RMT

VISOKA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA ZA INFORMACIONE TEHNOLOGIJE predvč mr Slobod Tomić, dipl. ig. RAČUNARSKA MATEMATIKA skript Beogrd, 0.

S A D R ŽA J. UVODNI POJMOVI DISKRETNE MATEMATIKE. 5. Neki zci logičkih opercij i kvtifiktori.. 5. Osovi pojmovi mtemtičke logike.. 6. Skupovi i relcije.. 9.4 Fukcij (ko preslikvje skupov).. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI... 5. SKUP REALNIH BROJEVA... 5.. Skup prirodih brojev (N)... 5.. Skup celih brojev (Z)... 6.. Skup rciolih brojev (Q).. 7..4 Skup irciolih brojev (I).. 7..5 Skup relih brojev (R) 8. SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA (C) 0.. Opercije s kompleksim brojevim u lgebrskom obliku.... Trigoometrijski oblik kompleks. brojev i opercije s jim. 4.. Ekspoecijli oblik kompleksog broj 7. ELEMENT LINEARNE ALGEBRE.. 8. Mtrice 8.. Pojm mtrice 8.. Opercije s mtricm.. 40. Determite.. 44.. Izrčuvje determite.. 44.. Osobie determite... 46.. Iverz mtric 47..4 Rg mtrice.. 49. Sistemi lierih jedči 50.. Gusov lgoritm.. 50.. Krmerov metod 5.. Rešvje homogeog sistem lierih jedči.. 5..4 Mtrič metod rešvj sistem lierih jedči... 54 4. VEKTORI. 55 4. Pojm vektor. Osove opercije s vektorim... 55 4. Sklri proizvod vektor.. 60

4. Vektorski proizvod vektor 6 4.4 Mešoviti proizvod vektor 6 5. FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE... 66 5. Rele fukcije jede promeljive. 66 5. Griče vredosti i eprekidost fukcij... 70 5. Prime gričih vredosti pri određivju simptot fukcij.. 79 6. DIFERENCIJALNI RAČUN.. 8 6. Izvod fukcij 8 6. Osov prvil diferecirj.. 8 6. Izvod iverze fukcije. 86 6.4 Izvod složee fukcije... 87 6.5 Logritmski izvod 87 6.6 Izvod implicite fukcije... 89 6.7 Izvod prmetrski zdtih fukcij.. 89 6.8 Geometrijsko zčeje izvod... 90 6.9 Diferecijl fukcij... 9 6.0 Izvodi i diferecijli viđeg red 9 6. Motoost i ekstreme vredosti fukcij 94 6. Ispitivje tok fukcije 96 6. Osove teoreme diferecijlog rču 04 7. NEODREĐENI INTEGRAL.. 06 7. Pojm primitive fukcije i eodređeog itegrl. 06 7. Osobie eodređeog itegrl 06 7. Tblic osovih itegrl 07 7.4 Direkt itegrcij. 08 7.5 Itegrcij smeom promeljive.. 08 7.6 Prcijl itegrcij 5 7.7 Itegrcij rciolih fukcij 8 7.8 Itegrcij irciolih fukcij... 7.9 Itegrcij trigoometrijskih fukcij.. 8. ODREĐENI INTEGRAL 5 8. Osov svojstv određeih itegrl 6 8. Prime određeih itegrl u geometriji. 7 9. BROJNI REDOVI 5 9. Osovi pojmovi.. 5 9. Osove osobie i kovergecij brojih redov 7 9. Potreb uslov z kovergeciju red.. 8

9.4 Redovi s pozitivim človim... 9 9.5 Kriterijumi z ispitivje kovergecije redov.. 9 9.5. Kriterijumi upoređivj člov red 40 9.5. Dlmberov kriterijum. 4 9.5. Košijev kriterijum 45 9.5.4 Košijev itegrli kriterijum 47 9.6 Altertivi redovi.. 49 9.6. Ljbicov kriterijum. 49 0. FUNKCIJE DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE. 5 0. Pojm fukcije dve ezviso promeljive 5 0. Grič vredost i eprekdiost fukcije dve promeljive.. 5 0. Prcijli izvodi i totli diferecijl fukcije dve promeljive 5 0.4 Prcijli izvod drugog red.. 5 0.5 Diferecijl drugog red 55 0.6 Ekstreme vredosti fukcij dve ezvise promeljive. 56. DIFERENCIJALNE JEDNAČINE 6. Pojm diferecijlih jedči 6. Diferecijle jedčie prvog red. 6.. Diferecijle jedčie s rzdvojeim promeljivim. 6.. Homoge diferecijl jedči prvog red 69.. Lier diferecijl jedči prvog red... 77..4 Berulijev diferecijl jedči 85. Diferecijle jedčie drugog red.. 9.. Lier diferecijl jed. s kosttim koeficijetim... 9.. Homoge lier dif. jed. drugog red s kost. koeficij... 9.. Nehomoge li. dif. jed. drugog red s kost. Koeficij... 9. PRILOZI. 96 LITERATURA... 00 4

. UVODNI POJMOVI DISKRETNE MATEMATIKE Ubrzi rzvoj rčurske tehike zdjih deceij, zhtevo je i dekvt mtemtički prt. Diskret mtemtik je mtemtik rčurskih uk. Kočost memorije rčur i čijeic d su rčuri mšie koje rde s diskretim vredostim, uslovljv potrebu rešvj velikog broj problem kočim ili mogo ređe beskočim, li prebrojivim skupovim. Dob rčur dovelo je do siteze rzih delov diskrete mtemtike, ko što je mtemtičk logik s lgebrom i izom ovih mtemtičkih oblsti ko što je pr. teorij grfov, kombitorik, teorij kodov. Rčursk tehik ds, z svoje potrebe zhtev diskretu mtemtiku. Osim u rčurskim ukm diskret mtemtik im velikog zčj i u mogim drugim učim disciplim, pr u telekomuikcijm, hemiji, ekoomskim ukm i td. Ov mtemtičk discili pre kompjuterskog dob ije bil trktiv.. NEKI ZNACI LOGIČKIH OPERACIJA I KVANTIFIKATORI Osovo sredstvo z sporzumevje među ljudim je jezik. Mtemtički jezik je jviši oblik učog jezik. Nime, mtemtici je potreb jezik pomoću kog se izržvmo bez dvosmisleosti i edorečeosti. Osovu mtemtičkog jezik čie mtemtički izrzi. Kostte su veličie kojim se vredost e mej,pr.,,,, π, Promeljive su simboli koji mogu predstvljti bilo koji elemet iz dtog skup, pr.,,, b, α, β, L Opercijski zci: - Algebrske opercije: +,,*, /. - Logičke opercuje:,,,,, - skupove opercije: U, I, \, X, L Relcijski zci ρ :,, <, >,,, Τ,...,,,,,,,,!, L Specijli zci: [ ] { } Kvtifiktori: - Uiverzli kvtifiktor:, ( čit se z svki ) - Egzistecujli kvtifiktor:, ( čit se postoji br jed ). Mtemtičke formule su rečeice koje se dobiju povezivjem dv mtemtičk izrz ekim od relcijskih simbol, pr.,,,,,,,... < > Τ 5

Izrzi sdrže kostte, promeljive i opercijske zke: Primer: + 5 je izrz. Izrzi u običom jeziku su reči. Formule morju d sdrže relcijski zk. Primer: + 9 je formul. Formule su u običom jeziku rečeice.. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE Iskzi su formule koje imju smisl i z koje se edvosmisleo i jedozčo može utvrditi d li su tče ili etče. Iskzi se obeležvju mlim slovim p, q, r, i zivju iskz slov., p je tč iskz τ p 0, p je etč iskz Istiitos vredost iskz je Umesto i 0, koriste se i ozke T i. Simbole i 0 e treb shvtti ko brojeve i 0. Primer: Rečeic p : je iskz i im tču istiitosu vredost, τ ( p). Primer: Rečeic je iskz i im etču istiitosu vredost, ( p) 0 τ. Primer:Rečeic 4 ije iskz jer em tču istiitosu vredost. Z eke vredosti promeljive, tj z ± formul je tč, z sve ostle je etč. Osove logičke opercije su,,,,, koje se zivju redom: Kojukcij (I,AND) je iskz u ozci p q (čitmo p i q ) koji je istiit kko su ob iskz p i q istiit. Disjukcij (ili, OR) je iskz u ozci p q koji je istiit kko je br jed od iskz istiit, eistiit smo ko su ob iskz eistiit. Implikcij (ko od) je etč smo kko je iskz p tč q etč Ekvivlecij (ko i smo ko) je iskz koji je tč smo kko iskzi p i q imju iste istiitose vredosti. Negcij (e) je eistiit kd je p istiito i obruto.. Istiitos vredost logičkih opercij dt je sledećom tblicom. τ ( p) τ ( q) τ ( p q) τ ( p q) τ ( p q) τ ( p q) τ ( p) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

