pouigffuyuc

Транскрипт

1 Univezitet u Nišu Fakultet zaštite na adu, Niš Dejan M. Petković Dejan D. Kstić Elektomagnetna začenja - izvodi sa pedavanja i vežbi veska I ELEKTROTATIKA teće izmenjeno i dopunjeno izdanje Niš, 4. godine

2 Autoi Pofeso d Dejan M. Petković, D Dejan D. Kstić, docent Fakultet zaštite na adu, Niš. Naslov Elektomagnetna začenja - izvodi sa pedavanja i vežbi, veska I ELEKTROTATIKA Pvo izdanje, Niš, 5. Dugo izdanje, Niš,. Teće izdanje, Niš, 4. Izdavač Fakultet zaštite na adu, Niš 8 Niš, Čanojevića a Za izdavača Dekan fakulteta, pofeso d Ljiljana Živković Recenzenti Pofeso d Pedag Dimitijević, Piodno-matematički fakultet, Niš Pofeso d Dagan Veličković, Fakultet zaštite na adu, Niš Odlukom Naučno-nastavnog veća Fakulteta zaštite na adu u Nišu, kvalifikovano kao univezitetski udžbenik. Tenička obada Autoi Koice Rodoljub Avamović, dipl. ing. zn Štampa Rolepint, Niš Tiaž pimeaka IBN

3 Posvećeno uspomeni na pofesoa Dagutina M. Veličkovića

4

5 adžaj Pedgovo Uvod - Elektostatika do Coulomba - Coulombov zakon - Elektično polje 3 - Postoni ugao, fluks i divegencija 4 - Teoema Ostogadskyog 5 - Gaussov zakon 6 - Rad sila polja i enegija 7 - O izačunavanju ada i enegije 8 - tokesova fomula, oto vektoa 9 - Enegija, potencijal i napon - Gadijent potencijala - Helmoltz, Poisson i Laplace - Geenovi identiteti 3 - Rešenje Laplaceove i Poissonove jednačine 4 - Povodnici 5 - Elektična indukcija 6 - Kapacitivnost 7 - Uopštenje pojma kapacitivnosti - kondenzato 8 - Enegija elektostatičkog polja Enegija i sila - Tačkasti simetični elektični dipol - Ti teoeme - Povšinski elektični dipol - dvojni elektični sloj 3 - Dielektici 4 - Polaizacija dielektika 5 - Povšinska gustina vezani naelektisanja 6 - Zapeminska gustina vezani naelektisanja 7 - Maxwellov postulat teća Maxwellova jednačina 8 - Ganični uslovi na azdvojnoj povšini dva dielektika 9 - Enegija elektostatičkog polja Dielektična sfea u omogenom elektičnom polju 3 - Ketanje elektona i elektonska stuja 3 - Elektonska stuja u u vakuumskoj diodi Pilozi

6

7 Pedgovo Tekst sa nazivom ELEKTROTATIKA je namenjen studentima Fakulteta zaštite na adu u Nišu i tebalo bi da posluži kao pomoć pi poučavanju gadiva iz oblasti teoije elektostatičkog polja, i to pema pogamu pedmeta Elektomagnetna začenja koji se u azličitom obimu i sa azličitim fondom časova izučava na smeu Zaštita na adu i smeu Zaštita životne sedine. Dobim delom tekst može da posluži studentima smea Zaštita od požaa za oblast koja je za nji od inteesa, a to je statički elekticitet kao uzok požaa. tudenti dugi fakulteta kao što su elektotenički, piodno-matematički ili tenoški siguno će u ovom tekstu naći nešto što do sada nisu znali. Kako se adi o izvodima iz pedavanja i vežbi, osnovna ideja je bila da jedna lekcija (ne i jedan čas pedavanja) bude jedna stanica, a to nije bio lak zadatak. Odeđena skaćenja dokaza, oganičen boj ešeni pimea, mali boj zadataka za samostalno ešavanje i obim teksta pokazuju da je cilj autoa bio da studentima puži neopodnu liteatuu pilagođenu savemenim metodama učenja. Istovemeno to znači da je ovaj isti tekst dostupan svima koji koiste ačunasku mežu Fakulteta zaštite na adu. U Nišu, početak poleća 4. godine, Autoi, dejan.petkovic@ znfak.ni.ac.s dejan.kstic@ znfak.ni.ac.s Pedgovo dugom izdanju U dugom izdanju su ispavljane uočene geške, ali se ne azlikuje od pvog izdanja. Jednostavno knjiga je doštampana je su svi pimeci bili aspodati. U Nišu, oktoba. godine, Autoi Pedgovo tećem izdanju Deset godina nakon pvog izdanja pojavljuje se teće izdanje ovog udžbenika. U potekloj deceniji na Fakultetu zaštite na adu u Nišu je došlo do značajni pomena u nastavnim planovima i pogamima. Ne želeći da kvaimo pvobitnu koncepciju udžbenika sadžaj smo pilagodili tako da pati pedavanja kako iz pedmeta Elektomagnetna začenja na svim smeovima, tako i iz pedmeta Elektotenika i Zaštita od atmosfeskog i statičkog naelektisanja. Napominjemo da se odeđene lekcije na nižim kusevima ne izučavaju. Ovo izdanje sadži više ešeni pimea nego petodna dva. Takođe, izvođenja su data detaljnije, tj. pilagođena su studentima duge godine studija je se petpostavlja da još uvek nemaju neopodna znanja iz vektoske algebe i matematičke analize. U Nišu, Božić 4. godine, Autoi

8

9 UVOD

10

11 Elektostatika Uvod - Elektostatika do Coulomba U veme antičke Gčke bile su poznate četii pojave koje su povezane sa elekticitetom. To su munja, svetlucanje oko šiljati pedmeta, ibe koje poizvode neku vstu elektični udaa i pivlačenje lagani pedmeta (slama) pomoću potljanog komada ćilibaa. Ove pojave su bile uočene a sa elekticitetom povezane čitavi 5 godina kasnije. Vovni bog Gka Zéus je upavljao munjom i vetom (davalac kiše). Za svetlucanje kataki na bodovima koji su plovili Mediteanom bio je odgovoan lokalni svetac Easmus koji je bio zaštitnik monaa. Aistotel (Aistotle, 384-3, pe n.e.) je opisao ibu topiljaku ali nije uočio elektični ogan. Tales iz Mileta (Talés Miléisos, oko pe n.e.) je znao za pivlačnu moć ćilibaa koji su iijci zvali kamen kadljivac a Pesijanci kadljivac slame (kauba). Gčki naziv elekton ima značenje onaj koji pivlači. U to veme pominje se kamen linkuion, koji ima još veću moć pivlačenja. Veovatno se adi o tumalinu ili topazu je se sa pivlačenjem pominje i zagevanje kamena. U svim dokumentima iz tog peioda koji su sačuvani pominje se samo pivlačenje. Odbojne sile tada nisu pimećene. Razlog za to je svuda pisutna gavitacija i znatno veće inteesovanje za magnet koji pivlači gvožđe ma kako veliko bilo, dok ćiliba pivlači azličite ali samo veoma lagane pedmete. Takođe, pojava odbijanja nije mogla da se uklopi Aistotleovo učenje i učenje njegovi sledbenika. Tek u šestom veku nove ee odbijanje kod magneta pominje išćanin Jovan Filopon. Aapi su pivatili elenistička učenja o magnetizmu i elekticitetu, i neizmenjena su i peneli u išćansku Evopu. Istina unose i neke zablude. Govoilo se o kvalitetu pivlačenja. Zéus Talés Miléisos Aistotle O magnetu nema pouzdani zapisa, a za ćiliba se kaže da je tu kvalitet pivlačenja toplota je potljani ćiliba zageva slamu koju pivlači. Duga velika zabluda koju su uneli odnosi se na magnet koji gubi pivlačna svojstva ako se potlja belim lukom. Ovakvo tumačenje se uklapalo u opštu teoiju kvaliteta, je u ovom slučaju dolazi do pomene kvaliteta. Takva učenja, peneta su u Evopu dvanaestog i tinaestog veka, kada je kompas već uveliko bio u upotebi, dovela su do toga da je navigatoima na bodovima bilo zabanjeno da jedu beli luk.

12 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Doba enesanse je izuzetno značajno za magnet (kompas) zbog ogomnog inteesovanja za daleka putovanja, ali ne i za elekticitet. Teba ipak izdvojiti da je Pota (Giovani Battista Pota, ) pvi upotebio gvozdene opiljke da bi na listu atije načinio sliku linija sila, i da je pvi koji tvdi da beli luk ne utiče na magnet. Za Gilbetovo (William Gilbet, 54-63) delo "De Magnete" koje je objavljeno 6. godine se tvdi da je bilo savemenije od mnogi dela koja su kasnije napisana. I poed toga što u svojim azmatanjima sledi Aisotelovu školu, tvdeći da se tela ili pivlače ili ne, ipak daje puno dopinosa. Teba istaći njegovu petpostavku da je zemlja magnet. Njegovo delo podeljeno je u šest knjiga sa ukupno 5 poglavlja, i samo jedno poglavlje je posvećeno elekticitetu. Međutim, i to malo što je napisao ima izuzetan značaj. Pvo je ogledima utvdio, zatim i opisao, da mnoge mateije kao što su staklo, vosak ili sumpo kada se potljaju mogu da pivuku duga laka tela i to, ne samo slamu, već i gvožđe, dvo, ulje ili vodu. Po njemu su to elektične mateije. Dugu gupu neelektični mateija čine metali, dvo ili kamen. Za ispitivanje pivlačenja konstuisao je pvi elektoskop koji naziva vesoijum (Lat.: veso - oketati, obtati). To je bila otiajuća metalna igla - paktično kopija kompasa. Ekspeimenti sa vesoijumom su mu omogućili da uoči sličnosti ali i azlike između magnetizma i elekticiteta. Zaključio je da se elektično pivlačenje ostvauje fluidom koji ima mateijalnu piodu, za azliku od onog kod pivlačenja magneta koji nije mateijalan. Time je došao u sukob sa Aistotleovim učenjem. Ovo delo, zasnovano isključivo na ezultatima koji su ezultat ogleda, ostalo je važno još dva veka. Cabeo (Nicolo Cabeo, ) je 639. godine objavio delo pod nazivom Magnetna filozofija koje je većinom pepičavanje Gilbetovi ogleda. Međutim, u delu se nalaze i neki novi podaci. Pvi put se seće temin linije sile (Lat.: lineae vitutis). Takođe, pvi put se pominje da se u svakoj tački u okolini magneta osećaju dve akcije koje potiču od sevenog i južnog pola i da se ukupna sila dobija slaganjem te dve akcije. Ovakvim, kvalitativno tačnim opisom Cabeo paktično uvodi vektoe, ali kvantitativno znatno geši. U posmatanoj tački akcije koje potiču od dva pola su jednake i ne zavise od astojanja, i dugo uvek imaju takav sme kao da su oba pola iste piode. Cabeo je uočio odbijanje kod naelektisani tela. Međutim, ovom pedstavniku jezuitske škole, nasledniku Aistotela i Gilbeta to nije pivatljivo i piodno, je mnogo azličiti mateijala učestvuje u tome. Tako je zbog dogmi popustio piliku da otkije nešto sasvim novo.

13 Elektostatika 3 Gueicke (Otto von Gueicke, 6-686) je bio ekspeimentato koji je voleo da javno pikazuje azličite fizičke fenomene. Između ostalog, napavio je apaat koji je peteča elektostatičke mašine. To je bila otiajuća lopta od sumpoa na dvenoj osovini i dvenom postolju. Na povšini kugle se nagomilavao elekticitet ako se jednom ukom otia dvena osovina a dugom ukom lagano dži sama kugla. Uočio je postojanje odbojni sila, fosfoescenciju, elektično pažnjenje i efekat ošti vova. voja zapažanja je 67. godine opisao u delu Novi ekspeimenti ali nije pokušao ni da i objasni, a još manje da fomuliše neko pavilo ili zakon. Zbog toga su te iste pojave ponovo bile otkivene tek posle pedeset godina, a ovog ekspeimentatoa čija su osnovna opedeljenja bile diplomatija i politika etko ko pominje. Boyle (Robet Boyle, 67-69) je utvdio da se elektična i magnetna sila ništa ne menjaju ako se iz postoa u kome se ogled obavlja izvuče vazdu. To je u ozbiljnu sumnju dovelo sve modele koji su se oslanjali na Aistotleovo učenje. Uočio je da je naelektisanje veće i tajnije ako je povšina koja se tlja glatka, čista i topla. Ponavljao je oglede Gueickea, ali ni on nije uočio elektičnu indukciju, i poed toga što je imao sve potebne ezultate. Gay (tepen Gay, ) je otkio da elekticitet može da se postie sa jednog tela na dugo. U početku je došao do sasvim pogešnog zaključka da se elekticitet može penositi samo vetikalno. Veovatno povučen tim zaključkom, i tažeći sve veću visinu, oglede je nastavio sa sveštenikom Weeleom (Ganvile Weele, 7-77) u zvoniku ckve. Zavaljujući uponosti sveštenika, oglede su ponovili u nekoj štali gde su oizontalno postavljali dugačke povodnike obešene o plafon svilenim koncima. Zaključili su da se elektična sposobnost penosi i oizontalno. Zatim su povećavali dužinu povodnika (time i težinu) pa su svileni konac, koji je bio peslab, zamenili gvozdenom i mesinganom žicom. Tada nisu dobili očekivane ezultate. Međutim, izveli su pavilan zaključak. Oni su zaključili da postoje dve gupe mateijala. U jedni gupu spadaju oni mateijali koji povode elekticitet, kao što su metali, a u dugu gupu spadaju oni koji ne povode elekekticitet, kao što su svila, konjska dlaka, staklo. Tako, pvi put dobijamo podelu mateijala na povodnike i izolatoe. Daljim istaživanjima Gay je došao do zaključka da se elekticitet zadžava samo na povšini tela. Znajući da gavitaciono i magnetno pivlačenje zavise od

14 4 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi veličine tela i da se toplotni i magnetni fluidi postiu koz zapeminu, zapitao se kakav uticaj na elektično pivlačenje ima veličina tela. Uzeo je dve kocke od astovine jednaki dimenzija stim što je jedna bila šuplja a duga puna. Obe kocke kad su bile naelektisane pokazivale su ista svojstva. Dakle, nelektisanje ne zavisi od zapemine već samo od povšine tela. Tako, pvi put dolazimo do pojma povšinske gustine naelektisanja. U nastavku svoji istaživanja poučavao je tupe i šiljate pedmete. Na oble, tupe pedmete vanica skače sa naelektisanog tela, a koz zašiljene pedmete se elekticitet pazni nečujno i polako. Tako, pvi put dolazimo do pasivnog eliminatoa statičkog naelektisanja. tepen Gay je izvšio pvo javno naelektisavanje ljudskog bića. Gay je neko dete obesio o vpce načinjene od konjske dlake, tako da visi u oizontalnom položaju. Potljanim staklom mu je dotakao noge i pi tom su laki pedmeti bili pivučeni glavi. Takav ogled ponovio je sa dva deteta koja su bila na podlozi od smole (izolato pema zemlji) i međusobno vezana kanapom. Elekticitet se penosio sa jednog deteta na dugo dete. Dve iljade godina nauka je znala samo za statički elekticitet. Definišući povodnost, Gay otvaa nove puteve - puteve elektične stuje. Tako, pvi put dolazimo do pojma o elektičnoj stuji. Gay je ustanovio da naelektisani ključ pivlači lake pedmete bez obzia da li jednovemeno na taj ključ deluje neki magnet. Tako, pvi put dolazimo do pojma o elektomagnetizmu. Du Fay (Cales-Fancois de Cisteny du Fay, ) se nadovezuje na oglede svog pedodnika Gaya, ali za azliku od njega ezultate do koji je došao, u fomi osam saopštenja, podnosi Akademiji nauka u Paizu. Pva četii saopštenja je podneo 733. i 734. godine. Još dva saopštenja podnosi kad je imao 39 godina, samo dve godine ped smt.

15 Elektostatika 5 Pvo saopštenje je pegled saznanja o elekticitetu za peiod od Gilbeta do Gaya. Dugo saopštenje zasniva se na ogledima koje je izveo. Zaključio je da se sva tela mogu naelektisati. Neka tela, kao što su metali ili tečnosti, nije moguće naelektisati tljanjem, ali se naelektišu ako im se pinese neko petodno naelektisano telo. U tećem saopštenju mateijale deli na dve gupe (mada je to pe njega učinio Gay). Tela koja je teže naelektisati tljanjem dalje i obimnije penose elektičnu mateiju. upotno, tela koja lakše postaju elektična manje su podobna da pivate tuđi elekticitet i da ga penesu na daljinu. Kasnije su ove dve gupe mateijala dobile nazive povodnici i izolatoi. Četvto saopštenje, O pivlačenju i odbijanju elektični tela, donosi nov kvalitet. Još je Gueicke uočio da naelektisano peo šii svoje dlačice. Međutim, Du Fay ponavlja oglede sa azličitim koncima (svila, pamuk, vuna) i donosi opšti zaključak. Kad se neko telo naelektiše njegovi delovi se međusobno odbijaju i nastoje da se međusobno što je moguće više udalje. Znajući za elektično pivlačenje, vši ogled sa zlatnim listićem. Ako se zlatni listić naelektiše staklom njega pivlače smolaste mateije i obnuto. Kao da postoje dve azličite vste elekticiteta. ledećim ogledom dokazuje da se obe vste elekticiteta mogu peneti na neelektično telo. Konačno ubeđen da postoje dve vste elekticiteta daje im azličite nazive: staklasti i smolasti elekticitet. Ponovo donosi opšti zaključak. Jedni i dugi odbijaju tela koja su pimila elekticitet iste piode kao što je njiov, a pivlače ona čiji je elekticitet supotan njiovom. Du Fay je usavšio Gilbetov vesoijum. Od dva zlatna listića napavio je pvi pavi elektoskop. Poučavao je i povodljivost plamena. Teba napomenuti da u pvo veme ipoteza o dve vste elekticiteta nije naišla na odobavanje. Godinu dana pe poslednjeg Du Fayovog saopštenja Akademiji nauka, 737. godine, odio se Coulomb (Cales Augustin de Coulomb, ). Zakonom koji je fomulisao zavšava se kvantitativna analiza elektostatičkog polja. ve nadalje postaje matematička nadgadnja koja elektostatiku stavlja u opšti teoijski koncept elektomagnetnog polja. U biji je 877. godine objavljen pevod knjige A. Gamoa EKPERIMENTALNA FIZIKA. U delu IX pod nazivom TATIČKI ELEKTRICITET, a koji je podeljen na šest glava, jedina fomula je upavo Coulombov zakon.

