Microsoft Word - 24ms221

Транскрипт

1 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B C Rješenje Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Središte kružnice koja dira os može biti iznad ili ispod osi. Ako je iznad, tada je polumjer r upravo jednak q. r = q. q S( p, q) r O Budući da kružnica dira os apscisa u točki (3, 0), apscisa središta S je p = 3. Možemo napisati jednadžbu kružnice. 3 + r = r. p Kružnica prolazi točkom (0, 0). Uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu kružnice. (, ) = ( 0, 0) ( 0 3) ( 0 r) ( 3) + ( r) = r ( ) + = r r + r = r r + r = r 09 0 r + r = r Vježba Rezultat: Odmor! 09 = 0 r 0 r = 09 0 r = 09 /: 0 r = Zadatak (Katarina, maturantica) Parabola je zadana jednadžbom =. Kolika je udaljenost fokusa te parabole od pravca = + 5? Rješenje n m n + m a c a c a = a, a a = a, = b d b d, ( a ) = a. Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i

2 jedinice a a n =, n 0, n. b b n Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu = p. Žarište (fokus) ima koordinate: p F, 0. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Udaljenost točke od pravca Udaljenost d točke T( 0, 0) i pravca p... A + B + C = 0 dana je formulom d = Odredimo koordinate žarišta (fokusa) parabole. A + B + C. A + B = p p p = p = /: p = 6 F, 0 = p 6 6 F, 0 F, 0 F, 0 F Jednadžbu zadanog pravca preoblikujemo u implicitni oblik. ( ) ( ) 3, 0. = = = 0 / + 5 = 0. Računamo udaljenost žarišta F od pravca. (, ) = ( 3, 0) F F A + B + C 3 + ( ) = 0 d = d = A =, B =, C = 5 A + B + ( )

3 d = d = d = d = d = d = Vježba Rezultat: Odmor! Zadatak 3 (Luka, gimnazija) ( 5) Površina četverokuta kome su dva vrha u žarištima elipse = 36, a druga dva u tjemenima te elipse iznosi: Rješenje 3 A. 3 3 B. 0 C Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Linearni ekscentricitet elipse: e = a b e = a b. Žarišta elipse imaju koordinate: ( ), (, ) F e, 0 F e 0. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri stranice. Plošna dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta. Četverokutu s okomitim dijagonalama d i d površinu računamo po formuli: d d P =. b F A F e b e B C Sa slike vidi se: 3

4 F F = e, C = b Odredimo duljinu velike i male poluosi elipse = = 36 /: 36 + = a = 9 a = 9 / a = 9 + = + = b = 4 b = 4 / b = 4 Računamo linearni ekscentricitet e. Površina četverokuta F CF iznosi: Odgovor je pod. Vježba 3 Rezultat: Odmor! a = 3. b = e = a b e = 3 e = 9 4 e = 5. F F C e b e b P = P = P = P = b e P = 5 P = 4 5. Zadatak 4 (Miroslav, gimnazija) uljina one tetive kružnice = 0, kojoj je polovište u točki P(0, 3), iznosi: Rješenje 4 A. 4 5 B. 5 5 C ( ), a = a a b = a b. a + a b + b = a + b, a a b + b = a b. Tetiva kružnice je dužina koja spaja dvije točke na kružnici. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Opća jednadžba kružnice: + p q + c = 0, r = p + q c. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. 4

5 A P r B S 0 Sa slike vidi se: SA = SB = r, AP = PB = AB Preoblikujemo jednadžbu kružnice u središnju jednadžbu = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 5 (, ) = (, ) S p q S = = 5. r = 5 Računamo udaljenost SP. S (, ) = S (, ) (, ) = ( 0, 3) P P SP = ( ) + ( ) SP = SP = SP = + ( ( )) ( ) SP = 4 + SP = 5. Uočimo pravokutan trokut ASP i uporabom Pitagorina poučka izračunamo AP. AS = r = 5 AP = AS SP AP = 5 ( 5) AP = 5 5 SP = 5 AP = 0 AP = 0 / AP = 0 AP = 4 5 AP = 4 5 uljina tetive AB iznosi: AP = 5. AB = AP AB = 5 AB = 4 5.

