Microsoft Word - FINALNO.doc

Транскрипт

1 Ako pronñeš cestu ez preprek, zpitj se d li t cest igdje vodi. Projektn nstv Osnovn škol Ivn Gundulić DUBROVNIK MEMENTO (mtemtik)

2 Plnirli smo: Nprviti pregled elementrnih sdržj iz mtemtike s primjerim zdtk. Cilj: Ponvljnje grdiv. Upoznti ostle učenike s projektom. Koristiti MEMENTO kod uvodnog i zvršnog ponvljnj. Nprvili smo: Referte po cjelinm/temm. Odrli smo prve primjere zdtk. Mentori su korigirli pogreške u refertim. Referti su informtički orñeni. Prikupljene mterijle i referte odložili smo u projektnu mpu. Proved projekt: Relizirli učenici od petog do osmog rzred Vrijeme provede projekt 010./011. i 011./01. školsk godin

3 Suodnos: Mlden Andrijnić - informtik Mgd Pvlović,Gorn Pehr Ljoljić,Zdenk Šiš- mtemtik Litertur: Rzni udženici Bilježnice redovne nstve Internet

4 4

5 NA MEMETU SU RADILI : TIMOVI UČENIKA OD RAZREDA I MLADI INFORMATIČARI VRIJEME REALIZACIJE: 010./011. i 011./01. ŠKOLSKA GODINA MENTORI : MLADEN ANDRIJANIĆ MAGDA PAVLOVIĆ GORAN PEHAR - LJOLJIĆ ZDENKA ŠIŠA Drgi učenici, vši vršnjci s svojim učiteljim su se potrudili d elementrne sdržje iz mtemtike ojve u ovom MEMENTU. Koristit će vm pri ponvljnju grdiv n krju, odnosno n početku školskih godin. Budući srednjoškolci želimo vm sretn nstvk školovnj i nek vm ovj MEMENTO ude od koristi n inicijlnim ispitim. Vši učitelji 5

6 SADRŽAJ Strnic Alger Relni rojevi (Prirodni, cijeli, rcionlni i ircionlni rojevi) Kvdrirnje Korjenovnje Linern jedndž s jednom nepoznnicom Sustv dviju linernih jedndži s dvjem nepoznnicm Omjer, rzmjer...57 Proporcionlne i ornuto proporcionlne veličine Osnovne elementi sttistike Vjerojtnost Geometrij Dužin, prvc i poluprvc Kut Trokut Sličnost trokut Četverokut Mnogokuti Krug i kružnic Koordintni sustv Linern funkcij Grf funkcije f(x)=x Pitgorin poučk Geometrijsk tijel (Prizme, pirmide, ol tijel)

7 Brojevi Im ih mnogo Prerojt ih j nism mogo Imju redni i glvni, Prni i neprni, Rzlomci i decimlni. Oni su vžni, U školi su stlni Uvijek u knjigm nñu mjesto I ne ude im tijesno. Mtemtik je školski Predmet tj Gdje rojevi imju Svoj rj. Adrin Kilird, 5.A (011./01.) 7

8 8

9 PRIRODNI BROJEVI Brojevi koje susrećemo od njrnijeg djetinjstv i pomoću kojih rješvmo rzne zdtke i proleme iz svkodnevnog život, PRIRODNI SU BROJEVI. Skup svih prirodnih rojev oznčvmo s N = {1,,,4,5,6 } Skup prirodnih rojev s nulom oznčvmo s No = {0,1,,,4,5,6 } Zroj i umnožk dv prirodn roj je uvijek prirodn roj. Brojevni prvc O 0 E 1 O - ishodište E - jediničn točk OE - jediničn dužin O E Ovim postupkom svki roj skup No pridružujemo točno jednoj točki prvc. Prvc kojem smo n tj nčin pridružili rojeve nzivmo BROJEVNI PRAVAC. Pr.1. Točkm prvc pridruži rojeve: ) 5, 8, 9 ) 7, 7, 79 c) 00, 500, 700 ) O 0 E ) c) O E

10 Usporeñivnje prirodnih rojev Usporediti dv prirodn roj znči odrediti koji je veći, koji je mnji. Broj 1 je njmnji prirodni roj, njveći prirodni roj ne postoji. D ismo zpisli rezultte usporeñivnj koristimo znkove usporeñivnj: - je mnje ili jednko < - je mnji od = - je jednko - je veći ili jednko > - je veći od Broj 0 je mnji od svkog prirodnog roj, tj. z svki prirodni roj n vrijedi 0 < n. Ako su dv roj rzličit, to oznčvmo znkom. Npr. 5 8 jest točn tvrdnj. Čitmo je 5 je rzličito od 8. Ako je jedn roj mnji od drugog ili jednk drugom, to oznčvmo znkom. Npr. 5 8 jest točn tvrdnj. Čitmo je 5 je mnje ili jednko 8. Ako je jedn roj veći od drugog ili jednk drugom, to oznčvmo znkom. N primjer: 7 4 i 6 6 jesu točne tvrdnje. Čitmo ih: 7 je veće ili jednko 4 i 6 je veće ili jednko 6. Pr.1: Usporedi Pr.. Brojevi 5, 19, 6, 900, 45, 9, 978, 104 poredj 6 < 8 po veličini. 10 > 5 = 5 6 < 9 < 19 < 45 < 78 < 104 < 5 < 900 < 978 Zrjnje prirodnih rojev + = c zroj prvi drugi prirojnik prirojnik prirojnici Zrjnje prirodnih rojev je skrćeno PREBROJAVANJE. 10

11 Zrjti možemo : 1. Usmeno = 900. Pismeno ) u stupcu ) u retku = = Osnovn svojstv zrjnj 1. svojstvo KOMUTATIVNOSTI Zmijenimo li mjest prirojnik, zroj se neće promijeniti. + = + Primjer: = = 9. svojstvo ASOCIJATIVNOSTI Promijenimo li redoslijed zrjnj više prirojnik, zroj se neće promijeniti. + + c = ( + ) + c = + ( + c) Primjer: = ( + ) + 4 = + ( + 4) = 9 Primjer: Izrčunj = = (9 + 61) + ( ) + 4 = = = = 4 11

12 Oduzimnje prirodnih rojev - = c RAZLIKA ILI DIFERENCIJA UMANJITELJ UMANJENIK + = c = c - Ako od zroj oduzmemo jedn prirojnik, doit ćemo drugi. = c - ODUZIMATI MOŽEMO: ) usmeno: 0-0=00 ) pismeno: 1. u stupcu u retku =

13 Množenje prirodnih rojev Množenje je skrćeni zpis zrjnj jednkih prirojnik. Primjer: 5 7 = = c FAKTORI UMNOŽAK ILI PRODUKT Umnožk ilo kojeg prirodnog roj i roj 0 jest 0. n 0 = 0 Umnožk ilo kojeg prirodnog roj i roj 1 jest sm tj roj. Umnožk roj 0 s rojem 0 jest 0. n 1 = n 0 0 = 0 Primjer: ) 5 48 = ) = c) 9 0 = Osnovn svojstv množenj: 1. svojstvo KOMUTATIVNOSTI Ako fktori zmijene mjesto, umnožk se neće promijeniti. =,, N Primjer: 7 = 7 = 1 1

14 . svojstvo ASOCIJATIVNOSTI Promijenimo li redoslijed množenj više fktor, umnožk se neće promijeniti. c = ( c) = ( ) c,,, c N Primjer: ( 5) = 10 = 0 ( ) 5 = 6 5 = 0 5 = 6 5 = 0. svojstvo DISTRIBUTIVNOSTI ) Svojstvo distriutivnosti množenj prem zrjnju ( + c) = + c,,,c N ) Svojstvo distriutivnosti množenj prem oduzimnju ( - c) = - c,,,c N Primjer: ) = ) = = (7 + 9) 450 = = (6 + 94) 40 = = = = = = = 4000 c) = = (5 ) (5 4) 4 = = = = 4000 Dijeljenje prirodnih rojev : = c KOLIČNIK (KVOCIJENT) DJELJENIK DJELITELJ = c c : = c : = Ako se umnožk dvju prirodnih rojev podijeli jednim od fktor, doije se drugi fktor. 14

15 Z svki prirodni roj vrijedi: 1. : 1 = 14 : 1 = 14. : = 1 5 : 5 = 1. 0 : = 0 0 : 41 = 0 4. S nulom ne možemo dijeliti! Dijeliti možemo: 1. usmeno. pismeno 40 : 5 = 8 0:5=44 79:=4 88:11= :100= Redoslijed izvoñenj rčunskih rdnji Z zrjnje i oduzimnje kžemo d su rčunske rdnje istog stupnj. Isto tko su množenje i dijeljenje rčunske rdnje istog stupnj. U izrzu ez zgrd rčunske rdnje istog stupnj rješvmo redom,slijev udesno. Primjer: = = = = = = 99 Primjer: 6 8 : 4 10 : 5 = = 48 : 4 10 : 5 = = 1 10 : 5 = = 10 : 5 = = 4 Ako je u zdtku zdno više rčunskih rdnji koje nisu istog stupnj, prvo ćemo izvršiti množenje i dijeljenje, ztim zrjnje i oduzimnje. Primjer: : 1 = = = = 5 + = = 7 Ukoliko su se u rojevnom izrzu pojvile zgrde: 1. Njprije izrčunmo rojevni izrz unutr zgrd,od unutrnjih zgrd prem vnjskim.. Izrčunvmo množenje i dijeljenje,kko slijede,redom,slijev udesno.. Izrčunvmo zrjnje i oduzimnje,kko slijede,redom,slijev udesno. 4. Prepisujemo sve što nismo izrčunli. 15

16 Primjer: ( 9 7 ) : = = ( 7 7 ) : = = 0 : = = = = 5 Višekrtnik i djelitelj Višekrtnik nekog prirodnog roj je roj koji je djeljiv tim rojem. Svki roj je sm sei višekrtnik. Svki roj im eskončno mnogo višekrtnik. Primjer: Nvedi sve višekrtnike roj 8. 8, 16, 4,, 40, 48, 56, 64, 7 Prirodni roj djeljiv je drugim prirodnim rojem smo ko podijeljen njime dje količnik koji je prirodni roj, s osttkom 0. Djelitelji nekog roj su oni rojevi s kojim je on djeljiv. Broj može iti djeljiv smo s rojevim koji nisu veći od njeg. Njmnji djelitelj svkog prirodnog roj je roj 1. Njveći djelitelj svkog prirodnog roj je sm tj roj. Svki roj im končno mnogo djelitelj. Primjer: Je li roj 7 djelitelj roj 96? 96 :7 = Broj 7 je djelitelj roj 96. Primjer: Nvedi sve djelitelje roj 6. Djelitelji roj 6 su: 1,, i 6. Djeljivost s 10, 5,, i 9 Prvilo o djeljivosti s 10: Prirodni roj je djeljiv s 10 ko mu je znmenk jedinic 0. Prvilo o djeljivosti s 5: Prirodni roj je djeljiv s 5 ko mu je znmenk jedinic 0 ili 5. Prvilo o djeljivosti s : Prirodni roj je djeljiv s ko mu je znmenk jedinic 0,, 4, 6 ili 8. Prvilo o djeljivosti s : Prirodni roj je djeljiv s ko mu je zroj znmenk djeljiv s. Prvilo o djeljivosti s 9: Prirodni roj je djeljiv s 9 ko mu je zroj znmenk djeljiv s 9. 16

17 Primjer: Koji su od rojev: 1, 195, 1 008, 1 866, 4 050, 8 118, ,, djeljivi: ) s ) s c) s 5 d) s 9 e) s 10 ) 1 ) 195 c) 195 d) e) Djeljivost zroj i umnošk - DJELJIVOST ZBROJA - Ako je svki od prirojnik djeljiv nekim rojem, ond je i zroj djeljiv tim rojem. Primjer: Ne rčunjući zroj rojev 115 i 4 odgovori hoće li on iti djeljiv s 9! Zroj je djeljiv s 9 jer su o prirojnik djeljiv s 9. - DJELJIVOST RAZLIKE -Ako su umnjenik i umnjitelj djeljivi s nekim rojem,ond je i rzlik djeljiv s tim rojem. Primjer: Ne rčunjući rzliku rojev 115 i 4 odgovori hoće li on iti djeljiv s 9! Rzlik je djeljiv s 9 jer su umnjenik i umnjitelj djeljivi s 9. - DJELJIVOST UMNOŠKA - Ako je jedn od fktor djeljiv nekim rojem,ond je i umnožk djeljiv tim rojem. Primjer: Ne rčunjući umnožk provjeri je li 9 10 djeljiv s! Umnožk je djeljiv s jer mu je prvi fktor (9) djeljiv s. Prosti i složeni rojevi Prosti rojevi su rojevi koji imju dv djelitelj, roj 1 i smog see. Prosti rojevi su:,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,, 9, 1, 7, 41, 4, 47, 5, 59, 61, 67, 71, 7, 79, 8, 89, 97, 101, Složeni rojevi su rojevi koji imju više od dv djelitelj. Složeni rojevi su: 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 15, 16, 18, 0, 1,, 4, 5, 6, 7, 8, 0,,, 4, 5, 6, 8, 9, 40, 4, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 5, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 6, 6, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 7, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 8, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 9, 9, 94, 95, 96, 98, 99, 100, Broj 1 nije ni prost ni složen. 17

18 Rstvljnje rojev n proste fktore Rstviti roj n proste fktore znči tj roj npisti ko umnožk prostih fktor. 6 = 8 = 4 = 50 = 5 5 Svki složeni roj možemo rstviti n proste fktore. Svki prirodni roj im jedinstven rstv n proste fktore = 7 1 Zjednički djelitelji Broj koji je djelitelj dvju ili više zdnih rojev zovemo zjedničkim djeliteljem tih rojev. Njveći zjednički djelitelj rojev i, D (,), je njveći roj kojim su djeljivi (svi) zdni rojevi i. Primjer: Odredi zjedničke djelitelje rojev 8 i 1. Koji je zjednički djelitelj njveći? BROJ SVI NJEGOVI DJELITELJI 8 1,, 4, 8 1 1,,, 4, 6, 1 ZAJEDNIČKI DJELITELJI BROJEVA 8 i 1 SU: 1,, 4. NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ BROJEVA 8 i 1 JE 4. D (8, 1)=4 Primjer: Odredi njveći zjednički djelitelj rojev 75, , D (75, 100) = 5 5 = 5 15, 0 5, 4 18

19 Brojevi koji nemju zjedničkog prostog djelitelj zovu se reltivno prosti rojevi. Njihov je njveći zjednički djelitelj roj 1. Dkle ko je D (,) = 1, ond su i reltivno prosti rojevi. Njmnji zjednički višekrtnik Zjednički višekrtnik dvju rojev je roj koji je djeljiv s o roj. Njmnji zjednički višekrtnik dvju rojev je njmnji od rojev koji su djeljivi s o roj. Njmnji zjednički višekrtnik ilježimo V (,). Primjer: Odredi zjedničke višekrtnike rojev 6 i 9. Broj Svi njegovi višekrtnici 6 6, 1, 18, 4, 0, 6, 4, 48, 54, 60, 9 9, 18, 7, 6, 45, 54, 6, 7, 81, 90, Zjednički višekrtnici od 6 i 9 su: 18, 6, 54, Njmnji zjednički višekrtnik od 6 i 9 je 18. To krće zpisujemo V(6,9) = 18 Primjer: Odredi V(18, 0) 18, 0 9, 15, 5 1, 5 5 1, 1 V(18, 0) = 5 = 90 Ako su zdni rojevi prosti, ili reltivno prosti, ond je njmnji zjednički višekrtnik jednk njihovu umnošku. Ako je D(, ) =1, ond je V(, ) =. Primjer: Odredi V(5, 8) Brojevi 5 i 8 nemju zjedničkog djelitelj (rzličitog od 1) p je njihov njmnji zjednički višekrtnik njihov umnožk. V(5, 8)=5 8=40 19

20 CIJELI BROJEVI Rzlik dv prirodn roj nije uvijek prirodn roj. - ne pripd skupu N ko je <. Rčunsk opercij oduzimnj i rzn mjerenj u prirodi (temperture, ndmorske visine) nvel su ns n potreu proširivnj skup N n skup cijelih rojev Z. Z = {,-5,-4,-,-,-1,0,1,,,4,5,...} Prikzivnje cijelih rojev n prvcu 0 - ishodište E - jediničn točk OE - jediničn dužin N rojevnom prvcu desno od nule smješteni su prirodni (pozitivni cijeli) rojevi 1,,, lijevo od nule negtivni cijeli rojevi -1, -, -, Primjer: N rojevnom prvcu istkni točke kojim su pridruženi sljedeći rojevi: 7, -5,, -, 4, -6 O E Primjer: N rojevnom prvcu istkni točke kojim su pridruženi sljedeći rojevi: -75, -7, Primjer: N rojevnom prvcu istkni točke kojim su pridruženi sljedeći rojevi: -00, 00, -500, 600 O E