16

17 Elektostatika 7 LEKCIJE

18

19 Elektostatika 9 - Coulombov zakon Poučavanje elektostatike često počinje od Coulombovog zakona koji je ezultat ekspeimentalni istaživanja iz 785. godine. F k q q R Dva naelektisana tela beskonačno mali dimenzija, u odsustvu dugi naelektisani tela, deluju jedno na dugo meaničkom silom, F, čiji je intenzitet (jačina), F, sazmean poizvodu njiovi elektični opteećenja, q i q, (količina naelektisanja ili samo naelektisanja) i obnuto sazmean kvadatu njiovog međusobnog astojanja, R. Pavac sile spaja tačke u kojima se posmatana tela nalaze i sme je takav da se tela odbijaju ako su elektična opteećenja istog znaka ili pivlače ako su ta opteećenja supotnog znaka. Ova sila je elektičnog poekla pa su uobičajeni nazivi elektična sila, elektostatička sila, ili Coulombova sila. F q q F qq Rˆ F 4πε R R F F q F F q R R R Konstanta ε je pemitivnost ili popustljivost sedine ili dielektična konstanta. am naziv dobija smisao pi izučavanju elektostatički polja u mateijalnim sedinama u kojima dielektična popustljivost najčešće i nije konstantna. Na osnovu meenja bzine svetlosti, koja su obavljena u pošlom veku, dobijena je vednost ove konstante za vakuum (i pibližno za vazdu). ε ( ±.) C Nm U acionalizovanom načinu pisanja jednačina, koji je 9 C ε danas opšte pivaćen, ova konstanta se piše u obliku. 36π Nm Na ovaj način konstanta 4 π je eliminisana iz velikog boja jednačina koje se koiste u elektostatici i uopšte u elekomagnetici. Tačkasta naelektisanja mogu biti aspoeđena po poizvoljnoj niti ili povši, ili pak mogu da budu aspoeđena u odeđenom delu zapeminine. Tako se dolazi do pojmova podužna, povšinska i zapeminska gustina naelektisanja: q C q C q C q L, η m, ρ m. 3 V m U svim slučajevima Coulombov zakon je moguće pimeniti na "beskonačno" male delove. To je pincip lineane supepozicije.

20 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime. - Raspodela naelektisanja na štapu Kad se štap dužine L naelektiše nekom količinom naelektisanja q, ta naelektisanja se q q / L L delovanjem međusobni odbojni sila aspoede duž štapa. U najvećem boju slučajeva smatamo q 3 q q q q q 3 da je aspodela naelektisanja unifomna i govoimo o podužnoj gustini naelektisanja F F q q / L. Kad je dužina štapa znatno veća od F F 3 popečne dimenzije, ova apoksimacija je vlo F 3 tačna za najveći deo sedine štapa. Do ealnije aspodele naelektisanja može da se dođe ako se štap podeli na N jednaki odsečaka. Rastojanje između centaa dva susedna odsečka je a L / N, mada to za ešavanje poblema nije od značaja. vaki odsečak je tačkasto naelektisanje u njegovom centu. Što je boj podela veći apoksimacija je tačnija. Elektične sile koje deluju na naelektisanja na kajnjim odsečcima su u avnoteži sa meaničkim silama, je naelektisanja ne napuštaju štap. Ostala naelektisanja su u avnoteži isključivo zbog odbojni sila elektičnog poekla. Za N 3, a za tačkasta naelektisanja q i q mogu da se q q q q3 q q q3 4πε a 3 4πε a postave dve jednačine sa ti nepoznata tačkasta naelektisanja. Teća jednačina je izaz 4πε a 3 4 4πε a q q q q q3 q q3 za zbi svi nepoznati naelektisanja. q q q q 3 istem jednačina peueđen na oblik pogodan za ešavanje q q q3 3 dovodi do ezultata q. 4q q q q3 q. 5q 3 4 q3. 7 q q q q3 / Iz ovog oblika se lako dolazi do izaza za elemente matice u opštem slučaju, i, N, j, N. Poslednja jednačina je uvek jednačina zbia. a ij ( i j ) ( i j) ( i ) ( j ) ( i j ) ( i j),,, i < j i j i > j U uavnotežnom stanju aspodela naelektisanja nije unifomna i najveća gustina je na kajevima. Uopšte, ošte ivice i šiljci sadže najveće gustine naelektisanja.

21 Elektostatika Pime. - Dva tačkasta naelektisanja i elektoskop Razvoj teoijske elektostatike neminovno je patio i azvoj instumenata za detekciju i meenje statičkog elekticiteta. Pvi metod za meenje bio je zasnovan na avnoteži gavitacione i elektične sile. To je pvi uočio Du Fay (Cales Fancoide Cistenais du Fay, ). Ako se dva naelektisana tela koja slobodno vise jedno uz dugo, povežu sa naelektisanim telom, ona se odbijaju sazmeno naelektisanju. Dve kuglice isti težina G, vise na nitima isti dužina L. Kad se kuglice naelektišu nekom količinom naelektisanja q, niti o koje su kuglice obešene gade ugao α. Elektična tj. Coulombova sila su u azvnoteži. F g gde su F e F g F e q L α R F g L F e G i oizontalna komponenta gavitacione sile q πε R 4 α R Lsin i G mg, i gde je m masa kuglice. α G tan. Odavde je moguće odediti količinu naelektisanja na osnovu ugla koji gade niti o koje su naelektisane kuglice obešene, q 4L πεg f ( α), gde je α α f ( α) sin tan. Zadatak. - Ti tačkasta naelektisanja jednake količine naelektisanja se nalaze u temenima zamišljenog jednakostaničnog tougla čija je stanica a. Odediti sve sile međusobnog delovanja. Zadatak. - Tačkasto naelektisanje q nalazi se na osi beskonačno tankog kužnog obuča polupečnika a koji je avnomeno naelektisan istom količinom naelektisanja supotnog znaka. Odediti astojanje od avni obuča gde je pivlačna sila najveća. Zadatak.3 - Beskonačno dug i pav povodnik zanemaljive debljine naelektisan je podužnom količinom naelektisanja q. Na astojanju od ose povodnika nalazi se tačkasto naelektisanje q i potebno je odediti silu između ova dva naelektisanja.

22 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi - Elektično polje Elektično polje je posebno stanje sedine koje se manifestuje postojanjem meaničke sile koja deluje na neku količinu naelektisanja. Pojam fizičkog polja je pvi uveo Faaday (Micael Faaday, ) ali tek pi poučavanju elektomagnetne indukcije kad je već bilo naslućeno da su elektično i magnetno polje neaskidivo vezani fenomeni i pedstavljaju jedinstveno elektomagnetno polje. Elektično polje je definisano kao količnik meaničke sile F kojom polje dejstvuje na pobno naelektisanje q i same količine naelektisanja koja stvaa polje. Elektično polje usamljenog tačkastog naelektisanja, q, odeđuje se diektno iz Coulombovog zakona. E F q E 4πε N C q R Rˆ Linija polja je linija čija se tangenta u svakoj tački postoa poklapa sa pavcem vektoa polja. Elektično polje je izvono polje. Postojanje neke količine naelektisanja je uvek uslovljeno postojanjem iste količine naelektisanja supotnog znaka. Dogovoom je usvojeno da su pozitivna naelektisanja izvoi, a negativna naelektisanja ponoi elektičnog polja. Usamljeno tačkasto naelektisanje ne postoji tj. naelektisanje supotnog znaka je veoma daleko od postoa koji se azmata. Fluks je pojam koji, kao i pojam vektoskog polja, potiče iz idodinamike i uveden je zbog poačuna količine tečnosti koja potekne koz neki popečni pesek (cevi). dx dy dz E E E Neka se u centu zamišljene sfee polupečnika nalazi tačkasto naelektisanje q. U svim tačkama ove sfene povšine elektično polje ima istu jačinu i adijalan pavac, pa je boj linija polja (fluks) koje polaze koz povšinu cele sfee Φ. q q Φ E d E d E 4π E d ρdv 4πε ε ε x V y z

23 Elektostatika 3 Pime. - Ravnomeno naelektisana kužna ploča Kužna ploča polupečnika a naelektisana je povšinskom gustinom naelektisanja η. vaka elementana povšina d d dθ je tačkasto naelektisanje koje na simetalnoj osi stvaa elektično polje η d de, R z. 4πε R Zbog osne simetije sve adijalne komponente vektoa elektičnog polja se anuliaju, pa polje ima samo aksijalnu komponentu, Konačno je E z d d d E η z θ z 4πε. 3 / ( z ) a de π a η z d η z / a η dθ 4πε ( ) 3 / z ε ( ( / ) z a ε a z z M (, z ) R dθ d z de z R dq f ( z / a). Kako vekto elektičnog polja ne zavisi od ugaone koodinate, poblem je moguće ešiti i posmatanjem niza koaksijalni kužni pstenova povšine ( d) ) d ( d) π π π( d d π d, što je ustvai isto kao da je unaped ešen integal po ugaonoj koodinati. Kad se polupečnik ploče beskonačno uvećava, a, dobija se izaz za elektično polje naelektisane avni. E Elektično polje naelektisane avni očigledno ne zavisi od astojanja. Ostavlja se čitaocu da objasni ovaj ezultat. a unaped poznatom geškom avna povšina konačni dimenzija se može tetiati kao beskonačna avan. Tako ako je astojanje tačke u kojoj se polje odeđuje deset puta manje od polupečnika ploče i elektično polje je deset pocenata manje od onog koje bi stvoila beskonačna avan. Zadatak. - U tačkama na osi simetije odediti elektično polje koje potiče od avnomeno naelektisane kužne kontue. η ε nˆ

24 4 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime. - Ravnomeno naelektisana kvadatna ploča Kvadatna ploča stanice a naelektisana je povšinskom gustinom naelektisanja η. vaka elementana povšina d dx dy je tačkasto naelektisanje koje na simetalnoj osi stvaa elektično polje R z de η d de, 4πε R R x y z. x y Zbog osne simetije sve adijalne komponente vektoa elektičnog polja se anuliaju, pa polje ima samo aksijalnu komopnentu, menom 8η 4πε z dx dy ( x y E z 3/ z ), : x a, y x. x z cos θ, y z sin θ, dx dy z d dθ, se dobija E z a π z 4 4 cos θ π / η d η π θ πε d πε 3 ( ) 4 z cosθdθ 4z cos θ / ( a ). Dobijeni integal se ešava smenom z sin θ a 4z sin t, tako da je konačno η π ( z / a) E z acsin. πε 4 ( 4( z / a) Kada a kvadata ploča postaje neoganičena avan i dobija se već poznat ezultat (pime.). E. Objašnjenje zašto jačina elektičnog polja ne zavisi de od astojanja je zasnovano na azmatanju naelektisanja simetično lociani u odnosu na osu u čijim tačkama se polje odeđuje. U tačkama vlo de blizu avni elektično polje koje potiče od udaljeni naelektisanja je skoo paalelno avni i njiovo ezultantno polje je jednako nuli ili je vlo blizu nule. Ostaje uticaj samo jedne tačke, a to je tačka podoa ose koz avan. Za tačke veoma udaljene od avni uticaj svi tačaka je skoo isti. U konačnom zbiu azultat je uvek isti. Jasno, ovo azmatanje važi samo za neoganičenu avan. Do istog ezultata dovodi pimena analize koja tek sledi. η ε nˆ

25 Elektostatika Postoni ugao, fluks i divegencija Uvođenje pojma postonog ugla, koji je u neposednoj vezi sa pojmom fluksa, omogućava azumevanje suštine postojanja fizičkog polja i olakšava ešavanje složeni poblema teoije polja. ve povšine oslonjene na kontuu C se vide pod istim postonim uglom. Postoni ugao je bojno jednak delu povšine sfee koju isecaju zaci iz centa sfee jediničnog polupečnika ka kontui objekta. Postoni ugao je fluks vektoske funkcije ˆ koz zamišljenu povšinu. Jedinica za postoni ugao je steadijan sa oznakom stad. Pun postoni ugao se jednostavno dobija ako je zamišljena povšina sfea. Usled dejstva odbojni sila na naelektisanoj metalnoj sfei naelektisanja se aspoeđuju avnomeno po povšini. Iz poizvoljne tačke u unutašnjosti sfee, elementane centalno simetične povšine se vide pod istim postonim uglovima, pa je ekvivalentno elektično polje koje stvaaju dve takve povšine jednako nuli. Isto važi i za bilo koji dugi pa povšina. Ω Ω ˆ d C Ω d 4π d dω de de d ηdω nˆ 4πε U unutašnjosti povodnika elektično polje je jednako nuli i nije važno da li je taj povodnik pun ili šupalj. Pojam divegencije neke vektoske z E funkcije lako je uvesti azmatanjem y E y d E y poticanja nestišljivog fluida. Ono što važi za vektosku funkciju v ( ) kojom d d y je opisano bzinsko polje, važi i za elektično polje E( ). x Pvo se odedi fluks vektoa elektičnog polja za pa paalelni stanica ( i ) elementanog paalelepipeda. Zatim se postupak ponovi za peostala dva paa stanica i dobijeni izazi se sabeu da bi se odedio fluks za elementanu zapeminu. Dobijeni izaz je divegencija vektoa u pavouglom koodinatnom sistemu, pa sledi i izaz za ukupni fluks gde nije od značaja sam oblik zapemine. dφ ( E y de E E x dφ x y dφ div E dv Φ div E dv V y Ey Ey )d dv y y Ez dv z

26 6 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 3 - Postoni ugao pod kojim se vidi kužna ploča Postoni ugao pod kojim se kužna ploča polupečnika a vidi iz tačke koja pipada vetikalnoj simetali ploče i nalazi se na visini z od ploče je Ω /, gde je povšina koju iz sfee polupečnika iseca koaksijalni cilinda polupečnika a. Povšina koju iz sfee iseca cilinda je z x a y z x z y dxdy, gde je oblast integacije : x y a. Kako je jednačina gonje polovine sfee to su potebni pacijalni izvodi pa je menama z x x ( x y ) z, ( x y ) i z y dxdy ( x y ). y ( x y ) x ρcosθ, y ρsin θ i nakon ešavanja integala sledi da je ( a ) π ( z) π π gde je visina kalote. Za postoni ugao i jačinu elektičnog polja u tačkama na osi ploče (videti pime ) se dobija z π z a Ω π, ( z a), ηω η z / a E z. 4πε ε ( ( z / a) Zadatak 3. - Odediti postoni ugao ugao pod kojim se vidi poluavan Zadatak 3. - Odediti div( R ) R Zadatak Odediti div 3. R,

27 Elektostatika Teoema Ostogadskyog Iz dva poslednja izaza za fluks vektoa elektičnog polja sledi teoema divegencije, Φ E d, Φ div E dv E d dive dv V ili teoema poznatija kao teoema Ostogadskyog (Mikail Ostogadsky, 8-86), koja pod odeđenin uslovima važi i za duga vektoska polja. Fluks kaakteiše ukupni kapacitet izvoa ili ponoa. Kada je Φ > posmatana zapemina sadži izvoe polja, u slučaju div E < div E Φ < zapemina sadži ponoe polja (ili > negativne izvoe), i u slučaju Φ u div E zapemini nema ni izvoa ni ponoa ili zapemina obuvata i izvoe i ponoe iste izdašnosti. Ovo je još jedan dokaz da je ispavno pozitivna naelektisanja smatati izvoima, a negativna ponoima polja. Ukupni fluks kao integalna veličina je isto što i divegencija kao lokalna ili difeencijalna veličina. Elektično polje je izvono polje. Tamo gde nema izvoa ili ponoa linije polja su nepekidne. Jedini izuzetak od ovog pavila su singulane tačke (ili linije) ili tačke neodeđenosti, tj, tačke u kojima polje isčezava, pa pavac linija polja postaje neodeđen. Takva je, na pime, tačka na sedini između dva jednaka tačkasta naelektisanja istog znaka. Međutim, na osnovu ukupnog fluksa ništa se ne može zaključiti o aspodeli izvoa i ponoa u posmatanoj zapemini V. To je moguće pomoću difeencijalni veličina kao što je divegencija koja daje vezu između samog izvoa i polja u njegovoj neposednoj okolini. Zbog toga fluks teba azmatati po jedinici zapemine. Ovaj količnik izažava sednju gustinu izvoa (ponoa). V V E d Ako se posmata ganična vednost ovog izaza kad zapemina pelazi u tačku, tj. kad V, dobija se izvod fluksa po zapemini što je divegencija vektoa ili gustina fluksa. Dakle, divegencija vektoa je postoni izvod. Iz definicije divegencije je jasno da vednost ove skalane veličine uopšte ne zavisi od izboa dive lim V E d V koodinatnog sistema.

28 8 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 4 - Jedna pimena teoeme Ostogadskyog Ako se izaz koji iskazuje teoemu Ostogadskyog u Descatesovom koodinatnom sistemu, E d V Ex Ey Ez dv x y z difeencia po zapemini V, onda je izvod desne stane jednak podintegalnoj funkciji, a izvod leve stane upavo pedstavlja definiciju divegencije, pa je i to jedan od azloga što se ova podintegalna funkcija često pogešno smata definicijom divegencije. Iz definicije divegencije je jasno da vednost ove skalane veličine uopšte ne zavisi od izboa koodinatnog sistema. Teba pimetiti da ako je na pime, Ex Ey Ez, x y z Ex x, Ey y, Ez z, sledi koisna fomula za izačunavanje zapemine, V x y dz y dxdz d z dxdy.

