(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)"

Транскрипт

1 . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo: = 0.5, 0., = 0., 5 0., 7 = 0.75, 8 = 0. 0 Izmeñu decimalnih brojeva 0.5 i 0. očito se nalazi jedino decimalan broj 0., pa je rješenje zadatka 0.. B. Pretpostavimo da je tražena kvadratna jednadžba + b + c = 0. Primijenimo Vietèove formule. One kažu da je suprotna vrijednost koeficijenta uz (tj. parametra b) jednaka zbroju obaju jednadžbe, a vrijednost koeficijenta c jednaka umnošku tih. Tako odmah dobivamo: pa tražena kvadratna jednadžba glasi: b = ( ) =, c =,. A. Imamo redom: + + = 0. m t =, r h m = t, / h h r m = h t. r. C. Prvi, najveći, zupčanik se okrene 9 puta, a svaki sljedeći dvostruko više u odnosu na neposredno prethodni zupčanik (jer ima dvostruko manje zubaca u odnosu na njega). Stoga brojevi okretaja zupčanika tvore geometrijski niz kojemu je prvi član g = 9, a količnik q =. Tražimo prirodan broj n takav da je g n = 5. Primijenimo formulu: g g q n n =, za svaki n N. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

2 Tako dobivamo eksponencijalnu jednadžbu: Riješimo tu jednadžbu na uobičajen način: = n 9 5. n 9 5 / : 9 = n = 8, n 7 =, n = 7, n = 8. Dakle, u nizu je spojeno točno 8 zupčanika. 5. C. Primijenimo trigonometrijsku funkciju kosinus. Označimo li traženu mjeru kuta s β,. onda je cos β =. Odatle je β = = 67 '''. 6. B. Točka E(t) za koju je sin t strogo negativan, a tangens strogo pozitivan nužno se nalazi u trećem kvadrantu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini. Dakle, u obzir dolaze slike označene s B i C. Budući da znamo vrijednost sin t, pogledajmo druge koordinate točaka E(t) na tim slikama jer je druga koordinata svake od tih točaka upravo sin t. Druga koordinata točke E(t) na slici B je očito strogo veća od, dok je druga koordinata točke E(t) na slici C strogo manja od. (Grubo i neprecizno možemo reći da je druga koordinata točke na slici C vrlo blizu.) Budući da je sint = >, rješenje zadatka je točka na slici B. 7. D. Zadani vektori su okomiti ako i samo ako je njihov skalarni umnožak jednak nuli. Izračunamo: a b = ( ) k + 7 = k + 8. Vrijednost toga izraza bit će jednaka nuli ako i samo ako je k + 8 = 0. Odavde lagano slijedi k = C. Bilo koja eksponencijalna funkcija nije ni parna, ni neparna, pa funkcija pod A nije ni parna ni neparna. Funkcija pod B je parna jer je f ( ) = ( ) + = + = f (). Funkcija pod D nije ni parna, ni neparna jer je zbroj parne funkcije log( ) i neparne funkcije. Funkcija pod C je neparna jer je f ( ) = ( ) cos( ) = (zbog parnosti funkcije kosinus) = cos = ( cos ) = f(). Isti zaključak smo mogli izvesti i koristeći činjenicu da je umnožak neparne i parne funkcije uvijek neparna funkcija. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

