Microsoft Word - 24ms221

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Microsoft Word - 24ms221"

Транскрипт

1 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B C Rješenje Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Središte kružnice koja dira os može biti iznad ili ispod osi. Ako je iznad, tada je polumjer r upravo jednak q. r = q. q S( p, q) r O Budući da kružnica dira os apscisa u točki (3, 0), apscisa središta S je p = 3. Možemo napisati jednadžbu kružnice. 3 + r = r. p Kružnica prolazi točkom (0, 0). Uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu kružnice. (, ) = ( 0, 0) ( 0 3) ( 0 r) ( 3) + ( r) = r ( ) + = r r + r = r r + r = r 09 0 r + r = r Vježba Rezultat: Odmor! 09 = 0 r 0 r = 09 0 r = 09 /: 0 r = Zadatak (Katarina, maturantica) Parabola je zadana jednadžbom =. Kolika je udaljenost fokusa te parabole od pravca = + 5? Rješenje n m n + m a c a c a = a, a a = a, = b d b d, ( a ) = a. Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i

2 jedinice a a n =, n 0, n. b b n Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu = p. Žarište (fokus) ima koordinate: p F, 0. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Udaljenost točke od pravca Udaljenost d točke T( 0, 0) i pravca p... A + B + C = 0 dana je formulom d = Odredimo koordinate žarišta (fokusa) parabole. A + B + C. A + B = p p p = p = /: p = 6 F, 0 = p 6 6 F, 0 F, 0 F, 0 F Jednadžbu zadanog pravca preoblikujemo u implicitni oblik. ( ) ( ) 3, 0. = = = 0 / + 5 = 0. Računamo udaljenost žarišta F od pravca. (, ) = ( 3, 0) F F A + B + C 3 + ( ) = 0 d = d = A =, B =, C = 5 A + B + ( )

3 d = d = d = d = d = d = Vježba Rezultat: Odmor! Zadatak 3 (Luka, gimnazija) ( 5) Površina četverokuta kome su dva vrha u žarištima elipse = 36, a druga dva u tjemenima te elipse iznosi: Rješenje 3 A. 3 3 B. 0 C Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Linearni ekscentricitet elipse: e = a b e = a b. Žarišta elipse imaju koordinate: ( ), (, ) F e, 0 F e 0. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri stranice. Plošna dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta. Četverokutu s okomitim dijagonalama d i d površinu računamo po formuli: d d P =. b F A F e b e B C Sa slike vidi se: 3

4 F F = e, C = b Odredimo duljinu velike i male poluosi elipse = = 36 /: 36 + = a = 9 a = 9 / a = 9 + = + = b = 4 b = 4 / b = 4 Računamo linearni ekscentricitet e. Površina četverokuta F CF iznosi: Odgovor je pod. Vježba 3 Rezultat: Odmor! a = 3. b = e = a b e = 3 e = 9 4 e = 5. F F C e b e b P = P = P = P = b e P = 5 P = 4 5. Zadatak 4 (Miroslav, gimnazija) uljina one tetive kružnice = 0, kojoj je polovište u točki P(0, 3), iznosi: Rješenje 4 A. 4 5 B. 5 5 C ( ), a = a a b = a b. a + a b + b = a + b, a a b + b = a b. Tetiva kružnice je dužina koja spaja dvije točke na kružnici. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Opća jednadžba kružnice: + p q + c = 0, r = p + q c. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. 4

5 A P r B S 0 Sa slike vidi se: SA = SB = r, AP = PB = AB Preoblikujemo jednadžbu kružnice u središnju jednadžbu = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 5 (, ) = (, ) S p q S = = 5. r = 5 Računamo udaljenost SP. S (, ) = S (, ) (, ) = ( 0, 3) P P SP = ( ) + ( ) SP = SP = SP = + ( ( )) ( ) SP = 4 + SP = 5. Uočimo pravokutan trokut ASP i uporabom Pitagorina poučka izračunamo AP. AS = r = 5 AP = AS SP AP = 5 ( 5) AP = 5 5 SP = 5 AP = 0 AP = 0 / AP = 0 AP = 4 5 AP = 4 5 uljina tetive AB iznosi: AP = 5. AB = AP AB = 5 AB = 4 5.

