Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Транскрипт

1 Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci

2 Matrice...

3 Matrice...

4 Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,..., R, C osnovne algebarske strukture vektori, operacije s vektorima, skalarni i vektorski umnožak,..., vektorski prostor...

5 Što je matrica? je matematički objekt čiji su elementi realni ili kompleksni brojevi rasporedeni u retke ili stupce. Ona se zapisuje u obliku pravokutne sheme. A s m redaka, n stupaca i s elementima a ij na mjestima (i, j), zapisuje se a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = [a ij ] =.... a m1 a m2 a mn Za matricu iz gornje relacije, s m redaka i n stupaca, kaže se da je tipa ili dimenzije m n. Pritom je A = [a ij ] kraći zapis za pravokutnu shemu iz gornje relacije, dok je a ij (ili [A] ij ) oznaka za element koji se nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog stupca matrice A.

6 Pritom je niz brojeva i-ti redak, a niz brojeva a i1, a i2, a i3,..., a in a 1j a 2j. a mj j-ti stupac matrice A. Ako vrijedi m = n, tj. ako je broj redaka matrice jednak broju stupaca, matrica A je kvadratna matrica reda n. sa samo jednim retkom naziva se matrica redak ili jednoretčana matrica. sa samo jednim stupcem naziva se matrica stupac ili jednostupčana matrica.

7 Realna matrica je matrica čiji su elementi realni brojevi, a kompleksna matrica čiji su elementi kako realni tako i kompleksni brojevi. Praktično je imati oznaku za skup svih m n matrica, pa je s C m n (R m n ) označen skup svih kompleksnih (realnih) m n matrica, redom. Pravokutne matrice su elementi skupa C m n (R m n ), dok su za m = n kvadratne matrice, odnosno elementi skupa C n n (R n n ). Ako nije važan podatak jesu li matrični elementi realni ili kompleksni brojevi, piše se M mn. [ ] 7 2 4, , [ ] 2 + i 3 + 2i, 1 i 4 i , [ 1 0 ]

8 Jednakost matrica Definicija A M mn jednaka je matrici B M pq ako vrijedi m = p, n = q i a ij = b ij, za sve 1 i m, 1 j n (1) i piše se A = B. (2) Prema definiciji, dvije matrice su jednake ako i samo ako imaju jednak broj redaka, jednak broj stupaca i svaki element jedne matrice jednak je odgovarajućem elementu druge matrice. Budući da matrica A ima m n elemenata, jednakost (2) zapravo znači m n jednakosti realnih brojeva. Sada će biti navedene osnovne operacije koje čine strukturu matrične algebre. Pritom će se koristiti A, B, C,... oznake za matice i njihove elemente a ij, b ij, c ij,..., redom.

9 Matrice...

10 Zbrajanje matrica U ovom će odjeljku biti definirane osnovne operacije i dana osnovna svojstva realnih matrica. Slijedi definicija zbrajanja matrica u R m n. Definicija Neka je A R m n i B R p q. Ako je m = p i n = q, onda se matrica C R m n s elementima c ij = a ij + b ij, za sve 1 i m, 1 j n (3) naziva zbrojem ili sumom matrica A i B i piše se C = A + B. (4) Zbrajanje matrica A i B znači m n zbrajanja realnih brojeva, kao što je označeno u (3). Ono je definirano za svaki par matrica iz R m n i rezultat je uvijek u R m n, pa je R m n zatvoren u odnosu na operaciju zbrajanja.

11 Zbrajanje matrica Zbrajanje u R m n ima sljedeća svojstva: A + (B + C) = (A + B) + C (asocijativnost) A + B = B + A (komutativnost) Postoji matrica O R m n (neutralni element) sa svojstvom da je A + O = A za svaku matricu A R m n. Svi elementi matrice O jednaki su nuli Za svaki A R m n postoji jedna i samo jedna matrica koja se označava s A (inverzni element), takva da vrijedi A + ( A) = O. Ako je A = (a ij ), onda je A = ( a ij ). Iz navedenih svojstava može se zaključiti, da skup matrica R m n zajedno s operacijom zbrajanja, (R m n, +), čini aditivnu Abelovu grupu.

12 Zbrajanje matrica Napomena Kada je na nekom skupu S definirana binarna operacija koja svakom uredenom paru (x, y) elemenata od S pridružuje element x y S, onda je skup S zatvoren u odnosu na operaciju. Ta činjenica se označava s (S, ). Ako za tu operaciju još vrijede svojstva asocijativnosti, postojanja neutralnog elementa i postojanja inverznog elementa, onda je (S, ) algebarska struktura koja se naziva grupa. Ako je operacija operacija zbrajanja, onda je (S, ) aditivna grupa. Ako još vrijedi svojstvo komutativnosti, onda je (S, ) komutativna ili Abelova grupa.

