Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Слични документи
(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Microsoft Word - VALJAK.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

1. Realni brojevi

Microsoft Word - MATRICE.doc

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Microsoft Word - 26ms281

Microsoft Word - 26ms441

Zad.RGS.2012za sajt [Compatibility Mode]

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

untitled

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Microsoft Word - IZVODI _3. deo_.doc

trougao.dvi

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

1

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

Microsoft Word - MNOGOUGAO.doc

Microsoft Word - Analiticka - formule.doc

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe

PowerPoint Presentation

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

Microsoft Word - 11ms201

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA PROBNI ZAVRŠNI ISPIT školska

Algebarski izrazi (4. dio)

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzitet u Nišu MASTER RAD Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne jednačine Mentor: Prof.

My_P_Trigo_Zbir_Free

Microsoft Word - SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNACINA,zadaci.doc

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

Skripte2013

s2.dvi

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Slide 1

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

PI1_-_funkcije_i_srednja_log._temp._razlika

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

Neodreeni integrali - Predavanje III

My_ST_FTNIspiti_Free

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Microsoft Word - Integrali vi deo

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

Microsoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА

Microsoft Word - 15ms261

07_JS aktuatori.rev8_lr_bn [Compatibility Mode]

I RAZRED x 1 1. Ako je f 2x 1 2x 2, x 1, naći: f x, 2 f x 2015 (što je, ustvari, f f x ) i f Rešiti u skupu Z: x y 15. Naći sva

Microsoft Word - 6ms001

Veeeeeliki brojevi

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

SA D R Z A J Strana Predgovor II izdanj u ~ , 4 Predgovor Objasnjenje simbola Skupo

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Транскрипт:

MATRICE ZADACI ( II DEO) REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA Siste od jednčin s n nepozntih je njčešće uopšteno dt s: x + x +... + x = b n n x + x +... + x = b... n n x + x +... + x = b n n Ovde su: x, x,... x n nepoznte, brojevi ij su koeficijenti b, b,... b su slobodni člnovi. Iz ovog siste i izvlčio tri trice:... n... n. A=..... n je tric siste... n b.. n b A=...... n b je proširen tric siste b b B=.. b je tric s slobodni člnovi. Kd je A kvdrtn tric, to jest kd je broj jednčin siste jednk s broje nepozntih, ond tkv siste nzivo kvdrtni. Ako je i det A ond je on Krerovski. Ako je B nul tric, siste je hoogen. (desno su sve nule) Ako B nije nul tric, siste je nehoogen. ( br jedn slobodn čln nije nul)

Koristeći ove trice, jsno je d siste ožeo zpisti ko : A X = B gde je X x x =.. x rešenje siste. Još neki izrzi se upotrebljvju često, p i njih d objsnio: - jedinstveno rešenje je kd siste i so jedno rešenje ( odredjen je) - kd siste i više od jednog rešenj kže se d je neodredjen - kd siste i rešenj, bez obzir dl je jedno il beskončno nogo njih, kže se d je rešiv ( sglsn, neprotivrečn) - kd siste ne rešenj kže se d je nerešiv ( nesglsn, protivrečn) Teore ( Kroneker- Kpeli) kže: ( vži z nehoogen siste) Siste i rešenje ko i so ko je rng trice siste jednk rngu trice proširenog siste, tj r( A) = r( A) Ako siste i ksiln rng n, vži: i) rešenje je jedinstveno ko je r( A) = r( A) = n ii) siste i beskončno nogo rešenj ko je r( A) = r( A) < n Često se jvlj proble kd postro hoogen siste: x + x +... + x = x + x +... + x =... n n n n x + x +... + x = n n Ovj siste uvek i rešenje (,,,...,). Ovo se rešenje nziv trivijlno rešenje.

Pito se kd siste i i netrivijln rešenj? Hoogen siste i netrivijln rešenj ko i so ko je rng trice siste nji od broj nepozntih. Posledic ove teoree je : Ako u hoogeno sisteu vži d je broj jednčin nji od broj nepozntih, ond siste i netrivijln rešenj. Pre nego li kreneo s zdci, svetujeo v d još jedno pročitte i proučite fjl trice, posebno deo vezn z trženje rng trice. ZADACI. Odrediti rng trice u zvisnosti od pretr. A= 5 4 Rešenje: Pre nego li krenete d prvite nule ispod glvne dijgonle, nije loše d pretr prebcio d je u zdnjoj vrsti, n krjnjoj desnoj poziciji. Zto ćeo njpre d zenio est prvoj vrsti i trećoj vrsti. 4 A= 5 5 Sd prvio nule n nznčeni esti 4 4 5 III vrst inus I vrst ponožen s ide u III vrstu II vrst inus I vrst ponožen s ide u II vrstu 4 4 A 5 7 Sd prvio još jednu nulu n estu 7 4 7 7

