DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Транскрипт

1 RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI N OGOVRJUĆI NČIN 1 Prvi način: Neka je c cijena ulaznice prije, a nakon poskupljenja i neka je z zarada prije, a Z nakon poskupljenja te neka je n broj gledatelja prije, a N poslije poskupljenja ijena ulaznica povećala se 40% pa je = 14 c, a zarada se povećala 6% pa je Z = 16 z roj gledatelja je manji i iznosi p% broja gledatelja prije poskupljenja cijene ulaznica pa vrijedi da p je N = p% n = 100 n Zarada prije poskupljenja je z = n c, a zarada poslije poskupljenja je Z = N p n 14 c 14 p nc 14 p z alje vrijedi Z = N = p p p alje je 16 z = 14 z odnosno 16 = 14 te konačno = Prema tome je N = 90 % n akle, broj gledatelja smanjio se za 10 % rugi način Neka je c cijena ulaznice prije, a nakon poskupljenja i neka je z zarada prije, a Z nakon poskupljenja te neka je n broj gledatelja prije, a N poslije poskupljenja Tada vrijedi z = n c i Z = N ijena ulaznica povećala se 40% pa je = 14 c, a zarada se povećala 6% pa je Z = 16 z alje vrijedi Z = N = N 14c i Z = 16z = 16 n c odnosno N 14c = 16 n c Zaključujemo da je N n 16c c 14 ili N 09n Prema tome je N = 90 % n akle, broj gledatelja smanjio se za 10 %

2 Prvi način a b b c c a Jednakosti mogu se zapisati kao tri jednadžbe a b b c a 4b 3b 3c b 3c 4a b c c a 4 5 5b 5c 4c 4a c 4a 5b a b c a a 5b 3c 3a a 3c 5b Koristeći drugu i treću jednadžbu dobiva se: c 4a 5b a 5b 3c 5b 5b 6c 10b 5b 6c 15b 5c 15b c 3b alje, iz treće jednadžbe dobiva se: a 3c 5b 33b 5b 9b 5b 4b a b Nakon uvrštavanja dobivamo redom: abc 100 a 10b c 100 b 10 b 3b 00b 10b 3b 13 b udući da su a, b i c znamenke, postoje tri troznamenkasta broja za b 1,,3, a traženi brojevi su 13, 46, 639 rugi način Raspisujući zadani uvjet redom dobivamo: a b b c c a kk, a b k a b 3 k a 3k b 3 c a k c a 5 k c 5k a 5k 3k b 5k 3k b c k b 5 b c k b c 4 k b 4k c 4k k b 4k k b k b 4 b k b b k k b Prema tome, za znamenke a, b i c vrijedi a k, b k, c 3 k, k N Uvrštavanjem prirodnih brojeva umjesto k, redom dobivamo: k a =k b =k c =3k abc

3 udući da su a, b i c znamenke postoje tri troznamenkasta broja za b 1,,3 13, 46, 639, a traženi brojevi su 3 Prilikom rješavanja koristi se svojstvo množenja cijelih brojeva: Umnožak cijelih brojeva je cijeli broj akle, pomnoži li se razlomak 4 x 17 9 brojem 5, dobiveni će umnožak ponovno biti cijeli broj, tj zadani razlomak pišemo u obliku 4x17 0x85 5 rojnik novog razlomka rastavljamo tako 9 9 da dobijemo dio koji je višekratnik nazivnika: 0x 85 0x x Razlomak 4 x 17 9 će biti cijeli broj ako je 11 9 cijeli broj Razlomak 11 9 će biti cijeli broj ako je nazivnik + 9 djelitelj broja 11 jelitelji broja 11 su 1, 1, 11, 11, 11, 11 Za pozitivne djelitelje (1, 11 i 11) se ne dobivaju cjelobrojna rješenja Za negativne djelitelje ( 1, 11 i 11) redom dobivamo: a) x, b) x 4, c) x 6 Uvrštavanjem vrijednosti x u razlomak 4 x 17 9 slijedi: a) za x je 4 x , što je cijeli broj; b) za x 4je 4 x , što je cijeli broj; c) za x 6 je 4 x , što je također cijeli broj akle, rješenja su cijeli brojevi, 4 i 6