6 Odgovor je pod A. Vježba 4 Rezultat: Odmor! Zadatak 5 (Željka, ekonomska škola) Zrcaljenjem kružnice + = s obzirom na pravac + = dobivena je krivulja čija je jednadžba: A = 0 B. + = C =. + = 4 E. + = + Rješenje 5 n ( ) ( ) a b = a a b + b, n =, a = a. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Ako je S(0, 0) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: + = r. Ako su (m, 0) i (0, n) koordinate presjeka pravca s koordinatnim osima, onda pravac ima jednadžbu + =. m n Nju nazivamo segmentni oblik jednadžbe pravca. Iz jednadžbe zadane kružnice dobije se: (, ) = ( 0, 0 ) (, ) = ( 0, 0) S p q S S p q S + =. r r = = Napišimo jednadžbu pravca u segmentnom obliku. + = + =. Gledaj sliku! S (, ) S Točka S simetrična je točki S s obzirom na pravac + =. Nova kružnica ima središte u točki S i 6

7 jednaki polumjer kao i zadana. ( ) = ( ) S p, q S, ( p) + ( q) = r ( ) + = r = r = = = Odgovor je pod E. + = 0 + = +. Vježba 5 Zrcaljenjem kružnice + = s obzirom na pravac + = dobivena je krivulja čija je jednadžba: A = 0 B = 4 C = 0. + = 8 E. + = Rezultat: C. Zadatak 6 (Vedran, gimnazija) Parabola, simetrična paraboli = + 3 s obzirom na pravac =, ima jednadžbu: A. = B. = C. = = E. = Rješenje 6 a a b + b = a b, a + b = a + a b + b. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Jednadžba parabole = a + b + c može se napisati u obliku ( ), = a + a je vodeći koeficijent tako da joj je tjeme u točki T( 0, 0). Načinimo postupak svođenja na potpuni kvadrat: = + 3 = + + = + + = ( ) + = ( ) + T (, ) = T (, ) tjeme p arab ol e. 7

8 = - T'(- 4, ) T(, ) Tjeme parabole simetrične u odnosu na pravac = je točka T ( ) = T ( ) ' ', 4,. Parabole su simetrične s obzirom na pravac = i imaju jednaki vodeći koeficijent, Jednadžba tražene parabole glasi: ( ) T ' (, ) = T ' (, ) ( ( 4) ) a =. = + 4 = + = = = = Odgovor je pod B. Vježba 6 Rezultat: Odmor! Zadatak 7 (Luka, maturant) Napiši jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(0, 4) i B(, ), a središte joj leži na osi apscisa. Rješenje 7 a b = a + b, a + b = a + a b + b. ( ) Ako točka T leži na osi (os apscisa) ima koordinate T(, 0). Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Središte kružnice leži na osi apscisa pa ima koordinate S ( p, 0 ). Koordinate točaka A, B i S uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice: A, = A 0, 4 ( p) + ( q) = r ( 0 p) + ( 4 0) = r S ( p, q) = S ( p, 0) ( p) 4 r p 6 r + = + = 8

9 B = B, ( p) + ( q) = r ( p) + ( 0) = r S ( p, q) = S ( p, 0) ( + p) + ( ) = r p + p + 4 = r p + 4 p + 8 = r. Iz sustava dobije se: p + 6 = r metoda p 6 p 4 p 8 + = + + p + 4 p + 8 = r komparacije p + 6 = p + 4 p = 4 p p + 8 = 6 4 p = p = 8 Računamo r. p = p + 6 = r Jednadžba kružnice glasi: Vježba 7 Rezultat: ( ) = ( ) 4 p = 8 /: 4 p =. + 6 = r = r 0 = r r = 0. S p, q S, 0 ( p) + ( q) = r ( ) + ( 0) = 0 r = 0 Odmor! Zadatak 8 (Mario, gimnazija) Napiši jednadžbu tangente parabole 3 4 = 0. Rješenje 8 ( ) + = 0. = koja je usporedna (paralelna) s pravcem Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu = p, pri čemu je p parametar parabole. Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. va pravca zadana svojim jednadžbama u eksplicitnom obliku = k + l = k + l usporedna (paralelna) su onda i samo onda ako vrijedi 9

