Title

Транскрипт

1 . Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu da medu jima zamo ko je prvi, drugi, stoti itd. Začeje riječi red iz svakodevog govora ema i sličo začeje toj riječi u matematičkom govoru jer riječ red u matematici zači sumiraje objekata. Termi umerički, odosi se a to da ćemo mi u ovoj glavi posmatrati isključivo izove brojeva i sumiraja brojeva. Kokretije, posmatrat ćemo samo izove ralih brojeva i jihova sumiraja, pa bi ovdje još preciziji termi bio reali umerički izovi i redovi. Nizovi i redovi u matematici imaju jako dugu istoriju još iz doba Arhimeda i jegovog djela Method of Exhaustio, u kome se o koristi tim pojmovima u približom izračuavaju broja π i u izračuavaju površia geometrijskih figura.. Numerički izovi.. Defiicija i osovi pojmovi Pod izom realih brojeva podrazumijevamo beskoaču uredeu listu realih brojeva, koje azivamo člaovima iza i koji su ideksirai prirodim brojevima. Ovo eformalo iskazivaje uobličavamo formalom defiicijom iza. Defiicija.. Svako jedozačo preslikavaje a : N R, skupa prirodih brojeva u skup realih brojeva, azivamo realim izom. Broj koji se ovim preslikavajem dodjeljuje prirodom broju ozačavamo sa a(), ili češće sa a i azivamo ga -ti čla iza. Pri tome broj u ozaci a azivamo ideksom člaa iza. Ako je specificiraa zavisost a od, oda se a aziva opštim člaom iza. Arkhimedes iz Sirakuze, oko pe., grčki fizičar, astroom i jeda od ajvećih matematičara starog vijeka.

2 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Za iz čiji su člaovi a,a,...,a,... koristit ćemo ozaku (a ) N, (a ) = ili kratkoće radi samo (a ). Primjer. Niz,,3,...,, +,... je iz prirodih brojeva i kraće ga zapisujemo sa () N. Ili, (x ) N, čiji je opšti čla zadat sa x =. Niz,3,5,..., +,... je iz eparih prirodih brojeva sa zapisom ( ) = ili (a ) = sa opštim člaom a =. Niz,4,9,6,5,... je iz kvadrata prirodih brojeva sa zapisom ( ) N ili (z ) N sa opštim člaom z =. Niz je potpuo odrede svojim opštim člaom i tada kažemo da je iz zadat u eksplicitoj formi. Naprimjer, ako je opšti čla iza dat sa x = +, člaovi iza su, 3, 3 4,..., a jegova potpua odredeost se ogleda u tome da ako želimo odrediti stoti čla ovog iza, jedostavim izračuavajem za ideks iza = 00 dobijamo x 00 = Primjer. Dat je iz sa opštim člaom a = cos π 3. Prvi čla iza je a = cos π 3 =, drugi čla je a = cos π 3 =. Šezdeseti čla iza je a 60 = cos 60π 3 =. Prostim izračuavajem člaova ovog iza vidimo da su oi,,,,,,,,,,,,,,,,,,,... Primjetimo da dati iz ima samo četiri različite vrijedosti, tojest kodome preslikavaja je skup {,,, }, ali dati iz ima beskoačo mogo člaova. Skup vrijedosti ekog iza (x ) N je skup {x N} i treba ga razlikovati od samog iza. Naprimjer, za iz sa opštim člaom x = ( ), skup vrijedosti iza je {,} (kodome preslikavaja), ali iz je predstavlje sa,,,,,,... i čii ga beskoačo mogo člaova koji se poavljaju. Nizovi su često zadati u formi gdje eki čla iza izračuavamo preko ekih mu predhodećih člaova iza. Ovakav ači azivamo rekureto zadavaje iza. Jeda od ajpozatijih izova je tzv. Fiboaccijev iz koji se zadaje u formi x + = x + + x, x =, x = ( N, 3). Dakle, svaki čla iza odredujemo kao zbir jemu prethodeća dva člaa iza (datu jedačiu azivamo rekureta ili difereta jedačia), a to uslovljava da moramo tačo odrediti šta su prva dva člaa iza. Pokazuje se da je u ovom slučaju moguće doći i do eksplicitog oblika ovog iza, ( x = 5 + ) ( 5 5 ) 5, ( N). Zbog jihove česte primjee (moge pojave opisae su ovakvim vezama), ispitivaje izova ovako zadatih se izdvojilo u posebu oblast koja se aziva diferete jedačie. Za odredivaje iza ije eophodo da postoji formula kojom se eksplicito odreduje opšti čla x u zavisosti od. Naprimjer, ako je x -ti po redu prost broj, iz (x ) je korekto defiisa, iako e zamo formulu za odredivaje -tog člaa tog iza. Isto tako možemo govoriti da je iz Leoardo Fiboacci - (70-50) italijaski matematičar

3 . Numerički izovi 3 (a ) zadat tako da je a -ta cifra u decimalom razvoju broja, mada formulu za -tu cifru tog razvoja e zamo eksplicito. Zati koačo mogo prvih člaova iza ije dovoljo za jedozačo odredivaje iza. Naprimjer, ako je dato prvih pet člaova ekog iza: 0,7,6,63,4, pravilo po kome su kostruisai ovi člaovi može ali i e mora da važi za šesti, sedmi i dalje člaove ovog iza. Primjer.3 Odgovoriti a pitaje koje se stalo pojavljuje u testovima iteligecije, astavite iz :. 0,, 0,, 0,?. 3, 5, 7,? 3.,, 3, 4,? Odgovor a postavljeo pitaje u sva tri slučaja može biti 0, a možda i bilo koji drugi broj! Iako je logiča odgovor da je astavak prvog iza broj, ako posmatramo iz sa opštim člaom x = , prvih šest jegovih člaova je 0,, 0,, 0, 0. Dakle, bez obzira koliko dugačak koača iz brojeva imamo, može se aći pravilo da sljedeći čla iza bude bilo koji broj. U drugom zadatom izu logiča odgovor je broj 9, ali ako posmatramo opšti čla x = , opet ćemo primjetiti da su prva tri člaa 3, 5 i 7, ali je četvrti opet 0. Pokušati odrediti opšti čla iza koji će imati prvih četiri člaa kao u 3., a da peti bude 0. Defiicija.. Kažemo da skoro svi člaovi iza (x ) imaju eku osobiu P ako postoji 0 N, tako da za svako 0, x ima osobiu P. Drugačije rečeo, skoro svi člaovi iza imaju osobiu P ako je imaju svi člaovi iza počev od ekog ideksa ili što je isto kao da kažemo da tu osobiu imaju svi člaovi iza osim jih koačo mogo. Primjer.4 Neka je zadat iz sa opštim člaom x =. Tada je x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 8 itd. Primjetimo da su svi člaovi ovog iza pari brojevi osim prvog člaa. Dakle, počev od ideksa 0 = svi člaovi iza su pari brojevi, te kažemo da su skoro svi člaovi ovog iza pari brojevi. Posmatrajmo iz ( 5) N. Skoro svi člaovi ovog iza su pozitivi jer za =,,3,4,5 vrijedosti su egative i ula, a za sve 6 = 0 vrijedosti su pozitive. Primjer.5 Za iz sa opštim člaom a = ( ) e možemo reći da su mu skoro svi člaovi veći od. To jeste tačo za beskoačo mogo člaova iza (svi člaovi a parim mjestima, a = ), ali za beskoačo mogo jih to ije tačo jer svi člaovi a eparim mjestima su oblika a = te su kao takvi maji ili jedaki. Predstavljaje izova Predstavljati izove možemo a dva ačia. Iz samog opisa iza kao liste brojeva dobijamo prvi ači, predstavljajući člaove iza a realoj pravoj. Tako bi iz (, 4, 6,..., 4), azačavajući tačkama člaove iza, bio predstavlje a aredoj slici x x x 3 x 4 x 5 x 6 x Slika.: Predstavljaje iza a realoj pravoj

