Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Слични документи
Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Microsoft Word - Integrali vi deo

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

Microsoft Word - VALJAK.doc

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci iii deo.doc

Microsoft Word - MATRICE.doc

Microsoft Word - IZVODI _3. deo_.doc

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Microsoft Word - 11ms201

1. Realni brojevi

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzitet u Nišu MASTER RAD Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne jednačine Mentor: Prof.

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

My_ST_FTNIspiti_Free

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

Microsoft Word - 26ms281

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

PLB146 Manual

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

Zad.RGS.2012za sajt [Compatibility Mode]

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Neodreeni integrali - Predavanje III

Jednadžbe - ponavljanje

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a

Microsoft Word - SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNACINA,zadaci.doc

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА

Microsoft Word - 26ms441

Slide 1

untitled

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

Microsoft PowerPoint - Intervencija10.ppt

Microsoft Word - MNOGOUGAO.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

Microsoft Word - EKSTREMNE VREDNOSTI I MONOTONOST FUNKCIJE.doc

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Microsoft Word - Analiticka - formule.doc

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

1

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Microsoft Word - 6ms001

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

s2.dvi

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Microsoft Word - 15ms261

Algebarski izrazi (4. dio)

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

OSNOVI ANALOGNIH TELEKOMUNIKACIJA

Microsoft Word - PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI.doc

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)

PowerPoint Presentation

Microsoft Word - CLANAKzacasopis[2].doc Sandra Kosic.doc

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Microsoft Word - Drugi dio teorije iz matematike 2

Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1

Транскрипт:

INTEGRALI ZADACI (V-DEO) Inegrli nekih funkcij koje sdrže kvdrni rinom b c Njpre ćemo proučii inegrle oblik: I i I b c b c Kod njih se kvdrni rinom b c svede n knonični oblik pomoću formule: b c b b c nrvno, možemo korisii i dopunu do punog kvdr, ko ne voli d pmi formulu. b Zim uzimmo smenu: d, i dobijemo neki od bličnih inegrl. I se može svesi n rcg C b c, ln ili ln C C I se svodi njčešće n b c C ili rcsin ln C primer.? 6 b c b c b 6 Ovde je, 6, p o zmenimo u formulicu, dkle: b cb 6 ( 6) 56 Lkše je nrvno izvršii dopunu do punog kvdr, zne ono dodmo i oduzmemo onj uz podeljen s p o n broj uz kvdr. 6 699 ( ) Uz je 6, p dodjemo i oduzimmo 6 9 www.memirnje.com

Vrćmo se u inegrl: d ( ovo je rcg C iz bele)= 6 ( ) d rcg C ( vrimo smenu) rcg C primer. 65? 5 9 9 5 65( ) ( ) [( ) ] 6 5 [( ) ] ( ) d ( ) Uporebimo iz blice ln C ln ( ) ln 6 5 C vrimo smenu C ( ) Kd znmo ov dv ip inegrl,možemo nučii i : I A B i I b c A B b c Oni se rdom svedu n prehodn dv inegrl: I I A B se svede n inegrl I b c, dok se b c A B b c svede n inegrl I b c. Posoje goove formulice u kojim reb smo d uporedie i ndjee vrednosi z A,B,,b i c. Pzie: njih smee korisii smo ko o odobrv vš profesor! Mi ćemo vm pokzi i ceo posupk u slučju d ne smee d korisie formule www.memirnje.com

Formulice su: I = A ln b c +(B- Ab ) I +C i A Ab I b c B I+C primer.? A B Ovo je očigledno inegrl ip I b c Uporedjivnjem dobijmo d je : A=, B=, =, b=,c= A Ab I ln bc ( B ) IC A, B,, b, c I ln ( ) IC ln IC Sd immo poso d rešimo inegrl ip I i d njegovo rešenje posle vrimo u formulu. I? ( ) I rcg rcg d ( ) rcg Vrimo se u formulu: ln I C ln ln rcg C rcg C www.memirnje.com

Kko bi ovj inegrl rešvli d nismo smeli korisii formulu?? Idej je d se izrz u brojiocu A+B nprvi d bude izvod izrz u imeniocu b c. To možee urdii ko šo izvučee ispred inegrl A. U nšem primeru immo u imeniocu, njegov izvod je ( )`, šo znči d u brojiocu reb d nprvimo, odnosno d izvučemo A ispred inegrl! ( ) Sd se problem sveo n rešvnje dv inegrl, gde prvi uvek rdimo smenom, drugi je ip I. d () d ln ln Ovj drugi smo već rešvli: ( ) rcg rcg d ( ) rcg Vrimo se n zdk : ( ) (ln rcg ) C ln rcg C www.memirnje.com

primer. 5? 0 I nčin ( uz pomoć formule) A Ab I bc B I 5? 0 A5, B,, b, c0 5 5 5 0 0 0 5 0 ( 7) 0 5 07 0 D rešimo ovj inegrl posebno, p ćemo vrii njegovo rešenje... 0 0 0 ( ) 6 0 ( ) 6 d 6 korisimo : ln C ln 6 ln 0 5 5 7 0 0 0 5 0 7 ln 0 C II nčin (direkno, bez uporebe formulice) 5? 0 Kko je izvod ( 0)` ( ) u brojiocu mor bii nprvljeno o. www.memirnje.com 5

