PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzitet u Nišu MASTER RAD Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne jednačine Mentor: Prof.

Транскрипт

1 PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzie u Nišu MASTER RAD Krmine prvilno promenljive funkcije i linerne diferencijlne jednčine Menor: Prof. dr Jelen Mnojlović Suden: Krin Kosdinov Niš, 2015.

2 Sdržj 1 Krmine sporo promenljive funkcije Teorem o uniformnoj konvergenciji Teorem o reprezenciji Primeri i svojsv sporo promenljivih funkcij Krmine prvilno promenljive funkcije Teorem o krkerizciji Teorem o reprezenciji prvilno promenljivih funkcij Teorem o uniformnoj konvergenciji prvilno promenljivih funkcij Osobine prvilno promenljivih funkcij Monoonos Zigmundov kls funkcij Krmin inegrln eorem (direkn smer) Krmin inegrln eorem (supron smer) Asimposki inverz i konjugcij Linerne diferencijlne jednčine drugog red Osnovn vrd enj i pojmovi o linernim DJ drugog red Šurmov eorij linernih DJ Egzisencij prvilno promenljivih rešenj Lierur 67 1

3 Uvod Pojm prvilno promenljive funkcije je godine uveo jedn od njvećih srpskih memičr, Jovn Krm ( ). Jovn Krm je godine zvršio sudije memike n Filozofskom fkuleu Univerzie u Beogrdu, smo ri mesec ksnije ise godine dokoriro kod Mihil Perovic Als. Bio je univerzieski profesor u Beogrdu od do godine, kd je po pozivu prešo n Ženevski univerzie, gde je oso do smri. Krm nije poklnjo mnogo pžnje formlnom školskom znnju, već je još ko suden ežio smoslnom isrživčkom rdu. Od Mihil Perović je primio veliku i iskrenu ljubv prem nuci, želju z čisim nučničkim rdom, ideje oslobod ene formlnih seg i prvce u kojim reb ržii rezule. Tko će Krm z obls svog rd izbri eoriju funkcij, jednu od oblsi u kojoj je Perović do znčjne rezule i koji su Perovićevo ime učinili poznim. Krjem dvdeseih i počekom rideseih godin Krm je proučvo jednu novu klsu funkcij - prvilno promenljive funkcije. Ov eorij, koj je u sušini deo memičke nlize, je nšl primenu u mnogim oblsim memike ko šo su eorij brojev, kompleksn nliz, eorij verovnoće, eorij igr i eorij diferencijlnih jednčin. Dlji rzvoj eorije prvilno promenljivih funkcij nsvili su pripdnici zv. Krmine škole (Avkumović, Aljnčić, Bšjski, Bojnić, Tomić, Mrić, Admović, Arnd elović), ko i Binghm, Goldie, Teugels, Sene, Geluk, de Hn i mnogi drugi. Čk i dns, Krm je jedn od njciirnijih srpskih memičr. Prvi rd koji povezuje prvilno promenljive funkcije i diferencijlne jednčine je uor V. G. Avkumović [1] iz godine. Tj rd, med uim, nije privuko previše pžnje - u o vreme eorij prvilno promenljivih funkcij nije primenjivn u eoriji diferencijlnih jednčin - sve do nekih ridese godin ksnije, kd su Mrić i Tomić u svojim rdovim nsvili i dlje rzvili isrživnje diferencijlnih jednčin koriseći prvilno promenljive funkcije. Posle pojvljivnj Mrićeve monogrfije [6], isrživnje nelinernih diferencijlnih jednčin koriseći prvilno promenljive funkcije je posebno inenzivirno i dns predsvlj vrlo kuelnu obls isrživnj. U prehodnih penes godin objvljen je veliki broj rdov u kojim su se uori bvili izučvnjem nelinernih diferencijlnih jednčin drugog red i višeg red, nelinernih sisem diferencijlnih jednčin, funkcionlnih diferencijlnih 2

4 jednčin, diferencnih prcijlnih jednčin. Rzvijeni su novi meodi i dobijeni vrlo znčjni rezuli. Mser rd se ssoji od ri glve. U prve dve glve biće izloženi njvžniji elemeni eorije prvilno promenljivih funkcij. Biće nveden i dokzn njvžnij svojsv sporo i prvilno promenljivih funkcij. U rećoj glvi biće dokzni njvžniji rezuli primene Krmine eorije n linerne diferencijlne jednčine drugog red. Biće odred eni porebni i dovoljni uslovi pod kojim fundmenlni sisem rešenj linerne diferencijlne jednčine drugog red čine Krmine prvilno promenljive funkcij. Zhvljujem se menoru, prof. dr Jeleni Mnojlović n ukznoj pomoći i srpljenju pri izrdi ovog rd. 3

5 1 Krmine sporo promenljive funkcije 1.1 Teorem o uniformnoj konvergenciji Definicij 1.1. Nek je poziivn merljiv 1 funkcij l definisn n skupu [X, + ). Funkcij l je sporo promenljiv funkcij (u Krminom smislu) ko z svko λ > 0 zdovoljv uslov l(λ) l() 1 ( + ). (1.1.1) Definiciju sporo promenljivih funkcij uvodi Krm 1930.godine, li se umeso uslov merljivosi zhevo uslov neprekidnosi de funkcije. Bez gubljenj opšosi može se preposvii d je funkcij l definisn n inervlu (0, + ), n j nčin šo ćemo dodefinisi funkciju l dodeljujući joj vrednos l() := l(x) n inervlu (0, X). Jedn od njvžnijih eorem ove oblsi je Teorem o uniformnoj konvergenciji sporo promenljivih funkcij koju je Krm dokzo uz preposvku d je l neprekidn funkcij, dok je Korevr 2 isu eoremu pokzo uz preposvku o merljivosi funkcije l. Definicij 1.2. Nek je funkcij f definisn n skupu X Y, funkcij φ definisn n skupu X i nek je + čk ngomilvnj skup Y. Funkcij f(, y) uniformno (rvnomerno) konvergir k funkciji φ() n skupu X (ili po X) kd y +, u oznci ko i smo ko f(, y) X φ() (y + ) ( ε > 0) ( y 0 > 0)( X)( y Y )(y y 0 f(, y) φ() < ε). Teorem 1.1 (Teorem o uniformnoj konvergenciji). Ako je l sporo promenljiv funkcij d l(λ) l() K 1 ( + ), gde je K proizvoljn kompkn podskup inervl (0, + ). 1 U nsvku, pod erminom merljiv podrzumevće se merljivos u odnosu n Lebegovu meru. 2 Jcob Korevr ( ), holndski memičr 4

6 Dokz: Definišimo h() := ln l(e ). Zbog neprekidnosi logrimske funkcije uslov (2.1.1) ekvivlenn je uslovu ln l(λ) ln l() 0 ( + ), z svko λ > 0, šo je dlje, uz korišćenje znnj iz memičke nlize, ekvivlenno uslovu z svko u R. h( + u) h() 0 ( + ), (1.1.2) U skldu s novim oznkm, d bismo dokzli eoremu, dovoljno je d pokžemo uniformnu konvergenciju u izrzu (1.1.2) n proizvoljnom segmenu [0, A]. Posledic ovog biće uniformn konvergencij n svkom končnom segmenu, odle i n svkom kompku u R. Nek je ε (0, A). Z proizvoljno > 0, uvedimo sledeće oznke I := [, + 2A], E := { I : h() h() 12 ε, E := { [0, 2A] : h( + ) h() 12 ε. Zbog merljivosi funkcije l, skupovi E i E su merljivi, dok zbog njihovog nčin definisnj vži m(e ) = m(e ) 3. Koriseći (1.1.2) zključujemo d m(e ) 0 kd +. Odle posoji 0 > 0 ko d z svko 0, m(e ) < 1 2 ε. Nek je c [0, A]. Td z 0, n osnovu osobin Lebegove 4 mere, vži m(e E +c ) m(e ) + m(e +c ) = m(e ) + m(e +c) < ε < A. (1.1.3) Dlje, kko je I +c I = [ + c, + 2A], o je m(i +c I ) = 2A c A. (1.1.4) 3 m-lebegov mer 4 Henri Lebesgue ( ), frncuski memičr 5

7 Iz (1.1.3) i (1.1.4) končno zključujemo d je z proizvoljno c [0, A] i 0 skup (I +c I ) \ (E E +c ) poziivne mere, j. neprzn skup. Nek je proizvoljn čk og skup. Td h() h() < 1 2 ε, h() h( + c) < 1 2 ε. Dkle, z proizvoljno ε > 0 posoji 0 > 0 ko d z svko 0, i svko c [0, A], vži h( + c) h() < ε, šo po definiciji dokzuje rženu uniformnu konvergenciju n proizvoljnom segmenu [0, A], kd +. Dkle, z sporo promenljivu funkciju l i 0 < < b < + sup l(λ) l() 1 0 ( + ). λ [,b] 1.2 Teorem o reprezenciji Definicij 1.3. Funkcij f je loklno ogrničen n skupu A ko i smo ko je ogrničen n svkom kompknom podskupu skup A. Definicij 1.4. Funkcij f je loklno inegrbiln n skupu A ko i smo ko je inegrbiln n svkom kompknom podskupu skup A. Lem 1.1 (Sene 5 ). Nek je l poziivn merljiv funkcij definisn n skupu [, + ) i kv d vži (1.1.1) z svko λ > 0. Td posoji X > 0 kv d je l loklno ogrničen n skupu [X, + ). Ako je h() = ln l(e ), iso vrd enje vži i z funkciju h. Dokz: Konvergencij u (1.1.2) je uniformn po u kd + n svkom kompknom skupu u R, p ko i n segmenu [0, 1]. Uzimjući ε = 1 zključujemo d posoji dovoljno veliko X ko d z svko X i svko u [0, 1] vži h( + u) h() h( + u) h() < 1. 5 Eugene Sene ( ), ukrjinski memičr 6