4 4 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Predstavljati beskoače izove a ovaj ači bio bi problem jer bi se često gubila predstava o izu. Tako za iz (,,,,...) slikom bi bile predstavljee samo dvije tačke, a ozakama a i a bi sugerisali pare i epare pozicije člaova ašeg iza. Još teže bi bilo predstaviti iz ( smo samo azačili tačkama. a a Slika.: Niz a = ( ) predstavlje a realoj pravoj. ) = a 4 a 3. Ozačili bi prvih ekoliko člaova iza, a dalje člaove bi a 0 Slika.3: Nepraktičost predstavljaja iza a realoj pravoj. Bolja, pregledija varijata predstavljaja iza proizilazi iz čijeice da iz možemo shvatiti i kao preslikavaje (čak je i defiisa tako). Ovdje pod preslikavajem shvatamo čijeicu da člaove iza umerišemo po jihovim pozicijama. Tako iz (x ) = možemo predstaviti tabelom 3... k... x x x x 3... x k... Ovo zači da iz posmatramo kao preslikavaje x : N R, gdje dogovoro koristimo ozaku x, a e uobičajeu ozaku za fukcije x(). Dome ovog preslikavaja je skup prirodih brojeva i kad god je dome preslikavaja skup N, takvo preslikavaje azivamo iz. Ovo zači da iz možemo predstaviti u obliku grafa. Tako bi iz (,4,6,...,4,...), predstavlje grafom izgledao kao a sljedećoj slici a Slika.4: Grafički predstavlje iz sa opštim člaom x =. Ovo je sada puo pogodiji ači za predstavljaje beskoačih izova. Grafički predstavlje iz (,,,,...) dat je a dojoj slici (lijevo), a iz ( ) predstavlje je dojom slikom (deso). = Slika.5: Grafički predstavlje iz sa Slika.6: Grafički predstavlje iz sa opštim opštim člaom x = ( ). člaom x =. Primjetimo da sada emamo potrebu za pisajem člaova iza. Jedostavim čitajem sa lijeva u deso očitavamo člaove iza: prvi, drugi, treći itd.

5 . Numerički izovi 5.. Ograičeost iza Defiicija..3 Za iz (x ) kažemo da je ograiče odozgo ako vrijedi: ( M R)( N) x M. Defiicija..4 Niz je ograiče odozdo ako vrijedi: ( m R)( N) x m. U grafičkom predstavljaju iza, ograičeost odozgo zači da postoji horizotala liija izad koje ema vrijedosti člaova ašeg iza. Aalogo, ograičeost odozdo zači da možemo povući horizotalu liiju ispod koje ema vrijedosti člaova iza Slika.7: Niz ograiče odozgo. Slika.8: Niz ograiče odozdo. Primjer.6 Niz je zadat opštim člaom y = ( ) + ++ N, y = ( ) = + 3. ( N). Tada imamo za proizvoljo Dakle, svi člaovi ašeg iza su maji ili jedaki 3, te je iz ograiče odozgo (M = 3). Primjer.7 Niz je zadat opštim člaom x = + ( ) ( N). Kako za svako N vrijedi x = + ( ), zaključujemo da su svi člaovi ašeg iza veći ili jedaki, te je iz ograiče odozdo (m = ). Za iz koji je ograiče i odozgo i odozdo jedostavo kažemo da je ograiče iz, ili formalo, Defiicija..5 Za iz (x ) kažemo da je ograiče ako je skup svih elemeata tog iza ograiče, tojest ako postoji reala broj M 0 takav da je x M za svako N. Ovo zapisujemo sa ( M 0)( N) x M. Primjer.8 Neka je iz zadat opštim člaom x = ( ) ( N). Kako je x = ( ) =, zaključujemo da je za sve N, x, te je ovaj iz ograiče. Nizovi u opštem slučaju e moraju biti ograičei iti u kojem smislu. Čijeicu da iz ije ograiče odozgo ili odozdo dobijamo egacijom odgovarajućeg pojma. Tako imamo da je iz eograiče odozgo ako vrijedi ( M R)( 0 N) x 0 > M, a za eograičeost odozdo ( m R)( 0 N) x 0 < m.

6 6 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Primjer.9 Niz zadat opštim člaom x = ( ) ije ograiče odozgo. Zaista, eka je M R proizvolja. Prema Arhimedovom aksiomu postoji priroda broj 0 > M. Bez umajeja opštosti eka je 0 para broj. Tada je x 0 = ( ) 0 0 = 0 > M. Dakle, za proizvoljo izabrau (veliku) vrijedost, postoji čla ašeg iza koji ju preskoči, te iz ije ograiče odozgo. Primjetimo da kada bi uzeli ( 0 + )-ti čla ašeg iza imali bi x 0 + = 0 + < M. Ovime ističemo da u egaciji pojma eograičeosti iza zahtjevamo postojaje bar jedog člaa iza koji će preskočiti zadau vrijedost, a e da to vrijedi za sve člaove iza iza 0 -tog. Primjetimo da su svi člaovi ovog iza pozitivi brojevi, pa je ovaj iz ograiče odozdo. Za izove uvodimo još jeda pojam sliča, ali kao što ćemo vidjeti, ipak e i jedak pojmu eograičeosti. Defiicija..6 Za iz (x ) N kažemo da je beskoačo velik ako i samo ako vrijedi ( M 0)( 0 N)( N)( 0 x > M). Primjer.0 Posmatrajmo iz zadat opštim člaom x = ( ) 3. Neka je M > 0 proizvolja reala kostata. Stavimo da je 0 = [ 3 M] +. Jaso je zbog defiicije fukcije atije da je 0 N. Izaberimo sada proizvoljo 0. Sada imamo, x = ( ) 3 = > M. N aosovu Defiicije..6 zaključujemo da je dati iz beskoačo veliki. U egaciji pojma ograičeosti iza odozgo zahtjevamo da za svaku kostatu M postoji (postoji bar jeda) čla iza čija je vrijedost veća od M, dok u pojmu beskoačo velikog iza zahtjevamo da su svi člaovi iza, počev od ekog, po apsolutoj vrijedosti veći od M. Iz ovoga slijedi da je svaki beskoačo veliki iz ujedo i eograiče. Medutim, obrat e vrijedi, tojest iz može biti eograiče a da ije beskoačo veliki. Primjer. Posmatrajmo iz zadat opštim člaom x = ( ( ) ). Neka je M R + proizvolja. Dovoljo je izabrati prvi epari prirodi broj veći od M i zaključiti da tada vrijedi x = > > M, te je iz eograiče odozgo. Medutim, za aredi prirodi broj, koji je oda para, je x + = 0 < M te dakle zaključujemo da isu svi člaovi ašeg iza iza -tog člaa veći od M, a time iz ije beskoačo veliki...3 Mootoost iza Defiicija..7 Za iz (x ) kažemo da je strogo mootoo rastući ako za skoro sve člaove iza vrijedi x + > x. mootoo rastući (eopadajući) ako za skoro sve člaove iza vrijedi x + x. strogo mootoo opadajući ako za skoro sve člaove iza vrijedi x + < x. mootoo opadajući (erastući) ako za skoro sve člaove iza vrijedi x + x. Za iz koji posjeduje bilo koju od avedeih osobia kažemo da je mooto iz. Najčešće tehike ispitivaja mootoosti su posmatraje količika ili razlike dva uzastopa člaa iza. Tako aprimjer, ako su skoro svi člaovi iza istog zaka i za proizvoljo dovoljo veliko N važi: x + x > 0 iz je strogo mootoo rastući 0 iz je eopadajući < 0 iz je strogo mootoo opadajući 0 iz je erastući.

7 . Numerički izovi 7 x + x > iz je strogo mootoo rastući iz je eopadajući < iz je strogo mootoo opadajući iz je erastući Napomeimo da gorji kriterij količika vrijedi ako su člaovi iza pozitivi. Ako su člaovi iza egativi sve ejedakosti treba obruti. Ako radimo sa izovima čiji su člaovi i pozitivi i egativi, jaso je da tada e postoji ikakva mootoost tog iza. Primjer. Niz x = je strogo mootoo opadajući jer za proizvoljo N člaovi iza su pozitivi i imamo x + x = + = ( + ) < 0. Primjer.3 Niz x = + je strogo mootoo rastući jer je za proizvoljo N člaovi iza su pozitivi i vrijedi, x + x = = ( + ) ( + ) = + + = >. Primjer.4 Neka je opšti čla iza dat sa x =. Primjetimo da je za svako N x < 0, tojest radimo sa izom čiju su svi člaovi egativi. Ako posmatramo količik dva uzastopa člaa, x + x = + (+) = + = + <, kao što smo apomeuli, zaključak iz ove iformacije je da iz strogo mootoo raste. U opštem slučaju iz e mora imati iti jeda od avedeih oblika mootoosti. Naprimjer, iz x = ( ) uzima vrijedosti,,,,..., a ako bi smo se poslužili jedim od kriterija ispitivaja mootoosti imali bi, { ; para x + x = ; epara i kostatovali bi emootoost iza. Ovakvu vrstu izova azivamo oscilatori izovi. I iz prikaza grafički a sljedećoj slici je primjer emootoog iza, a koji ije oscilatora....4 Kovergecija izova Slika.9: Niz koji ije mooto. U matematičkoj aalizi proučava se poašaje člaova iza kada jihov ideks eograičeo raste, tojest kada ideks teži u beskoačost. Ova aizgled jedostava problematika fudametala je za proučavaje osobia realih i kompleksih brojeva, skupova i fukcija, a samim tim i u kokretim primjeama matematike.