6 Odgovor je pod A. Vježba 4 Rezultat: Odmor! Zadatak 5 (Željka, ekonomska škola) Zrcaljenjem kružnice + = s obzirom na pravac + = dobivena je krivulja čija je jednadžba: A = 0 B. + = C =. + = 4 E. + = + Rješenje 5 n ( ) ( ) a b = a a b + b, n =, a = a. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Ako je S(0, 0) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: + = r. Ako su (m, 0) i (0, n) koordinate presjeka pravca s koordinatnim osima, onda pravac ima jednadžbu + =. m n Nju nazivamo segmentni oblik jednadžbe pravca. Iz jednadžbe zadane kružnice dobije se: (, ) = ( 0, 0 ) (, ) = ( 0, 0) S p q S S p q S + =. r r = = Napišimo jednadžbu pravca u segmentnom obliku. + = + =. Gledaj sliku! S (, ) S Točka S simetrična je točki S s obzirom na pravac + =. Nova kružnica ima središte u točki S i 6

7 jednaki polumjer kao i zadana. ( ) = ( ) S p, q S, ( p) + ( q) = r ( ) + = r = r = = = Odgovor je pod E. + = 0 + = +. Vježba 5 Zrcaljenjem kružnice + = s obzirom na pravac + = dobivena je krivulja čija je jednadžba: A = 0 B = 4 C = 0. + = 8 E. + = Rezultat: C. Zadatak 6 (Vedran, gimnazija) Parabola, simetrična paraboli = + 3 s obzirom na pravac =, ima jednadžbu: A. = B. = C. = = E. = Rješenje 6 a a b + b = a b, a + b = a + a b + b. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Jednadžba parabole = a + b + c može se napisati u obliku ( ), = a + a je vodeći koeficijent tako da joj je tjeme u točki T( 0, 0). Načinimo postupak svođenja na potpuni kvadrat: = + 3 = + + = + + = ( ) + = ( ) + T (, ) = T (, ) tjeme p arab ol e. 7

8 = - T'(- 4, ) T(, ) Tjeme parabole simetrične u odnosu na pravac = je točka T ( ) = T ( ) ' ', 4,. Parabole su simetrične s obzirom na pravac = i imaju jednaki vodeći koeficijent, Jednadžba tražene parabole glasi: ( ) T ' (, ) = T ' (, ) ( ( 4) ) a =. = + 4 = + = = = = Odgovor je pod B. Vježba 6 Rezultat: Odmor! Zadatak 7 (Luka, maturant) Napiši jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(0, 4) i B(, ), a središte joj leži na osi apscisa. Rješenje 7 a b = a + b, a + b = a + a b + b. ( ) Ako točka T leži na osi (os apscisa) ima koordinate T(, 0). Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Središte kružnice leži na osi apscisa pa ima koordinate S ( p, 0 ). Koordinate točaka A, B i S uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice: A, = A 0, 4 ( p) + ( q) = r ( 0 p) + ( 4 0) = r S ( p, q) = S ( p, 0) ( p) 4 r p 6 r + = + = 8

9 B = B, ( p) + ( q) = r ( p) + ( 0) = r S ( p, q) = S ( p, 0) ( + p) + ( ) = r p + p + 4 = r p + 4 p + 8 = r. Iz sustava dobije se: p + 6 = r metoda p 6 p 4 p 8 + = + + p + 4 p + 8 = r komparacije p + 6 = p + 4 p = 4 p p + 8 = 6 4 p = p = 8 Računamo r. p = p + 6 = r Jednadžba kružnice glasi: Vježba 7 Rezultat: ( ) = ( ) 4 p = 8 /: 4 p =. + 6 = r = r 0 = r r = 0. S p, q S, 0 ( p) + ( q) = r ( ) + ( 0) = 0 r = 0 Odmor! Zadatak 8 (Mario, gimnazija) Napiši jednadžbu tangente parabole 3 4 = 0. Rješenje 8 ( ) + = 0. = koja je usporedna (paralelna) s pravcem Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu = p, pri čemu je p parametar parabole. Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. va pravca zadana svojim jednadžbama u eksplicitnom obliku = k + l = k + l usporedna (paralelna) su onda i samo onda ako vrijedi 9

