My_ST_FTNIspiti_Free

Транскрипт

1 ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК

2 ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити Видимо да а у основи степена је разломак са полиномима истог степена у имениоцу и бројиоцу Значи, када, тада ће основа тежити У експоненту је разломак са неједнаким степенима полинома и када тада ће експонент тежити Значи, имамо случај и знамо да је то случај табличног лимеса e Ово значи да ћемо и основу и експонент трансформисати тако да добијемо овај таблични лимес Основу ћемо трансформисати додавањем и одузимањем, а експонент проширавањем са изразом из дела основе ( ) e e e e e e Одредити 5 8 Израчунати, без кориштења Лопиталовог правила: ( ) ( ) [ ] l l

3 ФТН Испити С т р а н а Израчунати e 5 Ако је могуће, одредити константе и B тако да функција B, за < < ( ) B, за π ( ) g, за >, Образложити буде непрекидна над интервалом ( ) Ако је могуће, одредити константе и B тако да функција B, за < < ( ) B, за π ( ) g, за >, Образложити буде непрекидна над интервалом ( ) 7 Одредити граничну вредност низа { c } N c 8 8 8, чији је општи члан 8 Одредити граничну вредност низа { } N 8 8 8, са општим чланом 9 Ако је могуће, одредити константе и B тако да функција 5, за < < ( ), за e B, за >, Образложити буде непрекидна над интервалом ( ) Одредити ( ) g π Израчунати ( ) ( )

4 ФТН Испити С т р а н а Видимо да и да имамо производ и разлике два корена, код којих подкорене величине Значи имамо случај ( ) Да би решили ту неодређеност, треба да се решимо те разлике, а то можемо проширивањем множећи збиром Међутим, како имамо случај квадратног корена и кубног корена истовремено, требали би одвојено проширити изразима, где ћемо у првом делу користи разлику квадратног корена, па проширити изразом да добијемо разлику квадрата ( ) ( ) B B B, а у другом разлику кубног корена, па проширити са изразом у коме је збир, како би добили случај разлике кубова ( ) ( ) B B B B Да би то урадили, додаћемо и истовремено одузети, како би добили ова два одвојена случаја ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Шта сада видимо? Пошто, можемо поделити и именилац и бројилац највећим добијеним степеном, као што радимо када имамо полиноме у бројиоцу и имeниоцу ( )

5 ФТН Испити С т р а н а Ако је могуће, одредити константе и B тако да функција cos ( s ), за < ( ), за e B, за > буде непрекидна у ) Израчунати граничну вредност g s s Одредити параметар тако да функција буде непрекидна у тачки, ако је g 5 Израчунати граничну вредност s, за ( ), за < π ( ) Одредити граничну вредност: 7 Одредити граничну вредност: 8 Одредити граничну вредност: Одредити ( ) Изводи функције s Одредити први извод функције: ( ) l s s ( ) l s

6 ФТН Испити С т р а н а 5 s Видимо да је извод упућен функцији l s s ( ) l ( ) s ( ) s s l s s s s s s s s s ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) s ( s ) ( s ) ( s ) ( cos ) ( s ) s ( ) s s cos ( ) s cos s cos cos s cos ( ) s s cos cos cos cos ( ) s s s cos ( ) cos cos ( ) ( ) s s 9 Одредити први извод функције: ( ) s cos rcg( ) Одреди први извод функције cos s( ) Одреди први извод функције rcg rcg Видимо да треба да одредимо први извод функције која је дата као rcg ( ) тражимо као извод сложене функције rcg ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Одреди први извод функције sl ( ) ( ) Први извод

7 ФТН Испити С т р а н а 5 Одреди први извод функције ( ) Одреди први извод функције l 7 Одреди први извод функције ( ) дате са e e Видимо да треба да одредимо први извод функције која је дата у имлицитном облику Када је функција дата у имлицитном облику, тада диференцирамо леву и десну страну израза независно једно од другог У тим изразима добијемо ( ) решавајући једначину по ( ) као непознатој e e / e које након диференцирања одредимо ( ) ( e ) ( ) ( ) e ( ) e ( ) e e e e e ( e ) e 8 Одреди други извод функције ( ) 9 Одреди први извод функције ( ) дате са дате са Одреди први извод функције ( ) дате са rcg l Одреди други извод функције Одреди други извод функције e rccos( ) Одреди други извод функције дате са и Одреди други извод функције дате са s и cos s и cos Видимо да треба да одредимо други извод функције дате у параметарском облику Да би нашли други извод, прво треба да нађемо први Знамо да је први извод функције дате у параметрском d ( ) d ( ) облику Други извод је d( ( ) Бројилац d d ) d d представља извод количника по, односно: Именилац d представља извод независно променљиве по, тј d Сређујући као двојни разломак, добија се:

8 ФТН Испити С т р а н а 7 Одавде је: cos, s s, cos ( s ) ( s ) ( cos ) cos cos cos cos s s cos cos s s 8cos 8cos cos cos s s s s cos( ) s s cos( ) s s cos cos cos cos s s cos 5 Одреди други извод функције дате са e и e Одреди други извод функције дате са l и, > 7 За функцију ( ) l ( ) oдредити једначину тангенте и нормале у тачки (,) 8 За функцију ( ) g oдредити једначину тангенте и нормале у тачки (,) 9 За функцију ( ) s oдредити једначину тангенте и нормале у тачки (,) Израчунати приближно l, помоћу диференцијала првог реда функције Израчунати приближно g помоћу диференцијала првог реда функције Функције Испитај ток и нацртај график функције ( ) Детаљно испитати ток и нацртати график функције e Детаљно испитати ток и нацртати график функције ( ) l 5 Детаљно испитати ток и нацртати график функције ( ) ( ) e

9 ФТН Испити С т р а н а 8 Екстреми функције Одреди екстремне вредности функције: z (, ) ( 5) 7 5 z (, ) ( 5) 7 5 Екстреме тражимо на познат начин: а) нађемо парцијалне изводе и изједначимо са нулом и б) проверамо преко знака израза D( ) z z ( z ), да ли су те добијене стационарне тачке заиста екстрем функције z z ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 8 z z 7 z z У стационарним тачкама мора бити: z и z Одавде добијамо систем: z ( 5) z 5 Дакле, има једна стационарна тачка, Треба сада да нађемо друге изводе: z z ( 8 ) ( 8 ) 8 z z ( ) ( ) z z z z z z ( 8 ) ( 8 ) ( ) ( ) Када се формира израз: D z z ( z ), уколико је D z z ( z ) > екстермум у датој стационарној таки Уколико је D z z ( z ) < екстермум у датој стационарној таки Уколико је z z ( z ), тада функција има, тада функција нема D не зна се да ли има екстрем или не овом методом и мора се испитати другим методама да ли има екстрем или не Ако је z z ( z ) > z D и z >, тада функција има локални МИНимум, а ако је при томе <, тада функција има локални МАКСимум 5 За наш случај у тачки, : 5 D, 8 >, дакле има екстремум Како је 5 5 z, 8 >, то је у тачки, МИНимум

10 ФТН Испити С т р а н а 9 5 z m z Тај минимум износи: ( ) ( 5 5) 5 5 ( ) 5 m 7 Одреди екстремне вредности функције: z(, ) 5 8 Одреди екстремне вредности функције: z (, ) Одреди екстремне вредности функције: z (, ), уз услов 5 Одреди екстремне вредности функције: z( ) l l l( ) 5 Да ли функција z(, ) у тачкама (, ) и (, ) услов? Образложити z(, ) уз услов B има условни екстремум уз Екстремум функције z (, ) који мора да задовољи услов (, ) следећи алгоритам: а) формирамо Лангражеову функцију (, ) z(, ) ϕ(, ) формирамо систем једначина ϕ тражимо примењујући, б) из ње дати услов (, ) ϕ и в) након налажења стационарних тачака формирамо израз за тотални диференцијал другог реда видимо ако је d >, тада је то условни МИНимум, ако је d <, тада је то условни МАКСимум, а ако d тада ништа не знамо У овом задатку, нећемо решавати систем једначина, већ само проверити да ли дате тачке (, ) и B (, ) задовољавају те једначине У нашем случају je (, ) ϕ (, ) ( ), па је: Одавде је: У стационарним тачкама мора бити: и, а такође је и услов да је ϕ (, ) Одавде добијамо систем: Проверимо да ли тачке (, ) и (, ) B задовољавају те једначине d и

11 ФТН Испити С т р а н а За ( ),, добија се: Дакле, тачка ( ), је стационарна тачка и, јер задовољава формирани систем једначина За ( ), B, добија се: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Дакле, и тачка ( ), B је стационарна тачка и, јер задовољава формирани систем једначина Формирајмо сада тотални диференцијал другог реда За функцију са две променљиве, он изгледа приказан преко оператора: d, односно: d d d d d Видимо да ће нам за одређивање овог диференцијала требати парцијални изводи другог реда и мешовити извод ( ) ( ) ( ) ( ) Одавде је: ( ) ( ) ( ) d d d d d d d d d