29 Elektostatika Gaussov zakon Neka je poizvoljna zatvoena povšina koja obuvata usamljeno tačkasto naelektisanje q (naelektisanja supotnog znaka su dovoljno daleko da ne utiču na stuktuu polja). Fluks vektoa elektičnog polja koz ovu povšinu je 4π q ˆd q q Φ E d dω 4πε 4πε. ε q dω E nˆ d E E E E To što važi za tačkasto naelektisanje važi i za bilo koju aspodelu naelektisanja koja je zamišljenom (ili stvanom) povšinom obuvaćena. q Φ E d q dl ηd ρd V ε ε ε ε L V To je ustvai Gaussov zakon (Cal Fiedic Gauss, ) u integalnom obliku. q Φ E d ε Izlazni fluks vektoa elektičnog polja koz poizvoljnu zatvoenu povšinu jednak je količniku količine naelektisanja koje je tom povšinom obuvaćeno i dielektične konstante vakuuma. Ako se na Gaussov zakon pimeni teoema divegencije dobija se lokalni ili difeencijalni oblik ovog zakona. q ρ Φ E d dive dv ρdv ε ε dv ε V lim V div E E d ρ ε ε lim V V V Do istog ezultata se dolazi i ako se integalni oblik Gaussovog zakona podeli zapeminom i potaži ganična vednost kad zapemina teži nuli tj. tački. Gaussov zakon je još jedan od azloga zbog koga je teoema divegencije ili teoema Ostogadskyog najčešće poznata kao teoema Gauss-Ostogadskyog. q V V

30 3 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 5. - Naelektisani cilinda i koaksijalni cilindi Neoganičeno duga nit naelektisana je podužnom gustinom naelektisanja q. Oko dela ove niti opiše se zamišljena cilindična povš polupečnika i konačne dužine L. Ova zamišljena povšina naziva se Gaussova povšina. E d L q E d Vekto elektičnog polja ima samo adijalnu komponentu pa fluks postoji samo koz omotač Gaussove povšine. U svakoj tački na omotaču vekto elektičnog polja ima isti pavac, sme i jačinu, a kolineaan je sa vektoom elementa povšine. Jasno, sme vektoa elektičnog polja zavisi od znaka naelektisanja. q q E d E d ε q L q ε E πl E ˆ ε πε Ako je naelektisanje apoeđeno na cilindu koji nije beskonačno tanak već ima kužni popečni pesek polupečnika a, naelektisanja će biti aspoeđena po povšini cilinda stvaajući povšinsku gustinu naelektisanja η. om η a a Gaussovom povšinom u oba slučaja je obuvaćena ista količina naelektisanja. ηaπl η a q q L ηaπl E πl E ˆ ε Najveća jačina polja je na povšini cilinda, a. η Dobijeni ezultat je ganični uslov za nomalnu (u ovom E max ε slučaju i jedinu) komponentu vektoa elektičnog polja. Neka su data dva naelektisana koaksijalna cilinda. Usled dejstva Coulombovi sila naelektisanja su aspoeđena po spoljašnjoj povšini unutašnjeg cilinda, a i unutašnjoj povšini spoljašnjeg cilinda, b. Kada je < a Gaussova povšina ne obuvata naelektisanja, te je u unutašnjosti unutašnjeg cilinda polje jednako nuli. Kada je > b E Gaussova povšina obuvata jednake po količini i η/ / ε supotne po znaku količine naelektisanja, pa je opet polje jednako nuli. Između cilindaa elektično polje je jednako polju koje bi stvaao i usamljeni cilinda. a b ε d E

31 Elektostatika 3 Pime 5. - Naelektisana nit konačne dužine Nit dužine L naelektisana je podužnom de gustinom naelektisanja q. Elementani M ( x, y ) odsečak niti dužine dx se ponaša kao tačkasto naelektisanje d q q dx, koje u y dθ tački M (x, y) stvaa elekično polje R q dx θ ds de. θ q θ 4πε R x dx L x Kad se iskoiste geometijski odnosi koji ds su sa slike očigledni, za komponentu sin θ, sin θ R dx elektičnog polja koja je upavna na pavac niti se dobija izaz u kome figuiše de y Rdθ sin θ, dx. isključivo ugao θ. de sin θ θ q q E y sin θdθ 4πε E y ( cosθ cosθ ) 4πε θ Kad je nit neoganičeno duga, θ, θ π za elektično polje se dobija izaz koji bi se dobio i pimenom Gaussovog zakona u integalnom obliku. Za tačke koje pipadaju simetalnoj avni niti je θ ( π β) / i θ ( π β) /, pa se izaz za elektično polje može peuediti na oblik q β E tan. πε b Pavilan N -tougao je upisan u kužnicu polupečnika a tako da se stanica se vidi po uglom α π / N. Na osi mnogougla elektično polje ima samo aksijalnu komponentu koja se dobija diektnom pimenom poslednje fomule. q a z sin( π/ N) E z ε / ( z a cos ( π/ N) ) z a N π E E R b z E β E q πε b θ θ θ E z α a β R b q Kad se boj stanica mnogougla neoganičeno uvećava, N, dobija se izaz za elektično polje na osi kužnice. q a z E z ε a 3/ ( z )

32 3 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime Zapeminsko naelektisanje između dva cilinda Beskonačno dug cilinda polupečnika a omogeno je naelektisan zapeminskom gustinom naelektisanja ρ. Kada se Gaussov zakon u integalnom obliku, E d ρdv, ε V pimeni na zamišljenu cilindičnu povšinu konačne dužine L i polupečnika a postoji samo fluks koz omotač cilinda, pa sledi ρ ρ a E πl a πl E ˆ, a. ε Ako je pak a sva naelektisanja nisu obuvaćena zamišljenom povšinom, pa je ρ ρ E πl πl E ˆ, a. ε ε ε Neka je naelektisana oblast oganičena sa dve cilindične povšine polupečnika a,b, a > b i neka je astojanje između osa cilindaa d. Kako će biti pokazano, polje u unutašnjosti šupljine je omogeno. Posmatani elektostatički sistem je potebno zameniti sa dve zapeminske gustine naelektisanja supotni znakova i odgovaajući polupečnika cilindaa koje i obuvataju. a a y O d O O ρ ρ ρ a ρ d U tački M koja pipada šupljini ukupno polje je zbi polja koja potiču od zapeminski naelektisanja supotni znakova. ρ ρ E, a i E, b, ε ε pa je ukupno elektično polje ρ ρ E E E ( ) d, ε ε konstantne jačine i u pavcu koji spaja ose cilindaa. Zadatak 5. - Odediti elektično polje koje stvaa neoganičena avan naelektisana povšinskom gustinom naelektisanja η. Odediti elektično polje između dve avni, između dva koaksijalna cilinda i između dve sfee. M b a x

33 Elektostatika Rad sila polja i enegija U fizici meanički ad za azliku od intelektualnog ada je obavezno povezan sa dejstvom neke sile. ila svojim dejstvom vši ad samo ako se to telo pomea ili defomiše, u supotnom ad ne postoji iako postoji dejstvo sile. Elementani ad je definisan kao skalani poizvod sile F i vektoa pomeaja, d l. Jačina vektoa pomeaja je jednaka dužini peđenog puta, pavac i sme su isti kao pavac i sme pomeanja tela ili defomacije. Jedinica za ad je Džul (Joule), sa oznakom J, (James Joule, 88-89). kg m A F( )dl [ A ] J N m s L Enegija je bojno jednaka adu i ima istu jedinicu. Međutim, i poed istog menog boja i iste jedinice između ada i enegije postoji kvalitativna azlika. Enegija odeđuje sposobnost nekog sistema da izvši ad. Rad je veličina koja odeđuje pomenu enegije. Ako na sistem deluju spoljašne sile enegija tog sistema se povećava. Obnuto, sistem može da izvši ad samo smanjivanjem (tošenjem) svoje enegije. Posmatano mikoskopski postoje samo dve vste enegije i to su potencijalna i kinetička enegija ili enegije miovanja i ketanja. ve makoskopske vidove enegije (elektična, toplotna,...) moguće je svesti na dva mikoskopska, čiji zbi podleže zakonu o odžanju enegije. Helmoltz (Hemann von Helmoltz 8-894) je zapisao : "... Pioda kao celina ima zaliu enegije koja se nikako ne može ni povećati ni smanjiti, dakle, količina enegija u neoganskoj piodi... je večna i nepomenljiva." Zakon o odžanju enegije: Ukupna enegija izolovanog sistema je nepomenjiva. Ukupnu enegiju nije moguće uništiti niti je iz bilo čega stvoiti. Moguće je jedino petvaanje jednog vida enegije u dugi. Rad sila elektičnog poekla po zatvoenom putu je jednak nuli. Cikulacija vektoa elektičnog polja je jednaka nuli. Elektostatičko polje je konzevativno. C E( )dl To je diektna posledica zakona o odžanju enegije. Diektne posledice su i da je elektično polje u unutašnjosti povodnika jednako nuli i da postoji samo nomalna komponenta na spoljašnjoj stani povodnika. Naelektisanja se aspoeđuju kećući se po najkaćim putanjama koje su odeđene najvećim pivlačnim ili odbojnim silama. Tada je utošeni ad najmanji, pa je elektostatički sistem u avnoteži ako je potencijana enegija polja minimalna. Elektostatičko polje opisuje se enegijom miovanja.

34 34 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 6 - Rad Coulombove sile Dva nepoketna tačkasta naelektisanja jednaka po znaku i količini nalaze se na međusobnom astojanju a. Na vetikalnoj osi simetije u tački M na visini y nalazi se tačkasto naelektisanje isto po količini ali supotnog znaka. Potebno je izačunati ad koji izvše sile polja pomeajući ovo naelektisanje iz tačke gde je sila najveća do tačke u kojoj se naelektisanje nalazi u stanju labilne avnoteže. Pivlačna Coulombova sila međusobnog dejstva ima samo komponentu upavnu na pavac koji spaja dva nepoketna tačkasta naelektisanja, q F( y) 4πε ( y y a ) 3/ q yˆ πε f ( y) yˆ, Osim u centu simetije, y, gde se tačkasto naelektisanje nalazi u stanju labilne avnoteže, sila na tačkasto naelektisanje je jednaka nuli i u beskonačnosti. Između dve nule nepekidne funkcije moa da postoji ekstemna vednost (Rolleova teoema). Najveća pivlačna sila je u tački gde je pvi izvod funkcije f (y) jednak nuli. Dakle, u opštem slučaju Coulombova sila nije najveća pi najmanjem astojanju. Kako je a y f ( y), to sledi da je najveća sila u tačkama 5 / ( a y ) Taženi ad je q A F( y)dy πε a a ( a y dy y ) 3 / q πε ( a y ±a. / 3 ). Zadatak 6. - Nepoketni kužni obuč polupečnika a naelektisan je količinom naelektisanja q. Na osi obuča na astojanju y od centa nalazi se tačkasto naelektisanje isto po količini supotno po znaku. Izačunati ad koji izvše sile polja pomeajući tačkasto naelektisanje iz tačke gde je sila najveća do centa obuča. Zadatak 6. - Jezgo atoma vodonika polazi iz beskonačnosti početnom bzinom v ka nepoketnom tačkastom naelektisanju q. Izjednačavajući kinetičku enegiju čestice i ad izvšen potiv sila polja odediti astojanje na kom će se čestica zaustaviti. Zadatak Dve paalelne avni na međusobnom astojanju d naelektisane su istim povšinskim gustinama naelektisanja koje su supotne po znaku ± η. a negativno naelektisane avni iz stanja miovanja keće elekton. Izačunati bzinu elektona neposedno pe udaa u pozitivno naelektisanu avan. Zadatak 6.4 -Tačkasto naelektisanje q keće se po liniji polja avni naelektisane nepoznatom povšinskom gustinom naelektisanja η. Ako je poznata dužina peđenog puta s i ukupan izvšeni ad A, izačunati povšinsku gustinu naelektisanja avni η.

35 Elektostatika O izačunavanju ada i enegije U Descatesovom (Rene Descates alias Catesius Renatus, ) koodinatnom sistemu je x xˆ y yˆ F( ) F xˆ F yˆ d l dx xˆ dy yˆ, x pa se za ad sila polja imeđu tačaka A i B dobija kivolinijski integal duge vste, A F dl Fx dx Fy dy Fx dx Fy dy. C AB y Pomena znaka je u potpunoj saglasnosti sa fizičkim tumačenjem - to je ad koji može biti i pozitivan i negativan tj. dobijen i uložen. Kako je dx cos α dl, dy sin α dl to je A ( Fx cosα Fy sin α) dl F( )dl F( x, y) dl, dy dl AB AB AB α što je kivolinijski integal pve vste. dx Ako je C poizvoljna zatvoena kontua koja oganičava povšinu, tada se elementanim azmatanjem pokazuje da je Fy Fx Fx dx Fy dy dx dy x y C što je poznato kao Geenova fomula (Geoge Geen, ). U elektostatičkom polju (kao i u gavitacionom) ad sila po zatvoenoj kontui je jednak nuli. To znači da ad ne zavisi od putanje integacije već samo od koodinata početne i kajnje tačke.na pime, za kontuu sa slike će biti A FLcos FLcosπ / FLcosπ FLcos3π /. Ako je samo jedan od uslova ispunjen, tada su ispunjeni i ostali (ovde bez dokaza). BA A Fx d x Fy dy C d ϕ F dx F dy F F x y A dϕ ϕ( A) ϕ( B ) y x AB Iz Geenove fomule se pogodnim izboom podintegalne funkcije dobija koisna fomula za izačunavanje povšine: F yxˆ xyˆ x d y y dx dxdy dl dl dx xˆ dy yˆ C C x y

36 36 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 7 - Izačunavanje ada u elektičnom polju U postou između elektoda cilindičnog voda polupečnika elektoda a i b espektivno, nalazi se tačkasto naelektisanje q. Izačunati astojanje c za koje je ad sila elektičnog polja od a do c isti kao od c do b. Elektično polje u koaksijalnom vodu je adijalno i dobija se pimenom Gaussovog zakona q q l q ˆ E d E π l E. ε ε πε Komponente elektičnog polja u Descatesovom koodinatnom sistemu su q ˆ q q xxˆ yyˆ E Exxˆ Ey yˆ, πε πε πε x y pa sledi da je ad q Exdx Eydy) πε x q q x dx y dy (. y A C C Za ešavanje integala je potebno poznavati jednačinu putanje duž koje se integali. Integal se jednostavno ešava smenama x cosθ, y sin θ. Međutim, kao što je poznato elektostatičko polje je konzevativno i lako se poveava da E E x y q x y ad ne zavisi od putanje integacije već samo y x πε x y od koodinata kajnji tačaka. Pošto je ispunjen jedan od potebni uslova ispunjeni su i svi ostali, pa se ad izačunava kao integal totalnog difeencijala potencijala. Za dve poizvoljne tačke koje su odeđene polupečnicima < ad (napon) će biti A ab A A A B B B B q q d q q F dl q E dl πε πε A Rad od tačke na spoljašnjoj stani unutašnje elektode a do tačke u polju c je: Rad od tačke u polju c do tačke na unutašnjoj stani spoljašnje elektode b je: ln B A A AC Iz jednakosti ova dva izaza sledi: c ab A CB. a b c q q ln πε q q πε c a b ln c

37 Elektostatika tokesova fomula, oto vektoa Uopštavanje Geenove fomule na todimenzionalni slučaj dovodi do tokesove fomule (Geoge Gabiel tokes, 89-93). U elektostatičkom polju ad po zatvoenoj putanji je jednak nuli pa slede izazi analogni onima koji se dobijaju u dvodimenzionalnom slučaju. Rad u avni Rad u postou A F d x F dy A F d x F dy F dz A C x y Fy Fx x y dx dy C x F z y Fz y y z dy dz F z x Fz x dx dz. tokesova fomula dovodi do ideje da je integal na desnoj moguće intepetiati kao fluks nekog novog vektoa koz povšinu koja je oganičena kontuom C. Taj novi vekto nazvan je otacija ili vtložnost vektoskog polja ili oto vektoa. U Descatesovom koodinatnom sistemu ovaj vekto je moguće zapisati u fomi simboličke deteminante. tokesova fomula (teoema): Cikulacija vektoa F duž zatvoene kontue C je jednaka fluksu vektoa ot F koz poizvoljnu povšinu koja se oslanja na kontuu. Elektostatičko polje je bezvtložno je je ad sila polja po zatvoenom putu jednak nuli, ot F v xˆ x F x F d l C yˆ y F y ot E zˆ z F z ot F d Međutim, u opštem slučaju (na pime, magnetno polje) cikulacija vektoa nije jednaka nuli. Ako se elementana kontua, Δ C, po kojoj se ačuna cikulacija, steže (obim teži nuli) onda i povšina, Δ, koja je oganičena kontuom teži nuli i obe stane u izazu za cikulaciju vektoa teže nuli. Međutim, ako se obe stane ove jednakosti podele sa Δ, tada je ganična vednost konačna i definiše pojekciju vektoa ot F na pavac nomale elementane povšine Δ. Roto vektoa je postoni izvod i ne zavisi od izboa koodinatnog sistema. F dl ot F Δ nˆ ot F Δ lim F dl nˆ ot F Δ Δ. ΔC C

38 38 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 8 - Elektostatičko polje koje ne može da postoji Neka se elektostatičko polje menja po zakonu E kx yˆ, k Const. Kako je y E xˆ yˆ zˆ ot E k zˆ, x y z x E z x to znači da postojanje ovakvog elektostatičkog polja nije moguće je je ezultat supotan činjenici da je elektostatičko polje konzevativno, tj. da je ot E v. Zadatak 8. - Odediti oto vektoa položaja, xxˆ yyˆ zzˆ. ˆ Zadatak 8. - Odediti oto vektoa. Zadatak Izačunati ot ( gadϕ).