8 8 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Ideja je da se proučava ( gomilaje ) člaova iza oko eke kokrete vrijedosti. Tako aprimjer, člaovi izova ( ) i ( ) gomilaju se oko ule, tojest sve su bliže uli kako ideks postaje veći, što možemo aslutiti ako izračuamo po ekoliko člaova ovih izova,,, 3, 4, 5,..., 4, 9, 6,.... Za člaove iza čiji je opšti čla dat sa x = +( ) kada se povećava jer je aprimjer e bismo mogli tvrditi da su sve bliže uli 0 < x = < 3 = x, iz čega vidimo da je x a većoj udaljeosti od ule ego jemu prethodeći čla. Medutim, i ovde se može uočiti eko gomilaje oko ule, što se poovo vidi ako se izračua ekoliko prvih člaova iza,, 3, 3, 3 4, 5,... Naime, ako izaberemo proizvoljo male broj ε > 0, svi člaovi iza će biti maji od ε, samo ako posmatramo dovoljo daleke člaove u datom izu. Zaista, ije teško vidjeti da za proizvoljo N vrijedi x = + ( ) 3, pa je dovoljo posmatrati člaove iza čiji je ideks > 3 ε, da bi bilo zadovoljeo x < ε. Primjetimo da smo u gorjem primjeru pokazali da za proizvoljo ε > 0 svi člaovi iza, počevši od ekog ideksa 0, zadovoljavaju ejedakost x < ε, tojest oi se gomilaju oko tačke 0. Ovo je globala ideja kojom se uvodi pojam kovergecije. Defiicija..8 Kažemo da je reala broj a graiča vrijedost ili limes iza (x ) ako za svako ε > 0, postoji priroda broj 0 zavisa od ε, takav da za svaki priroda broj 0 vrijedi x a < ε, što jedostavije izražavamo matematičkom simbolikom sa ( ε > 0)( 0 (ε) N)( N)( 0 x a < ε). (.) Gorju čijeicu zapisujemo sa lim x = a ili x a ( +). + Ako je lim + x = a R, kažemo da iz (x ) kovergira ka a i čitamo opšti čla iza teži ka a kada teži u beskoačost. U tom slučaju za tačku a kažemo da je tačka kovergecije, graiča vrijedost ili limes iza (x ). Pri tome je jaso da je iz kovergeta ako i samo ako postoji lim + x = a R. U suprotom, ako iz ije kovergeta kažemo da je divergeta. Istakimo još jedom da postojeći 0 u (.) zavisi od proizvoljo izabraog ε. Ovo zači da za jedo kokreto ε > 0 postoji jemu odgovarajući 0 N, ali ako promjeimo ε moramo proaći eko ovo 0. ε 0 ε ε 0 ε ε 0 ε Slika.0: Izva ε-okolie alazi se koačo mogo člaova iza.

9 . Numerički izovi 9 Primjer.5 Posmatrajmo iz sa opštim člaom x =. U aredoj tabeli predstavljamo ekoliko prvih člaova ovog iza: Izaberemo li ε = 0. vidimo da će ejedakost 0 < 0., biti zadovoljea počev od ideksa iza 0 = 6. Ako izaberemo da je ε = 0.0, oda će odgovarajuća ejedakost biti zadovoljea počev od desetog člaa ašeg iza. Korisrteći se kalkulatorom možemo vidjeti da će vrijediti: oda je 0 < 6 oda je 0 < 0. 0 oda je 0 < oda je 0 < oda je 0 < oda je 0 < Iz ovoga jaso vidimo zavisost veličie 0 o izabraom ε. Tako imamo 0 () =, 0 (0.) = 6, 0 (0.0) = 0, 0 (0.00) = 5, 0 (0.000) = 9 itd. Kasije ćemo vidjeti da je moguće utvrditi da je iz kovergeta, a da pri tome e zamo jegovu graiču vrijedost. Za sada jedii ači da odredimo graiču vrijedost ekog iza je da pretpostavimo (izračuavajem prvih ekoliko člaova iza) da je lim x = a, za eko a, a zatim + da to dokažemo provjeravajući uslov iz Defiicije..8. Primjer.6 U primjeru ispred Defiicije..8 smo pokazali da je + ( ) lim = 0. + Na sliča ači se pokazuje da je lim = 0 ili lim =. Pokažimo prvu relaciju Neka je ε > 0 proizvoljo. Nejedakost < ε ekvivaleta je sa > ε, pa ako stavimo da je 0 = ε +, uslov iz Defiicije..8 bit će zadovolje za svako N koji zadovoljava uslov 0, tojest važit će 0 < ε. Ovaj iz i jegovu graiču vrijedost ističemo kao bite za moga dalja razmatraja. lim = 0 Postoji više ekvivaletih oblika uslova (.). Tako možemo pisati ( ε > 0)( 0 (ε) N)( 0 ) x a < ε,

10 0 Poglavlje. Numerički izovi i redovi gdje u dijelu ( 0 ) podrazumijevamo da je N. Takode, zak < u (.) možemo zamijeiti sa zakom, a zak zakom >. Osim toga, umjesto ( 0 N)( 0 ) možemo pisati ( y 0 R)( y 0 ). Ovu posljedju zamjeu aročito dobro možemo koristiti da bi izbjegli korišteje fukcija floor, ceilig ili atije. Primjer.7 Neka je x =. Posmatramo li ekoliko prvih člaova ovog iza x = =, x = =,4..., x3 = 3 =,6..., x 4 = 4 =,9...,...,x0 = 0 =,07..., vidimo da se vrijedosti umajuju i da se kreću ka, tojest osjećamo da je lim x =. + Ali ovakvo razmišljaje i u kom slučaju e predstavlja dokaz ove tvrdje. Da bi to dokazali razmišljajmo ovako: Kako je x = > 0 = za svako N, tada je ejedakost < ε ekvivaleta sa < + ε, što ako logaritmovaja daje ekvivaleto > log. Ovo oda zači da za svako log(+ε) ε > 0, postoji y 0 = log log(+ε), takav da je za svaki priroda broj, za koga vrijedi > y 0, zadovoljea ejedakost x < ε, što prema Defiiciji..8 zači da je lim x =. + Na isti ači se pokazuje opšti slučaj koga ističemo kao važa limes, lim a =, (a > 0) + Okolia tačke a R je proizvolja otvore iterval koji sadrži tačku a. Otvorei iterval (a ε,a + ε) dužie ε sa cetrom u tački a R, azivamo simetriča ε-okolia tačke a ili samo ε-okolia tačke a. Nejedakost x a < ε, koristeći pozati stav za apsolutu vrijedost, možemo zapisati i kao a ε < x < a + ε, što je opet ekvivaleto sa tim da x (a ε,a + ε). Koristeći sve rečeo, Defiiciju..8 možemo iskazati ekvivaleto u sljedećem obliku. Defiicija. Kažemo da iz (x ) kovergira ka tački a R ako se u svakoj ε-okolii tačke a alaze skoro svi člaovi iza. Ako se skoro svi člaovi iza alaze u ekoj ε 0 -okolii tačke a, oda to isto važi i za svaku ε- okoliu, gdje je ε > ε 0. Iz ovoga je jaso da je uslov Defiicije..8 ili joj ekvivalete Defiicije..4, dovoljo pokazati za malo ε, odoso za 0 < ε < ε 0, gdje je ε 0 proizvolja pozitiva broj. Primjer.8 Niz čiji je opšti čla x = ( ) ije kovergeta. Zaista, pretpostavimo suproto, tojest da je za eko a R, lim x = a. Kako su svi člaovi datog iza jedaki ili ili, to zači + da se oba ta broja moraju alaziti u proizvoljoj ε-okolii tačke a. Medutim, to očigledo ije moguće jer izaberemo li ε < tada ije moguće da oba broja i i budu u itervalu (a ε,a+ε), čija je dužia maja od...5 Osobie kovergetih izova Metričku osobiu kovergecije umeričkog iza iskazujemo sljedećom tvrdjom. Teorem.. Neka je (x ) N iz u R i x R. Tada vrijedi: x x ( ) ako i samo ako d(x,x ) 0 ( ). Dokaz : Prema defiiciji kovergecije iza (x ) imamo da za proizvoljo ε > 0, postoji 0 N, tako da za svaki priroda broj 0 vrijedi x x < ε što je zbog metrike a R (udaljeost izmedu dvije tačke x i y u R data je sa d(x,y) = x y ) ekvivaleto sa d(x,x ) < ε. Pored pitaja egzistecije graiče vrijedosti iza, drugo važo pitaje je jea jedistveost. O tome govori sljedeće tvrdeje.

