2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

Транскрипт

1

2 2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8 2 A) (f () M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da je (8 2 A) (m f ()) ; ome dena ako je ome dena odozgor i odozdol; neome dena ako nije ome dena. Primjer funkcija ome dena odozgor

3 funkcija ome dena odozdol ome dena funkcija neome dena funkcija

4 Denicija 2.2 Neka je dana funkcija f : A! R; A R i neka je domena A simetricna s obzirom na ishodište (tj. 2 A =) 2 A). Za funkciju f kaemo da je: parna ako je (8 2 A) (f ( ) = f ()) ; (graf simetrican s obzirom na os ). neparna ako je (8 2 A) (f ( ) = f ()) ; (graf simetrican s obzirom na ishodište). Primjer f () = p 1 2 ; f : [ 1; 1]! R. Dakle, domena A = [ 1; 1] je simetricna s obzirom na ishodište i vrijedi q f ( ) = 1 ( ) 2 = p 1 2 = f () ; pa je funkcija parna

5 f () = 3 ; f : R! R. Dakle, domena A = R je simetricna s obzirom na ishodište i vrijedi f ( ) = ( ) 3 = 3 = f () ; pa je funkcija neparna.

6 Denicija 2.3 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R uzlazna ili rastuća (8 1 ; 2 2 A) ( 1 < 2 =) f ( 1 ) f ( 2 )) ; strogo uzlazna ili strogo rastuća (8 1 ; 2 2 A) ( 1 < 2 =) f ( 1 ) < f ( 2 )) ; silazna ili padajuća (8 1 ; 2 2 A) ( 1 < 2 =) f ( 1 ) f ( 2 )) ; strogo silazna ili strogo padajuća (8 1 ; 2 2 A) ( 1 < 2 =) f ( 1 ) > f ( 2 )) ; ako je f : A! R; A R ili (strogo) rastuća ili (strogo) padajuća kaemo da je (strogo) monotona. funkcija f : A! R; A R je po djeloviima monotona ako se domena A moe "rastaviti" na konacno S mnogo djelova (intervala) I k, tj. A = n I k ; tako da k=1 je na svakom od njih funkcija monotona.

7 Primjer strogo padajuća funkcija strogo rastuća funkcija

8 rastuća funkcija po djelovima monotona funkcija Napomena: Svaka strogo monotona funkcija je injekcija. Denicija 2.4 Za funkciju f : A! R; A R kaemo da je periodicna ako postoji realan broj P 6= 0 takav da vrijedi (8 2 A) ( + P 2 A =) f () = f ( + P )) P se naziva period od f. Najmanji pozitivan period P 0 (ako postoji) naziva se osnovni period. Napomena: Graf periodicke funkcije se ponavlja na svakom intervalu duljine osnovnog perioda, tj. na intervalu oblika [; + P 0 ) :

9 3. Grani cna vrijednost ili es Intuitivna denicija: ako se vrijednost funkcije f () pribliava vrijednosti L kada se nezavisna varijabla pribliava tocki 0 ; tada kaemo da f () tei prema L kada tei prema 0 ; tj. f ()! L kada! 0 : Broj L nazivamo granicna vrijednost ili es funkcije f () u tocki 0 i pišemo f () = L:! 0

10 Denicija 3.1 Neka je f : A! R; A R, 0 2 R i neka vrijedi ( 0 ; 0 + ) \ (An f 0 g) 6= ; za svaki > 0: Kaemo da je L granicna vrijednost ili es funkcije f () u tocki 0 ako vrijedi (8" > 0) (9 > 0) (8; 2 An f 0 g) Pišemo (j 0 j < =) jf () Lj < ") f () = L:! 0 Komentar: " ( 0 ; 0 + ) \ (An f 0 g) 6= ; za svaki > 0" znaci da je funkcija denirana u svakoj (i ma kako maloj) okolini oko tocke 0 ; ali ne mora (a moe) biti denirana u 0 ; tj. 0 nije izolirana tocka. Primjer: A = ( 1; 0) [ (0; 1) i 0 = 0; j 0 j < () 2 ( 0 ; 0 + ) ; jf () Lj < " () f () 2 (L "; L + ") :