21 Suprotni rojevi i psolutn vrijednost Brojevi simetrično smješteni n rojevnom prvcu s ozirom n nulu nzivju se SUPROTNI BROJEVI. Broju 6 suprotn je roj -6. Broju -4 suprotn je roj 4. Broju 0 suprotn je roj 0. Apsolutn vrijednost cijelog roj nm govori koliko jediničnih dužin je tj cijeli roj udljen od 0. Primjer: 17 = 17-5 = 5 0 = 0 Apsolutn vrijednost svkog cijelog roj je pozitivn roj ili =8 10 =10 8 =8-10 =10 Suprotni rojevi imju jednku psolutnu vrijednost. Primjer: Nñi sve cijele rojeve z z koje vrijedi: ) z = 5 ) z < 4 c) z 5. z = ±5 z = ±, ±, ±1, 0 z = ±5, ±6, ±7,... Usporeñivnje cijelih rojev Svki pozitivni cijeli roj veći je od nule. Primjer: 1 > 0 0 < 98 Svki negtivn cijeli roj mnji je od nule. 1

22 Primjer: -1 < 0 0 > -98 Svki negtivn cijeli roj mnji je od svkog pozitivnog cijelog roj. Primjer: -5 < 10 > -7 Od dvju pozitivnih cijelih rojev veći je onj koji im veću psolutnu vrijednost. Primjer: 17 > 1 5 > 4 < 85 Od dvju negtivnih cijelih rojev veći je onj koji im mnju psolutnu vrijednost. Primjer: -4 > > -4 Primjer: Primjer: Z koje sve cijele rojeve z vrijedi: -< z z = -, -1, 0, 1, Brojeve -18,, -5, -14 i 10 poredj po veličini počevši od njvećeg. > 10 > -5 > -14 > -18 Zrjnje cijelih rojev Brojevi jednkih predznk zrjju se tko d se zroje njihove psolutne vrijednosti i zroju ostvi isti predznk. Primjer: - + (-) = (-1) = (+8) = (+) = + 6 Zroj dvju suprotnih rojev jednk je nuli. Primjer: - + = (-15) =0 Brojeve rzličitih predznk zrjmo tko d oduzmemo njihove psolutne vrijednosti (mnje od veće) i rzlici stvimo predznk roj većeg po psolutnoj vrijednosti. Primjer: = 1 + (-5) = -1 Z svki cijeli roj vrijedi + 0 = Primjer: = = -7

23 Svojstv zrjnj cijelih rojev 1. Svojstvo komuttivnosti. Z svk dv cijel roj i vrijedi +=+. Svojstvo socijtivnosti Z svk tri cijel roj,,c vrijedi (+)+c=+(+c).. Suprotn roj Z svki cijeli roj postoji njemu suprotn cijeli roj tkv d vrijedi +(-)=-+=0 4. Neutrlni element Z svki cijeli roj vrijedi +0=0+= Primjer: Izrčunj: -++(-7)++6+(-) =11+(-1)= =- Primjer: Izrčunj: 5+(-)+(-4)++9+(-5)+7= =+(-11)= =1 Primjer: Zroji sve cijele rojeve koji zdovoljvju nejednkost -9<x<9-8+(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-)+(-)+(-1) = =0 Oduzimnje cijelih rojev Oduzeti cijeli roj znči prirojiti mu suprotn roj - = + (-),, Z

24 Primjer: Primjer: Primjer: -4-8=-4+(-8)= = -79-(-65)-(-48)-14= 4-8=4+(-8)=-4 =10-1= = = -(-)=+=5 =- =11-9= -4-(-1)=-4+1=- =0 Rd s zgrdm Ako je ispred zgrde znk +, on se riše zjedno s zgrdom, pri tome NE MIJENJAMO PREDZNAK rojev u zgrdi. Ako je ispred zgrde znk -, on se riše zjedno s zgrdom, li pri tome MIJENJAMO PREDZNAKE rojev u zgrdi. Primjer: - + (- + ) = Primjer: - + (-7-1) + (- + 4) = = = = = = -5 + = = = = - = -10 Primjer: 4 - ( ) = Primjer: 1 ( ) - ( 9 ) = = = = = = 9 8 = = 8 - = = 1 = 6 Primjer: - ( ) + ( ) = Primjer - ( 5 ) + ( -1 + (- - ) -1 + ) = = = = ( ) = = = = = = = = 6 = - Množenje cijelih rojev Dv roj rzličitih predznk množimo tko d pomnožimo njihove psolutne vrijednosti i rezulttu dmo negtivn predznk. Dv roj jednkih predznk množimo tko d pomnožimo njihove psolutne vrijednosti i rezulttu dmo pozitivn predznk. Dkle,cijele rojeve množimo tko d pomnožimo njihove psolutne vrijednosti, predznk odredimo u skldu s ovom tlicom: + + = = = = + 4

25 Z svki cijeli roj vrijedi : 0 = 0 =0 1 = 1 = (-1) = (-1) = - Ako je roj negtivnih fktor prn, umnožk je pozitivn, ko je roj negtivnih fktor neprn, umnožk je negtivn. Primjer: Primjer: 5 7 = 5 ( -) ( -) ( +5) = 0 (-) = -6 (-) (-1) ( -) = -1 4 (-6) = -4 (-) ( -7) = = 0 1 ( -5) = -5 - ( -1) = Primjer: ) + (-5) = = 15 = = - 1 ) + 7 (-5) + (-7) (-1) = = (-5) + 7 = = 7 41 = = - 4 c) ( - 5 ) ( -8 ) = = - 7 ( -8) = = 56 5

26 Dijeljenje cijelih rojev Dv cijel roj dijelimo tko d podijelimo njihove psolutne vrijednosti. Ako su rojevi jednkih predznk,količnik je pozitivn. Ako su rojevi rzličitih predznk količnik je negtivn. Z svki cijeli roj z rzličit od nule vrijedi: z:z = 1 z: (-z) = -1 z:1 = z z:(-1) = -z 0:z = 0 z:0 = Primjer: Primjer: 1 : (-1) = -1 : (-1) - 1:4 = 56 : 8 = 7 = - - = (-5) : 5= -5 = : (-7) = -7-5 : 1= -5 Primjer: 4:0 = Nije definirno! (00-84):4-(8-100): = 0:15 = 0 = 116:4-(-9): = -6: (-1) = 6 = 9+46 = -7: (-7) = 1 = 75 6

27 RACIONALNI BROJEVI Zroj, rzlik i umnožk dv cijel roj je uvijek cijeli roj, li količnik dv cijel roj nije uvijek cijeli roj. : ne pripd skupu Z ko nije višekrtnik roj. Rzlomci Rzlomcim se izriče dio neke cjeline. oojno: 1 5 prvokutnik neoojno: 1 7 prvokutnik Rzlomk: rojnik rzlomčk crt nzivnik Brojnik nm govori koliko smo jednkih dijelov oznčili, nzivnik n koliko je jednkih dijelov podijeljeno jedno cijelo. 1. Koliki dio dn prespv čovjek ko spv 8 sti u dnu? 8 1 = 4. Mc Crtk im 10 mčić, od kojih je 6 potpuno ijelih, ostli su crni. Prikži rzlomkom roj crnih mčić. 4 = 10 5 : =, 0 n Ako su rojnik i nzivnik jednki, rzlomk iznosi 1. 1 n = Svki prirodni roj možemo izrziti ko rzlomk. Ako je rojnik 0, vrijednost rzlomk je 0. n = n 1 0 n = 0 Rzlomci kojim je rojnik višekrtnik nzivnik jesu prirodni rojevi. 7

28 18. = 6 0 = = = 1 4. Izrčunj 4 od 40. od 40 =(40:4) = 4 =10 = =0 5. dm = m cm = m= m mm= m = m Prvi rzlomk je rzlomk koji je mnji od 1. Brojnik mu je mnji od nzivnik. Neprvi rzlomk je rzlomk koji je veći od 1. Brojnik mu je veći od nzivnik. 6. Prvi rzlomci:, 11 4,,, Neprvi rzlomci: 5, ,,,, Neprvi rzlomk možemo npisti u oliku mješovitog roj. Mješoviti roj jest zpis neprvog rzlomk u oliku zroj prirodnog roj i prvog rzlomk = 14 = = 11 = 6 6 c+ = c c 8

29 Proširivnje rzlomk: Proširiti rzlomk znči i rojnik i nzivnik pomnožiti s jednim te istim prirodnim rojem. Proširivnjem rzlomk njegov se vrijednost ne mijenj. c = c 0, c 0 7. Koliko šestin im u jednoj trećini? 1 1 = = 6 8. Rzlomk 5 proširi s 4. 5 = = Rzlomk 4 proširi tko d rojnik ude 7. 4 = = Rzlomk 7 5 proširi tko d nzivnik ude = = Kojim smo rojem proširili rzlomk 55:5= = :7=11 Skrćivnje rzlomk Skrtiti rzlomk znči i rojnik i nzivnik podijeliti s jednim te istim prirodnim rojem. Skrćivnjem rzlomk njegov vrijednost se ne mijenj. Do krj skrtiti rzlomk znči i rojnik i nzivnik zdnog rzlomk podijeliti njihovim njvećim zjedničkim djeliteljem Rzlomk skrti rojem = 4 : 0 : =

30 64 1. Rzlomk skrti do krj nčin: Postupno: : 4 = 10 : 4 = : = 0 : = 8 15 nčin: Odjednom: 64, 10, 60 16, 0 8, 15 U prksi krće zpisujemo ovko: D ( 64, 10 ) = = : 8 8 = = : = 15 8 Svoñenje rzlomk n zjednički nzivnik Postupk kojim zdne rzlomke proširujemo do rzlomk s jednkim nzivnicim nziv se svoñenje rzlomk n zjednički nzivnik. Postupk svoñenj rzlomk n njmnji zjednički nzivnik provodimo u dv kork: 1. Odredimo njmnji zjednički višekrtnik nzivnik zdnih rzlomk.. Zdne rzlomke proširimo do rzlomk s tim zjedničkim nzivnikom. 0

31 14. Rzlomke i svedi n njmnji zjednički nzivnik. 4 9 = = V (, 4 ) = = 4 4 = 8 1 Usporeñivnje rzlomk Od dv rzlomk jednkih nzivnik veći je onj koji im veći rojnik. > 5 5 jer je > 4 9 < 7 7 jer je 4<9 Od dv rzlomk jednkih rojnik veći je onj koji im mnji nzivnik. 5 5 > 7 11 jer je 7<11 < 8 5 jer je 8>5 Rzlomke rzličitih rojnik i nzivnik usporeñujemo tko d ih svedemo n zjednički nzivnik, ond ih usporedimo po prvilu z usporeñivnje rzlomk s jednkim nzivnicim > = = > 4 jer je 4 1, 1, 1 1 1

32 Ili po prvilu: c Z rzlomke i vrijedi: d < = > c d c d c d ko je d<c ko je d=c ko je d>c 15. Usporedi rzlomke: < < 6 7 Decimlni rojevi i decimlni rzlomci Decimlni ili dekdski rzlomci su rzlomci kojim je nzivnik jedn od rojev: 1, 10, 100, 1 000, Npiši tri dekdsk rzlomk. 7, 10 47, Decimlni zpis jest nčin zpisivnj decimlnog rzlomk = dekdski ili cijeli dio Decimln točk rzdvj dekdski i decimlni dio. decimlni dio ili decimle decimln točk

33 Decimlni roj jest roj koji im decimlni zpis. 84 = nzivnik dekdskog rzlomk im jednu nulu decimlni zpis im jedno decimlno mjesto = 0. 5 dekdski rzlomk im dvije nule u nzivniku. Zpiši roj u decimlnom zpisu decimlni zpis im dv decimln mjest =.075 = = Dopuni: = = 0.4 = = cm = 0.4 m 7 mm = 0.07 m dm = 0. m Zokruživnje decimlnih rojev Postupk zokruživnj decimlnih rojev: 1. Uoči znmenku n koju želiš zokružiti. Promotri prvu sljedeću znmenku. Ako je prv znmenk koju želiš znemriti 0, 1,,, 4, posljednj znmenk koju želiš zdržti ostje ist ( zokruživnje n niže ). Ako je prv znmenk koju želiš znemriti 5, 6, 7, 8 ili 9, posljednju znmenku koju želimo zdržti povećmo z 1.

34 4. Broj zokruži n: ) dvije decimle c) cijeli dio ) jednu decimlu d) njližu deseticu ) ) c) d) Zokruži n cijeli dio Usporeñivnje decimlnih rojev Od dv decimln roj veći je onj koji im veći cijeli dio < > Ako su cijeli dijelovi jednki,ond usporeñujemo decimle, ovim redoslijedom: prve, ko su iste prelzimo n druge, ko su i one iste prelzimo n treće,,sve dok ne niñemo n jednog od njih koji im veću decimlu, p zključujemo d je on veći. 7.1 > 7.1. < = Ako decimlni roj n zdnjim decimlnim mjestim im nule, te nule možemo ispustiti roj se pritom neće promijeniti..450 = = = 8.0 = 8.00 = = = =. Rčunsk opercij dijeljenj nvodi ns n potreu proširivnj skup cijelih rojev. Skup rcionlnih rojev je skup svih rzlomk i svih rojev koji se mogu zpisti u oliku rzlomk. Skup rcionlnih rojev oznčvmo Q. Q= : Z, N 4

35 Zrjnje i oduzimnje rcionlnih rojev Z rcionlne rojeve i d c vrijedi: ± ± = c c c c d± c ± = d d = = = = 8 1 = = = = = 5 9 = + 8 = = + 4 = = = 8+ 9 = = 1 11 = = = = ( 0.877) 7 1 = + = 4 10 = = = (.8) = 11 = 0 = = = = = 4.7 5

36 = = + = = + = = = 60 5 = = = + = = = = = = = = = Množenje decimlnih rojev Z rcionlne rojeve i d c vrijedi: c c = d d = = = = = ( 0.4) = 0. 6

37 1 0. = = = 1 = = = = = = + + = = 1 + = = = = + = = 4 11 = = = = = = =-1 = = Dijeljenje rcionlnih rojev je recipročni roj roj. = 1 Rcionlni roj Recipročn vrijednost Z rcionlne rojeve i d c vrijedi: : c = d = d d c c 7

38 : = = :( 4) 7 = 1 = :8 = : = = : : = = = ( ) :.5 = -189 : 5 = // 8. : 4 = // :1 :1.5= : : = = = = 15 1 =

39 ( 1 ) : + : 1 = = : = = + = = = = = 1 11 = : 6 : 0. : = = : : + 1 = = = = = = = = = = + 1 = = 18 Podskupovi rcionlnih rojev su prirodni i cijeli rojevi. Nime svki prirodni roj i svki cijeli roj je i rcionln roj. N N0 Z Q 9

40 Rcionlne rojeve zpisujemo u oliku rzlomk li i u oliku decimlnog roj.svki rzlomk može se zpisti u oliku končnog decimlnog roj,eskončnog periodičkog decimlnog roj (čisto periodičkog i mješovito periodičkog decimlnog roj). Od neskrtivog rzlomk doijemo končn decimlni roj ko nzivnik u svom rstvu n proste fktore im smo dvojke i petice. Od neskrtivog rzlomk doijemo čisto periodički decimlni roj ko nzivnik u svom rstvu n proste fktore nem ni ni 5.Kod tih rojev se jedn ili grup deciml periodički ponvlj. Znmenku ili grupu znmenki koje se ponvljju nziv se period. Periodu oznčvmo točkom povrh znmenke koj se ponvlj, ko se ponvlj grup znmenki, ond točkom povrh znmenke kojom počinje i kojom zvršv. Od neskrtivog rzlomk doijemo mješovito periodički decimlni roj ko nzivnik u svom rstvu n proste fktore im fktor,5 ili i 5 i još neki prosti roj.to su rojevi s eskončno mnogo deciml od kojih se jedn ili više deciml n početku ne ponvljju (pretperiod), ztim se jedn ili više deciml periodički ponvljju. Primjer : ) = : 5= 0. 6 = : 4= = Prosti fktor 5 Prosti fktor Prosti fktor i 5 ) = : = = = 5 :11= = c) 5 6 = 5 : 6= =

41 7 15 = 7 :15= Pitgor i Pitgorejci su čvrsto vjerovli d se sve može prikzti u oliku roj pri čemu je svki roj količnik dv cijel roj. Meñutim kd su pokušli izmjeriti duljinu hipotenuze jednkokrčnog prvokutnog trokut došli su do zključk d se on ne može prikzti ko količnik (omjer) dv prirodn roj. To je z njih io šok i tu tvrdnju d postoje rojevi koji se ne mogu prikzti ko količnik (omjer) dv prirodn (cijel roj) čuvli su u duokoj tjnosti. Otkrili su IRACIONALNE BROJEVE. π,,,,, 5, 5... Beskončni neperiodički decimlni rojevi IRACIONALNI BROJEVI Ircionlne rojeve ne možemo npisti u oliku rzlomk. Svi rcionlni rojevi zjedno s ircionlnim rojevim tvore skup relnih rojev Q I = R Svkom relnom roju možemo pridružiti odreñenu točku rojevnog prvc. A O 1 E 1 1 A

