Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

Транскрипт

1 KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b+ c Gde je R, a i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b+ c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda grafik funkcije vrednosti promenljive. =. Napravićemo tablicu za neke = za = je = ( ) = za za za za za za je = ( ) = = je = ( ) = = = je = = = je = = = je = = = je = =

2 Ovaj grafik će nam uvek služiti kao početni. Šta se dešava ako ispred broj? ima neki Naučimo sad grafik = a Razlikovaćemo situacije: a > i a < za a > Ovde je parabola okrenuta otvorom nagore. Šta se dešava ako je a > i < a <? a > U odnosu na početni grafik =, ovaj grafik = a se sužava Primer = = 8 = Što je broj a veći to je grafik uži!

3 < a < U odnosu na početni grafik =, ovaj grafik = a se širi Primer = X Y 8 = _ = Što je broj a bliži nuli, grafik je širi! Za a < parabola je okrenuta otvorom nadole. Početni grafik je =

4 Evo grafika funkcije = =- Opet ćemo razmotriti situacije: U odnosu na početni = grafik se sužava ako je a < - Primer = =- =-

5 Ako je < a < U odnosu na početni grafik = grafik, na primer = se širi =- _ -8 - =- Dobro, ovo za sad nije bilo ''mnogo opasno''. Naučimo sada da pomeramo finkciju duž - ose. Posmatrajmo grafik: = a + β Prvo nacrtamo grafik funkcije = a taj grafik pomeramo duž -ose i to: ) Ako je β pozitivan podižemo grafik, odnosno pomeramo ga u pozitivnom smeru -ose. ) Ako je β negativan, spuštamo grafik, odnosno pomeramo ga u negativnom smeru -ose

6 Evo par primera: Primer : = + = _ + = _ Prvo nacrtamo grafik pomeranjem (translacija) =, Zatim taj grafik podignemo za +, paralelnim Primer : Znači, najpre nacrtamo grafik (transplatorno pomeranje) = = =. Potom taj grafik spustimo za - duž -ose = - - 6

7 Nadam se da smo i ovo razumeli, jel tek sad ide ''prava stvar''. Naučimo da pomeramo funkciju i duž -ose. Posmatrajmo funkciju: Pazi: = ( α) Ako je α to znači da funkciju pomeramo za α po -osi udesno. Ako je +α to znači da finkciju pomeramo za α po -osi ulevo Ništa bez primera: Primer. = ( ) Znači pomeramo funkciju = udesno za = =(-) Primer. = ( + ) Znači pomerimo funkciju = ulevo za 7

8 = =(+) Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik funkcije = a + b+ c. Najpre moramo funkciju = a + b+ c svesti na takozvani kanonski oblik. Tu nam pomaže formula: = a + b a ac b + a ili ako uvedemo da je: b α = i a ac b β = tj. a D β = dobijamo: a a( α) β = + kanonski oblik Tačka T ( α, β ) je teme parabole. Dakle: (važno, ovo je postupak) Datu funkciju = a + b+ c najpre svedemo na kanonski oblik = a( α ) + β Nacrtamo grafik funkcije = a Izvršimo pomeranje (transliranje) duž ose za α Izvršimo pomeranje (transliranje) duž -ose za β 8

9 Primer. Nacrtaj grafik funkcije: = 6+ Svedemo je na kanonski oblik: a= b= 6 c= = ( ) b 6 α = = = a ac b ( 6) β = = a = a( α) = ( ) + ( ) + β 6 6 = = = Najpre nacrtamo = a, odnosno = = Sada ucrtamo grafik = ( ), odnosno vršimo pomeranje za ulevo 8 = - - -

10 I najzad ucrtamo = ( ) tako što grafik = ( ) spustimo za nadole 8 =(-) = =(-) - - Ceo ovaj postupak je dosta zamršen a nije baš ni mnogo precizan. Evo kako ćete mnogo brže i preciznije nacrtati grafik = a + b+ c bez svodjenja na kanonski oblik i pomeranja : Naš grafik će u zavisnosti od a (broja uz sledećih 6 grafika: ) a >, D> ) i diskriminante D= b ac biti jedan od T ( α, β ) F-ja seče -osu u i < za (, ) i > za (, ) (, ) F-ja ima minimum u temenu T ( α, β ) F-ja raste za ( α, ) F-ja opada za (, α)

11 ) a >, D= = T ( α, β ) F-ja je definisana za R F-ja seče -osu u =, R F-ja ima minimum u T (α,) F-ja raste za ( α, ) F-ja opada za (, α) ) a >, D< T ( α, β ) F-ja je definisana za R F-ja ne seče - osu (, su konjugovano -kompleksni brojevi). >, za R F-ja ima minimum u T ( α, β ) F-ja raste za ( α, ) F-ja opada za (, α)

12 ) a <, D> T( α, β ) F-ja je definisana R F-ja seče - osu u, < za (, ) (, ) > za (, ) F-ja ima maksimum u T ( α, β ) F-ja raste za (, α) F-ja opada za ( α, ) ) a <, D= = T( α, β ) F-ja je definisana R F-ja seče - osu u =, R F-ja ima maimum u T (α,) F-ja raste za (, α) F-ja opada za ( α, )

13 6) a <, D< T( α, β ) F-ja je definisana R F-ja ne seče - osu (, su konjugovano -kompleksni brojevi) <, za R F-ja ima maimum u T ( α, β ) F-ja raste za (, α) F-ja opada za ( α, ) Postupak ) Najpre odredimo a,b,c i nadjemo diskriminantu D= b ac b± D ) Tražimo, = (ako ima) a D>, D=, = D<, nema, ) U zavisnost od znaka broja a zaključujemo da li je parabola okrenuta otvorom nagore ili na dole, tj: a> smeje se a< mršti se ) Parabola uvek seče -osu u tački (, c)

14 b D ) Nadjemo teme T ( α, β ) α =, β = a a T ( α, β ) je ma ako je a < T ( α, β ) je min ako je a > 6) Konstruišemo grafik Primer. Nacrtaj grafik funkcije = 6+ (ovo je ista funkcija koju smo crtali svodjenjem na kanonski oblik i pomerili duž i ose, pa da vidimo koji će nam postupak biti jasniji) ) ) ) ) ) a= b= 6 c= b±, = a = = D = b ac= ( 6) D 6± = = 6 = 6 a= > okrenuta otvorom na gore (smeje se) -osu seče u tački (,) T ( α, β ) b 6 α = = = a D 6 β = = = a T (, ) min

15 6) Grafik: sami odlučite koji način konstrukcije grafika vam je lakši Primer. Nacrtati grafik funkcije = ) ) a b c = = = 6 D= 6= + = = ± ± + b± D, = = = = = = = = = a = =

16 ) ) ) a = < okrenuta otvorom na dole (mršti se) presek sa -osom je u tački (,6 ) T ( α, β ) b α = = = a D β = = =+ = 6 a 8 8 T,

17 Primer. Skicirati grafik funkcije: = + Rešenje:, Pošto =, odavde ćemo imati grafika, jedna za i jedan za, < <. = + za je = + ) ) ) ) a =, b=, c= D = b ac= 6 = ±, = = = a = > smeje se presek sa -osom je u (,) ) T ( α, β ) b α = a D β = a T (, ) = = = = 7

18 za < grafik = + je = + + ) a =, b=, c= D = b ac= 6 = ) ) ±, = = = a => smeje se ) presek sa osom je u ) T ( α, β ) b α = = = a D β = = = a T (, ) Pogledajmo sad kako izgledaju ova dva grafika posebno a kako zajedno daju grafik koji nam treba: = + 8

19 = + + = + = +