10 Uvjet dodira pravca i parabole Pravac dira parabolu onda i samo onda kad vrijedi Odredimo parametar p parabole. = p = k = k. = k + l = p p = k l. p = p = /: p = 6. Jednadžbu zadanog pravca napisat ćemo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili njegov koeficijent smjera. ( ) 3 4 = 0 = = / = 3 4 k = 3. Koeficijent smjera tangenta, također, je jednak k = 3 zbog usporednosti pravca i tangente. Iz uvjeta dodira pravca i parabole izračunat ćemo odsječak tangente na osi ordinata. p = 6 p = k l 6= 3 l 6= 6 l 6 l = 6 6 l = 6 /: 6 l =. k = 3 Jednadžba tangente glasi: k = 3 = k + l = 3 +. l = Vježba 8 Napiši jednadžbu tangente parabole = 0. Rezultat: = 3 +. = koja je usporedna (paralelna) s pravcem Zadatak 9 (Miro, gimnazija) Rješenje 9 Odredi duljinu zajedničke tetive kružnica + = 5 i = 0. 0

11 a = b c = d ( ) a c = b d, a b = a a b + b, a b = a b. Tetiva kružnice je dužina koja spaja dvije točke na kružnici. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r Udaljenost točaka A( ) B( ), i, : Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.. AB = ( ) + ( ). a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. A B Nađemo sjecište kružnica tako da riješimo sustav jednadžba: + = 5 oduzmemo ( ) = = 0 jednadžbe = = = = = = 0 /: 8 Ponovno riješimo sljedeći sustav: + = 0. + = 0 metoda = ( ) 5 zamjen + = + = 5 e + = = = 0 4 = 0 = 0 4 = 0 /: = 0 a =, b =, c = a =, b =, c = ( ) ± ( ) 4 ( ) ± + 8 b ± b 4 a c, =, =, = a

12 = 9 3 = = ± ± =, =, =. 3 = = = = Računamo i. = + = 0 = + = + = 0 Prvo sjecište kružnica je točka A: = + = 0 rugo sjecište kružnica je točka B: uljina tetive AB iznosi: A B ( ) = A( ) A,,. + = 0 = + =. (, ) = A(, ) (, ) = B(, ) ( ) = B( ) B,,. AB = ( ) + ( ) AB = + AB = AB = ( ) ( ( )) ( ) AB = AB = 8 AB = 9 AB = 9 AB = 3. Vježba 9 Odredi duljinu zajedničke tetive kružnica + 5 = 0 i = 3. Rezultat: 3. Zadatak 30 (Miro, gimnazija) Rješenje 30 Odredi kut pod kojim se sijeku kružnica ( ) ( ) ( ) = 5 i pravac 3 5 = 0. n b a b a c a d b c a + b = a + a b + b, n =, a =, =. c c b d b d a c a d + b c n n n + =, ( a b) = a b. b d b d Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r Jednadžba tangente kružnice Jednadžba pravca oblika. p + q = r s diralištem ( 0, 0) glasi: ( p) ( p) + ( q) ( q) = r. = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se

13 koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Kut između dva pravca Kut φ između dva pravca koji su određeni jednadžbama = k + l i = k + l računa se po formuli tg ϕ = k k + k k Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b. t p ϕ k Imaju li pravac i kružnica barem jednu realnu točku zajedničku, tada se definira kut između njih kao kut između tangente t na kružnicu k i pravca p u zajedničkoj točki. Prvo odredimo sjecište pravca i kružnice tako da riješimo sustav jednadžba: 3 5 = 0 metoda = = = 5 ( ) ( ) zamjene ( ) ( ) = = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = 0 /: = 0 a =, b = 3, c = a =, b = 3, c = 3 ± ± 9 8 b ± b 4 a c, =, =, = a 3

14 = = = ± ± =, =, =. 3 + = = = = Računamo i. = 3 ( ) 5 = = 0 = = 3 5 = 0 Prvo sjecište pravca i kružnice je točka : = 3 5 = 0 ( ) rugo sjecište pravca i kružnice je točka : ( ) = ( ),,. 3 5 = = 0 = =. ( ) = ( ),,. Tražena mjera kuta jednaka je u oba dirališta pa možemo odabrati bilo koju od točaka i. Na primjer, jednadžba tangente u sjecištu je: ( ) + ( + 3) = 5 p =, q = 3, r = 5 ( p) ( p) + ( q) ( q) = r (, ) = (, ) = = = 5 = = = k = koeficijent smjera tangente. Jednadžbu zadanog pravca napisat ćemo u eksplicitnom obliku kako bismo očitali njegov koeficijent smjera. 3 5 = 0 3 = = + 5 /: 3 4 ( ) 5 = 3 k = koeficijent smjera pravca Sada možemo odrediti kut između pravca i tangente: k = k k tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = + k k k = Vježba tg ϕ = 3 tg ϕ = 3 tg ϕ = 3 tg ϕ = tg ϕ = π ϕ = tg ( ) ϕ = 45 ϕ =. 4 Odredi kut pod kojim se sijeku kružnica ( ) ( ) Rezultat: 45º = 5 i pravac = 0.

