My_P_Trigo_Zbir_Free

Транскрипт

1 Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу Дефиниције: Наспрамна Кат Налегла Кат α cs α Хипотенуза Хипотенуза tg α Наспрамна Кат НалеглаКат ctg α НалеглаКат Наспрамна Кат Основни тригонометријски идентитет: најпре α + cs α α cs α α ± cs α cs α s α ± α α tg α cs α ctg α α tgα ctgα tg α ctgα 5 α cs α cs α α, tg α ctg α итд tgα 6 α ± ± + tg α + tg α Вредности тригонометријских величина карактеристичних углова α 0 о 0 о 5 о 60 о 90 о α 0 α 0 cs α tgα 0 6 α ctg 0 0

2 Ниво - Адиционе формуле ( α + β ) α cs β + β cs( α + β ) cs β α β ( α β ) α cs β β cs( α β ) cs β + α β tgα + tgβ tgα tgβ tgα tgβ tg( α β ) + tgα tgβ tg( α + β ) ctg( α + β ) ctg ( α β ) ctgα ctgβ ctgβ + ctgα ctgα ctgβ + ctgβ ctgα Тригонометријске вредности двоструког угла се добију из адиционих теорема када се у формулу збира два угла стави да је β α 5 α α 6 cs α cs α α 7 tg tgα tg α α ctg α ctgα ctgα Тригонометријске вредности половине угла се добију када се саберу једначине основног тригонометријског идентитета α + cs α и cs α cs α α 9 α ± 0 α + cs ± Одавде проистичу често коришћени односи: cs + cs cs cs cs + cs α α + tg ± ctg ± +

3 Ниво - Трансформација збира и разлике у производ и обрнуто Добијамо их из адиционих теорема када се стави да је α + y и β y Одавде је α + β α β и y Када формирамо α + β ( + y) + ( y) cs y, итд α + β α β α + β cs α β α + β α β cs ( α + β ) tg α + tgβ cs β ( α β ) tg α tgβ cs β α + β α β + cs β cs cs α + β α β cs β ( β + α ) ctg α + ctgβ α β ( β α ) ctg α ctgβ α β Формуле за трансформацију производа у збир добијамо из адиционих теорема када се саберу једначине за збир и разлик, како синуса, тако косинуса Написане једна испод друге адиционе теореме указују на износ производа који ће се добити када се оне саберу или одузму 5 α cs β [ ( α + β ) + ( α β )] 6 cs α cs β [ cs( α + β ) + cs( α β )] 7 α β [ cs( α β ) cs( α + β )]

4 Тригонометрија Страна Израчунати: cs + cs + cs 69 + cs 79 cs + cs + cs 69 + cs 79 Треба израчунати вредност израза састављеног од квадрата косинуса углова које можемо израчунати само из таблица Али, пада у очи комплементарност тих углова, тј да је 90 79, а cs α 90 α Такође знамо да је ( ) ( ) + ( 90 ) A cs + cs + cs 69 + cs 79 cs + cs + 79 A cs + cs + + cs + + cs + + Ако је α 0, и α, израчунати: cs α, tg α, ctg α Треба израчунати вредност тригонометријских величина cs α, tg α, ctg α у случају да је дато α У овом случају то радимо по шаблону: најпре израчунамо ± α, а затим α tg α и ctgα При томе, обратимо пажњу на знак који је одређен квадрантом у коме се cs α tgα угао налази ± α Како α, то је cs α < 0 и α Одавде је ( 0,) 0,6 0,6 0, 6 α 0, 0, tg α 0,6 0,6 6 ctg α tg α Ако је 5 tg α и 0 < α <, израчунати α и cs α 5 Ако је tg, израчунати cs + 5cs 5 Ако је α и α,, израчунати: 5 cs α 6 Ако је cs и, израчунати cs