13 Množenje matrice skalarom Slijedi definicija množenja matrica s realnim brojem (skalarom). Definicija Ako je A R m n i c R, matrica B R m n s elementima b ij = ca ij, za sve 1 i m, 1 j n (5) naziva se umnožak ili produkt matrice A sa skalarom c i piše se B = ca. (6) Jednakost (6) označava da je svaki od m n elemenata matrice A pomnožen s c kako bi se dobila matrica B. Jasno je da za svaki realni skalar c i svaku matricu A R m n matrica B = ca mora biti u R m n.

14 Množenje matrice skalarom Za proizvoljne A, B R m n i α, β, c R vrijedi: c(a + B) = ca + cb (distributivnost množenja prema zbrajanju u R m n ) (α + β)a = αa + βa (distributivnost množenja prema zbrajanju u R) (αβ)a = α(βa) (kompatibilnost množenja) 1A = A (netrivijalnost množenja).

15 Množenje matrice skalarom Iz svojstava zbrajanja matrica i svojstava množenja matrica skalarom slijedi da je (R m n, +, ) realni vektorski prostor. Napomena Neka je (X, +) aditivna Abelova grupa. Neka je na X definirana još jedna operacija koja svakom paru α R, x X pridružuje element iz X koji se označava s αx. X je zatvoren u odnosu na operaciju, što se označava s (X, +, ). Ako za operaciju vrijede gore navedena svojstva, onda je struktura (X, +, ) naziva linearni ili vektorski prostor nad R. Kraće se može reći da je X (realni) vektorski prostor.

16 Množenje matrica Sljedeća operacija koja se definira je množenje matrica. Definicija Neka je A R m n i B R n p. Umnožak ili produkt matrica A i B je matrica C = A B R m p (7) čiji elementi su odredeni formulom c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + a in b nj n = a ik b kj za sve 1 i m, 1 j n k=1 Produkt matrica A i B je definiran samo ako su matrice ulančane, tj. ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B.

17 Množenje matrica Operacija množenja matrica može se gledati kao preslikavanje koje uredenom paru matrica odredenih dimenzija pridružuje matricu takoder odredenih dimenzija, prema dijagramu : R m n R n p R m p. Za izračunati element c ij matrice C,. C = c ij.,

18 Množenje matrica pri čemu je C = AB, treba imati na raspolaganju i-ti redak matrice A i j-ti stupac matrice B, b 1j.... b 2j AB = a i1 a i2 a i3 a in b 3j b nj. Formula (2.5) kaže da se pomnože elementi i-tog retka matrice A s odgovarajućim elementima j-tog stupca matrice B i dobiveni produkti zbroje.

19 Množenje matrica Primjer Ako su A R 3 2 i B R A = 7 2, B = 9 0 [ ] 2 5, 1 6 onda je C = AB R 3 2 i vrijedi C = = produkta AB je matrica C, dok BA nije definirana.

20 Množenje matrica Primjer Ako su A R 2 2 i B R 2 1 A = [ ] 4 2, B = 1 8 [ ] 3, 5 onda je C = AB R 2 1 i vrijedi [ ] [ ] C = = [ ] [ ] dok BA = nije definirano [ ] = [ ] 22, 43

21 Primjer Ako su A R 1 3 i B R 3 1 Množenje matrica A = [ ] 1, B = 2, 4 onda je C = AB R 1 1 i vrijedi C = [ ] 1 2 = [ 19 ], 4 dok je 1 BA = 2 [ ] =

22 Množenje matrica Ako je A R m n i B R n p, onda je produkt AB R m p definiran. Postavlja se pitanje je li i kada je BA definirano. Produkt BA je definiran samo onda kada je broj stupaca matrice B jednak broju redaka matrice A, tj. ako vrijedi p = m. Prema tome, produkti AB i BA su istovremeno definirani ako i samo ako je A R m n i B R n m za neke pozitivne cijele brojeve m i n. To pogotovo vrijedi kada je m = n, tj. kada su A i B kvadratne matrice istog reda. Množenje matrica katkad daje iznenadujuće rezultate u smislu razlike množenja matrica u odnosu na množenje brojeva.