15 Zadatak 3 (Željko, srednja škola) Napiši jednadžbu hiperbole b a = a b ako je jednadžba njezine asimptote 3 = 0, a jednadžba tangente = 0. Rješenje 3 n n a a n n n n, ( a b) a b. b = b = Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Pravci koji sadrže dijagonale središnjeg pravokutnika s dimenzijama a i b zovu se asimptote i njihove jednadžbe glase: b b =, =. a a Uvjet dodira pravca i hiperbole Pravac = k + l dodiruje hiperbolu = ako i samo ako vrijedi a b a k b = l. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Opća jednadžba ravnine glasi A + B + C z + = 0, gdje su A, B, C i koeficijenti, realni brojevi. Iz jednadžbe asimptote hiperbole dobije se: b 3 = a 3 = 0 = 3 = 3 /: ( ) = 3 = b 3 b 3 3 = =. / a b = a a a Jednadžbu tangente napišemo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili njezin koeficijent smjera k i odsječak na osi l = 0 8 = = 5 8 /: ( 8) =

16 5 k = = + = l = 4 Budući da tangenta mora zadovoljavati uvjet dodira pravca i hiperbole, slijedi: 5 9, k = l = a k b = l a a = b = a a a = a a = a a = / a 44 a = 34 8 a = 34 8 a = 34 /: 8 a = 4 a = 4 / a = 4 a =. Računamo b. a = b = b = 3. b = b = a Jednadžba hiperbole glasi: b = 3 b a = a b 3 = 3 a = 9 4 = = 36. Vježba 3 Napiši jednadžbu hiperbole b a = a b ako je jednadžba njezine asimptote 3 + = 0, a jednadžba tangente = 0. Rezultat: 9 4 = 36. Zadatak 3 (Ivana, gimnazija) Napiši jednadžbu elipse + = kojoj su tangente pravci = 0 i a b = 0. Rješenje 3 Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu + = ( segmentni oblik, kanonski oblik ). a b Jednadžba pravca oblika = k + l 6

17 naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Opća jednadžba ravnine glasi A + B + C z + = 0, gdje su A, B, C i koeficijenti, realni brojevi. Pravac = k + l dodiruje elipsu + = ako i samo ako vrijedi a b a k + b = l. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Jednadžbe zadanih pravaca (tangenata) preoblikujemo u eksplicitni oblik kako bismo odredili koeficijent smjera k i odsječak na osi l = 0 0 = = /: 0 9 k = 0 = + = + = l = = 0 5 = = /: k 5 = = + = + = l = 5 Budući da tangente moraju ispunjavati uvjet dodira pravca i elipse, slijedi: k =, l = a + b = 0 4 a k + b = l k =, l = 5 a k + b = l 4 5 a + b = a + b = / ( 400) a + b = metoda suprotnih koeficijenata 6 a + b = 5 a + b = 5 / a 400 b = a a 4375 /: 75 = = 56 a b = a = 5. Računamo b. a = b = + b = + b = a + b =

18 Jednadžba elipse glasi: Vježba 3 Napiši jednadžbu elipse = 0. Rezultat: + =. 5 9 Zadatak 33 (Ivana, gimnazija) b = 5 6 b = 9. 5 a = + = + =. a b b = = kojoj su tangente pravci = 0 i a b Odredi realni parametar m tako da pravac 3 + m = 0 bude tangenta elipse 6 + = 6. Rješenje 33 Parametar Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 00. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu 3 b + a = a b, + = ( segmentni oblik, kanonski oblik ). a b Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Opća jednadžba ravnine glasi A + B + C z + = 0, gdje su A, B, C i koeficijenti, realni brojevi. Pravac = k + l dodiruje elipsu + = ako i samo ako vrijedi a b a k + b = l. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Preoblikujemo jednadžbu elipse. 8