42 KVADRIRANJE 1. r π = r =r r - duljin strnice r- rdijus Kvdrirti roj znči pomnožiti g s smim soom. VAŽNO! ) 5 ( 5 ) ) Kd kvdrirmo negtivn Kd kvdrirmo rzlomk, roj, negtivn roj ovezno rzlomk ovezno dolzi dolzi u zgrdi. u zgrdi. c) d) 0. = 0.04 Kvdrt decimlnog roj im duplo više deciml od decimlnog roj kojeg kvdrirmo.. ( ) = ( c) = c Umnožk kvdrirmo tko d kvdrirmo svki fktor i doivene kvdrte pomnožimo, tj. kvdrt umnošk jednk je umnošku kvdrt. 4

43 Primjer: = = = = = 1 = ( : ) : : ( : ) = Kvdrt količnik jednk je količniku kvdrt i ortno, = Količnik kvdrt jednk je kvdrtu količnik. = ( : ) = : Primjer : 7 8 : = = : = = = = = KVADRAT ZBROJA I RAZLIKE (KVADRAT BINOMA dvočlni izrz) ( ± ) = ± + ( I ± II) = I ± I II + II Primjeri: ( x + y) = ( x) + x y+ y = 4x + 4xy+ y ( 0.5xy ) = ( 0.5xy) 0.5xy + = + 0.5x y xy 4 4

44 5 1 + = + = = = RAZLIKA KVADRATA ( + )( ) = = + ( )( ) ( I+ II)( I II) = I II I II = I+ II I II ( )( ) Primjeri: ( + )( ) = ( ) x y x y x y = x 4y 0.01x 5 y = (0.1 x) (5 y) = (0.1x 5 y)(0.1x+ 5 y) 44

45 KORJENOVANJE Nučili smo d kvdrirti neki roj znči pomnožiti roj s smim soom. Kod korjenovnj immo ornuti postupk. Trži se roj kojemu je poznt kvdrt. Kžemo d ćemo tržiti korijen nekog roj.postupk trženj roj čiji je kvdrt poznt nziv se korjenovnje. Znk n čitj: drugi korijen iz n n je potkorijen veličin (u osnovnoj školi rdimo smo drugi korijen iz n 0 ) Primjer 1. : Izrčunj opseg kvdrt čij je površin 49 cm. P = 49 cm O =? P = O = 4 49cm = O = 4 7cm = 49cm O = 8 cm = 7cm Primjer. : ) 5 = 5 jer je 5 = 5 d) ( 6) = 6 ) 0.6 = 0. 6 jer je 0.6 = 0. 6 e) c) 0 = ( ) = 9 9 ili f) = = smo z 0 4 ( ) z svki 4 = ( ) = Z 0 vrijedi ( ) = Z ilo koji (pozitivn,negtivn ili 0) vrijedi nenegtivn roj. RAČUNANJE S KORIJENIMA Zrjnje i oduzimnje korijen = Kvdrtni korijen je Zrjmo odnosno oduzimmo smo korijene istih potkorijenih veličin, tko d zrojimo odnosno oduzmemo koeficijente i doiveni zroj odnosno rzliku pomnožimo s zdnim korijenom. Primjeri: + - = (-) + = =

46 Množenje i dijeljenje korijen Množenje Umnožk korijen dvju rojev i jednk je korijenu umnošk tih rojev. = 0 0 Primjeri: = 8 = 4= 18 7= 18 7= = 18 = (18 ) = 6 Dijeljenje Količnik korijen dvju rojev i jednk je korijenu količnik tih rojev. : = = : Primjeri: : = 7 : = 7 = 81= 9 7 : = 7 : = 6 = 6 Vrijede orti z množenje i dijeljenje = : = = : = DJELOMIČNO KORJENOVANJE Djelomično korjenovnje koristimo kd potkorijen veličin nije kvdrt nekog rcionlnog roj. Potkorijenu veličinu td pišemo u oliku umnošk prostih fktor i potpunih kvdrt (4,9,16,5,6 ). Ztim korijen umnošk zpišemo ko umnožk korijen i n krju rčunmo korijene potpunih kvdrt. Primjeri : 48 = 16 = 16 = = = 5 5 = = 5 5 =

47 RACIONALIZACIJA NAZIVNIKA Rcionlizcij nzivnik je postupk kojim se osloñmo korijen u nzivniku. Koristimo proširivnje rzlomk (vrijednost rzlomk se ne mijenj ko rojnik i nzivnik pomnožimo istim rojem). Primjeri : = = ( ) = = = 0 ( 10) = = =

48 LINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM Jednkost je izjv u kojoj stoji znk =. Primjer: 4 1 = 18 7 Jedndž je jednkost u kojoj se nlzi nepoznnic. Nepoznnicu možemo oznčiti ilo kojim slovom, li njčešće je oznčvmo slovom x. Svk jedndž koj se može svesti n jedndžu olik x + = 0, gdje su i rcionlni rojevi i 0, zove se linern jedndž s jednom nepoznnicom. Rješenje jedndže je roj koji uvršten u jedndžu umjesto nepoznnice, dje istinitu jednkost. Pri rješvnju jedndže koristimo se sljedećim prvilim : - Lijevoj i desnoj strni jedndže možemo prirojiti ili oduzeti isti roj. Primjer: x+ = 5 x+ = 5 x= Primjer: x 4= + 4 x 4+ 4= + 4 x= 7 - Oje strne jedndže možemo množiti ili dijeliti istim rojem rzličitim od nule. Primjer: 4x= 0 : 4 4 x 0 = 4 x= Primjer: x = x 5 = x= 100 Primjer: Je li x = 5 rješenje jedndže x 1 = x + 9. x 1= x = = 14 14= 14 x = 5 jest rješenje zdne jedndže. 48

49 Primjer: Riješi jedndžu : ) 4x 7 x+ = x+ 5 x 1 4x x x+ x = x= 9 ) x ( x 1) = 5+ ( x+ ) x x+ 1= 5+ x+ x x x= 5+ 1 x= 7 : 1 x= 7 c) ( x ) = ( x+ 1) d) e) x 6= x x+ x= + 6 4x= 7 : 4 7 x= 4 ( ) x 5x 0.5x + 0.4x= x 5x 4 x + x= x 10x+ 5x 1x= 4 18x= 4 :18 4 x= 18 4 x= 8 x 5 4x x+ 6 = x 5 4x = x+ 6 ( ) ( ) ( ) 8 x 10+ 8x= x+ 18 x+ 8x x= x= 0 : 4 x= x = x = x+ = x+ 90= 15 6x= x= 115 : 6 f) ( ) x= ( ) 49

50 Primjer: Uvećmo li neki roj 4 put, ond još z 4, doijemo 4. Koji je to roj? 4x+4 = 4 4x = 4-4 4x = 0 : 4 x = 5 To je roj 5. Primjer: Uvećš li dvokrtnik nekog roj z 7, doit ćeš jednko ko d si umnjil peterokrtnik istog roj z 8. Koji je to roj? x+7 = 5x-8 x-5x = x = -15 :( ) x=5 To je roj 5. Primjer: Broj uvećn z 1 i 1 svoje vrijednosti iznosi. Koji je to roj? 1 1 x+ x+ x= 6 6x+ x+ x= 1 11x= 1 :11 x= 1 To je roj 1. Primjer: Zroj triju uzstopnih cijelih rojev jest 6. Koji su to rojevi? Tri uzstopn prirodn roj oznčimo x-1, x, x+1. x 1 + x+ x+ 1 = 6 ( ) ( ) x 1+ x+ x+ 1 = 6 x+ x+ x= 6 x= 6 : x= 1 To su rojevi 11,1 i 1. 50

51 Primjer: Mrko im 11 sličic, Frn 15. Koliko sličic tre Frn dti Mrku d imju jednko? 11+ x= 15 x x+ x= x= 1 : x= 6 Frn tre dti Mrku 6 sličic. Primjer: Drveni je stup petinom duljine u zemlji, trećinom u vodi, 84 cm se nlzi iznd vode. Kolik je duljin stup? 1 1 x+ x+ 84= x 15 5 x+ 5x+ 160= 15x x+ 5x 15x= 160 7x= 160 : 7 x= 180 Duljin stup je 180 cm. ( ) Primjer: Kolik je duljin prvokutnik opseg 54 cm, ko je njegov širin 1 cm. + 1= = 54 = 54 4 = 0 : = 15 Duljin prvokutnik je 15 cm. 51

52 SUSTAV DVIJU LINEARNIH JEDNADŽBI S DVJEMA NEPOZNANICAMA Svk jedndž olik x+y=c ( 0, 0) nziv se linern jedndž s dvije nepoznnice. Olik x+y=c nziv se stndrdni olik jedndže s dvije nepoznnice. X i y su oznke z te nepoznnice, i su odgovrjući koeficijenti uz te nepoznnice, c je sloodni čln. Rješenje linerne jedndže s dvije nepoznnice je svki ureñeni pr rojev (x,y) koji uvršten u tu jedndžu dje točnu jednkost. Linern jedndž s dvije nepoznnice im eskončno mnogo rješenj tj. ureñenih prov (x,y) koji je zdovoljvju. Primjer: Npiši tri ureñen pr (x,y) koji zdovoljvju jedndžu -x+y=4. Rješenje : (-,0), (6, 16 ) ( 1, 5 ),... - (-)+y=4-6+y=4-1 + y = 4 4+y=4-1+y=4-1+y=4 y=4-4 y=4+1 y=4+1 y=0 y=16 y = 5 y=0 y= 16 y= 5 Im eskončno mnogo ureñenih prov (x,y) koji su rješenj zdne jedndže. Odreñujemo ih tko d z x ili y oderemo ilo koji rcionlni roj, uvrstimo g u zdnu jedndžu i izrčunmo y ili x. Sustv dviju linernih jedndži s dvjem nepoznnicm x i y u stndrdnom oliku pišemo: 1 x+ 1 y= c 1 x+ y= c Sustv dvije linerne jedndže s dvije nepoznnice im jedinstveno rješenje, ureñeni pr 1 1 (x,y) koji zdovoljv i jednu i drugu jedndžu ko je. 5

53 METODA SUPSTITUCIJE je jedn od metod kojom nlzimo rješenje sustv (x,y). Korci pri rješvnju: 1. Iz jedne jedndže izrzimo jednu nepoznnicu pomoću druge.. Doiveni izrz uvrstimo (supstituirmo) u drugu jedndžu.. Riješimo doivenu linernu jedndžu s jednom nepoznnicom. 4. Doivenu vrijednost nepoznnice uvrstimo u jedndžu odrnu n početku te odredimo vrijednost druge nepoznnice. 5. Provjerimo zdovoljvju li vrijednosti nepoznnic polzne jedndže. 6. Ako su oje polzne jedndže zdovoljene, istknemo rješenje, ko nisu, tržimo pogrešku. Primjer: provjer: x+5y=-7 x = -7-5y +5 (-) = -7 x+y=4 x = -7-5 (-) -10 = -7 x = = -7 (-7-5y)+y = 4 x = y+y = 4 +(-) = 4-10y+y = = 4-9y = = 4 y = 18:(-9) 4 = 4 y = - Ureñeni pr (,-) rješenje je zdnog sustv. METODA SUPROTNIH KOEFICIJENATA je drug metod kojom nlzimo rješenje sustv (x,y). Korci pri rješvnju: 1. Oderemo jednu nepoznnicu x ili y, pomnožimo jednu ili oje jedndže rojevim tko d se uz odrnu nepoznnicu doiju suprotni koeficijenti.. Zrjnjem jedndži eliminirmo jednu nepoznnicu uz koju su suprotni koeficijenti.. Riješimo doivenu jedndžu s jednom nepoznnicom. 4. Doivenu vrijednost nepoznnice uvrstimo u ilo koju jedndžu sustv p izrčunmo vrijednost druge nepoznnice. 5. Provjerimo zdovoljvju li vrijednosti doivenih nepoznnic zdne jedndže. 6. Ako su oje polzne jedndže zdovoljene, istknemo rješenje, ko nisu, tržimo grešku. 5

54 Primjer: x+7y =1/ +7y = 1 5x-y =1/ y = 1 6x +1y = 9 ] + 7y = 1-6 5x-1y = 84 7y = 7 41x = 1 y = 7 7 x = 1 41 x = y = 1 (x,y)= (,1) provjer: +7 1= = = 1 15 = 1 1 = 1 1 = 1 Ureñeni pr (,1) je rješenje zdnog sustv. Primjer: Svedi n stndrdni olik, ztim riješi sustv : 5 x 7 y+ 1 + = / 15 5 x y = 1/ (5 x) + (7 y+ 1) = 0 ( x+ 4) (4 6 y) = x+ 1y+ = 0 6x y= 8 10x+ 1y= 0 5 6x+ 6y= x+ 1y= / ( ) 6x+ 6y= 1 / 5 6x+ 6 = 1 0x 6y= 6 0x + 0y= 60 6x= 4 y= 66 4 x= 6 66 y= x= 4 y= Ureñeni pr(4, ) je rješenje zdnog sustv. 54

55 Primjeri: 1. Rzlik dvju rojev je, drugi roj je 5 6 prvog roj. Koji su to rojevi? 5 x y= x x= / y= x 6x 5x= 18 6 x= 18 5 y= y=15 (18,15) Trženi rojevi su 18 i 15.. Zroj dvju rojev je 66. Jedn od njih je 0% drugog. Koji su to rojevi? x+ y= 66 x= 0% y x+ y= 66 0.y+ y= 66 x= 0.y 1.y= 66 x= y= 1. x= 11 y= 55 (11, 55) Trženi rojevi su 11 i

56 . Zroj znmenke desetic i znmenke jedinic dvoznmenkstog roj jest 9. Rzlik zdnog roj i roj npisnog istim znmenkm u ornutom redoslijedu tkoñer je 9. Koji je to roj? znmenk desetic - x znmenk jedinic y x+ y= 9 5+ y= 9 10 x+ y (10 y+ x) = 9 y= 9 5 x+ y= 9 y= 4 10x+ y 10y x= 9 (5, 4) x+ y= 9 / 9 9x 9y= 9 Trženi roj je 54. 9x+ 9y = x 9y = 9 18x= x= 18 x= 5 56

57 OMJER I RAZMJER (PROPORCIJA) Omjer Omjer dvju rojev i, 0 količnik je tih rojev i oznčvmo s : ili. := čitmo :,, prem Vrijednost omjer se ne mijenj ko o čln pomnožimo ili podijelimo istim rojem. 14:8=7:4 :5=1:0 Rzmjer (proporcij) Rzmjer (proporcij) je jednkost dvju omjer. Unutrnji člnovi rzmjer : = c:d Vnjski člnovi rzmjer Umnožk vnjskih člnov rzmjer jednk je umnošku unutrnjih člnov. Npr. Odredi x iz rzmjer: ) :x = 6:18 x+ x ) = 5 6 x = 18 5(x+) = x x = 18 5x+10 = x 6 1 x = 9 5x-x = -10 x = -10 x = x = -5 57

58 PROPORCIONALNE VELIČINE Veličine su proporcionlne ko vrijedi: ko se jedn veličin n put poveć, ond će se i drug veličin n put povećti ili ko se jedn veličin n put smnji, ond će se i drug veličin n put smnjiti. Primjer : Krojč z 5 istih odijel tre 16m pltn.koliko pltn tre z 7 tkvih odijel? m pltn roj odijel 16 5 roj m x 7 odijel(x) pltn (y) ? x :16 = 7:5 y k = x y= k x 5 x = 16 7 ili 16 k = 5 y =. 7 m 16 7 X= 5 11 X= 5 k =. m/odijelu y=.4 m X=.4 m k je koeficijent proporcionlnosti (roj metr pltn z 1 odijelo) O: Z 7 tkvih odijel potreno je.4 m pltn. Koliko se put povećo roj odijel, toliko se put povećo roj metr pltn. Primjer : Aprt z umnožvnje z 4 minute preslik 40 strnic. Z koje će vrijeme prt preslikti 00 strnic? 4 min 40 strnic x 00 strnic vrijeme u min.(x) roj strnic(y) 4 40 x 00 k = y x 58

59 x : 4= 00 : k = 4 40 x = 4 00 ili k = 60 strnic/minuti x = x = 5 minut x= k y 00 x = 60 x=5 minut Ako su dvije veličine y i x proporcionlne, ond je omjer njihovih vrijednosti uvijek isti. y Tj omjer nziv se koeficijent proporcionlnosti i oznčv se slovom k =. x Primjer : Dopuni tlicu: Jedn čokold košt 4 kune. x (roj čokold) y(iznos u kn) 1 4?() 8?() 1 4?(16) k = 5?(0) = = =... = y x Koeficijent proporcionlnosti stln veličin Primjer : Dv prijtelj, Ivn i Mtej igrli su loto. Ivn je uložio 1 kun, Mtej 9 kun. Kko će podijeliti doitk od 609 kun ko g žele podijeliti u omjeru uloženog novc? I+M = 609 I : M = 1:9 I = 1k =1 9 = 48 I+M = 609 M = 9k = 9 9= 61 1k+9k= k = 1 k=9 59

