1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

Транскрипт

1 1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na njoj je točka A 2, sada iz nje povučemo okomicu na treću stranicu i njezino nožište na njoj je točka A 3, iz A 3 to ponovimo na prvu stranicu i označimo nožište s A 4, i to nastavimo. Dokaži da su točke A 1, A 2, A 3, A 4... različite. 2. Četverokut ABCD je upisan u kružnicu, tangente kružnice kroz točake A i C sijeku se u P. Ako je P A 2 = P B P D i točka P ne leži na pravcu DB. Dokaži da pravac BD raspolavlja dužinu AC. 3. Točka F leži na bazi AB trapeza ABCD tako da je DF = CF. Neka je E točka presjeka pravaca AC i BD, i neka su O 1 i O 2 središta kružnica opisanih trokutima ADF i F BC. Dokaži da su pravci F E i O 1 O 2 okomiti. 1. Na nekom takmičenju 8 sudaca ocjenjuje takmičare s 1 ili 0. Znamo da su svaka dva takmičara, dva suca ocijenila oba takmičara s 1, dva suca prvoga s 1 i drugoga s 0, dva suca prvoga s 0 i drugoga s 1, i dva suca oba takmičara s 0. Koliko je najviše moglo biti takmičara na takmičenju? 2. Dva jedinična kvadrata, K 1 i K 2, smještena su u ravnini tako da im je udaljenost izmedu središta jednaka 4. Dvije su stranice od K 1 paralelne s pravcem kroz središta kvadrata, a jedna od dijagonala od K 2 leži na tom pravcu. Odredi skup kojemu pripadaju polovišta dužina XY, pri čemu je X točka unutar K 1 i Y točka unutar K Dan je polinom f(x) = x n + (k + 1)x n 1 + (2k + 1)x n ((n 1)k + 1)x + nk + 1., gdje je n prirodan broj. a) Dokaži da je f(1 k) = n + 1. b) Dokaži da ako je n 3 i k 0, tada jednadžba f(x) = 0 nema cijelobrojna rješenja. 1

2 1. Dokaži da se za prost broj p > 3 broj p n ne može prikazati kao zbroj kubova dvaju prirodnih brojeva. Što je u slučajevima p = 2 i p = 3? 2. Postoji li realna funkcija f za koju vrijedi f (f (x)) = x 2 2? 3. Dvije kružnice sa središtima S 1 i S 2 sijeku se u točkama A i B. Pravac kroz A siječe kružnice u Y i Z. Neka se tangente kroz Y i Z sijeku u X, a pravci Y S 1 i ZS 2 sijeku se u P. Kružnica opisana S 1 S 2 B siječe pravac XB u točkama B i Q, dokaži da je P Q promjer te kružnice. 4. Trokut je upisan unutar jediničnog kvadrata tako da središte kvadrata nije unutar trokuta. Dokaži da jedna od stranica trokuta ima duljinu manju od Na stolu je 13 bijelih, 15 crvenih i 17 zelenih žetona. U svakom koraku odaberemo dva raznobojna žetona i zamijenimo ih s dva žetona trece boje. Može li se nakon konačno mnogo koraka na stolu dobiti 45 žetona iste boje? 6. Na stolu je od jednakih novčića okrenutih na pismo sastavljen puni jednakostraničan trokut, stranica trokuta ima n novčića. U svakom se koraku tri novčića koja se medusobno dodiiruju okrenu se na glavu. Za koje se n mogu svi novčići okrenuti na glavu? 7. Dokaži da k > 1 ne dijeli 2 k Koristeći navedenu tvrdnju nadi sve proste brojeve p i q za koje je 2 p + 2 q djelijivo s pq. 1. Dano je beskonačno mnogo točaka u ravnini, dokaži ako su razmaci 2

