MATRICE ZADACI ( II DEO) REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA Siste od jednčin s n nepozntih je njčešće uopšteno dt s: x + x +... + x = b n n x + x +... + x = b... n n x + x +... + x = b n n Ovde su: x, x,... x n nepoznte, brojevi ij su koeficijenti b, b,... b su slobodni člnovi. Iz ovog siste i izvlčio tri trice:... n... n. A=..... n je tric siste... n b.. n b A=...... n b je proširen tric siste b b B=.. b je tric s slobodni člnovi. Kd je A kvdrtn tric, to jest kd je broj jednčin siste jednk s broje nepozntih, ond tkv siste nzivo kvdrtni. Ako je i det A ond je on Krerovski. Ako je B nul tric, siste je hoogen. (desno su sve nule) Ako B nije nul tric, siste je nehoogen. ( br jedn slobodn čln nije nul)
Koristeći ove trice, jsno je d siste ožeo zpisti ko : A X = B gde je X x x =.. x rešenje siste. Još neki izrzi se upotrebljvju često, p i njih d objsnio: - jedinstveno rešenje je kd siste i so jedno rešenje ( odredjen je) - kd siste i više od jednog rešenj kže se d je neodredjen - kd siste i rešenj, bez obzir dl je jedno il beskončno nogo njih, kže se d je rešiv ( sglsn, neprotivrečn) - kd siste ne rešenj kže se d je nerešiv ( nesglsn, protivrečn) Teore ( Kroneker- Kpeli) kže: ( vži z nehoogen siste) Siste i rešenje ko i so ko je rng trice siste jednk rngu trice proširenog siste, tj r( A) = r( A) Ako siste i ksiln rng n, vži: i) rešenje je jedinstveno ko je r( A) = r( A) = n ii) siste i beskončno nogo rešenj ko je r( A) = r( A) < n Često se jvlj proble kd postro hoogen siste: x + x +... + x = x + x +... + x =... n n n n x + x +... + x = n n Ovj siste uvek i rešenje (,,,...,). Ovo se rešenje nziv trivijlno rešenje.
Pito se kd siste i i netrivijln rešenj? Hoogen siste i netrivijln rešenj ko i so ko je rng trice siste nji od broj nepozntih. Posledic ove teoree je : Ako u hoogeno sisteu vži d je broj jednčin nji od broj nepozntih, ond siste i netrivijln rešenj. Pre nego li kreneo s zdci, svetujeo v d još jedno pročitte i proučite fjl trice, posebno deo vezn z trženje rng trice. ZADACI. Odrediti rng trice u zvisnosti od pretr. A= 5 4 Rešenje: Pre nego li krenete d prvite nule ispod glvne dijgonle, nije loše d pretr prebcio d je u zdnjoj vrsti, n krjnjoj desnoj poziciji. Zto ćeo njpre d zenio est prvoj vrsti i trećoj vrsti. 4 A= 5 5 Sd prvio nule n nznčeni esti 4 4 5 III vrst inus I vrst ponožen s ide u III vrstu II vrst inus I vrst ponožen s ide u II vrstu 4 4 A 5 7 Sd prvio još jednu nulu n estu 7 4 7 7
Od III vrste oduzeo II i to upišeo uesto treće vrste. 4 4 4 A 7 7 7 Uočio poziciju 7 ( ) + 4 7. + 4 Jsno je d ko je z + = =, rng trice, jer io tricu 7 4 A, ko je, rng trice je tri, jer dobijo tricu 7, čij deterinnt je rzličit od nule, jer + ko se sećte, vrednost deterinnte ove trice je proizvod brojev po glvnoj dijgonli: det A= ( 7) ( + ). Odrediti rng trice u zvisnosti od pretr. A= Rešenje: Prvio nule n esti A=. II vrst I vrst n esto II vrste III vrst I vrst n esto III vrste IV vrst I vrst ponožen s n esto IV vrste A=. Sd prvio nule n esti 4
