Osječki matematički list 13 (2013), 1-13 O nultočkama polinoma oblika x n x 1 Luka Marohnić Bojan Kovačić Bojan Radišić Sažetak U članku se najprije z

Транскрипт

1 Osječki matematički list 3 03), -3 Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić Sažetak U člaku se ajprije za svaki priroda broj pokazuje da poliom π x) = x x ima jedistveu pozitivu realu ultočku ϕ. Zatim se dokazuju eka svojstva iza brojeva ϕ ) i daje se jeda moguća formula za približo izračuavaje brojeva ϕ. Ključe riječi: poliom, ultočka, iz, zlati rez, plastiča kostata, aproksimacija, Newtoova metoda O the roots of polyomials x x Abstract I this article it is firstly show that for every atural umber the polyomial π x) = x x has uique positive real root ϕ. The some properties of the sequece ϕ ) are proved ad oe possible approximatio for the umbers ϕ is give. Keywords: polyomial, root, sequece, golde ratio, plastic umber, approximatio, Newto method Tehičko veleučilište u Zagrebu, Vrbik 8, Zagreb, luka.marohic@tvz.hr Tehičko veleučilište u Zagrebu, Vrbik 8, Zagreb, boja.kovacic@tvz.hr Veleučilište u Požegi, Vukovarska 7, Požega, bradisic@vup.hr

2 Uvod Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić Jeda od ajpozatijih izova prirodih brojeva svakako je Fibboaccijev iz prirodih brojeva F ) N defiira rekurzivo izrazom: { F = F + F za 3, F = F =. Prvih ekoliko člaova toga iza su:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,.... Bietova formula za opći čla Fibboaccijevog iza glasi: F = [ ) ) ]. Iz Bietove formule slijedi: F lim + = + 5 = = ϕ. F gdje je ϕ pozat kao zlati rez. Lako se pokazuje da je ϕ rješeje jedadžbe x x = 0. Više o Fiboaccijevom izu može se proaći u [7]. Osim Fiboaccijevog iza, promatra se i Padovaov iz. To je iz prirodih brojeva P ) N defiira rekurzivo izrazom: { P = P + P 3 za 4, P = P = P 3 =. Prvih ekoliko člaova toga iza su: Opći čla da je formulom:,,,,, 3, 4, 5, 7, 9,,.... P = C x + C x + C 3x 3 pri čemu su C, C i C 3 kostate, a x, x i x 3 rješeja jedadžbe: x 3 x = 0.

3 Jedio realo rješeje gorje jedadžbe x = = ψ aziva se plastiča kostata ili plastiči broj koji se često iterpretira kao: ψ = lim P + P Više o Padovaovom izu može se proaći u [6]. U ovom ćemo člaku promatrati ultočke polioma oblika x x, gdje je N. Primijetimo da se za = dobije poliom p x) = x x kojemu je jeda od realih ultočaka upravo zlati rez, dok se za = 3 dobije poliom p 3 x) = x 3 x kojemu je jedia reala ultočka upravo plastiča kostata. Te dvije kostate bit ce prva dva člaa iza realih brojeva čiji će opći čla biti jedistvea strogo pozitiva ultocka polioma p x) = x x. Navest cemo i postupak kojim se efektivo može približo izračuati svaki čla avedeoga iza. Napomeimo da je užo postaviti uvjet jer za = dobivamo kostatu fukciju p x) = koja ema iti jedu realu ultočku. Poliomi π Za svaki priroda broj defiiramo poliom π formulom π x) = x x. ) Na slici prikazai su grafovi prvih pet takvih polioma. Teorem.. Za svaki priroda broj poliom π ima jedistveu strogo pozitivu jedostruku realu ultočku α,. Dokaz. Primijetimo da za svaki vrijedi 3 3 = > 0. Poliom π je eprekida fukcija a cijeloj svojoj domei skupu R), pa posebo i a segmetu [, ]. Očito je π ) = i π ) = 3, pa prema gorjoj primjedbi slijedi π ) π ) < 0. Stoga a restrikciju polioma π a segmet [, ] možemo primijeiti Teorem 5. vidi Dodatak), odakle dobivamo da postoji barem jeda reala broj α, za koji vrijedi π α) = 0. Ovime smo dokazali egzisteciju broja α. Ispitajmo tijek restrikcije polioma π a iterval 0, +. Ozačimo tu restrikciju s p. Prva derivacija te restrikcije je p x) = x, a jezia 3