3 izmedu njih cijeli brojevi da su tada točke kolinearne. 2. Na koji način treba staviti 2 predmeta u 2 ladice okruglog stola s n (n 5) ladica, tako da vjerojatnost nalaženja barem jednog predmeta otvaranjem dviju susjednih ladica bude najmanja? 3. Zadan je rastući nz 1, 2, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27,..., sastavljen od potencija broja 3 i zbroja potencija od broja 3 s različitim stupnjevima. Nadi 100. član niza. 4. Zadan je niz: x n+1 = x n + 3 3x 2 n, n 1, x 1 < 1. 2 a) Koji još uvjet mora x 1 zadovoljiti pa da svi članovi niza budu pozitivni? b) Da li je dani niz periodičan? 1. Koliko rješenja u skupu prirodnih brojeva ima jednadžba: x 1 x 2 x 3 x 4 = 9000? 2. Zadana je funkcija f(n) = 1 n + 2 n n 2 } +...(n 2) 3 + (n 1) 2 + n 1, gdje su n prirodni brojevi. Odredite min. { f(n+1) f(n) 3. Neka je {x 1, x 2,..., x n } = {1, 2,..., n}, n 2. Odredite max {x 1 x 2 + x 1 x x n 1 x n + x n x 1 }. 1. Neka je {a i } m i=n niz prirodnih brojeva, i neka je p prost broj za koji vrijedi: 3

4 1.) p a k, za n k m; 2.) p a j, za j k i n j m. m 1 Dokaži da nije cijeli broj. a i i=n 2. Dva su kandidata na izborima, A i B, neka je A dobio m a B n glasova, i znamo da je m > n. Na koliko različitih načina možemo poslagtai glasačke listiće tako da je kod prebrojavanja uvijek ukupan broj glasova za A veći od broja glasova za B? 3. Dan je (ABCD) tetraedar kojemu se visine AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1 sijeku u H. Neka su A 2, B 2, C 2 točke na AA 1, BB 1, CC 1 takve da je AA 2 : A 2 A 1 = BB 2 : B 2 B 1 = CC 2 : C 2 C 1 = 2 : 1. Dokaži da su tada točke H, A 2, B 2, C 2, D 1 na sferi. 4. Da li je moguće popuniti tablicu 9 9 brojevima 1, 2,..., 81, tako da je u svim 3 3 podtablicama zbroj isti? 5. Četverokuti (ABCP ) i (DEF Q) upisani su u koncentrične kružnice. Ako su trokuti ABC i DEF jednakostranični, dokaži da tada vrijedi: QA 2 + QB 2 + QC 2 = P D 2 + P E 2 + P F Neka je AB tetiva kružnice osim promjera. Tetive A 1 B 1 i A 2 B 2 sijeku se u polovištu P tetive AB. Tangente kružnice kroz A 1 i B 1 sijeku se u C 1, a kroz A 2 i B 2 u C 2. Dokaži da je C 1 C 2 paralelno s AB. 7. Na skupu prirodnih brojeva riješi jednadžbu: 3 x + 4 y = 5 z. n? 8. Neka je n = Koliko djelitelja od n 2 je manje od n i ne dijeli 1. Neka su A 1, A 2,..., A n točke na kružnici, n 3. Nadi najveći broj mogućih šiljastokutih trokuta s vrhovima u tim točkama. 4

5 2. Neka je A = {a 1, a 2,..., a n } skup od n prirodnih brojeva takav da su zbrojevi elemenat po svim podskupovima skupa A medusobno različiti. 3. Neka je P točka unutar šiljastokutnog trokuta ABC takva da je P AB = P CA i P AC = P BA. Ako je D polovište dužine AB, dokaži da je AP D = ACB. 4. U trokutu ABC simetrale kod kutova kod vrhova A i B sijeku nasuprotne stranice u točkama D i E. Dokaži da je DE (3 8)( AB + BC + CA ). Koliki su kutovi trokuta u kojem vrijedi jednakost? 5. U 4 kuverte s adresama nasumično su stavljena 4 pisma za adrese na kuvertama. Kolika je vjerojatnost da je barem jedno pismo stiglo na pravu adresu? 6. Pauk ima 8 čarapa i 8 cipela za svaku nogu. Na koliko se različitih načina on može obuti? Čarapu obuva prije cipele. 7. Koliko ukupno rješenja u skupu neparnih brojeva ima jednadžba x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2014? 5