10 Uvjet dodira pravca i parabole Pravac dira parabolu onda i samo onda kad vrijedi Odredimo parametar p parabole. = p = k = k. = k + l = p p = k l. p = p = /: p = 6. Jednadžbu zadanog pravca napisat ćemo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili njegov koeficijent smjera. ( ) 3 4 = 0 = = / = 3 4 k = 3. Koeficijent smjera tangenta, također, je jednak k = 3 zbog usporednosti pravca i tangente. Iz uvjeta dodira pravca i parabole izračunat ćemo odsječak tangente na osi ordinata. p = 6 p = k l 6= 3 l 6= 6 l 6 l = 6 6 l = 6 /: 6 l =. k = 3 Jednadžba tangente glasi: k = 3 = k + l = 3 +. l = Vježba 8 Napiši jednadžbu tangente parabole = 0. Rezultat: = 3 +. = koja je usporedna (paralelna) s pravcem Zadatak 9 (Miro, gimnazija) Rješenje 9 Odredi duljinu zajedničke tetive kružnica + = 5 i = 0. 0

11 a = b c = d ( ) a c = b d, a b = a a b + b, a b = a b. Tetiva kružnice je dužina koja spaja dvije točke na kružnici. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r Udaljenost točaka A( ) B( ), i, : Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.. AB = ( ) + ( ). a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. A B Nađemo sjecište kružnica tako da riješimo sustav jednadžba: + = 5 oduzmemo ( ) = = 0 jednadžbe = = = = = = 0 /: 8 Ponovno riješimo sljedeći sustav: + = 0. + = 0 metoda = ( ) 5 zamjen + = + = 5 e + = = = 0 4 = 0 = 0 4 = 0 /: = 0 a =, b =, c = a =, b =, c = ( ) ± ( ) 4 ( ) ± + 8 b ± b 4 a c, =, =, = a

12 = 9 3 = = ± ± =, =, =. 3 = = = = Računamo i. = + = 0 = + = + = 0 Prvo sjecište kružnica je točka A: = + = 0 rugo sjecište kružnica je točka B: uljina tetive AB iznosi: A B ( ) = A( ) A,,. + = 0 = + =. (, ) = A(, ) (, ) = B(, ) ( ) = B( ) B,,. AB = ( ) + ( ) AB = + AB = AB = ( ) ( ( )) ( ) AB = AB = 8 AB = 9 AB = 9 AB = 3. Vježba 9 Odredi duljinu zajedničke tetive kružnica + 5 = 0 i = 3. Rezultat: 3. Zadatak 30 (Miro, gimnazija) Rješenje 30 Odredi kut pod kojim se sijeku kružnica ( ) ( ) ( ) = 5 i pravac 3 5 = 0. n b a b a c a d b c a + b = a + a b + b, n =, a =, =. c c b d b d a c a d + b c n n n + =, ( a b) = a b. b d b d Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r Jednadžba tangente kružnice Jednadžba pravca oblika. p + q = r s diralištem ( 0, 0) glasi: ( p) ( p) + ( q) ( q) = r. = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se

13 koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Kut između dva pravca Kut φ između dva pravca koji su određeni jednadžbama = k + l i = k + l računa se po formuli tg ϕ = k k + k k Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b. t p ϕ k Imaju li pravac i kružnica barem jednu realnu točku zajedničku, tada se definira kut između njih kao kut između tangente t na kružnicu k i pravca p u zajedničkoj točki. Prvo odredimo sjecište pravca i kružnice tako da riješimo sustav jednadžba: 3 5 = 0 metoda = = = 5 ( ) ( ) zamjene ( ) ( ) = = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = 0 /: = 0 a =, b = 3, c = a =, b = 3, c = 3 ± ± 9 8 b ± b 4 a c, =, =, = a 3