3 n 9. C. Koristimo binomni poučak. Koeficijent uz peti član u binomnom razvoju je, a n n n koeficijent uz osmi član 7. Tako dobivamo jednadžbu = 7. Ova dva binomna koeficijenta imaju jednake brojnike (to je n), ali različite nazivnike. Zbog svojstva n n simetrije binomnih koeficijenata k = n k, jednakost će vrijediti ako i samo ako vrijedi = n 7 (ili, ekvivalentno, n = 7). Odatle je n =. Napomena: Zadatak se može riješiti i bez korištenja svojstva simetrije binomnih koeficijenata, ali uz poznavanje teorije o cjelobrojnim n n rješenjima algebarske jednadžbe. Naime, iz = raspisivanjem prema alternativnoj definiciji binomnoga koeficijenta 7 n n ( n )... ( n k + ) = dobivamo redom: k k! n ( n ) ( n ) ( n ) n ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n 5) ( n 6) =,! 7! n ( n ) ( n ) ( n ) n ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n 5) ( n 6) n ( n ) ( n ) ( n ) =, / :!! 5 6 7! ( n ) ( n 5) ( n 6) =, ( n ) ( n 5) ( n 6) = 5 6 7, ( n 9 n + 0) ( n 6) = 0, n n n = 0, n n n = 0. Prema uvjetu zadatka je n N. Svi kandidati za prirodna dobivene jednadžbe su svi prirodni djelitelji broja 0. Rastavimo li taj broj na proste faktore, dobit ćemo: 0 = 5. Stoga svi prirodni djelitelji broja 0 tvore skup S = {,,, 5, 6, 0,, 5,, 0,, 55, 66, 0, 65, 0}. Izravnom provjerom (svaki od navedenih elemenata uvrštavamo u jednadžbu i provjeravamo je li lijeva strana tako dobivenoga izraza jednaka nuli) utvrñujemo da je jedino prirodno rješenje dobivene jednadžbe n =. 0. B. Označimo sa r polumjer nacrtane kružnice. Promotrimo njezinu tetivu AB. Spojimo krajnje točke te tetive sa središtem kružnice S. U trokutu ABS je SA = SB = r, a prema pretpostavci je AB = r. Stoga je trokut ABS jednakostraničan, pa je mjera središnjega kuta nad tetivom AB jednaka 60. Traženi kut α je obodni kut nad istom tetivom AB. Prema poučku o obodnom i središnjem kutu, njegova je mjera dvostruko manja od mjere 60 središnjega kuta. Dakle, α = = 0.. B. Obujam akvarija jednak je obujmu kvadra čije su dimenzije 5 cm, 5 cm i 5 cm. Taj obujam je jednak V = = 8 5 cm. U akvarij je naliveno ukupno 9 litara = 9 dm = cm = cm, pa je obujam preostaloga prostora jednak V = = 9 5 cm. Tražena udaljenost jednaka je visini kvadra čiji je obujam 9 5 cm, a duljine dvaju bridova 5 cm i 5 cm. Ta visina iznosi: h = = = 8. cm mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

4 . A. Neka su g i h redom polazni broj stabala graba, odnosno polazni broj stabala hrasta. Iz podatka da se ti brojevi odnose kao : zaključujemo da postoji k > 0 takav da vrijede jednakosti g = k i h = k. Nakon što se posiječe svih stabala graba, preostaje ukupno k ( k) = k k = 7 k stabala graba. Nakon što se sadnjom za poveća broj svih stabala hrasta, u šumi će biti ukupno k + ( k) = k + k = k + k = + k = k = k = k 6 6 stabala hrasta. Stoga je traženi omjer jednak 7 k 7 = = = : 7. 9 k 9 7. A. Odredimo najprije pravilo funkcije h = f g. Imamo redom: [ ] h( ) = ( f g)( ) = f g( ) = f log( + ) = log( + ). Riješimo jednadžbu h() =. Imamo redom: log( + ) =, log( + ) = +, log( + ) =, / : log( ), + = 0, + = 0, = 0, = 9. + = Odatle je = i =. Lako se vidi da je prirodno područje definicije (domena) funkcije h skup R (jer je + > 0, za svaki R), pa su i doista promatrane jednadžbe. Njihov je zbroj jednak + = + = 0.. D. Koristimo formulu sin [ cos( ) ] transformiramo na sljedeći način:. =. Zbog nje zadanu jednadžbu cos( ) + [ cos( ) ] = 0, cos( ) + cos( ) = 0, cos( ) =, cos( ) =. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