8 Odvde je h( + u) < 1 + h() z svko X i u [0, 1]. Specijlno, uzimjući := X dobijmo d je odnosno h(x + u) 1 + h(x), z svko u [0, 1], h() 1 + h(x), z svko [X, X + 1]. Meodom memičke indukcije lko se pokzuje d je h() n + h(x) z [X, X + n], gde je n prirodn broj. Kko se proizvoljn kompkn podskup skup [X, + ) može smesii u segmen oblik [X, X + n], odvde sledi zključk vrd enj z funkciju h koji je reblo pokzi. S obzirom d je l() = ep { h(ln ), is osobin vži i z funkciju l. Npomen 1.1. Funkcij l je merljiv i loklno ogrničen n skupu [X, + ) (X je reln broj koji se dobij n nčin opisn u prehodnoj lemi), e je ko kv i loklno inegrbiln n [X, + ). Npomenimo d su inegrli u nsvku Lebegovi inegrli. Vrlo česo će se nilzii n problem kd inegrl i grničn vrednos mogu d zmene mes. Iz og rzlog, podseimo se Lebegove eoreme o dominnnoj konvergenciji. Teorem 1.2 (Lebegov eorem o dominnnoj konvergenciji). Nek je (f n ) n niz merljivih funkcij n X, s svojsvim (i) lim n + f n () = f() m skoro svud n X. (ii) Posoji funkcij g L 1 (X, m) 6, ko d z svko n N vži nejednkos f n () g() m skoro svud n X. Td je f, f n L 1 (X, m) z svko n N, i vži lim f n f dm = 0, lim f n dm = lim fdm. n + X n + X n + X Nredn eorem nm dje odgovor n pinje kog oblik su sporo promenljive funkcije. On ih u popunosi krkeriše u smislu d dje porebn i dovoljn uslov d funkcij bude sporo promenljiv i vrlo česo se korisi ko definicij sporo promenljivih funkcij. 6 L 1 (X, m) je skup svih merljivih funkcij f definisnih n X z koje je f dm <. X 7

9 Teorem 1.3 (Teorem o reprezenciji). Funkcij l je sporo promenljiv funkcij ko i smo ko može bii predsvljen u obliku { ε(u) l() = c() ep u du ( ) (1.2.1) z neko > 0, gde su c i ε merljive funkcije kve d c() c (0, + ), ε() 0, kd +. Dokz: Z poček, izrz (1.2.1) može bii zpisn u obliku { ε(u) l() = ep c 1 () + u du ( ) (1.2.2) gde su c 1 () := ln c() i ε() ogrničene i merljive funkcije, c 1 () d R, ε() 0, kd +. Ko u prehodnoj eoremi, uvedimo oznku h() := ln l(e ). Izrzimo sd uslov (1.2.2) u funkciji od h. Iz og rzlog, posmrjmo { e l(e ) = ep c 1 (e ε(u) ) + u du. (1.2.3) Nkon logrimovnj jednkosi (1.2.3), poom uvod enj smene ln u = v u gore nvedeni inegrl i uvod enj oznk d() := c 1 (e ), µ() := ε(e ), dolzimo do ekvivlen jednkosi (1.2.3) izrženog u funkciji od h gde je b := ln. h() = d() + b µ(v)dv ( b), (1.2.4) Dkle, ekvivlen polznog vrd enj je: funkcij l je sporo promenljiv funkcij ko i smo ko funkcij h() = ln l(e ) može bii predsvljen u obliku (1.2.4), z neko b R, gde su funkcije d i µ merljive i kve d d() d R, µ() 0, kd +. ( :) Nek je l sporo promenljiv funkcij. Dokžimo d se d funkcij h može predsvii u obliku (1.2.4). N osnovu Npomene 1.1, posoji poziivn broj X kv d je h je inegrbiln, ogrničen i merljiv n segmenim sdržnim u [X, + ). Sog, z dovoljno veliko X, možemo pisi h() = X+1 X h()d + +1 (h() h())d + 8 X (h( + 1) h())d (1.2.5)

10 z svko X. Posmrjmo prvi sbirk desne srne jednkosi. Ko odred eni inegrl, on je konsn; oznčimo g s d. Dlje, nkon uvod enj smene u =, drugi sbirk posje +1 (h() h())d = 1 0 (h() h( + u))du. Podinegrln funkcij, primenom Teoreme o uniformnoj konvergenciji, uniformno konvergir nuli n segmenu [0, 1], e se jednosvno proverv d su ispunjeni uslovi Lebegove eoreme o dominnoj konverenciji. Odle zključujemo d ovj sbirk konvergir nuli kd +. Zo, ko oznčimo d() := d (h() h( + u))du, d d() d kd +, d je merljiv funkcij, (1.2.5) im oblik h() = d() + X (h( + 1) h()) d. (1.2.6) Končno, posmrjmo poslednji sbirk desne srne jednkosi (1.2.5). Uvedimo oznku µ() := h( + 1) h(). µ je merljiv funkcij, kko vži preposvk d je l sporo promenljiv funkcij, n osnovu (1.1.2) µ() 0 kd +. N ovj nčin, funkciju h predsvili smo u formi (1.2.4), šo je i bilo porebno pokzi. ( :) Sd preposvimo d je l() predsvljen u obliku (1.2.1) pri čemu funkcije c i ε ispunjvju de uslove. Td je l(λ) l() = c(λ) { λ c() ep ε(u) u du. (1.2.7) Izberimo proizvoljn segmen [, b] ko d je 0 < < b < +. Td, kko c() c, o i c(λ) c kd +, z λ [, b]. Odle, z proizvoljno ε (0, 1) je 1 ε < c(λ) < 1 + ε, (1.2.8) c() z dovoljno veliko. 9

11 Tkod e, kko ε() 0 kd +, o će z dovoljno veliko bii ε < ε() < ε, dok odle sledi d je ε ln λ < λ ε(u) du < ε ln λ. (1.2.9) u Kombincijom nejednkosi (1.2.8) i (1.2.9) dolzimo do zključk d je izrz n desnoj srni jednkosi (1.2.7) z 0 i svko λ [, b] ogrničen vrednosim (1 ± ε) ep{±ε m{ ln, ln b, odkle zbog proizvoljnosi broj ε sledi dokz vrd enj. Med uim, odvde neće smo sledii d je l sporo promenljiv funkcij, već će sledii i Teorem o uniformnoj konvergenciji. Nredno vrd enje pokzuje d se u Teoremi o reprezenciji z funkciju ε može preposvii d je neprekidn. To će nm omogućii d u nrednom poglvlju pokžemo nek vžn svojsv sporo promenljivih funkcij. Lem 1.2. Nek je l sporo promenljiv loklno ogrničen funkcij n [X, + ). Td posoji X X ko d z funkciju h() = ln l(e ) vži h() = c () + X µ ()d ( X ), (1.2.10) gde su c i µ merljive funkcije kve d c () c, µ () 0 kd +, pri čemu je µ neprekidn funkcij. Dokz: Koriseći (1.2.6) immo h() = d() + X (h( + 1) h())d = d() + h () ( X). (1.2.11) Primeimo d je funkcij h neprekidn. Z proizvoljno µ > 0 je h ( + µ) h () = +µ (h( + 1) h())d = Kko prem Teoremi o uniformnoj konvergenciji µ 0 (h(s + + 1) h(s + ))ds. (1.2.12) h(s++1) h(s+) = h(s++1) h() (h(s+) h()) [0,µ] 0 ( + ), 10

12 iz (1.2.12) zključujemo d h ( + µ) h () 0 kd + z svko µ > 0. Trivijlno, ovo vži i z µ = 0, dok nlogno možemo pokzi d vži i z µ < 0. Zo prem Teoremi o reprezenciji z funkciju h posoji X X ko d vži h () = d () + X µ ()d ( X ), (1.2.13) gde d () d i µ () = h ( + 1) h () 0 kd +, pri čemu je µ neprekidn funkcij. Iz (1.2.11) i (1.2.13) dobij se končno h() = c () + X µ ()d ( X ), gde je c () := d() + d () d + d = c R, čime je vrd enje dokzno. Ponvljjući posupk iz prehodne Leme odgovrjući broj pu možemo dobii reprezenciju (1.2.10) gde je µ funkcij koj im neprekidn izvod proizvoljnog red n [X, + ) z dovoljno veliko X. 1.3 Primeri i svojsv sporo promenljivih funkcij Neke od osnovnih svojsv sporo promenljivih funkcij jednosvnije je pokzi primenom Teoreme o reprezenciji negoli primenom definicije. U nsvku su dokzn nek od ih svojsv. Teorem 1.4. (i) Ako je l sporo promenljiv funkcij, d ln l() ln 0 ( + ). (ii) Ako je l sporo promenljiv funkcij, d je i l α sporo promenljiv, z svko α R. (iii) Ako su l 1, l 2 sporo promenljive funkcije, d su i l 1 l 2, l 1 + l 2 sporo promenljive. Ako uz o vži l 2 () + kd +, ond je l 1 l 2 kod e sporo promenljiv. (iv) Ako su l 1, l 2,..., l k sporo promenljive funkcije i r( 1,..., k ) rcionln funkcij s poziivnim koeficijenim, d je r(l 1 (),..., l k ()) sporo promenljiv. 11