11 . Numerički izovi Teorem.. Ako iz ima graiču vrijedost oda je oa jedistvea. Dokaz : Pretpostavimo da vrijedi lim x = a i + lim x = b. + Ako je a b, oda postoji ε > 0 takvo da ε-okolie oko tačaka a i b budu disjukte ( dovoljo je uzeti da je ε = b a ). Na osovu Defiicije..4 zaključujemo oda da su svi člaovi iza (x ), počev od ekog ideksa, u ε-okolii broja a, ali isto tako bi morali svi člaovi ašeg iza, počev od ekog ideksa, biti u ε-okolii tačke b. Ako posmatramo člaove iza čiji su ideksi veći i od i od, zaključili bi smo da se oi alaze i u jedoj i u drugoj ε-okolii, što ije u saglasosti sa disjuktošću tih okolia. Teorem..3 Svaki kovergeta iz je ograiče. Dokaz : Neka je iz (x ) kovergeta, tojest eka je lim x = a R. Neka je ε > 0 proizvoljo, aprimjer eka je ε =. Na osovu defiicije kovergecije, svi člaovi iza, počev od ekog ideksa 0, pripadaju okolii (a,a + ), odoso va ove okolie se alazi koačo mogo člaova iza. Neka je m ajmaja vrijedost i M ajveća vrijedost od tih koačo mogo člaova koji su va okolie. Ozačimo sa m = mi{a,m } i M = max{a +,M }. Tada očigledo vrijedi ( N) m x M, što predstavlja ograičeost iza. Ograičeost iza je prema Teoremi..3, potreba uslov kovergecije. Da to ije i dovolja uslov, pokazuje am primjer iza (( ) ) N koji jeste ograiče, ali kao što je raije pokazao ije kovergeta. U sljedećim teoremama pokazat ćemo vezu limesa i osovih algebarskih operacija. U mogim dokazima koji slijede koristit ćemo se pozatom osobiom ejedakosti trougla, aime ako zamo da je a b < ε i b c < ε, tada imamo a c = a b + b c a b + b c < ε. Teorem..4 Neka su dati izovi (x ) N i (y ) N.. Ako je x = c R za skoro svako N, tada je lim x = c. +. Neka je lim x = x i lim y = y (x,y R) i eka su a,b i c proizvolji reali brojevi. + + Tada važi: (a) lim (ax + by ) = ax + by. + (b) lim (x + c) = x + c. + (c) lim (x y ) = x y. + (d) lim (cx ) = c x. + x (e) lim = x + y y, ako je y 0 i y 0 za N. (f) lim ) k = x k, za proizvoljo k N. + Dokaz : Tvrdeje. je posljedica čijeice da se broj c alazi u svakoj svojoj okolii.. Neka je lim x = x i lim y = y. Neka je ε > 0 proizvolja. Počevši od ekog ideksa svi + + člaovi iza (x ) su u ε-okolii tačke x. Isto tako, od ekog ideksa svi člaovi iza (y ) su u ε-okolii tačke y. Stavimo 0 = max{, }. Tada su za svako 0 ispujee obje ejedakosti x x < ε i y y < ε,

12 Poglavlje. Numerički izovi i redovi pa iz ejedakosti trougla slijedi za 0 ax + by (ax + by) = ax ax + by by a x x + b y y ( a + b )ε. Kako je a + b fiksa reala broj, a ε proizvolja male broj, to je i ( a + b )ε proizvoljo male broj pa vrijedi lim + (ax + by ) = ax + by. Tvrdeje (b) u. je direkta posljedica tvrdeja.(a) i. uzimajući y = c i stavljajući da je a = b =. Dokažimo tvrdeje (c). Neka je lim x = x i lim y = y. Neka je ε > 0 proizvolja. + + Primjeom ejedakosti trougla imamo x y xy = x y xy + xy xy y x x + x y y. (.) Na osovu Teorema..3, postoji reala broj M 0, takav da je y M za sve N. Sada kao i u dokazu tvrdeja (a), postoji 0 N takav da je za 0, x x < ε i y y < ε, pa iz (.) imamo x y xy (M + x )ε čime je tvrdeje dokazao. Tvrdeje (d) je direkta posljedica tvrdeja pod. i.(c). Dokažimo i tvrdju (e). Neka je lim x = x i lim y = y, gdje je y 0. Poovo primjeom + + ejedakosti trougla imamo x x y y = x y y x y y x y xy + xy y x y y = y x x + x y y y y. (.3) Za proizvoljo ε > 0 postoji 0, takvo da je x x < ε i y y < ε čim je 0. Prema tome, brojilac posljedjeg razlomka je maji od ( x + y )ε. Kako je y 0, postoji eko δ > 0 takvo da iterval ( δ,δ) ema zajedičkih tačaka sa itervalom (y δ,y + δ) (pr. uzeti δ = y ). U itervalu (y δ,y + δ) alaze se svi člaovi iza (y ) počevši od ekog ideksa, pa je y δ za, pa je imeilac u posljedjem razlomku u (.3) veći od δ y. Dakle, ako je max{ 0, } oda je x x y y x + y ε, δ y pri čemu δ e zavisi od ε. Time je dokaz završe. Dokaz za ( f ) ostavlje za vježbu. Prethodi teorem am govori o pravilima u radu sa kovergetim izovima. Tako am pravilo.(a) govori da je limes zbira ili razlike, zbir ili razlika limesa pojediačih izova, ili lim (ax + by ) = a lim x + b lim y, (c) am govori da je limes proizvoda jedak proizvodu limesa, lim x y = lim x lim y, a.(d) da je limes količika jedak količiku limesa, lim + x y = lim x + lim y. + Još jedom apomeimo da sve ovo vrijedi ako radimo sa kovergetim izovima. Ilustrujmo primjeu gorjeg tvrdeja a ekoliko primjera.

13 . Numerički izovi 3 ) Primjer.9 Izračuati: lim ( Koristeći pravilo.(a) i raije pokazai limes iza ( a) imamo da je ) ( ) ( ) lim (3 + 3 = lim 3 + lim 3 = 3 lim + lim = 3 + = 5. ( ) Primjer.0 Izračuati: lim Koristeći pravilo.(b) imamo ( ) lim = lim + + lim 6 = = 6. + Primjer. Izračuati: lim + Koristeći pravilo.( f ) imamo lim + 4. ( ) 4 ( 4 = lim = + lim + ) 4 = 0 4 = 0. I aredi teorem predstavlja pravilo u radu sa kovergetim izovima. Teorem..5 Ako je lim x = x, oda vrijedi lim x = x. Dokaz : Dokaz je eposreda posljedica pozate ejedakosti za apsolutu vrijedost, a b a b. Ova čijeica predstavlja osobiu fukcije apsolute vrijedosti i zači da limes kovergetog iza prolazi kroz apsolutu vrijedost, tojest čitamo je kao pravilo da ako je (x ) N kovergeta iz, oda vrijedi lim x = lim x. Obrat ove tvrdje u opštem slučaju ije tača. Naime, ako posmatramo iz sa opštim člaom x = ( ) ( N), jaso je da vrijedi lim x = lim =, ali lim x = lim ( ) e postoji, pa se o jedakosti ovih limesa e može i govoriti. Medu kovergetim izovima, posebu ulogu imaju izovi koji kovergiraju ka uli. Defiicija..9 Niz (x ) N za koga važi lim + x = 0, azivamo ula-iz. Prema defiiciji kovergecije, za ula-iz (x ) N vrijedi, ( ε > 0)( 0 N)( N)( 0 x < ε), tojest počev od ekog ideksa vrijedosti člaova iza su proizvoljo male, pa za ovakve izove kažemo i da su beskoačo mali.