Uočio treću kolonu. U njoj već i nul koje n treb. Zto ćeo zeniti est II i III koloni. A sbereo II i IV vrstu p n IV Dlje oro nprviti nulu n uokvireno estu: + Sbereo IV i III vrstu i to upišeo n estu IV vrste... + + + ( )( ) Odvde je već izvesno: Ako je + rng trice je 4. Ako je = = tric postje 4 4 p je rng trice.ako je = io d je rng. 4 4. Dokzti d sledeći siste i netrivijln rešenj: x+ y z t u = x+ 4y 5z t u= x+ y z t u= x+ 5y z t u= Rešenje: 5
Ovde n je poso d dokžeo d je rng nji od ksilnog ogućeg rng( to jest od 4), jer je siste hoogen i vži: Ako u hoogeno sisteu vži d je broj jednčin nji od broj nepozntih, ond siste i netrivijln rešenj. Uočio tricu siste: 4 5 5 Ko i obično, njpre prvio nule n esti 4 5. 5 II vrst - I vrst ponožen s ide n esto II vrste III vrst - I vrst ponožen s ide n esto III vrste IV vrst - I vrst ponožen s ide n esto IV vrste 4 5 8 4 5 4 Sledeće nule orju biti n esti: 8 4 4 III vrst ponožen s dv inus II vrst ide n esto III vrste IV vrst ponožen s dv plus II vrst n esto IV vrste Dobijo tricu: 8 6
Jsno je d je rng ove trice, što je nje od ksilnog rng, to jest, dokzli so d siste i netrivijln rešenj. U sledeće prieru ćeo pokzti kko se on trže... 4. U zvisnosti od pretr diskutovti rešenj siste: x+ y+ z+ t= x+ y+ ( + ) z+ t = x+ ( + ) y+ z+ t = x+ y+ z+ 4t= Rešenje: Opet se rdi o hoogeno sisteu... + A= + 4 Prvio nule: + + 4 IIvrst Ivrst IIvrst IIIvrst Ivrst IIIvrst IVvrst Ivrst IVvrst + A= + 4 ( ) ( ) 4 Zenio est II i III vrsti... + A= + 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 IVvrst+ IIvrst IVvrst 7
A ( ) ( ) 4 ( ) 8 I još d nprvio nulu n uokvireno estu: ( ) 8 IVvrst+ IIIvrst IVvrst A ( ) 8 4 5 Ko rng ove trice or biti nji od 4, d bi siste io netrivijln rešenj, n estu 4 5 or biti. Dkle: 4 5 = b± b 4c ± + 5 4=, = = = = 7 5 5 4 ( 4) Postoje dve vrednosti z pretr, z koje siste i netrivijln rešenj. Moro proučiti obe ogućnosti. 8
z = 4 5 Iz treće vrste io z= z= Iz druge vrste io y= y= Iz prve vrste io x+ y+ z+ t= x+ t = x= t Rešenje je dkle ( x, y, z, t) = ( t,,, t) gde je t R z = 7 7 8 9 8 9 4 5 Iz treće vrste io 9t -8 z+ 9t = 8z= 9t z= 8 Iz druge vrste io 9t -8 y+ 9t = 8y= 9t y= 8 Iz prve vrste io 8t 7t x+ y+ z 7t= x+ + 7t= 8 8 t 8x+ 8t+ 7t 56t= 8x= t x= 8 t 9t 9t Rešenje je dkle ( x, y, z, t) = (,,, t) gde je t R 8 8 8 Zključk bi bio: Z, 7 siste i so trivijln rešenj (,,,) Z = siste i rešenj ( x, y, z, t) = ( t,,, t) gde je t R Z = -7 siste i rešenj t 9t 9t ( x, y, z, t) = (,,, t) gde je t R 8 8 8 9
5. U zvisnosti od pretr diskutovti rešenj siste: x+ y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= Rešenje: Ovde se rdi o nehoogeno sisteu. Mtric siste je A=, tric proširenog siste je A=. U trici proširenog siste prvio nule n već opisni nčin... A= njpre nule n ov dv est A= još ovde d nprvio nulu = + ( )( + ) ( )( + ) A ( )( ) Sd koristio Kroneker Kpelijevu teoreu: Siste i rešenje ko i so ko je rng trice siste jednk rngu trice proširenog siste, tj r( A) = r( A) Ako siste i ksiln rng n, vži: i) rešenje je jedinstveno ko je r( A) = r( A) = n ii) siste i beskončno nogo rešenj ko je r( A) = r( A) < n