5 Odatle je = ± π + k π, odnosno Iz zahtjeva [0, π] slijedi: π = ± + k π = k ± π, pri čemu je k Z. 0 k ± π π, /: π 0 k ±. Ako u gornjoj jednakosti uzmemo predznak +, dobivamo nejednadžbu 0 k +, 5 odnosno nejednadžbu k koja u skupu cijelih brojeva ima točno dva : k = 0 i k =. Svaki od tih cijelih brojeva generira točno jedno rješenje polazne jednadžbe, pa ovaj slučaj daje dva različita polazne jednadžbe. Uzmemo li, pak, predznak, dobivamo nejednadžbu 0 k, odnosno nejednadžbu 7 k koja u skupu cijelih brojeva ima točno dva : k = i k =. Svaki od tih cijelih brojeva generira točno jedno rješenje polazne jednadžbe, pa ovaj slučaj daje još dva različita polazne jednadžbe. Dakle, zadana jednadžba u intervalu [0, π] ima ukupno + = različita. 5. A. Neka su a duljina osnovnoga brida piramide, b duljina bočnoga brida piramide, h duljina visine piramide i v duljina visine bilo koje pobočke. Uočimo pravokutan trokut kojemu je jedna kateta visina piramide, a druga kateta jedna trećina visine osnovke, a hipotenuza visina pobočke. U tom je trokutu kut izmeñu hipotenuze i druge katete jednak 68. Budući da je duljina visine osnovke jednaka v = a, primjenom funkcija sinus i kosinus dobivamo: h = sin 68, v h = v sin 68, h = v sin 68, h = v sin 68, a 6 a = cos68 a = v cos68 a = v cos68. cos68 6 v = v Preostaje uočiti pravokutan trokut kojemu je jedna kateta visina piramide, hipotenuza bočni brid, a druga kateta dvije trećine visine osnovke. Označimo li traženi kut s β, primjenom funkcije tangens dobijemo: h h h h v sin 68 tg β = = = = = = tg 68. v a a v cos68 a Odatle je β = arctg tg 68 = '6''. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5

6 Odmah imamo:.5 + = = % od 8% nekoga broja tvori traženi broj jednak = = = toga broja. Stoga je ).6 0. Budući da minuta ima 60 sekundi, 0 minuta ima 0 60 = 00 =. 000 =. 0 sekundi. Stoga je traženi put jednak s 8 8+ = v t = 0 m/s. 0 s = (.) 0 =.6 0 m..) 7 π. Prema de Moivrèovoj formuli za potenciranje kompleksnoga broja zapisanoga u trigonometrijskom obliku, argument potencije jednak je umnošku argumenta baze i eksponenta (pri čemu taj umnožak treba svesti na kut u intervalu [0, π ako je to potrebno). U ovome je slučaju argument baze, tj. argument polaznoga kompleksnoga broja jednak π, eksponent jednak 6, pa odmah dobivamo: 7 7 π ϕ = 6 = π ) 8 =. Primjenom pravila za množenje potencija s istim bazama i potenciranje potencije dobivamo: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = =..) a. Imamo redom: a 6 a ( a) ( a) (6 a ) 9 a 6 a + a = = = a a a a a a ( a) ( a) + ( a ) a. = = = a a a a a 0..) Vidjeti Sliku. U zadani pravokutni koordinatni sustav u ravnini ucrtamo točke A = (5, 0) i B = (, ), pa ih spojimo jednim pravcem. Dobivamo pravac prikazan na Slici..) ; 0. Svaka točka na osi apscisa im drugu koordinatu jednaku nuli. Prva koordinata tražene točke dobiva se tako da u jednadžbu pravca uvrstimo y = 0. Time zapravo treba riješiti jednadžbu mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6

7 Nju riješimo na standardan način: 0 + =. + = 0, =, / : = ( ) : = ( ) =. Dakle, traženo sjecište je točka S = (, 0). Slika...) ;. Zadani sustav je najjednostavnije riješiti metodom zamjene (supstitucije). 5 Uvrstimo prvu jednadžbu sustava u drugu jednadžbu sustava, pa redom dobivamo: + 0 =, 5 + ( ) =, + 8 =, 5 = + 8, =, =, 5 5 =. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7

