Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Транскрипт

1 NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE NULE FUNKCIJE su mesta gde grafik seče osu a dobijaju se kao rešenja jednačine y= 0 ( to jest f ( ) = 0 ) Mnogi profesori vole da se u okviru ove tačke nadje i presek sa y osom. Njega dobijamo kada u datoj funkciji stavimo da je = 0 ( naravno, ako je 0 u oblasti definisanosti) i nadjemo vrednost za y.( to je ustvari f (0) ) ZNAK FUNKCIJE Odredjivanje znaka funkcije je ustvari odredjivanje intervala u kojem je funkcija pozitivna i intervala u kojem je funkcija negativna. Gde je y> 0 tu je funkcija pozitivna a grafik iznad ose. Gde je y< 0 tu je funkcija negativna a grafik je ispod ose. Kod odredjivanja znaka često koristimo tablicu ali je prethodno neophodno da i brojilac i imenilac rastavimo na činioce. Nama je bitno da kod odredjivanja znaka zapamtite sledeće: Pitamo se od čega nam zavisi znak funkcije! Izraz za koji smo sigurni da je pozitivan ne ulazi u razmatranje kod odredjivanja znaka! Još jedna stvar, jesu i posebne tačke u ispitivanju funkcije ali su vezane za Oblast definisanosti i ostale tačke u ispitivanju To znači da nam svaka tačka priča neku priču ali je vezana za ostale tačke u ispitivanju. Evo nekoliko primera... ( Naravno, uvek moramo prvo odrediti, pa tek onda Nule i Znak...). Odrediti Oblast definisanosti, Nule i Znak funkcija: a) b) v) g) y = + 4 y= f ( ) = + + f ( ) = + Rešenja:

2 a) y = D f = (, ) (, ) Ovo znači da funkcija u = - ima potencijalnu vertikalnu asimptotu ( pogledajmo sliku) Znači rešavamo jednačinu y=0, to jest = 0. Pazite, ovde samo brojilac izjednačavamo sa 0, jer smo se u + u već ogradili da u imeniocu ne sme da bude 0. = 0 = 0 = + Funkcija seče osu u tački =. Da vidimo gde seče y osu. Zamenimo da je = 0. 0 f (0) = = 0+ Na slici to bi izgledalo:

3 Rešavamo nejednačine > 0 < Idemo tablično jer tako dobijamo oba rešenja odjednom. Zapisujemo: y> 0 za (, ) (, ) y< 0 za (,) A na grafiku bi ovo značilo: Grafik funkcije je u žutim oblastima, u belim nema funkcije! b) 4 y= ( )( + ) 0 Oblast definisanosti će biti: D f = (, ) (,) (, )

4 4 y= = = + = = = ( )( ) 0 Za sad znamo gde su potencijalne vertikalne asimptote i gde funkcija seče osu. Presek sa y osom je f (0) = = Pogledajmo sliku: Rastavimo funkciju na činioce 4 ( )( + ) y= = 9 ( )( + ) pa koristimo tablicu: Ovo bi na grafiku izgledalo: 4

5 v) f ( ) = D f = (, ) (, ) 5 + 7= 0 Ova kvadratna jednačina nema realna rešenja, jer je a> 0 D< 0 a znamo da je onda 5 + 7> 0. Ovo znači da grafik nigde ne seče osu! Presek sa y osom je u f (0) = = =, 5. 0 Pitamo se: od čega nam zavisi znak funkcije? Zaključili smo u prethodnoj tački da je 5 + 7> 0 uvek, pa nam znak funkcije zavisi samo od izraza y> 0 za > 0 > y< 0 za < 0 < To bi na grafiku izgledalo: 5

6 g) f ( ) = Kako je + > 0 to je f (, ) D = što znači da funkcija nema vertikalnih asimptota. + + = ( + ) = 0 = = Funkcija seče osu u tački (,0) Presek sa y osom je u f (0) = =, znači u tački (0,). Razmišljamo... Kako je + > 0 uvek i ( + ) 0 uvek, to zaključujemo da je funkcija uvek pozitivna ( sem naravno u (,0) ) I da je ceo grafik iznad ose. 6