14 4 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Primjer. Neka je q R takav da je q <. Pokažimo da je geometrijski iz x = q ula-iz. Uzmimo[ proizvoljo ] 0 < ε < (uvijek podrazumijevamo da je ε male pozitiva broj). Neka logε je 0 = +. Kako je q < i ε <, to je logε < 0 i log q < 0 pa je 0 N. Neka je log q 0 proizvolja priroda broj. Sada imamo sljedeće rasudivaje, [ ] logε 0 + > logε log q log q log q < log ε log q < logε q = q < ε. Dakle, zbog svega rečeog vrijedi ejedakost se mjeja zbog egativosti logaritma pravilo logaritma logaritam je mootoo rastuća fukcija ( ε > 0)( 0 N)( N)( 0 q < ε) lim q = 0. Kao veoma važa limes ističemo i gorji rezultat lim + q = 0, q < Primjer.3 Neka je p > 0, tada je lim p = 0. Za proizvoljo ε > 0 eka je y = ( ) p ε. Tada je za priroda broj > y zadovoljeo p > ε, odoso < ε. Kako je p > 0 za svako N, zaključujemo da je za > y, p p 0 < ε. Zapravo, ispitivaje proizvoljog kovergetog iza se može svesti a ispitivaje ula-iza. O tome govori aredo tvrdeje. Teorem..6 Niz (x ) N kovergira ka x R ako i samo ako je (x x ) N ula-iz. Dokaz : Neka je lim + x = x. Na osovu Teorema..4.(b) je Obrato, ako je lim + (x x ) = 0, tada je lim (x x ) = lim x x = lim x = lim (x x + x ) = lim (x x ) + x = x Ovo smo mogli iskazati i u sljedećoj formi koja am govori da se svaki kovergeta iz može rastaviti a zbir kostatog iza i ula-iza. Posljedica.. Niz (x ) N kovergira ka x R ako i samo ako postoji ula-iz (a ) N, takav da je za svako N, x = x + a. Primjer.4 Pokazati da je lim =. Posmatrajmo iz a = i primjetimo da je a 0 za sve N. Odavde je = ( + a ), pa prema Newtoovom obrascu za imamo = ( + a ) + a + ( ) a > ( ) a.

15 . Numerički izovi 5 Dakle, a <, tojest a <. Sada za proizviljo ε > 0 izaberimo y = +. Tada će za ε > y biti a < ε, pa zaključujemo da je (a ) N ula-iz iz čega je oda lim =. Teorem..7 Zbir, razlika i proizvod dva ula-iza je poovo ula-iz. Dokaz ove jedostave čijeice ostavlje je čitaocu za vježbu, ali primjetimo da kod proizvoda dva iza uslove možemo oslabiti. Teorem..8 Neka je (x ) N proizvolja ula-iz i eka je (y ) N proizvolja ograiče iz (e obavezo kovergeta). Tada je iz (z ) N, gdje je z = x y ( N), ula-iz. Dokaz : Kako je iz (y ) N ograiče, to postoji reala broj M > 0 takav da je za svako N, y M. Iz kovergecije iza (x ) N ka uli slijedi da za svako ε > 0 postoji 0 N, tako da je za sve 0 zadovoljeo x < ε. Na osovu svega ovoga zaključujemo da će za 0 vrijediti z = x y = x y < Mε, a što zači da iz (z ) N kovergira ka uli. cos Primjer.5 Izračuati: lim +. Ozačimo sa z = cos = cos. Kako je iz sa opštim člaom x = ula-iz, a iz sa opštim člaom y = cos je ograiče ( cosx ), to je a osovu gorjeg teorema iz (z ) N ula-iz, tojest vrijedi cos lim = 0. + Sljedećim teoremama uspostavlja se veza izmedu limesa i relacije poretka. Teorem..9 Neka je (x ) N proizvolja iz.. Ako je lim + x = a > p (< p), tada je x > p (< p) za skoro svako N.. Ako je iz (x ) N koveregeta i ako je x > p (< p), za skoro svako N, oda je lim + x p ( p). Dokaz :. Neka je lim x = a i eka je a > p. Stavimo li da je ε = a p +, svi brojevi koji pripadaju itervalu (a ε,a + ε) su veći od p, ali skoro svi člaovi iza (x ) su u toj ε-okolii i time je tvrdeje dokazao. Slučaj kada je a < p dokazuje se aalogo.. Neka je lim x = a i eka je x > p za skoro svako. Ako bi bilo a < p, to bi a osovu + dokazaog pod ) začilo da je x < p za skoro svako, što je očigleda kotradikcija. Dakle mora biti a p. Prethodi teorem ajčešće ćemo koristiti za slučaj p = 0. Naime, ako je lim x pozitiva + (egativa) broj, tada su skoro svi člaovi iza pozitivi (egativi). Ako su skoro svi člaovi iza pozitivi (egativi), tada je graiča vrijedost iza eegativa (epozitiva). Primjer.6 Posmatrajmo iz ( ) N. Svi člaovi iza su pozitivi, tojest > 0, ali lim + = 0. Ovim se potvrduje slijedeće, ako je x > p za skoro svako, oda je lim x p, tojest prelaskom + a graiči proces zak stroge ejedakosti se slabi a zak.

16 6 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Kao posljedicu gorjeg teorema imamo Posljedica.. Ako svi člaovi kovergetog iza (x ) N pripadaju segmetu [a,b], tada i lim + x [a,b]. Gorji teorem možemo iskazati i u opštijoj formi i slobodim govorom iskaza je pozat kao prolaz limesa kroz ejedakost. Teorem..0 Teorem o dva iza. Neka su (x ) N i (y ) N proizvolji izovi, takvi da je lim x = x i lim y = y (x,y R). Tada, + +. Ako je x > y, oda je x > y za skoro svako N.. Ako je x > y za skoro svako N, oda je x y. Primjetimo iz. da ako su skoro svi člaovi iza (x ) N strogo veći od odgovarajućih člaova iza (y ) N e smijemo zaključiti da je graiča vrijedost iza (x ) N strogo veća od graiče vrijedosti iza (y ) N. Naprimjer, eka su dati izovi sa optim člaovima x = + i y = +. Očigledo je za svako N zadovoljeo x < y ali lim x = = lim y. + + Teorem.. Teorem o lopovu i dva policajca. Neka su (x ) N, (y ) N i (z ) N izovi za koje vrijedi. lim x = lim y = A R Za skoro svako N je x z y. Tada i iz (z ) N ima graiču vrijedost i važi lim z = A. + Dokaz : Neka je lim x = lim y = A R. Uzmimo proizvoljo ε > 0. Tada zbog kovergecije + + iza (x ) N postoji N, takav da za sve, x pripada ε-okolii tačke A. Takode, zbog kovergecije iza (y ) N postoji N takav da se svi člaovi ovog iza, počev od y pa a dalje, alaze u istoj ε-okolii (jer oba iza kovergiraju ka istoj tački). Ako sada izaberemo da je = max{, }, oda su člaovi oba iza za u okolii (A ε,a + ε). Kako je za skoro sve zadovoljeo x z y, to postoji N, tako da je za sve zadovoljeo x z y. Ako sada stavimo da je 0 = max{, }, oda je za sve 0 zadovoljeo A ε < x z y < A + ε, ali ovo za iz (z ) N zači da su mu skoro svi člaovi u okolii (A ε,a + ε), odoso to zači lim z = A. + l( + ) Primjer.7 Ispitati kovergeciju iza z = +. Matematičkom idukcijom se pokazuje da vrijedi l( + ) <. 3 Koristeći ovu čijeicu imamo, 0 l( + ) + + =. Ako ozačimo sa x = 0, y =, oda su uslovi gorje teoreme zadovoljei, pa zaključujemo da je 3 Vrijedi opštije: za proizvolja x > 0 je log( + x) < x. lim x = lim y = 0 = lim z