Primer: Formule su ( p q) p, p q r, p( p q) Istiitos vredost u tblici je u sglsosti s svkodevom logikom. Jedio kod implikcije izgled logičost vidimo u slučju kd je τ ( p) 0. Implikcij je td tč bez obzir vredost iskzog slov q. Iskz formul koj je uvek tč ziv se tutologij. Ove formule u običom jeziku zmejuju zkoe. Izkze formule u kojim se pojvljuju smo opercije,,, pri čemu deluje smo iskz slov, imju jedu zimljivu iterpretciju koj se koristi u tehici i ziv prekidčk lgebr. Iskz slov se tretirju ko ormlo otvorei prekidči, jihov egcij ko ormlo ztvorei prekidči. Ako iskzo slovo im vredost smtr se d je prekidč ztvore, tj. d provodi struju, d je z p 0 otvore. p p Formul se tretir ko mrež s dv krj sstvlje od prekidč koji su povezi prlelo ili serijski.tutologijm odgovrju mreže koje uvek provode struju. Primer: Formuli p ( q r) odgovr mrež p q r 7

ZADACI:. Odrediti istiitosu vredost sledećih izrz: ( < ) ( < 5), ( R) ( + < 0), ( R) ( 0) 5 T T T τ (( < ) ( < )) (( R) ( 0) ) τ (( R) ( + < 0) ) T τ ( R) ( ) T + <, ( R) ( ) τ + < 0. Dti su iskzi p : 7 i q :, 4 5 4 5 6 r : 7, s : 4 5 4 5 5 Odrediti jihovu tčost i osovu tog odrediti istiitosu vredost sledećih izkz: ( p q) r, ( p q) ( r s), ( p q) ( r s), ( p q) ( r s) τ p T, τ q T, τ r, τ s ( ) (( p q) ( r s) ) ( p q) ( r s) τ p q r T T T T τ p q r s T T T T τ τ 5. Dti su iskzi p ( 4 4 ) :( ), 8 4 6 4 q :, ( )( + ) 4 i s 4 4 r + +. Odrediti jihovu tčost i osovu tog odrediti istiitosu vredost sledećih izkz: p q r p q r s p q r s p q r s ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), τ ( p), τ ( q), τ ( r) T, τ ( s) τ (( p q) r) T τ (( p q) ( r s) ) τ (( p q) ( r s) ) T τ ( p q) ( r s) 4. Ispitti d li su iskze formule tutologije:

( p q) ( p q), ( p q) ( p q), ( p q) p, p p p p τ τ ( p) τ ( p) τ ( q) τ ( p q) τ ( p q) ( p q) τ F T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ( p q) ( p q) je tutologij ; ( p q) p je tut., 5. Dokzti d su sledeće formule tutologije ( p q) ( q p) zko komutcije; ( p q) ( p q) p p p je tut. De Morgov zko ( p p) p zko idepotecije; p p zko dvoje egcije ( p q) ( p r) p ( q r) zko distribucije. 6. Formuli ( p q) ( p r) odgovr mrež p q p r. SKUPOVI I RELACIJE Ko što pitje Št je broj?, tko i pitje Št je skup? e možemo tko lko dti odgovor. Nime, običo kžemo d je pojm skup jed od osovih pojmov u mtemtici, oih koji se e defiišu. SKUP predstvlj kolekciju (moštvo) određeih i jso defiisih objekt. Objekti koji čie skup, ili koji pripdju skupu, ili koji su sdrži u skupu, zivju se jegovi ELEMENTI, ili jegovi človi. 9

Skupovi se ozčvju velikim slovim A, B, C, X, Y,, elemeti skup mlim, b, c,,, Zj o skupovim stičemo posredo, upozjući jpre eke relcije (,, ) i opercije (,,, \,, X ) s skupovim. je skrćeic z iskze je elemet, ili pripd, ili sdrž je. A : ( elemet ) pripd ( skupu ) A A : ( elemet ) e pripd ( skupu ) A ili ( A ) Predstvljje skupov Nbrjjem elemet, X {, 7, -, } Opisom osobie P koju elemeti zdovoljvju Veovim dijgrmom Primer: X { N Λ < 9 } Kodir skrćeic A { P p() } se prevodi sledeći či: kod zčeje A skup je { } skup koji sdrži P sve elemete iz P tkve d je p() uslov p() zdovolje Primeri: Z je skup celih brojev { -, } { Z 4 } N je skup prirodih brojev {,, } { N < 4 } Prz skup em elemet, ozk: { } 0

Jedkost skupov Skupovi A i B su jedki ko je svki elemet skup A tkođe i elemet skup B i svki elemet skup B tkođe i elemet skup A. A B kko ( )( A B ) Jedkost skupov A i B ozčv se A B Ako skupovi A i B isu jedki, piše se A B. Primeri: ){ 5, } {, 5 } Elemeti skup mogu biti vedei proizvoljim redom. ) { 5, } { 5,, } i isu rzličiti to je isti elemet ) {0}; { } {0} Podskup B { N Λ < 4 } A B kko ( )( A B ) relcij ikluzije Skup A je podskup skup B ( skup A je sdrž u skupu B, ozk z to je A B ili B A ) ko je svki elemet skup A tkođe elemet skup B. Ako je A B i A B, skup A je prvi podskup skup B.

Prz skup je podskup svkog skup. pr: { } Primer: {, 5 } {,,, 4, 5 } A A ; A B B A A B ; A B Λ B C A C * Prtitivi skup skup A ( tj. skup svih podskupov skup A ) u ozci P(A), će biti { X X A } Primer: Odrediti sve prtitive skupove sledećeg skup C {, b, c} P(C) {, {}, {b}, {c}, {, b}, {, c}, {b, c}, C }. * Uiverzli skup I je skup koji sdrži sve elemete koji se posmtrju. Z svki skup A je A I. Osove skupove opercije Presek skupov A i B je skup A B { A Λ B }

A B A Λ B Primer: A {,,, b }; B {, d,, s, q }; A B {, } Uij skupov A i B je skup A B { A V B } A B A V B Primer: A {,,, b } B {, d,, s, q } A B {,,, b, d, s, q } Komplemet skup A Nek je A podskup ekog skup S. S Cs(A) ( ili smo A ko je skup S upred dogovore ) ozčićemo komplemet skup A u odosu S.

Cs(A) A { S Λ A } A ( A ) Rzlik skupov A i B je skup A \ B A \ B { A Λ B } A \ B A Λ ( B ) primećujemo d je Cs(A) S \ A Primer: A {,,, b }, B {, d,, s, q } A \ B {, b } Simetrič rzlik skupov A i B je skup A B { A B } A B A B 4

A B { A Λ B } { B Λ A } ( A B ) \ ( A B ) A B Primeom TAUTOLOGIJA jedostvo se dokzuju izvese relcije s skupovim. Pomeimo eke jvžije: T: Z skupove A, B i C vži: A A A ; A A A zko idempotecije A B B A ; A B B A zko komutcije A ( B C ) ( A B ) C A ( B C ) ( A B ) C zko socijcije 4 A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C ) zko distribucije 5 ( A B ) A B ( A B ) A B 6 A A 7 A \ A, \A, A, A A, A A 8 A B B A, A ( B C ) ( A B ) C 9 A ( A B ) A A ( A B ) A zko psorpcije 0 ( A c ) c A zko dvoje egcije Dokz : Rdi ilustrcije dokzćemo prvo od tvrđej, drugo od tvrđej 4 i prvo od tvrđej 8. Preostl tvrđej dokzuju se slič či. ( i ) A A A, A A A V A A ; ( ii ) A ( B C ) 5

A ( B C ) A V ( B C ) A V ( B Λ C ) ( A V B ) Λ ( A V C ) A B Λ A C ( A B ) ( A C ) ( iii ) A B A B B B A A Zčj lgebrsk svojstv relcij i opercij među skupovim Refleksivost jedkosti i ikluzije A A i A A Simetričost jedkosti Ako A B, od B A Atisimetričost ikluzije A B i B A kko A B Trzitivost jedkosti i ikluzije Ako A B i B C, od A C Ako A B i B C, od A C De Morgovi zkoi : ( ) A \ ( B C ) ( A \ B ) ( A \ C ) ( ) A \ ( B C ) ( A \ B ) ( A \ C ) ( ) ( A B ) C A C B C ( 4 ) ( A B ) C A C B C Dekrtov proizvod * Uređei pr, čij je prv kompoet, drug b, obeležv se s (, b) Uređei provi (, b) i (c, d) jedki su ko i smo ko je c i b d. 6