4 4 Uz oznake kao na slici vrijedi: K G H L J F E I Pravokutni trokuti E, F, G i H međusobno su sukladni prema poučku o sukladnosti trokuta S-K-S jer je E F G H 5 cm i 10 cm Posljedica navedene sukladnosti je jednakost veličina odgovarajućih kutova tih trokuta: H E F G, E F G H udući da je 90, slijedi da su kutovi s vrhovima u točkama I, J, K i L pravi, tj da je četverokut IJKL pravokutnik te da je I J K L Pravokutni trokuti L, I, J i K sukladni su prema poučku o sukladnosti trokuta K-S-K Zaključujemo da je E usporedna s G kao i H s F užina JF srednjica je trokuta I pa je 1 IJ J I i 1 JF I x nalogno vrijedi za duljine stranica preostalih trokuta (L, J i K ), a time i za duljine stranica četverokuta IJKL akle, JF KG LH IE x i J IJ K KJ L LK I IL x akle, četverokut IJKL je kvadrat sa stranicom duljine x Preostaje izračunati površinu kvadrata IJKL To možemo napraviti na više načina Prvi način: Prema gore dokazanom zaključujemo da vrijedi E EI IJ J i I IJ J 4x Prema poučku K-K trokut E sličan je trokutu I pa vrijedi E : : I

5 Uvrštavanjem poznatih podataka u taj razmjer dobivamo redom: 5 x:10 10: 4x 0 x x100 xx5 Konačno, površina kvadrata IJKL jednaka je P( IJKL) IJ JK xx 4xx 45 0 cm rugi način: Nadopunimo sliku s četiri pravokutna trokuta O G K P H L J F N I E M Trapeze IFJ, JGK, KHL i LEI moguće je nadopuniti do kvadrata pravokutnim trokutima NF, OG, PH i ME koji su sukladni trokutima JF, KG, LH i IE Jednostavno je uočiti da je površina kvadrata jednaka površini pet manjih kvadrata (MIL, NJI, OKJ, PLK i IJKL od kojih je jedan osjenčan), a koji su međusobno sukladni akle, površina osjenčanog kvadrata jednaka je 100 : 5 = 0 cm Treći način: Kvadrat možemo podijeliti na dva sukladna pravokutna trokuta G i E Svaki od njih ima površinu 5 cm To znači da je površina paralelograma EG jednaka 50 cm G K J H F L I E

6 Paralelogram EG sastavljen je od kvadrata IJKL (čiju površinu tražimo) i dvaju pravokutnih trapeza EIL i JGK uljine osnovica tih trapeza su x i x, a duljina visine im je jednaka x To znači da svaki od njih ima površinu x x x 3x x 3x, a površina kvadrata jednaka je x x = 4x x = 4x Prema tome, vrijedi 3x + 3x + 4x = 50, tj 10x = 50, odakle je 4x = 0 Površina kvadrata IJKL je 0 cm 5 S Neka je S središte upisane kružnice trokuta i središte opisane kružnice trokuta i neka je Kutovi S i su središnji i pripadni obodni kut nad tetivom Na temelju poučka o središnjem i obodnom kutu vrijedi da je S Iz trokuta S, koji je jednakokračan jer je S S, može se zaključiti da je S 180 S 90 Pravac S je simetrala unutarnjeg kuta trokuta () pri vrhu pa je (90 ) 180 Na isti način vrijedi (90 ) 180 alje možemo nastaviti na više načina

7 Prvi način: Pravac je simetrala kuta trokuta pri vrhu pa je (180 ) Iz zbroja kutova trokuta redom slijedi 180 (180 ) (360 4 ) (7 36 ) 7 Trokut je jednakokračan s kutovima veličina 7º, 7º i 36º rugi način: udući da je 180, trokut je jednakokračan s osnovicom Kut je vanjski kut trokuta i vrijedi da je Za kutove trokuta vrijedi: alje slijedi da je 7 i Treći način: Zbog činjenice da je u trokutu 180 i da je 180, vrijedi odnosno 0 što znači da je i da je trokut jednakokračan s osnovicom udući da je pravac simetrala kuta, zaključujemo da je, a onda je i Konačno, uvrštavanjem dobivenih relacija u izraz 180 redom dobivamo: 180, 5 180, 36 i 36 7