5( ) 5 5 5 5 0 0 0 5 ( 5 ) 0 0 7 5 ( 5 ) 0 0 5 7 0 0 Sd rdimo ov dv inegrl ( drugi smo već rešvli kod prvog nčin). 0 () d ( ) 0 ( ) d d d d 0 0 0 0 ( ) 6 : ln 0 ( ) 6 d 6 korisimo C ln 6 ln 0 Vrimo se u zdk: 5 5 7 0 0 0 5 0 7 ln 0 C www.memirnje.com 6

7 primer 5.? Ovj primer vm nvodimo jer rebe vodii rčun o polinomu u imeniocu! A B Rekli bi d je ovo inegrl ip I i rdili bi: b c 7 6 6 Rešimo ov dv inegrl posebno, p ćemo zmenii njihov rešenj... d () d ln ln 6 6 9 ( ) 6 6 6 : ln korisimo C 9 ( ) d 6 ln ln ln vrimo rešenj: 7 6 C ln ln ln ( )( ) ln C ( ) ln ( ) ( ) ( ) C ( ) ln ( ) C www.memirnje.com 7

Nije bilo lko rešii g, priznćee... Nismo rzmišljli jednu drugu svr: D li je ovj zdk mogo d se urdi ko inegrcij rcionlne funkcije? Proverimo d li polinom u imeniocu može d se rsvi n činioce... 0, MOŽE! b b c, Lkše je rdii ( br nm): 7? 7 7 A B.../ ( )( ) ( )( ) 7 A( ) B( ) 7 AABB 7 ( AB) AB uporedjujemo AB AB7 A9 A B 7 ( )( ) 7 ln ln C ( )( ) ln ln C ln ( ) C Nš sve je dkle d proverie d li je kvdrn jednčin u imeniocu rešiv i d ko jese rdie inegrl ko inegrciju rcionlne funkcije. A B Ako kvdrn nije rešiv, rdie g ko inegrl ip I. b c Videli se d su ispl is rešenj. Uoslom, odlučie smi, š vm više odgovr ili kko pk komnduje profesor... www.memirnje.com 8

Sledeći ip inegrl je ( ) m n b c m n Ovi inegrli se smenom: m d d m, svedu n inegrl ip I b c primer 6.? Njpre uzimmo smenu kojom svodimo di inegrl n ip I. d d d d () d d d ( ) d d z d korisimo : ln C, p je ( ) d dz z ln ln z z vrimo smenu C Mormo d vrimoiprvusmenu: ln C ln ( ) C www.memirnje.com 9

Meod neodredjenih koeficijen (meod Osrogrdskog) Ovom meodom se rešvju inegrli ip polinom n-og sepen. P ( ) n gde je u brojiocu podinegrlne funkcije immo b c Posupk rd je sledeći: - posvimo jednčinu P ( ) n Q n ( ) b c b c b c Ovde je Q ( ) n polinom (n-) vog sepen s neodredjenim koeficijenim. - ovu jednčinu diferencirmo - zim sve pomnožimo s b c - s obe srne dobijmo polinome red n, p neodredjene koeficijene odredjujemo izjednčvnjem koeficijen uz ise sepene -. Kko je polinom Pn ( ) u zdcim njčešće drugog sepen počen jednčin će bii: m p r =(A+B) b c b c + b c Ali, njbolje d o vidimo n primeru: primer 7.? www.memirnje.com 0

Posvimo jednčinu: ( ) A B diferencirmo ( A B)` ( )`( A B) A ( )`( AB) A A () ( AB) ( ) ( AB) ( ) ( AB) ( ) ( ) ( ) A.../ A AB Sd uporedjujemo koeficijene: A AB ( ) ( ) ( ) A A A A B A B ( ) A AB AB uporedjujemo A A AB AB 0 ABB B0 AB 00 0 Vrimo se u počenu jednčinu: ( A B) (0) D rešimo posebno ovj inegrl... www.memirnje.com

( ) d : ln uporebimo C ln ln C C Končno, rešenje će bii: ln C primer 8.? Ako se seće, ovj inegrl smo rešvli u fjlu prcijln inegrcij. Td smo rekli d on može d se rešv n više nčin. Evo kko bi išlo rešvnje meodom Osrogrdskog. Nrvno, ope rcionlizcijom mlo preprvimo podinegrlnu funkciju... Sd je ovo oblik koji nm reb www.memirnje.com

( A B) diferencirmo A A A B A A A B ( A B) A ( AB).../ ( ) ( ) A B A uporedjujemo A B0 B0 A Rešvmo ovj sisemčić A Vrimo se u posvku ( A B) rcsin C www.memirnje.com