Postrjo ( )( + ). ( )( + ) ( )( + ) D bi siste io jedinstveno rešenje, rng siste or biti jednk rngu proširenog siste. Ond je jsno d n uokvireni pozicij NE SMEJU biti nule. To je znči uslov d siste i jedinstveno rešenje. ( )( + ) Kko je svk kolon vezn z po jednu nepozntu, krenućeo od treće vrste, nći nepozntu z, p iz druge vrste nći nepozntu y i n krju iz prve vrste nći nepozntu x. ( )( ) + ( )( + ) ( )( + ) x y z treć jednčin: ( )( + ) z= ( )( + ) z=, nrvno z,, drug jednčin: ( )( + ) y+ ( ) z= ( )( + ) y+ ( ) = ( )( + ) y= + ( )( + ) y= + + y= y= ( ) ( + ) prv jednčin: x+ y+ z= x+ + = x= Dobili so jedinstveno rešenje: ( x, y, z) = (,, ) Ali tu nije krj zdtk... Moro ispitti i situcije kd je + = = i = =
Z = ( )( ) + ( )( + ) ( )( + ) Vrednost = so zenili u dobijenoj trici. Novonstl tric n govori sledeće: Rng siste je, jer postro so rešenj. rng proširenog siste je. Znči d ovde siste ne Z = ( )( + ) 4 ( )( + ) ( )( + ) Ovde je rng siste jednk rngu proširenog siste, tj r( A) = r( A) = < 4, li kko je rng nji od ksilnog rng, siste će iti beskončno nogo rešenj, odnosno : neodredjen je. drug jednčin: y z= 4 y= z 4 z 4 y= prv jednčin: x+ y+ z= z 4 x+ + z= z x= Dve nepoznte, x i y, so izrzili preko treće, preko z. Rešenj su : z z 4 ( x, y, z) ( =,, z) z R
6. U zvisnosti od pretr p, diskutovti i rešiti siste: x+ y+ z+ 5u= x+ y+ z+ u = x+ y+ z+ u= x+ y+ z+ pu= Rešenje: Oforio tricu proširenog siste i rdio opisni postupk... 5 IIvrst Ivrst IIvrst IIIvrst Ivrst IIIvrst IVvrst Ivrst IVvrst p 5 - -5-7 -5 II i III vrst zene est - - -4 - - -4 p- - 5 - - -4 - IIIvrst IIvrst IIIvrst - -5-7 -5 IVvrst IIvrst IVvrst - -4 p- - 5 - - -4 - - 5 p- - Ispod glvne dijgonle so nprvili nule. Sd diskutujeo. Uočio poziciju s pretro od koje n zvisi rng siste: 5 - - -4 -. Ako je ovde nul, to jest, ko je p=, - 5 p- - 5 - - -4 - - 5 - vidio d je rng trice siste d je rng trice proširenog siste 4, po teorei Kroneker Kpelij td siste ne rešenj. Dkle, d bi siste io rešenj, or d je p- p
Sd kreneo od četvrte vrste i tržio vrednosti nepozntih...evo d npišeo sve četiri jednčine: x+ y+ z+ 5u= iz prve vrste y z 4u= iz druge vrste z+ u= 5 iz treće vrste ( p ) u= iz četvrte vrste ( p ) u= u= p z+ u= 5 z= u 5 5 p+ 7 5p z= 5 z= z= p p p itd Dobijo rešenje: 7 5 ( ), p, p u= z= y=, x= p p p p p Evo jednog prier kko rešiti siste jednčin pooću inverzne trice. 7. Rešiti siste: Rešenje: x+ y+ z= 9 x+ y+ z= 6 x+ y+ 4z= Iz zdtog siste njpre izdvojio trice: A= 4 X x = y z 9 B= 6 Oforio tričnu jednčinu: AX = B X = A B A = dja det A 4
Sd rdio ceo postupk... det A= = = 8+ + 4 9 =, znči d postoji inverzn tric 4 4 A= 4 A =+ = ; A = = ; A =+ = ; 4 4 A = = ; A =+ = ; A = = ; 4 4 A =+ = ; A = = ; A =+ = dja= A A = dja det A = = X A B = 9 9+ 6 4 X = 6 9 48 4 = + = 9+ 4 X = Rešenje je dkle: ( x, y, z ) = (4,,) Vidite i si d je ovj postupk težk, p g prienjujte so kd to od vs izričito trže www.tetirnje.in.rs 5