14 = = = ± ± =, =, =. 3 + = = = = Računamo i. = 3 ( ) 5 = = 0 = = 3 5 = 0 Prvo sjecište pravca i kružnice je točka : = 3 5 = 0 ( ) rugo sjecište pravca i kružnice je točka : ( ) = ( ),,. 3 5 = = 0 = =. ( ) = ( ),,. Tražena mjera kuta jednaka je u oba dirališta pa možemo odabrati bilo koju od točaka i. Na primjer, jednadžba tangente u sjecištu je: ( ) + ( + 3) = 5 p =, q = 3, r = 5 ( p) ( p) + ( q) ( q) = r (, ) = (, ) = = = 5 = = = k = koeficijent smjera tangente. Jednadžbu zadanog pravca napisat ćemo u eksplicitnom obliku kako bismo očitali njegov koeficijent smjera. 3 5 = 0 3 = = + 5 /: 3 4 ( ) 5 = 3 k = koeficijent smjera pravca Sada možemo odrediti kut između pravca i tangente: k = k k tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = + k k k = Vježba tg ϕ = 3 tg ϕ = 3 tg ϕ = 3 tg ϕ = tg ϕ = π ϕ = tg ( ) ϕ = 45 ϕ =. 4 Odredi kut pod kojim se sijeku kružnica ( ) ( ) Rezultat: 45º = 5 i pravac = 0.

15 Zadatak 3 (Željko, srednja škola) Napiši jednadžbu hiperbole b a = a b ako je jednadžba njezine asimptote 3 = 0, a jednadžba tangente = 0. Rješenje 3 n n a a n n n n, ( a b) a b. b = b = Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Pravci koji sadrže dijagonale središnjeg pravokutnika s dimenzijama a i b zovu se asimptote i njihove jednadžbe glase: b b =, =. a a Uvjet dodira pravca i hiperbole Pravac = k + l dodiruje hiperbolu = ako i samo ako vrijedi a b a k b = l. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Opća jednadžba ravnine glasi A + B + C z + = 0, gdje su A, B, C i koeficijenti, realni brojevi. Iz jednadžbe asimptote hiperbole dobije se: b 3 = a 3 = 0 = 3 = 3 /: ( ) = 3 = b 3 b 3 3 = =. / a b = a a a Jednadžbu tangente napišemo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili njezin koeficijent smjera k i odsječak na osi l = 0 8 = = 5 8 /: ( 8) =

16 5 k = = + = l = 4 Budući da tangenta mora zadovoljavati uvjet dodira pravca i hiperbole, slijedi: 5 9, k = l = a k b = l a a = b = a a a = a a = a a = / a 44 a = 34 8 a = 34 8 a = 34 /: 8 a = 4 a = 4 / a = 4 a =. Računamo b. a = b = b = 3. b = b = a Jednadžba hiperbole glasi: b = 3 b a = a b 3 = 3 a = 9 4 = = 36. Vježba 3 Napiši jednadžbu hiperbole b a = a b ako je jednadžba njezine asimptote 3 + = 0, a jednadžba tangente = 0. Rezultat: 9 4 = 36. Zadatak 3 (Ivana, gimnazija) Napiši jednadžbu elipse + = kojoj su tangente pravci = 0 i a b = 0. Rješenje 3 Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu + = ( segmentni oblik, kanonski oblik ). a b Jednadžba pravca oblika = k + l 6

17 naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Opća jednadžba ravnine glasi A + B + C z + = 0, gdje su A, B, C i koeficijenti, realni brojevi. Pravac = k + l dodiruje elipsu + = ako i samo ako vrijedi a b a k + b = l. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Jednadžbe zadanih pravaca (tangenata) preoblikujemo u eksplicitni oblik kako bismo odredili koeficijent smjera k i odsječak na osi l = 0 0 = = /: 0 9 k = 0 = + = + = l = = 0 5 = = /: k 5 = = + = + = l = 5 Budući da tangente moraju ispunjavati uvjet dodira pravca i elipse, slijedi: k =, l = a + b = 0 4 a k + b = l k =, l = 5 a k + b = l 4 5 a + b = a + b = / ( 400) a + b = metoda suprotnih koeficijenata 6 a + b = 5 a + b = 5 / a 400 b = a a 4375 /: 75 = = 56 a b = a = 5. Računamo b. a = b = + b = + b = a + b =

