INTEGRALI ZADACI (V-DEO) Inegrli nekih funkcij koje sdrže kvdrni rinom b c Njpre ćemo proučii inegrle oblik: I i I b c b c Kod njih se kvdrni rinom b c svede n knonični oblik pomoću formule: b c b b c nrvno, možemo korisii i dopunu do punog kvdr, ko ne voli d pmi formulu. b Zim uzimmo smenu: d, i dobijemo neki od bličnih inegrl. I se može svesi n rcg C b c, ln ili ln C C I se svodi njčešće n b c C ili rcsin ln C primer.? 6 b c b c b 6 Ovde je, 6, p o zmenimo u formulicu, dkle: b cb 6 ( 6) 56 Lkše je nrvno izvršii dopunu do punog kvdr, zne ono dodmo i oduzmemo onj uz podeljen s p o n broj uz kvdr. 6 699 ( ) Uz je 6, p dodjemo i oduzimmo 6 9 www.memirnje.com
Vrćmo se u inegrl: d ( ovo je rcg C iz bele)= 6 ( ) d rcg C ( vrimo smenu) rcg C primer. 65? 5 9 9 5 65( ) ( ) [( ) ] 6 5 [( ) ] ( ) d ( ) Uporebimo iz blice ln C ln ( ) ln 6 5 C vrimo smenu C ( ) Kd znmo ov dv ip inegrl,možemo nučii i : I A B i I b c A B b c Oni se rdom svedu n prehodn dv inegrl: I I A B se svede n inegrl I b c, dok se b c A B b c svede n inegrl I b c. Posoje goove formulice u kojim reb smo d uporedie i ndjee vrednosi z A,B,,b i c. Pzie: njih smee korisii smo ko o odobrv vš profesor! Mi ćemo vm pokzi i ceo posupk u slučju d ne smee d korisie formule www.memirnje.com
Formulice su: I = A ln b c +(B- Ab ) I +C i A Ab I b c B I+C primer.? A B Ovo je očigledno inegrl ip I b c Uporedjivnjem dobijmo d je : A=, B=, =, b=,c= A Ab I ln bc ( B ) IC A, B,, b, c I ln ( ) IC ln IC Sd immo poso d rešimo inegrl ip I i d njegovo rešenje posle vrimo u formulu. I? ( ) I rcg rcg d ( ) rcg Vrimo se u formulu: ln I C ln ln rcg C rcg C www.memirnje.com
Kko bi ovj inegrl rešvli d nismo smeli korisii formulu?? Idej je d se izrz u brojiocu A+B nprvi d bude izvod izrz u imeniocu b c. To možee urdii ko šo izvučee ispred inegrl A. U nšem primeru immo u imeniocu, njegov izvod je ( )`, šo znči d u brojiocu reb d nprvimo, odnosno d izvučemo A ispred inegrl! ( ) Sd se problem sveo n rešvnje dv inegrl, gde prvi uvek rdimo smenom, drugi je ip I. d () d ln ln Ovj drugi smo već rešvli: ( ) rcg rcg d ( ) rcg Vrimo se n zdk : ( ) (ln rcg ) C ln rcg C www.memirnje.com
primer. 5? 0 I nčin ( uz pomoć formule) A Ab I bc B I 5? 0 A5, B,, b, c0 5 5 5 0 0 0 5 0 ( 7) 0 5 07 0 D rešimo ovj inegrl posebno, p ćemo vrii njegovo rešenje... 0 0 0 ( ) 6 0 ( ) 6 d 6 korisimo : ln C ln 6 ln 0 5 5 7 0 0 0 5 0 7 ln 0 C II nčin (direkno, bez uporebe formulice) 5? 0 Kko je izvod ( 0)` ( ) u brojiocu mor bii nprvljeno o. www.memirnje.com 5
5( ) 5 5 5 5 0 0 0 5 ( 5 ) 0 0 7 5 ( 5 ) 0 0 5 7 0 0 Sd rdimo ov dv inegrl ( drugi smo već rešvli kod prvog nčin). 0 () d ( ) 0 ( ) d d d d 0 0 0 0 ( ) 6 : ln 0 ( ) 6 d 6 korisimo C ln 6 ln 0 Vrimo se u zdk: 5 5 7 0 0 0 5 0 7 ln 0 C www.memirnje.com 6
