( 3) = 20. Rešenje: Iz uslova zadatka je x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 1 2i, x 4 = 1 + 2i, pa je P (x) = a(x + 2) 2 (x 1 + 2i)(x 1 2i) = a(x 4 + 2x 3 + x x + 20). Kako je P ( 3) = 20a = 20, to je a = 1, pa je traženi polinom P (x) = x 4 + 2x 3 + x x + 20.
10 Odrediti polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c, čije su nule 2x 1, 2x 2 i 2x 3 ako se zna da su x 1, x 2 i x 3 nule polinoma Q(x) = x 3 2x Rešenje: Vietove formule za polinom Q(x) su x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 2, x 1 x 2 x 3 = 2013, a za polinom P (x) 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = a, 2x 1 2x 2 + 2x 1 2x 3 + 2x 2 2x 3 = b, 2x 1 2x 2 2x 3 = c. Jednostavno se dobija a = 0, b = 8, c = 16104, pa je P (x) = x 3 8x Odrediti λ R tako da za nule x 1 i x 2 polinoma P (x) = x 3 x 2 + λx + 6 važi x 1 x 2 = 2. Naći sve nule polinoma P (x). Rešenje: Iz Vietovih formula za polinom P (x) imamo x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = λ, x 1 x 2 x 3 = 6. Iz uslova x 1 x 2 = 2 i treće jednačine sledi x 3 = 3. Sada iz prve jednačine dobijamo x 1 + x 2 = 4, pa je x 1 = 2 2, x 2 = Konačno je λ = x 1 x 2 + (x 1 + x 2 )x 3 = 2 + 4( 3) = Odrediti koeficijente a, b R, a > 0, polinoma P (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + a 2 x 6 ako je zbir dve nule tog polinoma 3, a proizvod druge dve 3.
11 Rešenje: Neka je x 1 + x 2 = 3 i x 3 x 4 = 3. Za dati polinom Vietove formule glase: Iz datih uslova, (4) i (1) sledi: Iz (3) imamo redom: 11 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = a, (0.2) x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = b, (0.3) x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = a 2, (0.4) x 1 x 2 = 2, x 3 + x 4 = a 3. x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = a 2, x 1 x 2 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 (x 1 + x 2 ) = a 2, x 1 x 2 x 3 x 4 = 6. (0.5) 2( a 3) 3 3 = a 2, a 2 2a 15 = 0. Rešenja ove kvadratne jednačine su a 1 = 3 i a 2 = 5, pa je, s obzirom na uslov zadatka, a = 5. Sada je x 3 + x 4 = 8, pa iz (2) imamo redom: tj. b = 25. x 1 x 2 + x 1 (x 3 + x 4 ) + x 2 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 = b, 2 + (x 1 + x 2 )(x 3 + x 4 ) 3 = b, 3 ( 8) 1 = b, 19. Odrediti polinom P (x) = x 3 +ax 2 +bx+c čije su nule x 1 +x 2, x 1 +x 3, x 2 +x 3, gde su x 1, x 2 i x 3 nule polinoma Q(x) = x 3 2x 2 3. Rešenje: Vietove formule za polinom Q(x) su a za polinom P (x) x 1 + x 2 + x 3 = 2, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0, x 1 x 2 x 3 = 3,
12 12 (x 1 + x 2 ) + (x 1 + x 3 ) + (x 2 + x 3 ) = a, (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 ) + (x 1 + x 2 )(x 2 + x 3 ) + (x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = b, (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = c. Imamo a = 2(x 1 + x 2 + x 3 ) = 4. Dalje je b = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 ) + (x 1 + x 2 )(x 2 + x 3 ) + (x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = (2 x 3 )(2 x 2 ) + (2 x 3 )(2 x 1 ) + (2 x 2 )(2 x 1 ) = 12 4(x 1 + x 2 + x 3 ) + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = = 4. Konačno je c = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = (2 x 3 )(2 x 2 )(2 x 1 ) = 8 + 4(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) + x 1 x 2 x 3 = Neka