18 Jednadžba elipse glasi: Vježba 3 Napiši jednadžbu elipse = 0. Rezultat: + =. 5 9 Zadatak 33 (Ivana, gimnazija) b = 5 6 b = 9. 5 a = + = + =. a b b = = kojoj su tangente pravci = 0 i a b Odredi realni parametar m tako da pravac 3 + m = 0 bude tangenta elipse 6 + = 6. Rješenje 33 Parametar Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 00. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu 3 b + a = a b, + = ( segmentni oblik, kanonski oblik ). a b Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Opća jednadžba ravnine glasi A + B + C z + = 0, gdje su A, B, C i koeficijenti, realni brojevi. Pravac = k + l dodiruje elipsu + = ako i samo ako vrijedi a b a k + b = l. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Preoblikujemo jednadžbu elipse. 8

19 = = 6 /: 6 + = = a = =. b = 6 Jednadžbu pravca transformiramo u eksplicitni oblik kako bismo očitali k i l, njegov koeficijent smjera i odsječak na osi. k = m = 0 = 3 m = 3 m / ( ) = 3 + m. l = m Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se: a =, b = 6 a k + b = l = m 9+ 6 = m k = 3, l = m m = 5 5 = m m = 5 m = 5 / m, = ± 5 m, = ± 5. m = 5 Vježba 33 Odredi realni parametar m tako da pravac 3 + m = 0 bude tangenta elipse 6 + = 6. Rezultat: m = 5, m = 5. Zadatak 34 (Petar, gimnazija) Točka T(7, 8) leži na paraboli =. Koliko je točka T udaljena od ravnalice (direktrise) te parabole? A. 30 jediničnih duljina B. 35 jediničnih duljina C. 39 jediničnih duljina. 40 jediničnih duljina Rješenje 34 n = n. Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu = p. Ravnalica (direktrisa) ima jednadžbu: p =. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točke od pravca Udaljenost d točke T( 0, 0) i pravca p... A + B + C = 0 dana je formulom d = A + B + C. A + B Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:

20 , 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Najprije iz jednadžbe parabole odredimo parametar p. = p p p /: p 6. = = = = Napišemo jednadžbu ravnalice u implicitnom obliku. p 6 6 = [ p = 6 ] = = = = 0 A = A + B + C = 0 B = = 0 C = 3 Udaljenost točke T od ravnalice r iznosi: T (, ) = T ( 7, 8 ) A + B + C T, r = T, r = A =, B = 0, C = 3 A + B + 0 Odgovor je pod A T, r = T, r = T, r = T, r = udaljenost T ravnalica parabola -0-5 Vježba 34 Odmor! Rezultat: -30 Zadatak 35 (Mario, gimnazija) Kružnica k prolazi točkom T( 3, ) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom = 0. Koliki je polumjer kružnice k? 0

21 Rješenje 35 A. 0 B. C Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju isto središte. Udaljenost točaka A( ) B( ).inačica, i, : Odredimo koordinate središta zadane kružnice. AB = ( ) + ( ). p + q = r ( p) + ( q) = r p = S ( p, q) S (, 5 ). = = 0 5 ( ( ) ) + ( 5) = 0 q = Ta je točka istodobno i središte tražene kružnice k. Kružnica k prolazi točkom T pa će njezin polumjer biti udaljenost točaka S i T. r = ST. Idemo izračunati r! S T (, ) = S (, 5) (, ) = S ( 3, ) ST = ( ) + ( ) ST = ST = ST = + 9 Odgovor je pod A..inačica ( ( )) ST = + 9 ST = 0. Kružnice su koncentrične jer imaju isto središte. Zato kružnica k ima jednadžbu = r. Polumjer r odredit ćemo uvrštavanjem koordinata točke T u jednadžbu kružnice. (, ) = T ( 3, ) T + + = r ( ) ( 5) Odgovor je pod A. Vježba = + = r ( 3 ) ( 5) r ( ) ( 3) + 9 = r 0 = r r = 0 r = 0 / r = 0. Kružnica k prolazi točkom T(, 6) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom = 0. Koliki je polumjer kružnice k? Rezultat: A. A. 0 B. C. 3. 4