8 Odavde dijeljenjem s 5 slijedi sustava: =. Dobiveni rezultat uvrstimo u prvu jednadžbu y = = = Dakle, rješenje sustava je ureñeni par (, y) =, 5..) =, = (ili obratno). Razlikujemo dva slučaja: a) Ako je 0, onda je =, pa dobivamo jednadžbu = Nju riješimo standardnim postupkom: = + 6, = 6 +, = 8, / : =. Lako se vidi da za = vrijedi nejednakost 0, pa je taj realan broj rješenje polazne jednadžbe. b) Ako je < 0, onda je = ( ) = +, pa dobivamo jednadžbu + = + 6. Nju riješimo standardnim postupkom: + = + 6, = 6, ( ) =, / : ( ) =. Lako se vidi da za = vrijedi nejednakost < 0, pa je taj realan broj rješenje polazne jednadžbe. Dakle, polazna jednadžba ima točno dva realna : = i =. 7..),. Zadana funkcija je kvadratna funkcija čiji su koeficijenti a =, b = i c =. Koeficijent uz jednak je i on je strogo negativan. To znači da zadana funkcija ima globalni maksimum. Vrijednost toga maksimuma iznosi: f ma ( ) ( ) a c b = = = = =. a mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8

9 Dakle, zadana funkcija poprima sve realne vrijednosti jednake ili manje od 7. Te vrijednosti tvore skup 7, i taj je skup tražena slika zadane funkcije..) Vidjeti Sliku. Graf zadane funkcije je parabola. Svaka parabola je jednoznačno odreñena zadavanjem bilo koje tri svoje različite točke. Mi ćemo odrediti sjecišta parabole s koordinatnim osima i tjeme parabole, pa na temelju dobivenih rezultata nacrtati graf parabole. Sjecišta parabole s osi apscisa (osi ) je točka čija je druga koordinata jednaka 0 (jer svaka točka na osi apscisa ima drugu koordinatu jednaku 0), a prva koordinata realna nultočka funkcije f. Stoga trebamo riješiti jednadžbu f () = 0. Imamo redom: f ( ) = 0, + =, 0, ± ( ) ± 9 ± 7 = = = = 7. Dakle, sjecišta tražene parabole s osi apscisa su točke S = ( 7,0) i ( 7,0) S = +. Prve koordinate tih točaka su iracionalni brojevi, pa je navedene točke relativno teško ucrtati u pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Sjecište parabole s osi ordinata (osi y) je točka čija je prva koordinata jednaka 0 (jer svaka točka na osi ordinata ima prvu koordinatu jednaku 0), a druga koordinata jednaka f (0). Stoga računamo f (0): f = + = + = + = (0) Dakle, sjecište tražene parabole s osi ordinata je točka S = (0, ). Odredimo tjeme tražene parabole. Druga koordinata te točke jednaka je najvećoj vrijednosti funkcije f, a nju smo izračunali u.). Dakle, druga koordinata tjemena je 7. Izračunajmo prvu koordinatu: T b = = = =. a Dakle, tjeme parabole je točka T 7 =,. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9

10 Budući da nam nedostaje još jedna točka s cjelobrojnim (ili eventualno racionalnim) koordinatama, izračunajmo npr. drugu koordinatu točke parabole čija je prva koordinata jednaka. Ta druga koordinata jednaka je f (), pa izračunajmo f (): f = + = + = + = () 6 6. Dakle, paraboli pripada i točka A = (, ). Stoga u zadani pravokutni koordinatni sustav u ravnini ucrtajmo točke S, T i A, pa ih spojimo parabolom. Dobivamo krivulju prikazanu na Slici. Slika...).6. Pravokutni trokut s katetom duljine i hipotenuzom duljine 5.6, te pravokutni trokut s katetom duljine a i hipotenuzom duljine 6. imaju zajedničku drugu katetu. Stoga primjena Pitagorina poučka na oba trokuta daje: a = , a = a , / : ( ) = = = 7., a = 7. = ) Primjenom kosinusova poučka dobivamo: c = cos5 = = + 0, c cm..) 5,. Razlikujemo dva slučaja: + 5 > 0 > < 0 < 5 I. 5,. II. nema. < 0 < > 0 > Dakle, skup svih jednadžbe je interval 5,. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 0