su x 1, x 2, x 3 nule polinoma P (x) = x 3 2x Ako su x 2 1, x2 2, x2 3 nule polinoma Q(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, odrediti koeficijente a, b, c R. Rešenje: Vietove formule za polinom P (x) su a za polinom Q(x) x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 2, x 1 x 2 x 3 = 2013, x x x 2 3 = a, x 2 1x x 2 1x x 2 2x 2 3 = b, x 2 1x 2 2x 2 3 = c. Ako kvadriramo prvu jednačinu od prve tri jednačine, dobijamo x x x (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 0, odakle je a 4 = 0, pa je a = 4. Ako kvadriramo drugu jednačinu od prve tri, imamo
13 13 x 2 1x x 2 1x x 2 2x (x 2 1x 2 x 3 + x 1 x 2 2x 3 + x 1 x 2 x 2 3) = 4, tj. odnosno x 2 1x x 2 1x x 2 2x x 1 x 2 x 3 (x 1 + x 2 + x 3 ) = 4, b = 4, pa je b = 4. Konačno, ako kvadriramo treću od prve tri jednačine, dobijamo pa je c = x 2 1x 2 2x 2 3 = , 21. Neka su α, β i γ nule polinoma P (x) = x 3 + 2x 2 3x 4. Odrediti polinom Q(x) = x 3 + ax 2 + bx + c čije su nule α + 1, β + 1 i γ + 1. Rešenje: Vietove formule za polinom P (x) su a za polinom Q(x) α + β + γ = 2, αβ + αγ + βγ = 3, αβγ = 4, (α + 1) + (β + 1) + (γ + 1) = a, (α + 1)(β + 1) + (α + 1)(γ + 1) + (β + 1)(γ + 1) = b, (α + 1)(β + 1)(γ + 1) = c. Sada je Dalje je a = (α + β + γ) 3 = 1. b = αβ + αγ + βγ + 2(α + β + γ) + 3 = 4. Konačno je pa je Q(x) = x 3 x 2 4x. c = (αβγ + αβ + αγ + βγ + α + β + γ + 1) = 0,
14 Odrediti polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c čije su nule 1 α, 1 β i 1 γ i γ nule polinoma Q(x) = x 3 4x 2 + 6x 9. ako su α, β Rešenje: Vietove formule za polinom Q(x) su a za polinom P (x) Sada je α + β + γ = 4, αβ + αγ + βγ = 6, αβγ = 9, 1 α + 1 β + 1 γ = a, 1 1 α β α γ β γ = b, α β γ = c. αβ + αγ + βγ a = αβγ b = α + β + γ αβγ = 4 9, c = 1 αβγ = 1 9. = 2 3, Traženi polinom je P (x) = x 3 2/3x 2 + 4/9x 1/ Odrediti realni parametar λ tako da je jedan koren jednačine x 3 7x + λ = 0 dva puta veći od drugog. Rešenje: Neka je x 1 = 2x 2. Kako je x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 7, x 1 x 2 x 3 = λ, to je x 3 = 3x 2, pa iz druge jednačine dobijamo x 2 2 = 1. Za x 2 = 1 je λ = 6, a za x 2 = 1 je λ = Odrediti vrednost realnog parametra λ u jednačini 2x 3 x 2 7x + λ = 0 ako je zbir dva korena ove jednačine jednak 1.
15 15 Rešenje: Za datu jednačinu Vietove formule glase: x 1 + x 2 + x 3 = 1 2, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 7 2, x 1 x 2 x 3 = λ 2. Ako je x 1 + x 2 = 1, tada je x 3 = 1/2, pa zamenom u drugoj jednačini sistema dobijamo x 1 x (x 1 + x 2 ) = 7 2. Iz ove jednačine je x 1 x 2 = 3. Tada je x 1 x 2 x 3 = 3/2, pa iz treće jednačine sledi da je λ = Odrediti sve vrednosti parametra a R za koje nule x 1, x 2 i x 3 polinoma P (x) = x 3 6x 2 + a zadovoljavaju relaciju (x 1 3) 3 + (x 2 3) 3 + (x 3 3) 3 = 0. Rešenje: Iz Vietovih formula za polinom P (x) imamo x 1 + x 2 + x 3 = 6, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0, x 1 x 2 x 3 = a. Kako su x i, i = 1, 2, 3, nule polinoma P (x), to je Razvijanjem datog izraza dobijamo x 3 i 6x 2 i + a = 0, i = 1, 2, 3. x 3 1 9x x x 3 2 9x x x 3 3 9x x 3 27 = 0. Sada je pa je Kako je 3a 3(x x x 2 3) + 27(x 1 + x 2 + x 3 ) 3 27 = 0, a = 27 (x x x 2 3). 36 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 = x x x (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = x x x 2 3, to je a = 9.
