Microsoft Word - 24ms241

Транскрипт

1 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako glasi jednadžba Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu = p x, pri čemu je p parametar parabole. Tangenta na parabolu u točki Tangenta na parabolu = p x u njezinoj točki D(x 0, 0) ima jednadžbu = p ( x + x ). Budući da parabola prolazi točkom A, koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu parabole i izračunati parametar p. A( x, ) = A, 8 8 ( ) = p 6= p p = 6 = p x 8 p = 6 / p =. 8 Jednadžba tangente u točki A glasi: Odgovor je pod D. Vježba A( x, ) = A, = p ( x + x ) ( ) = x + p = = x + 8 x 8 = 0 x 8 = 0 /: x + + = 0. Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom A (, 0 ). Kako glasi jednadžba tangente na tu parabolu u točki A? A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x + = 0 D. x = 0

2 Rezultat: C. Zadatak (Super Mario, maturant) Rješenje Odredite jednadžbu kružnice koja je opisana trokutu ABC ako je A(8, ), B(0, ), C(0, ).,. ( a b) = a a b + b a b = ( a b) ( a + b) Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: x p + q = r. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Koordinate polovišta P dužine AB, A(x, ), B(x, ) su x + x,, + P x = P. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Središte trokutu opisane kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta. Ako je trokut pravokutan ono, se nalazi na polovištu hipotenuze..inačica Budući da točke A, B i C leže na kružnici, njihove koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice. A( x, ) A( 8, ) ( 8 p) + ( q) = B( x, ) = B( 0, ) ( x p) + ( q) = r ( 0 p) + ( q) = r C ( x, ) = C ( 0, ) ( 0 p) + ( q) = r Promatrajmo drugu i treću jednadžbu. ( 8 p) + ( q) p + ( q) = r. p + q = r ( ) p + ( q) metoda suprotnih p + ( q) = r / ( ) koeficijenata p + ( q) = r p + ( q) = r p ( q) = r ( q) ( q) 0 + = p + ( q) = r

3 9 q + q + q + q = q q + q + q = q q + q + q = q + q = 0 q 8 = 0 Računamo p. q = 8 q = 8 /: q =. q = ( 8 p) + ( ) ( 8 p) + ( ) ( 8 p) + ( q) = r p + ( ) = r p + ( ) = r p + ( q) = r ( 8 p) + 9 metoda suprotnih ( 8 p) + 9 koeficijenata p + 9 = r p + 9 = r / ( ) ( 8 p) + 9 ( 8 p) p = 0 ( 8 p + p) ( 8 p p) = 0 p 9 = r ( p) ( p) /: ( ) 8 p + 8 = p = p = 0 /: 8 8 p = 0 Dakle, jednadžba kružnice je p = 8 p = 8 p =. x + = r. Da bismo našli r uvrstit ćemo, na primjer, koordinate točke C u jednadžbu. (, ) = C ( 0, ) C x x + = r Jednadžba kružnice glasi:.inačica + = + = r ( 0 ) ( ) r ( ) = r r =. + =. ( x ) ( ) B 6 S C A x

4 U koordinatnom sustavu u ravnini vidimo da su točke A, B i C vrhovi pravokutnog trokuta ABC. Budući da je središte opisane kružnice pravokutnog trokuta na polovištu hipotenuze AB, vrijedi: (, ) = ( 8, ) (, ) = ( 0, ) A x A x + x S p, q = S, S ( p, q) = S, B x B S ( p, q) = S, S ( p, q) = S, S ( p, q) = S (, ). Dakle, jednadžba kružnice je x + = r. Da bismo našli r uvrstit ćemo, na primjer, koordinate točke C u jednadžbu. (, ) = C ( 0, ) C x x + = r Jednadžba kružnice glasi: Vježba Rezultat: Odmor! Zadatak (Gordana, srednja škola) + = + = r ( 0 ) ( ) r ( ) = r r =. + =. ( x ) ( ) Kružnica je zadana jednadžbom ( x ) ( ) broja c ako je pravac x + = c tangenta te kružnice. Rješenje =. Odredite sve vrijednosti realnoga b a c + b a + =. c c Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: x p + q = r. Jednadžba pravca oblika A x + B + C = 0 naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca oblika = k x + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Uvjet dodira pravca i kružnice Kružnica (x p) + ( q) = r i pravac = k x + l dodiruju se ako i samo ako vrijedi

5 ( ) r + k = k p q + l Jednadžbu tangente preoblikujemo u eksplicitni oblik kako bismo odredili koeficijent smjera k i odsječak na osi l. k = c x + = c = x + c = x + c /: = x +. c l = Uporabit ćemo uvjet dodira pravca i kružnice. c k =, l = ( x ) + ( + 6) = r ( + k ) = ( k p q + l) p =, q = 6, r = c 9 c + = ( 6) + + = c 6 6 c c = + + = + = c + = c c c c = = / = ± = ± / c = ±. c = Postoje dva rješenja. Vježba Kružnica je zadana jednadžbom ( x ) ( ) broja c ako je pravac x + = c tangenta te kružnice. Rezultat: c = 6 + 0, c = =. Odredite sve vrijednosti realnoga