VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

Транскрипт

1 VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007

2 OBAVEZNO PRO^ITATI! Izrada zadataka traje 0 minuta Re{ava se 6 zadataka Svaki ta~no re{eni zadatak sa obrazlo`enim koracima donosi 0 bodova Maksimalno osvojeni broj bodova je 60 Pri re{avanju zadataka nije dozvoljena upotreba mobilnih telefona, tablica ili ra~unara

3 3 S A D A J Algebarski izrazi, stepenovanje i korenovanje 4 Linearne jedna~ine i nejadna~ine 6 3 Linearne funkcije 8 4 Kvadratne funkcije, jedna~ine i nejedna~ine 0 5 Eksponencijalne jedna~ine i funkcije 6 Logaritam 4 7 Iracionalne jedna~ine i nejedna~ine 6 8 Binomne i bikvadratne jedna~ine 8 9 Trigonometrijske jedna~ine i nejedna~ine 0 0 Povr{ina i zapremina geometrijskih tela Aritmeti~ki i geometrijski niz 4 Analiti~ka geometrija u ravni 6

4 4 ALGEBARSKI IZRAZI, STEPENOVANJE I KORENOVANJE Izra~unati vrednost izraza (( ) ( )) 3 3 a+ a b+ b za a =, b= Izra~unati a a a b + b a+ b b a+ b 3 Izra~unati 3 y 3+ y 9 3y + 3y y 4 Uprostiti izraz 5 Uprostiti izraz 3 3 m n + m mn m + mn m + mn + n ( a+ b)( a b ) 3 3 a + b b ab + a+ b a b 6 Uprostiti izraz ( m+ n) ( m+ n) m n 4 : mn mn mn 7 Uprostiti izraz a a a : a a + a a Izra~unati a a a +, a > a+ + a a+ a

5 5 9 Skratiti razlomak ( m ) m ( n ) n, m> n> 0 3 mn+ mn+ m m 0 Uprostiti izraz a b ( ab), a 0, b 0, a b 3 3 > > a + b a b Obaviti nazna~ene operacije Izra~unati 3 Uprostiti izraz 3 a a a a, a > 0, a a a a a a b a b + a + b a b a a + b b a + b ab a b a b +, a > 0, b > 0, a b 4 Uprostiti izraz a a b, a> 0, b> 0 a b + ab 5 Uprostiti izraz ( ) a+ b a b a b a+ b, ab 0 ( a+ b) ( a b)

6 6 LINEARNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE Odrediti, ako postoji, re{enje jedna~ine Re{iti jedna~inu + 4+ = = Re{iti jedna~inu a a+ a 0 + = a a 4a 4 Re{iti jedna~inu + b b a + b = 4 a + a a 5 Re{iti jedna~inu = Re{iti jedna~inu = 7 Re{iti jedna~inu 3 + = 8 Re{iti jedna~inu 6a + 6a ( + 4a) + = + 6a 6a 36a

7 7 9 Re{iti jedna~inu = + 0 Re{iti nejedna~inu ( 4 ) + ( 5 ) 3 6 Re{iti nejedna~inu Re{iti nejedna~inu 3 Re{iti nejedna~inu 4 Re{iti nejedna~inu + > < > + 5 Re{iti jedna~inu p = p

8 8 3 LINEARNE FUNKCIJE 3 U funkciji y = a+ b odrediti realne parametre a i b tako da njenom grafiku pripadaju ta~ke A( 3, 4) i B(,) 3 Data je prava ( b ) + ( b+ ) y+ b + b+ = 0 Odrediti vrednost parametra b za koje prava prolazi kroz koordinatni po~etak, pa za tu vrednost napisati jedna~inu prave 33 Skicirati grafik funkcije ( ) 3( ) ( + y = 3) 34 Odrediti parametar k tako da funkcija bude rastu}a 3k y = + k k 35 U skupu funkcija y= ( a 4) ( 3a 0 ), a R, odrediti parametar a tako da ta~ka M (, ) pripada grafiku funkcije Za nadjenu vrednost parametra a ispitati funkciju i skicirati njen grafik 36 Odrediti parametar k tako da funkcija bude opadaju}a k + y = k k 3