6 1. U dvorani je n 2 žarulja rasporedeno u vrhove kvadratne mreže duljine stranice n 1. U početku je k žarulja upaljeno. U svakom koraku biramo jedinični kvadrat ako su u njemu upaljene 3 žarulje i upalimo četvrtu. Odredi najmanji k za koji se nakon konačno koraka mogu upaliti sve žarulje. 2. Riješi jednadžbu 7x n + y n = 2 n gdje su n, x n i y n prirodni brojevi. 3. Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva kojima se u zapisu pojavljuju tri različite znamenke? 4. Koliko ima permutacija (a 1, a 2,..., a n ) skupa {1, 2,..., n}, takvih da za svaki j {1, 2,..., n} vrijedi a j j. 5. Koliko ima n tero znamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka 11? 6. Označimo s t(n) najveći broj mogućih točaka u unutrašnjosti ili na rubu pravilnog n terokuta duljine stranice 1, od kojih su svake dvije na udaljenosti većoj od 1. Odredi sve n za koje je t(n) = n 1. 6

7 1. a) Dokaži da je suma svih korijena jednadžbe x n 1 = 0 jednaka 0, a produkt ( 1) n+1. b) Odredi sumu p-tih potencija korijena gornje jednadžbe. 2. Dokaži identitete: n 1 a) x 2n 1 = (x 2 1) (x 2 2x cos kπn ) + 1 ; b) x 2n+1 1 = (x 1) c) x 2n = (x + 1) n 1 d) x 2n + 1 = k=0 3. Dokaži: n 1 a) sin kπ n 2n = 2 ; n 1 b) k=1 n cos 2kπ k=1 k=1 n k=1 n k=1 ( x 2 2x cos 2n + 1 = ( 1) n 2 ( x 2 2x cos ( x 2 + 2x cos (2k + 1)π 2n 2 n, n je paran broj. ) 2kπ 2n ; ) 2kπ 2n ) Neka su 1, ε 1, ε 2,..., ε n 1 korijeni jednadžbe x n = 1. Dokaži da je: n 1 a) (1 ε k ) = n; k=1 n 1 b) k=1 1 1 ε k = n 2. ; 7

8 1. Definiran je niz x 1 = 1 2 i x n+1 = 1 x 1 x 2... x n za n 1. Dokaži da je x 100 > 0, Kroz presjek dijagonala konveksnog četverokuta povučen je pravac. Dokaži da duljina dijela pravca unutar četverokuta nije veća od bar jedne dijagonale. 3. Nadi sve prirodne brojeve n za koje se kvadrat stranice n može razrezati na kvadrate stranica 2 i Kolikio puta funkcija f(x) = cosx cos x 2 na intervalu [0, 2015π ]? 2... cos x 2015 mijenja predznak 8

9 1. Svaki od 25 danih pravaca obojen je jednom od tri dane boje: crvenom, plavom ili zelenom. Ako svakoi od tih pravaca dijeli zadani kvadrat na dva četverokuta čije se površine odnose 2 : 3. Dokaži da barem dva pravca iste boje prolaze istom točkom. 2. Nadi sve prirodne brojeve n za koje polinom P (x) = x n + (2 + x) n + (2 x) n ima barem jednu cjelobrojnu nul točku. 3. Pronadi tri različita prirodna broja sa svojstvom da je umnožak svaka dva uvećan za dva jednak kvadratu prirodnog broja. Dokaži da ne postoje četiri različita prirodna broja s opisanim svojstvom. 1. Nadi sva moguća parketiranja ravnine kongruentnim pravilnim poligonima. 2. Neka su S o i S u središta opisane i upisane kružnice trokutu ABC. Pripisana kružnica dodiruje produžetke stranica AB i AC u točkama K i M, a stranicu BC u N. Neka polovište P dužine KM leži na opisanoj kružnici, dokaži da su tada točke S o, S u i N kolinearne. 3. Za dani prirodan broj n odredi najveći zajednički djelitelj od brojeva ( ) ( ) ( ) n n n,,,. 1 2 n 1 9