13 (v) Ako je l sporo promenljiv funkcij i α > 0, Dokz: α l() +, α l() 0 ( + ). (i) Sporo promenljivu funkciju l predsvimo u obliku (1.2.1). Td vži: ln l() lim + ln ln(c() ep{ = lim + ln = lim + = lim + ln c() + ln ε(u) u du. ln ε(u) u ε(u) du) u Kko ε(u) 0 kd +, o z proizvoljno ε > 0 posoji u 0 > 0 ko d z svko u u 0 vži d je ε(u) < ε. Bez gubljenj opšosi možemo preposvii d je u 0. Td vži ocen odle je ε ε = 1 u du < ε(u) u du < ε du 1 du ( ) u ε ln lim + ln lim ln l() + ln lim ε ln + ln = ε. Zbog proizvoljnosi poziivnog broj ε sledi dokz vrd enj. (ii) N osnovu ekvivlen Teoreme o reprezenciji funkcij l je sporo promenljiv ko i smo ko se može predsvii u obliku { ε(u) l() = ep c 1 () + u du, z, > 0, gde su c 1 i ε merljive funkcije kve d c 1 () c R, ε() 0, kd +. Td je { (l()) α αε(u) = ep αc 1 () + u du, z, p n osnovu Teoreme o reprezenciji sledi zključk d je i funkcij (l()) α sporo promenljiv. 12

14 (iii) Nek je { l i () = ep c i () + i ε i (u) u du ( i ) gde je i > 0, c i () c i, ε i () 0 kd +, i = 1, 2. Uvedimo oznke = m{ 1, 2, 0 = min{ 1, 2 i c = 0 ε(u) u du, gde je Td l 1 ()l 2 () = ep ε(u) = { ε 1 (u), ko je 1 2 ε 2 (u), ko je 2 < 1. { c 1 () + c 2 () + c + ε 1 (u) + ε 2 (u) du, u z, p kko su funkcije c 1 () + c 2 () + c i ε 1 () + ε 2 () merljive i kve d vži c 1 () + c 2 () + c c 1 + c 2 + c > 0, ε 1 (u) + ε 2 (u) 0 kd +, funkcij l 1 ()l 2 () je sporo promenljiv. D bismo pokzli d je l 1 ()+l 2 () sporo promenljiv, pokzćemo njpre d je funkcij 1 + l() sporo promenljiv, kd je l s kvom osobinom. Dokz će sledii po definiciji. Posmrjmo ( 1 + l(λ) lim l() = lim l(λ) l() l() ) = 1. l(λ) Korisili smo d je lim + = 1, ko i osobinu d je l poziivn l() funkcij, p je 1/ (1 + 1/l()) ogrničen funkcij. Dlje, kko su l 1 i l 2 sporo promenljive funkcije, o će i funkcij l 2() l 1 () bii s isom osobinom (ko posledic vrd enj (ii) i (iii)). Odle se jednosvno, ( primenom ) dokznih osobin, vidi d je l 1 () + l 2 () = l 1 () 1 + l 2() l 1 sporo promenljiv funkcij, šo je i reblo pokzi. () Osje d pokžemo d je l 1 (l 2 ()) sporo promenljiv funkcij kd su l 1 i l 2 s kvom osobinom i l 2 () + kd +. Z 13

15 proizvoljno li fiksirno λ > 0 i proizvoljno ε (0, 1) posoji 0 ko d z svko 0 m := 1 ε l 2(λ) l 2 () 1 + ε =: M, e sog vži ( ) l 1 (l 2 (λ)) l 1 (l 2 ()) 1 = l 1 l 2 () l 2(λ) l 2 () 1 l 1 (l 2 ()) sup µ [m,m] l 1 (µl 2 ()) l 1 (l 2 ()) 1. N osnovu Teoreme o uniformnoj konvergenciji kd + funkcij n desnoj srni nejednkosi konvergir nuli. Odle sledi dokz vrd enj. (iv) Kombincij (ii) i (iii). (v) Ponovo, korišćenjem Teoreme o reprezenciji vži { α ε(u) l() = c() ep α ln + u du, z, > 0. Kko ε(u) 0 kd +, posoji dovoljno veliko X ko d je ε(u) < α, z svko u X. Sog vži ocen 2 ε(u) α ln + u du α ln α 1 2 X u du + d = α 2 ln + α ln X + d, 2 gde je d = X ε(u) du, e je odle u ( α lim + α l() lim c() + 2 ln + α ) 2 ln X + d = +. Slično se pokzuje d je lim + α l() = 0. Vrlo česo u primenm (npr. u odred ivnju brzine rs funkcij, ko i u simposkoj nlizi diferencijlnih jednčin) sporo promenljive funkcije su od ineres u klsi simposki ekvivlennih funkcij. 14

16 Definicij 1.5. Funkcije f i g su simposki ekvivlenne, u oznci f() g() ( + ), ko i smo ko Kko je ( l() = c() ep f() lim + g() = 1. ) ( ε(u) ) u du ε(u) c ep u du ( + ), bez gubik opšosi mogu se rzmri sporo promenljive funkcije u čijoj reprezenciji je funkcij c() c > 0. Definicij 1.6. Sporo promenljiv funkcij ( ) ε(u) l() = c ep u du, gde je c poziivn konsn, se nziv normlizovn sporo promenljiv funkcij. Z normlizovne, diferencijbilne sporo promenljive funkcije vži Vži i obrnuo vrd enje. l () l() = ε() 0 ( + ). (1.3.1) Teorem 1.5. Ako je l poziivn, neprekidno diferencijbiln funkcij n [, + ), > 0, z koju posoji grničn vrednos () lim + l l() = 0, d je l normlizovn sporo promenljiv funkcij. Dokz: Nek je ε() = l () l(). 15

17 Td je odnosno ε(u) u du = l (u) l() du = ln l(u) l(), ( ) ε(u) l() = l() ep u du. (1.3.2) Kko ε() 0, kd + iz (1.3.2) n osnovu Teoreme o reprezenciji dolzimo do zključk eoreme. Teorem 1.6. Ako je l sporo promenljiv funkcij, ond posoji sporo promenljiv funkcij l 0 C kv d je l() l 0 () ( + ). Dokz: Posledic Leme 1.2 je d se sporo promenljiv funkcij l može predsvii u obliku { ε(u) l() = c() ep u du, z dovoljno veliko > 0 i merljive funkcije c i ε kve d c() c, ε() 0, kd + i funkcij ε im neprekidn izvod proizvoljnog red n [, + ). Odvde je očigledno { ε(u) l() c ep u du =: l 0 (), i funkcij l 0 C. Nvedimo nekoliko primer sporo promenljivih funkcij. Primer 1.1. Poziivn merljiv funkcij s poziivnom grničnom vrednošću u beskončnosi je sporo promenljiv funkcij. To se jednosvno primećuje iz Teoreme o reprezenciji uzimjući d je c() l() i ε() 0. Tkv funkcij nziv se rivijln sporo promenljiv funkcij. Primer 1.2. Njjednosvniji primer nerivijlne sporo promenljive funkcije je l() = ln, šo se jednosvno proverv uz korišćenje definicije. Sd se primenom osobine (iii) Teoreme 1.4 o kompoziciji sporo promenljivih 16

18 funkcij lko dokzuje d je l() = ln ln, u oznci ln 2, sporo promenljiv funkcij. Anlogno, sve funkcije oblik ln k, gde je k prirodn broj, ko i rcionlne funkcije s poziivnim koeficijenim dobijene ko linern kombincij funkcij ln k su sporo promenljive. Primer 1.3. Primeri nelogrimskih sporo promenljivih funkcij su: l() = ep {(ln ) α 1 (ln 2 ) α2 (ln k ) α k (0 < α i < 1); l() = ep {ln / ln 2. Primer 1.4. Prehodni primeri ns nvode n zključk d je sporo promenljiv funkcij srogo monoon z velike vrednosi, li o u opšem slučju nije čno. Primer kve funkcije je { l() = ep (ln ) cos((ln ) 3 ), z koju vži lim inf l() = 0, + lim sup l() =