4 Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić y 0 = = 3 = 4 = 5 = 6 0 x Slika : Grafovi polioma π za =, 3,... 6 jedistvea reala ultočka x 0 = > 0. Koristeći Teorem 5., za imamo x 0 = = < =. Dakle, x 0 0,. Druga derivacija fukcije p je p x) = )x. Lako se vidi da vrijedi ejedakost p x 0 ) > 0 jer su sva tri faktora strogo pozitivi reali brojevi. Iz Teorema 5.3 tada slijedi da p poprima lokali miimum za x = x 0. Odatle slijedi da p strogo raste a itervalu x 0, +, pa posebo i a itervalu, +. To zači da p ima ajviše jedu realu ultočku koja pripada tom itervalu. Raije smo pokazali da p ima barem jedu ultočku α koja pripada itervalu,, a samim tim i itervalu, +. Odatle slijedi jedistveost ultočke α. Preostalo je dokazati jedostrukost. Pokazali smo da jedia moguća strogo pozitiva reala ultočka fukcije p pripada itervalu 0,, te da je α,. To zači da mora vrijediti p α) = 0, a odatle slijedi jedostrukost ultočke α. Teorem.. Za priroda broj vrijedi sljedeće:. ako je para, poliom π ima jedistveu strogo egativu realu ultočku β, 0 ;. ako je epara, poliom π ema strogo egativih realih ultočaka. 4

5 Dokaz. Dokaz ovoga teorema teče aalogo dokazu Teorema., pa ga prepuštamo čitatelju. 3 Pozitive reale ultočke polioma π i jihova svojstva Ozačimo s ϕ pozitivu realu ultočku polioma π, čija je egzistecija i jedistveost osiguraa Teoremom.. Time smo zadali iz realih brojeva ϕ ) u itervalu,. Propozicija 3.. Broj ϕ je iracioala za sve. Dokaz. Prema Teoremu. vrijedi ϕ,. Stoga je ϕ / Z, pa iz Teorema 5.5 slijedi ϕ / Q. Za iz jedakosti π ϕ ) = 0 slijedi važo aditivo svojstvo brojeva ϕ : + ϕ = ϕ, ) koje ćemo često koristiti u astavku teksta. Propozicija 3.. Niz ϕ ) je strogo padajući. Dokaz. Pretpostavimo da postoji priroda broj takav da vrijedi ϕ + ϕ. Odavde potecirajem slijedi Iz ) dijeljejem s ϕ slijedi ϕ + ϕ. 3) ϕ = ϕ +. 4) Primjeom ) i 4) a ejedakost 3) zaključujemo da vrijedi ϕ + + ϕ + ϕ ϕ +. 5) Prema Teoremu. je ϕ k, za svaki priroda broj k, odakle slijedi ϕ ϕ + > što je u proturječju s 5). Dakle, polaza je pretpostavka pogreša, pa mora biti ϕ + < ϕ za sve kako se i tvrdilo. Lema 3.. Za svaku ultočku z C polioma p = ϕ vrijedi z < ϕ. 5

