Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)
|
|
- Saša Pečar
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Nystomovi i Generalisani Milne-Simpsonovi metodi : Nystomovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 2 eksplicitni eksplicitni metodi implicitni metodi Generalisani Milne-Simpsonovi metodikodkojihjeρ(w) = w k w k 2 implicitni BDF metodi (backward difference formula): eksplicitni kod kojih je σ(w) = βw k za neko β R\{} implicitni kod kojih je σ(w) = βw k 1 za neko β R\{} Prilikom konstruisanja LVM najčešće se zadaje željeni red tačnosti. Definicija reda tačnosti ukazuje da pri konstrukciji LVM metodom neodred enih koeficijenata možemo odrediti a j, b j, j =,k tako da se dobije maksimalni red tačnosti metoda. Fiksiranjem a k = 1 imamo 2k nepoznatih koeficijenata za eksplicitni metod (b k = ). Zavisnost C j od a j i b j je linearna, odakle sledi da sa 2k koeficijenata možemo poništiti prvih 2k članova Tejlorovog razvoja, tj. C = C 1 =... = C 2k 1 =, pri čemu se može pokazati da je C 2k. Na ovaj način može se konstruisati eksplicitni LVM koračnosti k i reda tačnosti p = 2k 1. Slično, za k-koračne implicitne metode, sa 2k+1 koeficijenata možemo poništiti jedan član više u Tejlorovom razvoju i dobiti metod reda tačnosti p = 2k. Primer 1. Konstruišimo implicitni LVM, koračnosti 2, tako da ima maksimalni red tačnosti. LVM ćemo konstruisati u funkciji od jednog parametra i u zavisnosti od vrednosti tog parametra odrediti red metoda.dakle, k = 2 i a 2 = 1. Neka je a = a, gde je a pomenuti parametar. Ostaje nam da odredimo a 1,b,b 1 i b 2. Zbog zahteva da red tačnosti bude najveći, imamo da je C = a+a 1 +1 = C 1 = a 1 +2 (b +b 1 +b 2 ) = C 2 = 1 2! (a 1 +4) (b 1 +2b 2 ) = C 3 = 1 3! (a 1 +8) 1 2! (b 1 +4b 2 ) =. Rešavajući gornji sistem dobijamo da je a 1 = 1 a, b = 1 (1 + 5a), b 12 1 = 2 (1 a) i 3 b 2 = 1 (5+a), pa je traženi metod 12 (1) y n+2 (1+a)y n+1 +ay n = h 12 [(5+a)f n+2 +8(1 a)f n+1 (1+5a)f n ]. Dalje, kako je C 4 = 1 4! (a 1 +16) 1 3! (b 1 +8b 2 ) = 1 4! (1+a) C 5 = 1 5! (a 1 +32) 1 4! (b 1 +16b 2 ) = 1 3!5! (17+13a), 1
2 važi da ako je a 1 C 4 pa je metod (1) reda tačnosti 3. Ako je a = 1 C 4 =,C 5, pa je metod (1) reda tačnosti 4. U poslednjem slučaju, dobijeni metod se naziva Simpsonovo pravilo. Korišćenjem rezultata da je red tačnosti LVM p akko (2) ρ(1+z) ln(1+z)σ(1+z) = C p+1 z p+1 +O(z p+2 ), z, možemo konstruisati LVM zadate tačnosti. Naime, ako je dat drugi karakteristični polinom σ(w), iz (2) sledi da postoji jedinstven polinom ρ(w) stepena K, tako da je red metode K. S druge strane, ako je zadat prvi karaketeristični polinom ρ(w), iz (2) sledi da postoji jedinstven polinom σ(w) stepena K, tako da je red metode K + 1. Iz (2) deljenjem sa ln(1 + z) sa p = K +1 dobijamo: σ(1+z) = z ln(1+z) ρ(1+z) C K+2 z K+1 +O(z K+2 ) z Kako je z/ln(1 + z) analitička funkcija u z = i ρ(1 + z)/z mora biti analitička funkcija u z = tj. ρ(1) = α K +α K 1 + +α = (što važi ako je metod konzistentan). Posmatrajmo jedan konstruktivni primer Primer 2: Ako je σ(w) = 