16 Odrediti sve nule polinoma P (x) i njihovu višestrukost ako je P (x) = 1 x x 2 x 3 1 x x x. 1 x x 3 x 2 Rešenje: Ako od druge, treće i četvrte vrste oduzmemo prvu vrstu i dobijenu determinantu razvijemo po prvoj koloni, imamo redom P (x) = 0 x 1 x 2 1 x 3 1 x 1 x 2 1 x x 1 x 1 x 1 = x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 3 1 x 2 1 x 1 x 3 1 x 2 1. Dalje, ako iz svake vrste faktorišemo činilac x 1 i od druge i treće kolone oduzmemo prvu kolonu, dobijamo P (x) = (x 1) 3 1 x + 1 x 2 + x x x 2 + x = (x 1) x 2 + x + 1 x x 2 + x x. Ako u poslednjoj determinanti faktorišemo x iz druge i treće kolone i razvijemo je po drugoj vrsti, sledi P (x) = x 2 (x 1) x x = x2 (x 1) 3 1 x + 1 x Konačno je P (x) = x 2 (x 1) 3 (1 (x + 1) 2 ) = x 2 (x 1) 3 ( x 2 2x) = x 3 (x 1) 3 (x + 2). Nula polinoma x = 0 je višestrukosti 3, nula polinoma x = 1 je višestrukosti 3, a x = 2 je prosta nula. 27. Rešiti jednačinu D(x) = 0 ako je D(x) = x x x x x x 2 x x x 2 x 3
17 Rešenje: Determinanta D(x) je polinom četvrtog stepena po promenljivoj x. Rešenja jednačine D(x) = 0 predstavljaju nule polinoma D(x). Za odred ivanje nula polinoma D(x) pogodan je faktorisani oblik. Za njegovo odred ivanje koristićemo elementarne transformacije nad vrstama i kolonama determinante D(x), posebno izvlačenje zajedničkih činilaca iz determinante. U prvom koraku oduzmemo prvu vrstu od ostalih, a zatim izvučemo zajedničke činioce iz prve, druge i treće vrste, pa dobijamo D(x) = x x x x x x 2 x x x 2 x 3 = x x x x 0 2 x 2 x 2 x 0 2 x x 0 3 x = x(2 x) x 0 3 x Dalje, razvijemo determinantu po trećoj vrsti i izračunamo vrednost gornje trougaone determinante na osnovu vrednosti dijagonalnih elemenata D(x) = x(2 x) x Rešenja jednačine D(x) = 0 su = x(2 x) 2 (3 x) = x(2 x) 2 (x 3). x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = Odrediti sve nule polinoma i njihovu višestrukost. P (x) = x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 8x + 4 Rešenje: Primenićemo teoremu o racionalnim nulama. Ako je p/q racionalna nula polinoma P (x), onda p 4 i q 1. Dakle, p {±1, ±2, ±4}, q {±1} i p/q {±1, ±2, ±4}. Sada ostaje da proverimo da li je neki od ovih racionalnih brojeva nula polinoma P (x). Kako je P ( 1) = 0, pomoću Hornerove šeme ćemo proveriti da li je možda broj 1 dvostruka nula polinoma P (x). Imamo
18 18 Iz šeme dobijamo P (x) = (x + 1) 2 (x 2 + 4). Proste nule polinoma P (x) su 2i i 2i, dok je 1 dvostruka nula. 29. U skupu C odrediti sve nule polinoma P (x) = 2x 4 7x 3 + 7x 2 14x + 6. Napisati faktorisani oblik polinoma P (x). Rešenje: Ako je p/q racionalna nula polinoma P (x), onda p 6 i q 2. Dakle, p {±1, ±2, ±3, ±6}, q {±1, ±2} i p/q { ± 1, ±2, ±3, ±6, ± 1 } 2, ±3. 2 Treba da proverimo da li je neki od ovih racionalnih brojeva nula polinoma P (x). Kako je P (3) = P (1/2) = 0, na osnovu Hornerove šeme imamo / Iz šeme dobijamo da su druge dve nule polinoma P (x) nule kvadratne jednačine 2x = 0, pa je x 3 = i 2, x 4 = i 2. Faktorisani oblik polinoma P (x) je ( P (x) = 2 x 1 ) (x 3)(x + i 2)(x i 2) Za koje vrednosti realnog parametra a je polinom Hurvicov? P (x) = x 4 + x 3 + ax 2 + x + 1
19 19 Rešenje: Iz uslova D1 4 = a 1 = 1 > 0, D2 4 = a 1 a 0 a 3 a 2 = a = a 1 > 0, D3 4 a 1 a 0 0 = a 3 a 2 a 1 0 a 4 a 3 = a = a 2 > 0, a 1 a D4 4 = a 3 a 2 a 1 a 0 0 a 4 a 3 a 2 = D3 4 = a 2 > 0, a 4 dobijamo a (2, + ). 31. Za koje vrednosti realnih parametara a i b je polinom P (x) = x 4 + 2x 3 + ax 2 + x + b H-polinom? Rešenje: Neka je b > 0. Da bi polinom P (x) bio H-polinom, treba da važi D1 4 = a 1 = 1 > 0, D2 4 = a 1 a 0 a 3 a 2 = 1 b 2 a = a 2b > 0, D3 4 a 1 a 0 0 = a 3 a 2 a 1 0 a 4 a 3 = 1 b 0 2 a 1 = 2a 4b 1 > 0, a 1 a D4 4 = a 3 a 2 a 1 a 0 0 a 4 a 3 a 2 = D3 4 = 2a 4b 1 > a 4 Dobijamo sistem nejednačina b > 0, a 2b > 0, 2a 4b 1 > 0, odakle je b > 0 i a 2b > 1/2.