6 Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić Dokaz. Pretpostavimo da je para i da je z jedaka egativoj realoj ultočki β, 0 koja postoji prema Teoremu.. Kako prema Teoremu. vrijedi ϕ,, imamo z < < ϕ. Pretpostavimo sada da je z = x + iy = ϕ, y = 0 kompleksa ultočka polioma π i ozačimo r = z = x + y. Lako se vidi da je x < r, što uz π z) = 0 i ) povlači r = z = z + = x + ) + y = x + x + + y < < x + r + + y = r + r + = r +, odakle slijedi r r < 0 odoso π r) < 0. Zbog π x) 0 za sve x ϕ je tada r < ϕ što je i trebalo pokazati. Teorem 3.. Neka je priroda broj proizvolja, ali fiksira. Tada za iz cijelih brojeva f k defiira pravilom )k N f k = {, k, f k + f k +, k >, 6) vrijedi lim k f k+ f k = ϕ. Dokaz. Pravilo 6) ispujava uvjete Teorema 5.6, pa vrijedi f k = m p j k) r k j, k N 7) j= gdje su r, r,..., r m međusobo različite ultočke karakterističog polioma κx) = x x i deg p j je maji od kratosti ultočke r j za sve j =,,..., m. Budući da je κ = π, jeda od brojeva r j mora biti jedak ϕ. Bez smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da je to r. Prema Teoremu. kratost ultočke r jedaka je. Dakle, vrijedi deg p = 0 odoso p k) = C za eki C R i sve k N. Nadalje, iz Leme 3. slijedi 6

7 r j r r = j ϕ < za sve j =, 3,..., m. Sada koristeći Teorem 5.4 imamo m f lim k+ j= p j k + ) r k+ j = lim k f k k m j= p j k) r k j kako se i tvrdilo. r k+ r k+ = r C + m j= lim rj k p j k + ) C + m j= lim k p j k) m j= = p rj j k + ) lim k r ) k+ rj r ) k = r r m j= p j k) r ) k+ rj r ) k = C C = r = ϕ, Niz brojeva 6) podudara se s Fiboaccijevim izom F k ) k za = odoso s Padovaovim izom P k ) k za = 3. Napomeimo da se ekoliko općeitih svojstava izova f k ) k može proaći u [4]. 4 Približo izračuavaje brojeva ϕ Za svaki priroda broj ozačimo Tada vrijedi sljedeća lema. δ x) = x + + l,. 8) Lema 4.. Za proizvolja ε > 0 postoji N N takav da za sve prirode brojeve > N vrijedi δ ε) < ϕ < δ ε). 9) Dokaz. Defiiramo iz fukcija ρ k ) k takav da za svaki priroda broj k vrijedi ρ k : 0, + R i ρ k x) = π k + x ). 0) k Lako se provjeri da je Ozačimo ρ k x) = + x ) k x. ) k k ρx) = e x. ) 7

8 Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić Može se pokazati da vrijedi vidi [], str. 70. i 7.) odakle lako dobivamo ρx) = lim k ρ k x). Odaberimo proizvolja ε > 0 i ozačimo lim k + x k ) k = e x, x R, 3) a = l ε, b = l + ε. 4) Budući da je fukcija x e x strogo rastuća, to je i fukcija ρ strogo rastuća. Pritom je x = l jedia ultočka fukcije ρ, pa vrijedi ρa) < 0 i ρb) > 0. 5) Ozačimo r = mi { ρa), ρb)}. Iz 5) slijedi r > 0. Budući da je fukcija ρ limes iza fukcijâ ρ k ) k, prema defiiciji limesa iza postoji priroda broj k a takav da za svaki k > k a vrijedi ejedakost ρ k a) ρa) < r. Odatle slijedi da brojevi ρ k a) i ρa) imaju isti predzak, pa zbog 5) zaključujemo da vrijedi ρ k a) < 0. Aalogo, postoji priroda broj k b takav da za svaki k > k b vrijedi ρ k b) ρb) < r, pa su brojevi ρ k b) i ρb) istoga predzaka što zbog 5) zači da je ρ k b) > 0. Stavimo li N = max{k a, k b }, zaključujemo da za svaki k > N vrijede ejedakosti ρ k a) < 0, ρ k b) > 0. 6) Neka je zada priroda broj > N. Iz 6) i čijeice da je poliom π strogo rastući a itervalu, +, koju smo dokazali u okviru dokaza Teorema., dobivamo + a < ϕ < + b. Koristeći 8) lako se provjeri da vrijede jedakosti δ ε) = + a i δ ε) = + b, pa odatle slijedi tvrdja leme. 8