19 2 Krmine prvilno promenljive funkcije 2.1 Teorem o krkerizciji Preposvimo d je f poziivn funkcij definisn n inervlu [X, + ) z neko X > 0. Domen funkcije f se može proširii n inervl (0, + ) ko se funkcij f dodefiniše n inervlu (0, X), f() := f(x), (0, X). Teorem 2.1. Nek je S skup svih λ > 0 kvih d f(λ) f() g(λ) (0, + ) ( + ). (2.1.1) Algebrsk srukur (S, ) je grup. Dokz: Proverimo d li je skup S zvoren u odnosu n operciju množenj. Nek su λ, µ S. Td f(λµ) f() = f(λµ) f(µ) f(µ) f() g(λ)g(µ) ( + ), p zključujemo d u om slučju i λµ S, i vži j. funkcij g je muliplikivn. g(λµ) = g(λ)g(µ) (λ, µ S), (2.1.2) Dlje, socijivnos vži zbog socijivnosi opercije množenj. Tkod e, jednosvno je primeii d 1 S, sog je 1 neurlni elemen srukure (S, ). Preosje još d ispimo d li svki elemen skup S im inverz u isom skupu. Ovj uslov je ispunjen, jer n osnovu sečenog znnj iz memičke nlize vži f(λ) lim + f() = lim f ( λ ( 1 )) λ + f( 1 ) = lim + λ f() f ( 1 ) = 1 g ( ), 1 λ λ p odvde zključujemo d ko je λ S, d je i 1 λ dokznih osobin, srukur (S, ) grup. S. N osnovu svih 18

20 U nsvku korisićemo oznke h() := ln f(e ), k() := ln g(e ), T := {ln λ : λ S. Td vži h( + u) h() = k(u) R ( + ), (2.1.3) z svko u T R. Posledic Teoreme 2.1, u skldu s novim oznkm, je d je (T, +) je podgrup diivne grupe R, i vži j. funkcij k je diivn. k(u + v) = k(u) + k(v) (u, v T ), (2.1.4) Z dokze nrednih svov videi [2]. Sv 2.1. Ako je S muliplikivn podgrup grupe R + i S sdrži skup poziivne mere, d je S = R +. Ako je T diivn podgrup grupe R, i T sdrži skup poziivne mere, d je T = R. Sv 2.2. Ako je k diivn 7 i merljiv funkcij, d posoji reln broj c ko d je k() = c. Sv 2.3. Ako je g muliplikivn 8 i merljiv funkcij, d je posoji reln broj c ko d g(λ) = λ c, z svko λ > 0. Nredn eorem dje vezu izmed u sporo promenljivih i prvilno promenljivih funkcij. Teorem 2.2 (Teorem o krkerizciji). Ako je f poziivn merljiv funkcij i ko vži (2.1.1) z svko λ > 0, λ S, gde je S skup poziivne mere, d (i) (2.1.1) vži z svko λ > 0; (ii) posoji reln broj ρ kv d je g(λ) = λ ρ, z svko λ > 0; (iii) f() = ρ l(), gde je l slbo promenljiv funkcij. Dokz: 7 k( + y) = k() + k(y),, y D f (k) 8 g(y) = g()g(y),, y D f (g) 19

21 (i) Kko je S muliplikivn podgrup muliplikivne grupe R + sdrži skup poziivne mere, n osnovu Sv 2.1, S = R +. koj (ii) Funkcij g je ko grničn vrednos niz merljivih funkcij kod e merljiv. Kko je g merljiv i muliplikivn funkcij, primenom Sv 2.3, posoji ρ R ko d je g(λ) = λ ρ, z svko λ > 0. (iii) Nek je l() := f(). Zbog osobin funkcije f vži ρ l(λ) l() 1 ( + ), z svko λ > 0, šo je i reblo pokzi. Definicij 2.1. Poziivn merljiv funkcij f definisn n inervlu [X, + ), z neko X > 0, koj z svko λ > 0 zdovoljv uslov f(λ) f() λρ ( + ), (2.1.5) nziv se prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ, u zpisu f R ρ. Skup svih prvilno promenljivih funkcij oznčvmo s R = ρ R R ρ. Specijlno, sporo promenljiv funkcij je prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi nul, j. R 0 je skup svih sporo promenljivih funkcij. Posledic 2.1. Ako je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ 0, ond { + ko ρ > 0 f() 0 ko ρ < 0, kd +. Dokz: Direkn posledic del (v) Teoreme 1.4 i del (iii) Teoreme o krkerizciji. Posledic 2.2. Ako je f R d posoji X > 0 kv d su f i 1/f loklno ogrničene i loklno inegrbilne n [X, + ). 20

22 Dokz: N osnovu del (iii) Teoreme o krkerizciji, posoji reln broj ρ kv d je f() = ρ l(), gde je l sporo promenljiv funkcij. Primenom Leme Sene, posoji X > 0 ko d je funkcij l loklno ogrničen n inervlu [X, + ). Iz og rzlog će i funkcij ρ l() bii ogrničen n svkom kompknom podskupu skup [X, + ), odle i funkcij 1/f im isu osobinu. Pomenue funkcije su merljive, e su sog i loklno inegrbilne n [X, + ). 2.2 Teorem o reprezenciji prvilno promenljivih funkcij Teorem 2.3 (Teorem o reprezenciji). Funkcij f je prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ ko i smo ko može bii predsvljen u obliku { f() = c() ep ρ + ε(u) du u ( ), (2.2.1) z neko > 0, gde su funkcije c i ε merljive i kve d c() c (0, + ) ε() 0 kd +. Dokz: ( :) N osnovu Teoreme o krkerizciji prvilno promenljivih funkcij i Teoreme o reprezenciji slbo promenljivih, z prvilno promenljivu funkciju f indeks regulrnosi ρ vži { f() = ρ l() = ρ c ε(u)du ()ep ( ), (2.2.2) u z neko > 0, gde c () c Uporebivši d je { ρ = ep funkciju f možemo predsvii u obliku (0, + ), ε() 0, kd +. ρ du + ρ ln, u { f() = c ρ () ep {ρ ln ep u du + ε(u) u du (2.2.3) { ρ + ε(u) = c() ep du, (2.2.4) u gde funkcije c() = ρ c () i ε() zdovoljvju ržene uslove. 21

23 ( :) Preposvimo d je funkcij f oblik (2.2.1). Td je f() = ρ l(), gde je { l() = c() ρ ε(u) ep u du sporo promenljiv funkcij prem Teoremi o reprezenciji sporo promenljivih funkcij. N osnovu Teoreme o krkerizciji, f prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ. Iz Teoreme 2.3 sledi d se funkcij h() := ln f(e ) može predsvii u obliku h() = d() + gde je d() := ln(c(e )), µ() := ε(e ) i b := ln. b (ρ + µ(u)) du ( b), (2.2.5) 2.3 Teorem o uniformnoj konvergenciji prvilno promenljivih funkcij Teorem 2.4 (Teorem o uniformnoj konvergenciji). Ako je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ (u slučju kd je ρ > 0 preposvljjući d je f ogrničen n svkom inervlu (0, X]), d f(λ) f() λρ ( + ) uniformno po λ n svkom [, b] (0 < b < + ) ko je ρ = 0, n svkom (0, b] (0 < b < + ) ko je ρ > 0, n svkom [, + ) (0 < < + ) ko je ρ < 0. Dokz: Slučj ρ = 0 je Teorem o unifomnoj konvergenciji slbo promenljivih funkcij. Dokzćemo smo slučj ρ > 0. Pokzćemo d d odgovrjuć funkcij uniformno konvergir po λ n inervlu (0, 1] kd +. Slučj ρ < 0 se dokzuje nlogno. Izberimo ε (0, L) proizvoljno, gde je L = min{1, 2 1 3ρ. Λ = ( ε 2 ) 1 ρ. Td, z svko 0 < λ Λ vži Nek je 0 < λ ρ ε 2, 0 < 4λρ+1 < ε 2. (2.3.1) 22

24 Kko z funkcije u (2.2.1) vži c() c, ε() 0 kd +, o posoji X 1 > 0 ko d su zdovoljeni uslovi c 2 c() 2c ε() 1 ( X 1). (2.3.2) Kko je 0 < λ Λ i Λ < 1, vži d je X 1 /λ X 1. Sog, (2.3.2) vži i z i z λ, z svko X 1 /λ, odkle { f(λ) λ ρ ρ λ c(λ)ep ε(u)/udu = { f() ρ c()ep ε(u)/udu { λ 4λ ρ 1 ep u du = 4λ ρ+1, šo u kombinciji s (2.3.1) dje f(λ) f() λρ < ε (0 < λ Λ, X 1/λ). (2.3.3) Prem preposvci eoreme, funkcij f je ogrničen n svkom inervlu oblik [0, X), X R e možemo posmri M := sup f() < +. 0< X 1 Tkod e, kko f() + kd +, n osnovu Posledice 2.1, o posoji reln broj X 2 kv d je M < ε z svko X f() 2 2. Odle, ponovo koriseći (2.3.2) dobijmo f(λ) f() λρ M f() + λρ < ε (0 < λ Λ, X 2 X 1 /λ). (2.3.4) Končno, iz (2.3.3) i (2.3.4) zključujemo f(λ) f() λρ < ε (0 < λ Λ, X 2). (2.3.5) Pozno nm je d sporo promenljive funkcije uniformno konvergirju po λ kd + n svkom kompknom skupu u R. Zo posoji X 3 ko d l(λ) l() 1 < ε (Λ λ 1, X 3). 23