20
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje 0. (Vladimir Marinkov).nb Kvadratna jednačina. Rešiti jednačine: a x 8 b x 0 c x d x x x e x x x f x 8 x 6 x x 6 rešenje: a) x,, b x,, c x,,d x, 6, e x,, (f) x,.
ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА
МАТЕМАТИКА ЗАДАЦИ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 1. Израчунати вредност израза: а) ; б). 2. Израчунати вредност израза:. 3. Израчунати вредност израза:. 4. Израчунати вредност израза: ако је. 5. Израчунати вредност
My_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА ax x c 0 x x D 4ac a ( сви задаци су решени) c D xx x/ a a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реална D Двоструко решење (реална и једнака решења) D=0 Комплексна решења (нису
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
My_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
Algebarski izrazi (4. dio)
Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
Vjezbe 1.dvi
Matematia I Elvis Baraović 0 listopada 08 Prirodno-matematiči faultet Univerziteta u Tuzli, Odsje matematia, Univerzitetsa 75000 Tuzla;http://pmfuntzba/staff/elvisbaraovic/ Sadržaj Sup realnih brojeva
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)
Skripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
Microsoft Word - SIORT1_2019_K1_resenje.docx
I колоквијум из Основа рачунарске технике I СИ- 208/209 (24.03.209.) Р е ш е њ е Задатак f(x, x 2, x 3 ) = (x + x x ) x (x x 2 + x ) + x x 2 x 3 f(x, x 2, x 3 ) = (x + x x ) (x x + (x )) 2 + x + x x 2
ALGEBRA I (2010/11)
ALGEBRA I (2010/11) ALGEBRA I(20010/11), KOLOKVIJUM I-NOVEMBAR, 24. novembar 2010. GRUPA I 1. Da li je tautologija: p ( q r) (p q) (p r). 2. Pronaći KKF i KDF za r ( p q). 3. Pronaći jean primer interpretacije
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
s2.dvi
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani
untitled
РАЗЛОМЦИ - III ДЕО - РЕШЕЊА МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ. а) + + + + + + = = = ; б) + + + + + + + + + + = = = 8 ; в) 8 + + + + + + + = 8 = = =.. а) = = = ; б) = = = ; 0 0 в) 0 = = = ; г)
Microsoft Word - vodic B - konacna
VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
![СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто](/thumbs/102/155791469.jpg "СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто")
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
Veeeeeliki brojevi
Matematička gimnazija Nedelja informatike 3 12. decembar 2016. Uvod Postoji 10 tipova ljudi na svetu, oni koji razumeju binarni sistem, oni koji ne razumeju binarni sistem i oni koji nisu očekivali šalu
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева. Из скупа {,,,, 0,,, } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.. Запиши
18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f
8 DERIVACIJA.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadata. Nadite f (x) ao je (a) f(x) = ( + x ) arctg x (b) f(x) = e x cos x (a)
Орт колоквијум
Задатак 1 I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада - 008/009 (16.05.009.) Р е ш е њ е a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један, лако
СТЕПЕН појам и особине
СТЕПЕН појам и особине Степен чији је изложилац природан број N R \ 0 изложилац (експонент) основа степен Особине: m m m m : m m : : Примери. 8 4 7 4 5 4 4 5 6 :5 Важно! 5 5 5 5 5 55 5 Основа је број -5
Орт колоквијум
I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада СИ - 008/009 (10.05.009.) Р е ш е њ е Задатак 1 a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један,
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
7. а) 3 4 ( ) ; б) ( ) ( 2 5 ) ; в) ( ) 3 16 ; г) ( ). 8. а) ( г) ) ( ) ; б)
