2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

Транскрипт

1

2 2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (x) M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da je (8x 2 A) (m f (x)) ; ome dena ako je ome dena odozgor i odozdol; neome dena ako nije ome dena. Primjer funkcija ome dena odozgor

3 funkcija ome dena odozdol ome dena funkcija neome dena funkcija

4 Denicija 2.2 Neka je dana funkcija f : A! R; A R i neka je domena A simetricna s obzirom na ishodište. Za funkciju f kaemo da je: parna ako je (8x 2 A) (f ( x) = f (x)) ; (graf simetrican s obzirom na os y) neparna ako je (8x 2 A) (f ( x) = f (x)) ; (graf simetrican s obzirom na ishodište) Primjer f (x) = p 1 x 2 ; f : [ 1; 1]! R. Dakle, domena A = [ 1; 1] je simetricna s obzirom na ishodište i vrijedi q f ( x) = 1 ( x) 2 = p 1 x 2 = f (x) ; pa je funkcija parna. f (x) = x 3 ; f : R! R. Dakle, domena A = R je simetricna s obzirom na ishodište i vrijedi f ( x) = ( x) 3 = x 3 = f (x) ; pa je funkcija neparna.

5 Denicija 2.3 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R uzlazna ili rastuća (8x 1 ; x 2 2 A) (x 1 < x 2 =) f (x 1 ) f (x 2 )) ; strogo uzlazna ili strogo rastuća (8x 1 ; x 2 2 A) (x 1 < x 2 =) f (x 1 ) < f (x 2 )) ; silazna ili padajuća (8x 1 ; x 2 2 A) (x 1 < x 2 =) f (x 1 ) f (x 2 )) ; strogo silazna ili strogo padajuća (8x 1 ; x 2 2 A) (x 1 < x 2 =) f (x 1 ) > f (x 2 )) ; ako je f : A! R; A R ili (strogo) rastuća ili (strogo) padajuća kaemo da je (strogo) monotona. funkcija f : A! R; A R je po djeloviima monotona ako se domena A moe "rastaviti" na konacno S mnogo djelova (intervala) I k, tj. A = n I k ; tako da k=1 je na svakom od njih funkcija monotona.

6 Primjer strogo padajuća funkcija strogo rastuća funkcija

7 rastuća funkcija po djelovima monotona funkcija Napomena: Svaka strogo monotona funkcija je injekcija. Denicija 2.4 Za funkciju f : A! R; A R kaemo da je periodicna ako postoji realan broj P 6= 0 takav da vrijedi (8x 2 A) (x + P 2 A =) f (x) = f (x + P )) P se naziva period od f. Najmanji pozitivan period P 0 (ako postoji) naziva se osnovni period. Napomena: Graf periodicke funkcije se ponavlja na svakom intervalu duljine osnovnog perioda, tj. na intervalu oblika [x; x + P 0 )

8 3. Grani cna vrijednost ili es Intuitivna denicija: ako se vrijednost funkcije f (x) pribliava vrijednosti L kada se nezavisna varijabla pribliava tocki x 0 ; tada kaemo da f (x) tei prema L kada x tei prema x 0 ; tj. f (x)! L kada x! x 0 : Broj L nazivamo granicna vrijednost ili es funkcije f (x) u tocki x 0 i pišemo f (x) = L:

9 Denicija 3.1 Neka je f : A! R; A R, x 0 2 R i neka vrijedi (x 0 ; x 0 + ) \ (An fx 0 g) 6= ; za svaki > 0: Kaemo da je L granicna vrijednost ili es funkcije f (x) u tocki x 0 ako vrijedi (8" > 0) (9 > 0) (8x; x 2 An fx 0 g) Pišemo (jx x 0 j < =) jf (x) Lj < ") f (x) = L: Komentar: " (x 0 ; x 0 + ) \ (An fx 0 g) 6= ; za svaki > 0" znaci da je funkcija denirana u svakoj (i ma kako maloj) okolini oko tocke x 0 ; ali ne mora (a moe) biti denirana u x 0 ; tj. x 0 nije izolirana tocka. Primjer: A = ( 1; 0) [ (0; 1) i x 0 = 0; jx x 0 j < () x 2 (x 0 ; x 0 + ) ; jf (x) Lj < " () f (x) 2 (L "; L + ") :

