Analiticka geometrija
|
|
|
- Avgust Glišić
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11
2 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
3 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
4 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
5 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
6 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
7 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
8 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
9 Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
10 Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
11 Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
12 Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
13 Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
14 Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
15 Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
16 Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
17 Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
18 Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
19 Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
20 Vektori u prostoru osobine Prezentacija vektora v : v v jedinični vektor istog pravca i smera (paralelan i isto usmeren) kao i v (normiranje vektora v) v Onda je v = v }{{} v intenzitet }{{} usmerenje Primer 8.2 Normirati vektor P 1 P 2, ako je P 1 (1, 0, 1) i P 2 (3, 2, 0) Primer 8.3 Odrediti vektor dužine 6 paralelan vektoru v = 2ı + 2j k Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 5 / 11
21 Vektori u prostoru osobine Prezentacija vektora v : v v jedinični vektor istog pravca i smera (paralelan i isto usmeren) kao i v (normiranje vektora v) v Onda je v = v }{{} v intenzitet }{{} usmerenje Primer 8.2 Normirati vektor P 1 P 2, ako je P 1 (1, 0, 1) i P 2 (3, 2, 0) Primer 8.3 Odrediti vektor dužine 6 paralelan vektoru v = 2ı + 2j k Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 5 / 11
22 Vektori u prostoru osobine Prezentacija vektora v : v v jedinični vektor istog pravca i smera (paralelan i isto usmeren) kao i v (normiranje vektora v) v Onda je v = v }{{} v intenzitet }{{} usmerenje Primer 8.2 Normirati vektor P 1 P 2, ako je P 1 (1, 0, 1) i P 2 (3, 2, 0) Primer 8.3 Odrediti vektor dužine 6 paralelan vektoru v = 2ı + 2j k Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 5 / 11
23 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Primetimo: Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
24 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Primetimo: Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
25 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
26 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
27 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
28 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
29 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
30 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
31 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
32 Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
33 Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
34 Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
35 Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
36 Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
37 Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
38 Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
39 Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
40 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
41 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
42 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
43 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
44 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
45 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
46 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
47 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
48 Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
49 Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
50 Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
51 Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
52 Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
53 Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
54 Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
55 Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
56 Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
57 Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
58 Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
59 Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
60 Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
61 Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
62 Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
63 Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
64 Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
65 Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
66 Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
Ravno kretanje krutog tela
Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]](/thumbs/99/142687321.jpg "Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]")
КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević
Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja
Динамика крутог тела
Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
8. ( )
8. Кинематика тачке (криволиниjско кретање) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити 1. Криволиниjско кретање Преглед
Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt
Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 2 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Pozn
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Poznata su opterećenja F 1 = kn, F = 1kN, M 1 = knm, q =
RG_V_05_Transformacije 3D
Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
kolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n
4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
![СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто](/thumbs/102/155791469.jpg "СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто")
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
vjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija
1. Operacije i zakoni operacija Neka je S neprazan skup. Operacija dužine n skupa S jeste svako preslikavanje : n n f S S ( S = S S S... S) Ako je n = 1, onda operaciju nazivamo unarna. ( f : S S ) Ako
Slide 1
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p
{ Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te
LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1
Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x, x 4 ) C 4 : x 1 + x 2 + x = 0, x 1 = 2x 2 } unitarnog prostora C 4 sa standardnim skalarnim produktom i vektor v = (2i, 1, i, ) C 4.
ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)
ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija 1.0 1 Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) euklidske geometrije ravnine i prostora koristeći algebarske
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
Microsoft Word - 4.Ee1.AC-DC_pretvaraci.10
AC-DC ПРЕТВАРАЧИ (ИСПРАВЉАЧИ) Задатак 1. Једнофазни исправљач са повратном диодом, са слике 1, прикључен на напон 1 V, 5 Hz напаја потрошач велике индуктивности струјом од 1 А. Нацртати таласне облике
Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice
REALNI BROJEVI Skup prirodnih brojeva je N={1,2,3,4,,6,7, } Ako skupu prirodnih brojeva dodamo i nulu onda imamo skup N 0 ={0,1,2,3, } Skup celih brojeva je Z = {,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Skup racionalnih brojeva
Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln
Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
Microsoft PowerPoint - predavanje_sile_primena_2013
Примене Њутнових закона Претпоставке Објекти представљени материјалном тачком занемарите ротацију (за сада) Масе конопаца су занемариве Заинтересовани смо само за силе које делују на објекат можемо да
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_
IZVODI ZADACI ( II deo U ovom del ćemo pokšati da vam objasnimo traženje izvoda složenih fnkcija. Prvo da razjasnimo koja je fnkcija složena? Pa, najprostije rečeno, to je svaka fnkcija koje nema tablici
Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ ИМЕ И ПРЕЗИМЕ 1. У основне величине у физици, по Међународном систему јединица, спадају и следеће три величине : а) маса, температура,
ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ ИМЕ И ПРЕЗИМЕ 1. У основне величине у физици, по Међународном систему јединица, спадају и следеће три величине : а) маса, температура, електрични отпор б) сила, запремина, дужина г) маса,
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23
i polja Mate Kosor 9.12.2010. 1 / 23 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23 Danas
My_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
PowerPoint Presentation
МОБИЛНЕ МАШИНЕ II предавање 4.2 \ ослоно-кретни механизми на точковима, кинематика и динамика точка Кинематика точка обимна брзини точка: = t транслаторна брзина точка: = t Услов котрљања точка без проклизавања:
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
FOR_Matema_Srednja
Јован Бојиновић НЕОПХОДНЕ ФОРМУЛЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПОЛАГАЊЕ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА ЗА ФАКУЛТЕТЕ Формуле из планиметрије и стереометрије Страна: ПОВРШИНА ТРОУГЛА. Површина троугла се може израчунати и Хероновим
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
s2.dvi
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
![VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E](/thumbs/102/155964078.jpg "VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E")
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
Microsoft PowerPoint - fizika 4-rad,snaga,energija2014
ФИЗИКА Понедељак, 3. Новембар, 2014 1. Рад 2. Кинетичка енергија 3. Потенцијална енергија 1. Конзервативне силе и потенцијална енергија 2. Неконзервативне силе. Отворенисистеми 4. Закон одржања енергије
(Microsoft Word doma\346a zada\346a)
1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )
Microsoft Word - Elektrijada_2008.doc
I област. У колу сталне струје са слике познато је: а) када је E, E = и E = укупна снага 3 отпорника је P = W, б) када је E =, E и E = укупна снага отпорника је P = 4 W и 3 в) када је E =, E = и E укупна
My_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1112_szerb.doc
Matematika szerb nyelven középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Формални
Skripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
Microsoft PowerPoint - Teorija kretanja vozila-predavanje 3.1.ppt
ТЕОРИЈА КРЕТАЊА ВОЗИЛА Предавање. гусенична возила, површински притисак ослањања, гусеница на подлогу ослањања G=mg p p гусеница на подлогу ослањања G=mg средњи стварни p тврда подлога средњи стварни p
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
Матрична анализа конструкција
. 5 ПРИМЕР На слици. је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су константног попречног пресека b/h=./.5 m, док је коси штап са линеарном променом висине. Одредити силе на
Otpornost materijala
Prethodno predavanje Statika je deo mehanike koji se bavi: OdreĎivanjem uslova ravnoteţe krutih tela koja su izloţena mehaničkom dejstvu Slaganjem sila i svoďenjem sistema na prostiji Korišćeni i definisani
UDŽBENIK 2. dio
UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu
4.1 The Concepts of Force and Mass
UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne
Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]](/thumbs/102/153298922.jpg "Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]")
Dva pristupa u analiziranu kretana materiala: 1. Statistički pristup material se tretira kao skup molekula makroskopski fenomeni se obašnavau kao posledica molekularne aktivnosti računane primenom zakona
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 /1 1 Primer 3.1 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. q = 0
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 /1 1 Primer 3.1 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. q = 0.8 kn m, L=4m. 1. Z i = Z A = 0. Y i = Y A L q + F
Mate_Izvodi [Compatibility Mode]