7 primer 5.? Ovj primer vm nvodimo jer rebe vodii rčun o polinomu u imeniocu! A B Rekli bi d je ovo inegrl ip I i rdili bi: b c 7 6 6 Rešimo ov dv inegrl posebno, p ćemo zmenii njihov rešenj... d () d ln ln 6 6 9 ( ) 6 6 6 : ln korisimo C 9 ( ) d 6 ln ln ln vrimo rešenj: 7 6 C ln ln ln ( )( ) ln C ( ) ln ( ) ( ) ( ) C ( ) ln ( ) C www.memirnje.com 7
Nije bilo lko rešii g, priznćee... Nismo rzmišljli jednu drugu svr: D li je ovj zdk mogo d se urdi ko inegrcij rcionlne funkcije? Proverimo d li polinom u imeniocu može d se rsvi n činioce... 0, MOŽE! b b c, Lkše je rdii ( br nm): 7? 7 7 A B.../ ( )( ) ( )( ) 7 A( ) B( ) 7 AABB 7 ( AB) AB uporedjujemo AB AB7 A9 A B 7 ( )( ) 7 ln ln C ( )( ) ln ln C ln ( ) C Nš sve je dkle d proverie d li je kvdrn jednčin u imeniocu rešiv i d ko jese rdie inegrl ko inegrciju rcionlne funkcije. A B Ako kvdrn nije rešiv, rdie g ko inegrl ip I. b c Videli se d su ispl is rešenj. Uoslom, odlučie smi, š vm više odgovr ili kko pk komnduje profesor... www.memirnje.com 8
Sledeći ip inegrl je ( ) m n b c m n Ovi inegrli se smenom: m d d m, svedu n inegrl ip I b c primer 6.? Njpre uzimmo smenu kojom svodimo di inegrl n ip I. d d d d () d d d ( ) d d z d korisimo : ln C, p je ( ) d dz z ln ln z z vrimo smenu C Mormo d vrimoiprvusmenu: ln C ln ( ) C www.memirnje.com 9
Meod neodredjenih koeficijen (meod Osrogrdskog) Ovom meodom se rešvju inegrli ip polinom n-og sepen. P ( ) n gde je u brojiocu podinegrlne funkcije immo b c Posupk rd je sledeći: - posvimo jednčinu P ( ) n Q n ( ) b c b c b c Ovde je Q ( ) n polinom (n-) vog sepen s neodredjenim koeficijenim. - ovu jednčinu diferencirmo - zim sve pomnožimo s b c - s obe srne dobijmo polinome red n, p neodredjene koeficijene odredjujemo izjednčvnjem koeficijen uz ise sepene -. Kko je polinom Pn ( ) u zdcim njčešće drugog sepen počen jednčin će bii: m p r =(A+B) b c b c + b c Ali, njbolje d o vidimo n primeru: primer 7.? www.memirnje.com 0
Posvimo jednčinu: ( ) A B diferencirmo ( A B)` ( )`( A B) A ( )`( AB) A A () ( AB) ( ) ( AB) ( ) ( AB) ( ) ( ) ( ) A.../ A AB Sd uporedjujemo koeficijene: A AB ( ) ( ) ( ) A A A A B A B ( ) A AB AB uporedjujemo A A AB AB 0 ABB B0 AB 00 0 Vrimo se u počenu jednčinu: ( A B) (0) D rešimo posebno ovj inegrl... www.memirnje.com
( ) d : ln uporebimo C ln ln C C Končno, rešenje će bii: ln C primer 8.? Ako se seće, ovj inegrl smo rešvli u fjlu prcijln inegrcij. Td smo rekli d on može d se rešv n više nčin. Evo kko bi išlo rešvnje meodom Osrogrdskog. Nrvno, ope rcionlizcijom mlo preprvimo podinegrlnu funkciju... Sd je ovo oblik koji nm reb www.memirnje.com
( A B) diferencirmo A A A B A A A B ( A B) A ( AB).../ ( ) ( ) A B A uporedjujemo A B0 B0 A Rešvmo ovj sisemčić A Vrimo se u posvku ( A B) rcsin C www.memirnje.com