25 Td f(λ) f() λρ = l(λ) λρ l() 1 < ε (Λ λ 1, X 3). (2.3.6) Kombinujući (2.3.5) i (2.3.6) končno dobijmo f(λ) f() λρ < ε (0 < λ 1, m{x 2, X 3 ), šo dokzuje rženu uniformnu konvergenciju. U slučju prozivoljnog inervl (0, b], 0 < b < +, definišemo funkciju R() := f(b). Kko je R(λ) lim + R() = lim f(λb) + f(b) = λρ, (2.3.7) n ovj nčin definisn funkcij je prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ. N osnovu pokznog, konvergencij u (2.3.7) je uniformn n (0, 1] kd +. Odvde će sledii uniformn konvergencij odgovrjuće funkcije n (0, b]. Dkle, z prvilno promenljivu funkciju f indeks regulrnosi ρ 0 immo f(λ) f() λρ 0 ( + ), (2.3.8) sup λ K gde je K = (0, b], 0 < b < + z ρ > 0 i K = [, + ), 0 < < + z ρ < Osobine prvilno promenljivih funkcij Sv 2.4. Nek je f poziivn, merljiv funkcij i g prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ. Ako su funkcije f i g simposki ekvivlenne, ond je i funkcij f prvilno promenljiv indeks ρ. Dokz: Dokz će sledii po definiciji. Z svko λ > 0 vžiće f(λ) lim + f() = lim + f(λ) g() g(λ) g(λ) f() g() = zbog nvedenih osobin funkcij f i g. 24 lim g(λ) + g() = λρ,

26 Definicij 2.2. Prvilno promenljiv funkcij f() = ρ l(), gde je l normlizovn sporo promenljiv funkcij, nziv se normlizovn prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. Primeimo d z diferencijbilnu, normlizovnu prvilno promenljivu funkciju f indeks regulrnosi ρ, f() = ρ l(), vži ( ) () lim + f f() = lim ρ + l () = ρ, (2.4.1) + l() primenom (1.3.1). Teorem 2.5. Nek je f poziivn, neprekidno diferencijbiln funkcij n [, + ) z koju posoji končn grničn vrednos () lim + f f() = ρ. Td, ko je ρ = 0 funkcij f je normlizovn sporo promenljiv, z ρ R\{0 funkcij f je normlizovn prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. Dokz: Nek je Td je δ(u) u du = δ() = f () f(). f (u) f() du = ln f(u) f(), odnosno { δ(u) f() = f() ep u du. (2.4.2) Kko δ() ρ, iz (2.4.2) n osnovu Teoreme o reprezenciji dolzimo do zključk eoreme. Teorem 2.6. Nek poziivne funkcije f i g definisne n skupu [, + ) zdovoljvju uslove f() +, g() +, f() g() ( + ). Td ko F R ρ, ρ 0 vži F (f()) F (g()) 25 ( + ).

27 Dokz: Kko F R ρ, o posoji sporo promenljiv funkcij l ko d je F () = ρ l(). Td vži ( ) ( ) α F (f()) f() l f() g() lim + F (g()) = lim g() lim = 1, + g() + l(g()) jer kko je 1 ε f()/g() 1 + ε z dovoljno veliko, prem Teoremi o uniformnoj konvergenciji je ( ) l f() g() g() lim = 1. + l(g()) Teorem 2.7. (i) Ako je f R ρ, ond je f α R αρ. (ii) Ako f i R ρi, (i = 1, 2) pri čemu vži d f 2 () + kd +, ond f 1 f 2 R ρ1 ρ 2. (iii) Ako f i R ρi, (i = 1, 2) ond f 1 f 2 R ρ1 +ρ 2 ρ = m{ρ 1, ρ 2. i f 1 + f 2 R ρ, gde je (iv) Ako f i R ρi, (i = 1, 2,.., k) i r( 1,..., k ) rcionln funkcij s poziivnim koeficijenim, d r(f 1 (),..., f k ()) R. Dokz: (i) Kko je f R ρ, posoji sporo promenljiv funkcij l ko d je f() = ρ l(). Td je (f()) α = αρ (l()) α, p s obzirom d je l α sporo promenljiv funkcij, n osnovu Teoreme o krkerizciji zključujemo d je f α prvilno promenljiv indeks regulrnosi αρ. (ii) Nek su funkcije f 1 i f 2 s rženim osobinm i nek je f i () = ρ i l i (), i = 1, 2. Td je f 1 (f 2 ()) = (f 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()) = ρ 1ρ 2 (l 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()), p je z dokz vrd enj dovoljno d pokžemo d je (l 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()) sporo promenljiv funkcij. 26

28 Z proizvoljno, li fiksirno λ > 0 vži f 2(λ) f 2 () proizvoljno ε (0, λ ρ 2 ) vži λ ρ 2, e odle z m := λ ρ 2 ε < f 2(λ) f 2 () < λρ 2 + ε =: M, z svko 0. Td je ( ) l 1 f 2 () f 2(λ) f 2 () 1 l 1 (f 2 ()) sup µ [m,m] l 1 (µf 2 ()) l 1 (f 2 ()) 1. Kko izrz n desnoj srni nejednkosi konvergir nuli kd +, zključujemo d je funkcij l 1 (f 2 ()) sporo promenljiv, odle i (l 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()). (iii) Nek je f i () = ρ i l i (), i = 1, 2. Td je f 1 ()f 2 () = ρ 1+ρ 2 l 1 ()l 2 (), kko je l 1 l 2 sporo promenljiv funkcij, f R ρ1 +ρ 2. D pokžemo drugi deo vd enj, preposvimo d je ρ 2 < ρ 1. Vži d je ( ) f 1 () + f 2 () = ρ 1 l 1 () + ρ 2 l 2 () = ρ 1 l 1 () 1 + ρ 2 ρ 1 l 2 (). l 1 () Kko je ρ 2 ρ 1 < 0, n osnovu Teoreme 1.4. (v) je lim (f 1() + f 2 ()) = lim + + ρ 1 l 1 (), odnosno dolzimo do zključk d su funkcije f 1 () + f 2 () i ρ 1 l 1 (), koj je prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ 1, simposki ekvivlene. Primenom Sv 2.4. sledi dokz vrd enj. (iv) Kombincijom dokznih osobin. 27

29 2.5 Monoonos Prvilno promenljiv funkcij u opšem slučju nije monoon, li nm nredn eorem dje vrlo korisno svojsvo d je prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ 0 uvek simposki ekvivlenn s monoonom funkcijom. Teorem 2.8. Nek je f R ρ, i nek je reln broj > 0 kv d je f loklno ogrničen n [, + ). Ako je ρ > 0 d 1) f() := sup{f() : f() ( + ), 2) f() := inf{f() : f() ( + ). Ako je ρ < 0 ond 1) f() := sup{f() : f() ( + ), 2) f() := inf{f() : f() ( + ). Dokz: Sledi dokz vrd enj z ρ > 0. Slučj ρ < 0 dokzuje se nlogno. Dodefinišimo funkciju f n inervlu (0, ), f() := f(), (0, ). Funkcij f je po preposvci eoreme ogrničen n svkom inervlu oblik (0, X], X > 0, p primenom Teoreme o uniformnoj konvergenciji immo f(λ) sup λ (0,1] f() sup λ ρ = 1 ( + ). λ (0,1] Odvde je sup f(λ) = sup{f() : 0 < = f() f() λ (0,1] ( + ), šo je i reblo pokzi. Dlje, funkcij g() := 1/f() je prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ, p je konvergencij f() f(λ) λ ρ uniformn n skupu [1, + ). Odle, sup λ [1,+ ) f() f(λ) ( + ) sup λ ρ = 1 λ [1,+ ) 28 ( + ),

30 odnosno inf f(λ) = inf{f() : = f() f() λ [1,+ ) ( + ). Teorem 2.9. Poziivn merljiv funkcij l je sporo promenljiv ko i smo ko z svko α > 0 posoje neopdjuć funkcij ϕ i nersuć funkcij ψ kve d vži α l() ϕ(), α l() ψ() ( + ). (2.5.1) Dokz: ( :) Preposvimo d je l sporo promenljiv funkcij i nek je α > 0. Td, n osnovu Teoreme 2.8, funkcij α l() je simposki ekvivlenn neopdjućoj funkciji, dok je α l() simposki ekvivlenn nersućoj funkciji, šo je i reblo pokzi. ( :) Sd, preposvimo d z svko α > 0 posoje funkcije ϕ i ψ koje zdovoljvju (2.5.1). Td posoje funkcije c 1 (), c 2 () 1, kd + kve d vži l() = c 1 () α ϕ() = c 2 () α ψ(). Z λ > 1, Nek + : c 1 (λ) c 1 () λ α = l(λ) l() ϕ() ϕ(λ) l(λ) l() l(λ) l() ψ() ψ(λ) = c 2(λ) c 2 () λα. λ α lim inf + l(λ) l() lim sup + l(λ) l() λα. Kd α 0+ dolzimo do zključk d l(λ)/l() 1 kd + šo pokzuje d je l sporo promenljiv funkcij. 29