39 Elektostatika Enegija, potencijal i napon U gavitacionom polju potencijalna enegija tela se odeđuje u odnosu na neki efeentni nivo. Za efeentni nivo izaban je nivo moa. Potencijalna enegija je zbi enegije na efeentnom nivou i ada koji je uložen na podizanje tela. Time se ukupna enegija sistema povećava, a oblik i dužina putanje nisu od značaja. W G P M G Uloženi ad teba uzeti sa negativnim znakom je se vši M potiv sila polja. Vednost integala je negativna, je su AM AP F d l vektoi sile i puta antipaalelni, i zbi je pozitivan. P Dakle, potencijalna enegija nije jednoznačno odeđena i zavisi od izboa efeentnog nivoa. Enegije ačunate za azličite efeentne nivoe se azlikuju za aditivnu konstantu. Ako se usvoji da je ad koji je petodno uložen da bi se telo P dovelo do efeentnog nivoa jednak nuli, ili ako se smata da AM F d l je povšina moa na nultoj visini, tada je pvi sabiak jednak M nuli pa se za potencijalnu enegiju dobija poznat izaz. P Potpuno ista azmatanja važe za elektostatičko polje, samo što se u elektostatičkom polju ne pomea masa već pobno naelektisanje. Refeentna tačka je najčešće u beskonačnosti. Potencijal neke tačke u elektostatičkom polju je bojno jednak adu koji izvše sile polja pomeajući pozitivno jedinično naelektisanje iz te tačke do efeentne tačke. Elektostatičko polje je potencijalno polje. Jedinica za potencijal je volt sa oznakom V (Alessando Volta, ). Odavde sledi i jedinica za elektično polje koja se u paksi najčešće i koisti, [ ϕ] [ A] [ q] J C Nm V, C N V. C m Razlika potencijala je sazmena azlici potencijalni enegija i to je elektični napon, ili samo napon. AM q M A ϕ q E d l P ϕ ( ) E( )dl U MN N M E d l Tačke na istom potencijalu obazuju ekvipotencijalne linije i ekvipotencijalne povšine. Pošto je napon između dve tačke koje pipadaju istoj ekvipotencijalnoj povšini jednak nuli, na osnovu definicije napona, sledi da je vekto elektičnog polja uvek nomalan na ekvipotencijalnu povšinu. U unutašnjosti povodnika elektično polje je jednako nuli, što znači da su sve tačke na istom potencijalu koji je jednak potenijalu povšine.

40 4 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 9 - Odžanje količine naelektisanja Balon (na pime, od sapunice) polupečnika a i male debljine zida Δ a << a, u odnosu na efeentnu tačku nalazi se na potencijalu ϕ a. Nakon aspskavanja balon se petvaa u kapljicu sfenog oblika polupečnika b koja će sadžati istu količinu naelektisanja, q, kao i balon ali će biti na nekom dugom potencijalu ϕ b. Kako je q q a ϕ a i ϕ b to sledi, ϕ b ϕ a. πε a πε b b 4 4 Pošto zapemina koju zauzima mateijal balona moa biti ista kao i zapemina koju zauzima mateijal kapljice to je ( a ( a Δa) ) πb 4 π, 3 3 odakle je moguće izačunati polupečnik novonastale kapljice, 3 / 3 b ( 3a Δa 3a Δa Δa ). Kad se zanemae stepeni višeg eda male veličine dobija a ϕ b ϕa. / 3 ( 3a Δa) Δ a za potencijal kapljice se Zadatak 9. - Dve povodne sfee čiji su polupečnici a < b povezane su povodnikom zanemaljive debljine čija je dužina znatno veća od oba polupečnika, R >> a, b. Ako je ceo sistem naelektisan količinom naelektisanja q q a q b odediti silu istezanja povodnika na kome je količina naelektisanja zanemaljiva Zadatak 9. - Odediti potencijal koji stvaa nit dužine L koja je avnomeno naelektisana podužnom gustinom naelektisanja q. Potencijal odediti u tački u avni simetije. Zadatak Podužno naelektisanje q ima oblik polukužnice polupečnika a. Odediti potencijal tačke u centu. Zadatak Kužna ploča polupečnika a avnomeno je naelektisana povšinskom gustinom naelektisanja η. Odediti potencijal u tačkama koje pipadaju vetikalnoj osi ploče. Zadatak N jednaki po količini tačkasti naelektisanja pavilno je aspoeđeno po obimu zamišljene kužnice polupečnika a. Odediti potencijal u centu kužnice a) ako su naelektisanja istog znaka, b) ako se znak naelektisanja naizmenično menja.

41 Elektostatika 4 - Gadijent potencijala Potencijal je definisan kao kivolinijski integal vektoa elektičnog polja. Obnuto, elektično polje je izvod funkcije koja opisuje potencijal. Kako je izvod konstante jednak nuli, sledi da su funkcije ϕ i ϕ ϕ C potpuno avnopavne je jednoznačno opisuju elektično polje. Potencijal tačkastog naelektisanja u tački M u odnosu na efeentnu tačku P je P P P ϕ E q ˆd l q d dl 4πε 4πε M ϕ q πε P 4 Ekvipotencijalne povšine su koncentične sfee u čijem se zajedničkom centu nalazi tačkasto naelektisanje. M M ϕ E d N nˆ N M E s tˆ ϕ M d ϕ dl lˆ ϕ P M d ϕ Za efentnu tačku u beskonačnoti, P, nulta ekvipotencijala je sfea beskonačnog polupečnika. Međutim, pi elektičnim meenjima najčešće se smata da je povšina zemlje na nultom potencijalu. Za tačke M i N koje su na beskonačno malom astojanju je ϕ ϕ dϕ, dϕ ϕ ϕ E d l N M U Descatesovom koodinatnom sistemu je E E xˆ E yˆ E zˆ, d l dx xˆ dy yˆ dz zˆ, dϕ E dx E dy E dz x y z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ dϕ dx dy dz, E xˆ yˆ zˆ, E gad ϕ x y z x y z Kako je dϕ totalni difeencijal skalane dϕ dϕ dϕ cos( nˆ, l ) nl ˆ ˆ gad ϕ lˆ funkcije od ti pomenljive, sledi: dl dn dn Elektično polje je degadijent elektičnog skala potencijala. N M ϕ E gadϕ nˆ n Bzina pomene skalane veličine duž pavca zavisi od tog pavca. Najveća bzina pomene je u pavcu koji je nomalan na ekviskalanu povšinu i jednaka nuli kad je taj pavac neka od tangenti na ekviskalanu povšinu. Gadijent skalane funkcije je postoni izvod. x y z

42 4 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime - Odeđivanje polja iz potencijala Dva jednaka tačkasta naelektisanja q nalaze se na međusobnom astojanju a. Potebno je odediti elektično polje u tačkama koje pipadaju osi simetije, y. Potencijal u bilo kojoj tački M (, y) je zbi potencijala koje stvaa svako od tačkasti naelektisanja, q a E y y R a q x q q ϕ ( y). 4πε R πε / ( a y ) Elektično polje je jednako degadijentu potencijala, ϕ ϕ ϕ E gadϕ xˆ yˆ zˆ. x y z Pošto je potencijal funkcija koja zavisi samo od jedne koodinate y, to sledi q y E gad ϕ ϕ yˆ 3/ y πε ( a y ) yˆ. Obnuto, elektični skala potencijal iz elektičnog polja se dobija kao ϕ q E dy πε y dy q πε q πε 3/ / / ( a y ) y y ( a y ) ( a y ) y Zadatak. Ako je R ( x x ) ( y y ) ( z z ) izačunati gad R u tačkama M ( x, y, z) i M ( x, y, z ). Zadatak. Ako je tačkama M ( x, y, z) i M ( x, y, z ). R ( x x ) ( y y ) ( z z ) izačunati gad u R

43 Elektostatika 43 - Helmoltz, Poisson i Laplace Elektični skala potencijal nije jednoznačno odeđen je zavisi od izboa efeentne tačke. Međutim, elektično polje, kao izvod potencijala, i poed toga je jednoznačno. Pema Helmoltzovoj teoemi vektoska funkcija je jednoznačno odeđena ako njena vednost u beskonačnosti teži nuli najmanje kao / i ako su u svim tačkama iz oblasti definisanosti poznati postoni izvodi. Elektostatičko polje je jednoznačno odeđeno je su ispunjeni svi uslovi teoeme koja je ovde pikazana bez dokaza. lim E( ) lim, n > n lim E( ) ρ( ) div E( ) ε Difeencijalni oblik Gaussovog zakona i činjenica da je elektično polje odeđeno kao degadijent potencijala dovode do pacijalni difeencijalni jednačina dugog eda koje su poznate kao Poissonova (Denis Poisson, ) i Laplaceova (Piee imon Laplace ), za ρ i ρ espektivno. div E ρ ε E gadϕ ρ div(gadϕ) div (gadϕ) ε Izaz div(gadϕ ) je postoni izvod dugog eda i nazivan je laplasien skalane funkcije ϕ. Difeencianja dugog eda pimenjuju se pema tabeli koja sledi. skalano polje ϕ vektosko polje E Opeato gad div ot gad gad(div E ) div div(gadϕ ) div (ot E ) ot ot (gadϕ) ot (ot E )

44 44 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi - Geenovi identiteti Za poizvoljnu vektosku funkciju E koja je zajedno sa svojim pvim izvodima nepekidna u delu postoa V koji je oganičen zatvoenom povšinom važi teoema divegencije ili teoema Ostogadskyog. E d V div E dv Neka su ψ i ϕ skalane funkcije čiji su pvi i dugi izvodi nepekidni u posmatanoj oblasti i neka je E ψgad ϕ, tada iz teoeme divegencije sledi identitet ψ gad ϕ d div ( ψ gad ϕ) dv. Kako je sledi pvi Geenov identitet ϕ ψ d n V div ( ψ gad ϕ) gad ψ gad ϕ ψ div (gad ϕ) ψ gadϕd Ako funkcije ψ i ϕ zamene mesta dobija se ψ ϕ d n ( gadψ gadϕ ψ div(gadϕ) ) V ϕgadψ d dv ( gadψ gadϕ ϕ div(gadψ) ) V dv. Oduzimanjem poslednja dva identiteta dobija se dugi Geenov identitet, poznatiji kao Geenova teoema ili teoema Geen-Ostogadskyog. ( ψ gadϕ ϕgadψ)d ( ψ div (gadϕ) ϕ div (gadψ) ) dv V ϕ ψ ψ ϕ d ( ψ div(gadϕ) ϕ div(gadψ) ) dv n n V

45 Elektostatika Rešenje Laplaceove i Poissonove jednačine vaka funkcija koja je u datoj oblasti nepekidna i koja ima nepekidne izvode pvog i dugog eda i koja zadovoljava Laplaceovu jednačinu je M amonijska funkcija. Elektični skala potencijal je amonijska funkcija. Ako je nˆ R vekto položaja tačke izvoa i M vekto položaja tačke u polju, V nˆ R ', tada funkcija ψ / R zadovoljava Laplaceovu jednačinu u svim tačkama osim u tački izvoa,. Dokaz je jednostavan: div R RR (gad ) div div R R gad R R R R R R 5 3 Neka je funkcija ϕ elektični skala potencijal koji zadovoljava Poissonovu jednačinu i ψ funkcija koja zadovoljava Laplaceovu jednačinu i uslove pod kojima su izvedeni Geenovi identiteti, u svim tačkama osim u tački R koju je potebno isključiti iz dela zapemine, na pime sfenom povšinom polupečnika a. Opšte ešenje Poissonove jednačine sledi iz Geenove teoeme. ϕ ψ ψ ϕ d n n ϕ ϕ d R n n R Neka se povšina uvećava, na pime kao sfea, po zakonu R. Podintegalna 3 funkcija istovemeno opada ba kao / R tako da integal po ovoj povšini iščezava.. ψ div (gadϕ) ϕ div (gadψ) dv V ρ / ε ρ ε R dv V O lim ϕ ϕ d R R n n R Na povšini sfee je R a i / n / R, je je nomala na tu povšinu usmeena ka centu sfee. Ako se za potencijal i izvod potencijala u pavcu adijusa usvoje sednje vednosti, ceo izaz ide isped znaka integala, pa sledi ϕ ϕ lim ϕ ϕ π πϕ d lim 4 a 4 a a R a a a R a Konačno ešenje Poissonove jednačine je na ρ( ) ϕ( ) osnovu Helomltzove teoeme jednoznačno. πε dv 4 V

46 46 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi 4 - Povodnici Kad se povodno telo naelektiše, usled dejstva odbojni elektostatički sila dolazi do aspoeđivanja naelektisanja po povšini tela. U unutašnjosti povodnika nema slobodni naelektisanja i elektično polje je jednako nuli. Zato je svejedno da li je povodnik masivan ili šupalj. Šuplje povodno telo, za unutašnjost, pedstavlja savšenu zaštitu od spoljašnjeg elektostatičkog polja. Na povšini povodnika tangencijalna komponenta elektičnog polja je jednaka nuli. U supotnom bi bilo stalnog ketanja naelektisanja i nikada ne bila postignuta avnoteža. Nomalna komponenta elektičnog polja je jednaka količniku povšinske gustine naelektisanja i dielektične konstante. ve tačke na povšini povodnika su na istom potencijalu. To je ekvipotencijalna povšina. E t E x nˆ η E n E n ˆ ε U η d 4πε Kad se povodnik unese u elektostatičko polje pod dejstvom polja dolazi do katkotajnog ketanja elektona u povodniku koje taje sve do uspostavljanja novog avnotežnog stanja. Naelektisanja će biti aspoeđena tako da uslovi elektostatičke avnoteže budu obezbeđeni. Nova aspodela naelektisanja na povodniku koji je unet u elektostatičko polje je nazvana elektostatička indukcija ili influencija. E _ Pe unošenja u polje Posle unošenja u polje Detalj povšine Ako se naelektisano telo unese u unutašnjost šupljeg povodnog nenaelektisanog tela na unutašnjoj povšini šupljeg tela će se pojaviti naelektisanja supotnog znaka koja će biti aspoeđena tako da budu ispunjeni uslovi elektostatičke avnoteže. Pošto je šuplje telo petodno bilo nenaelektisano na spoljašnoj povšini će biti aspoeđena naelektisanja jednaka po znaku i količini onom koje je u telo uneto i to bez obzia na oblike i međusobni položaj tela. Ovakav ekspeiment je izveo Faaday pa je pojava naelektisanja na spoljašnjoj povšini nenaelektisanog tela koje obuvata neku količinu naelektisanja poznata kao efekat Faadayevog peaa. q

47 Elektostatika 47 Pime 4. - Dve paalelne avni Dve neoganičene avni na astojanju d piključene su na napon U. Raspodela potencijala odeđena je ešenjem Laplaceove jednačine koje zadovoljava ganične uslove na povšinama avni. y d y η η ϕ U E ϕ x U Descatesovom koodinatnom sistemu potencijal d ϕ zavisi samo od jedne koodinate, na pime y, pa dy Laplaceova jednačina ima samo jedan sabiak. Rešenje je lineana funkcija od koodinate. ϕ y C y y ( ) C Iz ganičnog uslova ϕ( y ) se dobija C Iz ganičnog uslova ϕ ( y d) U se dobija Konačno ešenje je Elektično polje je degadijent potencijala i usmeeno je od avni na višem potencijalu ka avni na nižem potencijalu. Ako su avni konačni dimenzija i imaju povšinu onda iz Gaussovog zakona sledi izaz za jačinu elektičnog polja. Poeđenjem poslednja dva izaza se dobija Odavde sledi odnos q /U koji je za dati sistem konstantan. Kasnije će biti pokazano da je taj odnos kapacitivnost, u ovom slučaju avnog kondenzatoa. U C d y ϕ U d dϕ E dy U E d q E U d q U ε q ε ε d U yˆ yˆ d Const.

48 48 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 4. - Koaksijalni vod Dva neoganičeno duga koaksijalana cilinda polupečnika a i b piključena su na napon U. Raspodela potencijala odeđena je ešenjem Laplaceove jednačine koje zadovoljava ganične uslove na elektodama. Δ ϕ, ϕ ( a ) U i ϕ( b ). U ϕ U polano-cilindičnom koodinatnom sistemu (videti pilog) potencijal zavisi samo od adijalne koodinate, pa Laplaceova jednačina ima samo jedan sabiak. Izaz u zagadi moa da bude jednak konstanti, pa se posle integacije dobija opšte ešenje. Zadovoljavanjem ganični uslova se dobija sistem od dve lineane jednačine iz koji se odeđuju konstante integacije. Zamenom vednosti za konstante u opšte ešenje dobija se izaz za aspodelu potencijala. Elektično polje je odeđeno kao negativan izvod potencijala u pavcu nomale, Izaz za elektično polje se dobija i diektnom pimenom Gaussovog zakona u integalnom obliku. Odavde je potencijal odeđen kao linijski integal vektoa elektičnog polja. Napon između elektoda se dobija kada je astojanje jednako polupečniku spoljašnje elektode. Odnos q /U je za dati sistem konstantan. Kasnije će biti pokazano da je taj odnos podužna kapacitivnost. Najveća jačina elektičnog polja je na spoljašnjoj stani unutašnje elektode. d dϕ d d ϕ ( ) C ln C U Cln a C C lnb C ln( / b) ϕ U ln( b / a) U ˆ E ln( b / a) q ˆ E πε q ϕ ln πε a q b U ln πε a q πε C U ln( b / a) U Emax ln( b / a) a de max da Polupečnik unutašnjeg povodnika je moguće dimenzionisati tako da ta vednost bude najmanja. Iz nule pvog izvoda se dobija uslov za minimum maksimuma jačine elektičnog polja. b / a e Tako se dobija i najmanja moguća vednost jačine U elektičnog polja u koaksijalnom vodu za zadati E max e min napon. b Za < a i > b polje je jednako nuli, što se lako vidi iz Gaussovog zakona. U a