11 .), i, +. Iz zadanih podataka zaključujemo: budući da funkcija ima lokalni minimum u točki A, ona strogo pada na intervalu, ; budući da funkcija ima lokalni maksimum u točki C, a lokalni minimum u točki A, ona strogo raste na intervalu, ; budući da funkcija ima lokalni maksimum u točki C, a lokalni minimum u točki B, ona strogo pada na intervalu, ; budući da funkcija ima lokalni minimum u točki B, ona strogo raste na intervalu, +. Dakle, traženi intervali rasta su, i, +. Napomena: Skup,, + nije interval, pa taj skup nije točno rješenje zadatka. 5..). Koristimo pravilo deriviranja složene funkcije. Najprije deriviramo cos ( ) funkciju tangens (pri čemu je argument derivacije jednak argumentu tangensa, tj. ), a potom dobiveni izraz pomnožimo s derivacijom argumenta tangensa. Iz tablica derivacija elementarnih funkcija znamo da je (tg )' = cos, pa dobivamo: f '( ) = ( )' = ( )' = =. cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ).) y = 5. Odredimo najprije drugu koordinatu točke krivulje u kojoj povlačimo tangentu. Budući da je prva koordinata te točke jednaka, druga koordinata jednaka je vrijednosti f (). Stoga računamo f (): f () = + + = + + =. Dakle, tangentu povlačimo u točki D = (, ). Izračunajmo koeficijent smjera tangente. On je jednak vrijednosti prve derivacije funkcije f u točki 0 =. Stoga imamo: ( ) f f '( ) = ( )' + ' + ()' = + ( )' + 0 = + = +, '() = + = + = 5. Dakle, koeficijent smjera tangente jednak je k = 5. Stoga jednadžba tangente glasi: y = 5 ( ), y = 5 5 +, y = ). Iz slike vidimo da krivulja prolazi točkom (0, ). Ako u jednadžbu krivulje uvrstimo = 0 i y =, dobit ćemo: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

12 A sin(b 0) + D =, A sin 0 + D =, A 0 + D =. 0 + D =, D =. Najveća vrijednost izraza sin(b ) jednaka je. Stoga je najveća vrijednost funkcije f jednaka A + D = A + D. Iz slike se vidi da je najveća vrijednost funkcije f jednaka, pa slijedi: A + D =. Tako rješavanjem sustava dviju linearnih sustava s dvije nepoznanice dobivamo (A, D) = (, ). Dakle, A =. A + D =, D = Napomena: Zadatak se alternativno može riješiti korištenjem činjenice da je u ovom slučaju amplituda A jednaka polovici razlike najveće i najmanje vrijednosti zadane funkcije. Najmanja vrijednost funkcije f jednaka je, a najveća vrijednost te funkcije jednaka je. Stoga je A = [ ( ) ] = ( + ) = =. π.). Koristit ćemo činjenicu da je temeljni period funkcije f dan izrazom T =. B π Uočimo da funkcija u točkama = i = π poprima istu vrijednost (ta vrijednost je jednaka ), te da izmeñu tih dviju točaka još dvaput poprima tu vrijednost. To znači da se točka dobije tako da se točki doda trostruki temeljni period T: = + T. U ovaj izraz uvrstimo T π π =, = i = π, pa dobijemo: B π π π = +, B 6 π π = π +, B 6 π B = π, / B π 6 π B = =. π 7..) 8 8. Prvi član niza je g =, a količnik niza jednak g = g q = g q = = = =. 8 q = = =. Stoga je šesti član niza mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