9 9 37 U funkciji f ( ) = ( a 3) + a+ 5 odrediti parametar a tako da grafik funkcije se~e Oy osu u ta~ki ~ija je ordinata y = 5, pa za nadjeno a skicirati grafik funkcije 38 Nacrtati grafik funkcije y = Nacrtati grafik funkcije y = + 30 Nacrtati grafik funkcije y = Ispitati promene funkcije grafik y = + i konstruisati njen 3 Odrediti f ( ) i f ( ) ako je ( ) f + = U funkciji y = ( m 3) + m odrediti parametar m tako da grafik funkcije sa O osom gradi nula ugao, pa za nadjeno m konstruisati grafik funkcije 34 Dat je skup funkcija y= ( 4m 6) ( 3m ), m R Odrediti m tako da funkcija ima nulu =, pa za nadjeno m konstruisati grafik funkcije 3 f 35 Neka je f ( ) = + Odrediti f ( ) i skicirati grafike funkcija f ( ) i ( )

10 0 4 KVADRATNE FUNKCIJE, JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 4 U skupu funkcija y = ( m ) + ( m 4) ( m+ ) odrediti parametar m R tako da funkcija posti`e najmanju vredost za = Za nadjeno m odrediti y min i nule funkcije 4 Skicirati grafik funkcije y = Odrediti parametar a R tako da jedan od korena 5 jedna~ine + a = 0 bude kvadrat drugog korena 4 44 Odrediti kvadratnu jedna~inu ~ija re{enja i zadovoljavaju relacije 4 5( + ) + 4=0 i ( )( ) = 6 5 m 6 m 0 45 Data je jedna~ina ( + ) + ( + ) = Sastaviti kvadratnu jedna~inu ~ija su re{enja z =, z 46 Odrediti vrednost parametra p R tako da jedna~ina 9 p= 6+ p ima kompleksne korene 4 4 = 47 Data je funkcija ( ) ( ) y = r + r + Odrediti realan parametar r tako da funkcija bude pozitivna za svako realno

11 48 Re{iti nejedna~inu Odrediti a R tako da jedna~ina + ( 3 a) + a = 0 ima negativna re{enja 40 Izra~unati p i q tako da p i q budu re{enja jedna~ine + p+ q = 0 4 Ako su i re{enja jedna~ine + k+ = 0, na}i one vrednosti k R za koje va`i nejednakost + > 4 U zavisnosti od a R po re{iti nejedna~inu a 8a > a + a a 43 Odrediti a R tako da jedna~ina 4 = ( 3 a)( ) ima realna i razli~ita re{enja i za koja va`i Odrediti m R tako da za svako R va`i ( m ) + ( m+ ) + m < 0 45 Re{iti nejedna~inu + +

12 5 EKSPONENCIJALNE JEDNA^INE I FUNKCIJE 5 Re{iti jedna~inu ( ) 4 5 ( 4 5) + + = 8 5 Re{iti jedna~inu 53 Re{iti jedna~inu 54 Re{iti jedna~inu = = = 0 55 Re{iti jedna~inu 56 Re{iti jedna~inu = + = Re{iti jedna~inu 05 = 4 3

13 3 58 Re{iti jedna~inu = 6 59 Re{iti jedna~inu 50 Re{iti jedna~inu ( ) = 0, = 4, Re{iti jedna~inu 3 0 = ( ) 5 Re{iti jeda~inu 53 Re{iti jedna~inu 0,5 0+ 6,5 8 = = 0 54 Re{iti jedna~inu + 33 = 4 55 Re{iti jedna~inu + =

14 4 6 LOGARITAM OSOBINE, JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 6 Re{iti jedna~inu 6 Re{iti jedna~inu 3 log ( ) + = log 9 = 3 63 Re{iti jedna~inu log 3 log3( 7) + = 64 Re{iti jedna~inu log + log = log 3 66 Izra~unati vrednost izraza log 4 log3 9 = log Izra~unati vrednost izraza log5 log0 3 log500 = Izra~unati vrednost izraza log ( 4 log ) =