31 Definicij 2.3. Funkcij f definisn n inervlu [, + ) je skoro rsuć funkcij ko posoji konsn A > 1 ko z svko 1, 2 [, + ) vži 1 < 2 f( 1 ) Af( 2 ). Funkcij f je skoro opdjuć ko posoji konsn A > 1 ko z svko 1, 2 [, + ) vži 1 < 2 Af( 1 ) f( 2 ). Posledic 2.3. Svk prvilno promenljiv funkcij f R ρ, ρ > 0 (ρ < 0) je skoro rsuć (skoro opdjuć) funkcij. Nredni rezul odnosi se n globlne grnice z f(y)/f(), gde je f prvilno promenljiv funkcij. Teorem 2.10 (Poerov eorem). 1) Ako je l slbo promenljiv funkcij, d z proizvoljno odbrne konsne A > 1, δ > 0 posoji X = X(A, δ) ko d l(y)/l() A m{(y/) δ, (y/) δ ( X, y X). 2) Ako je l loklno ogrničen n skupu (0, + ) ond z svko δ > 0 posoji A = A (δ) > 1 ko d l(y)/l() A m{(y/) δ, (y/) δ ( > 0, y > 0). 3) Ako je f prvilno promenljiv funkcij s indeksom ρ d z proizvoljne A > 1, δ > 0 posoji X = X(A, δ) ko d f(y)/f() A m{(y/) ρ+δ, (y/) ρ δ ( X, y X). Dokz: 1) Fiksirjmo A > 1, δ > 0 i definišimo funkciju f, f() := δ l(). Prem Teoremi 2.8 posoji X 1 > 0 ko d z svko X 1 vži f() f() 1 < A 1. 30

32 Ako je y, zbog nčin definisnj funkcije f je f(y) f(), p z svko y X 1 > 0 vži l(y) l() = f(y) ( y ) δ f() ( y δ ( y ) δ < A. (2.5.2) f() f() ) U slučju kd je y, posmrjmo funkciju g() = δ l(). Prem Teoremi 2.8 posoji X 2 > 0 ko d z svko X 2 vži g() g() 1 < A 1. Ako je y, zbog nčin definisnj funkcije g je g(y) g(), p z svko y X 2 > 0 vži l(y) l() = g(y) ( y ) δ g() ( y δ ( y ) δ < A. (2.5.3) g() g() ) Končno, iz (2.5.2) i (2.5.3) sledi dokz vrd enj, gde je X = m{x 1, X 2. 2) Nek je X = X(A, δ) kvo d vži l(y)/l() A m{(y/) δ, (y/) δ ( X, y X). Zbog loklne ogrničenosi funkcije l n skupu (0, + ), posoji A 1 ko d je l(y) l() A (0 X, 0 y X). Td z 0 < X y, l(y) l() = l(y) l(x) ( y ) δa ( y ) δ, l(x) l() A AA X i slično z 0 < y X, l(y) y ) δ ( A( l() A AA y ) δ. X Odvde, ko oznčimo A := AA sledi dokz vrd enj. 3) Sledi direkno iz (1). 31

33 2.6 Zigmundov kls funkcij Definicij 2.4. Funkcij f definisn n skupu [, + ) je evenulno rsuć (opdjuć) ko posoji X ko d je f rsuć (opdjuć) n skupu [X, + ). Definicij 2.5. Poziivn merljiv funkcij f pripd Zigmundovoj 9 klsi Z ko je z svko α > 0 funkcij α f() evenulno rsuć i α f() evenulno opdjuć. Nvedimo još neke pojmove i vrd enj iz oblsi mere i inegrcije, vezn z diferencijbilnos Lebegovog inegrl ko funkcije gornje grnice, koje ćemo korisii u nsvku. Z dokze nrednih eorem videi [7]. Definicij 2.6. Merljiv funkcij f, definisn n segmenu [, b], je psoluno neprekidn n segmenu [, b] ko z svko ε > 0 posoji δ > 0 ko d z svku disjunknu fmiliju inervl iz [, b] vži implikcij (α 1, β 1 ),..., (α n, β n ) n (β i α i ) < δ i=1 n f(β i ) f(α i ) < ε. i=1 Prosor psoluno neprekidnih funkcij segmen [, b] oznčv se s AC([, b]). Teorem Nek je funkcij f definisn n segmenu [, b]. Ako je f AC([, b]), d posoji f () m - skoro svud n [, b] i f L 1 ([, b], m). Teorem Nek je g L 1 ([, b], m) i nek je f() = pri čemu je C konsn. Td je gdm + C, [, b], (1) f AC[, b]; (2) f () = g() z m skoro svko [, b]. 9 Anoni Zygmund ( ), poljski memičr 32

34 Oud sledi d se prosor AC([, b]) poklp s prosorom primiivnih funkcij od L 1 ([, b], m) funkcij, j. f AC([, b]) f() = c + φ()d, b φ() d < +. Teorem 2.13 (Bojnić 10, Krm). Kls Zigmundovih funkcij se podudr s klsom normlizovnih sporo promenljivih funkcij. Dokz: ( :) Nek f pripd Zigmundovoj klsi funkcij. Z svko α > 0 nek je X α kv d je α f() rsuć funkcij n [X α, + ) i α f() opdjuć n [X α, + ). Oznčimo h() := ln f(e ) i T α := ln X α. Td je h() + α rsuć i h() α opdjuć funkcij n [T α, + ). Odle, z α = 1 i y > T 1 immo (y ) < h(y) h() < (y ), e n osnovu gore nvedene definicije primećujemo d je h psoluno neprekidn funkcij n [T 1, + ). N osnovu Teoreme 2.11 i 2.12 h() = h(t 1 ) + T 1 µ()d (T 1 < + ), gde je µ merljiv funkcij i µ = h skoro svud n [T 1, + ). Funkciju µ možemo dodefinisi u čkm u kojim ne posoji izvod funkcije h. Nek je vrednos funkcije µ u im čkm 0. Nčin definisnj konsne T α povlči d je α h () α z svko T α z koje posoji h (), p zključujemo d µ() 0 kd +. Kko je { f(e ) = f(x 1 )ep µ()d, T 1 uvod enjem smene u odred enom inegrlu, koji se jvlj u gore nvedenom izrzu, končno dolzimo do oblik { µ(ln u) f() = f(x 1 ) ep du ( X 1 ), X 1 u gde µ(ln ) 0 kd +. Po definiciji, f je normlizovn sporo promenljiv funkcij. 10 Rnko Bojnić, srpski memičr 33

35 ( :) Nek je l normlizovn sporo promenljiv funkcij oblik { ε(u) l() = c ep u du ( ), gde je > 0, ε merljiv funkcij kv d ε() 0 kd +. Td je { α l() = c α α + ε(u) ep du ( ), u gde je α > 0. Nek je b > 0 kv d je α + ε(u) > 0 z svko u b. Funkcij α l() je monoono rsuć n [m{, b, + ). Anlogno se pokzuje slučj kd je α < 0. Odle, funkcij l pripd Zigmundovoj klsi funkcij. 2.7 Krmin inegrln eorem (direkn smer) Asimposko ponšnje inegrl prvilno promenljivih funkcij biće od velike vžnosi ksnije. Sv 2.5. Nek je l sporo promenljiv funkcij loklno ogrničen n skupu [X, + ) i α > 1. Td vži X α l()d α+1 α + 1 l() ( + ). Dokz: Nek je δ (0, α + 1) proizvoljno. Prem Poerovoj eoremi posoji X(2, δ) ko d { l(y) (y δ ( y ) δ l() ) 2 m,, z svko, y X(2, δ). Oznčimo s X = m{x, X(2, δ). Td je X α l() α+1 l() d = 1 0 l(u) l() I [X /,1](u)u α du, nkon uvod enj smene u = / u prvom inegrlu. Z podinegrlnu funkciju u inegrlu n desnoj srni prehodne jednkosi vži: (1) l(u) l() I [X /,1](u)u α u α ( + ) (2) l(u) l() I [X /,1](u)u α < 2u α δ, n osnovu Poerove eoreme. 34

36 Sd možemo primenii Teoremu o dominnnoj konvergenciji, odkle zključujemo d inegrl n desnoj srni konvergir k 1 0 uα du = 1/(1 + α), e končno: α l()d α+1 l() ( + ). X (α + 1) Kko izrz n desnoj srni konvergir beskončnosi, o se niš neće promenii ukoliko levoj srni dodmo konsnu X α l()d, j. umeso X pišemo X X. Npomen 2.1. Primeimo d prehodni sv kod e pokzuje d pod nvedenim uslovim inegrl + X α l()d divergir. Z α = 1 vži slično vrd enje. Sv 2.6. Nek je l sporo promenljiv funkcij i X > 0 kvo d je l loklno ogrničen funkcij n skupu [X, + ). Td je l() d sporo promenljiv X funkcij i vži 1 l() d +. (2.7.1) l() X Dokz: Nek je c (0, 1) proizvoljno. Z dovoljno veliko vži l() := X l() d c l() d = 1 c l() d l() 1 c 1 d ( + ), n osnovu Teoreme o uniformnoj konvergenciji sporo promenljivih funkcij. Odle ( ) l() 1 lim inf + l() ln, c kko c možemo uzei proizvoljno mlo, o sledi d l() l() +, +. Osje d pokžemo d je funkcij l() sporo promenljiv. Kko je merljiv funkcij l()/ loklno inegrbiln n [X, + ), n osnovu Teoreme 2.12, funkcij l je psoluno neprekidn n svkom segmenu sdržnom u [X, + ) i vži l () = l() z m skoro svko [X, + ). (2.7.2) Oznčimo s ε() := l()/ l(); d ε() 0 kd +. U skldu s novim oznkm, iz (2.7.2) je l ()/ l() = ε()/ z m skoro svko [X, + ). (2.7.3) 35