Uređe -tork se ozčv s (,,, ), jedkost uređeih -torki elemet defiis je s : (,,, ) ( b, b,, b ) b Λ b Λ Λ b * Dekrtov proizvod skupov A i B, A B { (, ) A Λ B } Primer: Ako je A {, b} i B {,, }, od će biti A B { (, ), (, ), (, ), (b, ), (b, ), (b, ) } B A { (, ), (, b), (, ), (, b), (, ), (, b) } Grfički se to može ovko predstviti : Zključk : A B B A Dkle, z Dekrtov proizvod immo : A B B A 7

S druge stre, vže distributivi zkoi prem i. T : ) A ( B C ) ( A B ) ( A C ) ) A ( B C ) ( A B ) ( A C ) ) ( A B ) C ( A C ) ( B C ) 4) ( A B ) C ( A C ) ( B C ) Dekrtov proizvod skupov A, A,, A je A A A A {(,,, ) A Λ A Λ Λ A } Dekrtovi proizvodi : A A A A A A A Relcije Ozke relcij : ) z skupove,, ) u geometriji, <,, ) u lgebri, >, Ovo su primeri relcij koje ukzuju određee odose među : - skupovim ; - geometrijskim figurm ; - brojevim Relcije m ukzuju određee odose među mtemtičkim objektim. Prvi i bit kork od pojm IZRAZA k pojmu ISKAZA ili mtemtičke formule, prvimo uz pomoć relcije. Kko se relcij može posmtrti ko eko povezivje elemet ekog. skup A s elemetim skup B z koje je vžo d se z koji elemeti skup A su u vezi, u relciji, s kojim elemetim skup B, to se jed tkv relcij u potpuosti može zdti sledeći či : ko A i B i, ρ 4 T T 4 T 5 pri tom su i u dtoj relciji, od uređeom pru (, ) A B pridružujemo 8

vredost T, ko to ije slučj, od uređeom pru (, ) pridružujemo. Dkle, relcij zprvo rzdvj oe uređee prove elemet skupov A i B z koje kžemo d jesu, od oih z koje kžemo d isu u toj relciji. Stog se jed relcij među elemetim skupov A i B može zdti i ko podskup Dekrtovog proizvod A B uređeih prov oih elemet koji jesu u dtoj relciji. D: Relcij je bilo koji podskup Dekrtovog proizvod skupov. Ako je ρ A B i (, ) ρ kžemo d je u relciji ρ s, što još ozčvmo s ρ. Jed relcij ρ, d kočim skupom elemet se može zdti eposredim brjjem uređeih prov koji jesu u toj relciji pomoću tblice. Ako (, ) ρ, tj. ko ρ, od u tblici mestu gde se presecju vrst u kojoj se lzi i kolo u kojoj se lzi, pišemo T, ukoliko (, ) ρ, tj. ko ije ρ, od tmo pišemo. Primer : Relciji ρ { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (4, 4) } odgovr sledeć tblic ρ 4 T T T T T 4 T Mi ćemo se bviti jčešće birim relcijm u skupu A B, to je. svki jegov podskup. (, b ) ρ ρ b (, b ) ρ ( ρ b ) Bire relcije Bir relcij ρ u skupu A je : R ( refleksiv ) ( A )( ρ ) AR ( tirefleksiv ) ( A ) ( ρ ) S ( simetrič ) (,b A ) ρ b b ρ AS ( tisimetrič ) (,b A ) ( ρ b Λ b ρ ) b T ( trzitiv ) (,b,c A ) ( ρ b Λ b ρ c ) ρ c 9

Relcije ekvivlecije i poretk Relcij ekvivlecije je bir relcij koj je R, S i T Relcij poretk je bir relcij koj je R, AS i T i ozčv se s Relcij strogog poretk je bir relcij koj je AR, AS, i T i ozčv se s < Iverz relcij relcije ρ je relcij ρ - { ( b, ) (, b ) ρ } Kompozicij relcij ( proizvod relcij ) ρ A B i ρ B C je relcij. 0

.4 FUNKCIJA (ko preslikvje skupov) Nek su E i F eprzi skupovi. Ako po ekom prvilu ƒ svkom elemetu skup E odgovr po jed, tčo određei elemet skup F, td kžemo d je ƒ preslikvje koje prevodi elemete skup E u elemete skup F - pišemo : ƒ : E F ili ƒ : odoso ƒ(). Ako svkom elemetu iz skup F(kodome) odgovr br jed elemet iz skup E (dome), od je je ov fukcij surjekcij (preslikvje NA). D : Preslikvje ƒ skup E u skup F je podskup Dekrtovog proizvod E F, tkv d su ispujei uslovi : skup svih prvih kompoeti uređeih prov (, ) ƒ jedk je skupu E ; ko (, ) ƒ i (, ) ƒ, td je. Umesto (, ) ƒ pišemo ƒ(). Primer : Nek je E {, b, c}, F {,, } i ƒ{(, ), (b, ), (c, )} Preslikvje ƒ: E F pišemo u obliku

Ovkvo preslikvje tip jed jed (-), zove se ijekcij. Fukcij je bijekcij kd je istovremeo i surjekcij i ijekcij. Primer : D li su relcije ρ {(, ), (b, ), (c, )}, ρ {(, ), (b, ), (b, ), (c, )} i ρ {(, ), (b, )} preslikvj skup E {, b, c} u skup F {,, }? ρ : jeste preslikvje jer svkom elemetu skup E odgovr tčo jed slik. ρ : ije preslikvje jer elemetu b odgovrju dv elemet.

ρ : ije preslikvje jer elemetu c e odgovr ijed elemet skup F. Primer : Nek je ƒ: R R, ƒ( + ). Nći ƒ(). Rešeje : ƒ( + ) ozčimo + t. Td je ( t ) \ ƒ( t ) ( t ) \ - (t 7) \ p je i ƒ() ( 7) \ Def : Nek je ƒ: E F. Ako je z sve elemete, E ispuje uslov ƒ() ƒ() ( ili, što je isto: ƒ() ƒ() ), td se kže d je ƒ - preslikvje. Def : Nek je ƒ: E F. Ako je ispuje uslov ( F )( E )( ƒ()), td se kže d je ƒ NA preslikvje. Primeri : Nek je E {, b, c, d} i F {,,, 4}. Posmtrjmo preslikvj

Nek je E {, b, c, d}, F {,, }. Posmtrjmo preslikvj Nek je E {, b, c} i F {,,, 4}. Posmtrjmo preslikvj 4

. R E A L N I I K O M P L E K S N I B R O J E V I Broj je jed od osovih mtemtičkih pojmov. Nsto je iz potrebe z prebrojvjem, odoso određivjem broj elemet ekog skup. N tj či se prvo operislo s skupom prirodih brojev. Broj ko osovi pojm se e defiiše ( ituitivo se shvt), već se proučvju jegove osobie i opercije. Sve do 9 vek teorij brojev se rzvijl uglvom zbog prktičih problem. Tokom 9 i 0 vek teorij brojev se ksiomtizuje. 900 godie Hilbetr je ksiomtski defiiso skup relih brojev.. SKUP REALNIH BROJEVA (R) Osov podel skupov brojev je rele i komplekse. - Skup relih brojev: R ) Skup prirodih brojev N, ( Skup prirodih brojev i 0 N 0 ) b) Skup celih brojev Z v) Skup rciolih brojev Q g) Skup irciolih brojev I - Skup kompleksih brojev C Skupovi: N, Z, Q i I su podskupovi skup relih brojev R.. SKUP PRIRODNIH BROJEVA (N) {,,, L,,, L } N + Z svki broj N postoji broj + N. Brojevi i + su uzstopi ili sukcesivi brojevi. Skup priodih brojev N je ogriče s doje stre, ije ogriče s gorje stre, tj. postoji jmji prirodi broj, e postoji jveći. Prirod broj čiji su jedii čiioci o sm i broj, zovemo prostim brojem, pr,,5, 7,,L. Uzjmo prostim brojevim zivmo dv prirod broj ko im je jedii zjediči čiilc broj. Prirodi broj je pr ko mu je br jed prost čiilc broj.ako to ije slučj broj je epr. Pre brojeve obeležvmo s k, epre s k + ili k 5