7. а) ( 5 + 5 ) ; б) ( 5 8 5 6 ) ( 2 5 ) ; в) ( 9 + ) 6 ; г) 5 ( 2 + 2 29 ). 8. а) ( г) 2 2 + ) ( + 2 ) ; б) 2 ( + 2 ) + 2 ; в) ( 0 + 5 ) ( 2 ( 7 6 )) ; 7 2 + ( + ( 8 6 ( 2 ) 2 )) ; д) ( 2 5 ( 2 + 7 0
Microsoft Word - 12ms121
Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +
1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: prvi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Programski sadržaji za prvi razred: Teme : 1)
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
I колоквијум из Основа рачунарске технике I СИ- 2017/2018 ( ) Р е ш е њ е Задатак 1 Тачка А Потребно је прво пронаћи вредности функција f(x
I колоквијум из Основа рачунарске технике I СИ- / (...) Р е ш е њ е Задатак Тачка А Потребно је прво пронаћи вредности функција f(x, x, x ) и g(x, x, x ) на свим векторима. f(x, x, x ) = x x + x x + x
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1
Analiza efikasnosti algoritama I Asimptotske notacije Master metoda (teorema) 1 Asimptotske notacije (1/2) Služe za opis vremena izvršenja algoritma T(n) gde je n N veličina ulaznih podataka npr. br. elemenata
Microsoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx
Универзитет у Београду Математички факултет О неким класичним квадратним Диофантовим једначинама Мастер рад ментор: Марко Радовановић студент: Ивана Фируловић Београд, 2017. Садржај Увод...2 1. Линеарне
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak
DISKRETNA MATEMATIKA
DISKRETNA MATEMATIKA Kombinatorika Permutacije, kombinacije, varijacije, binomna formula Ivana Milosavljević - 1 - 1. KOMBINATORIKA PRINCIPI PREBROJAVANJA Predmet kombinatorike je raspoređivanje elemenata
Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc
NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE NULE FUNKCIJE su mesta gde grafik seče osu a dobijaju se kao rešenja jednačine y= 0 ( to jest f ( ) = 0 ) Mnogi profesori vole da se u okviru ove tačke nadje i presek sa y
JEDNAKOSTI I JEDNAČINE,
ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА Диофантове једначине смо решавали у петом, шестом и седмом разреду. Тада смо се упознали и са појмом Диофантове једначине и појмом решења Диофантове једначине. Циљ ове наставне
Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)
Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w)
Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
Matematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o razlomcima proširivanje, skraćivanje, upoređivanje;
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57
Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx
DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
Microsoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
Teorija skupova - blog.sake.ba
Uvod Matematika je jedan od najomraženijih predmeta kod većine učenika S pravom, dakako! Zapitajmo se šta je uzrok tome? Da li je matematika zaista toliko teška, komplikovana? Odgovor je jednostavan, naravno
Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA
OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA UPUTSTVO ZA RAD Drage učenice i učenici, Čestitamo! Uspjeli ste da dođete na državno takmičenje iz matematike i samim tim ste već napravili veliki uspjeh Zato zadatke
Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
Microsoft Word - 7. cas za studente.doc
VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
Microsoft Word - Integrali vi deo
INTEGRALI ZADACI ( VI-DEO) Inegracija nekih iracionalnih funkcija Kad smo radili racionalna funkcije, videli smo da,u principu, možemo odredii inegral svake racionalne funkcije. Zao će nam kod inegrala
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
Microsoft Word - integrali IV deo.doc
INTEGRALI ZADAI ( IV DEO) Integrcij rcionlne funkcije P( ) Rcionln funkcij je oblik Q( ). Može biti prv i neprv. Prv rcionln funkcij je on kod koje je mksimlni stepen polinom P() mnji od mksimlnog stepen
LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1
Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x, x 4 ) C 4 : x 1 + x 2 + x = 0, x 1 = 2x 2 } unitarnog prostora C 4 sa standardnim skalarnim produktom i vektor v = (2i, 1, i, ) C 4.
Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
Osnovni pojmovi teorije verovatnoce
Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13 Verovatnoća i statistika:
Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc
Algebra i funkcije napredni nivo 01. Nenegativna znači da je vrednost izraza pozitivna ili je jednaka 0. ( 1) ( 1)( 1) 0 razlika kvadrata (( x) + x 1+ 1 ) (( x) 1 ) 0 ( + + 1) ( 1) 0 x x+ x x+ x x x +
1
Podsetnik: Statističke relacije Matematičko očekivanje (srednja vrednost): E X x p x p x p - Diskretna sl promenljiva 1 1 k k xf ( x) dx E X - Kontinualna sl promenljiva Varijansa: Var X X E X E X 1 N
Microsoft Word - 13pavliskova
ПОДЗЕМНИ РАДОВИ 4 (5) 75-8 UDK 6 РУДАРСКО-ГЕОЛОШКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД YU ISSN 5494 ИЗВОД Стручни рад УПОТРЕБА ОДВОЈЕНОГ МОДЕЛА РЕГЕНЕРАЦИЈЕ ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ПОУЗДАНОСТИ ТРАНСПОРТНЕ ТРАКЕ Павлисковá Анна, Марасовá
3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна јед
3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна једначина по х је свака једначина са непознатом х која
vjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević
Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja
Programiranje 1 drugi kolokvij, 2. veljače Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje,
Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje, te službeni podsjetnik. Kalkulatori, mobiteli, razne neslužbene tablice, papiri i sl., nisu dozvoljeni! Sva rješenja napišite
Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc
MATRICE ZADACI ( III DEO) SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI MATRICE Postupak tražeja sopstveih vredosti je sledeći: i) Za datu kvadratu matricu ( recimo matricu A) odredimo matricu A λi, gde je I
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada:
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Dražen Adamović Zagreb, rujan, 2015.
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
Energetski pretvarači 1 Februar zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne sna
1. zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne snage osnovnog harmonika. Induktivnost prigušnice jednaka je L = 10 mh, frekvencija mrežnog
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.
MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Natjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar 2016. 1. Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je 0.8. Ako je ispit težak, verovatnoća da se prvo pitanje
Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun
Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar 2018. 1 Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne funkcije od argumenta n iz skupa N prirodnih brojeva.
Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_
IZVODI ZADACI ( II deo U ovom del ćemo pokšati da vam objasnimo traženje izvoda složenih fnkcija. Prvo da razjasnimo koja je fnkcija složena? Pa, najprostije rečeno, to je svaka fnkcija koje nema tablici
Орт колоквијум
II колоквијум из Основа рачунарске технике I - 27/28 (.6.28.) Р е ш е њ е Задатак На улазе x, x 2, x 3, x 4 комбинационе мреже, са излазом z, долази четворобитни BCD број. Ако број са улаза при дељењу
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
![VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E](/thumbs/102/155964078.jpg "VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E")
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!