19 = = 6 /: 6 + = = a = =. b = 6 Jednadžbu pravca transformiramo u eksplicitni oblik kako bismo očitali k i l, njegov koeficijent smjera i odsječak na osi. k = m = 0 = 3 m = 3 m / ( ) = 3 + m. l = m Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se: a =, b = 6 a k + b = l = m 9+ 6 = m k = 3, l = m m = 5 5 = m m = 5 m = 5 / m, = ± 5 m, = ± 5. m = 5 Vježba 33 Odredi realni parametar m tako da pravac 3 + m = 0 bude tangenta elipse 6 + = 6. Rezultat: m = 5, m = 5. Zadatak 34 (Petar, gimnazija) Točka T(7, 8) leži na paraboli =. Koliko je točka T udaljena od ravnalice (direktrise) te parabole? A. 30 jediničnih duljina B. 35 jediničnih duljina C. 39 jediničnih duljina. 40 jediničnih duljina Rješenje 34 n = n. Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu = p. Ravnalica (direktrisa) ima jednadžbu: p =. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točke od pravca Udaljenost d točke T( 0, 0) i pravca p... A + B + C = 0 dana je formulom d = A + B + C. A + B Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:

20 , 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Najprije iz jednadžbe parabole odredimo parametar p. = p p p /: p 6. = = = = Napišemo jednadžbu ravnalice u implicitnom obliku. p 6 6 = [ p = 6 ] = = = = 0 A = A + B + C = 0 B = = 0 C = 3 Udaljenost točke T od ravnalice r iznosi: T (, ) = T ( 7, 8 ) A + B + C T, r = T, r = A =, B = 0, C = 3 A + B + 0 Odgovor je pod A T, r = T, r = T, r = T, r = udaljenost T ravnalica parabola -0-5 Vježba 34 Odmor! Rezultat: -30 Zadatak 35 (Mario, gimnazija) Kružnica k prolazi točkom T( 3, ) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom = 0. Koliki je polumjer kružnice k? 0

21 Rješenje 35 A. 0 B. C Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju isto središte. Udaljenost točaka A( ) B( ).inačica, i, : Odredimo koordinate središta zadane kružnice. AB = ( ) + ( ). p + q = r ( p) + ( q) = r p = S ( p, q) S (, 5 ). = = 0 5 ( ( ) ) + ( 5) = 0 q = Ta je točka istodobno i središte tražene kružnice k. Kružnica k prolazi točkom T pa će njezin polumjer biti udaljenost točaka S i T. r = ST. Idemo izračunati r! S T (, ) = S (, 5) (, ) = S ( 3, ) ST = ( ) + ( ) ST = ST = ST = + 9 Odgovor je pod A..inačica ( ( )) ST = + 9 ST = 0. Kružnice su koncentrične jer imaju isto središte. Zato kružnica k ima jednadžbu = r. Polumjer r odredit ćemo uvrštavanjem koordinata točke T u jednadžbu kružnice. (, ) = T ( 3, ) T + + = r ( ) ( 5) Odgovor je pod A. Vježba = + = r ( 3 ) ( 5) r ( ) ( 3) + 9 = r 0 = r r = 0 r = 0 / r = 0. Kružnica k prolazi točkom T(, 6) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom = 0. Koliki je polumjer kružnice k? Rezultat: A. A. 0 B. C. 3. 4

22 Zadatak 36 (avor, ekonomska škola) Na slici je kružnica i njezina točka A. Odredite jednadžbu tangente na kružnicu u točki A A S Rješenje 36-3 Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Jednadžba tangente na kružnicu Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. Jednadžba pravca oblika p + q = r u točki (, ) te kružnice glasi: p p + q q = r. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točaka A( ) B( ) Promatrajmo sliku!, i, : AB = ( ) + ( ) A 5 r 4 3 S Koordinate točaka A i S su: -3 ( ) = = ( ) A, A, 6, S, S 5, 3. Kvadrat udaljenosti točaka A i S jednak je kvadratu polumjera kružnice.

23 (, ) = (, 6) (, ) = ( 5, 3) A A S S AS = r. r = AS = ( ) + ( ) r = r = r = r = 5. Jednadžba kružnice glasi: ( p q) = S ( ) ( ) S, 5, 3 ( p) + ( q) = r ( 5) + ( 3) = 5. r = 5 Jednadžba tangente na kružnicu u točki A je: ( 5) + ( 3) = 5 kružnica A(, ) = A(, 6) ( 5) ( 5) + ( 3) ( 3) = 5 tangenta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = 0 Vježba 36 Rezultat: Odmor! ( ) = 0 / = 0. Zadatak 37 (Matematičko natjecanje, srednja škola) Pravac + 8 = 0 zajednička je tangenta parabole = p i elipse s numeričkim ekscentricitetom ε = 0.5. Na osi postoje dvije točke (, ) iz kojih se dio tangente između točaka dodira vidi pod pravim kutom. Koliki je zbroj svih koordinata tih točaka? Rješenje 37 (Rješenje je ponudila Laura Župčić, gimnazija, Bjelovar) n n n ( a b) = a b, n n b a c b a a a b a + b a =, = n, + =. c c b b n n n a + b = a + a b + b, a b = a a b + b, a = a. ( ) a b a d n m n m =, a = a, a : a = a. c b c d Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Linearni ekscentricitet elipse: Numerički ekscentricitet elipse: e = a b. 3