13 .). = 0.6. Neka je q traženi količnik reda. Iz formule za zbroj konvergentnoga 5 a geometrijskoga reda S = izrazimo q: q S a q = / q S a q =, S a q =, / : ( ) S a q =. S U ovu jednakost uvrstimo a = 0.5 i S =.5, pa konačno dobivamo: 0.5 q = = 0. = ) 50. Ubačene dnevne svote tvore aritmetički niz čiji je prvi član a =, a razlika d = 0.5 (jer je 50 lp = 0.5 kn). Tražena svota jednaka je zbroju prvih 5 članova toga niza. U n formulu za zbroj prvih n članova aritmetičkoga niza Sn = [ a + ( n ) d ] uvrstimo a =, n = 5 i d = 0.5, pa dobivamo: S 5 = [ + (5 ) 0.5 ] = ( + 0.5) = ( + ) = = ) =. Prema definiciji logaritma slijedi: 5 9.) log 8 =, = 8, / = 8, ( ) ( ) =, =( ), = = = Uvedimo zamjenu t : = 0.5. Tada su 0.5 = = t = t, 0.5 = = (0.5 ) = 0.5 = t = t, mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

14 pa dobivamo linearnu jednadžbu: t + t = 8, odnosno 6 t = 8. Dijeljenjem s 6 slijedi t = 8. Tako dalje imamo: 0.5 = 8, = =,, ( ) =, ( ) =. Izjednačavanjem eksponenata dobivamo linearnu jednadžbu ( ) = čije je jedino rješenje =..) 5.6 sati. Trebamo riješiti nejednadžbu K(t) <. Imamo redom: K( t) <, t <, /:.5 t 0.85 < 0. / log t log(0.85 ) < log(0.) t log(0.85) < log(0.) / : log(0.85) log 0. t > = log 0.85 (Znak nejednakosti se promijenio jer je log(0.85) < 0.) Ovaj rezultat zaokružimo naviše, i to na dvije decimale, pa dobijemo t 5.6 sati = 5 sati 8 minuta sekunde. Napomena: Zaokruživanje na 5.6 ne daje ispravan rezultat jer je K(5.6),00, a taj broj je strogo veći od. Takoñer, t > sati daje t > 5 sati 8 minuta 6.99 sekundi, pa je u tom slučaju t 5 sati 8 minuta i 7 sekundi. Razlika od 7 sekundi nastala je zbog zaokruživanja na dvije decimale. 9..) ; ; vidjeti Sliku. Iz jednadžbe kružnice odmah očitamo koordinate središta: S = (, ) i duljinu polumjera kružnice r = 5 = 5. Stoga ucrtamo točku S u pravokutni koordinatni sustav u ravnini, šestarom uzmemo udaljenost r = 5, zabodemo šestar u točku S i oko te točke opišemo kružnicu polumjera r = 5. Ta kružnica je tražena kružnica. Ona je prikazana na Slici. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

15 Slika. 080.) 6.6 cm. Najprije dokažimo sljedeću tvrdnju: Tvrdnja. Ako su ABC i A'B'C ' slični trokutovi s koeficijentom sličnosti k, onda su visine na korespondentne (s obzirom na sličnost) stranice trokuta slične s koeficijentom sličnosti k. Dokaz : Znamo da za trokutove ABC i A'B'C' koji su slični s koeficijentom sličnosti k vrijede jednakosti: A' B ' = k AB, P k P A' B ' C ' =. ABC ' Budući da je PABC = AB vc i analogno PA ' B ' C ' = A' B ' vc, uvrštavanjem ove dvije jednakosti i prve jednakosti u drugu jednakost dobivamo: ' k AB vc = k AB vc, a odavde dijeljenjem s k AB slijedi ' v = što smo i tvrdili. U našem je zadatku ' c c k v, c v = AB = 6, v =., pa iz dokaza Tvrdnje. slijedi ' vc 6 60 k = = =. Stoga je tražena površina trokuta A'B'C ' jednaka: v. c A' B' C ' ABC c c P = k P = AB v = 6. = 6 = = = = 6.6 cm mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5

