(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Слични документи
Microsoft Word - IZVODI _3. deo_.doc

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

Microsoft Word - Analiticka - formule.doc

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - VALJAK.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Jednadžbe - ponavljanje

Pismeni dio ispita iz Matematike 1

untitled

Matematika 2

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Microsoft Word - KVADRATNA NEJEDNACINA.doc

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Microsoft Word - MNOGOUGAO.doc

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft Word - 26ms281

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci iii deo.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

My_P_Trigo_Zbir_Free

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

Nastavno pismo 3

Microsoft Word - ADICIONE FORMULE.doc

Neodreeni integrali - Predavanje III

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Analiticka geometrija

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

Microsoft Word - CLANAKzacasopis[2].doc Sandra Kosic.doc

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

IErica_ActsUp_paged.qxd

Microsoft PowerPoint - Teorija kretanja vozila-predavanje 3.1.ppt

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

9. : , ( )

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Microsoft Word - Drugi dio teorije iz matematike 2

Microsoft Word - SVODJENJE NA I KVADRAT.doc

Microsoft Word - 19ms101

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

Microsoft PowerPoint - X i XI termin - odredjivanje redosleda poslova [Compatibility Mode]

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]

Microsoft Word - Integrali vi deo

Microsoft Word - 26ms441

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Microsoft Word - PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI.doc

pouigffuyuc

trougao.dvi

dif_pol_2.key

Microsoft Word - 11ms201

My_ST_FTNIspiti_Free

Microsoft Word - izavnerdni01.doc

Microsoft Word - ELEMENTARNE FUNKCIJE.doc

Na osno vu čla na 58. stav 2. tač ka 1. Za ko na o osi gu ra nju (Slu žbe ni gla snik RS br 55/04, 70/04 i 101/07) i čla na 50. stav 1. ali neja 2. St

?? ????????? ?????????? ?????? ?? ????????? ??????? ???????? ?? ??????? ??????:

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Slide 1

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

Microsoft Word - predavanje8

PLB146 Manual

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Zad.RGS.2012za sajt [Compatibility Mode]

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzitet u Nišu MASTER RAD Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne jednačine Mentor: Prof.

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

ПО Е ЗИ ЈА И ПРО ЗА ЗО РА Н КО С Т И Ћ А Р Х И В ЧО ВЈ ЕЧ НО СТ И ДУГ На д е ж д и Пре да мном ни шта не скри ва ти. Јер ја сам ду жан на шој дје ци п

Транскрипт:

VIŠESTRUKI INTEGRALI - ZAACI ( III EO) Izčunvnje povšine u vni pimenom dvostukog integl Povšin olsti u vni O može se nći po fomuli: P = dd Pime. Izčunj povšinu ogničenu sledećim linijm: =, =, i =. Njpe ćemo, ko i uvek, nctti sliku i odediti gnice po kojim dimo... Olst integcije je osenčen n slici : Upoteom goe nvedene fomule, čunmo povšinu osenčenog del: ( ) P= dd = d d= d= d= d= 6 = d= = 8 = =

Pime. Izčunj povšinu ogničenu s + = Nvno, ovde je u pitnju elips. Mi te d izčunmo povšinu unut nje... - - Ovde je zgodno uzeti tkozvne eliptičke koodinte: = cosϕ = sin ϕ ond je: J = ϕ z (, ) dd = dϕ z( cosϕ, sinϕ) d ϕ vidimo zšto su ove smene doe: + = ( cos ϕ) ( sin ϕ) + = cos ϕ + sin cos ϕ+ sin ϕ = (cos ϕ+ sin ϕ) = = = ϕ = oijmo d je, pošto ugo uzim ceo kug, to je ϕ π.

Olst : ϕ π Sd ešvmo dvojni integl : π π π P= dd= dϕ d= dϕ= dϕ= π = π Povšin elipse se dkle čun po fomuli P = π Pime. Izčunj povšinu ogničenu sledećim linijm: + =, = i = Spkujmo kužnicu i nctjmo sliku d vidimo o kojoj se olsti di... + = + + = ( ) + = Peseci su očigledno u = i = = ( ) + = π ϕ Uvodimo polne koodinte: = cosϕ = sinϕ J =