10 Teorem 3.2 (jedinstvenost) Ako es od f u tocki x 0 postoji, onda je jedinstven. Teorem 3.3 (svojstva esa) Ako postoje f (x) i g (x), onda vrijedi: (f (x) g (x)) = f (x) g (x) ; (f (x) g (x)) = f (x) g (x) ; f(x) g(x) = f(x) g(x) ; f (x) g(x) = uz g (x) 6= 0; f (x) uz f (x) > 0 i f (x) > 0: g(x) Napomena: Funkcija h(x) = f (x) g(x) je denirana tamo gdje je funkcija g i gdje je f (x) > 0; tj. D h = D g \ fx 2 D f : f (x) > 0g :

11 Teorem 3.4 (uklještenje) Neka je postoje f (x) i g (x) i neka je f (x) = g (x) = L: Ako postoji > 0 takav da za funkciju h vrijedi x 2 (x 0 ; 0) [ (0; x 0 + ) =) f (x) h (x) g (x) : tada je h (x) = L: Primjer: Pomoću Teorema 3.4 moe se pokazati da je sin x x!0 x = 1: Naime, za svaki x 2 Budući je 2 ; 0 [ 0; 2 vrijedi cos x < sin x x < 1: cos x = 1 = 1; x!0 x!0 onda, po Teoremu 3.4, slijedi x!0 sin x x = 1: Za detalje vidjeti Prim.4.6, str.120. (I. Slapnicar).

12 Denicija 3.5 Neka je f : A! R; A R; x 0 2 R i neka je (x 0 ; x 0 ) \ A 6= ; za svaki > 0; onda kaemo da je L 1 granicna vrijednost ili es slijeva funkcije f (x) u tocki x 0 ako vrijedi (8" > 0) (9 > 0) (8x; x 2 (x 0 ; x 0 ) \ A) Pišemo =) jf (x) L 1 j < " f (x) = L 1 : 0 (x 0 ; x 0 + ) \ A 6= ; za svaki > 0; onda kaemo da je L 2 granicna vrijednost ili es zdesna funkcije f (x) u tocki x 0 ako vrijedi (8" > 0) (9 > 0) (8x; x 2 (x 0 ; x 0 + ) \ A) Pišemo =) jf (x) L 2 j < " f (x) = L 2 : x!x +0 0

13 Primjer: f (x) = sgn x; f : ( 1; 0) [ (0; 1)! R Napomena: sgn x = x jxj = 1; x < 0 1; x > 0 x!0 sgn x = 1; sgn x = 1 0 x! ili x! x +0 0 ) moguće je da Ako x! x 0 (ili x! x 0 vrijednosti funkcije f (x) tee u beskonacnost.

14 Denicija 3.6 Neka je f : A! R; A R, x 0 2 R i neka vrijedi (x 0 ; x 0 + ) \ (An fx 0 g) 6= ; za svaki > 0: Ako (8M 1 > 0) (9 > 0) (8x; x 2 An fx 0 g) (jx x 0 j < =) f (x) > M 1 ) onda kaemo da f tei u +1 kada x tei u x 0 i pišemo f (x) = +1: Napomena: u ovom slucaju es ne postoji. Ako (8M 2 < 0) (9 > 0) (8x; x 2 An fx 0 g) (jx x 0 j < =) f (x) < M 2 ) onda kaemo da f tei u 1 kada x tei u x 0 i pišemo f (x) = 1: Napomena: u ovom slucaju es ne postoji. Slicno za ese zdesna i slijeva.

15 Primjer f (x) = 1 x!0 x!0 f (x) = +1; f (x) = 1 0 x!0 +0

16 Limes u beskonacnosti Ako je podrucje denicije A funkcije f : A! R; A R; neograniceno sjedne ili obje strane, tj. ako sadri neki interval oblika (a; +1) ili ( 1; b), onda kaemo: Denicija 3.6 Vrijednost b 2 R je es u +1 i pišemo ako f (x) = b x!+1 (8" > 0) (9M 1 > 0) (8x 2 A) (x > M 1 =) j f (x) bj < ") Vrijednost c 2 R je es u 1 i pišemo ako f (x) = c x! 1 (8" > 0) (9M 2 < 0) (8x 2 A) (x < M 2 =) j f (x) cj < ") :

17 Primjer Napomena: Teoremi analogni Teoremima 3.2, 3.3, 3.4 vrijede i za ese zdesna, slijeva i za ese u beskonacnosti. Primjer Treba naći Budući da je x!+1 sin x x : 1 sin x 1; onda za x > 0 vrijedi 1 x sin x x 1 x ; Kako je 1 x!+1 x = x!+1 onda je, po teoremu uklještenja, x!+1 sin x x = 0: 1 x = 0;