16 .) jediničnih dužina. Odredimo najprije vrijednost b. Budući da točka T pripada krivulji, njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu krivulje. Stoga u jednadžbu krivulje uvrstimo = i y = 6. Dobivamo: ( 6) + =, 6 b 6 + =, 6 b 6 + =, b 6 =, b 6 =, b b = 6, 6 b = = 8. Uočimo da je zadana krivulja elipsa. Jednadžba tangente (u segmentnom obliku) na elipsu y + = u točki T = ( T, y T ) glasi: a b a y y + =. b T T U ovu jednakost uvrstimo T =, a = 6, y T = 6 i b = 8, pa dobivamo: y ( 6) + =, 6 8 y + =. 8 8 Odavde slijedi da tangenta t prolazi točkama A = (8, 0) i B = (0, 8). Njezina udaljenost od ishodišta jednaka je duljini visine na hipotenuzu pravokutnoga trokuta čije katete imaju duljine 8 jediničnih dužina. Jedan vrh toga trokuta je ishodište O pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini, a preostala dva vrha su točke A i B. Trokut OAB je jednakokračan pravokutan trokut jer njegove katete imaju jednake duljine. Štoviše, on je zapravo polovica kvadrata čija je stranica duga 8 jediničnih dužina. Zbog toga je tražena udaljenost jednaka je polovici duljine dijagonale kvadrata čija je stranica duga 8 jediničnih dužina. Dakle, d( O, t ) = 8 = jediničnih dužina..) Trebamo izračunati opseg zadanoga trapeza. Da bismo to napravili, nedostaju nam duljine dviju stranica trapeza. Radi odreñenosti, neka su vrhovi trapeza A, B, C i D označeni tako da je AB = 05 m i CD = 87.5 m. Iz vrhova C i D povucimo okomice na stranicu AB. Neka su E i F redom nožišta tih okomica. Budući da su stranice AB i CD usporedne, vrijede jednakosti: CE = DF i EF = CD. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6

17 Primijetimo da vrijede sljedeće jednakosti: AE = AF + EF = AF + CD = AF , AE = AB + BE = 05 + BE, DF DF tg 5 = AF = = DF ctg 5, AF tg 5 CE CE CE tg(80 5 ) = tg 5 = BE = = CE ctg 5 = DF ctg 5. BE BE tg 5 Iz tih jednakosti slijedi: 05 + DF ctg 5 = DF ctg Iz ove jednakosti lagano dobivamo: DF = =. ctg 5 ctg 5 ctg 5 ctg 5 Stoga je opseg trapeza ABCD jednak: CE DF DF DF O = AB + BC + CD + AD = = = sin5 sin 5 sin5 sin = DF + = sin 5 sin 5 ctg 5 ctg 5 sin 5 sin 5 Budući da je 7.5 sin 5 + sin 5 + = 7.5 = ctg 5 ctg 5 sin 5 sin 5 cos5 cos5 sin 5 sin 5 sin 5 sin 5 sin 5 sin 5 sin 5 + sin 5 sin 5 + sin 5 = 7.5 = 7.5 = sin 5 cos 5 sin 5 cos 5 sin 5 sin 5 sin(5 5 ) sin cos sin 0 cos( 5 ) = 7.5 = 7.5 = sin0 sin0 cos5 7.5 cos5 7.5 cos = 7.5 = = =, sin0 sin0 sin 5 cos5 sin 5 konačno dobivamo: 8.75 O = metara. sin5 0.,. Izrazi pod drugim korijenima (radikandi) nužno moraju biti nenegativni. Zbog toga moraju vrijediti nejednakosti: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7