+ = ϕ ϕ ϕ ( cos ) + ( sin ) cos = (cos ϕ+ sin ϕ) = cos ϕ = cosϕ = cosϕ Odvde zključujemo: cosϕ π Ugo ide od pve = do =, p ugo ide od ϕ Sd možemo čunti tženu povšinu: π π π π cosϕ cosϕ cos ϕ P= dd= dϕ d= dϕ = dϕ= = cos ϕdϕ Mlo se pomognemo tigonometijskim fomulm: + cos ϕ cos ϕ = P= dd= d = π π π + cos ϕ cos ϕ ϕ ϕ ( cos ) π π π π = ϕ+ sin ϕ = + sin + sin = + d = + ϕ dϕ = o sd smo upoteljvli polne i cilindične koodinte. Medjutim u oziljnijim zdcim momo upoteljvti tkozvne genelisne polne koodinte i ϕ po fomulm: α = cos ϕ J α = = sin ϕ α α α cos ϕ sin ϕ Vednost z α se uzim u zvisnosti od konketne situcije... Gledmo d kod te dte kive pogodnom vednošću z α n levoj stni ostne smo.to je idej.

Pime. Izčunti povšinu ogničenu s h k + = + ko su pmeti,, h i k pozitivni. Njpe ćemo mlo d pepkujemo zdtu kivu... + = + h k h k + = dopunimo do punih kvdt + + + = h h h k k k + = + h k h k + = + h k h k Sd zmišljmo. Zgodno i ilo d uništimo ovo u zgdm. Zto ćemo uzeti d je : = cosϕ = cosϕ+ = cosϕ+ h h h = sinϕ = sinϕ+ = sinϕ+ k k k kle, uzimmo d je: = cosϕ+ h J = = sinϕ+ k Sd d odedimo gnice. 5

+ = + h k h k ovo sve dje je smo tko izli = + h k = + = + h k h k oili smo gnice z : + h k Ugo nem nikkvih ogničenj, p je ϕ π Sd čunmo tženu povšinu: + + π h k π h k P= dd= dϕ d= dϕ d Kko se u integlu po uopšte i ne nlzi ugo ϕ odmh možemo npisti d je π dϕ = π, lje immo: π + + h k h k P= dd= dϕ d= π d= + π = π h k = π + = π + = + h k h k h k 6

Pime 5. Izčunti povšinu ogničenu s : + = + = = 8 = >, > Upoteićemo genelisne polne koodinte : to: α = cos ϕ J cos sin α = = sin ϕ α α α ϕ ϕ i cos ϕ = J cos sin J cos sin = = = sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ vidimo sd gnice i zšto smo š izli d je α =. ϕ = cos = sin ϕ zmenimo u + = i doijmo: cos ϕ sin ϕ + = cos ϕ+ sin ϕ= = = lje = cos ϕ = sin ϕ zmenimo u + = i doijmo: 7

cos ϕ sin ϕ + = cos ϕ+ sin ϕ = = = 8 oili smo gnice z : 8 Sd d odedimo gnice z ugo: = cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ = sin ϕ = tg ϕ= ϕ = ctg cos ϕ I još immo: 8 = cos ϕ sin ϕ 8 = sin ϕ 8cos ϕ= sin ϕ = 8 tg ϕ = ϕ = ctg cos ϕ kle : ctg ϕ ctg Sd čunmo tženu povšinu: ctg 8 ctg 8 P= dd= dϕ cos ϕ sin ϕd= cos ϕ sin ϕdϕ d= Kko je ctg ctg 8 8 6 6 d= = =, immo ctg 6 cos sin = ϕ ϕdϕ ctg 8

Ovj integl ćemo njlkše ešiti ko spkujemo podinteglnu funkciju koisteći fomule iz tigonometije: sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ = = sin ϕ = = ( cos ϕ) 8 Sd immo: ctg ctg 6 89 P= cos ϕ sin ϕdϕ ( cos ϕ) dϕ = 6 ctg ctg Zmenimo gnice, spkujemo mlo ešenje i doijmo: 89 6 P= ( ctg + ) 6 5 Pime 6. Izčunti povšinu ogničenu s : = = = c = d ( < < ) ( < c< d) Ovde je zgodno uzeti smene u i v. Ali kko iti? Pogledjmo pve dve jednčine: = = = = Uzećemo d je u= 9

Iz peostle dve immo: = c = c = d = d Zgodno je uzeti: v= kle, uvodimo smene: u= v= Odvde momo izziti i : u= = ( ovo zmenimo u dugu jednčinu) u u v= = v = v = v = u u v u v u = = = u u v Tžimo Jkoijn: u u u u u u (, ) u u u v v v (, ) u v v v = = = + = = u v v v v v

odedimo gnice: u = = u u= = v v = c = = = d c v d Sd možemo izčunti povšinu: d d u v v c c P= dd= du dv= u du dv Ov dv integl nije teško ešiti i doijmo: 5 5 P= ( ) 5 c d www.mtemtinje.in.s