17 . Numerički izovi 7 Primjer.8 Izračuati: lim Kako važi , tada je Ako ozačimo sa x = 3 i sa y = 3, tada zamo da je lim x = lim y = 3, + + pa a osovu teorema o lopovu i dva policajca vrijedi lim z = lim + 3 = Beskoače graiče vrijedosti Defiicija..0 Kažemo da iz (x ) N odredeo divergira ka plus beskoačosti ako vrijedi ( K > 0)( 0 (K) N)( N)( 0 x > K), što ozačavamo sa lim + x = +. Kažemo da iz (x ) N odredeo divergira ka mius beskoačosti ako vrijedi što ozačavamo sa lim + x = ( K > 0)( 0 (K) N)( N)( 0 x < K), K K K K Slika.: Odredeo divergeti izovi. Defiicija..0 postaje aaloga Defiiciji..8 ako se uvede pojam okolie beskoačosti. Pod okoliom od + podrazumijevamo proizvolja iterval (K,+) i aalogo pod okoliom od podrazumijevamo proizvolja iterval (, K), za eko K R +. Na osovu ovoga možemo reći da iz odredeo divergira ka + ako su skoro svi člaovi iza u proizvoljoj okolii od +. Sada možemo izvršiti selekciju svih izova u odosu a kovergeciju. Svaki reali iz spada u jedu od klasa: Niz je kovergeta (graiča vrijedost mu je eki reala broj). Niz je odredeo divergeta (graiča vrijedost mu je ili + ili ). Niz je eodredeo divergeta (ema i koaču i beskoaču graiču vrijedost). Primjer.9 Posmatrajmo geometrijski iz x = q ( N). Za koje q R je dati iz kovergeta? Ako je q = tada je aš iz kostata (x = za sve N ), pa mu je i graiča vrijedost jedaka. Dakle, iz je u ovom slučaju kovergeta.

18 8 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Za q = dobijamo iz sa opštim člaom x = ( ), za koga je već raije pokazao da ema graiču vrijedost, tojest iz je eodredeo divergeta. Neka je q <. Kao što je pokazao u Primjeru. tada je iz kovergeta (ula-iz). Za q <, člaovi iza sa parim stepeom su pozitivi, a sa eparim stepeom su egativi, ali svi člaovi po apsolutoj vrijedosti rastu u beskoačost. Medutim, u proizvoljoj okolii od + alazi se beskoačo mogo člaova (skoro svi sa parim stepeom), ali va te okolie je takode beskoačo mogo člaova iza (skoro svi sa eparim stepeom). Isto vrijedi i sa okoliama od. Dakle iz je eodredeo divergeta. Za q > jaso je da imamo beskoača veliki iz koji je oda odredeo divergeta. Sljedeći teorem je a odredei ači prošireje Teorema..4. Teorem.. Neka je lim x = x R i eka je lim y = +. Tada vrijedi: + +. lim (x + y ) = lim (x y ) = sgx, (x 0). + x 3. lim = 0. + y U Teoremu..4 smo govorili o kovergetim izovima. Gorji teorem je prošireje u tom smislu što možemo direkto račuati limese kombiacije dva iza i ako je jeda od izova odredeo divergeta Primjer.30 Izračuati: lim. + 3 Opšti čla iza je x = = (+3)+4 +3 = člaom y = i drugi sa opštim člaom z = 4 +3 lim x = +. i kao takav o je zbir dva iza, prvi sa opštim. Kako je lim y = +, a lim z = 0, to je e Primjer.3 Izračuati: lim +. Ako sa (x ) ozačimo iz sa opštim člaom x = +, a sa (y ) iz sa opštim člaom y = e, tada je Prema Teoremi... je lim x = i lim y = +. lim x y = +. Postoje kombiacije dva iza kada se rezultat e može direkto odrediti kao u slučajevima opisaim u Teorem..4 i Teorem... Tada kažemo da je graiča vrijedost eodredea ili da je eodredeog tipa. To medutim i u kom slučaju e zači da graiča vrijedost e postoji, već samo da se e može uaprijed odrediti primjeom pravila datih u ovim teoremama. Primjer.3 Za iz sa opštim člaom x = imamo eodredeost tipa jer i brojilac i imeilac divergiraju ka +, kada teži u beskoačost. Dijeljejem i brojioca i imeioca sa vrijedost razlomka se eće promjeiti, pa je x =

19 . Numerički izovi 9 Primjeom pravila Teorema..4 dobijamo da je lim x = +. Primjer.33 Izračuati: lim ( + ). Ako bi smo limesom prošli kroz malu zagradu i pokušali primjeiti Teorem..4 ili Teorem.., dobili bi izraz oblika za koga emamo odluku čemu je jedak. Zato se poslužimo racioalizacijom izraza pod limesom, a tek oda primjeimo Teorem... lim ( + ) = lim ( ) = lim = lim = Postoji sedam tipova eodredeosti, a to su:, 0 0, 0,,, 0, 0 0. O poašaju beskoačo velikih i beskoačo malih izova (ula-izova) i jihovoj vezi govori aredi teorem. Teorem..3 ( ). Ako je (x ) N ula-iz i ako su skoro svi člaovi iza pozitivi (egativi), tada je beskoačo veliki iz. x N ( ). Ako je (x ) N beskoačo veliki iz i x 0 za sve N, tada je iz ula-iz. x N Primjer.34 Kako je iz sa opštim člaom x = ( N) beskoačo veliki iz, prema gorjoj teoremi iz sa opštim člaom x je ula-iz, čime još jedom potvrdujemo pozati limes lim = 0. Napomeimo ovdje da Teorem o lopovu i dva policajca vrijedi i u slučaju kada lim x = + lim y = +. Zaista, ako je u Teorem.. A = +, potreba am je samo ejedakost x z. + Zbog lim x = +, za svako K, postoji, takav da je za, x > K. Ako je x z za +, oda je za > max{, } zadovoljeo z x > K, a odavde slijedi da je lim z = +. + Slučaj kada je A = dokazuje se aalogo i ostavlje je čitaocu za vježbu...7 Kriteriji kovergecije iza Osim ispitivaja kovergecije iza po defiiciji ili koristeći se pozatim kovergetim izovima, od iteresa je imati i dodate kriterije za utvrdivaje kovergecije. Jeda takav je Teorem o lopovu i dva policajca, koga smo zbog praktičih razloga već raije upozali. Za mootoe izove imamo veoma jedostava kriterijum kovergecije koji dajemo sljedećim teoremom. Teorem..4 Svaki mooto iz je ili kovergeta ili odredeo divergeta (ima koaču ili beskoaču graiču vrijedost). Primjetimo odma da obrat u gorjoj teoremi e mora da vrijedi. Naime, iz može biti kovergeta, ali e mora biti mooto. Dovoljo je posmatrati iz sa opštim člaom x = ( )

20 0 Poglavlje. Numerički izovi i redovi ( N), koji je ula-iz, ali ije mooto jer mu člaovi skaču oko ule (pari su pozitivi, a epari su egativi). U gorjoj tvrdji sa dodatom pretpostavkom možemo biti i preciziji. Naime, vrijedi Teorem..5 Neka je (x ) proizvolja umerički iz.. Ako je (x ) mootoo rastući iz eograiče odozgo, tada je lim x = +.. Ako je (x ) mootoo opadajući iz eograiče odozdo, tada je lim x = Kao kosekvecu iz gorja dva tvrdeja imamo jeda od ajopštijih kriterija kovergecije dat aredim tvrdejem. Teorem..6 Weierstrassov teorem. Svaki mooto i ograiče iz je kovergeta. Dokaz : Neka je dat iz (x ) N i pretpostavimo da je o mootoo rastući i ograiče odozgo. Zbog ograičeosti odozgo, postoji kostata M R, takva da je za sve N, x M. Dakle, ako posmatramo skup vrijedosti ašeg iza A = {x N}, o je ograiče odozgo, pa a osovu aksioma potpuosti postoji supa = x R. Jaso je da za sve N vrijedi x x. Neka je sada ε > 0 proizvolja. Tada je ( N) x < x + ε. (.4) Zbog osobia supremuma će za ovakav ε postojati 0 N tako da je x 0 > x ε (x je ajmaje gorje ograičeje). Kako smo pretpostavili da je iz mootoo rastući to će vrijediti ( N)( 0 x > x ε. (.5) Iz (.4) i (.5) zaključujemo da će za sve 0 vrijediti x ε < x < x + ε x x < ε. Dakle, pokazali smo da za proizvolja ε > 0, postoji 0 N, tako da za proizvolja N, ako je 0 oda je x x < ε, što a osovu defiicije kovergecije iza zači da vrijedi lim x = x. Na potpuo idetiča ači se pokazuje slučaj ako je iz mootoo opadajući, a od ograičeosti iza bi iskoristili jegovu ograičeost odozdo. U ovoj teoremi kao što se vidi iz dokaza, za kovergeciju iza treba razlikovati dva slučaja:. Ako je iz mootoo rastući, zahtijevamo ograičeost odozgo.. Ako je iz mootoo opadajući, zahtijevamo da je iz ograiče odozdo. Primjer.35 Posmatrajmo iz x = (a > ). a Kako je za dovoljo veliko N, a > +, to je x + x = + a <, zaključujemo da je iz strogo mootoo opadajući. Za proizvoljo N je x = a > 0, pa je dati iz ograiče odozdo. Prema gorjem teoremu je dati iz kovergeta, tojest lim + x = x 0. Pustimo li u izrazu x + = + a + = + a x da teži u beskoačost imali bi da vrijedi x 0 = x 0, a zbog a > ovo je moguće samo ako je a x 0 = 0, pa je lim + a = 0, a >.