60 OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE Veličine su ornuto proporcionlne ko vrijedi: ko se jedn veličin n put poveć, ond će se drug veličin n put smnjiti i ornuto. Primjer 1: Sooslikr je zvršio poso z 9 dn rdeći dnevno 4 st. Z koliko i dn zvršio tj poso d je rdio 1 sti dnevno? 9 dn 4 st dnevno x (roj dn) y (sti) x 1 sti dnevno 9 4 x 1 k = x y 9 : x = 1:4 k=6 (roj rdnih dn ko dnevno rdi 1 st) k x= y 6 1x=9 4 x = 1 x= dn x = dn O: Sooslikr zvrši poso z dn ko dnevno rdi 1 sti. Primjer : Zrkoplov vozi rzinom 80 km/h i odreñenu udljenost prijeñe z 5 sti. Z koliko će sti prijeći istu tu udljenost ko vozi rzinom od 500 km/h? 80 km/h 5 sti 500 km/h x sti x : 5 = 80 : 500 x 500 = 5 80 x = k = x y k = 80 5 k = 1900 km k x= y 1900 x= h 500 x =.8 h x = h i 48 min.8 h = h 48 min. 0.8h= min. =48min. 19 x = h 5 x=.8 h Odgovor: Ako vozi rzinom od 500 km/h, istu udljenost će prijeći z h i 48 min. 60

61 Iz zdtk je vidljivo - koliko se put jedn veličin smnjil, toliko se put drug veličin povećl. Primjer : Neki se poso ovi z 6 dn rdeći dnevno 1 st. Dopuni tlicu: x y Broj sti rd dnevno Broj dn 1 6 4?(9)?(1) k = x y k =1 6 = 4 9 = 1 = = x y Koeficijent ornute proporcionlnosti je stln veličin. 61

62 POSTOTAK Postotk je RAZLOMAK s nzivnikom 100. Zpisuje se n sljedeći nčin : p P%= 100 Npr: %= 100 Postotke možemo izrziti u oliku: - Rzlomk - Decimlnog roj Primjer: 5 7 5%= = %= = U postotnom rčunu koristimo sljedeće veličine : y-postotni iznos x-osnovn vrijednost p-postotk P je y = p% x Koristeći se postotnim rčunom,možemo riješiti mnoge proleme iz svkodnevnice: Primjeri : 1. Škol im 600 učenik od kojih 7% trenir košrku: Koliko učenik u toj školi trenir košrku? 7% od 600 7% 600= = = =4 Odgovor: 4 učenik te škole trenir košrku. 6

63 .Nek vreć pun voć sdrži 80% juk.koliko je kg juk u vreći ko je ukupno 100 kg voć? x=100kg p%=80% y=? y = p% x y = 80% 100 y = y =80kg Odgovor: U vreći je 80 kg juk..n ispitu iz mtemtike Ivn je reliziro 0 odov od moguć od.koliki je postotk Ivnove uspješnosti n tom ispitu? x= y=0 P%=? Y=p% x 0=p% 0 P%= =0.65 P%=6.5% Odgovor: Ivnov uspješnost n tom ispitu je 6.5%. 4. Nkon 0% poskupljenj cijen nekog proizvod je 6 kn. Kolik je il cijen tog proizvod prije poskupljenj? p%= 100 % + 0 % = 10 % y= 6 x=? y = p% x 6=10% x 6=1. x 6 x = kn 1. x= 80 kn.nčin rd x + 0% x = 6 x + 0. x = 6 1. x = 6 6 x = 1. x = 80 kn Cijen prije poskupljenj je il 80 kn. 6

64 JEDNOSTAVNI KAMATNI RAČUN Uz godišnju stopu (s) i uz uloženu glvnicu(g), nkon vremen(v) doiju se kmte(k), čiji iznos rčunmo po formuli jednostvnog kmtnog rčun: k= s g v Vrijeme štednje(v) izržv se u godinm. Kmte su proporcionlne s kmtnom stopom, glvnicom i vremenom. Primjeri: 1.Koliku kmtu godišnje donese glvnic od kn uz kmtnu stopu od 7%? s= 7% v=1 god k=? k=s g v k=7% kn k= kn k= 700 kn O: Godišnj kmt je 700 kn..koj glvnic uložen uz kmtnu stopu od 7.5% n 18 mjeseci donese 05 kn kmte? s= 7.5% v= 18 mj =1.5 g k = 05 kn g=? k= s g v 05 = 7.5 % g = g = g 05 g = kn g = kn O: Glvnic je kn.. Koliko vremen mor iti uložen glvnic od 8500 kun uz kmtnu stopu od 10% ko želimo doiti 450 kun kmte? g=8500 kn k=s g v s=10% k=4 50kn 450= 10% 8500 v v=? 450= 850 v 450 v= godin 850 v= 5 godin O: Glvnic mor iti uložen n 5 godin. 64

65 STATISTIKA Grn mtemtike. Bvi se prikupljnjem i ordom podtk. Podtke možemo prikzti n rzne nčine:tličnim prikzom,slikovnim prikzom,stupčstim dijgrmom,kružnim dijgrmom i linijskim dijgrmom. TABLIČNI PRIKAZ STUPČASTI DIJAGRAM KRUŽNI DIJAGRAM LINIJSKI DIJAGRAM SLIKOVNI PRIKAZ OBILJEŽJE SKUPA Kriteriji po kojim ojekte rzvrstvmo u rzličite skupine. FREKVENCIJA Frekvencij je roj (put) pojvljivnj odreñene vrijednosti u oilježju skup. RELATIVNA FREKVENCIJA Omjer frekvencije i zroj frekvencij. 65

66 Reltivnu frekvenciju izržvmo u postocim. npr. Izor predsjednik 8.d rzred Oilježje skup Frekvencij Reltivn frekvencij Mrko 5 5/5=0.0= %=0% Mrij 8 8/5=0.=0. 100%=% Pero 9 9/5=0.6= %=6% Ivn /5=0.1= %=1% Ukupno: 5 100% Stupčstim i kružnim dijgrmom lkše očitvmo podtke. Primjer: U tlici su prikzni prikupljeni podci o količini prodnog voć u jednoj voćrnici. ) Prikupljene podtke prikži tlicom reltivnih frekvencij. ) Ncrtj stupčsti dijgrm. c) Koje je voće njprodvnije? 66

67 Primjer: U 1. rzredu prikupljeni su podci o hoijim. ) Prikupljene podtke prikži tlicom reltivnih frekvencij. ) Ncrtj stupčsti dijgrm. c) Ncrtj kružni dijgrm. VRSTE HOBIJA FREKVENCIJE RELATIVNE FREKVENCIJE glz 11 film 6 sport 7 čitnje knjig rd n PC-u % 5 = = % 5 = = % 5 = = % 5 = = 8 0. % 5 = = UKUPNO: 5 1 = 100% rd n PC-u % glz 1% glz film sport čitnje knjig rd n PC-u čitnje knjig 9% sport 0% film 17% 67

68 VJEROJATNOST Izrzi koje koristimo z vjerojtnost nekog dogñj su : vjerojtno, sigurno, gotovo nemoguće, pol / pol Sigurn dogñj im vjerojtnost 100% = 1. N pol vjerojtn dogñj im vjerojtnost 50% = 1 = 0.5. Nemoguć dogñj im vjerojtnost 0%. Vjerojtnost nekog dogñj je roj izmeñu 0 i 1. Vjerojtnost oznčvmo slovom P. P(A)-vjerojtnost d će se ziti dogñj A. Primjer: Izvlčenje kuglic rzličitih oj iz vrećice Kod izvlčenj kuglice iz vrećice rezultt jednog izvlčenj nziv se elementrni dogñj. Kko rčunmo vjerojtnost d će iz vrećice iti izvučen kuglic odreñene oje : P ( nek oj) Broj kuglic te oje = Ukupn roj svih kuglic P ( A) = Broj elementrnih dogñj povoljnih z A Ukupn roj svih elementrnih dogñj Primjer: Slov riječi MATEMATIKA npisn su n deset krtic, krtice su ztim promiješne i okrenute slovim n dolje. ) Imju li sv slov jednke izglede d udu okrenut? Nemju. ) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo A? P(A)= = 0. = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo A je 0%. 10 c) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo M? P(M)= = 0. = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo M je 0%. 10 d) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo K? P(K)= 1 = 0.1 = 10% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo K je 10%. 10 e) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo N? 68

69 P(N)= 0 = 0 = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo N je 0%. 10 f) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici pišu slov T ili I? P(T ili I)= = 0. = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo T ili I je 0%

70 Mlo tre d se shvti koliko su +, Ali teško nije niti rojeve oduzeti. Td doñe množenje i dijeljenje ez osttk, E,to već znš riješiti sve do krj zdtk! Ms,duljin,opseg,površin, mjerne jedinice znmo, A d ih prvilno upotrijeimo, formule z to immo. Tek kd smo svldli crtnje trokut i prvokutnik, Idemo n učenje kutov i njihovih olik. Kko skrtiti rzlomk jko je lko, A decimlne rojeve uvijek piši pzeći n točku i polko. Mte Mihljević 5.c (011./01.) 70

71 71

72 Dužin, prvc, poluprvc Rvnin je rvn neomeñen ploh. Njmnji dio rvnine je točk. Točke imenujemo velikim tisknim slovim osim Č, Ć, Š, Ž, ð, DŽ, Lj, Nj. A C B Dužin je omeñen rvn crt. Dužin je njkrć spojnic dviju točk. Krjnje točke su točke kojim je omeñen dužin. A B Duljin dužine je udljenost izmeñu krjnjih točk dužine. Duljinu dužine AB oznčvmo AB. Z mjerenje dužine izeremo njpogodniju mjernu jedinicu, primjerice m, dm, cm, mm. AB = cm mjern jedinic mjerni roj Prvc je rvn crt neomeñen s oje strne. Prvce ilježimo mlim slovim. Z točke koje pripdju prvcu još kžemo d leže n prvcu ili d prvc njim prolzi. A B p prvc AB ili prvc p 7

73 Kroz dvije točke, A i B, možemo povući točno jedn prvc. A B p Kroz jednu točku možemo povući eskončno mnogo prvc. Prmen prvc je skup svih prvc koji imju jednu zjedničku točku. S Zjedničku točku dvju prvc zovemo njihovim (pre)sjecištem. S Ako se prvci i ne sijeku, td kžemo d su usporedni ili prlelni i pišemo. 7

74 Dio rvnine izmeñu dv prleln prvc zovemo PRUGA. Prvci i su okomiti ko se sijeku tko d rvninu dijele n četiri meñusono jednk dijel. Pišemo. Poluprvc je rvn crt koj je s jedne strne omeñen, s druge strne nije. V A p poluprvc VA ili poluprvc p Poluprvc oznčvmo mlim ltiničnim slovim ili s dv tiskn slov kojim smo imenovli početnu točku i točku kroz koju prolzi tj poluprvc. 74

75 Simetrl dužine Simetrl dužine je prvc koji je okomit n dužinu i dijeli je n dv jednk dijel. Polovište dužine je točk koj dužinu dijeli n dv jednk dijel. Polovište je sjecište dužine i njezine simetrle. A P B s Svk točk n simetrli dužine jednko je udljen od krjnjih točk te dužine. Svk točk koj je jednko udljen od krjnjih točk te dužine leži n njezinoj simetrli. S A B SA = SB s Primjer: Ncrtj dužinu, ztim ez mjerenj odredi njezino polovište. A P B s 75

76 Primjer: C C P P S P A S P1 B A P1 B S-sjecište simetrl strnic SA = SB = SC, p kružnic s središtem u S i rdijusom SA prolzi kroz sve vrhove trokut ABC. To je tom trokutu opisn kružnic. Središte opisne kružnice šiljstokutnog trokut je unutr trokut, tupokutnog trokut izvn trokut, prvokutnog je u polovištu hipotenuze. A S P1 P B P C 76

77 Kut i mjerenje kut Kut je dio rvnine omeñen dvm poluprvcim s zjedničkom početnom točkom. V V Zjedničku početnu točku poluprvc zovemo vrh kut ( V ). Svki od poluprvc koji omeñuju kut zovemo krk kut. Točke koje pripdju krkovim kut nzivmo rune točke kut, ostle točke kut unutrnje točke kut. Kutomjer je nprv z mjerenje kutov. Veličinu kut mjerimo u stupnjevim. Osnovn jedinic z mjerenje kut je jedn kutni stupnj. To je veličin kut koji je tristošezdeseti dio punog kut,odnosno devedeseti dio prvog kut. Oznk z jedn kutni stupnj je 1. Z preciznij mjerenj potrene su nm i mnje mjere. Šezdeseti dio kutnog stupnj kutn je minut,oznk 1'. Dkle,1 = 60'. A opet,šezdeseti dio kutne minute kutn je sekund,oznk 1''. 1 = 60' 1' = 60'' 1 = 600''. Prvi kut je kut čiji su krci meñusono okomiti.veličin prvog kut iznosi

78 Šiljsti kut je kut mnji od prvog kut. Veličin šiljstog kut iznosi mnje od 90. Ispruženi kut je kut čiji krci čine jedn prvc. Veličin ispruženog kut iznosi 180. Tupi kut je kut veći od prvog kut, mnji od ispruženog.veličin tupog kut je mnj od 180, već od 90. Puni kut je kut koji je veći od ispruženog kut, njegovi se krci podudrju. Veličin punog kut iznosi

79 Izočeni kut je kut koji je veći od ispruženog, mnji od punog kut.veličin izočenog kut je mnj od 60, već od 180. Sukuti i vršni kutovi Sukuti (susjedni kutovi) jesu dv kut koji imju jedn krk zjednički, preostl dv krk leže n istom prvcu. Zroj veličin sukut iznosi 180. α V β α,β=sukuti α + β=180 Primjer:. Ako je veličin jednog kut 1, kolik je veličin njegovog sukut? α = 1 β =? β= β=57 79

80 Vršni kutovi jesu dv kut s zjedničkim vrhom tkvi d su krkovi jednog od njih suprotni poluprvci krkov drugog kut. Svk dv prvc rvnine koj se sijeku odreñuju dv pr vršnih kutov. Vršni kutovi meñusono su jednke veličine. α V β α, β-vršni kutovi α = β Primjer: Odredi veličinu kut s slike! α=54 V α 54 Primjer: Odredi veličinu nepozntih kutov s slike! α 154 V β γ β=154 α= α=6 γ=6 80

81 Kutovi uz presječnicu usporednih prvc Prvc koji siječe dv usporedn prvc nziv se njihov PRESJEČNICA ili TRANSVERZALA. Usporedni prvci i njihov presječnic odreñuju 8 kutov, 4 šiljst i 4 tup. Kutovi iste vrste meñusono su jednki. Kutovi rzličitih vrst ( jedn tupi, drugi šiljsti ) jesu SUPLEMENTARNI( zjedno dju 180 ). α β α β α β β α Ako je presječnic okomit n usporedne prvce, ond su svi ti kutovi prvi. Primjer: Odredi veličine nepozntih kutov s slike: ) ) 54 β α 1 α=54 β=1 81

82 c) d) 15 γ α 81 β γ δ ε ϕ θ γ= γ=8 β = φ = ε = 81 α = γ = δ = θ = = 99 Kutovi s usporednim i kutovi s okomitim krcim Dv su kut s meñusono usporednim krcim ili jednk ili suplementrn. Ako su o kut iste vrste, ili o šiljst ili o tup, ond su jednki. Ako su kutovi rzličitih vrst (jedn šiljsti drugi tupi), ond su suplementrni. α β α=β β α α+β=180 8

83 Dv su kut s meñusono okomitim krcim ili jednk ili suplementrn. Ako su o kut iste vrste (o šiljst ili o tup), ond su oni jednki. Ako su kutovi rzličitih vrst (jedn šiljsti drugi tupi), ond su suplementrni. α β γ δ α=β γ+δ=180 Primjer: Odredi veličine kutov α, β, γ i δ: ) ) 107 α 5 β α=107 β=180-5 β=18 8

84 c) d) 19 γ δ γ= δ= γ=41 Konstrukcij kut Konstruirj kut od : ) 60 ) 0 84

85 c) 45 d) 90 Primjer: Konstruirj kut od : ) 10, )180, c)150, d) 75. ) ) c) d) 85

86 Simetrl kut Simetrl kut je prvc koji dijeli kut n dv jednko velik kut. Sstoji se od točk koje su jednko udljene od oju krkov kut. C D Svk točk simetrle kut jednko je udljen od o krk kut. A B B C D A A1 B1 C1 D1 Primjer : Ncrtj kut i podijeli g n četiri jednk dijel. 86