Od III vrste oduzeo II i to upišeo uesto treće vrste. 4 4 4 A 7 7 7 Uočio poziciju 7 ( ) + 4 7. + 4 Jsno je d ko je z + = =, rng trice, jer io tricu 7 4 A, ko je, rng trice je tri, jer dobijo tricu 7, čij deterinnt je rzličit od nule, jer + ko se sećte, vrednost deterinnte ove trice je proizvod brojev po glvnoj dijgonli: det A= ( 7) ( + ). Odrediti rng trice u zvisnosti od pretr. A= Rešenje: Prvio nule n esti A=. II vrst I vrst n esto II vrste III vrst I vrst n esto III vrste IV vrst I vrst ponožen s n esto IV vrste A=. Sd prvio nule n esti 4

Uočio treću kolonu. U njoj već i nul koje n treb. Zto ćeo zeniti est II i III koloni. A sbereo II i IV vrstu p n IV Dlje oro nprviti nulu n uokvireno estu: + Sbereo IV i III vrstu i to upišeo n estu IV vrste... + + + ( )( ) Odvde je već izvesno: Ako je + rng trice je 4. Ako je = = tric postje 4 4 p je rng trice.ako je = io d je rng. 4 4. Dokzti d sledeći siste i netrivijln rešenj: x+ y z t u = x+ 4y 5z t u= x+ y z t u= x+ 5y z t u= Rešenje: 5

Ovde n je poso d dokžeo d je rng nji od ksilnog ogućeg rng( to jest od 4), jer je siste hoogen i vži: Ako u hoogeno sisteu vži d je broj jednčin nji od broj nepozntih, ond siste i netrivijln rešenj. Uočio tricu siste: 4 5 5 Ko i obično, njpre prvio nule n esti 4 5. 5 II vrst - I vrst ponožen s ide n esto II vrste III vrst - I vrst ponožen s ide n esto III vrste IV vrst - I vrst ponožen s ide n esto IV vrste 4 5 8 4 5 4 Sledeće nule orju biti n esti: 8 4 4 III vrst ponožen s dv inus II vrst ide n esto III vrste IV vrst ponožen s dv plus II vrst n esto IV vrste Dobijo tricu: 8 6

Jsno je d je rng ove trice, što je nje od ksilnog rng, to jest, dokzli so d siste i netrivijln rešenj. U sledeće prieru ćeo pokzti kko se on trže... 4. U zvisnosti od pretr diskutovti rešenj siste: x+ y+ z+ t= x+ y+ ( + ) z+ t = x+ ( + ) y+ z+ t = x+ y+ z+ 4t= Rešenje: Opet se rdi o hoogeno sisteu... + A= + 4 Prvio nule: + + 4 IIvrst Ivrst IIvrst IIIvrst Ivrst IIIvrst IVvrst Ivrst IVvrst + A= + 4 ( ) ( ) 4 Zenio est II i III vrsti... + A= + 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 IVvrst+ IIvrst IVvrst 7

A ( ) ( ) 4 ( ) 8 I još d nprvio nulu n uokvireno estu: ( ) 8 IVvrst+ IIIvrst IVvrst A ( ) 8 4 5 Ko rng ove trice or biti nji od 4, d bi siste io netrivijln rešenj, n estu 4 5 or biti. Dkle: 4 5 = b± b 4c ± + 5 4=, = = = = 7 5 5 4 ( 4) Postoje dve vrednosti z pretr, z koje siste i netrivijln rešenj. Moro proučiti obe ogućnosti. 8

z = 4 5 Iz treće vrste io z= z= Iz druge vrste io y= y= Iz prve vrste io x+ y+ z+ t= x+ t = x= t Rešenje je dkle ( x, y, z, t) = ( t,,, t) gde je t R z = 7 7 8 9 8 9 4 5 Iz treće vrste io 9t -8 z+ 9t = 8z= 9t z= 8 Iz druge vrste io 9t -8 y+ 9t = 8y= 9t y= 8 Iz prve vrste io 8t 7t x+ y+ z 7t= x+ + 7t= 8 8 t 8x+ 8t+ 7t 56t= 8x= t x= 8 t 9t 9t Rešenje je dkle ( x, y, z, t) = (,,, t) gde je t R 8 8 8 Zključk bi bio: Z, 7 siste i so trivijln rešenj (,,,) Z = siste i rešenj ( x, y, z, t) = ( t,,, t) gde je t R Z = -7 siste i rešenj t 9t 9t ( x, y, z, t) = (,,, t) gde je t R 8 8 8 9