5 Тригонометрија Страна 7 Ако је tg tgy и tgy tg, израчунати ( y) ctg Ако је + y a и + cs y b cs, изразити ( y) cs помоћу a и b 9 Ако је tg α, 7 5 tg β и 0, α, β,, израчунати cs ( α + β ) 0 Ако је tg + ctg, израчунати tg + ctg Ако је cs, израчунати cs Треба израчунати вредност cs, а дата вредност разлике cs Тражени израз можемо раставити на чиниоце по формули за растављање разлике кубова, а дати израз квадрирати да се збир квадрата синуса и косинуса стопе у, а да остане међусобни производ cs cs ( + ) A ( cs ) ( + cs + cs ) ( + cs + cs ) Са друге стране када се квадрира дати израз, добије се ( cs ) cs + cs + cs cs cs cs cs / : ( ) cs Када се ова вредност врати у израз А, добија се A ( + cs ) + 6 Ако је Ако је cs, израчунати + cs + y 6, израчунати ( + tg )( + tgy) Ако је + cs ctg tg израчунати + cs ctg tg 5 Израчунати: 0 cs0

6 Тригонометрија Страна 6 Израчунати: 7 Израчунати: Израчунати: cs + cs cs cs Видимо алгебарски збир косинуса углова Оно што пада у очи јесте да ће збир прва два угла дати исти угао од 7 као и разлика друга два угла То асоцира да би могли дате збирове представити у облику производа, па онда прићи даљем рачунању cs + cs cs cs + + ( cs + cs ) ( cs + cs ) cs cs cs cs cs cs cs cs cs6 cs( ) cs cs cs6 cs cs cs6 cs6 cs6 cs cs6 ( ) 0 cs6 ( ) cs6 cs cs6 6 cs6 6 7 cs( 90 7 ) cs cs cs cs cs cs ( ) II начин Израчунати: cs + cs cs cs Видимо алгебарски збир косинуса углова Оно што пада у очи јесте да ће разлика првог и трећег угла дати исти угао од 60 као и збир другог и четвртог То асоцира да би могли да дате косинусе прегрупишемо и разлике представимо у облику производа, па онда прићи даљем рачунању + + cs cs + cs cs ( 0 + ( 0 ) 5 ) ( 5 ) cs cs cs6 cs cs6 6 cs6 ( ) cs6 cs cs cs6 6 7 cs( 90 7 ) cs cs cs cs cs

7 Тригонометрија Страна 9 Израчунати: 0 Израчунати: Израчунати: 9 7 cs tg ctg cs 6 cs + cs + cs tg tg75 tg Тригонометријске једначине Решити једначину Тригонометријска једначина облика α a То је облик из кога се одређује угао на основу вредности синуса угла Постоји двојако вишеструко решење Знамо да је + k + k, ( k 0, ±, ±, ±,) + k + k, Решити једначину Тригонометријска једначина облика α a То је облик из кога се одређује угао на основу вредности синуса угла Постоји двојако вишеструко решење Знамо да је 6 k 6 + k 6 +, ( k 0, ±, ±, ±,)

8 Тригонометрија Страна 5 + k k k + k + k Решити једначину + + Тригонометријска једначина облика α a То је облик из кога се одређује угао на основу вредности синуса угла Постоји двојако вишеструко решење Знамо да је + k + + / + + k / ( k 0, ±, ±, ±,) + + k + + k + k + k + k / : 5 + k / : + k 5 + k 5 + k + k 5 Решити једначину Решити једначину 0 7 Решити једначину Решити једначину cs cs 9 Решити једначину cs 0 Решити једначину cs + cs 0

9 Тригонометрија Страна 6 Решити једначину cs 0 Решити једначину tg Решити једначину tg Решити једначину tg 5 Решити једначину tg 0 tg 0 Тригонометријска једначина коју треба свести на облик а познатих на другу страну tg α a пребацивањем познатих на једну, tg tg ± tg ± tg tg + k + k ( k 0, ±, ±, ±,) + + k + + k k + k 7 + k + k 6 Решити једначину tg tg Решити једначину ctg Решити једначину ctg Решити једначину ctg 0 0 Решити једначину ctg