23 Općenito, množenje matrica nije komutativno, AB BA. To se može vidjeti iz prethodnih primjera, ali vrijedi i za kvadratne matrice. Primjer Za matrice A, B R 2 2 A = [ ] [ ] = dok je [ ] [ ] = [ ] 9 3, B = 2 0 [ ] 1 4, 2 5 [ ] ( 4) = ( 2) ( 4) [ ] ( 4) ( 2) ( 4) 0 = ( 2) [ 15 ] [ ]

24 AB = 0 ne mora implicirati da je A = 0 ili B = 0 ili BA = 0 Primjer Za matrice A, B R 2 2 A = [ ] [ ] , B =, [ ] [ ] [ ] AB = =, [ ] [ ] [ ] BA = =

25 AC = AD ne mora implicirati da je C = D (iako je A 0) Primjer Za matrice A, C, D R 2 2 pri čemu A = [ ] 1 1, C = 2 2 [ ] [ ] AC = = A = [ ] [ ] 2 1, D = 2 2 [ ] 4 3 = 8 6 [ [ ] 3 0 = D. 1 3 [ ] 3 0, 1 3 ] [ ] 3 0 = AD, 1 3

26 Množenje matrica Dakle, ovdje su dana tri svojstva po kojoj se množenje matrica razlikuje od množenje brojeva: AB BA, množenje matrica općenito nije komutativno AB = 0 ne mora implicirati A = 0 ili B = 0 ili BA = 0 AC = AD ne mora implicirati C = D. Treće svojstvo slijedi iz drugog kad je B = C D, pa je A(C D) = 0 ili AC = AD. Kod množenja matrica važno je poštovati redosljed faktora! Kaže se da je B, u AB, matrica koja je množena s lijeva sa A, a A matrica množena zdesna sa B.

27 Množenje matrica Ostala svojstva za množenje matrica navedena su u sljedećoj propoziciji. Propozicija Za množenje matrica vrijede sljedeća svojstva: A(B + C) = AB + AC, (8) A(BC) = (AB)C, (9) α(ab) = (αa)b = A(αB). (10)

28 Jedinična matrica Jedinična matrica, I =..... R n n, je neutralni element s obzirom na množenje matrica u vektorskom prostoru R n n. I je reda n pa se još koristi oznaka I n. Vrijedi AI = IA = A, za svako A R n n. Dakle, I ima istu ulogu kod množenja matrica kao i broj 1 kod množenja realnih brojeva. Općenitije, vrijede relacije: IA = A, za svako A R n p, AI = A, za svako A R p n.

29 Dijagonalna matrica A = [a ij ] R m n je dijagonalna matrica ako su svi izvandijagonalni elementi jednaki nuli, ili kraće: a ij = 0 za i j. Ako se želi naglasiti koji su dijagonalni elementi onda se matrica A može zapistai na sljedeći način, A = diag (a 11, a 22,..., a kk ), pri čemu je k = min{m, n} i a ii element na mjestu (i, i), 1 i k, a ostali elementi su nula. Za m > n, odnosno m < n, pri čemu je k = min{m, n} matrica A = diag (a 11, a 22,..., a kk ) ima oblik a a kk, a... 0, a 0 kk respektivno. Produkt dviju netrivijalnih dijagonalnih matrica, npr. diag (1, 0, 2) diag (0, 1, 0) = diag (0, 0, 0) može biti nul-matrica. Nul-matrica i jedinična matrica spadaju u dijagonalne matrice.

30 Trag matrice Suma dijagonalnih elemenata kvadratne matrice A reda n označava se s n tr(a) = a ii. Primjer Neka je i= A = Suma dijagonalnih elemenata matrice A je tr(a) = 6.

31 Skaliranje redaka (stupaca) matrice Neka je matrica A R n p i neka je dijagonalna matrica D = diag (d 1,..., d n ). Onda je i-ti redak od DA jednak i-tom redku od A pomnoženom s d i, pri čemu je 1 i n. Slično, ako je A C p n, onda je i-ti stupac od AD jednak i-tom stupcu od A pomnoženom s d i. Ako su dijagonalni elementi od D pozitivni, operacija DA (AD) naziva se skaliranje redaka (stupaca).

32 Skaliranje redaka (stupaca) matrice Primjer Neka su A = 4 5 6, D = Izračunati AD i DA AD = = DA = =

33 Trokutasta matrica R = [r ij ] R n n je gornje-trokutasta ili gornja trokutasta matrica ako je r ij = 0 za sve j < i. L = [l ij ] R n n je donje-trokutasta ili donja trokutasta matrica ako je l ij = 0 za sve j > i. Primjer gornje i donje trokutaste matrice, R = redom , L = ,

34 Transponirana matrica A T R n m je transponirana matrica matrici A R m n, ako je svaki redak matrice A T jednak odgovarajućem stupcu matrice A, što se može kraće zapisati: ako je A = [a ij ], onda je A T = [a ji ]. Ako je a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n A =., onda je a 12 a 22 a m2 AT =.. a m1 a m2 a mn a 1n a 2n a mn

35 Transponirana matrica Primjer Ako je A = , onda je A T =

36 Transponirana matrica Glavna svojstva operacije transponiranja navedena su u sljedećoj propoziciji. Propozicija Operacija transponiranja ima sljedeća svojstva: (A T ) T = A, (11) (αa) T = αa T, (12) (A + B) T = A T + B T, (13) (AB) T = B T A T. (14)

37 Matrice... Kraj... za danas :-)