9 Teorem 4.. Vrijede sljedeće jedakosti: a) lim ϕ =, b) lim ϕ ) = l. Dokaz. Neka je ε > 0. Prema Lemi 4. postoji N N takav da za sve prirode brojeve > N vrijede ejedakosti 9). Primijetimo da je lim δ ±ε) =. Odavde i iz 9) slijedi lim ϕ =, čime smo dokazali jedakost a). Dokažimo i jedakost b). Najprije za imamo ϕ ) = ϕ l + l ) = = ϕ δ 0) + l ) = ϕ δ 0)) + l, odakle slijedi ϕ ) l = ϕ δ 0). 7) Prema Lemi 4. postoji M N takav da za sve prirode brojeve > M vrijedi δ ε ) ε ) < ϕ < δ, 8) a budući da je δ strogo rastuća fukcija, iz ε < 0 < ε imamo i Po defiiciji fukcije δ vrijedi δ ε δ ε ) ε ) < δ 0) < δ. 9) ) δ ε ) l + ε/ l ε/ = + = ε, što zajedo s ejedakostima 8) i 9) povlači da se ϕ i δ 0) alaze u istom otvoreom itervalu δ ε ), δ ε ) širie ε/, odoso ϕ δ 0) < ε za sve > M. 0) Jedakost 7) i ejedakost 0) zajedo daju ϕ ) l < ε za sve > M, pa zaključujemo da je broj l limes iza ϕ )) što je i trebalo pokazati. 9

10 Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić Za svaki priroda broj defiiramo u = δ 0) = + l, v = + δ 0) = + l. ) Istakimo dva začaja svojstva iza u ). Vrijedi sljedeća propozicija. Propozicija 4.. Za gore defiira iz u ) i iz ϕ ) vrijedi: a) lim ϕ u ) = 0. b) lim ϕ u ϕ = 0. Dokaz. Tvrdja a) slijedi izravo iz 0). Dokažimo b). Prema Teoremu 4. b) imamo lim ϕ u ϕ = lim ϕ l l = lim ϕ ϕ ) = l = lim ϕ ) = l l = 0, kako se i tvrdilo. Iz tvrdje b) Propozicije 4. zaključujemo da udaljeost ϕ u između brojeva ϕ i u teži uli brže ego što decimali dio ϕ ) broja ϕ teži uli kada. Dakle, za vrijedi ϕ u, pri čemu je aproksimacija to bolja što je veći. Propozicija 4.. Za svaki priroda broj vrijedi u < v < ϕ. Dokaz. Neka je x pozitiva reala broj i priroda broj. Ozačimo y = + x ). Prema 3), vrijedi lim y = e x. ) 0

11 Zapišimo + )-vi korije broja y u obliku: + y = + + x ) = + + x ) + x ) + x ). Izraz s dese strae možemo shvatiti kao geometrijsku srediu + ) strogo pozitivih realih brojeva. Primijeimo A-G ejedakost prema kojoj aritmetička sredia strogo pozitivih realih brojeva ije maja od jihove geometrijske sredie. Dobivamo: + y + + x ) ) ) + + x x = + = + + x ) = + x + + = + y +. Budući da je prema Teoremu 5. opća potecija x x + = + x strogo rastuća fukcija, odatle slijedi y y +. Stavimo li x = l, zbog prve jedakosti u ) zaključujemo da vrijedi y = u = + l jedakosti ) vrijedi lim u = e l =. U Teoremu. dokazali smo da je ϕ >, pa slijedi: u < + ϕ = ϕ, 3) odakle je u < ϕ. Dalje račuamo u < ϕ + u < + ϕ v < ϕ v < ϕ. ). Zbog Aalogom argumetacijom kao u slučaju ejedakosti 3) zaključujemo u < + l = v, odakle je u < v. Dakle, vrijedi u < v < ϕ kako se tvrdilo. Prema Propoziciji 4., broj v bolje aproksimira ϕ ego u. Tablica prikazuje ϕ, aproksimacije u i v, te odstupaje ϕ v za =, 3,..., 0. Pri izračuavaju brojeva v korištea je približa vrijedost l) Dodatak U ovom su odjeljku avedei iskazi ekih općih rezultata iz područja matematičke aalize koji su korištei u tekstu.