Skup prirodih brojev je ztvore u odosu opercije sbirj i možej (ove opercije su defiise ovom skupu), tj. rezultt sbirj i možej dv prirod broj je uvek priprod broj. Z opercije sbirj i možej prirodih brojev vže zkoi: + b b +, b b komuttivosti ( + b) + c + ( b + c), ( b) c ( bc) socijtivosti ( + b) c c + bc, ( b + c) b + c distributivosti. Neutrli elemet z možeje je : N,. Stepe prirodog broj defiišemo ko 4 L4 N osovu defiicije stepe zključujemo uz uslov : (,, m) N i > m m m +, m m ( ) m m.. SKUP CELIH BROJEVA (Z) Opercij oduzimj se u skupu prirodih brojev e može uvek defiisti. Rzlik dv prirod broj e mor d bude prirod broj.to dovodi do proširej skup prirodih brojev N skup celih brojev Z. Oduzimje u skupu celih brojev je opercij koje se defiiše:, b, c Z, b c b + c Skup celih brojev sdrži sve prirode brojeve,ulu i brojeve oblik, N { L,,0,,, L,,, L } Z + Skup Z je dskup skup N i zdržv sv prvil koj smo defiisli u skupu N, dodjući ov prvil koj vže smo u skupu Z. Ovj pricip koristićemo i u defiisju redih proširej skupov brojev i zove se pricip permecije. Skup celih brojev je eogriče kko s doje tko i s gorje stre, tj. u skupu Z e postoji i jmji i jveći ceo broj. Neutrli elemet z sbirje je 0, eutrli elemet z možeje je, tj. + 0,, Z. 6

Z svki ceo broj Z postoji suprot broj Z tkv d, ko je + Z. 0,.. SKUP RACIONALNIH BROJEVA (Q) Potreb umeričkog izržvj rezultt merej, odoso emogućost potpuog defiisj opercije deljej, zhtevl je uvođeje pojm rzlomk. Skup rciolih brojev je skup dobije delejem celog broj prirodim brojem ( ili celim brojem osim ule): p Q, p Z q N q Opercij deljej se u skupu celih brojev e može uvek defiisti, tj. količik dv cel broj e mor d bude ceo broj, što dovodi do proširej skup prirodih brojev Z skup rciolih brojev Q. Deljeje celih brojev defiišemo sledeći či, b, c Z b 0, c b c b Skup rciolih brojev je eogriče s obe stre, tj. e postoji i jmji i jveći rciol broj. Skup rciolih brojev je svugde gust skup, što zči d između svk dv rciol broj, b Q postoji beskočo mogo rciolih brojev. Skup rcolih brojev je prebrojiv tj. imeđu tog skup i skup prirodih brojev može se uspostviti obostro jedozč vez. Neutrli elemet z sbirje je 0, eutrli elemet z možeje je, tj. + 0,, Q. Z svki rciol broj Q, 0, postoji iverzi elemet z možeje d je...4 SKUP IRACIONALNIH BROJEVA (I) tkv Stri Pitgorejci su došli do szj d su stric i dijgol kvdrt esmerljive duži, tj. d emju zjedičku meru. Duži hipoteuze prvouglog trougl strice izosi. Međutim broj ije rciol broj. N tj či dolzimo do ovog proširej skupov brojev, tj do irciollog broj. 7

Broj koji se e može predstviti u obliku rzlomk zivmo irciolim brojem pr,, 5,, π L..5 SKUP REALNIH BROJEVA Svi rcioli i svi ircioli brojevi obrzuju skup relih brojev R Q U I. Skup relih brojev je eprebrojiv skup. Rele brojeve često predstvljmo tčkm brojoj osi ili reloj osi tko što kžemo d svkoj tčki broje ose odgovr jed rel broj i obruto. 0 Re Ako uvedemo srtožije defiicije od predhodo vedeih immo sledeće: Kžemo d je skup X R, ogriče s gorje stre ko postoji rel broj M R tkv d je M, X. Njmji od gorjih ogričej skup X zivmo supremum skup. Z skup X R kže se d je ogriče odozdo ko postoji tkv rel broj m R d je m, X. Njveći od dojih ogričej skup X ziv se ifimum skup. N skupu relih brojev z ejedkosti vže sledeće osbie: ( > b) ( b < ) ( > b) ( + c > b + c) ( > b, c > 0) ( c > bc), ( > b, c < 0) ( c < bc) Reli brojevi se mogu predstviti ko tčke brojoj prvi. N skupu relih brojev defiise su sve rčuske opercije osim prog kore iz egtivog broj. Apsolut vredost broj Ako je R proizvolj rel broj, td je psolut vredost broj :, > 0 0, 0, < 0 Z psolutu vredost broj vže sledeć prvil:, < b b < < b > b > b ili < b + b + b b + b b b 8

b b,, b 0. b b Prošireje skup relih brojev Skup relih brojev proširuje se s dv simbol I +, tko d z svki R vži ejedkost: < < +. Z opercije s ovim simbolim vže prvil: + + + ( + ) + ( + ) + ( ) + ( ) z > 0 +, R ( + ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) + ( + ) ( ) Izrzi ( + ) ( + ) ± m isu defiisi. Itervl u skupu relih brojev Ako su, b R, tkvi de je < b sledeći podskupovi zivju se otvore itervl (, b) { < < b} ztvore itervl [, b] { } polu-otvore itervl tj. polu-ztvore itervl [, b) { b} (, b] { < b} <, 9

. SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA (C) Skup svih kompleksih brojev C je skup uređeih prov z (, ) relih brojev. Prvi broj pripd pscisi (Reloj osi), drugi pripd orditoj osi (ili tzv. Imgiroj osi). To zči d kompleksom broju pripd tčk u rvi koju čie rel i imgir os. Do pojm kompleksog broj dolzimo ko pokušmo d rešimo jedčie tip gde su ob sbirk pozitiv tj., R. + 0, U skupu relih brojev jedči + 0 em rešej. + 0 ± Jso je d e postoji rel brij čiji je kvdrt egtiv broj. D bismo mogli d rešimo ovu jedčiu mormo skup relih brojev proširiti skup kompleksih brojev uz uvođeje ozke broj koji odgovr broju. Tj broj je i imgir jediic. Rešeje pomeute jedčie postje ± ± i i i i i 4 i i i i 4+ k k i i, N, k,, Svkoj tčki pscisoj-osi (reloj osi) odgovr jed rel broj (), svkoj tčki orditoj osi (imgiroj osi) odgovr jed imgir broj (bi). Skup svih uređeih prov relih brojev (, b ) u kojem je z + ib, tj. z (, b) ziv se skupom kompleksih brojev C, gde je i. 0

slik Kompleksi brojevi mogu se predstviti ko tčke u kolpleksoj rvi. Reli deo kompleksog broj je Re{ z} Imgiri deo Im{ z} b, Ako je Re{ z } 0, kompleksi broj je čisto imgiri broj, ko je { } kompleksi broj je rel broj. Im z 0, Dv kompleks broj z + ib i z + ib su jedk ko su im jedki reli delovi z sebe, imgiri z sebe.tj. i b b. Svkom kompleksom broju z + ib odgovr kojugovo kompleksi broj u ozci z ib. z + bi Primer: slik z bi Kojugovo kompleksi broj, broju z i je komleksi broj z + i. Modul kompleksog broj z + ib defiiše se ko Primer: ρ z + b. O geometrijski predstvlj udljeost broj z (odoso tčke M (, b ) ) od koorditog početk Modul komleksog broj z + i izosi ρ z + 5.

Npome: Uzimli smo rele brojrve ili z Re( z ), brojeve ili b z Im( z ),što e utiče vžost zključk... OPERACIJE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA U ALGEBARSKOM OBLIKU Z komplekse brojeve ko uređee prove vrede sledeće ksiome: 0 Aksiom sbirj: (, ) + (, ) ( +, + ) 0 Aksiom možej: (, ) (, ) (, + ), ili pojedostvljeo defiišemo opercije s kompleksim brojevim. Nek su dt dv kompleks broj z + ib i z + ib. Sbirje: z + z + ) + i( b + ) ( b Oduzimje: z z ) + i( b ) ( b Možeje: z z b b ) + i( b + ) z z z Deljeje: z z z ( b Primer: Nek su dt dv kompleks broj z + i i z i. z + z + i + i i z z + i ( i ) + 5i z z + i i i + 4i 6i 8+ i + + + + + 4 + 6 4 + 7 4 7 + 4 9 z i i i i i i i + z i i i i i Stepeovje kompleksog broj prirodim brojem se izvodi pomoću opercije možej z 4 z z L4 z, пута Npome: Immo d je i, i i i i, i 4 i i ; uopšte: 4 4+ 4+ 4+ i, i i, i, i i Primer: Nći 50 i i 004 4 50 ZADACI