87 Sve tri simetrle kutov trokut sijeku se u jednoj točki koj je jednko udljen od svih njegovih strnic. Tko je točk S središte kružnice koj dodiruje sve njegove strnice i koju zovemo trokutu upisn kružnic. Primjer : Ncrtj ) šiljstokutn trokut ) prvokutn trokut ) c) tupokutn trokut i upiši mu kružnicu. C A B ) c) C C B A B A Trokut Trokut je dio rvnine omeñen trim dužinm od kojih svke dvije imju zjedničku smo krjnju točku. Te dužine tkoñer pripdju trokutu. Trokut je jednoznčno odreñen trim točkm koje ne leže n istom prvcu. ABC - čitj trokut ABC Vrhovi trokut : A, B, C Strnice trokut : AB, BC, CA Duljine strnic trokut : = BC, = CA, c = AB Kutovi trokut : α = A= CAB β = B= ABC γ = C = BCA Opseg trokut je zroj duljin njegovih strnic tj. O = + + c. 87

88 Primjer: Ncrtj trokut, oznči g, ztim izmjeri duljine njegovih strnic i izrčunj mu opseg. C A c B = 64 mm = 49mm c = 6mm O =? O = + + c O = ( ) mm O = 176 mm S ozirom n duljine strnic, trokute dijelimo n: 1. Rznostrnične trokute. Jednkokrčne trokute. Jednkostrnične trokute Rznostrničn trokut je trokut kojemu su sve strnice rzličitih duljin. Jednkokrčn trokut je trokut koji im dvije strnice jednke duljine. A α - osnovic - krk α - kut nsuprot osnovici β - kut uz osnovicu O = + B β β C 88

89 Jednkostrničn trokut je trokut koji im sve strnice jednke duljine. C 60 O = A B S ozirom n veličine kutov, trokute dijelimo n: 1. Šiljstokutne trokute. Prvokutne trokute. Tupokutne trokute Šiljstokutn trokut je trokut kojemu su svi kutovi šiljsti. C A B Prvokutn trokut je trokut koji im prvi kut. c hipotenuz, ktete O = ++c P= = ( ) : 89

90 Tupokutn trokut je trokut koji im tupi kut. C B A Primjer: Ncrtj rznostrničn trokut i oznči mu vrhove i strnice, te mu izrčunj opseg. C = 8mm = 40mm c = 9mm O =? O = + + c O = O = 15mm A c B Primjer: Ncrtj jednkokrčni trokut s osnovicom 7mm i krkom 5mm. Izrčunj opseg tog trokut. B A C = 7mm = 5mm O =? O = + O = 7+ 5 O = O = 97mm 90

91 Primjer: Nctj jednkostrničn trokut strnice duljine.7cm. Izrčunj njegov opseg. C =.7cm O =? O = O =. 7 O=11.1cm A B Primjer: Ncrtj prvokutni trokut čije ktete imju duljine cm i 4cm. Izmjeri duljinu hipotenuze i izrčunj mu opseg i površinu. c A = cm = 4cm O,P,c =? c = 5cm B C O = + +c O = O = 1cm P= 4 P = P= 6cm Nejednkost trokut U trokutu je zroj duljin dviju strnic uvijek veći od duljine treće strnice. Vrijedi i ort, ko je zroj duljin svkih dviju dužin veći od duljine treće dužine, td od tih dužin možemo nčiniti trokut. c + > c + c> + c> 91

92 Primjer: Može li se ncrtti trokut ko su duljine njegovih strnic: ) ) c) = cm = cm = 5cm = 4cm c= 7cm c= 9cm = 0.7dm = 6cm c= 40mm Ne tre provjervti je li svk duljin mnj od zroj preostlih dviju. Dovoljno je provjeriti d je njveć duljin mnj od zroj preostlih dviju. ) 7 = c = + = 7 Ne može se ncrtti trokut jer je c = +. ) 9 = c > + = 7 Ne može se ncrtti trokut jer je c > +. c) = 0.7dm = 7cm = 6cm c= 40mm = 4cm 7 = < +c = 10 Može se ncrtti trokut s zdnim duljinm strnic. U trokutu je nsuprot većoj strnici veći kut, nsuprot većem kutu jest već strnic. Nsuprot jednkim strnicm leže kutovi jednkih veličin, i ortno. Primjer: Poredj po duljini strnice sljedećih trokut: ) ) c A 66 < c < jer je β < γ < α A c 6 c < < jer je γ < α < β B 5 61 C B C 9

93 Primjer: Poredj po veličini kutove trokut: A β < α < γ 41mm α mm jer je < < c, odnosno B β 6mm γ C mm < 6 mm < 41 mm U trokutu nsuprot strnicm jednkih duljin leže kutovi jednkih veličin i ortno. U jednkostrničnom trokutu sve strnice imju jednke duljine, p i kutovi imju jednke veličine. U jednkokrčnom trokutu krkovi imju jednke duljine, p i kutovi nsuprot krkovim imju jednke veličine. Zroj kutov u trokutu A α Zroj veličin unutrnjih kutov u trokutu iznosi tj: α + β + γ = B β γ C Primjer: Odredi veličinu nepozntog kut s slike : α α= ( ) α= α=

94 Primjer: Veličine dvju kutov u trokutu su ` i `. Kolik je veličin trećeg kut? α = 45 7` β = 68 56` γ =? γ = (45 7` `) γ = ` γ = 65 7` Zroj veličin šiljstih kutov prvokutnog trokut iznosi 90 0 α A B β C α + β = 90 Primjer: Odredi veličinu nepozntog kut s slike: β 7 α = 7 β =? β = β =

95 α` β` γ`-vnjski kutovi u trokutu Unutrnji i pripdjući vnjski kut zjedno dju 180. α + α` = β + β` = γ + γ` = α` α A Veličin vnjskog kut trokut jednk je zroju veličin nesusjednih unutrnjih kutov. α' = β + γ β' = α + γ γ' = α + β B β β` γ C γ` Zroj veličin vnjskih kutov u trokutu iznosi α' + β' + γ = 60 Primjer: Odredi veličine nepozntih kutov s slike: ) 59 β = β = 6 ) α β 118 α = α = 59 α= ( ) α α = ( ) α = α = 65 β = β δ γ δ = δ = 80 γ = ( ) γ = γ = 5 95

96 Sukldnost trokut Dv trokut koj se mogu položiti jedn n drugog tko d se poklpju, nzivju se SUKLADNI TROKUTI. ABC DEF (čitmo: trokut ABC sukldn je trokutu DEF). Z sukldne trokute( ABC DEF) vrijede sljedeće jednkosti: AB = DE BC = EF CA = FD A = D B = E C = F Sukldni trokuti imju odgovrjuće strnice jednkih duljin i odgovrjuće kutove jednkih veličin. Poučci o sukldnosti trokut 1. Poučk: SSS( strnic-strnic-strnic) Dv su trokut sukldn ko se poklpju u sve tri strnice. C 1 C A B 1 B C C 1 1 A = = = A B C B C A A 1 B 1 A B. Poučk: SKS( strnic-kut-strnic) Dv su trokut sukldn ko se poklpju u dvije strnice i kutu meñu njim. C 1 C A B 1 1 = A B α = α 1 α1 α C 1 A 1 = C A A 1 B 1 A B 96

97 . Poučk: KSK (kut-strnic-kut) Dv su trokut sukldn ko se poklpju u jednoj strnici i kutovim uz tu strnicu. C 1 C A B α = α β = β = A B α1 β1 α β A 1 B 1 A B Primjer: Dužine AC i BD se rspolvljju. Ako je AB dug cm, kolik je duljin dužine CD? C D S CSD= BSA CS = SA S K S BSA CSD B A AB = CD CD = cm BS = BD 97

98 Primjer: Dijgonl prlelogrm dijeli prlelogrm n dv sukldn trokut. Dokži! D C A B AD = BC AB = CD AC S S S ABC ACD TRI OSNOVNE KONSTRUKCIJE TROKUTA Postoje tri osnovne konstrukcije trokut. To su : 1. Konstrukcij S-S-S: konstrukcij trokut ko su zdne duljine svih triju strnic.. Konstrukcij S-K-S: konstrukcij trokut ko su zdne duljine dviju strnic i veličin kut izmeñu njih.. Konstrukcij K-S-K: konstrukcij trokut ko je zdn duljin jedne strnice i veličine dvju kutov uz tu strnicu. Primjer: Konstruirj trokut ABC kojemu su zdne ove duljine strnic : c = AB =.5 cm ; = BC = cm i = AC =.5 cm Skic: C A c B 98

99 Konstrukcij: A B B C A C C A B Primjer: Konstruirj trokut ABC kojemu su zdne duljine strnic =6 cm, c=4cm i veličin kut β=50. Skic: A c B β C Konstrukcij: 99

100 Primjer: Konstruirj trokut ABC kojemu su zdne veličine kutov α=0 i β=60 te strnic duljine c=5cm. Skic: C A α c β B Konstrukcij: C A B Površin trokut v- visin trkut Trokut im tri visine. C v A N B Sjecište okomice i prvc n kojem leži nsuprotn strnic zovemo nožište visine. 100

101 C vc O v v B A O-ortocentr Ortocentr je točk u kojoj se sijeku visine trokut. C B A vc v v B v vc v A O C=O 101

102 Površin prvokutnog trokut. 1 P= Površin trokut A x C vc y B P= P + P 1 xv P= vc P= cv P= c ( x+ y) c yvc + Anlogno, možemo doiti i d je v P= i v P=. Površin trokut jest polovin umnošk duljine jedne strnice i duljine visine n nju v P= v P= i c P= v c Iz ovih formul slijedi v = v = c v c 10

103 Primjer: Izrčunj površinu trokut s slike A 4 cm C cm B c= 4cm vc = cm P=? 1 P= c v c P P 1 = / 1 4/ = 6cm Primjer: P= 5cm =,5cm v =? v P=,5 v 5=,5 v = 5 /,5 v = 10 v = 10 :,5 v = 4cm Primjer: c= 1cm vc = 7cm P=? 1 P= c v c P = 1 6 / 1 1 // 7 P=4cm 10

104 SLIČNOST Slični likovi imju isti olik li ne i veličinu. Ako su olik i veličin jednke ond su likovi sukldni. Znk z sličnost je ~, z sukldnost. Kod sličnih likov duljine odgovrjućih strnic su proporcionlne, odgovrjući kutovi jednke veličine. γ C C ' γ ' ' ' A=A ' α =α ' c ' c β ' B ' β B Ako je ABC ~ A' B' C' ond je α ' = α, β ' = β, γ ' = γ ' ' ' ' ' ' B C A C A B = = = k ili BC AC AB ' ' c ' = = = k i c k je koeficijent sličnosti Primjer: Trokut MNL im duljine strnic : m = 16cm, n = 0cm i l = 4cm, trokut PRS im duljine strnic : p = 8cm, r = 10cm, s = 1cm. Jesu li trokuti slični i koliki je koeficijent sličnosti? MNL : m = 16cm, n = 0cm, l = 4cm Strnice su poredne PRS : p = 8cm, r = 10cm, s = 1cm po veličini. m n l = = = k p r s k = 0 4 = = = k MNL k ~ = PRS Trokut MNL dv put je veći od PRS. 104

105 Primjer : Trokuti ABC i A' B' C' su slični. Izrčunj duljine nepozntih strnic ko je: = 15cm = 18cm c =? ' =? ' = 6cm c' = 9cm ' = ' ' = c' c ' = k 6 ' = = = k 18 c 18 1 ' = 15 ' = 15 ' = 5cm 1 9 = c c = 7cm 1 k = k = ~ ABC A' B' C' Ili 1 k= Trokut ABC tri put je veći od trokut A' B' C'. A' B ' C ' ~ ABC Trokut A' B' C' je tri put mnji od ABC. POUČCI O SLIČNOSTI TROKUTA K-K poučk o sličnosti trokut Ako dv trokut imju odgovrjuće kutove jednkih veličin, ond su slični. Jednkost je dovoljno ustnoviti z dv kut jer će ond sigurno vrijediti i z treći kut. C γ C ' γ ' A α β B A ' α ' β ' B ' Ako je α = α ', β = β ' ( γ = γ ' ), ond je ABC ~ A' B ' C ' 105

106 Primjer: -Ako je A = E i B = F, jesu li zdni trokuti slični? Kolike su duljine strnic x i y? C F A x B D Y E Kutove jednke veličine u ABC i DEF oznčili smo jednkim rojem lukov. Po K-K poučku ABC ~ DEF. Vrijedi: x 4 y 5 = = x 5 = y= x= y= 5 4 x= y=.75 VAŽNO! Odgovrjuće su strnice proporcionlne, nlze se nsuprot kutovim jednke veličine. Primjer: Ako je p q, izrčunj x. q p 5 4 x 5:8=4:(4+x) 5(4+x)= x= 5x=1 x= x=

107 S-K-S poučk o sličnosti trokut Ako dv trokut imju dv pr odgovrjućih strnic proporcionln i kutove izmeñu njih jednke veličine, ond su ti trokuti slični. C γ ' C' γ ' ' ' Ako je = ' = k i γ'=γ, ond je ABC~ A'B'C'. A B A ' B' Primjer: 1.Jesu li trokuti slični? Izrčunj y. F C.6 9 y A.4 B D 6 E Trokuti imju jednke veličine kutov u vrhu B i D. Stog je dovoljno provjeriti jesu li duljine odgovrjućih strnic koje ztvrju te kutove proporcionlne. AB.4 4 DE = 6 = 60 = BC DF = 9 = 90 = 5 AB DE = BC DF = 5 = k Omjeri su jednki, što znči d su odgovrjuće strnice proporcionlne. Po S-K-S poučku ABC ~ DEF. 107

108 Iz sličnosti vrijedi: AC AB = EF DE.4 = y 6.4 y= 6 1 y=.4 y= 5 S-S-S POUČAK O SLIČNOSTI TROKUTA - Ako dv trokut imju odgovrjuće strnice proporcionlne, ond su slični : C C' ' ' A c B A ' c B' Ako je c = = = k c ond je ABC ~ A'B'C' Primjer: -Jesu li trokuti slični? Ako jesu, koji su im odgovrjući kutovi jednkih veličin? C E A 4 B F 4.5 D 108

109 - Poredjmo po veličini strnice o trokut : ABC : 4 5 E B FDE : D C F A Budući d je AC DF = AB EF = BC DE 4 5 = = = k k= Duljine strnic su proporcionlne p je ABC ~ FDE po S-S-S poučku. OPSEZI I POVRŠINE SLIČNIH TROKUTA -Omjer opseg sličnih trokut C C,,, A c B A, c, B, Trokuti ABC i A'B'C' su slični. Duljine njihovih strnic su,,c i,,,,, c. = = c = k c,,, = k, = k, c = k c O = + + c,,,,, O = k + k + k c, O = k + + c + + c= O O, = k O, O = k O ( ) o = k o 109

110 Primjer: Duljine odgovrjućih strnic sličnih trokut su 10cm i 14cm. Koliki je opseg mnjeg trokut ko je opseg većeg 6 cm? =10cm '=14cm O'=6cm O=, 7 = 5 =k ' O k O = 6 7 = O 5 7 O= 6 5 O= O= 45cm cm Omjer površin sličnih trokut A A v v, B C B I C v =v v, =v, v P=, v P =,, 110

111 Omjer površin je :,, v,,,,, P v v = = = = k k = k P v v v = P = k P P k P Primjer: Opsezi dvju sličnih trokut odnose se ko 6:5.Ako je površin mnjeg trokut 75 izrčunj površinu većeg trokut. cm, o : o=6: 5 P= 75cm P =? P k P k = = 6 P = 75 cm 5 6 P = 75 cm 5 1 P = 108 cm 6 5 ili ' P P ' O = O ' P 6 = 75 5 ' P 6 = 75 5 ' P 5= 75 6 ' P = 75 6 cm 5 1 P = 108cm ' 111

112 DIJELJENJE DUŽINE NA JEDNAKE DIJELOVE Primjer : Podijelimo dužinu AB n 5 jednkih dijelov. A B DIJELJENJE DUŽINE U ZADANOM OMJERU Primjer: Ncrtj dužinu duljine 10 cm i točkom T je podijeli u omjeru :4. A T 4 B T 1 BB TT 1 1 B 1 11

113 ČETVEROKUTI - Dio rvnine omeñen četirim dužinm, uključujući i točke tih dužin nziv se ČETVEROKUT. D δ d α A c C γ β B Vrhovi četverokut: A, B, C, D Strnice četverokut: AB, BC, CD, DA Duljine strnic: = AB = BC c = CD d = DA Kutovi četverokut: α = A = DAB = da β = B = ABC = B χ = C = BCD = Cc δ = D = CDA = cdd - Strnice četverokut s zjedničkim vrhom nzivju se SUSJEDNE STRANICE, one koje nemju zjednički vrh nzivju se NASUPROTNE (NESUSJEDNE) STRANICE. - Vrhovi četverokut koji leže n istoj strnici nzivju se SUSJEDNI VRHOVI ČETVEROKUTA. Vrhovi koji ne leže n istoj strnici nzivju se NASUPROTNI VRHOVI ČETVEROKUTA. - Dužin koj spj nsuprotne vrhove četverokut nziv se DIJAGONALA ČETVEROKUTA. Četverokut im dvije dijgonle. To su AC i BD. - Opseg četverokut je zroj duljin njegovih strnic: O = + + c + d Primjer 1. Ncrtj četverokut AUTO, oznči mu vrhove, strnice, ztim mu izrčunj opseg. A o O t U u T = AU = 6 mm u = UT = 1 mm t= TO = 5 mm o = OA = 40 mm O =? O = + u + t + o O = O = 114 mm 11