49 Elektostatika 49 Pime Koncentične sfee Dve koncentične sfee piključene su na napon U. Raspodela potencijala odeđena je ešenjem Laplaceove jednačine koje zadovoljava ganične uslove na elektodama, Δ ϕ, ϕ ( a ) U i ϕ( b ). U sfenom koodinatnom sistemu (videti pilog) potencijal zavisi samo od adijalne koodinate, pa Laplaceova jednačina ima samo jedan sabiak. Izaz u zagadi moa da bude jednak konstanti, pa se posle integacije dobija opšte ešenje. Zadovoljavanjem ganični uslova se dobija sistem od dve lineane jednačine čijim ešenjem su odeđene konstante integacije. Zamenom vednosti za konstante u opšte ešenje dobija se izaz za aspodelu potencijala. Elektično polje je odeđeno kao negativan izvod potencijala u pavcu nomale, Izaz za elektično polje se dobija i diektnom pimenom Gaussovog zakona u integalnom obliku. Odavde je napon između sfee odeđen kao linijski integal vektoa elektičnog polja. Odnos q /U je za dati sistem konstantan. Kasnije će biti pokazano da je taj odnos kapacitivnost. Najveća jačina elektičnog polja je na spoljašnjoj stani unutašnje elektode. Najveća jačina elektičnog polja biće najmanja ako spoljašnja elektoda ima dva puta veći polupečnik od unutašnje (videti petodni pime). Za d dϕ d d ϕ C C U C C a C C b a b ϕ U b a b a b E U ˆ b a q E ˆ 4πε q U 4πε a b ab C 4 πε b a b Emax U a ( b a) E min U a max < a i > b polje je jednako nuli, što se lako vidi iz Gaussovog zakona. Kada se polupečnik spoljašnje elektode neoganičeno uvećava, b, sistem dve koncentične sfee degeneiše u jednu usamljenu sfeu. 4U a a ϕ U Usamljena naelektisana sfea a q E U ˆ E ˆ 4πε C 4πεa

50 5 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi 5 - Elektična indukcija Na osnovu ezultata Faadayevog ekspeimenta i ideje o elektičnom polju Maxwell (James Clack Maxwell, ) je smatao da je unošenje naelektisanja u neku zapeminu paćeno izlaznim pomeanjem iste količine naelektisanja koz povšinu kojom je ta zapemina oganičena. Šta više ta povšina može biti zamišljena, pa tako i dolazi do uspostavljanja elektičnog polja u celom postou. Razađujući ovu ideju Maxwell je uveo vekto elektičnog pomeaja ili vekto elektične indukcije, D. Vekto D ima piodu povšinske gustine naelektisanja i intenzitet mu je bojno jednak količini naelektisanja koja se pomei koz jediničnu povšinu koja je nomalna na pavac pomeanja. D ε C Nm E N C C m [ D ] U vakuumu vektoi E i D su kolineani pa uvođenje još jednog vektoa na pvi pogled izgleda suvišno. Divegencija vektoa elektične indukcije je div D div ( εe) εdiv E ρ div D ρ gde je ρ zapemenska gustina slobodni naelektisanja. U mateijalnim sedinama pojaviće se i vezana naelektisanja koja su izvo elektičnog polja ali nisu izvo polja elektične indukcije, i to je suštinska azlika između ovi veličina. Matematičku fomulaciju uticaja sedine u kojoj postoji elektično polje je dao Maxwell. Zato se vlo često za teoiju elektomagnetni polja kaže Faaday-Maxwellova teoija. "Pe nego što sam započeo izučavanje elekticiteta ešio sam da ne čitam matematiku o tome dok ne počitam Faadayeva Ekspeimentalna istaživanja elekticiteta. Bio sam svestan da se petpostavljalo da postoji azlika između Faadayevog načina svatanja pojava i načina matematičaa, tako da ni on ni oni nisu bili zadovoljni jezikom onog dugog. "Kad sam peveo, ono što sam smatao Faadayevom idejom, u matematičku fomu, našao sam da se ezultati dva metoda uglavnom podudaaju tako da se iste pojave mogu objasniti i isti zakoni delovanja mogu izvesti i jednim i dugim metodom."... "Faaday je svojim misaonim okom video linije sila kako požimaju ceo posto tamo gde su matematičai videli cente sila koje deluju iz daleka. Faaday je video medijum tamo gde oni nisu videli ništa sem odstojanja. Faaday je tažio sedište fenomena u ealnim delovanjima koja se postiu koz medijum, dok su se oni zadovoljili da ga nađu u dejstvu na daljinu kojem su podvgnuti elektični fluidi."

51 Elektostatika Kapacitivnost Elektična kapacitivnost ili samo kapacitivnost je sposobnost tela da zadži naelektisanja. vako telo koje može da se naelektiše ima svojstvo kapacitivnosti. Za usamljeno povodno telo kapacitivnost se često naziva sopstvena kapacitivnost i jednaka je količniku količine naelektisanja i potencijala povodnika. C q ϕ Kapacitivnost je bojno jednaka količini naelektisanja koje je potebna da bi povodnik sa nultog potencijala bio doveden na jedinični potencijal u odnosu na efeentne tačke. Kapacitivnost je za dato telo konstantna. U sistemu jedinica I, jedinica za kapacitivnost je faad i ima oznaku F po Micaelu Faadayu. Iz izaza za kapacitivnost povodne sfee sledi: Faad je velika jedinica i tek sfea polupečika od devet miliona kilometaa ima kapacitivnost od jednog faada. Kapacitivnost dela povodnika je manja od kapacitivnosti celog povodnika. Kapacitivnost je dimenziono dužina. Latinska eč capacitas sa značenjem "posto u kome ima mesta za mnogo stvai" je usvojena za elektičnu veličinu. Jedinica za dielektičnu konstantu koja je u upotebi je faad po metu. C V [ C ] F q ˆ E 4πε q ϕ πε a 4 C 4πεa [ ε ] Kad povodno telo nije usamljeno potencijali tela zavise od količina naelektisanja na svim telima. Važi i obnuto, potencijal posmatanog tela zavisi od naelektisanja na tom telu ali i od naelektisanja na susednim telima. Dakle, moguće je napisati dva sistema jednačina. Pime: Međusobni uticaj dva tela Nepoznata naelektisanja ϕ a q a q ϕ a q a q aij - potencijalni koefeicijenti F m Nepoznati potencijali q b ϕ b ϕ q b ϕ b ϕ bij - koeficijenti indukcije Očigledno koeficijenti b ij imaju piodu kapacitivnosti. Da bi se izbegla potivuečnost između njiove piode i negativnog znaka koji se javlja kod međusobni koeficijenata, petodni sistem jednačina je potebno napisati u obliku koji ima i svoje fizičko značenje. ada su koeficijenti delimične kapacitivnosti. a q C ϕ C ( ϕ ϕ) jednakim indeksima su sopstvene, a sa azličitim indeksima su međusobne kapacitivnosti. q C ( ϕ ϕ) C ϕ Ako se jednačine podele dielektičnom konstantom tada one pedstavljaju aspodelu fluksa u sistemu.

52 5 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 6 - Obtni elipsoid, sfea, cilinda i disk Usamljeno linijsko naelektisanje dužine c je avnomeno naelektisano podužnom gustinom naelektisanja q. U nekoj tački polja potencijal u odnosu na tačke u beskonačnosti je c q dx q x c ( x c) y ϕ 4πε tj. ϕ ln c ( x x ) y 4, πε x c ( x c) y gde je integal ešen smenom x x y s t, dx y c t. Ekvipotencijalne povšine se dobijaju iz uslova ϕ const. ili x c x c ( x c) ( x c) y y ili pema oznakama sa slike x c k x c const. Takođe, sa iste slike je očigledno ϕ c b y b y ( x c) i y ( x c), odakle sledi ( x c) ( x c) ( x c) što znači da je i k. Iz pvog i poslednjeg ( x c) ( x c) ( x c) odnosa se dobija k k( x c) ( x c), k k( x c) ( x c), k pa je c const. Ekvipotencijalne povšine su otacioni elipsoidi k čije su žiže u tačkama na kajevima linijskog naelektisanja. Pema tome svaki otacioni elipsoid čija se povšina poklapa sa nekom od ekvipotencijalni povšina i koji je naelektisan količinom naelektisanja q c q je na potencijalu koji je jednak potencijalu bilo koje tačke koja pipada toj povšini. Na pime, za elipsoid čije su poluose a i b, a ekscenticet c a b, i za tačku x a, y, iz izaza za potencijal bilo koje tačke u polju sledi q a c q 8πε c a b ϕ ln C ili C 4πε 8πε c a c ϕ a c ln a a b a c ln b Iz izaza za kapacitivnost obtnog elipsoida sledi izaz za kapacitivnost sfee polupečnika a, tj. za c tj. b a sledi C 4πεa ; Za a se dobija kapacitivnost diska polupečnika b, tj. C 8ε b. Takođe je moguće dobiti pibližne izaze za kapacitivnost veoma izduženog otacionog elipsoida oblika olovke ili kapacitivnost kužnog cilinda oblika olovke. c M x a

53 Elektostatika Uopštenje pojma kapacitivnosti - kondenzato Za sistem od dva naelektisana tela moguća su dva slučaja. U nesimetičnom slučaju su potencijali tela jednaki. Rešavanjem poslednjeg sistema jednačina (lekcija 6) sledi da kapacitivnost između tela ne postoji (u elektostatičkom smislu to je samo jedno povodno telo), ali postoji kapacitivnost tela pema tačkama na nultom potencijalu. Ekvivalentna kapacitivnost je paalelna veza delimični sopstveni kapacitivnosti. Q q q C C ) U CU ( U simetičnom slučaju je q q q i ϕ ϕ U. Ovakav sistem od dva povodna naelektisana tela je nazvan kondenzato je u elektostatici naelektisanja ne napuštaju elektično odvojena naelektisana tela i na njima se skupljalju (zgušnjavaju) tj. kondenzuju. U C ϕ ϕ U ϕ q q ϕ C C C q C ϕ ϕ C C ϕ q C ϕ C C C Ako se jednačine poslednjeg sistema sabeu sledi veza iz koje je očigledno da su potencijali tela supotnog znaka. Kad se došlo do saznanja o elektičnoj stuji, povodna tela su nazvana elektodama. Faaday je pi poučavanju elektolize pozitivnu elektodu nazvao anoda, a negativnu elektodu katoda. Ako se pva jednačina pomnoži sa C, a duga sa C, pa se zatim od pve jednačine oduzme duga, i imajući u vidu da je C C C, sledi da je CC Q q C U ( C C p ) U C C Pvi sabiak je kapacitivnost kondenzatoa. Dugi sabiak je ukupna kapacitivnost oba tela pema tačkama koje su na nultom potencijalu. opstvene delimične kapacitivnosti su, peko tačke nultog potencijala u seijskoj ili ednoj vezi. U elektotenici sopstvene delimične kapacitivnosti vlo često stvaaju neželjena dejstva i zato su nazvane paazitne kapacitivnosti. Ako su dimenzije elektoda i njiovo međusobno astojanje znatno manje od astojanja do tačaka koje su na nultom potencijalu tada su paazitne kapacitivnosti zanemaljive u odnosu na kapacitivnost kondenzatoa. Međutim, moguće je postići potpunu nezavisnost elektodnog sistema od aspoeda ostali tela. To se postiže stavljanjem elektodnog sistema u metalni oklop. Oklapanje elektodnog sistema pedstavlja savšenu elektostatičku zaštitu. Isti je slučaj i kad jedna elektoda obuvata dugu, na pime sfeni kondenzato ili koaksijalni vod.

54 54 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 7 - Kapacitivnost kondenzatoa Za elementane geometije elektoda (avna, cilindična, sfena) izazi za jačinu elektičnog polja i aspodelu potencijala su izvedeni u anijim lekcijama i to pimenom Gaussovog zakona i ešavanjem Laplaceove jednačine. Iz ti izaza se jednostavno dobijaju i izazi za kapacitivnost odgovaajući kondenzatoa. Ravan kondenzato Cilindični kondenzato feni kondenzato η q q E E E ε πε 4πε η q q b q b a U d d U ln U ε ε πε a 4πε ab q πε C ε C ab C 4 πε U d ln ( b / a) b a Iz izaza za kapacitivnost sfenog kondenzatoa se dobija i kapacitivnost usamljene sfee ako se pusti da b. Iz kapacitivnosti usamljenog elipsoida se dobija isti ezultat, ali se dobija i kapacitivnost kužnog diska polupečnika a. Neka u kondenzatou postoji neutalna elektoda tj. elektoda koja nije piključena na neki napon a koja kon- denzato deli na dva dela. Pimena Gaussovog zakona pokazuje da je u oba dela kondenzatoa elektično polje istog pavca, smea i jačine je je zamišljenom zatvoenim povšinom uvek obuvaćena ista količina naelektisanja. Međutim, napon u kondenzatou je podeljen. U E d E d E d η d d d d q q η ε η ε ε C C C 4πεa C 8εa d d C Dobijena je fomula za ekvivalentnu kapacitivnost edne veze dva kondenzatoa. Neutalna elektoda ne menja kapacitivnost kondenzatoa (videti pime 8). Zadatak 7. - Poceniti kapacitivnosti usamljeni elektoda oblika kvadata i oblika kocke kao sednju vednost upisani i opisani kugova, odnosno sfea. Zadatak 7. - Kondenzatoska kaskada se sastoji od n jednaki ćelija, kao što je to pikazano na slici. Izačunati ekvivalentnu kapacitivnost beskonačne kaskade. Petpostaviti da se ekvivalentna kapacitivnost ne menja ako se izostavi jedan kondenzato.. C e C C C C C C C C C C Cn

55 Elektostatika Enegija elektostatičkog polja - Enegija elektostatičkog sistema je bojno jednaka adu koji je uložen za naelektisavanje tog sistema. Neka sistem sadži samo jedno telo koje se nalazi na potencijalu ϕ. Dovođenjem količine naelektisanja dq od efeentne tačke do tela izvši se elementani ad i za istu bojnu vednost se uvećava i enegija. Na kaju pocesa je q W ϕdq q dq C q q C U polju koje stvaa sistem od N naelektisani tela između koji postoji zapeminska gustina naelektisanja izaz za enegiju postaje upošćen. Enegiju je moguće izaziti i peko jačine elektičnog polja (detaljno izvođenje izaza je ovde izostavljeno, videti 9). q ϕ W ϕ N dq q W ε E ϕ dq dq dq qi ϕi i V V dv ρϕdv Oba izaza za enegiju su potpuno avnopavna u pogledu izačunavanja, ali dugi izaz ima fizičko tumačenje. Enegija je lokalizovana u polju. Za enegiju koja je sadžana u polju avnog kondenzatoa na oba načina se dobija isti ezultat, W ϕ i qi ( qϕ qϕ) qu i V CU U W ε E dv d CU ε. d Ako se u elektostatičko polje unese nenaelektisano telo ili telo na nultom potencijalu tada se enegija lokalizovana u polju menja. Enegija se povećava ako potencijali ostaju nepomenjeni (izvo napajanja je stalno piključen), ΔW W W U ( C C ) >, U const. Enegija se smanjuje ako količine naelektisanja ostaju nepomenjene (izvo napajanja je pe unošenja novog tela isključen),, ΔW W W q <, q const. C C Tompsonova teoema (ovde bez dokaza) - Raspodela naelektisanja na povodnim telima je uvek takva da je enegija u polju minimalna.

56 56 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 8 - Pomena enegije u avnom kondenzatou Ravan kondenzato sačinjen od pavougaoni elektoda povšina koje se nalaze na međusobnom astojanju d i piključen je na izvo napajanja U. Kad se paalelno sa elektodama u polje kondenzatoa jednim delom unese neutalna povodna avan doći će do pomene enegije. Pe unošenja neutalne elektode kondenzato je imao kapacitivnost sadžana u polju je bila W. q C ε, la, W CU qu. d C C i enegija Posle unošenja neutalne elektode ekvivalentan sistem se sastoji od mešovite veze ti kondenzatoa čije su kapacitvnosti (videti sliku) i ekvivalentna kapacitivnost sledeće: ( l x) a x C xa x C C ε C, C ε C, C e C C. d l d / l C C. l l q q l-x x l-x x Kako je kondenzato stalno piključen na izvo napajanja enegija ostaje nepomenjena, je je i ekvivalentna kapacitivnost jednaka početnoj, što je u supotnosti sa poznatim ezultatom da je moalo doći do pomene enegije. Pvo, pi poačunu su zanemaeni efekti kajeva a unošenjem nove elektode ovi efekti se povećavaju. Dugo, uneta elektoda zauzima zapeminu u kojoj je petodno postojalo polje, što je takođe zanemaeno. a elektodom konačne debljine dobija se ezultat koji je u saglasnosti sa poznatim. Neka elektoda koja se unosi u polje ima debljinu d d / n, n. ada je: > x C x n C, C C l l n, x C e C > C l n.. Ako je kondenzato stalno piključen na izvo napajanja, napon ostaje isti, ekvivalentna kapacitivnost je veća i W Ce U > W enegija se povećava. Ako je kondenzato isključen sa izvoa napajanja, količine naelektisanja ostaju iste, ekvivalentna kapacitivnost je veća, a enegija se smanjuje. d C W q C e C C < W

57 Elektostatika Enegija i sila U nekim slučajevima je moguće odediti ezultantnu silu i ezultantne momente na osnovu poznate ukupne enegije elektostatičkog sistema. Metod je poznat kao metod vituelni pomeaja i zasnovan je na zakonu o odžanju enegije. Pomeaji koji su mogući ali nisu i ostvaeni (zamišljeni pomeaji) daju mogućnost za odeđivanje ezultantni sila i momenata. Ako neko telo u elektostatičkom sistemu izvši vituelni pomeaj enegija elektostatičkog sistema će se pomeniti. ϕ q ϕ q δg q n f ϕ n Ako je pomeaj izveden tako da nije došlo do petvaanja enegije u neki dugi makoskopski vid, onda je pomena enegije dw jednaka izvšenom adu da. Rad je ezultat delovanja neke uopštene ili genealisane sile f duž neke uopštene ili genealisane koodinate g. δ A f δg δa f δg Ako je uopštena koodinata dužina tada je ugao tada je uopštena sila f momenat. f sila, i ako je uopštena koodinata Pozitivan piaštaj enegije može nastati samo na ačun uloženog ada koji izvši spoljašnja meanička sila potiv sila polja (geneatoi su isključeni, količine naelektisanja ostaju nepomenjene). manjenje enegije sistema, ili negativani piaštaj, znači ad sila polja (geneatoi su uključeni, potencijali ostaju nepomenjeni i količine naelektisanja se menjaju na ačun enegije geneatoa).