21 . Numerički izovi Navedimo opštiji limes od gorjeg primjera: m lim + a = 0, m N, a >. O am govori da je ekspoecijala fukcija jača od poliomijale fukcije, tojest imeilac razlomka (ekspoecijala fukcija) adjačava brojilac (poliomijala fukcija) te je limes jedak 0. Primjer.36 Pokažimo da je iz x = ( + ) rastući i ograiče odozgo. Jedostavim račuom se ima x + = + ( ) x + ( + ). Na osovu Beroullijeve ejedakosti 4 je pa imamo ( ) ( + ) ( + ),, x + + ( ) x + ( + ) = >. Dakle iz je strogo mootoo rastući. Ako sada posmatramo i iz y = ( + +, ) zbog veze y = x ( + ), očigleda je ejedakost x y za proizvoljo N. Pokazati da je iz (y ) N strogo mootoo opadajući, ostavljeo je čitaocu za vježbu. Iz ovoga oda zaključujemo da je bilo koji čla iza (y ) N gorje ograičeje iza (x ) N, pa možemo reći da je x y = 4, za proizvoljo N. Iz mootoosti i ograičeosti iza (x ) N zaključujemo jegovu kovergeciju. Primjetimo da sličo vrijedi i za iz (y ) N. Naime, kako je iz (x ) N mootoo rastući, svi jegovi člaovi su veći od x. Tada za mootoo opadajući iz (y ) N imamo da je x = y za sve N, tojest o je i ograiče odozdo te je i o kovergeta iz. Zbog veze y = x ( + ) jaso je da vrijedi lim x = lim y. Graičoj vrijedosti ova dva iza dajemo posebo ime (po matematičaru Euleru 5 ), a ističemo i jegovu važost za račuaje mogih drugih limesa. Defiicija.. ( e = lim +. + ) 4 (Beroullijeva ejedakost) Neka je N i x reala broj veći od. Tada vrijedi ( + x) + x. 5 Leohard Euler, švicarski matematičar

22 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Broj e azivamo Eulerovim brojem i o je jeda od ajvažijih matematičkih kostati. Prvih ekoliko decimala tog broja su e = ( Niz sa opštim člaom x = + je forme stepea čija osova je ) ( + ) i koja teži ka (kada ), a ekspoet je koji teži ka + (kada ). Time je graiči proces iza (x ) N oblika koji je jeda od avedeih eodredeih oblika. ( ) + Primjer.37 Izračuati lim. + Razmatrajući osovu stepea i ekspoet stepea iza čiju graiču vrijedost treba izračuati, vidimo da je limes oblika. Ovakvi oblici se rješavaju pomoću limesa Eulerovog broja. ( ) + ( lim = lim + ) + + [ ( = lim + ) ] + ( + ) + + = e = e. Neka su (x ) N i (y ) N proizvolji izovi, takvi da x x i y y ( ). Ako posmatramo iz količik ova dva iza, jegovu kovergeciju zamo ispitati u svim slučajevima osim ako je x = y = 0 ili x = y = (O ostalim slučajevima govore Teorem..4.(a), Teorem.. i Teorem..3). Za elimiaciju eodredeosti tipa 0 0 i izuzeto su dobre i korise Stolz-Cesaro teoreme. Teorem..7 Stolz-Cesaro, tip 0 0. Neka su (x ) N i (y ) N proizvolji ula-izovi koji zadovoljavaju uslove:. Niz (y ) N je strogo mooto. x + x. Postoji koača ili beskoača graiča vrijedost lim. + y + y x Tada postoji i lim i važi jedakost + y lim + x y = lim + x + x. y + y Dokaz : Bez umajeja opštosti eka je iz (y ) strogo mootoo opadajući. x + x Slučaj I: Neka je lim = L R. Za proizvoljo ε > 0, postoji 0 N, takav da je + y + y L ε < x + x y + y < L + ε, za svako 0. Kako je (y ) mootoo opadajući, to je y + y < 0, a time je oda (L ε)(y + y ) > x + x > (L + ε)(y + y ), za sve 0. Ako fiksiramo eko ovakvo, gorju ejedakost oda možemo zapisati za svako, +, +,..., + p, za proizvoljo p N. Saberemo li sve te ejdakosti (sabirajme odgovarajućih mjesta), dobijamo sljedeću vezu, (L ε)(y +p y ) > x +p x > (L + ε)(y +p y ).

23 . Numerički izovi 3 Puštajući da p, poštujući prolaz limesa kroz strogu ejedakosti i uzimajući da su u pitaju ula-izovi, imamo, (L ε)( y ) x (L + ε)( y ). Djeleći posljedje sa y, vrijedi (L ε) x y (L + ε), za proizvoljo 0. Ovo zači da je iz (q f racx y ) kovergeta i da je lim = L. + y x + x Slučaj II: Neka je lim = +. To zači da za proizvoljo M > 0, postoji 0 N, takav + y + y da je x + x > M, y + y za svako 0. Koristeći ovo vrijedi geeralije, m x x m = k= (x k x k+ ) > m m M(y k y k+ ) = M k= k= za sve m, N, za koje je m > 0. Odavde je oda ( x > M y ) m + x m. y y y Držeći fiksim i puštajući da m, zaključujemo da je x y M, x (y k y k+ ) = M(y y m ), x za sve 0, a to zači da je lim = +. + y x + x Slučaj III: Ako je lim =, dokaz je potpuo aaloga Slučaju II. + y + y Na sliča ači gorjem, dokazujemo i aredi teorem. Teorem..8 Stolz-Cesaro, tip. Neka su za proizvolje izove (x ) N i (y ) N zadovoljei uslovi:. Niz (y ) N je mootoo rastući.. lim y = +. + x + x 3. Postoji koača ili beskoača graiča vrijedost lim. + y + y x Tada postoji i lim i važi jedakost + y lim + x y = lim + x + x. y + y Primjer.38 Izračuati: lim + 3. Ozačimo sa x = i sa y = 3. Jaso je da vrijedi lim + 3 = +. Osim toga je 3 + > 3, tojest iz (y ) je mootoo rastući. Kako je lim + x + x = lim y + y = lim + 3 = 0,