114 Primjer. Ncrtj četverokut DEVA i ncrtj njegove dijgonle. A V S D E Kutovi četverokut D δ A α α1 α γ γ1 γ C β B ABC : α 1+ β + γ 1 = 180 ADC : α + γ + δ = 180 α + α + β+ γ + γ + δ = α + β + γ + δ = 60 Zroj veličin unutršnjih kutov u četverokutu jest

115 δ' δ γ' γ α α ' β β ' Sukut unutršnjeg kut četverokut zove se vnjski kut. α+α' = 180 β+β' = 180 γ+γ' = 180 δ+δ' = 180 α+β+γ+δ+α'+β'+γ'+δ' = α'+β'+γ'+δ' = 60 Zroj veličin vnjskih kutov u četverokutu iznosi 60. Primjer: α = 60 α + 76 = 60 α = α =

116 Primjer: α = 60 - ( ) α = α = 10 Primjer: α = 11 γ = 60 - ( ) β = γ = δ = 105 γ = 10 γ =? Primjer: α' = α' = 110 β = β = 68 γ = γ = 98 δ' = 60 - ( ) δ' = δ' =

117 VRSTE ČETVEROKUTA Vrste četverokut su: trpezoidi, trpezi i prlelogrmi. TRAPEZOID je četverokut koji nem prlelnih strnic. D c γ C d δ A α β B O = + + c + d TRAPEZ je četverokut koji im jedn pr prlelnih strnic. d D δ c γ C A α β B O = + + c + d, c = osnovice, d = krkovi Kutovi koji leže n istom krku trpez zjedno čine ispruženi kut. α + δ = 180 i β + γ =

118 PRAVOKUTNI TRAPEZ je trpez koji im prvi kut. D c γ C d A β B O = + + c + d JEDNAKOKRAČAN TRAPEZ je trpez koji im krkove jednke duljine. D c C β β A α α B O = + + c Kutovi koji leže n istoj osnovici meñusono su jednki. Primjer: Šiljsti kut trpez im veličinu 8, tupi kut 115. Odredi veličine preostlih kutov trpez. α = 8 β = 180 δ + 8 = 180 γ = 115 β = δ = β, δ =? β = 65 δ =

119 Primjer: Šiljsti kut jednkokrčnog trpez im veličinu 7. Odredi veličine preostlih kutov tog trpez. α = 7 δ + 7 = 180 γ = δ β, γ, δ =? δ = γ = 108 β = 7 δ = 108 v-visin trpez POVRŠINA TRAPEZA D C v POVRŠINA TRAPEZA c A B x v c v y P = P 1 +P +P x v y v P= + cv+ xv+ cv+ yv P= ( x+ c+ y) v P= ( x+ c+ y+ c) v P= ( + c) v P= + c P= v 119

120 . Izrčunj površinu trpez ko je =8.4cm=84mm c=6.5cm=65mm v=5mm P =? + c P= v P= P= 5 P= P= 948.5mm 4.Izrčunj nepozntu veličinu trpez ko je ) ) P= 6cm = 9cm c= 7cm v=? P= 84cm v= 7cm = 15cm c=? + c P= v + c v= P 9+ 7 v= 6 16 v= 6 6 v= 8 v= 4.5cm + c v= P 15+ c 7= 84 / c = 1 / 15+ c= 4 c= 4 15 c= 9cm 10

121 c) P= 5cm v= 5cm c= 6cm =? + c v= P + 6 5= = 7 / + 6= 14 = 14 6 = 8cm PARALELOGRAM -PARALELOGRAM je četverokut koji im dv pr prlelnih strnic. O = + -Dijgonle PARALELOGRAMA se rspolvljju. SA = SC i SD = SB -Šiljsti kutevi su meñusono jednki, tupi su tkoñer jednki. Šiljsti i tupi kut zjedno dju 180. α + β =

122 Primjer: Šiljsti kut prlelogrm iznosi 41. Odredi veličine preostlih kutov u prlelogrmu. α = 41 γ = 41 β = 180 γ β = β = 19 δ = β δ = 19 Primjer: Ncrtj prlelogrm čije su duljine strnic = 4cm, = cm. Izrčunj opseg tog prlelogrm. A D B C =4 cm O = + = cm O = 4 + O=? O = 8 cm + 4 cm O = 1 cm Primjer: Konstruirj prlelogrm ABCD ko je zdno AB =5.6 cm, AD =4.1 cm, A =70. Skic: D C Konstrukcij: A 70 B D C A B 1

123 Primjer: Konstruirj prlelogrm ko je zdno AC =4.4cm, BD =5.cm i kut izmeñu dijgonl im 60. Skic: Konstrukcij: D C A B C D B A POVRŠINA PARALELOGRAMA D C v v A B v -visin koj pripd strnici v -visin koj pripd strnici P= v P= v Površin prlelogrm jednk je umnošku duljine strnice i njoj odgovrjuće visine. 1

124 Primjer: Izrčunj površinu prlelogrm ko je =1cm,v =7.5cm. =1cm v =7.5cm P=? P=? P= v P= P= 90cm Primjer: Izrčunj površinu prlelogrm ko je =15cm,v =84mm. =15cm v =84mm =8.4cm P=? P= v P= P= 16cm Primjer: Odredi nepoznti element prlelogrm: ) ) P= 4cm v =? = =.75cm P v 4 =.75 = 6.4cm P= 8.81cm = 6.7cm v P v = 8.81 v = 6.7 v = 4.cm =? 14

125 Primjer: Odredi nepoznte veličine prlelogrm: = 1cm = 8cm v = 4.5cm P=? v =? P= v P= P= 58.5cm v v v P = 58.5 = 8 = 7.15cm Primjer: Odredi nepoznte veličine prlelogrm: O= 6.cm = 9.6cm v = 4.7cm P=? O= + + = O + 9.6= = 6. = = 17 = 8.5cm P= v P= P= 9.95cm ROMB je prlelogrm kojemu susjedne strnice imju jednke duljine. D β α C O = 4 α +β = 180 A α β B Dijgonle rom se rspolvljju. Nisu jednke duljine. 15

126 16 Primjer: Ncrtj rom s strnicm duljine 4cm. Izrčunj mu opseg. cm O O O O cm ? 4 = = = = = Primjer: Konstruirj rom s strnicom duljine 7mm i šiljstim kutom od 60. PRAVOKUTNIK je prlelogrm kojemu su susjedne strnice meñusono okomite. P O = + = Dijgonle prvokutnik se rspolvljju, jednke su duljine i nisu okomite. β β α α C D A B C D A B A B D C

127 Primjer: Odredi veličine kutov α, β, γ, δ ko je četverokut ABCD prvokutnik. D δ γ C α 110 β A B α = α = 70 γ = γ = 110 γ = 55 β = γ β = 55 δ = γ δ = 55 Primjer: Ncrtj prvokutnik ABCD s strnicm duljin 4 cm i cm. Izrčunj mu opseg i površinu. D C A B = 4cm = cm O=? P=? O= ( + ) O= (4+ ) O= 6 O= 1cm P= P= 4 P= 8cm 17

128 18 KVADRAT je prlelogrm kojemu su susjedne strnice meñusono okomite i jednke duljine. P O = = 4 Dijgonle kvdrt se rspolvljju. Okomite su i jednke duljine. Primjer: Ncrtj kvdrt ABCD s strnicm duljine cm. Izrčunj mu opseg i površinu.?, = = P O cm cm O O O = = = 9 cm P P P = = = Primjer: Konstruirj kvdrt kojemu dijgonle imju duljinu 5cm. A B C D A B C D B D A C

129 MNOGOKUTI Osnovno o mnogokutim Mnogokut je skup točk rvnine omeñen s njmnje tri dužine. S n oilježvmo roj strnic. Ako je n =, mnogokut je trokut, n = 4, mnogokut je četverokut, ko je n = 5, mnogokut je peterokut, n=6, mnogokut je šesterokut, mnogokut s n strnic ( n ) zovemo n-terokut. Mnogokuti čiji su unutrnji kutovi mnji od 180 zovu se konveksni mnogokuti. Mnogokuti koji imju r jedn unutrnji kut veći od 180 su nekonveksni mnogokuti. Dijgonle mnogokut Dijgonle mnogokut su dužine koje spjju dv nesusjedn vrh mnogokut. (Susjedni vrhovi su dv vrh mnogokut koji pripdju istoj strnici). A4 A5 A A 1 A, A 1 A 4, A A 4, A A 5, A A 5 su dijgonle mnogokut. A1 A Broj dijgonl iz jednog vrh n-terokut jednk je roju strnic umnjenom z. dn = n Ukupn roj dijgonl u nekom n-terokutu je n( n ) D n = Primjer : Koliko vrhov im mnogokut kojemu iz jednog vrh možeš ncrtti 7 dijgonl? dn = 7 n =? dn = n 7 = n n = 7 + n = 0 O: Tj mnogokut im 0 vrhov tj. 0 strnic. 19

130 Primjer : Koliki je ukupn roj dijgonl u osmerokutu? n = 8 D = D D D D 8? n ( n ) n = (8 ) 8 = 5 8 = = 0 O: Osmerokut im ukupno 0 dijgonl. Primjer : Koji mnogokut im ukupno 90 dijgonl? Dn = 90 n =? Dn = n (n-) 90 = n (n-) / 180 = n (n-) 180 = 15 1 n = O: Petnesterokut im ukupno 90 dijgonl. 10

131 Kutovi mnogokut Ncrtj peterokut i šesterokut p im povuci dijgonle iz jednog vrh. A5 A4 A6 A5 A1 A A1 A4 A A A n = 5 t = n = 6 t = 4 t = roj trokut Kd povučemo dijgonle iz jednog vrh, mnogokut je podijeljen n n- trokut. U svkom trokutu zroj veličin unutrnjih kutov je 180, p se zroj veličin unutrnjih kutov u mnogokutu rčun po formuli Kn = (n-) 180 Primjer : Izrčunj zroj veličin unutrnjih kutov u deseterokutu i dvnesterokutu. n = 10 K =? 10 K = (n-) 180 n K = (10-) K = K = n = 1 K =? 1 K n = (n-) 180 K = (1-) K = K =

132 Primjer: Koji mnogokut im zroj veličin unutrnjih kutov 40? K n =40 n=? K n = (n-) = (n-) n = 180 n = 1 n= 1+ n= 15 ili K n = (n-) = (n-) = 180 n - 60º 180 n = º 180 n = 700º n = n = 15 Petnesterokut im zroj veličin unutrnjih kutov 40. Mnogokuti čije su sve strnice jednke duljine i svi kutovi jednke veličine su prvilni mnogokuti. Prvilni n-terokut može se podijeliti n n sukldnih krkterističnih jednkokrčnih trokut. Prviln trokut je jednkostrničn trokut prviln četverokut je kvdrt. s r βn r An A αn γ n γ n A 1 γ n n A 1

133 βn - središnji kut prvilnog n - terokut α - kut prvilnog n - terokut n γ - kut uz osnovicu krkterističnog trokut n prvilnog n - terokut 60 βn = n α = γ = 180 β ili n n n Kn αn = n ( n ) 180 αn = n Opseg mnogokut je zroj duljin svih njegovih strnic. O= n Opseg prvilnog mnogokut O= n Površin prvilnog mnogokut Površin prvilnog n- terokut jednk je n površin krkterističnog trokut. s An r v r A A1 n A P = n P n v P= n ( v je visin krkterističnog trokut, odnosno polumjer upisne kružnice prvilnom n- terokutu ) 1

134 Crl Friedrich Guss Pokušo je konstruirti prvilni sedmerokut pomoću rvnl i šestr. Ne smo d je došo do zključk d je to moguće, već je otkrio metode konstrukcije prvilnog 17, 57, 6557 kut. Tko je dokzo d je konstrukcij prvilnog mnogokut, rvnlom i šestrom, moguć smo kd su strnice prim rojevi serije, 5, 17, 57, 6557 i tko dlje; to je opiso u knjizi o teoriji rojev. 14

135 KRUG I KRUŽNICA Kružnic je skup svih točk rvnine koje su od zdne točke S jednko udljene z pozitivni iznos r. Krug je dio rvnine omeñen kružnicom. Krug je skup točk rvnine čij je udljenost od zdne točke S mnj ili jednk polumjeru. S središte kružnice (krug) r rdijus Dužin SA - polumjer (dužin koj spj središte s ilo kojom točkom kružnice). Dužin AD - tetiv (dužin čije rune točke pripdju kružnici). Dužin BC - promjer (dužin čije rune točke pripdju kružnici i sdrži središte). Dio kružnice BAC polukružnic. Dio kružnice ACD kružni luk (dio kružnice izmeñu dvije njezine točke). Dio krug DBAD kružni odsječk (dio krug omeñen tetivom i kružnim lukom) Dio krug ACSA kružni isječk (dio krug omeñen polumjerim i kružnim lukom). dio krug BCDB polukrug. 15

136 Prvc i kružnic - Prvc nem s kružnicom zjedničkih točk. Prvc je izvn kružnice,tj. kružnic i prvc se ne sijeku. p - Prvc im s kružnicom zjedničke točke. Prvc je seknt kružnice. 16

137 - Prvc s kružnicom im 1 zjedničku točku. Prvc je tngent kružnice. S t Tngent kružnice je prvc koji dir kružnicu u jednoj točki i okomit je n polumjer u toj točki. Koncentrične kružnice imju zjedničko središte. Kružni vijenc je dio rvnine omeñen dvjem koncentričnim kružnicm. Središnji kut im vrh u središtu kružnice, krci su poluprvci koji sdrže polumjere. Središnji kut je veći od 0, mnji od 60. α središnji kut 17

138 Oodni kut im vrh n kružnici, krci su poluprvci koji sdrže tetive. β s Oodni kutovi nd istim kružnim lukom meñusono su jednke veličine. β = β 1 Veličin središnjeg kut jednk je dvostrukoj veličini oodnog kut nd istim kružnim lukom. α = β SREDIŠNJI KUT OBODNI KUT 18

139 Primjeri: 50 α S β α = 50 α = β 50 = β β = β = 50 5 ß1 = ß = ß = 0 (oodni kutovi nd istim kružnim lukom) α s β=0 ß = 0 (oodni kut) α = ß α = 0 α = 60 (središnji kut nd istim kružnim lukom) 19

140 TALESOV POUČAK - SVAKI OBODNI KUT NAD PROMJEROM KRUŽNICE JE PRAVI KUT. γ = γ = γ = γ = γ 5 = γ 1 γ γ S γ 5 γ 4 Primjer : Odredi γ 1 i ß primjenom Tlesov poučk. C γ 1 A 60 S β B 140

141 AS = CS = r C =90 (PO TALESOVU POUČKU) γ 1 = 60 β= β = 0 Duljin kružnice (opseg krug omeñenog tom kružnicom) O r = π O= r π (π.14) Primjer : Izrčunj duljinu kružnice ko je rdijus r = 6 cm. r = 6 cm O =? O=r π O= 6 π cm O=1 π cm Primjer : Izrčunj duljinu polumjer ko je opseg krug 6.8 cm. O = 6.8 cm r =? O = r π 6.8 cm = r cm = 6.8 r 6.8 r= cm 6.8 r = 10 cm Duljin kružnog luk l i veličin njemu pridruženog središnjeg kut α proporcionlne su veličine. B l r S α r A 141

142 DULJINA KRUŽNOG LUKA l VELIČINA ODGOVARAJUĆEG SREDIŠNJEG KUTA α rπ 60º rπ 60 1º 60 º 60 º rπ α 60 α l : rπ = α : 60 l 60 = rπ α rπ l = α 60 rπ l = α 180 ili rπα l= 180 Primjer : Izrčunj duljinu kružnog luk ko je rdijus r = cm, odgovrjući središnji kut α = 0 º. r = cm α = 0 l =? l= r πα 180 l= 1 π π l= cm l= 1.57cm 1 cm 14

143 Primjer : Koliki je rdijus kružnice ko je središnjem kutu α veličine 60 pridružen kružni luk duljine l = 6.8 cm? α = 60 l = 6.8 cm r =? rπα l= 180 r = r = 6.8 = r r=.14 r= 6cm Primjer : Izrčunj veličinu središnjeg kut α kojemu u kružnici rdijus r = 18 cm pripd kružni luk duljine l = cm. r = 18 cm l = cm α =? rπα l= = 1.14 α α 18.84= =.14 α α = α = 60 14