24 Uvjet dodira pravca i elipse Pravac = k + l dira elipsu Koordinate dirališta su e ε =. a b + a = a b onda i samo onda kad vrijedi a k + b = l. k a b,. l l Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu Uvjet dodira pravca i parabole Pravac = k + l dira parabolu Koordinate dirališta su Jednadžba pravca oblika = p. = p onda i samo onda kad vrijedi p = k l. l, l. k = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točaka A( ) B( ), i, : AB = ( ) + ( ). Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. a bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli. a b = 0 a = 0 ili b = 0 il i a = b = 0. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b 4

25 Iz numeričkog ekscentriciteta dobije se: e ε = e = ε a e = 0.5 a e = a e = a / e = a. a 4 Koristimo formulu za linearni ekscentricitet elipse da izračunamo b. 3 b = a e b = a a b = a. 4 4 Jednadžbu pravca napišemo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili k i l. k = + 8 = 0 = 8 = 8 /: ( ) = + 4. l = 4 Uporabimo uvjet dodira pravca i elipse. a k + b = l b = l a k b = 4 a b = 6 a. 4 obili smo sustav jednadžba. 3 b = a 4 metoda 3 3 a 6 a a a 6 komparacije = + = b = 6 a 4 a = 6. Računamo b. a = b = 6 b 6 b. = = b = a Koordinate dirališta pravca i elipse su 6 k a b, =, = (, 3 ). l l 4 4 Promatrajmo pravac i parabolu! Uvjet dodira pravca i parabole je 5

26 p = k l p = 4 p = 4. Koordinate dirališta pravca i parabole su l 4, l =, 4 = ( 8, 8 ). k Izračunamo udaljenost dirališta i. (, ) = (, 3) (, ) = ( 8, 8) = ( ) + ( ) = ( 8 + ) + ( 8 3) = 5. Na osi postoje dvije točke A i B koje zadovoljavaju uvjet. Promatrajmo jednu od njih (, ) = A(, 0) A jer točka leži na osi pa je = 0. Sada odredimo udaljenosti:, =, 3 A = ( ) + ( ) A(, ) = A(, 0) A = ( + ) + ( 0 3) A = ( + ) + 9, = 8, 8 A = ( ) + ( ) A(, ) = A(, 0) A = ( 8) + ( 0 8) A = ( 8) Uočimo pravokutan trokut A i uporabimo Pitagorin poučak. A + A = ( + ) ( 8) + 64 = ( 5) = = = = = 0 /: = = 0 [ a ] ( ) ( ) ( ) ( ) metoda grupiranj 4 4 = 0 4 = 0 Tražene točke imaju koordinate: 4 = 0 = 4. = 0 = ( ) = = ( ) A, A 4, 0, B, B, 0. Zbroj svih koordinata tih točaka iznosi: = = 6. 6

27 Vježba 37 Rezultat: Odmor! Zadatak 38 (Ma, gimnazija) Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A. Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta na tu hiperbolu u točki A siječe os. Rješenje 38 b a b a c a c n a c a d + b c a =, =, n =, + =. c c b d b d b d b d Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b. a bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli. a b = 0 a = 0 ili b = 0 il i a = b = 0. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Oznake za derivaciju su: d f ( + ) f ( ) ' = = lim = lim = f '( ). d 0 0 n ( ) Tablično deriviranje Funkcija erivacija c 0 n n n ' n = n ' ( ) = Ako je c konstanta, a u = f(), v = g() su funkcije koje imaju derivacije, onda je 7

