Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Слични документи
Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Microsoft Word - VALJAK.doc

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - 26ms281

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

1. Realni brojevi

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

9. : , ( )

vjezbe-difrfv.dvi

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Sveučilišni studij VEKTORSKA FUNKCIJ

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Slide 1

1

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g.

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

07jeli.DVI

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,

Slide 1

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

Neodreeni integrali - Predavanje III

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

dif_pol_2.key

Microsoft Word - 24ms241

3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci iii deo.doc

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

Microsoft Word - 26ms441

8. ( )

Microsoft Word - 16ms321

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Kristijan Kilassa Kvaternik THURSTONOVE GEOMETRIJE Diplomski rad Voditelj

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

Microsoft Word - FINALNO.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

Microsoft Word - 15ms261

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

Microsoft Word - 24ms221

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Analiticka geometrija

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]

Analiticka geometrija

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

Jednadžbe - ponavljanje

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

Optimizacija

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

Analiticka geometrija

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 24 uzoraka seruma (µmol/l):

Транскрипт:

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskz pogledti u predvnjim (Teorem 1.7.) Zdtk 1 Izrčunjte ukupni fluks funkcije F kroz plohu, ko je F zdno s F (x, y, z) ( y, x, x ), je unij cilindr x + y (pri čemu uzimmo z h) i "poklopc" (gornje bze vljk). (Npr. u mehnici fluid fluks predstvlj protok fluid kroz plohu.) Rješenje. Fluks polj F kroz plohu je jednk rotf NdA. Zdtk možemo riješiti n više nčin: ) koristeći Stokesov teorem rčunti krivuljni integrl F T ds ( i tj integrl možemo rčunti n više nčin); b) direktno izrčunti integrl po plohi rotf NdA. ) Rčunmo F T ds. (T je jedinični tngencijlni vektor n rub od ). Ploh je cilindr + gornj bz p je kružnic donje bze vljk. Cilindr prmetrizirmo uobičjeno funkcijom ϕ(θ, z) ( cos θ, sin θ, z); ϕ : [, π] [, h] R 3. Jedinični vektor normle n plohu u proizvoljnoj točki cilindr rčunmo (vidjeti predvnj) s Izrčun se θ sin θ cos θ, N(θ, z) z θ z θ z. 1, θ z cos θ sin θ p dobivmo N (cos θ, sin θ, ). Ztim, jediničn vnjsk norml n je u svkoj točki rub: n (,, 1), vrijedi T N n p slijedi d je T ( sin θ, cos θ, ). Sd treb prmetrizirti (koji je kružnic u xy rvnini oko ishodišt, rdijus ): (θ) ( cos θ, sin θ, ); : [, π] R 3.

Slijedi F T ds (F T )((θ)) (θ) dθ π ( sin θ, cos θ, cos θ) ( sin θ, cos θ, ) dθ π ( sin θ + cos θ)dθ π.. vrijnt s krivuljnim integrlom: uočimo d je (znči donj kružnic) tkođer i rub skup, gdje je krug u xy rvnini oko ishodišt rdijus. kle immo d je (p je i T T, T je tngent n ). Izrčun se i d je rotf F ( F 3 y F z, F 1 z F 3 x, F ) (, x, ). y S N oznčimo normlu n plohu, u svkoj točki iz je N (,, 1). Slijedi F T ds F T ds {po Stokesovom teoremu} rotf N da (, x, ) (,, 1)dA da P ( ) π. b) Podijelimo plohu n 1 (cilindr) i (poklopc). Sd je rotf NdA 1 + Norml n 1 je N 1 (cos θ, sin θ, ) (izrčunli smo pod )). N je norml N (,, 1). Treb još izrčunti forme površine. sin θ Z 1 :, n (1,), n (1,3) sin θ 1y, n (,3) cos θ 1x. Zto je da 1ydx dz + 1 xdy dz. Z : prmetrizcij ϕ (r, θ) (r cos θ, r sin θ, h); r [, ], θ [, π]. ϕ cos θ r sin θ sin θ r cos θ, r; n (1,) 1; n (1,3) n (,3)