144 Primjer: U kružnicu promjer 1cm upisn je trokut ABC kojemu su veličine kutov β=º i γ=10º. Izrčunj duljine kružnih lukov rπα l AB = l AB = 180 l AB = 1.5cm l AB l AC = rπα l = AC 180 l AC = 6.908cm l BC = rπα l = BC 180 l BC = 9.4cm B 04 S C 45 A l AC l BC Kko se može provjeriti točnost izrčuntih duljin kružnih lukov? O=rπ O=1.14cm O=7. 68cm O = l + l AC + l AB BC O = ( )cm O = 7. 68cm 144

145 Površin krug rdijus r s r A P= r r π P = r π Primjer : Izrčunj površinu krug čiji je rdijus r = 8 cm. r = 8 cm P =? P = r π P = 8 π cm P = 64 π cm P = cm P = cm Primjer : Krug im površinu 78.5 cm. Koliki je njegov promjer? P = 78.5 cm r =? P = r π 78.5 = r r =.14 r = 5 r r = 5 r = 5 cm r = 10 cm 145

146 Površin kružnog isječk P i i veličin pridruženog središnjeg kut α proporcionlne su veličine p vrijedi : s r α r l P i : rπ= α : 60 P i 60 = rπ α P i r πα rπα r l r P P 60 i = 180 i = = duljin kružnog luk Primjer : Kolik je površin kružnog isječk krug čiji je rdijus cm veličin središnjeg kut 40? α = 40 r = cm Pi =? P i r πα = 60 P i π 40 = 60 cm P i = 9 1 π Pi = π cm Pi =.14 cm 146

147 Primjer : Izrčunj veličinu središnjeg kut α kružnog isječk kojemu u krugu polumjer r = 9 cm odgovr površin od 14.1 cm. Pi = 14.1 cm r = 9 cm α =? r πα P i = = α α 14.1= = 9.14 α 565.= 8.6α α = α = OPSEG I POVRŠINA KRUŽNOG VIJENCA k k 1 r S r 1 Pv = rπ r1 π Pv = ( r r1 ) π O = rπ + rπ V 1 O = π ( r + r ) V 1 147

148 Primjer: Izrčunj površinu kružnog vijenc ko je r = cm, r = 7cm. 1 Pv = ( r r 1 ) π Pv = ( 7 ) π cm Pv = ( 49 9 ) π cm Pv = 40 π cm Pv = cm Pv = 15.6 cm 148

149 KOORDINATNI SUSTAV René Descrtes On je otkrio koordintni sustv. Otkrio g je dok je io olestn.gledo je muhu n plfonu sstvljenom od kvdrtnih pločic.pokušo je odrediti položj muhe i otkrio je koordintni sustv. René Descrtes roñen je 1. ožujk Stockholm, preminuo 11. veljče 1650, frncuski filozof, fizičr, mtemtičr. 149

150 Koordintni sustv n prvcu Prvc x je rojevni prvc ko n njemu odredimo dvije točke O i E, tko d točki O pridružimo roj 0, točki E roj 1. Dužin OE zove se jediničn dužin. Brojeve pridružene točkm rojevnog prvc nzivmo koordintm. Zto prvc x zovemo koordintn os x. Broj x koji smo pridružili točki T rojevnog prvc nziv se koordint točke T i piše se T (x), čit se T s koordintom iks. Primjer : N koordintnoj osi x odredi točke s koordintm : A (-), B (-4.5), 1 7 C( ), D ( ). 4 4 B A O C D Ureñeni pr (,) čitj ureñeni pr, je prvi čln ureñenog pr je drugi čln ureñenog pr ureñeni provi su jednki ko su prvi i drugi člnovi jednki 4 4 Primjer: ) Npiši sve ureñene prove rojev (x,y) z koje vrijedi x+y = 5, x i y N 0. (0,5) (5,0) (1,4) (4,1) (,) (,) ) Provjeri točnost jednkosti ureñenih prov: 1 (0.5 1, ) = ( :, 1:0.5) = 1 : =1: = - 1 =10:5 1 1 = = 4 150

151 c) Odredi x i y d ureñeni provi udu jednki ( x y + 1, y) = (5, y ) x y + 1= 5 / y = y / x+ = 15 4y=y-(y-) x = 15 4y=y-y+ x = 1 4y-y+y= x = 1 y= x = 6 y=1 Koordintni sustv u rvnini Služi nm z odreñivnje položj točk u rvnini. O(0,0) je ishodište prvokutnog koordintnog sustv. Postoje 4 kvdnt, 1.kvdrnt (+,+),.kvdrnt (-,+),.kvdrnt (-,-), 4 kvdrnt (+,-) T (x,y) Apscis Ordint točke točke Primjer : Ucrtj točke u koordintni sustv A(,), B(-4,1), C(-,-), D(1,-), F(-,0), G(0,). KVADRANT (-,+) KVADRANT (+,+) B(-4,1) F(-,0) G(0,) O(0,0) D(1,-) A(,). KVADRANT (-,-) C(-,-) KVADRANT (+,-)

152 Primjer : Ucrtj točke u prvokutni koordintni sustv. Svki red je jedn riječ odreñene misli. Slov čitj ez indeks i npiši miso. Ć (-,-7), A1 (-1,9), Lj1 (4,7), O (-4,), A (,), Lj (,-), U (5,-), U1(7,7), O1 (,9), K (1,9), I (,7), E (1,-7), S (0,-5), D1 (-8,), D (0,), E1 (5,-5), C (-,7) Š1 (4,), V (-5,-), J (4,-5), T (7,-5), O(0,-), U (-,-5), P (,-5), Š (,-7) Miso je : AKO CILJU DODAŠ VOLJU, USPJET ĆEŠ. 15

153 LINEARNA FUNKCIJA Funkcij je postupk kojim n odreñeni nčin svkom elementu jednog skup pridružujemo jedn i smo jedn element drugog skup. Oznčvmo f : A -> B, čitmo : f je funkcij s A u B. Opći olik linerne funkcije je f(x)=y=x+. i su koeficijenti, x je rgument funkcije (nezvisn vrijl), f(x)=y je vrijednost funkcije (zvisn vrijl). Primjer 1. An je odlučil kupiti novi kompjuter. Z roñendn je doil 1000 kn, osttk će skupiti dnevnom štednjom od po 0kn. ) Npiši formulu ovisnosti novc f(x)=y o dnim štednje x.. ) Koliko će novc An imti nkon 0 dn štednje? c) Kompjuter košt 6000 kn. Koliko će dn trjti Anin štednj? ) f(x) = y = 0x+1000 ) f(x)=0x+1000 f(0)= f(0)= f(0)=1600 Nkon 0 dn štednje An će imti 1600kn. c) f(x)=0x =0x x= x= x = = 50 0 An tre štedjeti 50 dn d i kupil kompjuter. Primjer : Npiši linernu funkciju ko je =, =-, p odredi vrijednost funkcije ko je rgument x=4. f(x)=x+ f(x)=x- f(4)= 4- f(4)=8- f(4)=5 Ako je rgument x=4, vrijednost funkcije je 5. 15

154 Primjer : Zdn je linern funkcij f(x)= x 1. Z koji rgument x zdn linern funkcij poprim vrijednost -? f(x)= x 1 -= x 1 / -6=x- x-=-6 x=-6+ x=- x= f( )=- Vrijednost funkcije f(x)= x 1 je - z rgument x=. Grf linerne funkcije f(x)=x+ je prvc čij je jedndž y=x+. y=x+ je eksplicitni olik jedndže prvc. -koeficijent smjer (ngi prvc) -odsječk prvc n y osi Ako je >0 prvc s pozitivnim smjerom osi x ztvr šiljsti kut i tj je kut veći što je veći. Funkcij f(x)=x+ z >0 je rstuć. Ako je <0 prvc s pozitivnim smjerom osi x ztvr tupi kut i tj je kut veći što je veći. Funkcij f(x)=x+ z <0 je pdjuć. Grfove linernih funkcij možemo crtti : 1. pomoću tlice ureñenih prov (x,y).pomoću (ngi) i (osječk n osi y).pomoću točk u kojim prvc siječe koordintne osi. 154

155 Primjer: Zdni su koeficijenti linerne funkcije = 1,= -1. ) npiši linernu funkciju ) odredi je li funkcij rstuć ili pdjuć c) npiši jedndžu prvc d) ncrtj prvce n sv tri nčin ) f(x) = x+ f(x) = 1 x-1 ) funkcij je rstuć jer je = 1 >0. c) y= 1 x-1 d) tlic x y= 1 x (-,-) y= 1 (-)-1=-1-1=- 0-1 (0,-1) y= 1 0-1=-1 0 (,0) y= 1-1=0 y 6 Y 4 1 (,0) O(0,0) 1 X (0,-1) (-,-) - 1 Y= X

156 Pomoću i =-1, 1( gore) =, ko je <0 ond se ide z nzivnik desno(lijevo), z ( desno) rojnik dole (gore). y 6 Y 4 1 (,0) O(0,0) 1 X5 10 (0,-1) Y= X Pomoću točk u kojim prvc siječe koordintne osi. 1 y = x 1 Siječe os y B(0,) B(0,-1) Siječe os x z y =0 1 O = x 1/ O = x- x= (NUL točk) A(,0) 156

157 Y O(0,0) 1 X5 1 - A(,0) B(0,-1) 1 Y= X Točk pripd prvcu ko koordinte točke zdovoljvvju jedndžu prvc. Primjer : Provjeri rčunski d li točk A(,5) pripd prvcu y=x-1. A(,5) y=x-1 5= -1 5=6-1 5=5 Točk A(,5) pripd prvcu koji je zdn jedndžom y=x-1. Primjer : Odredi u jedndži prvc y=x+ ko mu pripd točk T(-,-1). T(-,-1) y=x+ -1= (-)+ -1=-+ =+1 = =1 Jedndž prvc glsi y =1 x+ y = x+ 157

158 Prlelni prvci imju ngi (koeficijent smjer) jednk. y= 1 x 1 + i y= x+ su prlelni ko je 1 = Primjeri: Ncrtj prvce y=x-1 i y=x+ = 1 = =-1 = y 6 4 x 5 - y=x+ -4 y=x

159 Okomiti prvci imju ngi (koeficijent smjer) suprotn i recipročn. y= 1 x i y= x+ su okomiti ko je = 1 GRAF FUNKCIJE f(x)= x Funkcij koj svkom roju x pridružuje roj x je funkcij kvdrirnj i zpisujemo je f(x)=y= x. Funkciju kvdrirnj možemo grfički predočiti u koordintnoj rvnini tko d z proizvoljno odrne rojeve x odredimo vrijednosti funkcije f(x)= x. Svkom ureñenom pru (x, x ) pridružen je točk u koordintnoj rvnini. Skup svih točk (x,y= x ) je krivulj koj se zove PARABOLA. Grf funkcije kvdrirnj f(x)= x je prol y= x je njen jedndž. 14 x f(x)=y=x (-,9) (-,4) f( x) = x (,4) (,9) (-1,1) 1 (1,1) O(0,0)

160 PITAGORIN POUČAK Pitgor je roñen n grčkom otoku Smosu (dns tj otok pripd Turskoj), ko sin ogtog trgovc s kojim je mnogo putovo. Tko se susreto s mnogim učiteljim i misliocim koji su g poučvli filozofiji i znnosti. N Smosu je osnovo školu pod nzivom polukrug, li stnovnici s Smos nučeni n drugčiji nčin mišljenj nisu ili zdovoljni Pitgorinim poučvnjem. Odlzi u južnu Itliju u grd Krotonu (dnšnji Crotone,n tlijnskome čizme ) gdje osniv mtemtičku školu koj je dl veliki doprinos mtemtici. Dns školu nzivmo Pitgorejskom školom, njegove sljedenike Pitgorejcim. Pitgorejce su znimle osnove mtemtike, pojm roj, trokut i ostlih mtemtičkih likov. Mi pmtimo Pitgoru po Pitgorinu poučku iko je tj poučk io poznt još i strim Biloncim 1000 godin prije nego što se Pitgor rodio. Pitgor nije prvi koji je otkrio Pitgorin poučk već je on prvi koji g je dokzo. Već u dvno do ljudim su z rzne prktične potree il potren mtemtičk znnj. N primjer pri rznim mjerenjim n zemlji ilo je potreno ncrtti prvi kut. Tj prolem imli su stri Egipćni kd su nkon svke poplve Nil morli ponovno oznčvti grnice pojedinih polj koj su uglvnom il prvokutnog olik. Oni su tj prolem riješili domišljto pomoću dost dugog užet n kojemu su vezli 1 čvorov n jednkim rzmcim. Od tog užet su olikovli trokut s strnicm, 4 i 5 osnovnih rzmk (čvorov). Tko su n zemljištu crtli prvi kut. Prvokutni trokut s strnicm, 4, 5 i dns je uoičjeno nzivti egiptski trokut. 160

161 Prvokutn trokut A r c S B C, ktete c hipotenuz O = + + c P = c r= ili c v P= c 1.dokz Pitgorin poučk + = c B = = 5 16 C 4 5 A 5 = 5 Zroj površin kvdrt nd ktetm jednk je površini kvdrt nd hipotenuzom

162 Z svki prvokutn trokut vrijedi d je zroj kvdrt duljin ktet jednk kvdrtu duljine hipotenuze. c = + = c = c. dokz Pitgorin poučk D D1 C C1 A1 c c A B1 B + = c P = P + 4 P ABCD A1 B1C 1 D1 AB1 A1 ( + ) = c = c + Primjer: Izrčunj duljinu hipotenuze prvokutnog trokut ko su zdne duljine ktet: = 9cm = 1cm c =? c = + c = c c c= = = 5/ 5 c= 15cm 16

163 Primjer: Izrčunj duljinu nepoznte ktete ABC s prvim kutom pri vrhu C ko je: ) = 15mm ) = 1dm c = 9mm c = 1.45 dm =? =? = c = c = 9 15 = = = = 196 = = 196 = = 6mm = 1. 05dm Ort Pitgorin poučk Ako z duljine strnic,,c nekog trokut vrijedi jednkost + = c, ond je tj trokut prvokutn. Primjer: Zdne su duljine hipotenuze i jedne ktete prvokutnog trokut duljin druge ktete 1 cm. c = cm c> > = cm =? = c = = ( ) = 4 = 1 1 = 1cm cm i cm.. Provjeri je li D, duljin druge ktete je 1 cm. 4. Je li trokut s zdnim duljinm strnic prvokutn? = 5cm = 7cm c = 11cm Ne,ovj trokut nije prvokutn jer mu zroj kvdrt duljin ktet nije jednk kvdrtu duljine hipotenuze. + = c

164 Primjen Pitgorin poučk n kvdrt O = 4 P = P = d D C d A B d = + = d d = d = d = d = Primjer : Izrčunj duljinu dijgonle kvdrt kojemu su duljine strnice: ) = 4cm ) = 4 d =? d =? d = d = d = 4 cm d = 4 d = 4( ) d = 4 d = 8cm 164

165 Primjer : Izrčunj opseg i površinu kvdrt ko mu je duljin dijgonle: d = 0mm )O,P =? d = 0= 0 = 0 = ( ) = 0 = 10 mm O = 4 O = 4 10 O = 40 mm P= P= (10 ) mm P= 10 ( ) mm P= 100 mm P= 00mm Primjer : Izrčunj duljinu dijgonle i površinu kvdrt ko je opseg: O = 4cm d = P= d,p =? d = 6 cm P= 6 cm O = 4 4 = 4 = 4 4 cm = 6cm P= 6cm Primjer : Izrčunj duljinu dijgonle i opseg kvdrt ko je površin kvdrt: )P = 9cm d,o =? d = O = 4 P = d = cm O = 4 cm 9 = O = 1cm = 9 cm = cm 165

166 Primjen Pitgorin poučk n prvokutnik P = D A d C B O = (+) d = + = d = d Primjer : Izrčunj duljinu dijgonle prvokutnik ko su mu duljine strnic: ) = 9cm ) =.5cm = 1cm = 1.cm d =? d =? d = d = + d = d = d = 5 d = d = 5 d = 1.69 d = 15cm d = 1.69 d =.7cm Primjer : Izrčunj duljinu nepoznte strnice prvokutnik ko je zdn duljin jedne strnice i dijgonle: ) = 11cm ) = 6mm d = 61cm d = 45mm =? =? = d = d = = 45 6 = = = 600 = 79 = 600 = 79 = 60cm = 7mm 166

167 Primjer: Izrčunj opseg i površinu prvokutnik ko su zdne strnic i dijgonl d: = 18 mm d = 8 mm O,P =? O = (+) P= = d O = (18+80)mm P= mm = 8 18 O = 98 mm P= 1440mm = O = 196mm = 6400 = 6400 = 80mm Primjer : Izrčunj duljinu dijgonle prvokutnik ko su zdni opseg i duljin jedne strnice prvokutnik: = mm O = 178mm d =? O = + d = = + d = = 66 + d = = d = 45 = 11 mm d = = mm d = 65mm = 56mm 167