![Mate_Izvodi [Compatibility Mode]](/thumbs/102/155170958.jpg "Mate_Izvodi [Compatibility Mode]")
ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ Нека тачке Мо и М чине једну тетиву функције. Нека се тачка М почне приближавати тачки Мо, тј. нека Тачка М постаје тачка Мо, а тетива постаје тангента функције у тачки
Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc
KUPA Kupa je oblo feometrijko telo čija je onova krug, a omotač je deo obrtne konune površi a vrhom u tački S. S r Oa kupe je prava koja prolazi kroz vrh kupe i centar onove kupe. Ako je oa normalna na
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
Microsoft PowerPoint - fizika2-kinematika2012
ФИЗИКА 1. Понедељак, 8. октобар, 1. Кинематика тачке у једној димензији Кинематикакретањаудведимензије 1 Кинематика кретање свејеустањукретања кретање промена положаја тела (уодносу на друга тела) три
Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena o uže BD, nosi kontinuirano opterećenje, kao što
Pismeni ispit iz MEHNIKE MTERIJL I - grupa 1. Kruta poluga, oslonjena na oprugu i okačena o uže D, nosi kontinuirano opterećenje, kao što je prikazano na slici desno. Odrediti: a) silu i napon u užetu
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
Microsoft PowerPoint - fizika 4-rad,snaga,energija
ФИЗИКА 2008 Понедељак, 3. Новембар, 2008 1. Рад 2. Кинетичка 3. Потенцијална 1. 2. Неконзервативне силе. Отворенисистеми 4. Закон одржања енергије 5. Снага 1. Енергетика 2. Рад, и снага људи. Ефикасност
Microsoft Word - vodic B - konacna
VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ јануар 00. год.. Пећ сачињена од три грејача отпорности =0Ω, везана у звезду, напаја се са мреже 3x380V, 50Hz, преко три фазна регулатора, као на слици. Угао паљења тиристора је α=90,
PowerPoint Presentation
Универзитет у Нишу Електронски факултет у Нишу Катедра за теоријску електротехнику ЛАБОРАТОРИЈСКИ ПРАКТИКУМ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ Примена програмског пакета FEMM у електротехници ВЕЖБЕ 3 И 4. Електростатика
1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: prvi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Programski sadržaji za prvi razred: Teme : 1)
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
Орт колоквијум
Задатак 1 I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада - 008/009 (16.05.009.) Р е ш е њ е a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један, лако
Орт колоквијум
I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада СИ - 008/009 (10.05.009.) Р е ш е њ е Задатак 1 a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један,
Veeeeeliki brojevi
Matematička gimnazija Nedelja informatike 3 12. decembar 2016. Uvod Postoji 10 tipova ljudi na svetu, oni koji razumeju binarni sistem, oni koji ne razumeju binarni sistem i oni koji nisu očekivali šalu
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
Proracun strukture letelica - Vežbe 6
University of Belgrade Faculty of Mechanical Engineering Proračun strukture letelica Vežbe 6 15.4.2019. Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu Danilo M. Petrašinović Jelena M. Svorcan Miloš D. Petrašinović
untitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
Microsoft PowerPoint - KoMoMa -predavanje Definisanje alata masina
КОНСТРУИСАЊЕ МОБИЛНИХ МАШИНА Треће предавање дефинисање алата машина, кашике мини багера Кнематички ланци: E z = { L 1,L a) прости, б) разгранати, в) сложени,...,l n } а) L 1 б) L L n L 3 O 1 L o O n L
Microsoft Word - TPLJ-januar 2017.doc
Београд, 21. јануар 2017. 1. За дату кружну плочу која је еластично укљештена у кружни прстен и оптерећења према слици одредити максимални напон у кружном прстену. М = 150 knm/m p = 30 kn/m 2 2. За зидни
S E M I N A R S K I R A D Primena diferencijalnog računa Marina -Dokić Marina Jokić Tatjana Jakšić Decembar,
S E M I N A R S K I R A D Primena diferencijalnog računa Marina -Dokić Marina Jokić Tatjana Jakšić Decembar, 2006. 1 Diferencijalni račun ima veliku primenu u ekonomiji, elektrotehnici, astrofizici, astronomiji,
Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
PowerPoint Presentation
Nedjelja 6 - Lekcija Projiciranje Postupci projiciranja Projiciranje je postupak prikazivanja oblika nekog, u opštem slučaju trodimenzionalnog, predmeta dvodimenzionalnim crtežom. Postupci projiciranja
Univerzitet u Beogradu Elektrotehnički fakultet Katedra za energetske pretvarače i pogone ISPIT IZ SINHRONIH MAŠINA (13E013SIM) 1. Poznati su podaci o
Univerzitet u Beogradu Elektrotehnički akultet Katedra za energetske pretvarače i pogone ISPIT IZ SINHRONIH MAŠINA (13E013SIM) 1. Poznati su podaci o namotaju statora sinhronog motora sa stalnim magnetima
PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o
![PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o](/thumbs/102/155855156.jpg "PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o")
PRIMER 1 ISPITNI ZADACI Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o Homogena pločica ACBD, težine G, sa težištem u tački C, dobijena
Microsoft Word - 09_Frenetove formule
6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Vilić Unitarni operatori Završni rad Osije
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Vilić Unitarni operatori Završni rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
3_Elektromagnetizam_09.03
Elektromagnetizam Tehnička fizika 2 14/03/2019 Tehnološki fakultet Elektromagnetizam Elektromagnetizam je grana klasične fizike koja istražuje uzroke i uzajamnu povezanost električnih i magnetnih pojava,