5. U zvisnosti od pretr diskutovti rešenj siste: x+ y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= Rešenje: Ovde se rdi o nehoogeno sisteu. Mtric siste je A=, tric proširenog siste je A=. U trici proširenog siste prvio nule n već opisni nčin... A= njpre nule n ov dv est A= još ovde d nprvio nulu = + ( )( + ) ( )( + ) A ( )( ) Sd koristio Kroneker Kpelijevu teoreu: Siste i rešenje ko i so ko je rng trice siste jednk rngu trice proširenog siste, tj r( A) = r( A) Ako siste i ksiln rng n, vži: i) rešenje je jedinstveno ko je r( A) = r( A) = n ii) siste i beskončno nogo rešenj ko je r( A) = r( A) < n

Postrjo ( )( + ). ( )( + ) ( )( + ) D bi siste io jedinstveno rešenje, rng siste or biti jednk rngu proširenog siste. Ond je jsno d n uokvireni pozicij NE SMEJU biti nule. To je znči uslov d siste i jedinstveno rešenje. ( )( + ) Kko je svk kolon vezn z po jednu nepozntu, krenućeo od treće vrste, nći nepozntu z, p iz druge vrste nći nepozntu y i n krju iz prve vrste nći nepozntu x. ( )( ) + ( )( + ) ( )( + ) x y z treć jednčin: ( )( + ) z= ( )( + ) z=, nrvno z,, drug jednčin: ( )( + ) y+ ( ) z= ( )( + ) y+ ( ) = ( )( + ) y= + ( )( + ) y= + + y= y= ( ) ( + ) prv jednčin: x+ y+ z= x+ + = x= Dobili so jedinstveno rešenje: ( x, y, z) = (,, ) Ali tu nije krj zdtk... Moro ispitti i situcije kd je + = = i = =

Z = ( )( ) + ( )( + ) ( )( + ) Vrednost = so zenili u dobijenoj trici. Novonstl tric n govori sledeće: Rng siste je, jer postro so rešenj. rng proširenog siste je. Znči d ovde siste ne Z = ( )( + ) 4 ( )( + ) ( )( + ) Ovde je rng siste jednk rngu proširenog siste, tj r( A) = r( A) = < 4, li kko je rng nji od ksilnog rng, siste će iti beskončno nogo rešenj, odnosno : neodredjen je. drug jednčin: y z= 4 y= z 4 z 4 y= prv jednčin: x+ y+ z= z 4 x+ + z= z x= Dve nepoznte, x i y, so izrzili preko treće, preko z. Rešenj su : z z 4 ( x, y, z) ( =,, z) z R

6. U zvisnosti od pretr p, diskutovti i rešiti siste: x+ y+ z+ 5u= x+ y+ z+ u = x+ y+ z+ u= x+ y+ z+ pu= Rešenje: Oforio tricu proširenog siste i rdio opisni postupk... 5 IIvrst Ivrst IIvrst IIIvrst Ivrst IIIvrst IVvrst Ivrst IVvrst p 5 - -5-7 -5 II i III vrst zene est - - -4 - - -4 p- - 5 - - -4 - IIIvrst IIvrst IIIvrst - -5-7 -5 IVvrst IIvrst IVvrst - -4 p- - 5 - - -4 - - 5 p- - Ispod glvne dijgonle so nprvili nule. Sd diskutujeo. Uočio poziciju s pretro od koje n zvisi rng siste: 5 - - -4 -. Ako je ovde nul, to jest, ko je p=, - 5 p- - 5 - - -4 - - 5 - vidio d je rng trice siste d je rng trice proširenog siste 4, po teorei Kroneker Kpelij td siste ne rešenj. Dkle, d bi siste io rešenj, or d je p- p

Sd kreneo od četvrte vrste i tržio vrednosti nepozntih...evo d npišeo sve četiri jednčine: x+ y+ z+ 5u= iz prve vrste y z 4u= iz druge vrste z+ u= 5 iz treće vrste ( p ) u= iz četvrte vrste ( p ) u= u= p z+ u= 5 z= u 5 5 p+ 7 5p z= 5 z= z= p p p itd Dobijo rešenje: 7 5 ( ), p, p u= z= y=, x= p p p p p Evo jednog prier kko rešiti siste jednčin pooću inverzne trice. 7. Rešiti siste: Rešenje: x+ y+ z= 9 x+ y+ z= 6 x+ y+ 4z= Iz zdtog siste njpre izdvojio trice: A= 4 X x = y z 9 B= 6 Oforio tričnu jednčinu: AX = B X = A B A = dja det A 4

Sd rdio ceo postupk... det A= = = 8+ + 4 9 =, znči d postoji inverzn tric 4 4 A= 4 A =+ = ; A = = ; A =+ = ; 4 4 A = = ; A =+ = ; A = = ; 4 4 A =+ = ; A = = ; A =+ = dja= A A = dja det A = = X A B = 9 9+ 6 4 X = 6 9 48 4 = + = 9+ 4 X = Rešenje je dkle: ( x, y, z ) = (4,,) Vidite i si d je ovj postupk težk, p g prienjujte so kd to od vs izričito trže www.tetirnje.in.rs 5