168 Primjen Pitgorin poučk n jednkokrčn trokut A v O= + B v P= ili C v P= Primjen Pitgorinog poučk n jednkokrčn trokut: = v + ( ) v = ( ) ( ) = v Primjer: Izrčunj opseg jednkokrčnog trokut čij osnovic im 4dm, visin n tu osnovicu iznosi 8dm. = 4dm v = 8dm O =? O = + = v + ( ) O = ( 4+ 5) dm 4 = 8 + ( ) O = ( 4+ 70) dm = O = 11dm = = 15/ = 15 = 5 dm 168

169 Primjer: Izrčunj površinu jednkokrčnog trokut kojem je duljin osnovice 54mm, duljin krk 47mm. = 54mm = 47mm P =? v = ( ) 54 v = 47 ( ) v = 09 7 v = v = 1480 v = 1480 v = 4 70 v = 70 mm v P= P= mm P= mm P= 54 70mm Zdtk. Duljin osnovice jednkokrčnog trokut je 40cm, opseg trokut iznosi 98cm. Kolik je površin tog trokut? = 40cm O = 98cm P =? O=+ 98 = =98 =98-40 =58 58 = cm = 9cm v = ( ) 40 v = 9 ( ) v = v = v = 441 v = 1cm v P= 40 1 P= cm P= 0 1cm P= 40cm 169

170 O = Primjen Pitgorin poučk n jednkostrničn trokut A v B C Primjenom Pitgorin poučk vrijedi: v = ( ) v = 4 4 v = 4 v = / 4 v= 1 P= v 1 P= P= 4 170

171 Primjer: Duljin strnice jednkostrničnog trokut jest 6cm. Izrčunj duljinu visine tog trokut. = 6cm v =? v= Visin tog trokut je cm. 6 v= v= cm Primjer: Izrčunj površinu jednkostrničnog trokut čij visin im duljinu 6cm. v = 6cm P=? P= 4 (4 ) v= P= cm 4 6= 16 / P= cm 4 1= P= 1 cm = 1 1 = ( ) 1 = = 4 cm Primjer: Izrčunj površinu prvilnog šesterokut s strnicom duljine 5cm. = 5cm P =? P = 6 P 6 P6 = 6 4 P 6 = 5 P6 = cm 75 P= cm P = 7.5 cm 6 171

172 Primjen Pitgorin poučk n rom Svojstv rom: - dijgonle rom su okomite - dijgonle rom se rspolvljju - dijgonle rom dijele rom n četiri sukldn prvokutn trokut e f P= ili P= v O=4 f e e f = ( ) + ( ) e f ( ) = ( ) f e ( ) = ( ) Primjer : Duljine dijgonl rom su 18cm i 4cm. Izrčunj opseg i površinu rom. e = 18cm f = 4cm O,P =? O= 4 e f = ( ) + ( ) O= 60cm = 9 +1 = = 5 = ( ) ( ) O= 4 15cm = 5 = 15cm e f P= 18 4 P= cm P= 16cm 17

173 Primjen Pitgorin poučk n jednkokrčn trpez D c C v A -c B ( + c) v P= O = + + c Primjenom Pitgorin poučk n trpez vrijedi: c ( ) = v c = ( ) + v v c = ( ) Primjer : Duljin je krće osnovice jednkokrčnog trpez 11cm, duljin krk 5cm, duljin visine 4cm. Kolik je površin i opseg trpez? c = 11cm = 5cm v = 4cm P,O =? c ( ) = v 11 ( ) = ( ) = 49 / 11 = = 7 / 11= 14 = 5cm ( + c) v P= O = + +c ( 5+ 11) 4 P= cm O = ( )cm 6 4 P= cm O = ( )cm P= 4cm O = 86cm 17

174 GEOMETRIJSKA TIJELA PRIZME I PIRAMIDE - UGLATA GEOMETRIJSKA TIJELA VALJAK,STOŽAC,KUGLA - OBLA GEOMETRIJSKA TIJELA P R I Z M E Prizme su geometrijsk tijel omeñen s dv sukldn i usporedn mnogokut (n-terokut) i n prlelogrm. Likovi koji omeñuju prizmu su njene strne. Sukldni i usporedni mnogokuti su ze, osnovke prizme. Prlelogrmi koji omeñuju prizmu su poočke (poočne strne ) prizme. Sve strnice z i poočki su ridovi prizme. Osnovni ridovi su ridovi ze (osnovke) poočni ridovi su ridovi u kojim se dodiruju po dvije poočne strne. Vrhovi prizme su točke u kojim se dodiruju ridovi prizme. BAZA(OSNOVKA) VRH POBOČNI BRID POBOČKA BAZA(OSNOVKA) OSNOVNI BRID 174

175 P R I Z M E PRAVILNE (z prviln mnogokut) NEPRAVILNE ( z mnogokut) P R I Z M E USPRAVNE (poočni ridovi okomiti n rvninu ze) KOSE (poočni ridovi kosi prem rvnini ze) Oplošje (površin) geometrijskog tijel je zroj površin svih strn koje to tijelo omeñuju. Površinu ze oznčvmo B, površinu poočj P. Oplošje prizme je O=B+P Oujm (volumen) prizme kojoj je B površin ze i h duljin V=B h 175

176 KVADAR Je usprvn prizm kojoj su ze i poočne strne prvokutnici. Nsuprotne strne kvdr meñusono su prlelni i sukldni prvokutnici. c D c, - ridovi ze c - visin d - dijgonl ze D - prostorn dijgonl d = + D = d + c D = + + c d MREŽA c c c c c O=(+c+c) O=+c+c V= c V=B h 176

177 Primjer: Koliko mlijek stne u krtonsku mlžu olik kvdr čije dno im dimenzije 9cm i 6cm, visin je 19.5 cm.koliko je krton potreno z izrdu te mlže? =9cm V=c 1 dm =1 l =6cm V= cm c=19.5cm V=105 cm V=? V=1.05 dm V=1.05 l O=(+c+c) O=( ) cm O=( ) cm O= 46.5 cm O=69 cm Odgovor : U nvedenu krtonsku mlžu stne 1.05 litre mlijek. Z izrdu nvedene krtonske mlže potreno je 69 cm krton KOCKA Kock je kvdr kojemu su svi ridovi jednke duljine. Kock je omeñen s šest sukldnih kvdrt. D - rid d- plošn dijgonl (dijgonl kvdrt) D- prostorn dijgonl d 177

178 MREŽA OPLOŠJE KOCKE O=6 PLOŠNA DIJAGONALA KOCKE OBUJAM KOCKE V= d= PROSTORNA DIJAGONALA KOCKE D =d + ( ) D = + D = + D = D= D= 178

179 POVRŠINA DIJAGONALNOG PRESJEK d d P dp= d P = P = dp dp Primjer: Koliko se krtonskih kutij olik kocke rid m može nprviti od 1000 m krton, ko se zn d prilikom izrde propdne 16% krton? Može li se u tu kutiju smjestiti metln šipk duljine.7m? Koliki je oujm te kutije? =m O= m - 16% 1000 m = D= P=1000 m O= 6 m =1000 m m = D= m p=16% O= 6 4m =1000 m m = D= 1.7m l=.7m O= 4m =840 m D=.46m n=?(roj kutij) D=? 840m n= 4m V= V=? n=5 kutij s poklopcem V= m V=8 m O: Može se nprviti 5 kutij s poklopcem. Štp duljine.7m ne može stti u tu kutiju ni po duljini, ni po širini, ni visini, ni po dijgonli jer su sve mjere mnje od.7m. Oujm kutije je 8 m. 179

180 PRAVILNA USPRAVNA ČETVEROSTRANA PRIZMA B h P P 4 h P P 1 h h B osnovni rid h visin prizme B površin ze P = P = P = P P površin poočj 1 4 P= P+ P + P + P 1 4 MREŽA h h h h h 180

181 B= P= 4h O= B+ P V = B h O= + 4h O= ( + h) V = h PROSTORNA DIJAGONALA (D) h D h d D = d + h D = ( ) + h D = + h D= + h POVRŠINA DIJAGONALNOG PRESJEKA h h P d h dp = Pdp= h Pdp= h d 181

182 Primjer : Površin ze prvilne četverostrne prizme je 144 cm, duljin visine je 15cm. Izrčunj oplošje, oujm, duljinu prostorne dijgonle i površinu dijgonlnog presjek. B=144 cm h=15cm O,V,D, P dp =? = = + = B O B P V B h = 144 O= B+ 4h V = cm = 144 cm O= ( ) cm V = 160cm = 1 cm O= (88+ 70) cm O= 1008cm D = d + h Pdp = d h D = ( ) + h P = 1 15cm dp D = (1 ) + 15 P = 180 cm dp D = P = cm D dp = 51 P = 5.8cm D= 51cm D=.65cm dp 18

183 PRAVILNA USPRAVNA TROSTRANA PRIZMA h P h B MREŽA h h h h B= P= h 4 O= B+ P V = B h 1 O= + h V = h 4 4 O= + h 18

184 Primjer: Izrčunj oplošje i oujm prvilne trostrne prizme ko je površin ze 6.8 cm i duljin visine 15 cm. B=6.8 cm h=15cm O,V=? B= 4 O= B+ P V = B h = / 4 4 O= B+ h V = cm 49.1= 1.7 O= ( ) cm V = 94.cm 49.1 = 1.7 O= ( ) cm = 144 O= cm = 144 cm = 1cm PRAVILNA USPRAVNA ŠESTEROSTRANA PRIZMA h h h 184

185 MREŽA S h h h h h h h S Bz je prviln šesterokut - A 5 A 4 6 = r A 6 r = 6 r = 6 A 6 = 6 P P = 6 4 A 1 6 A 185

186 B= P= 6h O = B + P V = B h 1 O= + O= + 6h 1 6h V = h V = h POVRŠINA VEĆEG I MANJEG PRESJEKA h d= P = h (površin dijgonlnog presjek veći presjek) VP 186

187 v v h h v v v= 1 1 P MP = vh v= P = h P MP MP = h (Površin mnjeg presjek) Primjer: Oplošje prvilne šesterostrne prizme je1419 cm, duljin osnovnog rid =10cm. Izrčunj njezin oujm. O=1419 cm =10cm V=? O= B+ P V = B h O= + 6h V = h = h V = 15cm = h V = 15cm = h V = 15cm 60h= V = cm 60h= 900 V = 50 cm h= 15cm V = 89.5cm 187

188 PRAVILNE (z prviln mnogokut) PIRAMIDE NEPRAVILNE ( z mnogokut) PIRAMIDE USPRAVNE (visin okomit n rvninu ze) KOSE (visin kos prem rvnini ze) v vrh pirmide očni rid h visin pirmide v =v visin poočke, v ' osnovni rid 188

189 PRAVILNA USPRAVNA ČETVEROSTRANA PIRAMIDA V h P V V B MREŽA v v v v Oplošje pirmide jest površin koj se doije zrjnjem površine ze B i površine poočj P. 189

190 B = P = 4 P = v v O = oplošje V = volumen O = B+P O = + v V = B h V h 1 = ili V= h POVRŠINA DIJAGONALNOG PRESJEKA h d= Pdp = h 190

191 Krkteristični prvokutni trokuti h v v h d = h v v h d = v = h + = v + = h + h = v v = h = = v h = v = h 191

192 Primjer: Izrčunj oplošje i oujm prvi ln e usprvne četverostrne pirmide ko je B= cm i h= cm B= 196cm = 4 = = + h cm B v h 14 =? 196= = 4 + O v? V = = cm v = + = cm v = v= 65 cm v= 5cm O=B+P V= 1 B h O=B+v V= cm O=( ) cm V=1568 cm O=896 cm 19

193 PRAVILNA TROSTRANA PIRAMIDA V P h v B V MREŽA v v v 1 B= O= B+ P V = Bih 4 v v P= O= + V = ih

194 Krkteristični prvokutni trokuti h v V ' 6 h h v v 6 = h + v = h + = v + 6 h = h = v v = 6 = h = v h = v 6 194

195 PRIMJER: Izrčunj oplošje i oujm prvilne trostrne pirmide ko je duljin visine 1cm i duljin visine očne strne je 15cm. h=1cm v=15cm O,V=? ( ) 6 = v h O= B+ P v ( ) = 15 1 O= (18 ) ( ) = 81 O= ( + ) cm 6 4 = 9 O= ( ) cm 6 = 54 O= 648 cm 54 1 = V = B h 54 1 = V = ( 4 1) cm = 18 cm V = 97 cm 195

196 PRAVILNA ŠESTEROSTRANA PIRAMIDA V h P v V B v MREŽA v v v v v v 196

197 OPLOŠJE I OBUJAM B= 6 P P= 6 v 1 B= 6 4 P= v B= 1 O= B+ P V = B h O= + v V = h V= h V= h 197

198 KARAKTERISTIČNI PRAVOKUTNI TROKUTI V v v h V ' v h v h 198

199 POVRŠINA VEĆEG OSNOG PRESJEKA V v h v v = V ' v = P vp = 1 h P = h vp 1 POVRŠINA MANJEG OSNOG PRESJEKA V h V ' P MP = PMP 1 h = h 1 199

200 Primjer: Izrčunj oplošje i oujm prvilne šesterostrne pirmide ko je duljin visine očne plohe v=0cm i duljin visine pirmide h=16cm. v=0cm h=16cm O=? V=? 00

201 OBLA GEOMETRIJSKA TIJELA VALJAK STOŽAC KUGLA VALJAK Vljk je geometrijsko tijelo koje nstje rotcijom prvokutnik oko jedne njegove strnice. Omeñen je dvjem osnovkm(zm), koje su krugovi i plštom koji je zkrivljen ploh. Plšt rzvijen u rvnini je prvokutnik s strnicm h i rπ. h h - visin vljk r- polumjer ze vljk MREŽA VALJKA B r Pl O B = rπ h r B B površin ze O=B+Pl V = B h B= r π O= r π + rπ h V = r π h Pl površin plšt O= rπ ( r+ h) Pl= rπ h 01

202 POVRŠINA I OPSEG OSNOG PRESJEKA VALJKA h P op = r h O = 4r+ h op r Primjer: Izrčunj oplošje, oujm i površinu osnog presjek vljk ko je površin plšt 18π cm i rdijus cm. Pl= 18π cm r= cm O=? V=?? OP Pl= rπ h 18π = π h 18π h= 6π h= cm O= rπ ( r+ h) P = O= π (+ ) cm V = B h V = r π h V = π cm V = 7π cm O= 6π cm P P P OP OP OP = rh = cm = 18cm 0

203 STOŽAC Stožc je geometrijsko tijelo omeñeno jednim krugom i jednom olom plohom. Krug kod stošc nzivmo zom, olu plohu plštom. Vrh V je vrh stošc. Dužine koje spjju vrh stošc s točkm kružnice nzivmo izvodnicm.visin stošc je dužin povučen iz vrh okomito n rvninu ze stošc.. s izvodnic stošc r polumjer ze h visin stošc s h r MREŽA s s Pl l=o B =rπ r B S 0

204 B= r π O=B+Pl = r + rπ s s l Pl= O= rπ ( r+ s) s rπ 1 Pl= V = B h 1 Pl= rπ s V = r π h O π POVRŠINA OSNOG PRESJEKA P op rh = s h s P op = rh r KARAKTERISTIČAN PRAVOKUTAN TROKUT h s r h = s r r = s h s = h + r 04

205 Primjer: Izrčunj oplošje i oujm stošc čij je površin ze 16 π cm je 5cm., duljin izvodnice B= 16π cm s= 5cm O, V =? 1 B= r π h = s r O= B+ Pl V = B h 1 16π = r π h = 5 4 O= 16π + rπ s V = 16π cm r = 16 r= cm h = 4 9 h = 5 16 O= (16π + 4π 5) cm V = 16π cm h= cm O= 6π cm KUGLA Kugl je skup točk prostor čij je udljenost od zdne točke mnj ili jednk zdnom pozitivnom relnom roju. Skup točk prostor čij je udljenost od jedne zdne točke S jednk zdnom relnom roju čini kuglinu plohu ili sferu.točk S je središte sfere ili središte kugle. Dužinu koj spj središte sfere s ilo kojom točkom sfere nzivmo polumjerom ili rdijusom sfere odnosno polumjerom ili rdijusom kugle. S r Oplošje i oujm kugle polumjer r izrčunmo po formulm: 4 O= 4r π V = r π 05

206 Primjer: Oplošje kugle je 14cm. Izrčunj joj oujm. O= 14cm V=? 4 O= 4r π V = r π 4 5 π 14= 4r.14 V = cm 500π 14= 1.56 r V = cm r = V = cm 1.56 r = 5 V = 5.cm r= 5 r = 5cm Uči, uči, ne dj d te mtemtik muči, Jer mtemtik je super i cool, Svi je znmo ful. Mučni mlo glvom ti I z tren ćeš je nučiti. Brojevi, šreni mtemtički znkovi, Uvijek nm pomžu novo grdivo Što olje shvtiti. Stog se opustite i s mnom krenite vi, Vjerujem d će vm se svidjeti svim, Bš ko što se meni sviñ ov rim: Cijeli svijet zn d mtemtiku volim j! An Mrij Hjdrović, 5.A 011./01. 06