. Rešiti kvdrtu jedčiu + 4 0. Rešeje i, i. Rešiti kvdrtu jedčiu 4 + 0. + i, i + i. i. Odrediti reli i imgiri deo kompleksog broj z ( + i) + i + i + i + i + i z ( + i) ( + i) ( + i) i i + i 4 i + i + i ( + i) + i Re ( z), Im ( z) 5 5 5 5 5 5 4. Odrediti reli i imgiri deo kompleksog broj i z + i. i i i i z ( i) i + i + i i i + i i 5. Dokzti d je z i + i čisto imgir broj. + i i + i i i i z + i + i i + i + i + i 8 8 8 6 48 + i i + i + i i + i i i 5 5 5 5 5 5.. TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOMPLEKSNIH BROJEVA I OPERACIJE SA NJIMA Trigoometrijski oblik kompleksog broj je:

gde je: ( cos i si ) z ρ ϕ + ϕ, gde je ρ cosϕ i ρ siϕ. ρ z + b je modul,, ϕ je rgumet kompleksog broj (pri čemu je b tgϕ ) i obeležv se ϕ A rg z. (slik ). ρ ϕ slik Argumet kompleksog broj ije jedozčo određe. Imjući u vidu periodičost trigoometrijskih fukcij, rgumet je svki reli broj oblik ϕ + kπ, gde je k Z. Specijlo,broj ϕ koji zdovoljv uslov π < ϕ π ziv se glvi rgumet. Primer: Kompleks broj z + i pisti u trigoometrijskom obliku. π Moduo dtog kompleksog broj je ρ z +, rgumet je tgϕ ϕ, p 4 π π je trigoometrijski oblik dtog kompleksog broj z cos + i si 4 4. Nek su dt dv kompleks broj z ρ ( cosϕ + isiϕ ) i z ρ ( cosϕ i siϕ ) +. Sbirje i oduzimje kompleksih brojev u lgebrskom obliku je jedostvije ego u trigoometrijskom obliku. Možeje: z z ρ ( cosϕ isiϕ ) ρ ( cosϕ i siϕ ) ρ ρ cos( ϕ + ϕ ) + i si ( ϕ + ϕ ) + + Deljeje: z z ( cos + i si ) ( cos + i si ) ρ ϕ ϕ ρ + ρ ϕ ϕ ρ ( cos ( ϕ ϕ ) i si ( ϕ ϕ )) 4

Stepeovje: z ρ ( cos ϕ i si ϕ ) +,. Ovo je Movrov formul z stepeovje. Movrov formul se može dokzti primeom mtemtičke idukcije. Primer: Koristeći Movrovu formulu z stepeovje kompleksih brojev odreriti z i. Modul dtog kompleksog broj je z ρ +, rgumet je 4 z, ko je 5 tg ϕ ϕ π zto što ugo pripd trećem kvdrtu, p trigoometrijski oblik broj 4 5π 5π z i je z cos + i si. Sd immo d je: 4 4 4 5 5 4 π π z (cos 4 + i si 4 ) 4( cos5π + i si 5π ) 4 4 4 Kore kompleksog broj Svko rešeje jedčie se ko kore kompleksog broj Iz jedkosti z ω, gde je z r ( cosϕ isiϕ ) +, ω ρ ( cosθ isiθ ) ϕ + kπ ϕ + kπ ωk r cos + isi, k 0,, L, ( cos( ϕ π ) si ( ϕ π )) ρ ( cos θ si θ ) r + k + i + k + i dobijmo ϕ + kπ r ρ ρ r, θ ϕ + kπ θ +, defiiše Geometrijski ov rešej su teme prvilog mogougl upisog u krug poluprečik r (slik 4). 5

z z z 0 slik 4 Primer: Izrčuti Ako je cosπ + isiπ, immo d je ρ i θ π, p koristeći formulu z kore kompleksog broj dobijmo: π + kπ π + kπ cos + isi Z k 0,, dobijmo tri rzličite vredosti: π π z0 cos + i si + i z cosπ + isiπ 5π 5π z cos + isi i Geometrijski rešej trećeg kore su teme jedkostričog trougl (slik 5). z 0 z z slik 5 6

.. EKSPONENCIJALNI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA. Ekspoecijli oblik kompleksog broj je z ρ i e ϕ iϕ Ojlerov formul: e cosϕ + i siϕ. Primer: Ako je z, td je ρ, ϕ π, p se u ekspoecijlom obliku dobije Ojlerov " zlt" jedči koj povezuje jzčjije brojeve u mtemtici i e π + 0 7

. E L E M E N T I L I N E A R N E A L G E B R E. M A T R I C E.. POJAM MATRICE Uzmemo li m jedči s epoztih,,, + + + b b + + + (S) M O M M, m + m + + m b m td kžemo d je zdt sistem lierih jedči (S). Brojevi, b, i,, K, m j,, K,, zovu se koeficijeti sistem (S). Ako izostvimo ozke ij i epoztih j, zkove opercij i koeficijete b i, dobijemo prvougou šemu ili tbelu koeficijet ij. Mtricom zivmo prvougou šemu s m elemet, (uređeih po vrstm i kolom), rspoređeih u m vrst i kolo: A Μ m Μ m Λ Κ Ο Κ Μ m Mtrice se ozčvju velikim slovim ltiice: A, B, C,... Proizvolji elemet mtrice ij pripd i -toj vrsti i j -toj koloi p mtricu možemo ozčiti i sledeći či [ ]. ij m Z mtricu s m vrst i kolo kžemo d im dimeziju m. Dve mtrice A [ ij ] m i B [ b ij ] m su jedke, A B ko i smo ko je: b, ( i, j), i,,..., m j,,...,. Z ovkve mtrice kžemo d su komfore. ij ij Ako je u mtrici [ ij ] m m, >, td defiišemo mtricu vrste: ] [ Κ ] [ ij Ako je m >,, td defiišemo mtricu koloe: [ ij ] m Μ m 8

Mtric čiji su svi elemeti ule ziv se ul-mtric. Ako je broj vrst jedk broju kolo, td je mtric kvdrt mtric. Elemeti,,..., leže glvoj dijgoli kvdrte mtrice, dok elemeti,,..., pripdju sporedoj dijgoli. Kvdrt mtric u kojoj su svi elemeti v glve dijgole ul, elemeti glvoj dijgoli isu svi ul, zove se dijgol mtric: 0 L 0 0 L 0 0 0 0 0 A K, I K, IA AI A M M O M M M O M 0 0 K 0 0 K koj se z L zove jediič mtric i ozčv se slovom I. Ако су у дијагоналној матрици сви елементи на главној дијагонали једнаки, 0, имамо скаларну матрицу: S 0 Μ 0 0 Λ Κ Μ Ο 0 Κ 0 0 Μ Zmeu mest svih vrst odgovrjućim kolom ili obruto zivmo trspoovjem mtrice. Ako je dt mtric [ ], je trspoov mtric imće oblik T A [ ji ] m. A ij m A T L K M M O M m m K m 9

.. OPERACIJE SA MATRICAMA SABIRANJE MATRICA Zbir mtric istih dimezij A [ ij ] m i B [ b ij ] m je mtric C [ c ij ] m ko i smo ko je b c ( i,,..., m ; j,,..., ) +. ij ij ij Npome: Zbir mtric rzličitih dimezij ije defiis. Opercij sbirj mtric im sledeće osobie: komuttivost A + B B + A socijtivost ( A + B) + C A + ( B + C) Primer: Sbrti mtrice A 4 5 6 i 7 8 9 4 A + B 4 0 9 B 0 4. 4 MNOŽENJE MATRICE BROJEM Proizvod broj λ R i mtrice A [ ij ] m je mtric istih dimezij, čiji se elemeti dobijju kd elemete mtrice A pomožimo brojem λ. λ A ij ] m [ ij ] m λ[ λ Opercij možej mtrice brojem im sledeće osbie: -komuttivost: λ A Aλ -socijtivost: ( αβ ) A α( βa), α, β 0 -distributivost s obzirom zbir brojev: ( α + β ) A αa + βa -distributivost s obzirom zbir mtric: α ( A + B) αa + αb 40

P-imer: Pomožiti mtricu 4 6 A 8 0 4 6 8 A 4 5 6 7 8 9 brojem λ. MNOŽENJE MATRICA Proizvod A B mtric A [ ik ] m p i B [ b kj ] p je mtric C, čiji elemeti c ij se formirju po zkou: p c b ( i,..., m ; j,..., ) ij ik kj k Npome: Mtric C im ooliko vrst koliko ih im mtric A i ooliko kolo koliko ih im mtric B. Npome: Dkle, elemet c ij mtrice C, koji se lzi u preseku i -te vrste i j -te koloe, obrzuje se tko što se elemeti i -te vrste mtrice A pomože odgovrjućim elemetim j -te koloe mtrice B i dobijei proizvodi sberu. Opercij možej mtric im sledeće osbie: socijtivost: ( A B) C A ( B C) U opštem slučju z možeje mtric e vži zko komutcije A B B A Primer: Pomožiti mtrice A 4 5 6 i B. 7 8 9 0 + + 0 ( ) + ( ) + 7 C A B 4 + 5 + 6 0 4 ( ) + 5 ( ) + 6 9 8. 7 + 8 + 9 0 7 ( ) + 8 ( ) + 9 4 Proizvod B A ije defiis zto što dimezije mtric isu odgovrjuće. 4