37 Funkcij l je kod e loklno ogrničen n [X, + ), p se jednkos (2.7.3) može inegrlii, odkle se dobij l() = l(x) { ep X ε() d. N osnovu Teoreme o reprezenciji dolzimo do rženog zključk. Kd je l sporo promenljiv funkcij, inegrl + l() d može, li i ne mor konvergiri. U slučju konvergencije, l() d je rivijln sporo X promenljiv funkcij (ko poziivn, merljiv funkcij s končnom grničnom vrednošću u beskončnosi). Nešo ineresnniji je sledeći slučj. Sv 2.7. Ako je l sporo promenljiv funkcij i + l() d < +, d je + l() d sporo promenljiv funkcij i vži: 1 + l() l() d + Posmrjmo slučj kd je α < 1. ( + ). Sv 2.8. Ako je l sporo promenljiv funkcij i α < 1 d je inegrl + α l()d konvergenn i vži: α+1 l() + α l()d (α + 1) ( + ). Dokz: Nek je ρ := 1 2 (α + 1). Td f() := 1 2 (α+1) l() R ρ. Sd, + α l()d α+1 l() + 1 α + 1 = + 1 ( ) f(u) f() uρ u ρ 1 du 1 (uvesi smenu = u u inegrlu i predsvii ko + u α du). Z podinegrlnu funkciju nvedenog inegrl α+1 1 vži (1) ( f(u) f() uρ ) u ρ 1 0 ( + ); (2) ( f(u) f() uρ ) u ρ 1 < u ρ 1, z dovoljno veliko. Funkcij u ρ 1 je inegrbiln n inervlu (1, + ). 36

38 Zbog nvedenih uslov, primenom Lebegove eoreme o dominnnoj konvergenciji n odgovrjući inegrl dolzimo do rženog zključk. Teorem 2.14 (Krmin inegrln eorem - direkn smer). Nek je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ, i nek je on loklno ogrničen n [X, + ). Td (i) z svko σ (ρ + 1), / σ+1 f() α f()d σ + ρ + 1 X ( + ); (ii) z svko σ < (ρ+1) (i z σ = (ρ+1) ko + (ρ+1) f()d < + ) / + σ+1 f() α f()d (σ + ρ + 1) ( + ). 2.8 Krmin inegrln eorem (supron smer) U direknom smeru Krmine inegrlne eoreme pokzno je kko se prvilno promenljive funkcije ponšju prilikom inegrcije. Prilikom inegrcije prvilno promenljivih funkcij, sporo promenljivu funkciju možemo ignorisi i inegrlii smo odgovrjuću sepenu funkciju. Ono šo je posebno znimljivo i vrlo znčjno je d se n kvo ponšnje nilzi smo u slučju prvilno promenljivih funkcij. Teorem Nek je f poziivn i loklno inegrbiln funkcij n inervlu [X, + ). (i) Ako z neko σ > (ρ + 1), / σ+1 f() σ f()d σ + ρ + 1 X ( + ), d je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. (ii) Ako z neko σ < (ρ + 1), / + σ+1 f() σ f()d (σ + ρ + 1) ( + ), d je ponovo f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. 37

39 Dokz: (i) Oznčimo Nek je Y > X, d Y / g() := σ+1 f() σ f()d. (2.8.1) g() d = ln { 1 C X X σ f()d ( > Y ) (2.8.2) (nkon uvod enj smene u = X yσ f(y)dy), gde je C := Y X σ f()d. Obe srne jednkosi su psoluno neprekidne, s jednkim izvodim. Td f() = σ 1 g() σ f()d (primenom (2.8.1)) X { = C σ 1 g() g() ep d (primenom (2.8.2)) Y { = CY σ 1 [g() σ 1] g() ep d Prem preposvci eoreme je g() σ 1 ρ, +, i kko je c() := CY σ 1 g() CY σ 1 (σ + ρ + 1) > 0 Y ( + ), n osnovu Teoreme o reprezenciji sledi d je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. / (ii) Dokz sledi slično. Definišimo G() := σ+1 + f() σ f()d. Z > X vži { G() + / + d = ln σ f()d σ f()d, X odkle slično ko u dokzu (i) dolzimo do + { f() = X σ 1 σ f()dg() ep kko G() + σ + 1 ρ i kko je X X X [G() + σ + 1] d, + + c() := X σ 1 σ f()dg() (σ+ρ+1)x σ 1 σ f()d > 0 X kd +, sledi dokz vrd enj. 38 X

40 2.9 Asimposki inverz i konjugcij Nek je f definisn i loklno ogrničen funkcij n skupu [X, + ) koj eži beskončnosi kd +. Uopšeni inverz f () := inf{y [X, + ) : f(y) > je definisn n skupu [f(x), + ) i monoono ezi k beskončnosi. Teorem Ako je f R ρ, ρ > 0, ond posoji ϕ R 1 ρ ko d vži f(ϕ()) ϕ(f()) ( + ). (2.9.1) Funkcij ϕ, simposki inverz funkcije f, je jedinsveno odred en do n simposku ekvivlenciju. Uopšeni inverz funkcije f je jedn od simposkih inverz funkcije f. Dokz: Nek je { f() = c() ep b ρ + ε(u) du, u gde c() c > 0, ε() 0 kd +, dok je b izbrno dovoljno veliko ko d je ε je neprekidn i ρ + ε() > 0 z b. Definišimo { ρ + ε(u) g() := ep du. u b Td je funkcij g poziivn, neprekidno diferencijbiln i srogo monoono rsuć funkcij n [b, + ), p posoji inverzn funkcij g 1 n [b, + ) koj je neprekidno diferencijbiln i srogo monoono rsuć. Kko je immo odle g () = g() ρ + ε() (g 1 ) () = (g 1 ) (g())g() g 1 (g()) > 0 ( b) 1 g (g 1 ()), = g() g () = 1 ρ + ε(). 39

41 Smenom = g 1 () dobij se (g 1 ) () g 1 () = 1 ρ + ε 1 (), gde ε 1 () 0 kd +. Dkle, (g 1 ) () lim + g 1 () odkle prem Teoremi 2.5 je g 1 R 1/ρ. = 1 ρ, Ako definišemo ϕ() = kg 1 (), gde je k ρ c = 1, biće ϕ R 1/ρ. Kko je f() = c()g() cg(), g() +, g 1 () + kd + i dobij se g(λ) λ ρ g(), g 1 (λ) λ 1/ρ g 1 () ( + ) f(ϕ()) cg(kg 1 ()) ck ρ g(g 1 ()) = ( + ) i koriseći Teoremu 2.6 ϕ(f()) = kg 1 (f()) kg 1 (cg()) kc 1/ρ g 1 (g()) = ( + ). Pokžimo d je simposki inverz jedinsveno odred en do n simposku ekvivlenciju. Preposvimo d posoji još jedn funkcij ϕ 0 R 1/ρ kv d je f(ϕ 0 ()) kd +. Td, kko je ϕ(f()), + immo ϕ(f(ϕ 0 ())) ϕ 0 () ( + ). (2.9.2) Pored og, kko je f(ϕ 0 ()), + prem Teoremi 2.6 je ϕ(f(ϕ 0 ())) ϕ() ( + ). (2.9.3) Iz (2.9.2) i (2.9.3) je ϕ() ϕ 0 (), +. Osje d pokžemo d f zdovoljv uslove funkcije ϕ. Izberimo λ > 1, A > 1 i δ (0, + ). N osnovu Poerove eoreme posoji u 0 ko d vži: A 1 m{λ ρ+δ, λ ρ δ 1 f(v) f(u) A m{λ ρ+δ, λ ρ δ f(v), z svko v [λ 1 u, λu], u, v u 0. 40

42 Nek je dovoljno veliko ko d je f () u 0. Td, n osnovu definicije uopšenog inverz, posoji y [f (), λf ()] kvo d je f(y) > i posoji y [λ 1 f (), f ()] kvo d je f(y ). Uzimjući f () umeso u, y umeso v, poom y umeso v, dobijmo: A 1 m{λ ρ+δ, λ ρ δ 1 f(y) f(f ()) A m{λ ρ+δ, λ ρ δ f(y ). Dkle, A 1 m{λ ρ+δ, λ ρ δ 1 lim inf + lim sup + f(f ()) f(f ()) A m{λ ρ+δ, λ ρ δ. Uzmimjući d A, λ 1, dobijmo f(f ())/ 1, kd +. Teorem 2.17 (de Bruijn 11 ). Ako je l sporo promenljiv funkcij, posoji sporo promenljiv funkcij l #, simposki jedinsven, s osobinom d l ## l. l()l # (l()) 1, l # ()l(l # ()) 1 ( + ); (2.9.4) Dokz: Dokz će sledii direkno iz prehodne eoreme, primenjene n prvilno promenljivu funkciju indeks regulrnosi α = 1. Nek je f() = l(). Z du funkciju posoji simposki inverz g R 1, nek je g() = l # (). Td, kko je f(g()), kd + o g()l(g()) = l # ()l(l # ()) ( + ) i kko je g(f()), kd + f()l # (f()) = l()l # (l()) ( + ), odkle sledi relcij (2.9.4). Sporo promenljiv funkcij l # se nziv de Bruijn-ov konjug; (l, l # ) je konjugovni pr sporo promenljivih funkcij. Ovkvi provi imju primenu u eoriji simposkih inverz. Njisknuije oblsi primene ovih prov su u simposkim problemim u vezi s Lplsovim rnsformcijm. 11 Nicols Gover de Bruijn ( ), holndski memičr 41