15 5 69 Izra~unati vrednost izraza log ( log3 3 ) 60 Izra~unati vrednost izraza = log3 8 ( ) log65 5 0, Re{iti nejedna~inu ( ) ( ) log 5 + 5log Re{iti nejedna~inu ( ) 3 ( ) log 3 + log Re{iti nejedna~inu ( + log )( + log ) 6 64 Re{iti nejedna~inu log + log( 4+ 3) log( 3 ) 65 Re{iti nejedna~inu log log ( 3 ) 5 5

16 6 7 IRACIONALNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 7 Re{iti jedna~inu + 3 = 7 Re{iti jedna~inu = Re{iti jedna~inu 74 Re{iti nejedna~inu 75 Re{iti jedna~inu 76 Re{iti nejedna~inu 77 Re{iti nejedna~inu 78 Re{iti nejedna~inu + = 4 > + = + 3< < 4 6 < 79 Re{iti jedna~inu + 3 = +

17 7 70 Re{iti jedna~inu = Re{iti nejedna~inu 6 > 5 7 Re{iti nejedna~inu > 0 73 Re{iti nejedna~inu + 4> 4 74 Re{iti jedna~inu 5 7 = 75 Re{iti jedna~inu 4 7 4, + = R

18 8 8 BINOMNE I BIKVADRATNE JEDNA^INE 8 Re{iti jedna~inu ( ) ( ) = 0 8 Re{iti jedna~inu 3 + = 0 83 Po re{iti jedna~inu ( ) 4 a b 4a b = 84 Re{iti jedna~inu = 4 85 Re{iti jedna~inu = Odrediti sva re{enja jedna~ine 87 Re{iti jedna~inu ( ) = a + = b ( ) ( + a) 88 Na}i sva re{enja jedna~ine =

19 9 89 Re{iti simetri~nu jedna~inu 80 Re{iti jedna~inu = ( ) ( ) = 0 8 Re{iti simetri~nu jedna~inu 8 Po re{iti jedna~inu = a + 9a = 0 83 Skratiti razlomak Odrediti a R tako da jedna~ina ima jednaka re{enja a 6+ 3a + 4 = 0 85 Po re{iti jedna~inu 6a = a a

20 0 9 TRIGONOMETRIJSKE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 9 Re{iti jedna~inu sin3 + cos3= sin7 9 Odrediti re{enja jedna~ine π sin = cos 93 Re{iti jedna~inu sin cos 0 + = 94 Re{iti jedna~inu sin + sin + sin 3= 0 95 Re{iti jedna~inu 96 Re{iti jedna~inu 97 Re{iti jedna~inu 98 Re{iti jedna~inu 99 Re{iti nejedna~inu cos = cos 3+ sin sin + cos = sin 3 sin cos = = cos sin 3cos

21 3cos4+ sin4> 90 Re{iti nejedna~inu sin + 3 cos < 9 Re{iti nejedna~inu π π 3sin cos > Re{iti jedna~inu cos + 3sin + 3 sin cos = 93 Re{iti jedna~inu 4 cos ( 6) + 6 cos ( 3) = 3 94 Re{iti nejedna~inu sin + cos < 95 Re{iti jedna~inu + = sin 3cos sin

22 0 POVR[INA I ZAPREMINA GEOMETRIJSKIH TELA 0 Visine dva valjka jednakih osnova odnose se kao : 3 3 Zapremina prvog valjka je 36π cm Kolika je zapremina drugog valjka? 0 Izvodnica kupe je 0 cm, a povr{ina kupe je 96π cm Na}i omota~ i zapreminu kupe 03 Izra~unati zapreminu kupe ~ija je povr{ina 90π, a izvodnica je za 3 du`a od pre~nika osnove 04 Polupre~nici osnova zarubljene kupe su 7 I, a izvodnica je 3 Na}i povr{inu i zapreminu zarubljene kupe 05 Povr{ina zarubljene kupe je 308π, izvodnica 7 a polupre~nik ve}e osnove 0 Izra~unati zapreminu zarubljene kupe 06 Izra~unati povr{inu i zapreminu prave trostrane prizme ~ije su osnovne ivice 3, 4 i 5, a visina 0 07 Kod pravilne {estostrane prizme je a osnovna ivica i H visina Na}i povr{inu prizme ako je a: H = : i zapremina je Povr{ina valjka je 80π cm, a razlika visine i polupre~nika osnove je 3 cm Izra~unati zapreminu valjka