22 Zadatak 36 (avor, ekonomska škola) Na slici je kružnica i njezina točka A. Odredite jednadžbu tangente na kružnicu u točki A A S Rješenje 36-3 Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Jednadžba tangente na kružnicu Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. Jednadžba pravca oblika p + q = r u točki (, ) te kružnice glasi: p p + q q = r. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točaka A( ) B( ) Promatrajmo sliku!, i, : AB = ( ) + ( ) A 5 r 4 3 S Koordinate točaka A i S su: -3 ( ) = = ( ) A, A, 6, S, S 5, 3. Kvadrat udaljenosti točaka A i S jednak je kvadratu polumjera kružnice.

23 (, ) = (, 6) (, ) = ( 5, 3) A A S S AS = r. r = AS = ( ) + ( ) r = r = r = r = 5. Jednadžba kružnice glasi: ( p q) = S ( ) ( ) S, 5, 3 ( p) + ( q) = r ( 5) + ( 3) = 5. r = 5 Jednadžba tangente na kružnicu u točki A je: ( 5) + ( 3) = 5 kružnica A(, ) = A(, 6) ( 5) ( 5) + ( 3) ( 3) = 5 tangenta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = 0 Vježba 36 Rezultat: Odmor! ( ) = 0 / = 0. Zadatak 37 (Matematičko natjecanje, srednja škola) Pravac + 8 = 0 zajednička je tangenta parabole = p i elipse s numeričkim ekscentricitetom ε = 0.5. Na osi postoje dvije točke (, ) iz kojih se dio tangente između točaka dodira vidi pod pravim kutom. Koliki je zbroj svih koordinata tih točaka? Rješenje 37 (Rješenje je ponudila Laura Župčić, gimnazija, Bjelovar) n n n ( a b) = a b, n n b a c b a a a b a + b a =, = n, + =. c c b b n n n a + b = a + a b + b, a b = a a b + b, a = a. ( ) a b a d n m n m =, a = a, a : a = a. c b c d Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Linearni ekscentricitet elipse: Numerički ekscentricitet elipse: e = a b. 3

24 Uvjet dodira pravca i elipse Pravac = k + l dira elipsu Koordinate dirališta su e ε =. a b + a = a b onda i samo onda kad vrijedi a k + b = l. k a b,. l l Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu Uvjet dodira pravca i parabole Pravac = k + l dira parabolu Koordinate dirališta su Jednadžba pravca oblika = p. = p onda i samo onda kad vrijedi p = k l. l, l. k = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točaka A( ) B( ), i, : AB = ( ) + ( ). Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. a bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli. a b = 0 a = 0 ili b = 0 il i a = b = 0. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b 4

25 Iz numeričkog ekscentriciteta dobije se: e ε = e = ε a e = 0.5 a e = a e = a / e = a. a 4 Koristimo formulu za linearni ekscentricitet elipse da izračunamo b. 3 b = a e b = a a b = a. 4 4 Jednadžbu pravca napišemo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili k i l. k = + 8 = 0 = 8 = 8 /: ( ) = + 4. l = 4 Uporabimo uvjet dodira pravca i elipse. a k + b = l b = l a k b = 4 a b = 6 a. 4 obili smo sustav jednadžba. 3 b = a 4 metoda 3 3 a 6 a a a 6 komparacije = + = b = 6 a 4 a = 6. Računamo b. a = b = 6 b 6 b. = = b = a Koordinate dirališta pravca i elipse su 6 k a b, =, = (, 3 ). l l 4 4 Promatrajmo pravac i parabolu! Uvjet dodira pravca i parabole je 5