10 Тригонометрија Страна 7 Решити једначину: cs + cs 0 cs + cs 0 Тригонометријска једначина облика код које је разлика косинуса са леве стране, а са десне стране 0 То значи, уколико би разлику косинуса представили у облику производа, с обзиром да је са десне стране једначине 0, могли би онда поједине чиниоце тог производа изједначити са Једначина cs + cs 0 постаје Овај производ је једнак нули само у случају да је k, где k Z, тј припада скупу целих бројева Одавде је, k + k + 6 Одредити збир свих решења једначине ( ) cs( + ) на интервалу [, ] Одредити колико решења има једначина + cs 0 Решити једначину: 5cs 5 Решити једначину: на интервалу [, ] 6 Решити једначину: cs + 0 cs + 0 Тригонометријска једначина састављена од алгебарског збира квадрата косинуса, синуса и слободног члана Личи на квадратну једначину, али помешани су чланови са и cs Уколико cs изразимо преко као cs, добићемо квадратну једначину у којој је непозната Уведимо замену за и решимо ту квадратну једначину Једначина cs + 0 постаје ( ) Уведимо замену t Тада једначина постаје: t + t + 0 ± + ± 9 ± t, Одавде је t или t + Тако

11 Тригонометрија Страна 5 добијамо: + k, или + k или + k где 6 6 k Z, тј припада скупу целих бројева 7 Решити једначину: cs cs Решити једначину: cs + cs 0 9 Решити једначину: + cs 50 Решити једначину: cs 5 Одредити збир свих решења једначине cs +, на интервалу 0, 5 Колико решења има једначина cs на интервалу [, ]? 5 Колико има решења једначина + 0,? + 0 Видимо тригонометријску једначину код које је у збиру и Можемо представити као производ cs и онда извући испред заграде на интервалу [ ] cs 0 ( + cs ) cs k cs ( k 0, ±, ±, ±,) k + k ( k 0, ±, ±, ±,) Посматрајмо сада тражена решења у датим границама [, ] За k 0 0,, Припадају За k, +, Припада прво, али друго не припада За k,, Припадају иако се понављају За k, + 5, Припада прво, али друго не припада За k,, Не припадају Даље повећање k би само правило још већу разлику и овде стајемо Значи решења су: 0,,, Има их 5 Колико има решења једначина + 0 0? на интервалу [, ]

12 Тригонометрија Страна 9 55 Решити једначину: cs Решити једначину: cs7 5 ( cs5 7) 57 Решити једначину: cs6 cs cs7 cs 5 Решити једначину: cs cs 59 Решити једначину: cs 60 Решити једначину: + cs cs + 6 Види се разлика синуса са леве и косинус са друге стране једначине Намеће се да разлику синуса представимо као производ и да видимо какви ће се углови добити и да ли ћемо искомбиновати са датим косинусом са десне стране Дату једначину + cs + можемо написати као: cs cs cs 6 6 cs cs cs cs 6 5 cs + 0 cs + cs cs + cs + 0 cs Како је 5 + 0, то је једначина задовољена за cs k + k + k, где k Z, тј припада скупу целих бројева 6 Решити једначину: cs cs 6 Решити једначину: 5 + cs

13 Тригонометрија Страна 0 6 Решити једначину: + cs + cs 6 Решити једначину: Решити једначину + + cs + cs + cs 66 Решити једначину + cs cs + 0 Видимо збир четвртог степена и cs, што асоцира ако би били на квадрату у облику ( + cs ), то би било у износу Да би направили такав израз треба да додамо и одузмемо двоструки производ првог и другог члана у то изразу + cs cs + cs cs + 0 ( + cs ) cs + 0 cs + 0 cs + 0 cs k / ( ) ( k 0, ±, ±, ±,) k k Други случај је немогућ, јер α, па је једино решење 67 Решити једначину + + cs 6 Решити једначину cs + cs + cs5 69 Решити једначину cs Решити једначину + cs cs 6