10 1. Mogu li se svi cijeli brojevi podijeliti u tri disjunktna skupa, tako da, za n Z brojevi n, n 2 6 i n leže u tri različita skupa? 2. Kružnica upisana trokutu ABC sa središtem u točki S dodiruje stranice BC, CA i AB u točkama D; E i F. Težišnica iz vrha A siječe EF u točki K. Dokaži da točka K leži na pravcu SD. 3. Dokaži da za svaki α < 4 postoje racionalan broj r > α i iracionalan 3 broj x takvi da su x 2 rx i x 3 rx racionalni. 10

11 1. Teoremi Primjena kompleksnih brojeva u geometriji Teorem 1.1. Paralelnost, okomitost, kolinearnost i kut. ab cd a b a b = c d c d a, b, c su kolinearne a b a b = a c a c ab cd a b a b = c d c d ϕ = acb (od a do b u pozitivnom smjeru) c b c b = eiϕ c a c a Teorem 1.2. Svojstva jedinične kružnice. za tetivu ab je a b a b = ab ako je točka c na tetivi ab tada je c = a + b c ab presjek tangenti iz točaka a i b je točka r = 2ab a + b nožište normale iz proizvoljne točke c na tetivu ab je točka p = a + b + c abc 2 presjek tetiva ab i cd je točka t = ab(c + d) cd(a + b) ab cd Teorem 1.3. Tetivni četverokut. Točke a, b, c, d su koncikličke je a c b c : a d b d R. 11

12 Teorem 1.4. Sličnost jednako orijentiranih trokuta. abc def je b a c a = e d f d, gornja jednakost može se zapisati pomoću determinante: a b c d e f = 0. Teorem 1.5. Površina orijentiranog trokuta abc. p = i 4 a a 1 b b 1 c c 1. Teorem 1.6. Težište, ortocentar i središte opisane kružnice. točka c dijeli dužinu ab u omjeru λ 1 c = a + λb 1 + λ točka t je težište trokuta abc t = a + b + c 3 za ortocentar h i središte opisane kružnice o trokuta abc vrijedi h + 2o = a + b + c. 12

13 Teorem 1.7. Neka je jedinična kružnica upisana u trokut abc i neka dodiruje stranice bc, ca, ab u točkama p, q, r. Tada je: 1. a = 2qr q + r, b = 2rp r + p, c = 2pq p + q. 2. h = 2(p2 q 2 + q 2 r 2 + r 2 p 2 + pqr(p + q + r)) (p + q)(q + r)(r + p) 3. o = 2pqr(p + q + r)) (p + q)(q + r)(r + p). Teorem 1.8. Za svaki trokut upisan u jediničnu kružnicu postoje brojevi u, v, w takvi da je a = u 2, b = v 2, c = w 2, a središta lukova ab, bc, ca koji ne sadrže točke c, a, b, su točke: uv, vw, wu. Središte upisane kružnice tog trokuta je i = (uv + vw + wu). Teorem 1.9. Ako je jedan vrh trokuta u ishodištu o a preostala dva su x i y, onda je: 1. h = 2. o = (xy + xy)(x y) xy xy xy(x y)(x y). xy xy 13