26 p = k l p = 4 p = 4. Koordinate dirališta pravca i parabole su l 4, l =, 4 = ( 8, 8 ). k Izračunamo udaljenost dirališta i. (, ) = (, 3) (, ) = ( 8, 8) = ( ) + ( ) = ( 8 + ) + ( 8 3) = 5. Na osi postoje dvije točke A i B koje zadovoljavaju uvjet. Promatrajmo jednu od njih (, ) = A(, 0) A jer točka leži na osi pa je = 0. Sada odredimo udaljenosti:, =, 3 A = ( ) + ( ) A(, ) = A(, 0) A = ( + ) + ( 0 3) A = ( + ) + 9, = 8, 8 A = ( ) + ( ) A(, ) = A(, 0) A = ( 8) + ( 0 8) A = ( 8) Uočimo pravokutan trokut A i uporabimo Pitagorin poučak. A + A = ( + ) ( 8) + 64 = ( 5) = = = = = 0 /: = = 0 [ a ] ( ) ( ) ( ) ( ) metoda grupiranj 4 4 = 0 4 = 0 Tražene točke imaju koordinate: 4 = 0 = 4. = 0 = ( ) = = ( ) A, A 4, 0, B, B, 0. Zbroj svih koordinata tih točaka iznosi: = = 6. 6

27 Vježba 37 Rezultat: Odmor! Zadatak 38 (Ma, gimnazija) Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A. Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta na tu hiperbolu u točki A siječe os. Rješenje 38 b a b a c a c n a c a d + b c a =, =, n =, + =. c c b d b d b d b d Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b. a bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli. a b = 0 a = 0 ili b = 0 il i a = b = 0. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Oznake za derivaciju su: d f ( + ) f ( ) ' = = lim = lim = f '( ). d 0 0 n ( ) Tablično deriviranje Funkcija erivacija c 0 n n n ' n = n ' ( ) = Ako je c konstanta, a u = f(), v = g() su funkcije koje imaju derivacije, onda je 7

28 ' ' ' ' ( c f ( )) = c ( f ( )), ( f ( ) ± g ( )) = ( f ( )) ± ( g ( )) Jednadžba tangente u točki ( 0, 0) krivulje = f() glasi: ' ' = f ( ) ( ), = ( ) ( ). Funkciju zadanu jednadžbom, koja nije riješena po zavisnoj varijabli, nazivamo implicitnom. Na primjer jednadžba + = određuje kao implicitnu funkciju od. Ako je zavisnost među i derivabilne funkcije zadana u implicitnom obliku F(, ) = 0 onda treba: izračunati derivaciju po lijeve strane jednadžbe F(, ) = 0, smatrajući funkcijom od izjednačiti tu derivaciju s nulom riješiti dobivenu jednadžbu po '. '. Uočimo točku T(, 0) koja je tjeme hiperbole. Uvrstimo njezine koordinate u jednadžbu hiperbole. T (, ) = T (, 0) b a 0 a b 4 b a b = = b a = a b b = 0 nema smisla 4 b a b = 0 b ( 4 a ) = 0 4 a = 0 4 a = 0 a = 4 a = 4 / a = 4. ( ) Budući da i točka A(6, ) leži na hiperboli, ponovit ćemo prethodni postupak. (, ) = A( 6, ) A a = 4 b 6 4 = 4 b 36 b 6 = 4 b b a = a b b 4 b = 6 3 b = 6 3 b = 6 /: 3 b = b = 3 3 b =. Jednadžba hiperbole glasi: a = 4 b a = a b 4 = 4 b = 8

29 = / = Preoblikujemo jednadžbu hiperbole kako bismo lakše derivirali jednadžbu. 4 8 = 4 8 = = + 4 / = ' ( ) ' 4 deriviramo = = = jednadžbu 8 ( ) ' ' ' ' ' ' = = 0 = ' ' ' ' = = = / = U točki A je: A(, ) = A( 6, ) ' 6 ' 6 ' 3 ' ( 6) = ( 6) = ( 6 ) =. ( 6) = Jednadžba tangente na hiperbolu u točki A glasi: (, ) = ( 6, ) A A ' 3 ' 3 = ( 6) ( ) = ( 6 ). ( 6) = 8 8 Iz uvjeta u zadatku tangenta mora sjeći os pa je = 0. = 0 3 = 8 ( 6) = ( 6) = ( 6) = ( 6) / = 6 6 = = + 6 = + = Tražena točka ima koordinate: Vježba 38 Odmor! Rezultat: =. 3 S (, ) = S, 0. 3 Zadatak 39 (Mateo, gimnazija) Točka T(, 6) pripada krivulji + =. Neka je t tangenta na tu krivulju u točki T. 6 b Odredite udaljenost tangente t od ishodišta koordinatnoga sustava. Rješenje 39 9