58 58 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 9 - Obtni kondenzato Za meenje napona moguće je iskoistiti kondenzato pomenljive kapacitivnosti. Neka su elektode kondenzatoa oblika kužnog isečka polupečnika a. Kada je jedna od elektoda obtna a duga nepoketna α kapacitivnost ovog kondenzatoa zavisi od povšine peklapanja, odnosno od ugla peklapanja α i međuelektodnog astojanja d, a α C ε ε. d d Kondnzato je piključen na nepoznati napon U. Enegija sadžana u polju kondenzatoa je, W a W CU ε U α. 4 d Očigledno, u ovom slučaju je genealisana koodinata ugao i genealisana sila je moment, tj. W, q const. g f, W, ϕ const. g W a M ε U. α 4 d d a Obtne elektode Nepoketne elektode U avnotežnom stanju ovaj moment je uavnotežen meaničkim putem, obično momentom spialne opuge sa lineanom kaakteistikom, M kα. Tako se dobija da je sketanje obtne elektode sazmeno k α d U kvadatu napona na koji je kondenzato piključen. a ε Zadatak 9. - Odediti silu između elektoda avnog kondenzatoa pi stalnom napajanju. Zadatak 9. - Ravan kondenzato čije elektode su pavougaonog oblika dimenzija a i b na međusobnom astojanju d, stalno je piključen na izvo napajanja U. Odediti silu koja je potebna da se jedna od elektoda pomei u pavcu koji je upavan na polje. Efekat kajeva zanemaiti. Zadatak Jedna elektoda avnog kondenzatoa je nepoketna dok je duga obešena o opugu. Kada je kondenzato isključen sa izvoa napajanja astojanje između elektoda je x. Kada se kondenzato piključi na napon U opuga se istegne za Δ x. Ako je opuga sa lineanom kaakteistikom F αx, odediti vednost piključenog napona.

59 Elektostatika 59 - Tačkasti simetični elektični dipol Kad je astojanje d između dva tačkasta naelektisanja q i q znatno manje od astojanja bilo kojeg od nji do tačke u polju R, R << d tada je R R i R R cosθ. d Ova dva naelektisanja čine elektični dipol čiji je moment p qd q d Elektični potencijal u udaljenim tačkama je q R R q d cosθ p ϕ. 3 4πε πε RR 4πε 4 Elektično polje je degadijent potencijala. U sfenom koodinatnom sistemu je Kako je ϕ ϕ E gadϕ ˆ θˆ θ R θ θˆ ˆ q ˆ R p E ( cosθˆ sin θθˆ ). 3 4πε d d cosθˆ d sin θθˆ i sin θθ ˆ cosθˆ dˆ to se zamenom dobija 3p cosθ p E ˆ dˆ 4 3 4πε ili E 4πε 3( p ) p 5. 3 Do istog ezultata dolazi se jednostavnije pimenom pavila vektoske analize. p 3 gad ( p )gad gad( p ) ( p ) p, gde je iskoišćena činjenica da je p konstantan vekto. Zamenom u izaz za elektično polje se dobija poznati ezultat. Tačke u kojima se odeđuje potencijal nisu obavezno znatno udaljene od dipola. U opštem slučaju je q ϕ 4πε d z / / d z Osim u beskonačnosti ( ) potencijal je jednak nuli i u tačkama koje pipadaju simetalnoj avni, je je ϕ za z. Petodna azmatanja dovode do zaključaka koji su iskazani koz ti teoeme koje su posledica zakona o odžanju enegije. θ M

60 6 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime Dipol, sila, moment Tačkasti simetični elektični dipol astojanja između naelektisanja d nalazi se u koodinatnom početku i usmeen je u pavcu -ose. Na astojanju od koodinatnog početka je tačkasto naelektisanje. Naći intenzitet vektoa elektičnog polja u koodinatnom početku. z Q z z d z Q q z R Q q F ˆ 4 ˆ 4 πε πε, z d z Q q z R Q q F ˆ 4 ˆ 4 πε πε. z d z d z zd Q q z d z d z Q q F F F ˆ 4 ˆ 4 πε πε Ako je tada je d << z z z zd Q q F ˆ 4 4 πε, odnosno 3 4 z Q p F πε, gde je z q d p ˆ moment dipola. Za elektično polje i moment se dobija 3 4 z p E πε i E p M.

61 Elektostatika 6 - Ti teoeme Teoema o metalizovanju ekvipotencijalni povšina. Elektostatičko polje ostaje neizmenjeno ako se deo jedne ili više ekvipotencijalni povšina zameni beskonačno tankim slojem povodnika je je i povodnik ekvipotencijalan, a po teoemi o jednoznačnosti ešenja Laplaceove ili Poissonove jednačine neće biti pomena ni u jednoj tački polja. Ako se metalizuje neka zatvoena ekvipotencijalna povšina na njenoj spoljašnjoj stani je naelektisanje koje je jednako po količini i znaku obuvaćenom naelektisanju. Na unutašnjoj stani je isto toliko naelektisanje supotnog znaka. Ako se metalizuje neka od ekvipotencijalni povši- ϕ na tačkastog naelektisanja, dolazi se do zaključka da je polje naelektisane sfee isto kao i polje tačkastog naelektisanja koje je obuvaćeno sfeom (videti: Faadayev ekspeiment sa peaom) Teoema ekvivalencije. ve aspodele izvoa elektičnog polja, koje u nekom postou stvaaju isto elektično polje su u odnosu na taj posto ekvivalentne. Peciznije, za ekvivalenciju je dovoljno da azličite aspodele naelektisanja stvaaju iste tangencijalne komponente vektoa elektičnog polja. Teoema lika u avnom povodnom ogledalu. To je specijalan slučaj teoeme ekvivalencije ili teoeme o metalizovanju ekvipotencijalni povšina. U delu postoa koji je oganičen beskonačnom povodnom avni na nultom potencijalu postoje izvoi elektičnog polja. Uticaj avni na aspodelu polja je moguće zame- oiginali z niti likovima izvoa polja u odnosu na avan, tj. naelektisanjima koja su supotnog znaka i koja d su simetično aspoeđena u odnosu na avan. U E cilindičnom koodinatnom sistemu čiji koo- ϕ dinatni početak pipada povodnoj avni funkcija koja opisuje aspodelu potencijala kad je uticaj E avni zanemaen je ϕ (, z). U delu postoa gde d polje ealno postoji je: likovi ϕ (, z) ϕ(, z) ϕ(, z), ϕ (, ) ϕ(, z) z,. z Da bi funkcija ϕ (, z) pedstavljala stvanu aspodelu potencijala u delu postoa gde izvoi polja postoje, potebno je da budu zadovoljeni ganični uslovi. Oba uslova su očigledno zadovoljena, pa je na osnovu teoeme o jednoznačnosti ešenja Laplaceove jednačine funkcija ϕ (, z) i jedino moguće ešenje. z

62 6 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime. - ila između povšinskog i tačkastog naelektisanja Iznad povodne avni, koja je naelektisana povšinskom gustinom naelektisanaja η, na visini se nalazi tačkasto naelektisanje q. ila koja deluje na tačkasto naelektisanje se sastoji od dve komponente. Pva komponenta, F, potiče od povšinski naelektisanja na avni i može da bude pivlačna ili odbojna, η q zˆ, q η > ε F. η q zˆ, q η < ε Duga komponenta, F, potiče od naelektisanja koja su indukovana pisustvom tačkastog naelektisanja, i dobija se pimenom lika u avnom povodnom ogledalu, i uvek je pivlačna, q F 4πε ( ) Za ukupnu silu se dobija zˆ η i q zˆ, gde je ε o q ( η ηi ) zˆ, ε F q ( η ηi ) zˆ, ε q η >. q η < q η i. 4π ( ) Kad su naelektisanja supotnog znaka, q η <, sila je uvek pivlačna i oijentisana ka avni. Kad su naelektisanja istog znaka, q η >, moguća su ti slučaja. η > η i ila je odbojna. η η i ila je jednaka nuli i tačkasto naelektisanje se nalazi u stanju labilne avnoteže. η < η i ila je pivlačna i poed činjenice da su naelektisanja istog znaka. Poslednja dva slučaja nisu moguća bez dejstva sila neelektičnog poekla. Zadatak. - Podužno naelektisanje q nalazi se na jednakim astojanjima od dve avni koje se seku po pavim uglom. Pimenom teoeme lika u avnom povodnom ogledalu odediti potencijal i elektično polje. Zadatak. - Kužni obuč čiji je polupečnik a, načinjen od povodnika čiji je polupečnik b, naelektisan je količinom naelektisanja q i nalazi se paalelno sa savšeno povodnom zemljom na visini. Odediti aspodelu potencijala i elektičnog polja u tačkama koje pipadaju osi obuča.

63 Elektostatika 63 Pime. - Gomobansko uže Iznad povodnika dalekovoda montian je uzemljeni povodnik. Ceo sistem se nalazi u atmosfeskom omogenom elektičnom polju, E Ezˆ, ϕ E d z Ez. Pod dejstvom stanog polja u povodniku se indukuju naelektisanja gustine q. Ta naelektisanja indukuju istu količinu naelektisanja supotnog znaka koje je apoeđeno po povšini zemlje, i čiji uticaj je moguće zameniti elektičnim likom. Potencijal koji u poizvoljnoj tački M stvaa ovaj elektostatički sistem je ϕ E z. q R q y ( z ) ln Ez ln πε R 4πε y ( z ) z a E H ϕ z q R M ϕ R y q Na povšini uzemljenog povodnika, na pime q a E ( a) ln u tački y, z a, potencijal je jednak πε a nuli. Ako je >> a, što je inače slučaj kod E q πε ealni sistema, iz gonjeg uslova sledi izaz za podužnu gustinu indukovani naelektisanja. ln a Zamenom u početni izaz dobijaju se E konačni izazi za potencijal i elektično y ( z ) ϕ Ez ln polje. Na osi sistema y postoji samo ln y ( z ) z -komponenta elektičnog polja. a E 4yz Uzemljeni povodnik E y yˆ znatno slabi pimano ln ( y ( z ) )( y ( z ) ) polje. a ealnim podacima oko 6%. Zato pe a E ( y z ) E z Ezˆ zˆ svega ima zaštitnu ln ( y ( z ) ) ( y ( z ) ) ulogu tj. služi kao a gomoban. q E E p Jednostavnije nego da se potaži moduo vektoa elektičnog polja do pibližnog ezultata se dolazi iz izaza πε ln a za elektično polje podužnog naelektisanja. Na povšini zaštitnog povodnika polje ima veoma veliku vednost pa u njegovoj okolini vazdu postaje povodan ( E p 3kV/cm ) i dolazi do spoog ili bzog pažnjenja atmosfeskog naelektisanja u zemlju.

64 64 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi - Povšinski elektični dipol - dvojni elektični sloj istem od dve povšine koje su avnomeno naelektisane povšinskim gustinama naelektisanja η i η, i čije je međusobno astojanje d znatno manje od od udaljenosti tačaka u kojima je potebno odediti elektično polje i potencijal, čine povšinski elektični dipol ili dvojni elektični sloj. Ovaj zamišljeni elektostatički sistem puža mogućnost da se u elektostatičkim sistemima opišu azdvojne povšine, i još opštije da se uticaj izvoa elektičnog polja na neki deo postoa zameni povšinskom aspodelom naelektisanja po povšini koja azmatani deo postoa oganičava. U suštini dvojni elektični sloj je poseban slučaj teoeme ekvivalencije. η d ΔR η U odnosu na efeentnu tačku u beskonačnosti, potencijal koji ovaj elektostatički sistem stvaa u nekoj tački polja M je pema pincipu lineane supepozicije zbi potencijala koji potiču od svakog sloja posebno, ϕ η πε d η R 4πε d η R 4πε R 4 Za udaljene tačke ( d << R, R ) u polju je: R R R d. R d cos ( nˆ, R) i R R RR R R i za potencijal se dobija ηd ϕ 4πε R R cos( nˆ, R) ηd d R 4πε ΔR Rˆ d Iz bilo koje tačke vidi se samo jedna stana dvojnog sloja, pa je jasno da postoni ugao Ω pedstavlja ugao pod kojim se vidi kontua na koju se oslanja dvojni elektični sloj. Na osnovu definicije postonog ugla se dobija konačan izaz za potencijal koji dvojni elektični sloj stvaa u udaljenim tačkama. R R R ηd ϕ 4πε Poizvod debljine sloja i povšinske gustine naelektisanja je elektični moment sloja ili povšinski elektični moment. ηd U Za napon između slojeva i potencijal se dobija U Ed, ϕ Ω 4π ε nˆ M Ω

65 Elektostatika 65 Pime - Dvojni elektični sloj oblika kuga Dve avne povšine oblika kuga polupečnika a nalaze se na međusobnom astojanju d i naelektisane su povšinskim gustinama naelektisanja η i η. U tačkama koje pipadaju osi dvojnog elektičnog sloja potencijal je gde je ηd ϕ 4πε Ω π Ω, z / a ( z / a) postoni ugao pod kojim se vidi kontua ovog sloja. Do istog ezultata je moguće doći i na osnovu potencijala koji stvaa usamljena kužna ploča, ili η ϕ ε, η ( a z z) ( a ( z d) ( z d) ) η ϕ ε ε ( a z a ( z d) d ) Kako je astojanje između slojeva d znatno manje od ostali dimenzija, dugi sabiak je moguće azviti u Tayloov ed u kolini tačke d,, f ( d) a ( z d) n ( n) f () d n! ( zd a z f d) a z 3 / a z ( a z ) n... Kad se u poačun uključe samo pva dva člana eda, je su ostali zanemaljivi, dobija se (takođe videti pime i pime 3) što je već poznat ezultat. ηd z / a ϕ ε ( z / a ), Zadatak. - Odediti potencijal koji stvaa dvojni elektični sloj oblika poluavni. Zadatak. - Odediti potencijal koji stvaa dvojni elektični sloj oblika beskonačne take čija je šiina. b

66 66 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi 3 - Dielektici Dielektici su čvste, tečne i gasovite mateije koje ne povode elektičnu stuju. Dielektici su izolatoi. Tačnije, izolatoi su loši povodnici. Izolatoi imaju sasvim malu povodnost i u neznatnoj mei povode elektičnu stuju. Pojam idealnog izolatoa je samo pva apoksimacija stvanog stanja. Uticaj dielektika na pivlačenje ili odbijanje naelektisani tela pimećen je na samom početku azvoja nauke o elekticitetu. Pvi matematički nagoveštaj vidi se već iz Coulombovog zakona - sila zavisi od sedine u kojoj se nalaze naelektisanja. Cavendis (Heny Cavendis, 73-8), i zatim nezavisno od njega, i Faaday su utvdili da se kapacitivnost kondenzatoa menja ako se između elektoda kondenzatoa unese dielektična mateija. Rezultati njiovi ekspeimenata su pokazali da pomena kapacitivnosti kondenzatoa ne zavisi ni od oblika ni od veličine elektoda ako se ceo međuelektodni posto ispuni dielektičnom mateijom, već zavisi samo od vste dielektika. Za azliku od povodnika, dielektici ne sadže slobodne elektone i sastoje se ili od elektično neutalni molekula kakve su sve amofne mateije ili od jona koji se nalaze u čvoovima neke kistalne ešetke koja je u celini elektično neutalna. U oba slučaja naelektisanja su vezana elastičnim međuatomskim i međumolekulanim silama i pod dejstvom spoljašnjeg elektičnog polja mogu napustiti svoje avnotežne položaje za mikoskopski mala astojanja, zauzimajući tako nove avnotežne položaje. Tako dolazi do polaizacije dielektika koji u celini više nije elektično neutalan. Vezana naelektisanja su naelektisanja neutalni molekula i joni kistalne ešetke koji nemogu da napuste mateiju i koja su pod dejstvom stanog elektičnog polja zauzela nove avnotežne položaje. Polaizacija dielektika je poces pomeanja vezani naelektisanja pod dejstvom spoljašnjeg elektičnog polja na nove avnotežne položaje. Kad jačina spoljašnjeg elektičnog polja ima kitičnu vednost, tj. takvu vednost da Coulombova sila postane veća od međumolekulani sila, dolazi do cepanja molekula i do elektičnog poboja u dielektiku. Kitična vednost jačine elektičnog polja ili elektična čvstina dielektika je jačina elektičnog polja pi kojoj dolazi do elektičnog poboja u dielektiku. Postoje dve klase dielektika. Pvu klasu čine mateije čiji su molekuli tako simetično načinjeni od elementani nosilaca naelektisanja da je u odsustvu spoljašnjeg elektičnog polja elektični dipolni momenat jednak nuli. To su dielektici sa nepolanim molekulima, na pime CO, N, H. Duga klasa dieletika sadži mateije čiji je elektični dipolni moment postoji čak i kad spoljašnje elektično polje ne postoji. To su dielektici sa polanim molekulima, na pime O,H, HO.

67 Elektostatika Polaizacija dielektika Polaizaciju dielektika sa nepolanim molekulima je moguće objasniti na pimeu atoma elementa čiji je edni boj u peiodičnom sistemu elemenata Z. Naelektisanja jezga i elektonskog omotača su ± Ze. U spoljašnjem elektičnom polju ovaj atom postaje elektični dipol momenta p Ze d qd, čija osa je u pavcu polja. Makoskopska veličina koja opisuje polaizovanost mateije je vekto polaizacije tj. zbi svi elektični momenata za posmatani deo zapemine, tj. element zapemine Δ V koju zauzima dielektik je moguće u elektičnom smislu zameniti dipolnim momentom p. P p qd Δp PΔV ΔV ΔV ΔV Odavde sledi jedinica za jačinu vektoa polaizacije, koja očigledno ima piodu povšinske gustine naelektisanja. Pošto je dipolni momenat sazmean ječini elektičnog polja biće to i vekto polaizacije tj. vektoi P i E su kolineani, i α je koeficijent polaizacije. Polaizaciju dielektika sa polanim molekulima je moguće objasniti na pimeu jednog elektičnog dipola čiji je elektični moment p stalan. Na dipol deluje sila F. Kad je polje omogeno, E E E, sila je jednaka nuli, F qe q. E Na dipol deluje speg sila čiji moment koji teži da dipol okene tako da se osa dipola i pavac polja podudaaju. M q E E) q ( ) E qd E p E ( ΔV E E q q d C m P αe [ P ] Iz izaza za moment spega sila je jasno da izbo koodinatnog početka ne utiče na ezultat. Ekspeimentalno je dokazano da i kod dielektika sa polanim molekulima, mada ne u svim slučajevima, vekto polaizacije ostaje kolineaan sa vektoom spoljašnjeg elektičnog polja ali do odeđeni jačina. Nakon što jačina spoljašnjeg elektičnog polja postane veća od neke vednost, koja zavisi od vste dielektika, dolazi do efekta zasićenja. Takve mateije ostaju tajno polaisane i nazvane su elekteti. Uopšte, dielektici mogu biti lineani (osobine ne zavise od jačine spoljašnjeg elektičnog polja), i nelineani. Takođe, mogu biti omogeni (osobine se ne menjaju duž pavca polja) i neomogeni. Dielektici mogu biti izotopni (osobine u svim pavcima su iste) i anizotopni.