14 Тригонометрија Страна 7 Решити једначину 6 cs 7 Решити једначину tg cs Решити једначину cs + cs + cs 0 7 Решити једначину Видимо производ синуса са леве стране Са десне стране је синус од, што можемо представити као двоструки производ, а онда то представити као синус двостуког угла cs cs cs 0 / cs 0 ( cs) 0 0 cs 0 Шта сада видимо? Видимо разлику производа синуса и косинуса двостуког угла Ако би представљали косинус двостуког угла, добили би квадрате синуса и косинуса Можда је боље да производ синуса представимо као збир α β [ cs( α β ) cs( α + β )] 0 [ cs( ) cs( + ) ] cs 0 k cs ( ) cs cs 0 k cs cs cs 0 ( k 0, ±, ±, ±,) cs 0 cs 0 + k / : k +

15 Тригонометрија Страна 75 Решити једначину cs Решити једначину + cs 5 77 Решити једначину Решити једначину cs + cs + cs + cs 79 Решити једначину Решити систем једначина: + y y cs cs, cs cs y Видимо систем од две једначине са две непознате, у којима учествују косинуси два угла Са леве стране је производ косинуса збира и разлике тих углова и он подсећа на формулу када се збир + y y косинуса претвара у производ, што значи да применом формуле cs + cs y cs cs можемо прву једначину представити као збир cs и cs y, онда из прве изразити једно од њих преко другог и заменити у другу једначину + y y + y y Прву једначину cs cs из система можемо написати као: cs cs ( cs + cs y) / cs + cs y Када из ове једначине уведемо замену cs y cs и уврстимо у другу cs cs y cs ( cs ) / cs ( cs ) cs cs 0/ ( ) cs cs + 0 ( cs ) 0 cs 0 cs cs Када ову вредност вратимо у једначину у којој смо заменили cs y cs, добија се cs y Дакле пар решења је: cs и cs y Одавде је ± k + и y ± k +, где k Z, тј припада скупу целих бројева Решити неједначину: а) > 0, б) cs + < 0 Видимо тригонометријске неједначине И у једном и у другом случају решићемо те нејадничине преко и cs, са десне стране ћемо имати број од кога су они већи или мањи и пратећи тригонометријски круг означити углове када или cs задовољавају неједначину и на основу тога одредити углове одређене том неједначином

16 Тригонометрија Страна а) > 0 > > + k, + k 6 6 где k Z, тј припада скупу целих бројева 5 + k, + k, 6 6 б) cs + < 0 cs < k, + k 6 6 cs < + k, + + k 6 6, где k Z, тј припада скупу целих бројева Решити неједначину: tg + tg > + tg Израчунати: а) arc ; б) arctg ; г) arc Видимо да треба да одредимо угао за кога су дате карактеристичне вредности тригонометријских величина, како би лакше одредили тај угао arccs ; в) ( ) а) Аркус синус од неког броја јесте угао, чији је синус тај број Дакле, једнак Одавде је α arc 6 б) Аркус косинус од неког броја јесте угао, чији је косинус тај број Дакле, чији је косинус једнак 5 Одавде је α arccs 6 6 arc је угао чији је синус arccs је угао в) Аркус тангенс од неког броја јесте угао, чији је тангенс тај број Дакле, ( ) је тангенс једнак Одавде је α arctg ( ) + arctg је угао чији 6 6 а) Аркус синус од неког броја јесте угао, чији је синус тај број Дакле, arc је угао чији је синус једнак Одавде је α arc 6 Израчунати: arccs + arc Видимо да треба израчунати синус збира два угла, израженим преко аркус косинуса и аркус синуса једног угла Треба имати на уму да тражимо ( α + β ) α cs β + β, а такође и да је cs arccs B Када у формули буду такви изрази, одмах ће се применити ( arc A ) A или ( ) B

17 Тригонометрија Страна та формула, али када будемо имали случај ( arccsc), тада ћемо применити формуле у којима ћемо добити чланове cs ( arccsc ) C, а у овом случају ( arccsc) [ cs( arccsc) ] На основу правила да је ( arc ), или да је cs ( arccs y ) y Он постаје arccs cs + arc arccs cs arccs arccs arc arc cs arc cs arccs Израчунати: cs( arctg ( ) + arcctg ) 6 Израчунати: arc + arc 5 7, трасформисаћемо дати израз arc + 7 Израчунати: arctg + arctg 7 Израчунати: ctg arc 9 Реши једначину: ( ) ( + ) + arc( + + ) arctg