43 Sv 2.9. Ako je (l, l # ) pr konjugovnih sporo promenljivih funkcij, A, B, α > 0, sledeći provi imju isu osobinu: ( l(a), l # (B) ), ( Al(), A 1 l # () ) ( ) i (l( α )) 1 α, (l # ( α )) 1 α. U eoremi de Bruijn smo videli d je konjugovn vez izmed u l i l # zprvo vez izmed u simposkih inverz funkcij skup R 1. Sledeći sv dje slično vrd enje z proizvoljn poziivn indeks. Sv Nek su, b > 0 i nek vži f() ( b l( b )) gde je l sporo promenljiv funkcij, i nek je g simposki inverz funkcije f. Td vži: g() 1/b ( l #) 1/b ( 1/ ) ( + ). Dokz: Ukoliko funkcij F im simposki inverz G, ond funkcij F ( b ) im simposki inverz (G 1/b ( 1/ )). Uzimjući F () l(), G() l # (), dolzimo do rženog zključk. 42

44 3 Linerne diferencijlne jednčine drugog red N počeku npomenimo d su u ovom poglvlju inegrli Rimnovi. Nvedimo eoreme koje dju uslove pod kojim su Rimnov i Lebegov inegrl jednki, kko bi vrd enj iz prehodnih poglvlj vžil i z Rimnove inegrle. Teorem 3.1. Nek je f : [, b] R. Ako je f inegrbiln u Rimnovom smislu n [, b], ond je f inegrbiln u Lebegovom smislu n [, b] i ov dv inegrl su jednk. Teorem 3.2. Nek je funkcij f definisn n inervlu [, + ) i nek posoji nesvojsveni Rimnov inegrl + f() d < +. Td je funkcij f Lebeg inegrbiln n [, + ) i vži + f()d = + fdm. 3.1 Osnovn vrd enj i pojmovi o linernim DJ drugog red Nvešćemo neke od njosnovnijih pojmov i vrd enj, bez dokz, iz oblsi linernih diferencijlnih jednčin koj će nm bii neophodn u nsvku. Z dokze nrednih vrd enj videi [3]. Definicij 3.1. Jednčin u kojoj se nepozn funkcij i njeni izvodi do red n jvljju u linernoj vezi, nziv se linern diferencijln jednčin red n. Prem ome, linern DJ je oblik 0 ()y (n) + 1 ()y (n 1) + + n ()y = g(), gde su 0, 1,..., n, g de funkcije, definisne n inervlu (, b). Tčk 0 (, b) je singulrn čk ko je 0 ( 0 ) = 0. U supronom, 0 je regulrn čk. Ako se inervl (, b) ssoji smo od regulrnih čk, jednčin se može izrzii u knonskom obliku y (n) + p 1 ()y (n 1) + + p n ()y = f(), (3.1.1) 43

45 gde je p i () = i() 0, i = 1, 2,..., n, f() = g() () jednčine je D = (, b) R n. Ako je f() 0, odgovrjuć homogen linern DJ je 0. Obls definisnosi ove () y (n) + p 1 ()y (n 1) + + p n ()y = 0. (3.1.2) Teorem 3.3 (Teorem egzisencije i jedinsvenosi rešenj). Ako su funckije p 1, p 2,..., p n, f C(, b), d z svko 0 (, b) i proizvoljne končne vrednosi y 0, y 0,..., y (n 1) 0 posoji jedinsveno rešenje y = φ() DJ (3.1.1), definisno n inervlu (, b) koje zdovoljv počene uslove φ( 0 ) = y 0, φ ( 0 ) = y 0,..., φ (n 1) ( 0 ) = y (n 1) 0. Definicij 3.2. Z funkcije φ 1, φ 2,..., φ n C (n 1) (, b), deerminn φ 1 φ 2 φ n φ 1 φ 2 φ n W () = W (φ 1, φ 2,..., φ n ) =. φ (n 1) 1 φ (n 1) 2 φ (n 1) n se nziv funkcionln deerminn ili Vronskijn 12 funkcij φ 1, φ 2,..., φ n. Teorem 3.4. Rešenj φ 1 (), φ 2 (),..., φ n () C (n) (, b) DJ (3.1.2) su linerno nezvisn n inervlu (, b) ko i smo ko je W () 0 z svko (, b). Teorem 3.5 (Formul Osrogrdskog 13 -Liuvil 14 ). Z DJ (3.1.2) Vronskijn rešenj φ 1, φ 2,... φ n C (n) (, b) jednk je { W () = W ( 0 ) ep p 1 (s)ds, (, b), 0 gde je 0 (, b) proizvoljn čk. Teorem 3.6. Ako je W ( 0 ) = 0 z neko 0 (, b), d je W () = 0 z svko (, b); ko je W ( 0 ) 0 z neko 0 (, b), d je W () 0 z svko (, b). 12 Hoene Wronski ( ), poljski memičr 13 Mikhil Osrogrdsky ( ), ruski memičr 14 Joseph Liouville ( ), frncuski memičr 44

46 Teorem 3.7. Nek su φ 1, φ 2,..., φ n C (n) (, b) linerno nezvisn rešenj linerne DJ (3.1.2) i nek je φ C (n) (, b) proizvoljno nerivijlno rešenje ove jednčine. Td posoje konsne c 1, c 2,..., c n ko d je φ() = c 1 φ 1 () + c 2 φ 2 () c n φ n (). Definicij 3.3. Skup od n linerno nezvisnih rešenj jednčine (3.1.2), definisnih n inervlu (, b), nziv se fundmenln sisem rešenj. Posmrjmo homogenu linernu DJ drugog red y + p 1 ()y + p 2 ()y = 0, (3.1.3) gde su p 1, p 2 C(, b). Ako je pozno prikulrno rešenje y = φ 1 () DJ (3.1.3) s osobinom φ 1 () 0 z svko (, b), drugo prikulrno rešenje je odred eno Abelovom 15 formulom { ep p1 ()d φ 2 () = φ 1 () d. φ 2 1() Funkcije y = φ 1 () i y = φ 2 () čine fundmenln sisem rešenj. Ako su funkcije p 1 C (1) (, b), p 2 C(, b), smenom { y() = z() ep 1 p 1 (s)ds 2 0 DJ (3.1.3) se može rnsformisi u DJ bez prvog izvod gde je z () + q()z() = 0, (3.1.4) q() = p 2 () p 1() 2 p 1() 4 2. Tkod e, DJ (3.1.3) može bii predsvljen i u obliku 15 Nils Henrik Abel ( ), norveški memičr (p()y ) + q()y = 0, (3.1.5) 45

47 gde je { { p() = ep p 1 (s)ds, q() = b() ep p 1 (s)ds. 0 0 Ako je pozno prikulrno rešenje y = φ 1 () DJ (3.1.5), gde je p C (1) [, + ) i q C[, + ), drugo linerno nezvisno rešenje je do formulom φ 2 () = φ 1 () 0 u zvisnosi od og d li je ds + ili φ p(s)φ 1 (s) 2 2 () = φ 1 () ds p(s)φ 1 (s) 2 (3.1.6) + ds p(s)φ 1 (s) 2 = + ili + ds p(s)φ 1 (s) 2 < Šurmov eorij linernih DJ Smrćemo d je DJ (3.1.3) pomoću invrijne rnsformisn u DJ gde je q C(, b). y + q()y = 0, (3.2.1) U kvliivnoj nlizi linernih DJ od posebnog ineres je ispii d li rešenje im končno ili prebrojivo beskončno nul. Od ineres je ispii njihov broj i rsojnje med u njim. Trivijlno rešenje im neprebrojivo mnogo nul, p se izuzim iz rzmrnj. Definicij 3.4. Nerivijlno rešenje DJ (3.2.1) je oscilorno n inervlu (, b) ko im beskončno mnogo nul n om inervlu. U supronom, rešenje je neoscilorno. Sv 3.1. Svko nerivijlno rešenje DJ (3.2.1) n proizvoljnom segmenu [α, β] (, b) može imi smo končno mnogo nul. Dokz: Preposvimo suprono, d prozivoljno rešenje y = φ() DJ (3.2.1), n segmenu [α, β] im prebrojivo mnogo nul 1, 2,... Kko je niz ( n ) n ogrničen, o mor d posoji br jedn čk ngomilvnj ovog niz [α, β]. Nek je ( nk ) k podniz niz ( n ) n kv d je lim k + nk =. 46