11 Teorem 3.2 (jedinstvenost) Ako es od f u tocki 0 postoji, onda je jedinstven. Teorem 3.3 (svojstva esa) Ako postoje!0 f () i!0 g (), onda vrijedi:!0 (f () g ()) =!0 f ()!0 g () ;!0 (f () g ()) =!0 f ()!0 g () ;!0 f() g() = f()! 0 g() ;! 0 f () g() =!0 uz g () 6= 0;! 0 f ()! 0 uz f () > 0 i!0 f () > 0:!0 g() Napomena: Funkcija h() = f () g() je denirana tamo gdje je funkcija g i gdje je f () > 0; tj. D h = D g \ f 2 D f : f () > 0g :

12 Teorem 3.4 (uklještenje) Neka je postoje!0 f () i! 0 g () i neka je f () = g () = L:! 0!0 Ako postoji > 0 takav da za funkciju h vrijedi 2 ( 0 ; 0 ) [ ( 0 ; 0 + ) =) f () h () g () : tada je h () = L:! 0 Primjer: Pomoću Teorema 3.4 moe se pokazati da je sin!0 = 1: Naime, za svaki 2 Budući je!0 cos = 1 i!0 2 ; 0 [ 0; 2 vrijedi cos < sin < 1: onda, po Teoremu 3.4, slijedi 1 = 1 =) cos = 1 = 1;!0!0!0 sin = 1: Za detalje vidjeti Prim.4.6, str.120. (I. Slapnicar).

13 Denicija 3.5 Neka je f : A neka je:! R; A R; 0 2 R i ( 0 ; 0 ) \ A 6= ; za svaki > 0; onda kaemo da je L 1 granicna vrijednost ili es slijeva funkcije f () u tocki 0 ako vrijedi (8" > 0) (9 > 0) (8; 2 ( 0 ; 0 ) \ A) Pišemo =) jf () L 1 j < " f () = L 1 :!0 0 ( 0 ; 0 + ) \ A 6= ; za svaki > 0; onda kaemo da je L 2 granicna vrijednost ili es zdesna funkcije f () u tocki 0 ako vrijedi (8" > 0) (9 > 0) (8; 2 ( 0 ; 0 + ) \ A) Pišemo =) jf () L 2 j < " f () = L 2 :! +0 0

14 Primjer: f () = sgn ; f : ( 1; 0) [ (0; 1)! R Napomena: sgn = jj = 1; < 0 1; > !0 sgn = 1; sgn = 1 0! ili! +0 0 ) moguće je da Ako! 0 (ili! 0 vrijednosti funkcije f () tee u beskonacnost.

15 Denicija 3.6 Neka je f : A! R; A R, 0 2 R i neka vrijedi ( 0 ; 0 + ) \ (An f 0 g) 6= ; za svaki > 0: Ako (8M 1 > 0) (9 > 0) (8; 2 An f 0 g) (j 0 j < =) f () > M 1 ) onda kaemo da f tei u +1 kada tei u 0 i pišemo! 0 f () = +1: Napomena: u ovom slucaju es ne postoji. Ako (8M 2 < 0) (9 > 0) (8; 2 An f 0 g) (j 0 j < =) f () < M 2 ) onda kaemo da f tei u 1 kada tei u 0 i pišemo f () = 1:! 0 Napomena: u ovom slucaju es ne postoji. Slicno za ese zdesna i slijeva.

16 Primjer f () = 1!0!0 f () = +1; f () = 1 0!0 +0

17 Limes u beskonacnosti Ako je podrucje denicije A funkcije f : A! R; A R; neograniceno sjedne ili obje strane, tj. ako sadri neki interval oblika (a; +1) ili ( 1; b), onda kaemo: Denicija 3.6 Vrijednost b 2 R je es u +1 i pišemo ako f () = b!+1 (8" > 0) (9M 1 > 0) (8 2 A) ( > M 1 =) j f () bj < ") Vrijednost c 2 R je es u 1 i pišemo ako f () = c! 1 (8" > 0) (9M 2 < 0) (8 2 A) ( < M 2 =) j f () cj < ") :

18 Primjer Napomena: Teoremi analogni Teoremima 3.2, 3.3, 3.4 vrijede i za ese zdesna, slijeva i za ese u beskonacnosti. Primjer Treba naći Budući da je!+1 sin : 1 sin 1; onda za > 0 vrijedi 1 sin 1 ; Kako je 1!+1 =!+1 onda je, po teoremu uklještenja,!+1 sin = 0: 1 = 0;