23 3 09 Kod pravilne ~etvorostrane piramide je a osnovna ivica, h apotema (visina bo~ne strane), H visina, P povr{ina i V zapremina Na}i ove veli~ine ako va`i P = V, a: h: H = 6:5:4 00 Kod pravilne {estostrane piramide je osnovna ivica 0, bo~na ivica 3 Na}i povr{inu i zapreminu piramide 0 Povr{ina pravilne trostrane piramide je 8 3, a visina piramide je dva puta du`a od osnovne ivice Na}i osnovnu ivicu i zapreminu piramide 0 Povr{ine osnova pravilne ~etvorostrane zarubljene piramide odnose se kao 9:, zapremina joj je 56, a visina 4 Izra~unati povr{inu piramide 03 Apotema h i osnovne ivice a i a pravilne ~etvorostrane zarubljene piramide se odnose kao 5:8:, a njena zapremina je Na}i povr{inu zarubljene piramide 04 Kod pravilne zarubljene trostrane piramide su osnovne ivice 9 i 3, a visina bo~ne strane (apotema) je 8 Na}i zapreminu piramide 05 Izra~unati visinu pravilne trostrane prizme povr{ine 0 3 i osnovne ivice 4 a =

24 4 ARITMETI^KI I GEOMETRIJSKI NIZ Ivice pravouglog paralelepipeda ~ija je prostorna dijagonala 6, a povr{ina 7, ~ine geometrijski niz Izra~unati ivice Peti ~lan aritmeti~kog niza je 3, a deveti ~lan 9 Odrediti niz 3 Izra~unati zbir prvih n prirodnih brojeva 4 Kod aritmeti~kog niza je a = i a 8 = 3 Na}i a 5 5 Kod aritmeti~kog niza je a 3 + a 9 = 8 Na}i 6 Koliko brojeva treba umetnuti izmedju brojeva 6 i 50 da bi se dobio aritmeti~ki niz ~iji je zbir ~lanova 995? 7 Odrediti geometrijski niz kod koga je zbir drugog i tr}eg ~lana 6, a ~etvrti ~lan je za 4 ve} od drugog ~lana 8 U geometrijskom nizu je zbir prva dva ~lana 5, a zbir prva tri ~lana 05 Na}i prvi ~lan koji odgovara pozitivnom koli~niku 9 Obim pravouglog trougla je 3 h, a njegove stranice obrazuju aritmeti~ki niz Kolike su stranice? 0 Tri broja, ~iji je zbir 65, obrazuju geometrijski niz Ako se srednji ~lan uve}a za 0 niz postaje aritmeti~ki Odredi ta tri broja S

25 5 Tri broja ~iji je zbir 30, ~ine aritmeti~ki niz Ako se drugom doda a tre}em 0 dobija se geometrijski niz Izra~unati te brojeve Tri broja zbira 57 ~ine geometrijski niz Srednji ~lan je od zbira susednih Odrediti te brojeve Izra~unati zbir prvih 6 ~lanova geometrijskog niza ako je a 3 n n = 4 Izmedju brojeva 4 i 04 umetnuti (interpolirati) tri broja koji sa datim brojevima ~ine geometrijski niz 5 Razlika ~etvrtog i prvog ~lana geometrijskog niza je 5, a zbir prva tri ~lana tog niza je 6 Na}i zbir prvih {est ~lanova tog niza