7 . Odrediti Oblast definisanosti, Nule i Znak funkcija: a) b) y= ln + y= ln Rešenje: a) y= ln + > 0, rešavamo tablično: + D f = (, ) (, ) a na slici bi to izgledalo: y= 0 ln = 0 = + + ( Jer znamo da je ln= 0 ) Sad rešimo ovu jednačinu i dobijamo = + = 4 7

8 Presek sa y osom NE POSTOJI jer = 0 nije u oblasti definisanosti! Da se podsetimo najpre da važi: y= lnθ y> 0 za Θ> y< 0 za 0<Θ< Ovo je uopšteno, gde je Θ bilo koja funkcija. Primenjeno na naš slučaj, imamo: 4 y> 0 za > > 0 > 0 > Rešićemo ovo pa ćemo lako zaključiti gde je y< 0 y> 0 za (, ) (4, ) E sad, ne bi baš bilo najbolje da zapišemo da je y< 0 za (,4) zato što funkcija nije tu svuda definisana, već moramo: y< 0 za (,4) Još da vidimo šta do sada znamo vezano za crtanje grafika: 8

9 b) y= ln Zbog razlomka je ln 0 ln e a pošto ima i ln funkcija, mora biti > 0, tako da je : Df = (0, e) ( e, ) a na slici za grafik nam je: Ne postoje nule funkcije ( odnosno, nema preseka sa osom) jer mi samo brojilac izjednačavamo sa 0 a u brojiocu je. Ne postoje ni preseci sa y osom jer 0 nije u oblasti definisanosti. nam zavisi samo od izraza u imeniocu, pa je: y> 0 za ln > 0 ln> > e y< 0 za ln < 0 ln< < e (0, e) a na grafiku bi bilo: 9

10 . Odrediti Oblast definisanosti, Nule i Znak funkcija: a) b) e y= y= e Rešenje: a) e y= Rekli smo da je funkcija D = (,) (, ) f e svuda definisana, tako da nam samo smeta razlomak: Kako je e > 0 uvek zaključujemo da ova funkcija nema nule, a presek sa y osom je 0 e f (0) = = =. 0 Razmišljamo : od čega nam zavisi znak funkcije? Rekosmo da je e > 0 uvek, tako da znak zavisi samo od. y> 0 za > 0 > y< 0 za < 0 < Za sada znamo da grafik izgleda: 0

11 b) y= e Ovde nam jedino smeta razlomak u izložiocu 0 D f = (,0) (0, ) E ovde sad nastaju problemi. Jednačinu e = 0 ne možemo ( ili je bolje reći da ne umemo) da rešimo ( uči se samo na pojedinim fakultetima). Šta raditi u takvim situacijama? Razdvojimo funkcije: e = Neka je y = e i y =. Ideja je da nacrtamo posebno ova dva grafika I da vidimo na toj slici da li ima mesta gde se oni seku. E sad, y = je lako nacrtati, to je prava koja je simetrala I i III kvadranta. Za y = e bi morali da ispitujemo sve tačke kao da je nova funkcija:, Nule.. Mi ćemo vam odmah dati konačne grafike budući da u ovom fajlu radimo samo Nule i. Na slici. je grafik funkcije y = e, na slici. je grafik y = a na slici. smo dobili mesto gde se ova dva grafika seku što je naša tražena NULA FUNKCIJE.

12 Radi preciznijeg crtanja početnog grafika možemo zaključiti da se naša nula nalazi izmedju i ili, ako hoćete još preciznije (;, 5). Sa slike. vidimo da je : y> 0 za (,0) (0, ) y< 0 za (, ) Presek sa y osom ne postoji jer =0 nije u oblasti definisanosti.