ZADACI. Nći zbir mtric A i B. + + ( ) A + B + 4 4. + +. Pomožiti mtricu A 4 5 6 brojem λ. 7 8 9 4 6 A 8 0. 4 6 8. Nći mtricu C A B, ko su dte mtrice A i 4 4 C A B 6 4 5. B. 4. Nći proizvode A B i B A mtric A B A + + + 8 + + + 5 4 i B. Proizvod mtric ije komuttiv opercij, odoso A B B A. Proizvod B A e postoji jer dimezije mtric A i B isu odgovrjuće. 5. Pomožiti mtrice 7 A B 9 8. 4 A 4 5 6 7 8 9 i B. 0 4

6. Dokzti d z mtrice A i B 4 vži d je relcij A + B A + B. 0 A + B + 4 6 0 0 4 0 A + B 6 6 0 4 0 A 0 5 0 B 4 4 0 5 0 5 0 4 0 A + B + 0 0 5 0 4. 5 7. Ako je A 6, ći jeu trspoovu mtricu 4 5 T 4 A 5 6 5. 8. Proveriti sledeće rezultte: T A. 4 5 5 4 5 7 0, 0 0 8, [ ] [ ], 5 8 4 5 9 9 6 9 5 4 4 48, 4 7 6 9 5 58 4 56. 4 0 0 0 4 6 4 0 0 0 6 9 4 0 0 0 4

. D E T E R M I N A N T E Svkoj kvdrtoj mtrici pridružujemo reli broj koji zovemo determit. Determit je broj koji odgovr kvdrtoj šemi od elemet rspoređeih u vrst i kolo. L K D det ( A) M M O M K Npome: Determit je rel broj koji je rdi lkšeg pmćej zpis ko šem brojev, z rzliku od mtrice koj je smo šem proizvoljih elemet. Broj ziv se determit prvog red. Broj Broj ziv se determit drugog red. ziv se determit trećeg red... IZRAČUNAVANJE DETERMINANTE SARUSOVO PRAVILO Srusovo prvilo vredi smo z determite trećeg red + + ± + + Primer: Izrčuti vredost determite 4 5 6. 7 8 9 44

4 5 6 4 5 5 9 + 6 7 + 4 8 4 9 6 8 5 7 0 7 8 9 7 8 LAPLASOVO PRAVILO Z rzliku od Srusovog prvil koje se koristi smo z izrčuvje determiti trećeg red, Lplsovo prvilo vži z determite bilo kog red. Osov idej ovog prvil je d se izrčuvje determite -tog red svodi izrčuvje determite red, determit red svodi se izrčuvje determite red i tj postupk se povlj sve dok se e dođe do determite prvog red. D bismo objsili ovu metodu potrebo je d defiišemo pojm mior i pojm kofktor. Nek je D determit -tog red D L K M M O M K Svki elemet determute ij im svoj odgovrjući mior. Mior M ij elemet ij je determit koj se dobij iz determite D odbcivjem i -te vrste i j -te koloe. Npome: Očigledo, detremit trećeg red im ooliko mior koliko i elemet, tj. 9. N primer, elemetim, i odgovrju miori su: M, M, M L Kofktor elemet ij i + j. je broj A ( ) ij M (Lplsovo prvilo) Determit je jedk zbiru proizvod elemet m koje vrste (odoso koloe) i odgovrjućih kofktor tj. ij D A + A + L + A A i i i i i i ik ik k (rzvoj po elemetim i -te vrste) 45

D A + A + L + A A j j j j j j kj kj k (rzvoj po elemetim j -te koloe) Primer: Izrčuti vredost determite 4 5 6. 7 8 9 Determit se može izrčuti rzvojem po bilo kojoj vrsti ili koloi. Rzvojem po prvoj vrsti dobićemo. 5 6 4 6 4 5 4 5 6 + 8 9 7 9 7 8 7 8 9 5 9 6 8 4 9 6 7 + 4 8 5 7 0.. OSOBINE DETERMINANTI Ako u proizvoljoj determiti dve susede vrste (odoso koloe) uzjmo promee mest determit mej zk. D b b b b D Determit se moži brojem k 0 ko se svi elemeti bilo koje vrste (odoso koloe) pomože tim brojem. b c b c kb c D b c, kd k b c kb c b c b c kb c Ako su svi elemeti jede vrste (odoso koloe) jedke uli, determit je jedk uli. Ako su u determiti dve vrste (odoso koloe) jedke ili proporciole td je vredost determite jedk uli. b b k k ( b b ) k 0 0 k kb b 46

Ako sve vrste (odoso koloe) dte determite red cikličo promee mest determit e mej svoju vredost. b c b c b c b b c c b b Determit se e mej ko se svkom elemetu jede vrste (odoso koloe) dodju odgovrjući elemeti druge vrste (odoso koloe), pomožei jedim istim brojem. c c b b c c b c b c + m b c b c + m b c b c + m T Determite mtric A i A su jedke. Ako su elemeti jede vrste (odoso koloe) dte determite zbirovi od dv ili više sbirk, td se determit može rzložiti zbir od dve ili više determit. b b b c + d c c + d + d b b b c c c + b b b d d d.. INVERZNA MATRICA Dt je kvdrt mtric A. Mtric koj im svojstvo, I jediič mtric, zove se iverz mtric mtrice A. A A A A A I gde je Z kvdrtu mtricu A kžemo d je je regulr ko je det A 0, sigulr ko je det A 0. Adjugov mtric mtrice A u ozci dja je trspoov mtric mtrice kofktor mtrice A. Kofktor elemet ij dja i + j. je broj A ( ) A A K A A A A K M M O M A A K A ij M ij Iverz mtric, kvdrte regulre mtrice A je mtric 47

A A K A A A A dja A K deta M M O M det A A A K A Primer: Nći iverzu mtricu dte mtrice A 5. A A A det A A A Kko je det A 0, postoji mtric A. 5 Kofktori mtrice A su A 5, A, A, A. 5 Nlzimo d je: A Primer: Nći iverzu mtricu dte mtrice A. 4 det A + 7 0 4 4 4 Kofktore mtrice A je pogodo pisti ppiru odmh u trspoovom obliku, kko bi se lkše ispisli elemeti djugove mtrice ko što je: A A A dja A A A A A A A A A 5 A A 7 A 4 4 A A A 4 4 A 7 7 5 48

..4 RANG MATRICE Defiicij: Mksiml stepe (red) mior mtrice A, koji je rzličit od ule jedk je rgu mtrice A. Mksiml broj liero ezvisih vrst jedk je mksimlom broju ezvisih kolo i tj broj je rg mtrice. Ovo zči d regulr mtric -tog red im rg jedk. Rg mtrice se e mej, ko se elemtim mtrice izvodu ove elemetre trsformcije: - medjusobo zmee mest bilo koje dve vrste (koloe), - možeje bilo koje vrste (koloe) proizvoljim brojem k 0, - dodvje bilo kojoj vrsti (koloi) liere kombicije prostlih vrst (kolo) N ovj či trsformišemo zdtu mtricu kod koje su glvoj dijgoli brojevi rzličiti od ule, ispod glve dijgole jedki uli. Koliko glvoj dijgoli im brojev rzličitih od ule toliki je rg mtrice. 0 7 Primer: Odrediti rg mtrice A 0 0 7 Zmeimo mest prvoj i drugoj koloi d bismo prvom mestu dobili. Prvu vrstu možimo s (-) i dodjmo je trećoj vrsti, ztim drugu vrstu možimo s i dodjmo trećoj vrsti. Sve determite trećeg red su jedke uli, determit drugog red je rzličit od ule p je rg mtrice r R( A) 0 7 0 7 0 7 0 7 A 0 0 0 0. 0 7 0 7 0 6 4 0 0 0 0 49

. S I S T E M I L I N E A R N I H J E D N AČINA.. GAUSOV ALGORITAM Dt je sistem od m ehomogeih lierih jedči s promeljivih + + L + b + + L + b M m + m + L + m b m Gusov metod se sstoji u sukcesivom elimiisju epoztih iz sistem i trsformcijom sistem u trougoi sistem u kome prv jedči im epoztih, posledj m -t jedči jedu epoztu. Pretpostvimo d je koeficijet 0 Isključimo epoztu iz svih jedči sistem osim prve. D bismo to relizovli potrebo je prvu jedčiu pomožiti s i dodti je drugoj jedčii, ztim prvu jedčiu pomožiti s i dodti je trećoj jedčii, itd. N tj či se umesto polzog sistem dobij ekvivlet sistem: + + K + b () () () + K + b M () () () m + K + m b m Ako bi produžili isti postupk dobili bi sistem + + L + b () () () + L + b M ( ) ( ) m b Posledj jedči sistem jedozčo određuje promeljivu, kd se vredost z uvrsti u pretposledju jedčiu, jedozčo se određuje promeljiv, itd. U slučju kd je m sistem im jedistveo rešeje. Ako je broj epoztih veći od broj jedči, td su,, k + K slobode promeljive koje preosimo desu stru, ztim se ko i u prethodom slučju određuju veze promeljive, K k, k. S obzirom to d slobode promeljive mogu imti proizvolje vredosti, sistem u ovom slučju im beskočo mogo rešej. 50