14 2. Zadaci Zadatak 2.1. Dan je trokut abc, neka je u = a b i v = c a. Dokaži da je a = 90 je Re(uv) = 0. Zadatak 2.2. Trokutu abc opisana je kružnica, zatim su iz neke točke te kružnice na stranice trokuta povučene okomice. Dokažite da nožišta okomica leže na jednom pravcu (Simsonov pravac). Zadatak 2.3. Dijagonale, AC i BD, trapeza ABCD sijeku se u točki E, a pravci AD i BC u točki F. Ako je O središte opisane kružnice tom trapezu dokaži da tada vrijedi: 1. točke A, D, O, E su koncikličke; 2. točke A, C, O, F su koncikličke. Zadatak 2.4. Na stranicama AB, BC, CA trokuta ABC konstruirani su slični trokuti ADB, BEC, CF A istih orijentacija, koji s trokutom ABC osim zajedničkih stranica nemaju drugih zajedničkih točaka. 1. Dokažite da trokuti ABC i DEF imaju isto težište. 2. Dokažite da su težišta trokutova ADB, BEC, CF A vrhovi jednakostraničnog trokuta (Napoleonov problem). 14

15 Zadatak 2.5. Neka su z 1, z 2, z 3 kompleksni brojevi jednakih modula. Dokažite da su oni vrhovi jednakostraničnog trokuta ako i samo ako je z 1 + z 2 + z 3 = 0. Koji je geometrijski smisao brojeva z 1 z 2, 2 z 3, z 3 z 1 u tom slučaju? Zadatak 2.6. Nad stranicama trokuta ABC konstruirani su pravilni n terokuti, tako da s unutrašnjošću trokuta nemaju zajedničkih točaka. Odredite sve vrijednosti prirodnog broja n za koje su središta n-terokuta vrhovi jednakostraničnog trokuta. Zadatak 2.7. Neka je H ortocentar trokuta ABC, a P proizvoljna točka na njegovoj opisanoj kružnici. Neka je E nožište visine BH, neka su P AQB i P ARC paralelogrami i neka se AQ i HR sijeku u X. Dokaži da su pravci EX i AP paralelni. Zadatak 2.8. Neka je H ortocentar i O središte opisane kružnice trokuta ABC. Točka D je simetrična točki A s obzirom na BC, E je simetrična točki B s obzirom na CA i F je simetrična točki C s obzirom na AB. Neka je r polumjer opisane kružnice tom trokutu. Dokaži da su točke D, E i F kolinearne ako i samo ako je OH = 2r. Zadatak 2.9. Neka je A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 pravilni sedmerokut. Dokaži da je 1 A 0 A 1 = 1 A 0 A A 0 A 3. 15

16 Zadatak Neka su M i N različite točke u ravnini trokuta ABC takve da je AM : BM : CM = AN : BN : CN. Dokaži da pravac M N sadrži središte kružnice opisane trokutu ABC. Razni zadaci. 1. U kvadratnoj mreži n n neka od n 2 polja su popunjena, a neka nisu. Za svaki redak, stupac i svaku od 2(2n 1) dijagonala, znamo koliko je polja u njima popunjeno. Za koje n su nam ovi podaci dovoljni da možemo odrediti pozicije svih popunjenih polja? Za koje pozicije sa sigurnošću možemo reći jesu li popunjene ili prazne? 2. Odredi sve proste brojeve p i q za koje je p q+1 + q p+1 potpun kvadrat. 3. Imamo n žetona s crno-bijelim stranama. Poredani su u niz i svi su okrenuti tako da je bijela strana odozgo. U svakom koraku, kada je to moguće, maknemo žeton okrenut na bijelu stranu i dva susjedna (najbliža koji su ostali) okrenemo, ne smijemo maknuti rubne žetone jer nemaju susjede s obje strane. Dokaži da možemo ostati s dva žetona ako i samo ako n 1 nije djeljivo s Ispit od 6 zadataka rješavalo je 200 učenika. Svaki je zadatak riješilo barem 120 učenika. Dokažite da postoje dva učenika od kojih je svaki zadatak riješio barem jedan od njih. 16

17 17