12 Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić ϕ u v ϕ v Tablica : Aproksimacija ekih vrijedosti brojeva ϕ brojevima u i v, te pripada apsoluta pogreška aproksimacije v Teorem 5.. Fukcija opće potecije f x) = x c je strogo rastuća za c > 0, a strogo padajuća za c < 0. Dokaz. Vidi [], str. 93. Teorem 5.. Neka je f : [a, b] R eprekida fukcija i f a) f b) < 0. Tada postoji točka c a, b takva da vrijedi f c) = 0. Dokaz. Vidi [], str. 3. Teorem 5.3. Neka je fukcija f : a, b R dvaput derivabila u točki c a, b i eka je f c) = 0. a) Ako je f c) < 0, tada fukcija f ima lokali maksimum za x = c. b) Ako je f c) > 0, tada fukcija f ima lokali miimum za x = c. Dokaz. Vidi [], str. 4. Teorem 5.4. Neka je P bilo koji poliom s realim koeficijetima. Tada za svaki a 0, vrijedi lim x Px) ax = 0. Dokaz. Tvrdja se može dokazati primjeom L Hôpitalovog pravila. Za detalje vidjeti [], str. 0. Teorem 5.5. Poliom s cjelobrojim koeficijetima kojemu je vodeći koeficijet jedak ima racioalu ultočku ako i samo ako ima cjelobroju ultočku.

13 Dokaz. Vidi [3]. Teorem 5.6. Neka su prvih člaova iza a k ) k N proizvolji ali fiksirai i eka za k > vrijedi rekurziva relacija s kostatim koeficijetima a k = c a k + c a k + + c a k. Ako s r, r,..., r m ozačimo sve međusobo različite komplekse) ultočke karakterističog polioma κx) = x c x c, tada za svaki j =,,..., m postoji jedistvei poliom p j s kompleksim koeficijetima takav da je deg p j maji od kratosti ultočke r j i vrijedi za sve k N. Dokaz. Vidi [8]. Literatura a k = p k) r k + p k) r k + + p mk) r k m [] S. Kurepa: Matematička aaliza - difereciraje i itegriraje, Školska kjiga, Zagreb, 997. [] S. Kurepa, Matematička aaliza - fukcije jede varijable, Tehička kjiga, Zagreb, 990. [3] B. Pavković, D. Velja, Elemetara matematika, Tehička kjiga, Zagreb, 990. [4] V. Krčadiac, A ew geeralizatio of the Golde ratio, The Fiboacci Quarterly ), , javo dostupo a uizg.hr/~krcko/pub/golde.pdf [5] L. Marohić, T. Strmečki, Plastic Number: Costructio ad Applicatios, zborik radova koferecije ARSA Advaced Research i Scietific Areas) 0, 53 58, javo dostupo a: archive/?vid=&aid=3&kid=600-09&q=f [6] B. Kovačić, L. Marohić, R. Opačić, O Padovaovu izu, Osječki matematički list 3/ 03), -9, javo dostupo a hr/file/55996 [7] A. Dujella: Fiboaccijevi brojevi, Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb, 000. [8] javo dostupo