12 ФТН Испити С т р а н а Како је и за (, ) и за B (, ), то је, d d d d d d d d d d ( ) ( ) Пошто и d и d могу да буду и позитивни и негативни, на основу датог израза не можемо да видимо какав је знак тоталног дифернцијала другог реда Зато је потребно да видимо везу између d и d из функције услова (, ) ϕ и да то заменимо у тотални диференцијал другог реда Како је, функција дата имплицитно и када је диференцирамо, добија се ( ) d ( ) d d d d d d d d d Када ову вредност заменимо у израз за тоталног дифернцијала другог реда, добије се: d ( ) d d d ( ) d d ( ) d d ( ) d У околини стационарне тачке (, ) тотални диференцијал другог реда имаће вредност: d Како је ( ) ( ) d d ( ) d 5 d d 5d d d увек позитивно за било какво d, то значи да је увек ( ) > d То значи да је у стационарној тачки (, ) МИНимум дате функције уз дати услов У околини стационарне тачке (, ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) d B d d ( ) d ( B) d Како је B тотални диференцијал другог реда имаће вредност: d 7 d d 7 d d увек позитивно за било какво d, то значи да је увек ( B) < То значи да је у стационарној тачки B (, ) МАКСимум дате функције уз дати услов 5 Одреди екстремне вредности функције: u z ( z) 5 Да ли функција z u има екстреме у тачки (,, ) d уз услов z уз услов z z 9

13 ФТН Испити С т р а н а 5 Интеграли 5 Применом дефиниције одређеног интеграла израчунати d d Видимо да треба да одредимо вредност одређеног интеграла преко дефиниције одређеног интеграла Одређени интеграл се може дефинисати као гранична вредност интегралне суме ( ), коју чини сума правоугаоника страница ( ) и у границама од а до b можемо направити да буду једнаки и да је b, где је b - горња, а а -доња граница интеграљења Када тада ће, а апсцисе ће имати вредности а, када буде добијало вредност од до Дакле, једна страница правоугаоника ће бити ( ) b, а друга страница је ( ) ( ) ( ) Површина једног правоугаоника је ( ) Како је ( ), то је, па је интегрална (горња, јер почиње од ) Дарбуова сума S Из овог последњег израза интегралне Дарбуова суме видимо да је интервал интеграције, да је почетна апсциса -, а функција облика ( ) Ово ће бити важно када се буду решавали задаци са обрнутим смером - да се гранична вредност одреди преко одређеног интеграла Из интегралне суме се добија: S 9 9 S 9 9 Зна се да је ( ), ( ) ( ) Одавде је: ( ) ( ) ( ) ( ) 9 S

14 ФТН Испити С т р а н а ( ) ( ) S Када тада ће S S ( ) 55 Одредити ако је помоћу одређеног интеграла и Њутн-Лајбницове формуле 5 Одредити ако је ( ) ( ) ( ) ( ) помоћу одређеног интеграла и Њутн-Лајбницове формуле 57 Одредити ако је ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) помоћу одређеног интеграла и Њутн-Лајбницове формуле 58 Дат је низ са општим чланом ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Одредити граничну вредност низа применом дефиниције одређеног интеграла 59 Применом одређеног интеграла одредити граничну вредност низа { }, где је 5 Израчунати интеграл: ( ) d cos s s l Израчунати интеграл: ( ) ( ) d 9 s cos Израчунати интеграл: d e 5

15 ФТН Испити С т р а н а rcg Израчунати интеграл: d rcg d Видимо под интегралом разломак, где је у бројиоцу бином са два члана Први члан је линеарни, што значи да уколико би раздвојили на одвојен разломак, то могао бити извод од квадратног бинома облика а b, а то таман имамо у имениоцу Други члан је корен од rcg, а извод тог члана је Значи, ово упућује на то да дати резломак представимо као алгебарски збир два разломка и да сваки од њих решимо методом замене rcg d rcg rcg d d d d Уводимо смену: 8d d 8 l C l C l( ) C rcg rcg rcg d Уводимо смену: ( ) d ( ) d rcg d rcg l( ) C rcg l( ) rcg C 8 Израчунати интеграл: l l d 5 Израчунати интеграл: s () cosd 8 Израчунати интеграл: d ( )

16 ФТН Испити С т р а н а 5 d ( ) Видимо под интегралом разломак у чијем је именицу производ линеарног бинома и корена Под кореном је линеарни бином, такође Ово указује да би могли увести замену за линеарни бином под кореном која би била квадрат нове променљиве Тиме би корен нестао, а остатак подинтегралне функције могли би трансформисати у рационалну функцију d ( ) Интеграл постаје: ( )( ) Уводимо смену d ( B) ( B) Одавде је: B ( B) B d ( ) ( ) ( )( ) B ( ) B( ) B B ( )( ) ( )( ) B B B ( B B) B B ( )( ) B B ( l( ) l( ) C l C Како је, следи l C l 7 Израчунати интеграл: d rcs 8 Израчунати интеграл: d 9 Израчунати интеграл: ( g) l d cos rcs rcs e 7 Израчунати интеграл: d