18 0,,, + 0 Dakle, zadanu nejednadžbu rješavamo na intervalu,. Zapišimo je u obliku: > + +. Obje strane te nejednadžbe su nenegativni realni brojevi jer su oba druga korijena nenegativni realni brojevi. Zbog toga ovu nejednadžbu smijemo kvadrirati. Dobivamo: ( ) > ( + + ), > , + <, + <. Lijeva strana ove nejednadžbe je nenegativan realan broj, pa takva mora biti i desna strana. To daje novu nejednakost 0, iz koje je. Stoga polaznu nejednadžbu rješavamo na intervalu,. Sada su i lijeva i desna strana nejednadžbe + nenegativni realni brojevi, pa smijemo kvadrirati izraz na lijevoj i izraz na desnoj strani te nejednadžbe: Kvadratna jednadžba ( + ) < ( ), 6 ( + ) < ( ) + ( ) ( ) + ( ), , + < > 0. 5 = ima = i = Stoga je 5 rješenje kvadratne nejednadžbe > 0 skup,, +. Prema tome, skup polazne nejednadžbe je presjek intervala, i intervala 5,, +. Taj presjek je interval,. pripremio: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka) . D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7

Више

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja) . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) . B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada

Више

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

Jednadžbe - ponavljanje

Jednadžbe - ponavljanje PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.

Више

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove

Више

Matematika 1 - izborna

Matematika 1 - izborna 3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva

Више

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

Nastavno pismo 3

Nastavno pismo 3 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA

Више

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

My_P_Red_Bin_Zbir_Free БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 9. siječnja

Више

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1 1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)

Више

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x

Више

ss08drz-A-zad.dvi

ss08drz-A-zad.dvi DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija, 7. travnja 008. Rješenja Zadatak 1. Neka su a, b, c proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva (a + b + c) 9ab,

Више

My_P_Trigo_Zbir_Free

My_P_Trigo_Zbir_Free Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу

Више

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак

Више

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

Microsoft Word - 12ms101

Microsoft Word - 12ms101 Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +

Више

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b

Више

os07zup-rjes.dvi

os07zup-rjes.dvi RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Више

Matematički leksikon

Matematički leksikon OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON Radoboj, 2012. OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON PROJEKT Predmet : Matematika Mentor: Ivica Švaljek Radoboj, 2012. godina Matematički leksikon OŠ

Више

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln

Више

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1 Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka

Више

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc) Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (

Више

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

Algebarski izrazi (4. dio)

Algebarski izrazi (4. dio) Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija

Више

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16 7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.

Више

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX

Више

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRALI Sastavio: Ante Bilušić Split, rujan 4. 1 Neodredeni

Више

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!

Више

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je 1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na

Више

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00

Више

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet

Више

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matematike (KŠC Travnik); 2. Ivana Baban, prof. matematike

Више

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s

Више

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a) z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)

Више

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi 3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem

Више

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Mate_Izvodi [Compatibility Mode] ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ Нека тачке Мо и М чине једну тетиву функције. Нека се тачка М почне приближавати тачки Мо, тј. нека Тачка М постаје тачка Мо, а тетива постаје тангента функције у тачки

Више

vjezbe-difrfv.dvi

vjezbe-difrfv.dvi Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka 019. Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom.

Више

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi

Више

ALIP1_udzb_2019.indb

ALIP1_udzb_2019.indb Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti

Више

СТЕПЕН појам и особине

СТЕПЕН појам и особине СТЕПЕН појам и особине Степен чији је изложилац природан број N R \ 0 изложилац (експонент) основа степен Особине: m m m m : m m : : Примери. 8 4 7 4 5 4 4 5 6 :5 Важно! 5 5 5 5 5 55 5 Основа је број -5

Више

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija 1.0 1 Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) euklidske geometrije ravnine i prostora koristeći algebarske

Више

Microsoft Word - vodic B - konacna

Microsoft Word - vodic B - konacna VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi

Више

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више