Primer: Gusovom metodom rešiti sistem jedči + z 4 + z + + z 6 Nko možej prve jedčie s i i dodvjem redom drugoj i trećoj jedčii dobijmo sistem + z 4 5 + 7z 5 4z Dodvjem druge jedčie trećoj dobijmo sistem + z 4 5 + 7z z 9 Ovo je sistem trougoog oblik iz kojeg se eposredo dobij jedistveo rešeje,, z,,.. KRAMEROVA METODA Dt je sistem od jedči s promeljivih: + + L + b + + L + b M + + L + b Uočimo sledeće determite: D L L k L L k M L L k determit sistem D k L b L L b L M L b L 5

determit koj odgovr epoztoj ( k,, ) Krmerovo prvilo: k K. ) Ako je determit sistem D 0, td sistem im jedistveo rešeje Dk k, k,, K,. D ) Ako je determit sistem D 0, br jed od determiti Dk 0, k,, K,, sistem em rešej. ) Ako je determit sistem D 0, i sve determite Dk 0, k,, K,, sistem je eodređe i ko im rešej može ih imti smo beskočo mogo. Primer: Rešiti sistem jedči: + z + z + z 7 Determit sistem je : D 0 0 Pomoće determite D, D, D z dobijmo kd u determiti D zmeimo redom prvu, drugu i treću kolou koloom slobodih člov. D, D 6 D 9, Rešeje sistem je: 7 0 D, D 7 D z 6, D 0 7 D z 9 z D 5

.. REŠAVANJE HOMO GENOG SISTEMA LINE A RNI H J EDNAČI NA Dt je sistem od m homogeih jedči s promeljivih: + + L + 0 + + L + 0 M m + m + L + m 0 Homogei sistem im smo trivijlo rešeje L 0 ko i smo ko det( A) 0. Homogei sistem im i etrivijlo rešeje ko i smo ko det( A ) 0. Primer: Homogei sistem jedči im smo trivijlo rešeje ( 0,0,0 ), jer je + z 0 0 + + 4z 0 ( S ) D 0 6 0. 4..4 MAT RIČNI METOD ZA REŠAVANJE SISTEMA L INEARNIH J EDNAČI NA Dt je sistem od jedči s promeljivih: + + L + b + + L + b M + + L + b Sistem se može pisti u mtričom obliku ko: AX B 5

gde je L b b A L, X, B. M L b m Pod pretpostvkom d je mtric A regulr, tj. d joj je determit rzličit od ule, sistem im jedistveo rešeje X A B. Primer: Rešiti sistem jedči + z + + z z A B X z AX B A AX A B IX A B X A B A A A 5 det A 9, dja A A A 0 A A A 5 5 dja A 0, det A 9 5 5 8 X A B 0 8 9 9 5 9,, z,, 8 8 9 9 X A B (,, z) (,,) 54

4. VEKTORI 4. POJAM VEKTORA. OSNOVNE OPERACIJE S VEKTORIMA Def: Vektori su veličie određee svojom dužiom (brojom vredošću), svojim prvcem i smerom. Vektor se predstvlj r uuur uređeim prom tčk, pr. ( A, B ) i ozčv se s AB. B Def: Z dv vektor kžemo d su jedki ko imju istu dužiu, isti prvc i isti smer. Def: Slobodim vektorom se ziv vektor koji se sme pomerti tko d mu se pri tom e mej i duži, i prvc, i smer; tkvo pomerje se ziv trslcij. Duži vektor (itezitet, modul, ili psolut vred.) ozčv se s AB ili. Nul-vektor je vektor čij je duži jedk uli; smim tim prvc mu ije određe; ozčv se s 0. A uur r Vektor čij je duži zove se jediiči vektor ili ort. Kžemo d je 0 ort ko vektor uur 0 im istu početu tčku, isti prvc i smer ko i vektor i 0. 0 Sbirje vektor. Nek su r i b r dv proizvolj vektor (rzličit od ul-vektor). Ako se vektor b r trsltoro pomeri tko d mu se počet tčk poklopi s krjem vektor r, dobićemo doveze vektore r i b r. Def: Zbir dv dovez vektor r i b r r r r je treći vektor c + b kome je početk u početoj tčki vektor r, krj u krjjoj tčki vektor b r. 55

+ b b b + b Dv slobod vektor se mogu sbirti i po tzv. pricipu prlelogrm sil, ko se prethodo jed od jih trsltoro pomeri tko d mu se počet tčk podudri s početom tčkom drugog vektor. Vektori koje sbirmo zovu se kompoete, jihov zbir rezultt. Defiicij zbir dv vektor proširuje se zbir kočo mogo dovezih vektor: uuur uuuur uuuuuur uuuur AA A A A A AA. + +... + k k k Sbirje vektor im sledeć svojstv:. + b b + - komuttivost. ( + b) + c + ( b + c) - socijtivost. + 0, - 0 je eutrli vektor pri sbirju 4. + ( ) 0 - z svki vektor postoji suprot vektor ( ), koji im istu dužiu i prvc, li suprot smer. N osovu svojstv 4. uvodi se opercij oduzimj vektor ko opercij suprot operciji sbirj, tj. rzliku dv proizvolj vektor i b defiišemo ko zbir vektor i vektor ( b), suprotog vektoru b : b + ( b) b -b -b Rzlik dv vektor OB i OA, koji imju zjedički početk je vektor OB OA AB. 56

B O A Možeje vektor sklrom. Def: Ako je 0 i rel broj λ 0, td je λ vektor čiji je prvc isti ko i prvc vektor, modul je λ, smer mu je isti ko i smer vektor ko je λ > 0, odoso suprot smeru vektor ko je λ < 0. Z svki vektor 0 možemo pisti d je: ort. Možeje vektor relim brojem im sledeć svojstv:., ;. λ ( µ ) ( λµ ) ;. λ ( + b) λ + λb ; 4. ( λ + µ ) λ + µ. Def: Uglom između dv vektor i b (ozk: (, b) ) zivmo jmji ugo z koji jed od tih vektor treb d se obre oko zjedičke počete tčke d bi se poklopio (, b) 0,π, z s drugim vektorom. Dkle, z proizvolje vektore i b uvek je [ ] koliere vektore je tj ugo 0 ili π. b ϕ 57

Def: Orijetisom prvom ili osom zivmo prvu z čije se bilo koje dve tčke z koj je prethod koj sledeć, tj. z koju je utvrđe pozitiv smer. Os se može okrkteristi i svojim jediičim vektorom. Os kojoj je utvrđe počet tčk 0 i tčk čije je odstojje od počete tčke jedko zove se koordit os. Def: Algebrsk vredost AB vektor AB dtoj osi je broj + AB ko je smer vektor AB isto ko i smer ose, odoso broj suprot smeru ose. AB ko je smer vektor AB Def: Projekcij vektor AB orijetisu ili eorijetisu prvu ili rv je vektor A B čiji je početk A projekcij počete tčke A, B projekcij krjje tčke B dtog vektor AB. B B A A A B A B Def: Def: Lier zvisost i ezvisost vektor Z dv vektor i b kžemo d su kolieri ko imju isti prvc, tj. λb ( λ 0), ili, drugčije rečeo, ko postoje tkvi sklri α i β, β 0 α α + β b 0, tj. b β 58, d je: Z tri ili više vektor kžemo d su komplri ko leže u jedoj rvi (ili ko leže u prlelim rvim). D bi tri vektor, b i c bili komplri treb d postoje tkvi sklri α, β i γ (pri tom br jed od jih rzličit od ule) d je zdovolje jedkost: α + β b + γ c 0. Npome: Zbir α + β b, odoso α + β b + γ c predstvlj tzv. lieru kombiciju vektor i b, odoso vektor, b i c.