68 68 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi 5 - Povšinska gustina vezani naelektisanja Polazeći od petodni azmatanja moguće je objasniti makoskopske efekte koje stvaa pisustvo lineane, omogene i izotopne dielektične mateije u spoljašnjem elektičnom polju. U avnom kondenzatou između čiji elektoda je pazan posto i kod kog su dimenzije elektoda znatno veće od međusobnog astojanja uspostavljeno je, vlo pibližno, omogeno elektično polje, Jačina elektičnog polja je E η/ ε, gde je η povšinska gustina slobodni naelektisanja. Kondenzato je isključen sa izvoa napajanja i u međuelektodni posto u celini se unosi dielektična mateija. U mateiji se stvaaju nizovi elementani elektični dipola čije su ose pibližno ili sasvim tačno u pavcu elektičnog polja. Naelektisanja na kajevima dipola se međusobno neutališu je su supotnog znaka. Ostaju samo naelektisanja na kajevima spoljašni dipola. To su vezana naelektisanja. vaki element zapemine d V d dl je elementani elektični dipol čiji je moment, d p PdV Pd dl. Moment elementanog elektičnog dipola je d p dq v dl, pa iz poslednja dva izaza sledi izaz za jačinu dqv vektoa polaizacije. P ηv αe Zbog pojave vezani naelektisanja uz d elektode kondenzatoa stvaa se dodatno elektično polje koje je istog pavca ali supotnog smea u odnosu na spoljašnje elektično polje, E v η v / ε, odnosno η E E Ev ( η ηv) ( η P) ( η αe) E. ε ε ε ε α Koeficijent polaizacije α je moguće pedstaviti u vidu poizvoda α ε χe, gde je χ e neimenovan boj nazvan elektična susceptibilnost. Tako se dobija izaz iz kog je jasno da imenilac moa biti neka nova dielektična konstanta. η η η η η E η ε ε ε, E ε α ε ε χ ε ( χ ε ε ε ε e e ) a ε je obeležena elativna dielektična konstanta, i sa ε dielektična konstanta dielektika. Kad se dobijeni ezultat upoedi sa izazom za jačinu elektičnog polja u kondenzatou bez dielektika slede odnosi koje su zapavo otkili Cavendis i Faaday. η v η v dl E E - d C C U U ε ε ε ε ε ε

69 Elektostatika Zapeminska gustina vezani naelektisanja Potencijal dipola koji pedstavlja element polaizovanog dielektika (videti: tačkasti simetični dipol) p R ϕ, ( dp P V 3 d ) 4πε pa je potencijal svi dipola koji zamenjuju dielektičnu mateiju P R ϕ d V. 3 4πε R V V M P dv R Za izačunavanje poslednjeg izaza potebno je kenuti od identiteta P PR div P P P M M M M R gad div div 3 R R R R gde se gadijent ecipočne vednosti astojanja ačuna u tački u kojoj se potencijal odeđuje, a divegencija vektoa polaizacije ačuna na mestu izvoa. Tako je ϕ 4πε V P R dv 3 R 4πε V div M P V R d 4πε ili kada se na pvi integal pimeni teoema divegencije P R ϕ dv P d 3 4πε R 4πε R 4πε V V V div R M div P dv, R P dv, gde je indeks uz divegenciju sada izostavljen kao suvišan je izvoi vektoa polaizacije su samo u zapemini koja se posmata. Kad je cela zapemina ispunjena dielektikom integali po povšinama diskontinuiteta (koje bi tebalo isključiti) ne postoje. U povšinskom integalu podintegalna funkcija ϕ div P dv bže teži nuli nego što povšina teži beskonačnosti, 4πε R V pa je vednost ovog integala jednaka nuli. a duge stane, izaz za odeđivanje potencijala koji ϕ ρ stvaa bilo koja zapeminska gustina naelektisanja 4πε R dv V je od anije dobo poznat. Upoeđivanjem se dobija izaz za zapeminsku ρ v div P gustinu vezani naelektisanja. lobodna i vezana naelektisanja avnopavno ρ ρv ϕ V stvaaju potencijal i elektično polje. 4πε R d U omogeno polaizovanom dielektiku nema viškova naelektisanja istog znaka. V R M

70 7 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi 7 - Maxwellov postulat teća Maxwellova jednačina Elektično polje koje stvaaju vezana naelektisanja supeponia se na elektično polje koje stvaaju slobodna naelektisanja pa u difeencijalni oblik Gaussovog zakona teba uključiti obe zapeminske gustine naelektisanja. Maxwell je definisao vekto D i nazvao ga vekto elektične indukcije ili vekto dielektičnog pomeaja. Uvođenjem ovog vektoa sledi genealizacija Gaussovog zakona poznata kao Maxwellov postulat ili teća Maxwellova jednačina. Izlazni fluks vektoa elektične indukcije koz zatvoenu povšinu koja oganičava zapeminu V jednak ukupnoj količini slobodni naelektisanja koja su obuvaćena tom povšinom i to bez obzia da li je dielektik omogen ili nije. div E ( ρ ρ ) ε v div(ε E P ) ρ D ε E P Difeencijalni oblik div D ρ Integalni oblik D d ρdv U vezi sa uvođenjem vektoa elektične indukcije teba dati napomene koje slede. Izvoi i ponoi polja vektoa elektične indukcije su isključivo slobodna naelektisanja, što znači da su linije polja nepekinute koz dielektik bez obzia na neomogenosti. Ova činjenica je od velikog značaja pi odeđivanju elektičnog polja u eteogenim dielekticima. U opštem slučaju polje vektoa elektične indukcije je vtložno je je ot D ot ( ε E P) ε ot E ot P ot P. Kod lineani i izotopni dielektika vektoi E, P i D su kolineani, pa je D ε E P ε E αe ε E χε E ε ε E εe. Kad je dielektik omogen dielektična konstanta ne zavisi od koodinata i Maxwellov postulat se može napisati u obliku koji fomalno isti kao i Gaussov zakon u difeencijalnom obliku, s tim što umesto ε stoji ε. ρ div D εdiv E ρ, div E ε Poissonova jednačina će takođe imati fomalno isti oblik. Kako su osnovne difeencijalne jednačine polja u dielektiku fomalno iste sa onima u slobodnom postou, to moaju biti i sva ešenja elektostatički poblema koja se iz nji dobijaju. ρ div (gadϕ) ε V

71 Elektostatika Ganični uslovi na azdvojnoj povšini dva dielektika Pomenu jačine i pavca vektoa elektične indukcije na azdvojnoj povšini dva dielektika moguće je odediti pimenom Maxwellovog postulata u integalnom obliku. Neka zatvoena cilindična povšina ima osnovice koje leže sa azličiti stana ove povšine, i neka su tako male da je vekto elektične indukcije moguće smatati konstantnim. U opštem slučaju na azdvojnoj povšini postoji povšinska gustina slobodni naelektisanja η. Kad visina cilndične povšine teži nuli fluks vektoa elektične indukcije postoji samo koz osnovice, pa sledi ezultat za azliku nomalni komponenti ovog vektoa. Kad na azdvojnoj povšini ne postoje slobodna naelektisanja nomalne komponente vektoa elektične indukcije su jednake. Iz ganičnog uslova za nomalne komponente vektoa elektičnog polja sledi ganični uslov za izvode potencijala u pavcu nomale. Cikulacija vektoa elektičnog polja je jednaka nuli. Neka pavougaona kontua ima dve stanice sa azličit stana povšine azdvajanja. Ako visina kontue teži nuli sledi da su tangencijalne komponente vektoa elektičnog polja međusobno jednake. Na samoj azdvojnoj povšini i potencijali su jednaki. Iz ganični uslova neposedno sledi odnos uglova koje zaklapaju vektoi elektostatičkog polja. To je zakon pelamanja linija polja. D D n α D t α D n D D t ε ε D d q ηd ηδ D C n E Δ D Δ n D n D ε Δ n ηδ η D n Dn ε En En ϕ ϕ ε n n ε dl E tδl EtΔl E t Et D D t t ε ε ϕ ϕ tan α tan α ε ε Pi polasku koz ganičnu povšinu vektoi elektičnog polja i elektične indukcije se skokovito menjaju, ε ε, D t Dt D t. ε E n En En ε Ako je ε >> ε tada α π / i α što je slučaj i kod povodnika. Analogija je samo fomalna je dielektična konstanta povodnika pibližno ista kao za vazdu. Međutim, u svim fomulama koje važe za dielektičnu sedinu ε može se staviti ε da bi se dobile fomule koje važe za povodnu sedinu.

72 7 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 6 - Vezana naelektisanja oko povodne lopte Neka se usamljena naelektisana povodna lopta polupečnika a nalazi u omogenom dielektiku čija je dielektična konstanta ε. Vekto polaizacije je P D ε E ( ε ε q( ε ε ) E 4πε ) ˆ, gde je q η4πa ukupno slobodno naelektisanje na lopti, koje je jasno 3 aspoeđeno po povšini lopte. Kako je div( ˆ / ) div( / ) to neposedno sledi da je zapeminska gustina vezani naelektisanja jednaka nuli, ρ div P v v. Povšinska gustina vezani naelektisanja koja su supotnog znaka biće q( ε ε) η v P, 4πε a tako da je ukupna količina naelektisanja uz povšinu lopte q ε q ηv 4πa q ε tot, odakle sledi da je elektično polje E q ˆ q ˆ tot 4πε 4πε, što je poznat ezultat.

73 Elektostatika 73 Pime 7 - Odeđivanje dielektične konstante dielektika feni kondenzato je do polovine napunjen tečnim dielektikom i piključen na napon. Nakon isključivanja izvoa napajanja tečni dielektik se ispusti. U d Izmeeni napon između elektoda sada ima vednost vednost elativne dielektične konstante. U. Potebno je odediti Pimenom Maxwellovog postulata u integalnom obliku dobija se izaz za kapacitivnost sfenog kondezatoa sa dielektikom čija je dielektična popustljivost ε. ba C 4 πε, b a gde su a i b polupečnici unutašnje i spoljašnje elektode. Kad je kondenzato do polovine ispunjen dielektikom elektično polje i dalje ima adijalni kaakte, a integacija se posebno vši za svaku od polovina zamišljene sfee. Tako se dobija da je kapacitivnost ovakvog kondenzatoa ekvivalentna kapacitivnosti edne veze dva kondenzatoa, tj. C d ba ba 4πε 4πε ( C C) ( ε ) C. b a b a Kako je pe ispuštanja tečnog dielektika kondenzato isključen sa izvoa napajanja to znači da količine naelektisanja ostaju nepomenjene, q d CdU d CU q Zamenom izaza za C d iz poslednje jednakosti sledi Da li je U > U d? ε U. U d Zadatak 7. - Ravan kondenzato čije elektode su na međusobnom astojanju d piključen je na izvo napajanja napona U. Kad se u međuelektodni posto ubaci pločica debljine d / čija je elativna dielektična konstanta ε, u peostalom vazdušnom delu jačina elektičnog polja poveća se k puta u odnosu na petodnu vednost. Odedit vednost ε.

74 74 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Pime 8 - Mešovita veza avni kondenzatoa? Ravan kondenzato sa toslojnim dielektikom kao na slici nije moguće pedstaviti kao mešovitu vezu ti kondenzatoa. Pošto je polje nomalno na povšine elektoda može se petpostaviti da je elektično polje omogeno u svakom od slojeva. Tada bi ganični uslovi na azdvojnim povšinama slojeva bili: azdvojna povšina ε ε ε ε 3 ε ganični uslov E E E ε3e3 ε ε 3 ε E ε3e3 ε ε ε 3 C C U U Iz poslednja dva ganična uslova sledi da je ε E εe, što je potivuečno pvom ganičnom uslovu, pa je jasno da polje u ovakvom kondenzatou nije omogeno. C 3 Zadatak 8. - Pokazati da je avan kondenzato sa dvoslojnim dielektikom moguće pikazati kao ednu, odnosno paalelnu vezu dva kondenzatoa, C C C e, C e C C. C C ε ε ε ε Zadatak 8. - Unutašnji povodnik sfenog kondenzatoa oslonjen je na konusni oslonac čija je dielektična konstanta ε. Ostali deo postoa je ispunjen vazduom. b Izvodnice oslonca su adijalne i seku se u zajedničkom centu sfeni elektoda. U popečnom peseku, kome ε a pipada zajednički centa, izvodnice gade ugao α α. Iz činjenice da je napon između elektoda svuda isti, sledi da ε je elektično polje u kondenzatou adijalno i zavisi samo od astojanja. Ganični uslov za tangencijalne komponente vektoa elektičnog polja na azdvojnoj konusnoj povšini je zadovoljen. Pimenom Maxwellovog postulata na zamišljenu sfenu povšinu polupečnika a b, gde su a i b polupečnici elektoda odediti izaze za elektično polje, napon između elektoda i kapacitivnost. Zadatak Odediti elektično polje, napon i kapacitivnost za slučaj koaksijalnog voda čiji je unutašnji povodnik oslonjen na klinasti nosač. Koistiti sliku iz petodnog zadatka za ilustaciju popečnog peseka koaksijalnog voda.

75 Elektostatika Enegija elektostatičkog polja - Izaz za enegiju elektostatičkog polja u kome se nalazi N naelektisani tela i zapeminska gustina naelektisanja, koji je anije već izveden u okviu poučavanja elektostatičkog polja u vakuumu, pokazuje da je elektostatička enegija funkcija količine naelektisanja i potencijala. W N U vakuumu qi ϕi i V W ε E V ρϕdv Takođe, pokazano je da je ovaj izaz moguće pomoću Gaussovog zakona tansfomisati na oblik u kome se pojavljuje samo jačina elektičnog polja. Na fomalno isti način je moguće u azmatanje uvesti i vekto elektične indukcije, ovog puta koisteći Maxwellov postulat. div( ϕd) ϕdiv D D gad ϕ dv div( D)dV ED dv ρϕ ϕ div(ϕ D) ϕρ DE ρϕdv ϕd d vako od tela u sistemu svojom ganičnom povšinom i, obuvata količinu naelektisanja q i (negativan znak potiče od oijentacije nomala). va tela zajedno su obuvaćena povšinom... V V ϕ D d V ϕd d V V dv ED dv N ϕi i i ϕd d Integal po povšini je jednak nuli. Ova povšina se šii do beskonačnosti po zakonu, jačina elektičnog polja opada po zakonu, pa podintegalna funkcija teži nuli kao i potencijal, tj. kao. U tačkama u beskonačnosti potencijal je jednak nuli i ceo sistem se iz ti tačaka vidi kao tačkasto naelektisanje. Konačno se dobija ρϕdv ϕi qi V N i ED dv, pa sledi i konačan izaz za enegiju elektostatičkog polja na osnovu koga je jasno da je enegija lokalizovana u polju i da nosioci enegije nisu naelektisanja. V N i ϕ i i D d q i i D d N i ϕ U mateijalnoj sedini W N qi ϕi i V W V ED dv i ρϕdv q i

76 . 76 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi 3 - Dielektična sfea u omogenom elektičnom polju Čestica sfenog oblika polupečnika a, načinjena od dielektika popustljivosti ε, nalazi se u omogenom elektičnom polju E E zˆ u vakuumu. feni koodinatni sistem (, θ, φ) je postavljen sa početkom u centu sfee. Pošto je poblem otaciono simetičan, aspodela potencijala je odeđena ešenjem dvodimezionalne Laplaceove jednačine koja zadovoljava ganične uslove na povšini sfee i u beskonačnosti. a x z E E z ˆ θ y φ ε ε Postavka poblema Laplaceova jednačna Ganični uslovi ϕ ϕ(, θ) Δ ϕ ϕ sin θ θ ϕ sin θ θ ϕ a ϕ ε ϕ a ε ϕ a a lim ϕ(, θ) E z E cosθ Uobičajeni metod za ešavanje ovakvi poblema se sastoji u azdvajanju pomenljivi. Rešenje za aspodelu potencijala se petpostavlja u obliku poizvoda dve funkcije od po jedne pomenljive, ϕ R ( ) T ( θ) RT. Time se Laplaceova jednačina svodi na jednakost. d dr d dt sin θ. R d d T sin θ dθ dθ Kako leva stana ove jednačine zavisi samo od pomenljive, a desna stana samo od pomenljive θ, jednakost je moguća samo ako su obe stane jednake istoj konstanti. Iskustvo je pokazalo da je pogodan izbo za konstantu azdvajanja n( n ), a evo i zbog čega. Leva stana gonje jednakosti postaje Euleova difeencijalna jednačina (Leonad Eule ). Rešenje se taži u obliku stepena nezavisno pomenljive. To daje kaakteističnu jednačinu čiji su koeni celi bojevi. Konačno ešenje je lineana kombinacija dva patikulana ešenja. R R n( n ) R k R k k n( n ) k n, k ( n ) R C n C n