28 ' ' ' ' ( c f ( )) = c ( f ( )), ( f ( ) ± g ( )) = ( f ( )) ± ( g ( )) Jednadžba tangente u točki ( 0, 0) krivulje = f() glasi: ' ' = f ( ) ( ), = ( ) ( ). Funkciju zadanu jednadžbom, koja nije riješena po zavisnoj varijabli, nazivamo implicitnom. Na primjer jednadžba + = određuje kao implicitnu funkciju od. Ako je zavisnost među i derivabilne funkcije zadana u implicitnom obliku F(, ) = 0 onda treba: izračunati derivaciju po lijeve strane jednadžbe F(, ) = 0, smatrajući funkcijom od izjednačiti tu derivaciju s nulom riješiti dobivenu jednadžbu po '. '. Uočimo točku T(, 0) koja je tjeme hiperbole. Uvrstimo njezine koordinate u jednadžbu hiperbole. T (, ) = T (, 0) b a 0 a b 4 b a b = = b a = a b b = 0 nema smisla 4 b a b = 0 b ( 4 a ) = 0 4 a = 0 4 a = 0 a = 4 a = 4 / a = 4. ( ) Budući da i točka A(6, ) leži na hiperboli, ponovit ćemo prethodni postupak. (, ) = A( 6, ) A a = 4 b 6 4 = 4 b 36 b 6 = 4 b b a = a b b 4 b = 6 3 b = 6 3 b = 6 /: 3 b = b = 3 3 b =. Jednadžba hiperbole glasi: a = 4 b a = a b 4 = 4 b = 8

29 = / = Preoblikujemo jednadžbu hiperbole kako bismo lakše derivirali jednadžbu. 4 8 = 4 8 = = + 4 / = ' ( ) ' 4 deriviramo = = = jednadžbu 8 ( ) ' ' ' ' ' ' = = 0 = ' ' ' ' = = = / = U točki A je: A(, ) = A( 6, ) ' 6 ' 6 ' 3 ' ( 6) = ( 6) = ( 6 ) =. ( 6) = Jednadžba tangente na hiperbolu u točki A glasi: (, ) = ( 6, ) A A ' 3 ' 3 = ( 6) ( ) = ( 6 ). ( 6) = 8 8 Iz uvjeta u zadatku tangenta mora sjeći os pa je = 0. = 0 3 = 8 ( 6) = ( 6) = ( 6) = ( 6) / = 6 6 = = + 6 = + = Tražena točka ima koordinate: Vježba 38 Odmor! Rezultat: =. 3 S (, ) = S, 0. 3 Zadatak 39 (Mateo, gimnazija) Točka T(, 6) pripada krivulji + =. Neka je t tangenta na tu krivulju u točki T. 6 b Odredite udaljenost tangente t od ishodišta koordinatnoga sustava. Rješenje 39 9

30 30 ( ) n m n + m b a c b a c a c a = a, a a = a, a =, a = a, =. c c b d b d Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Jednadžba tangente na elipsu + = u točki (, ) te elipse glasi: a b + =. a b Ako su (m, 0) i (0, n) koordinate presjeka pravca s koordinatnim osima, onda pravac ima jednadžbu + =. m n Nju nazivamo segmentni oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca oblika A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Udaljenost točke od pravca Udaljenost d točke T( 0, 0) i pravca p... A + B + C = 0 dana je formulom d = A + B + C. A + B Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite. ijagonale se raspolavljaju. uljina dijagonale d kvadrata izračunava se po formuli d = a Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Budući da točka T pripada krivulji, koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu krivulje (elipse!) i izračunati b. (, ) = T (, 6) T ( 6 ) = + = + = + = b b b b.

31 = = = = / 4 b 44 = 3 b b b b b 4 3 Jednadžba tangente u točki T glasi: (, ) = (, 6) 3 b = 44 3 b = 44 /: 3 b = 48. T T = + = = = a b a = 6, b = 48 =. 8 8 segmentni oblik jednadžbe pravca Udaljenost tangente t od ishodišta koordinatnoga sustava izračunat ćemo na dva načina..inačica O(0, 0) - - d -3-4 tangenta Na slici vidi se da je udaljenost tangente od ishodišta O jednaka polovici dijagonale kvadrata duljine stranice 8..inačica 8 8 d = d = d = 4. Jednadžbu tangente napišemo u implicitnom obliku. A = = = / 8 = 8 8 = 0 B = C = 8 Tražena udaljenost iznosi: O(, ) = O ( 0, 0 ) A + B + C d = d = A =, B =, C = 8 A + B + ( ) 8 8 racionalizacija 8 8 d = d = d = d = + nazivnika ( ) 3