Def: (koji isu istovremeo jedki uli) d je zdovolje jedkost: β α + β b 0, tj. λb ( λ, λ 0) α Prem tome, dv vektor su liero zvis ko i smo ko su kolier. U opštem slučju kžemo d su vektori,,..., liero zvisi ko postoje tkvi sklri λ, λ,..., λ (koji isu svi jedki uli) d je odgovrjuć lier kombicij uvek jedk uli: Z vektore i b kžemo d su liero zvisi ko postoje tkvi sklri α i β + λ +... + λ λi i 0 i λ. U suprotom kžemo d su vektori liero ezvisi. Dkle, dv liero zvis vektor su kolier, dv liero ezvis vektor su ekolier (obrzuju kos ugo). Svk tri liero ezvis vektor obrzuju triedr (trostri roglj). Pretpostvimo d triedr obrzuju tri jediič vektor e, e, e čiji prvci određuju koordite ose, dok im je zjedički početk O koorditi početk. Ako su, osim tog, ovi jediiči vektori i uzjmo ortogoli, od oi obrzuju trodimezioi prvougli Dekrtov koorditi sistem. Uobičjeo je d se trodimezioi prvougli koorditi sistem određuje jediičim vektorim i, j, k koji respektivo leže osm O, O, Oz (koje se zivju pscis os, ordit os i os plikt). z k i j 59

4. SKALARNI PROIZVOD VEKTORA Def: Sklrim (uutršjim) proizvodom dv vektor zivmo proizvod jihovih modul i kosius ugl određeog tim vektorim. Sklri proizvod vektor i b je sklr i ozčvmo g s b b cos(, b) b cosα, r r gde je:, S (, b) α ugo između vektor i b. b, (, b) ili b. Dkle: Primetimo d sklri proizvod možemo pisti u obliku: odoso b b ( b cos(, b)) b ( cos(, b)) gde je b cos(, b) lgebrsk vredost projekcije vektor b vektor, dok je cos(, b) lgebrsk vredost projekcije vektor vektor b. r r r r r r b projr b b cos(, b) r Def: Sklri proizvod dv vektor je proizvod modul jedog vektor i lgebrske vredosti projekcije drugog vektor prvi vektor. Svojstv sklrog proizvod:. b b - komuttivost.. (, b 0) b 0 cos(, b) π - uslov ortogolosti 4. ( + b) c c + bc - distributivost u odosu sbirje vektor 5. λ 0, λ R, ( λ) b λ( b) Rzlgje vektor u prvcu koorditih os Ako je dt proizvolji vektor r, td će lgebrske vredosti jegovih projekcij i, j, k ), biti: koordite ose O, O i Oz,(čiji su jediiči vektori { } r r i uur r r r r r r cosα, j cos β, k cosγ 60 z,

gde su α, β i γ uglovi koje vektor r obrzuje redom s vektorim i r, j r i k r (ortoormire bze). k γ β j i α Uslov ortogolosti vektor r i b r r r glsi: b 0. U Dekrtovom koorditom sistemu s bzom { i j, k} r {,, z} i b { b, b, bz} r je:, sklri proizvod vektor b ( i + j + k)( b i + b j + b k) b + b + b, z z z z stog je z b : + +, z tj. modul vektor r je + +. z U ortoormirom koorditom sistemu u -dimezioom prostoru je sklri proizvod r vektor {,,..., } i b { b, b,..., b }: r r b b + b +... + b ibi modul vektor : i i i 6

4. VEKTORSKI PROIZVOD VEKTORA r r r Def: Vektorski (spoljšji) proizvod dv ekolier vektor i b je vektor c b koji im: - modul jedk površii prlelogrm koji određuju i b - prvc ortogol vektore i b - smer tkv d vektori, b i c obrzuju desi triedr. c P b bsiα b Vektorski proizvod vektor i b se ozčv s c b, td je: b (ili, b, [, b] ). Dkle, ko je c b b si(, b) Ako je b 0 (, b 0) si(, b) 0, tj. td su vektori i b kolieri. Svojstv vektorskog proizvod:. b b (pri tom je b b ) - e vži komuttivost. λ b λ( b), z svki sklr λ. ( + b) c c + b c 4. 0, 0 5. b 0 (, b 0) λb ( λ 0). Ako su i b dv proizvolj vektor zdt svojim koorditm u ortoormiroj bzi i j, k,, b b, b, b, td je vektorski proizvod vektor ib : { } tj., : { }, { } z z r r r r r r r r r r r b ( i + j + k)( b i + b j + b k) ( b b ) i ( b b ) j + ( b b ) k z z z z z z 6

b i b b j k b z z koordite vektorskog proizvod dtih vektor su: { b b, b b b b } b, z z Vidimo d vektorski proizvod vektor i b predstvlj vektor c, c b ( 0) koji svojim prvcem određuje položj, svojim smerom orijetciju, svojim modulom veličiu (površiu) prlelogrm koji obrzuju vektori i b. Dkle, površi orijetisog prlelogrm može se predstviti pomoću određeog ormlog vektor z z ( ) : S S. S b S 4.4 MEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA r r r b c sklr Def: Nek je Mešoviti proizvod tri vektor, b i c je sklr koji ozčvmo s ( b) c (, b, c) i koji je jedk zpremii V prlelopiped obrzovog d vektorim, b i c ko je triedr, b, c dese orijetcije, ko je leve orijetcije, td je ( b) c V. h b, h0 ort h, tj. h 0 ort ( b) ; možemo pisti d je b b h0, b je meri broj B površie prlelogrm d vektorim i b. Dkle, b b) c B h0 c B ( h c) B c cosδ, B ( 0 6

gde je c cos δ H lgebrsk vredost projekcije vektor c prvc jediičog vektor h 0 ; pri tom je H > 0 ko je 0 < δ < π (tj., b i c obrzuju desi triedr), i H < 0 ko je π < δ < π (tj., b i c obrzuju levi triedr), H je visi prlelopiped s osovom B. ( b) c B H V, gde zk sklr V zvisi od orijetcije uređee trojke, b i c. h h 0 δ c b Svojstv mešovitog proizvod:. ( b) c c ( b). ( b) c ( b ) c. ( λ b) c λ[( b) c] 4. ciklič prome mest vektor u mešovitom proizvodu e mej jegovu vredost jer je svejedo koju stru prlelopiped uzimmo z osovu, pod uslovom d odgovrjući triedr e mej orijetciju: ( b) c ( b c) ( c ) b 5. Uslov komplrosti tri vektor, b i c je d je jihov mešoviti proizvod jedk uli: ( b) c 0. Ako su vektori zdti koorditm c + + c i + c j c k, td je jihov mešoviti proizvod: i + j k, b i + b j b k i b + ( b) c b b b, ( b) c b b b 0 c c c c c c 64

Ako su ov tri vektor liero zvisi odoso komplri (leže u istoj rvi) od je jihov mešoviti proizvod jedk uli. 65

6. F U N K C I J E J E D N E P R O M E N L J I V E Nek su A i B proizvolji skupovi. Preslikvje ili fukcij : f A B predstvlj zko korespodecije pomoću kog se proizvoljom elemetu skup A dodeljuje eki elemet skup B :, A, B. Elemet A ziv se origil, B jegov slik. Skup A A oih elemet iz A kojim su korespodiri elemeti skup B ziv se oblst defiisosti fukcije f : A B, ili dome D te fukcije. Skup B B oih elemet iz B kojim su korespodiri elemeti skup B ziv se oblst vredosti fukcije f : A B, ili kodome D te fukcije. Z fukciju f : A B kžemo d je jedozč ko se bilo kojem elemetu iz skup A korespodir jviše jed elemet iz skup B.. Tbliči či zdvj fukcije. Zdvje fukcije jeim grfikom. Zdvje fukcije litičkim izrzom 4. Zdvje fukcije pomoću prmetr Nčii zdvj fukcij 5. REALNE FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE Pod relom fukcijom podrzumev se svko preslikvje f : A B,gde je A R, B R Kod relih fukcij dome je skup A R, kodome B R. Odrediti domee fukcij + Zjući d imeilc rzlomk mor d bude rzličit od 0, zključujemo d izrz u imeiocu 0, odkle dobijmo D R \ ili Primer:. f ( ) uobičje je zpis (,) (, ). Prem tome dome fukcije je skup { } Primer. 4 4 0 ( ) ( ) 0 [, ] +. 66

Primer. l > 0 ( 0, ) Primer 4. e R. Primer 5. Odrediti kodome fukcije si [,] Vžije osobie fukcij Fukcij f je ogriče skupu A D., ko vži (, ), m M R A m f M Geometrijski ovo zči d se grfik fukcij lzi izmđu dve prve m i M + Primer 6. Ispitti ogričeost fukcije f ( ) 0 < + Kko je z ( R) fukcij je ogriče itervlu ( 0, ] Nule fukcije su tčke u kojim fukcij im vredost ul. Nule fukcije su tčke presek fukcije s O osom Odrediti ule fukcije Primer 7. 4, 0 4 0,. + 8 Primer 8. + l, 0 l 0, l, + e. Primer 9. e, 0, fukcij em ule. Prost fukcije Fukcij f ( ) z koju je f ( ) f ( ) ziv se prom fukcijom. Nje grfik je simetrič u odosu osu O. Ukoliko je f ( ) f ( ), td se tkv fukcij ziv eprom i je grfik je simetrič u odosu koorditi početk O. Ako je f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), od je fukcij i pr i epr. Primer 0. f ( ) f ( ) ( ) f ( ) fukcij je pr. 67