24 4 Poglavlje. Numerički izovi i redovi dakle zadovoljei su uslovi Teorema..8 pa vrijedi lim + 3 = Primjer.39 Izračuati lim + 3. Ozačimo sa x = i y = 3. Kako je y + y = ( + ) >, iz (y ) je mootoo rastući. Pri tome je lim + 3 = +, te su zadovoljea prva dva uslova Teorema..8. x + x ( ( + ) ) ( ) lim = lim y + y ( + ) 3 3 Dakle, postoji lim + ( + ) = lim ( + ) 3 3 = lim = 3. x + x i oda je y + y lim + 3 = 3. Stolz-Cesaro teoreme imaju veliku primjeu. Jedu od jih iskazujemo u aredoj formi. Posljedica.3.. Ako je lim x = x R x + x + + x, tada je lim = x Ako je lim x = x R i svi člaovi iza su pozitivi, tada je lim x x x = x. + + Običim rječima rečeo, gorja tvrdja govori o tome da ako je iz kovergeta tada su aritmetička i geometrijska sredia takode kovergete i to ka istoj vrijedosti kao i iz. Za iz (x ) N za koga je iz jegovih aritmetičkih sredia ( x +x + +x ) kovergeta, kažemo da je N Casaro kovergeta. Dakle, gorji teorem tvrdi da kovergecija iza povlači jegovu Cesaro kovergeciju. Obrat u opštem slučaju e vrijedi. Dovoljo je posmatrati iz x = ( ), koji jeste Cesaro kovergeta ka 0, ali ije kovergeta...8 Podizovi Sve što smo do sada spomijali o izovima ticalo se kovergetih izova. Postavlja se prirodo pitaje, a šta je sa divergetim izovima? Kako ispitujemo divergeciju iza? Šta su karakteristike divergetih izova? Jedu vrstu divergetih izova, beskoače izove, smo okarakterisali kao odredeo divergete. U eformaloj podjeli izova vidjeli smo da iz može biti i eodredeo divergeta i ovu klasu izova sada ćemo detaljije okarakterisati. Ako iz iza (x ) N izdvojimo beskoačo mogo člaova u istom redoslijedu u kome se pojavljuju u datom izu, dobijei iz se aziva podizom iza (x ). Naprimjer, ako u izu (x ) N posmatramo samo jegove pare člaove, dobijamo podiz (x k ) k N ili ako posmatramo svaki sedmi čla imamo podiz (x 7k ) k N. Formala defiicija podiza je Defiicija.. Neka je dat iz (x ) N i eka je,,..., k,... strogo mootoo rastući iz prirodih brojeva. Tada kažemo da je (x k ) k N podiz iza (x ) N. Jaso je da svaki iz ima beskoačo mogo svojih podizova. Podiz (x k ) može se posmatrati kao iz sa ideksima k =,,... pa sve što je do sada rečeo za izove važi i za podizove. Neposredo iz defiicije podiza slijedi

25 . Numerički izovi 5 Teorem..9 Ako iz (x ) N ima graiču vrijedost x 0, tada i bilo koji podiz (x k ) k N datog iza ima graiču vrijedost x 0. Obrat u gorjem tvrdeju e vrijedi, tojest ako eki podiz datog iza ima graiču vrijedost, sam iz e mora imati graiču vrijedost. Jedostava primjer za to je iz x = ( ). Njegovi podizovi (x k ) i (x k ) su kostati izovi i kao takvi kovergeti dok sam iz, kao što je to pokazao raije, ije kovergeta. U ovom dijelu ćemo se upravo baviti odosom izmedu kovergecije iza i kovergecije jegovih podizova. Teorem..0 Bolzao-Weierstrass. Svaki ograiče iz u R ima bar jeda kovergeta podiz u R. Dokaz : Neka je (x ) N ograiče iz. To zači da postoji segmet a realoj pravoj [ K,K] u kome se alaze svi člaovi ašeg iza. Ozačimo sa a = K i b = K i stavimo da je c = a +b. Tada u bar jedom od segmeata [a,c ], [c,b ] se alazi beskoačo mogo člaova ašeg iza (ako bi u oba segmeta bilo po koačo mogo člaova iza, to bi začilo da sam iz ima koačo mogo člaova). Ozačimo taj segmet sa [a,b ] (ako u oba segmeta ima beskoačo mogo člaova iza, izaberemo bilo koji od jih). Neka je c = a +b i opet posmatrajmo dva segmeta [a,c ] i [c,b ]. Prema istom rezou kao malo prije, ozačimo sa [a 3,b 3 ] oaj od segmeata u kome se alazi beskoačo mogo člaova ašeg iza. Nastavljajući ovaj proces, račuamo c = a +b, formiramo segmete [a,c ], [c,b ], biramo oaj u kome se alazi beskoačo mogo člaova iza i ozačavamo ga sa [a +,b + ]. Ovim postupkom se formira iz segmeata [a,b ] ( N) sa osobiama i ( N) [a +,b + ] [a,b ], (.6) lim (b 4K a ) = lim = 0. (.7) Na osovu Catorovog aksioma postoji tačo jeda x [a,b ], tojest za svako N, x [a,b ]. Iz (.6) je (a ) N mootoo rastući iz brojeva, ograiče odozgo sa K, te je kovergeta iz. Isto tako, iz (b ) N je mootoo opadajući iz ograiče odozdo sa K te je i o kovergeta. Iz (.7) zaključujemo da je lim a = lim b. Sada zbog osobie a x b za svako N, a osovu teoreme o lopovu i dva policajca zaključujemo da je lim a = lim b = x. Prema kostrukciji iza segmeata, u svakom segmetu [a,b ] postoji beskoačo mogo člaova iza (x ) N. Izaberimo za svako k N, x k [a k,b k ], pri čemu je k > k. Na ovaj ači smo izdvojili podiz (x k ) k N iz iza (x ) N za koga vrijedi ( k N) a k x k b k, pa koristeći još jedom teorem o lopovu i dva policajca, zaključujemo da je (x k ) kovergeta podiz. Za eograičee izove imamo sljedeće tvrdeje. N

26 6 Poglavlje. Numerički izovi i redovi Teorem.. Svaki iz eograiče odozgo (odozdo) sadrži podiz koji odredeo divergira ka + ( ). Ako je iz eograiče i ije beskoačo veliki, tada postoji podiz koji kovergira u R. Dokaz : Ostavljeo za vježbu! Kombiujući prethoda dva teorema možemo dati sljedeće geeralo tvrdeje. Teorem.. Svaki reala umerički iz sadrži kovergeta podiz u R. Ako iz ije beskoačo veliki, oda sadrži kovergeta podiz u R. Defiicija..3 Za tačku a R kažemo da je tačka agomilavaja iza (x ) N ako postoji podiz (x k ) k N datog iza koji kovergira ka tački a. Primjer.40 Posmatrajmo iz sa opštim člaom x = si π 3. Posmatramo li člaove iza sa ideksima = 3k (k N), dobijamo podiz (x 3k ) koji je kostata iz (x 3k = si 6kπ 3 = sikπ = 0) te kao takav i kovergeta ka 0. Posmatramo li člaove iza sa ideksima = 3k, dobijamo podiz (x 3k ) koji je kostata iz (x 3k = si (3k )π 3 = si ( kπ π ) 3 = 3 ) te kao takav i kovergeta ka 3. Posmatramo li člaove iza sa ideksima = 3k, dobijamo podiz (x 3k ) koji je kostata iz (x 3k = si (3k )π 3 = si ( kπ 4π ) 3 = ) te kao takav i kovergeta ka. Dakle, tačke 0, 3 i su tačke agomilavaja iza (x ). Tačku agomilavaja možemo defiisati i a sljedeći ači. Defiicija..4 Tačka a R je tačka agomilavaja iza (x ) N ako vrijedi ( ε > 0)( N)( m > ) x m a < ε. Iz ove druge defiicije vidimo i razliku izmedu pojma limesa i pojma tačke agomilavaja. Naime, limes iza ima osobiu da se u svakoj jegovoj okolii alaze skoro svi člaovi iza (va te okolie alazi se samo koačo mogo člaova iza), dok se u proizvoljoj okolii tačke agomilavaja iza alazi samo beskoačo mogo člaova iza (pa ih i va te okolie može biti beskoačo mogo). Naravo, limes iza, ako postoji, uvijek je jegova tačka agomilavaja (i to jedia), dok obrat e mora da važi. Napomeimo ovde još jedu važu razliku izmedu pojma tačke agomilavaja iza (x ) N i tačke agomilavaja skupa vrijedosti iza {x N}. Naprimjer, kao što smo to vidjeli već, iz x = ( ) ima dvije tačke agomilavaja x = i x =, dok skup vrijedosti tog iza {,} ema iti jedu tačku agomilavaja jer je o koača skup. U kotekstu tačaka agomilavaja Bolzao-Weierstrassov teorem možemo iskazati i a sljedeći ači. Teorem..3 Svaki ograiče iz realih brojeva ima bar jedu tačku agomilavaja u R. I Teorem.. možemo iskazati drugačije. Teorem..4 Svaki iz realih brojeva ima bar jedu tačku agomilavaja u R. Ako sa T (x ) ozačimo skup svih tačaka agomilavaja iza (x ) N, oda a osovu Bolzao- Weierstrassovog teorema zaključujemo da je o epraza u R. Koja je gorja graica broja elemeata ovog skupa eće as zaimati, iako treba reći da se mogu kostruisati izovi koji imaju proizvoljo mogo tačaka agomilavaja, šta više, postoje izovi za koje je svaka tačka iz R, jihova tačka agomilavaja.