32 Vježba 39 Odmor! Rezultat: 8 8 d = d = d = 4. Zadatak 40 (Maturant, elektrotehnička škola) = 6. Pravac p okomit je na pravac = 0 i dira kružnicu ( ) ( ) Kojom je od navedenih jednadžba određen pravac p? A. = + 5 B. = + 0 C. = 5. = Rješenje 40 a b a c + b n a d a, n, b + = = =. c c c b c d Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Uvjet dodira pravca i kružnice Kružnica ( p) + ( q) = r i pravac = k + l dodiruju se ako i samo ako vrijedi Jednadžba pravca oblika ( ) ( ) r + k = k p q + l A + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Uvjet okomitosti: Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, k, k 0, tada su okomiti ako i samo ako je k k = k = k =. k k Jednadžbu pravca = 0 prevedemo u eksplicitni oblik kako bismo odredili njegov koeficijent smjera k.. 3

33 = 0 3 = = 4 5 /: 3 = k = Koeficijent smjera traženog pravca, zbog okomitosti, je 3 k = k = k = k =. k Traženi pravac ima oblik 3 = + l. 4 Odsječak l naći ćemo iz uvjeta dodira pravca i kružnice. ( 4) + ( + ) = 6 p = 4, q =, r = 6 3 r ( k ) ( ) + l = k p q l = k =, l = l = 4 ( ) + l 6 + = l = l 5 = 5 + l 5 + l = l = 5 / 5 + l = ± l = l = 5 l = l = 5 l = 5 5 l = 0 Zadatak ima dva rješenja. 3 k =, l = = prvi pravac 3 4 = + l 4 3 k =, l = = 0 drugi pravac. 3 4 = + l 4 Odgovor je pod. Vježba 40 Rezultat: Odmor! 33

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka) . D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni

Више

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja) . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) . B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate

Више

Nastavno pismo 3

Nastavno pismo 3 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA

Више

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979

Више

Jednadžbe - ponavljanje

Jednadžbe - ponavljanje PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Више

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)

Више

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan 1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2

Више

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje

Више

Matematički leksikon

Matematički leksikon OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON Radoboj, 2012. OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON PROJEKT Predmet : Matematika Mentor: Ivica Švaljek Radoboj, 2012. godina Matematički leksikon OŠ

Више

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći

Више

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак

Више

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д) ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у

Више

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x

Више

gt1b.dvi

gt1b.dvi r t.h en el em 6 SUKLDNOST I SLI NOST Pripremi se za gradivo koje slijedi, rijes i pripremne zadatke koji se nalaze u elektronic kom dijelu udz benika. el em en t.h r Sukladnost je rijec koju c esto susrec

Више

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet

Више

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!

Више

Microsoft Word - 12ms101

Microsoft Word - 12ms101 Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni

Више

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }

Више

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je 1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na

Више

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu ODLIČAN (5) navodi primjer kuta kao dijela ravnine omeđenog polupravcima analizira i uspoređuje vrh i krakove kuta analizira

Више

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Више

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela

Више

os07zup-rjes.dvi

os07zup-rjes.dvi RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI

Више

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc) Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (

Више

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX

Више

4.1 The Concepts of Force and Mass

4.1 The Concepts of Force and Mass UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne

Више

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b

Више

SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta

SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta iz zadanih veličina. U pravokutnom trokutu s katetama

Више

Matematika 1 - izborna

Matematika 1 - izborna 3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva

Више

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matematike (KŠC Travnik); 2. Ivana Baban, prof. matematike

Више

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike

Више

m3b.dvi

m3b.dvi 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su, na primjer, duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija, specifična gustoća:::

Више

Algebarski izrazi (4. dio)

Algebarski izrazi (4. dio) Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija

Више

Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zr

Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zr Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zrači svjetlost. Primarni: Sunce, zvijezde, Sekundarni: Mjesec,

Више

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date

Више

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)

Више

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00

Више

gt3b.dvi

gt3b.dvi r t. h en m le w.e w w 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su primjerice duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija,

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja

Више

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n 4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju

Више

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Određivanje relativne permitivnosti sredstva Cilj vježbe Određivanje r

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Određivanje relativne permitivnosti sredstva Cilj vježbe Određivanje r Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 Predložak za laboratorijske vježbe Cilj vježbe Određivanje relativne permitivnosti stakla, plastike, papira i zraka mjerenjem kapaciteta pločastog kondenzatora U-I

Више