30 30 ( ) n m n + m b a c b a c a c a = a, a a = a, a =, a = a, =. c c b d b d Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Jednadžba tangente na elipsu + = u točki (, ) te elipse glasi: a b + =. a b Ako su (m, 0) i (0, n) koordinate presjeka pravca s koordinatnim osima, onda pravac ima jednadžbu + =. m n Nju nazivamo segmentni oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točke od pravca Udaljenost d točke T( 0, 0) i pravca p... A + B + C = 0 dana je formulom d = A + B + C. A + B Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite. ijagonale se raspolavljaju. uljina dijagonale d kvadrata izračunava se po formuli d = a Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Budući da točka T pripada krivulji, koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu krivulje (elipse!) i izračunati b. (, ) = T (, 6) T ( 6 ) = + = + = + = b b b b.

31 = = = = / 4 b 44 = 3 b b b b b 4 3 Jednadžba tangente u točki T glasi: (, ) = (, 6) 3 b = 44 3 b = 44 /: 3 b = 48. T T = + = = = a b a = 6, b = 48 =. 8 8 segmentni oblik jednadžbe pravca Udaljenost tangente t od ishodišta koordinatnoga sustava izračunat ćemo na dva načina..inačica O(0, 0) - - d -3-4 tangenta Na slici vidi se da je udaljenost tangente od ishodišta O jednaka polovici dijagonale kvadrata duljine stranice 8..inačica 8 8 d = d = d = 4. Jednadžbu tangente napišemo u implicitnom obliku. A = = = / 8 = 8 8 = 0 B = C = 8 Tražena udaljenost iznosi: O(, ) = O ( 0, 0 ) A + B + C d = d = A =, B =, C = 8 A + B + ( ) 8 8 racionalizacija 8 8 d = d = d = d = + nazivnika ( ) 3

32 Vježba 39 Odmor! Rezultat: 8 8 d = d = d = 4. Zadatak 40 (Maturant, elektrotehnička škola) = 6. Pravac p okomit je na pravac = 0 i dira kružnicu ( ) ( ) Kojom je od navedenih jednadžba određen pravac p? A. = + 5 B. = + 0 C. = 5. = Rješenje 40 a b a c + b n a d a, n, b + = = =. c c c b c d Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Uvjet dodira pravca i kružnice Kružnica ( p) + ( q) = r i pravac = k + l dodiruju se ako i samo ako vrijedi Jednadžba pravca oblika ( ) ( ) r + k = k p q + l A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Uvjet okomitosti: Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, k, k 0, tada su okomiti ako i samo ako je k k = k = k =. k k Jednadžbu pravca = 0 prevedemo u eksplicitni oblik kako bismo odredili njegov koeficijent smjera k.. 3

33 = 0 3 = = 4 5 /: 3 = k = Koeficijent smjera traženog pravca, zbog okomitosti, je 3 k = k = k = k =. k Traženi pravac ima oblik 3 = + l. 4 Odsječak l naći ćemo iz uvjeta dodira pravca i kružnice. ( 4) + ( + ) = 6 p = 4, q =, r = 6 3 r ( k ) ( ) + l = k p q l = k =, l = l = 4 ( ) + l 6 + = l = l 5 = 5 + l 5 + l = l = 5 / 5 + l = ± l = l = 5 l = l = 5 l = 5 5 l = 0 Zadatak ima dva rješenja. 3 k =, l = = prvi pravac 3 4 = + l 4 3 k =, l = = 0 drugi pravac. 3 4 = + l 4 Odgovor je pod. Vježba 40 Rezultat: Odmor! 33