77 . Elektostatika 77 Desna stana postaje Legendeova difeencijalna jednačina (Adien-Maie Legende, ), čija su ešenja Legendeovi polinomi pve i duge vste. Dugo patikulano ešenje teba isključiti, uzimajući da je D, je za tačke na z - osi tj. za cosθ ± polinomi duge vste imaju beskonačnu vednost, a potencijal je konačna veličina. Na velikim udaljenostima od sfee, dugi sabiak teži nuli, a potencijal moa da bude jednak potencijalu pobudnog polja, n n ( C C ) P (cosθ) E cosθ lim n odakle sledi da je n, je je P cosθ. Dalje teba voditi ačuna u kom se domenu odeđuje potencijal. Unutašnjost sfee obuvata koodinatni početak, pa teba uzeti C je je potencijal konačna veličina. Okolina sfee obuvata i tačke u beskonačnosti pa je C E. cosθ T T n T sin θ T ( n ) n P P cosθ D Pn (cos θ) D Q (cos θ) θ P (3cos ) M cosθ Q ln cosθ cosθ cosθ Q ln cosθ 3cos θ cosθ 3cosθ Q ln 4 cosθ M n n ϕ ( C C ) Pn (cosθ) C cosθ, ϕ C E cosθ, a a Kada se ovako dobijenim ešenjem zadovolje pvi i dugi ganični uslov dobijaju se dve lineane jednačine sa dve nepoznate konstante integacije. Rešenje ovog sistema daje vednosti za konstante integacije C 3ε ε ε, 3 E, C a E ε ε ε ε i konačno ešenje za funkciju aspodele potencijala. ϕ ϕ ϕ i e 3ε ε ε E cos θ, a E cos θ 3 ε ε ε ε E cos θ, a a Kako je u sfenom koodinatnom sistemu z cosθ, u unutašnjosti sfee potencijal se može pestaviti i pomoću z -koodinate. ϕ 3ε E i ε ε z

78 78 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Odavde se vidi da je u unutašnjosti sfee elektično polje omogeno, usmeeno u pavcu spoljašnjeg polja i nezavisno od veličine sfee. fea je omogeno polaizovana (lekcija 5), v P D ε E ( ε ) E, ε pa se iz izaza za vekto polaizacije odeđuje elektična susceptibilnost dielektika. U okolini sfee potencijal je jednak zbiu potencijala koji stvaa pimano polje i potencijala koji potiče od indukovani naelektisanja. Uticaj indukovani naelektisanja se može zameniti pomoću elektičnog dipola ekvivalentnog elektičnog momenta. Upoeđivanjem izaza za potencijal koji stvaa elektični dipol (lekcija ) i izaza za petubovanu komponentu potencijala u okolini sfee dobija se izaz za ekvivalentni elektični moment. Povšinska gustina indukovani naelektisanja je jednaka intenzitetu vektoa polaizacije. Odatle se dobija i ukupna količina indukovani naelektisanja. Ovaj ezultat je od velikog značaja za pojektovanje elektostatički filtea. U okolini sfee vekto elektičnog polja ima adijalnu i ugaonu komponentu, ϕ dϕ 3ε z dz ε ε E i p η ˆ 3ε ( ε ε) P E ε ε P ε χ E ϕe ϕ ϕ p ϕ E cosθ a 3 ε ε ε ε E zˆ E cos θ p ϕd cos θ 3 4πε 4 ε ε 3 p πε a ε ε E P q η E e p V ϕ, ε ε 3 ε ε ε E ε ε πεa ε ε E E e θ ϕ θ 3 3 a ε ε E e θ E cos, a ε ε E θ e θ ε ε E sin. ε ε Ako se sfena šupljina nalazi u dielektiku, na pime vazdušni meu u tansfomatoskom ulju, svi izvedeni izazi ostaju u važnosti samo što veličine ε i teba da međusobno zamene mesta. ε Polje u šupljini je većeg intenziteta nego u okolnoj polaizovanoj mateiji je je ε > ε. Ako je sfea savšen povodnik svi izazi izvedeni za dielektičnu sfeu ostaju u važnosti samo što teba staviti da ε. E i 3ε ε ε ε lim ε ε ε E ε

79 Elektostatika 79 Tako se dobijaju ezultati koj bi se inače dobili ešavanjem Laplaceove jednačine za spoljašni domen, a, ali sa ganičnim uslovom koji važi za savšeno povodnu sfeu, ϕ a. Izaz za indukovanu količinu naelektisanja je poznat kao Pautenieova jednačina (Macel Pautenie, ). Ustvai, sfea je i dalje elektično neutalna. Polovina količine indukovani naelektisanja je pozitivna i nalazi se na jednoj polovi sfee. Na dugoj polovini sfee je ista količina supotnog znaka. ϕ i E i E, za a eθ E e E cosθ, za a 3 q πε a E E Efekat polaizacije se u poačun uključuje implicitno pomoću veze između osnovni veličina elektičnog polja D ε E P, koja u slučaju lineani izotopni dielektika degeneiše u D ε E. poljašnje polje E E P E Dielektik Polaizacija Elektostatički filtei su veoma efikasni za pikupljanje čestica vlo mali dimenzija - nano čestica. Efikasnost pikupljanja zavisi od količine naelektisanja na samoj čestici. Na pime, neka se adi o letećem pepelu iz fosilni goiva. Tada je sednja veličina čestica sfenog oblika a.5μm, a dielektična konstanta ε.73ε. U elektičnom polju jačine E 5kV/ m čestica će se naelektisati količinom naelektisanja od pet elektona, q 5e. Metalna čestica pi istim uslovima naelektisala bi se deset puta većom količinom naelektisanja. Elektostatička sila koja deluje na tako naelektisanu česticu uvek je znatno veća od gavitacione ili centifugalne sile.

80 8 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi 3 - Ketanje elektona i elektonska stuja Kada se slobodna naelektisana čestica nađe u stanom elektičnom polju na nju deluje meanička sila koja pouzokuje ketanje. Naelektisana čestica koja se nalazi u omogenom elektičnom polju, na pime između elektoda avnog kondenzatoa, iz stanja miovanja počinje da se keće konstantnim ubzanjem ka elektodi sa naelektisanjem supotnog znaka. Dinamika Kinematika F ma F qe v v ad v W Rad Enegija W qu q E d W mv W v q Ed m q U m Pi jediničnom naponu elekton stiže na 6 m dugu elektodu bzinom od oko 59 km/s. v.59 U s Ketanje elektona fomia elektičnu stuju. Dalje izlaganje pedstavlja uvod u sledeću oblast koja se bavi upavo poučavanjem stalni elektični stuja. Elektoni pivučeni pivlačnom silom atomskog jezga katodu ne napuštaju spontano. Katodu teba pobuditi da bi emitovala elektone. To se postiže na nekoliko načina. Jaka elektična polja u okolini katode mogu da iščupaju elektone sa povšine - emisija polja. Neki metali emituju elektone kada su osvetljeni odeđenim talasnim dužinama - fotoelektični efekat. nop ubzani elektona u sudau sa metalnom povšinom iz nje izbacuje nove elektone - sekundana emisija. Povećavanje tempeatue katode ubzava temičko ketanje i elektoni napuštaju povšinu - temojonska emisija. Najjednostavniji pime je uspostavljanje elektonske stuje između zagejane katode i anode u vakuumu. Ueđaj je nazvan temojonska vakuumska dioda. Kada se katoda zageje dolazi do fomianja elektonskog oblaka koji spečava dalju emisiju A Anoda elektona. Manji boj elektona ipak ima dovoljno enegije da napusti oblak i stigne do I E Vakuum Elektoni supotne elektode čak i ako je ona na nultom Katoda ili negativnom potencijalu. To je oblast U uspostavljanja anodne stuje. a poastom pozitivnog potencijala na anodi sve veći boj elektona napušta katodu i gustina elektonskog snopa između elektoda je sve veća. Fomiana je konvekciona stuja. To je oblast postonog naelektisanja. a još većim anodnim potencijalima dolazi do zasićenja i gustina stuje zavisi samo od tempeatue katode i veoma malo od čupanja elektona usled jakog elektičnog polja. To je oblast zasićenja.

81 Elektostatika Elektonska stuja u vakuumskoj diodi Katoda i anoda nalaze se na međusobnom astojanju d. U međupostou postoji stalna zapeminska gustina elektona ρ <. Raspodela potencijala je odeđena ešenjem Poissonove jednačine, u ovom slučaju samo po jednoj koodinati, koje zadovoljava ganične uslove na povšinama elektoda. Desna stana jednačine je pozitivna. d ϕ ρ dy ε ϕ za y ϕ U za y d d ϕ dy za y Zapeminska gustina naelektisanja može se izaziti peko gustine stuje J i bzine elektona v. a duge stane bzina elektona odeđena je (petodna lekcija) piaštajem kinetičke enegije koji je jednak uloženom adu sila elektičnog polja. v J ρ v e ϕ m ρ ε J ε m e ϕ d ϕ dy ρ ε d ϕ ϕ B, dy J m B ε e Za ešavanje dobijene difeencijalne jednačine u liteatui su pikazani veoma složeni postupci. Međutim, ova jednačina može veoma elegantno da se eši ako se ešenje petpostavi u obliku stepena nezavisno pomenljive, čime je teći ganični uslov automatski zadovoljen. n n ϕ C y, ϕ C y, d ϕ n( n ) C y dy n. Kada se petpostavljeno ešenje zameni u difeencijalnu jednačinu dobija se kaakteistična jednačina. n( n ) C 3 y n n B Da bi i leva stana jednačine bila jednaka konstanti neopodno je da eksponent bude jednak nuli. Odatle se dobijaju nepoznati eksponenti i konstanta u petpostavljenom ešenju, a i konačno ešenje. n n, 4 n, C B, ϕ B y 3 D. Konstantanta integacije D je na osnovu pvog ganičnog uslova jednaka nuli. Iz dugog ganičnog uslova moguće je dobiti izaz za konstantu B. Tako se konačno dobija i izaz za potencijal U B d B U 4 3d

82 8 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Konstanta B je uvedena na početku azmatanja da bi se pojednostavio zapis difeencijalne jednačine. Ova konstanta je sazmena gustini elektonske stuje. Tako za ovu konstantu postoje dva izaza, y ϕ U d J m B ε e 4 B U, 9d čijim izjednačavanjem se dobija veza između gustine stuje i anodnog napona. Kada je poznata povšina elektoda umesto gustine stuje može da se upotebi jačina stuje, ali zakonitost ostaje ista. Zakon poticanja stuje koz diodu poznat je kao zakon stepena ti polovine. Do ovog zakona nezavisno su došla dva naučnika, pa je poznat i kao zakon Cild-Langmuia. Zakon stepena ti polovine ili statička kaakteistika diode pokazuje uticaj postonog naelektisanja na tok stuje elektona u diodi. Da nema postonog naelektisanja (videti pime.) aspodela potencijala bi bila lineana, [ ma ] 4ε J 9d e 3 I ku U m d ϕ dy ϕ y U d. 5 5 U [ V ] Iz lineane asposdele potencijala sledi i lineana veza između stuje i napona, tj. Omov zakon. U uslovima stimulisane emisije elektona tj. postojanja zapeminske gustine naelektisanja u postou pedstavlja nelineanu otponost. Izvedeni zakon ne pokiva oblast uspostavljanja stuje i oblast zasićenja (videti petodnu lekciju) ali ove oblasti nisu od inteesa za paktičnu pimenu. U paksi vakuumska dioda je pekidački element. Pi negativnim anodnim naponima stuja ne potiče. Ako se na anodu dovede naizmenični napon, stuja će poticati samo za veme pozitivni polupeioda. Pema tome dioda služi za ispavljanje napona. I poed toga što je zakon izveden za avne elektode može se pokazati da važi i za koaksijalne cilindične elektode. Vakumske cevi su se tako uglavnom i poizvodile, sve dok i nisu potisnuli polupovodnički elementi. I 8 4 / d Ovde se zavšava poučavanje elektostatičnog polja i počine poučavanje stacionanog elektičnog polja i pojava koje ga pate. 3

83 Elektostatika 83 PRILOZI

84

85 Elektostatika 85 O intenacionalnom sistemu jedinica I Gauss, Cal Fiedic ( ) Nemački astonom, fiziča i matematiča. Poučavao je teoiju gešaka, optiku i elektomagnetizam. Postavio je osnove difeencijalne geometije i mogućnost neeuklidovske geometije. Tvoac je apsolutnog sistema jedinica u kome svaka fizička veličina može da se opiše pomoću mase, dužine i vemena. Jedinica za magnetnu indukciju koja je uvođenjem I zamenjena jedinicom tesla (T), T Gs. Newton, Isaac (64-77) 4 Gauss (Gs) Engleski fiziča, matematiča i astonom. Osnivač klasične meanike i više matematike. Postavio je zakon opšte gavitacije i ti zakona ketanja, i matematički izveo Kepleove zakone. Matematički pincipi filozofije piode smata se jednim od najznačajniji dela koja su ikada napisana. U I izvedena jedinica za silu, kg m N Njutn (N) s Joule, James (88-89) Engleski fiziča koji je poučavao oslobađanje toplote u povodnicima koz koje potiče elektična stuja. Poučavanja su uobličena koz poznati Jouleov zakon ili efekat. Zagevanje povodnika usled poticanja elektične stuje su poznati Jouleovi gubici. U I izvedena jedinica za ad, enegiju ili količinu toplote, kg m J N m s Džul (J)

86 86 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Watt, James (736-89) Škotski matematiča i inženje. Poznat po panoj mašini. 78. godine osnovao je pvu fabiku pani mašina. Njegovim ponalaskom počela je industijska evolucija i jedna nova epoa. U I izvedena jedinica za snagu, J W. s Danas je uobičajeno da se ad elektične stuje izažava kao vat-čas. Vat (W) Ande - Maié Ampée ( ) Fancuski fiziča i matematiča, otac elektodinamike. Na osnovu Öestedovi ekspeimenata poučio uzajamno dejstvo elektični stuja (Ampéov zakon). Nazvan je Newtonom elekticiteta. U I osnovna jedinica za jačinu elektične stuje. Elektična stuja jačine A koja potiče u dva paalelna neoganičena povodnika zanemaljivog popečnog peseka koji su na astojanju od jednog 7 meta u vakuumu pouzokuje silu od N/m. Ampe (A) Volta, Alessando (745-87) Italijanski fiziča na čiji je naučni ad uticao ponalazak Luigija Galvanija koji je ustanovio da se žablji kaci pi dodiu sa metalnim pedmetom gče. Volta je potumačio da do te pojave dolazi usled naelektisanja dva metala kada je između nji elektolit. Konstuisao je pvu elektostatičku mašinu, galvanski element, bateiju galvanski elemenata (Voltain stub) i dugo. U I izvedena jedinica za elektomotonu silu, elektični potencijal i elektični napon. J kg m V Volt (V) 3 s A s A

87 Elektostatika 87 Om, Geog imon ( ) Nemački fiziča poznat po otkiću odnosa jačine elektične stuje i elektomotone sile. Rezultati njegovi poučavanja, a pe svega odeđivanje otponosti u elektičnom kolu su doveli do poznatog Omovog zakona. U I izvedena jedinica za elektičnu otponost. V kg m Ω Om (Ω) 3 A s A Coulomb, Cales de (738-86) Fancuski ofici inženjeije čija su otkića osnova za poučavanje elektostatike. U svoj 56. godini otišao je u penziju, a već deset godina je bio član Akademije nauka i već je zavšio svoje delo o elektomagnetizmu. Otkio je zakone inteakcije naelektisani tela i magnetni masa (analogno Newtnovom zakonu gavitacije) koji su kasnije nazvani po njemu. U I izvedena jedinica za količinu naelektisanja. C As Faaday, Micael (79-867) Kulon (C) Engleski samouki fiziča koji je adeći kao laboant kod poznatog naučnika Davya otkio jedan od fundamentalni zakona elektomagnetike - elektomagnetnu indukciju. Mnogim pojavama i pojmovima dao je nazive, kao što su : elektoliza, samoindukcija, anoda, katoda i još mnogo toga. U I izvedena jedinica za elektičnu kapacitivnost. Faad (F)

88 88 Petković, D.M. i Kstić, D.D. - Izvodi sa pedavanja i vežbi Maxwell, James Clack (83-879) Škotski fiziča koga smataju osnivačem kinetičke teoije gasova. Fomulisao je zakon o aspodeli bzina molekula gasa. Na osnovu Faadayevi ekspeimenata fomiao je četii jednačine na kojima bazia savemena teoija elektomagnetni polja. Dokazao je da je svetlost elektomagnetna pojava. Jedinica za magnetni fluks Gs M, cm je uvođenjem I ukinuta i zamenjena jedinicom vebe (Wb) Öested, Cistian (777-85) Maksvel (M) Poznati danski piodnjak i leka. Otkio je postojanje magnetnog polja u okolini povodnika koz koji potiče elektična stuja. a ekspeimentom iz 9. godine odma je bio upoznat Faaday i to je imalo pesudan uticaj na ekspeimente Ampéa i azvoj Maxwell-Faadayeve elektomagnetne teoije. Jedinica za meenje jačine magnetnog polja koja je uvođenjem I ukinuta. Tesla, Nikola ( ) Ested (est) pski naučnik koji je dao takve dopinose na polju elektomagnetike bez koje bi danas cela tenologija bila nezamisliva. Naizmenične stuje, polifazne stuje, obtno magnetno polje, visoke fekvencije, bezžični penos podataka, su samo kap vode u okeanu Teslini ponalazaka. Za otkiće bezžičnog penosa Nobelova nagada nepavedno je dodeljenja biznismenu i fizičau Makoniju. U I izvedena jedinica za magnetnu indukciju. N kg T Am As Tesla (T)

89 Elektostatika 89 Webe, Vilelm Eduad (84-89) Nemački fiziča ponalazač elektomagnetnog telegafa. Postavio pvi apsolutni sistem fizički jedinica. U I izvedena jedinica za magnetni fluks, kg m Wb Tm. A s 8 Wb M, gde je M (Maksvel) takođe jedinica za magnetnu indukciju koja je ukinuta uvođenjem I sistema. Vebe (Wb) Heny, Josef ( ) Ameički fiziča koji je postavio temelje za pimenu elektomagnetne indukcije u industiji i tenici. Otkio je pojavu samoindukcije. U I izvedena jedinica za induktivnost (koeficijent indukcije) Wb kg m H A A s Hetz, Heinic Rudolf ( ) Heni (H) Nemački fiziča koji je ekspeimentalno dokazao Maxwellovu teoiju elektomagnetnog polja, pe svega postojanje elektomagnetni talasa i elektomagnetnu piodu svetlosti. Za potebe svoji ekspeimenata konstuisao je oscilato koji i danas služi kao osnova pi poučavanju elektomagnetni začenja. U I izvedena jedinica za fekvenciju oscilacija. Hz s Hec (Hz)