p je da r dx dy. obijemo rotf NdA rotf N 1 da + 1 rotf N da (, x, ) (cos θ, sin θ, )( 1 1 ydx dz+1 xdy dz)+ (, x, ) (,, 1)(1dx dy) ( x) y 1 ( 1 ydx dz + 1 xdy dz) + dx dy (xy dx dz x ydy dz) + dx dy 1 π h + ( cos θ sin θ ( sin θ) cos θ sin θ cos θ)dzdθ+ π rdθdr + 4π rdr 4π π. Npomen 1 U ovoj vrijnti Stokesov teorem kže d fluks od F po plohi možemo rčunti ko integrl po bilo kojoj plohi čiji je rub krivulj C ( ). Ovdje smo među tkvim plohm odbrli krug. Zdtk Izrčunjte fluks polj F y i +xz j +x k kroz trokut u prvom oktntu koji je odsječen koordintnim rvninm iz rvnine x + y + z 1. Rješenje. Rdi se o trokutu s vrhovim (1,, ), (, 1, ) i,, 1). Izrčun se rotf F ( x, x, z 1) i N 1 3 (1, 1, 1) (jedinični vektor normle rvnine x + y + z 1). irektno: izrčunti plošni integrl (rotf ) NdA. Koristeći Stokesov teorem: prmetrizirmo strnice trokut s 1 (t) (1 t, t, ); (t) (, 1 t, t); 3 (t) (t,, 1 t); t [, 1] i izrčunmo jedinične tngente n svki dio rub (rub je dio prvc p mu se tngent poklp s tim prvcem): T 1 1 ( 1, 1, ); T 1 (, 1, 1); T 3 1 (1,, 1)

p je (F T )ds 1 + + 3 1 1 (t,, (1 t) ) ( 1, 1, ) dt+ 1 1 (1 t,, ) (, 1, 1) dt+ + 1 1 (, t(1 t), t ) (1,, 1) dt 1 ( t t )dt 5 6. Ideje dokz z Teoreme 1.6. i 1.7. s predvnj (korolri Stokesovog teorem). Iskze teorem pogledti u predvnjim. Teorem 1.6. (Teorem o divergenciji) Idej: Nek je α ( 1) i 1 F i dx 1 dx... dx i... dx n i1 (n 1) diferencijln form n V (u i tom sumndu izostvljen je dx i ). Ond je dα (divf )dx 1... dx n p po Stokesovom teoremu immo dα Sjetimo se definicije da { form površine od V } V V divf V α. ( 1) i 1 n i dx 1... dx i... dx n. i1 Može dokzti su u ovom slučju ((n 1) mnogostrukost u R n ) n i iz definicije da ustvri smo komponente vnjske normle N n V, n tngencijlnim vektorim vrijedi n i da ( 1) i 1 dx 1... dx i... dx n. Zto je F NdA F i n i da i1 F i ( 1) i 1 dx 1... dx i... dx n α. i1

Teorem 1.7. (To je vrijnt Stokesovog teorem z k i n 3 koju smo koristili u zdcim s primjenom Stokesovog teorem). Idej: efinirmo 1 formu ω F 1 dx + F dy + F 3 dz. Nek je : [, b] prmetrizcij od. Slijedi ω b b (F 1 ((t)) 1(t) + F ((t)) (t) + F 3 ((t)) 3(t))dt F ((t)) (t)dt b (F ((t)) F T ds. Prem općenitom Stokesovom teoremu, F T ds Jednkost ( ) sd izvodimo: dω ( ) (t) (t) (t) dt ω ( F ) NdA. dω (df 1 ) dx + (df ) dy + (df 3 ) dz dω. Zto immo ( F 1 y dy dx+ F 1 z dz dx)+( F x dx dy+ F z dz dy)+( F 3 x dx dz+ F 3 y dy dz) ( F y )dx dy + ( F 3 z )dx dz + ( F 3 y F )dy dz z ( F ) (n 3 da, n da, n 1 da) {n 1, n, n 3 su komponente normle N} ( F ) N.