17 ФТН Испити С т р а н а π 7 а) Израчунати s d б) Израчунати површину ограничену графицима, и в) Израчунати координате тежишта плоче која је ограничена са π 7 а) Израчунати cos d и над [,] б) Израчунати површину ограничену графицима кривих и в) Израчунати момент инерције правоугаоне плоче која је дефинисана на интервалу и масе кг која ротира око -осе 7 а) Израчунати l d e б) Израчунати површину која је ограничена графицима кривих 7, и правом 7 7 в) Израчунати момент инерције правоугаоне плоче која је дефинисана на интервалу и масе кг која ротира око -осе 7 Израчунати површину између параболе и правe 5 Када се нацртају графици види се да су две криве парабола окренута навише и права сече параболу, при чему је права горња крива, а парабола доња Пресечне тачке налазимо изједначавањем та два израза, тј 5 Одавде је: 5 ± 8 ± 9,, Одавде је, по стандардној формули: P P P ( ) d ( g ( ) d ( ) ) d 5 ( ) ( 5 ) d ±, ( ) d d d d P d d d P

18 ФТН Испити С т р а н а 7 ( ) ( ) 8 P 8 9 P,5 P, 5 P ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Пар одабраних тема из линеарне алгебре 75 Одреди матрице следећих линеарних трансформација: а) (, ) (,) (,) (,), б) g g (, ) (, ) (,) (,) { }, в) 7 Нека је (, b) Q b Q (, b) *( c, d ) ( c, d b) Да ли је уређени пар (,*) h h (,) (,) ( 5,) (,), г), а операција * дефинисана као Абелова група? (, ) (, ) (,) (,) Да би (,*) била Абелова група потребно је доказати следећа својстава операције * у скупу : ) затвореност, ) асоцијативност, ) постојање неутралног елемента, ) постојање инверзног елемента и 5) комутативност ) Затвореност ( b) *( c, d ) ( c, d b), Треба видети да ли је добијени елеманат из скупа Како уређени парови припадају скупу, то значи да, b, c, d Q c Да би уређени пар ( c, d b) припадао скупу потребно је да c Q d b Q c Како, b, c, d Q тада и c Q d b Q, јер су операције сабирања и множења затворене у скупу Q Са друге стране, c, па је онда и c, што значи да је ( c, d b) и да је бинарна операција * затворена у скупу ) Асоцијативност Треба доказати да је ( b) * (( c, d )* (, g) ) ((, b) * ( c, d ))* (, g),, где је c (, b) *(( c, d )* (, g) ) (, b) * ( c, cg d ) ( c, ( cg d ) b) ( c, cg d b) Са друге стране, ((, b) *( c, d ))* (, g) ( c, d b) *(, g) ( c, cg ( d b) ) ( c, cg d b) Види се да се добијају два иста израза, што је доказ да је операција асоцијативна Такође је из c c ) Постојање неутралног елемента Уколико постоји неутрални елемент, тада важи: (, b) *( e, e ) (, b), где је e Q e Q e, а такође и Q b Q Одавде је: e e e (, b) *( e, e ) ( e, e b) (, b) e b b e b b e e e, Како је је e Q e Q e, то постоји неутрални елеменат ( ) ( ), ) Постојање инверзног елемента Уколико постоји инверзни елемент, тада важи: (, b) *(, ) ( e, e ) Или другачије означено, (, b) *(, ) (, ), при чему је

19 ФТН Испити С т р а н а 8 Q Q Одатле следи: (, b) *(, ) (, b) (, ) b b Дакле, постоји инверзни елеманат (, ),, јер како је b b Q b Q, то је и Q Q b 5) Комутативност Треба испитати да ли је (, b) *( c, d ) исто што и ( c d )*(, b) (, b) *( c, d ) ( c, d b), а ( c, d )*(, b) ( c, cb d ) Како d b cb d (, b) *( c, d ) ( c, d )*(, b) и да операција * није комутативна у скупу, Како је, то значи да Како важе особине: затвореност, асоцијативност, постојање неутралног елемнта и постојање,* је група, али није Абелова група инверзног елемента, структура ( ) 77 Дат је скуп { b Q b Q} ( \ { },) Испитати да ли су уређени парови (,) (,) групе (задатак 59 из књиге са стране 9) 78 Доказати да је (,, ) b b b Q поље где су и дефинисане са b b и и 79 Нека је α α β ; α, β R, α β β β α M Испитати да ли је (,) M Абелова група