Microsoft Word - SVODJENJE NA I KVADRAT.doc

Транскрипт

1 SVODJENJE NA I KVADRAT Ka št sm videli d sada, trignmetrijske funkcije uglva I kvadranta izračunavaju se na isti način ka trignmetrijske funkcije štrih uglva pravuglg trugla. Pkazaćem da se prek frmula, trignmetrijske funkcije prizvljng ugla mgu izraziti prek trignmetrijskih funkcija dgvarajućeg ugla I kvadranta. Taj pstupak se zve svdjenje na I kvadrat. ) Iz II u I kvadrant Važe frmule za: π < < sin + = cs dnsn sin( 9 + ) = cs + = sin dnsn cs( 9 + ) = sin tg + = ctg dnsn tg( 9 + ) = ctg + = tg dnsn ctg( 9 + ) = tg sin( π ) = sin cs( π ) = cs tg( π ) = tg ctg( π ) = ctg dnsn : sin(8 ) = sin cs(8 ) = cs tg ctg (8 ) = tg (8 ) = ctg a) = sin(9 + 5 ) cs 5 a mže i: sin 5 = sin5 = sin(8 65 ) = sin 65 Naravn, već sm videli veze u I kvadrantu i znam da je mžete uptrebiti bil kju frmulu iz ve dve grupe. cs 5 = sin 65. Tak da π π π b) cs = π = cs = v) tg4 = tg( 8 9 ) = tg9 g) ctg = ctg( 9 + ) = tg ) iz III u I kvadrant

2 Opet imam dve grupe frmula: sin( π + ) = sin cs( π + ) = cs tg( π + ) = tg ctg( π + ) = ctg t jest: sin(8 + ) = sin cs(8 ) cs tg ctg (8 ) + = + = tg (8 ) + = ctg sin = cs tj. sin( 7 ) = cs = sin tj. cs( 7 ) = sin tg = ctg tj. tg( 7 ) = ctg = tg tj ctg( 7 ) = tg 4π π π π π a) sin = sin + = sin π + = sin = cs 7 = cs = cs 7 b) ( ) v) tg6 = tg( 7 7 ) = ctg7 π π g) ctg = π + = ctg = ) Iz IV u I kvadrant sin + = cs tj. sin( 7 + ) = cs + = sin tj. cs( 7 + ) = sin tg + = ctg tj. tg( 7 + ) = ctg + = tg tj. ctg( 7 + ) = tg Ak psmatram negativan uga ( ) : sin(- ) = - sin cs(- ) = cs tg(- ) = tg ctg(- ) = -ctg Ov nam gvri da je jedin cs parna funkcija (jer uništava minus a sve stale su neparne) a) sin 7 = sin( ) = cs7

3 b) ( ) cs = cs = π π π v) tg = tg = tg = g) π π = ctg = Št se tiče peridičnsti funkcija sin x i cs x već sm učili da važi: π sin( + k ) = sin dnsn sin( + 6 k) = sin π cs( + k ) = cs dnsn cs( + 6 k) = cs za k kji je bil kji ce brj. Dakle: snvni perid finkcija a) sin 7 = (duzmimd sin x i cs x je = π 7 p T dnsn T = 6 6 dk se ne ddje ispd 6 ) = 45 6= 9 = 8 Pa je: sin 7 = sin 9 = ili mžem zapisati: sin 7 = sin(9 + π ) = sin 9 b) cs 78 = (sličan pstupak) = 4 = 6 Pa je cs 78 = cs6 = tj. cs 78 = cs(6 + 6 ) = cs6 =

4 Za tangense i ktangense važi: π tg( + k ) = tg dnsn tg( + k 8 ) = tg π ctg( + k ) = ctg dnsn c tg( + k 8 ) = ctg Dakle: snvni perid funkcija tgx i ctgx je T = π dnsn T = 8 a) tg75 = (davde d = 57 = 9 = = 75 duzmem p tg75 = tg = ctg = ctg = ctg = jer je b) ( ) ZADACI: sin 75 cs9 tg4 ) Uprstiti izraz: ctg45 sin86 cs 78 8 dk se ne spustim ispd Rešenja: Najpre ćem uptrebm frmula sve prebaciti u I kvadrant! sin 75 = sin( + 6 ) = sin = cs 9 = cs( + 6 ) = cs = tg4 = tg( ) = tg6 = ctg45 = ctg( ) = ctg45 = sin86 = sin( ) = sin 6 = cs 78 = cs(6 + 6 ) = cs 6 = = ) Vratimva rešenja u pčetni zadatak: sin 75 cs 9 tg4 = = ctg 45 sin86 cs 78 4

5 ) Uprsti izraz: cs sin tg 6 4 π 8π ctg cs sin 4 Sličn ka u prethdnm zadatku, sve prebacujem u I kvadrant. 7 8 cs = cs = cs 5 = cs5 = cs(8 ) = cs = 6 6 π 6π π sin = sin + = sin + π = sin = sin 6 = π 6π π tg = tg + = tg + 4π = tg = tg45 = π π 9π π ctg = + = + π = ctg = ctg6 = 7 8 cs = cs = cs 5 = cs( 45 ) = cs 45 = 4 4 8π π 6π π π 8 sin = sin + = sin + π = sin = sin = sin = cs = = sin(9 + ) = Zamenimve vrednsti u zadatak: cs sin tg 6 4 = π 8π ctg cs sin 4 ) Dkazati indetitet: = = = sin sin( π ) = tg cs( π ) cs Kd indetiteta krenimd jedne strane i transfrmišem je, dk ne ddjem d druge strane. 5

6 Važi: sin( π ) = sin cs( π ) = cs sin sin( π ) sin sin sin = = = cs( π ) cs cs cs cs sin = = cs tg 4) Dkazati indetitet: Važi: Pa je: π π + cs( ) = sin cs(π + ) tg( π ) π = sin π + = tg cs( ) = cs cs(π + ) = cs tg( π ) = tg π π + cs( ) ( sin ) ( tg ) = cs( π + ) tg( π ) (cs ) ( tg ) (cs ) = sin 6