26 6 ANALITI^KA GEOMETRIJA U RAVNI Data su dva susedna temena A(-4,4) i B(,8) i presek dijagonala S(,) paralelograma ABCD Izra~unaj koordinate temena C i D Odredi jedna~inu prave koja sadr`i ta~ku M(-,4) i ~ije je rastojanje od ta~ke N(-,-) jednako 5 3 Odredi m tako da se prave seku pod uglom od 4 π 5+ my 5m= 0 i + 3y+ 0= 0 4 Dat je trougao sa temenima A(-,3), B(0,4) i C(-,-) Odredi jedna~inu visine trougla iz temena C 5 Odredi k tako da prava y = k+ 3 buda tangenta kru`nice + y = 6 Odrediti jedna~inu elipse ~ija je mala osa 3, a sadr`i ta~ku A 3, ( ) 7 Odredi tangente elipse + y = paralelne pravoj + y = 0

27 7 8 Sastaviti jedna~inu elipse b + ay = ab koja dodiruje prave + 3y+ 6= 0 i + y 8= 0 9 Odredi jedna~inu hiperbole koja ima asimptotu y =± 05 i prolazi kroz ta~ku M (5, ) 0 Odredi tangentu hiperbole 9 4y = 36 koja je paralelna pravoj y = 4 Odredi du`inu tetive parabole y = 4 koja prolazi kroz njenu `i`u i ima koeficijent pravca k = Odrediti jedna~inu tangente parabole y = 3 koja je paralelna pravoj 3 y = 0 3 Odrediti ta~ku C na Oy-osi tako da je povr{ina trougla ABC, gde je A(-,) i B(,3), jednaka 0 4 Odredi centar i polupre~nik kru`nice + y y = 0 5 Odrediti jedna~inu kru`nice sa centrom u C(-3,) i koja prolazi kroz ta~ku M(0,6)

28 8 Literatura [ ] Bogoslavov T V, Zbirka re{enih zadataka iz matematike, Zavod za ud`benike i nastavna sredstva, Beograd, 997 [ ] Bogoslavov T V, Zbirka re{enih zadataka iz matematike, Zavod za ud`benike i nastavna sredstva, Beograd, Bogoslavov T V, Zbirka re{enih zadataka iz matematike 4, Zavod za [ ] ud`benike i nastavna sredstva, Beograd, D, Mitrinovi} O, To{i} DJ D, Matemati~ki priru~nik za [ ] takmi~enje srednjo{kolaca i prijemne ispite na fakultetima, Gradjevinska knjiga, Beograd, Georgijevi} D, Obradovi} M, Matematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje {kole, Zavod za ud`benike i nastavna sredstva, Beograd, Georgijevi} D, Obradovi} M, Matematiskop 4, Nauka, Beograd, 99 [ ] [ ] [ 7 ] Herceg D, Matemati~ke formule, Zmaj, Novi Sad, 00 [ 8 ] Herceg D, Lu`anin Z, Pripremni zadaci za prijemni ispit iz matematike, Symbol, Novi Sad, 00 [ 9 ] Ognjanovi} S, Matematika, Krug, Beograd, 999 [ 0 ] Mintakovi} S, Zbirka zadataka iz stereometrije, Zavod za izdavanje ud`benika, Sarajevo, 968 [ ] Mi}i} V, Ognjanovi} S, Zbirka zadataka iz matematike za II razred srednje {kole, Nau~na knjiga, Beograd, Zavod za izdavanje ud`benika, Novi Sad, 99 Ognjanovi} S, Kadelburg V, Matematika, Krug, Beograd, 995 [ ] 4 + [ 3 ] Sre}kovi} S, Peri{i} P, Zbirka re{enih zadataka sa klasifikacionih ispita iz matematike, Po`arevac, 997 [ 4 ] Sre}kovi} S, Vi{a matematika metodi~ka zbirka zadataka, Po`arevac, 998 [ ] 5 Vasi} M P, Jani} R R, Bogoslavov T V, Zbirka zadataka iz matematike za II razred zajedni~ke osnove srednjeg usmerenog obrazovanja, Nau~na Knjiga, Beograd, 980