3 2 w 1 i K = 2 dobijamo iz (2) 2 ( 3 ρ(1+z) = ln(1+z)σ(1+z)+o(z 3 ) = ln(1+z) 2 (1+z) 1 ) +O(z 3 ) 2 )( = (z z (1+z) 1 ) +O(z 3 ) = z 2 +z +O(z 3 ) 2 = (1+z) 2 (1+z)+O(z 3 ) Dakle, ρ(w) = w 2 w, što predstavlja dvokoračni (eksplicitni) Adams-Bashfortov metod reda tačnosti p = 2: Ako je ρ(w) = w 2 w i K = 2 dobijamo y n+2 y n+1 = h 2 (3f n+1 f n ) σ(1+z) = (1+z)2 (1+z) +O(z 3 z 2 +z ) = ln(1+z) z ( z 2 ( z +1 = 1 ( z ) +O(z 3 ) = (z +1) 1+ z2 2 3 = (z +1) (1+ z3 2 3 ( z 2 z2 3 ) +O(z 3 ) ) + ( ) ) 2 z 2 z2 +O(z 3 ) 3 ) z2 z2 3 + z2 +O(z 3 ) = z z +1+O(z3 ) = 5 12 (1+z) (1+z) O(z3 ). Dakle, σ(w) = 5 12 w w 1, što daje dvokoračni (implicitni) Adams-Moultonov metod 12 reda p = 2: y n+2 y n+1 = h 12 (5f n+2 +8f n+1 f n ). 2
3 Adamsovi metodi Integracijom DJ na [x n,x n+1 ] dobija se y(x n+1 ) y(x n ) = xn+1 x n f(x,y(x))dx Za konstrukciju trapezne metode numeričku vrednost integrala u prethodnoj jednakosti odredjena je trapeznom formulom, dok za konstrukciju metoda Runge-Kutta numeričku vrednost integrala odredjuje se primenom neke kvadraturne formule. Sada ćemo primeniti drugačiju ideju. Integracijom DJ na [x n+k 1,x n+k ] dobija se (3) y(x n+k ) y(x n+k 1 ) = x n+k 1 y (x)dx = x n+k 1 f(x,y(x))dx. Ako želimo da uključimo i vrednosti u prethodnim čvorovima - od x n do x n+k 1, iskoristićemo za aproksimaciju pointegralne funkcije interpolacioni polinom P(x) stepena k 1 takav da je P(x n+j ) = f(x n+j,y n+j ), j =,1,2,...,k 1. Konstruišimo Lagranžeov interpolacioni polinom: gde je p j (x) = k 1 k 1 P(x) = p j (x)f(x n+j,y n+j ), x x n+m x n+j x n+m = ( 1) k 1 j j!(k 1 j)!h k 1 k 1 (x x n+m ), tako da zamenom u (3) (y(x n+k ) y n+k i y(x n+k 1 ) y n+k 1 ), dobijemo metod oblika odnosno k 1 y n+k = y n+k 1 + f(x n+j,y n+j ) x n+k 1 p j (x)dx k 1 (4) y n+k = y n+k 1 +h β j f(x n+j,y n+j ), gde koeficijente β j = h 1 (a) = (b) = (c) = p j (x)dx x n+k 1 x = x h n+k 1 +t = h 1 p j (x n+k 1 +t)dt, j =,1,2,...,k 1 ( 1) k 1 j j!(k 1 j)!h k 1 ( xn+k k 1 x n+k 1 ( ) ) x xn+m dx x = x n+k 1 +ht = ( 1)k 1 j j!(k 1 j)! ( 1 k 1 3 ( ) ) t+(k m 1) dt, j =,1,2,...,k 1
4 β k i 1 = ( 1) i 1 i!(k 1 i)! k 1 (t+m)dt, j =,1,2,...,k 1 m i treba odrediti. Metodi oblika (4) nazivaju se k koračni Adams-Bashfortovi metodi. Prvi karaketristični polinom kod ove klase LVM je ρ(w) = w k w k 1. imamo I Za k = 1 dobijamo eksplicitni Ojlerov metod. II Za k = 2, odredimo koeficijente β,β 1. Kako je p (x) = x x n+1 = x x n+1, p 1 (x) = x x n = x x n x n x n+1 h x n+1 x n h β = h 1 xn+2 β 1 = h 1 xn+2 x n+1 p (x)dx = 1 h x n+1 p 1 (x)dx = 1 h (AB2) : p (x n+1 +t)dt = 1 h p 1 (x n+1 +t)dt = 1 h ( 3 y n+2 y n+1 = h 2 f n+1 1 ) 2 f n III Za k = 3, odredimo koeficijente β,β 1,β 2. Kako je t h dt = 1 2 t+h h dt = 3 2 p (x) = (x x n+1)(x x n+2 ) (x n x n+1 )(x n x n+2 ) = (x x n+1)(x x n+2 ), ( h)( 2h) (x x n )(x x n+2 ) p 1 (x) = (x n+1 x n )(x n+1 x n+2 ) = (x x n)(x x n+2 ), (h)( h) (x x n )(x x n+1 ) p 2 (x) = (x n+2 x n )(x n+2 x n+1 ) = (x x n)(x x n+1 ), (2h)(h) imamo β = h 1 xn+3 β 1 = h 1 xn+3 β 2 = h 1 xn+3 x n+2 p (x)dx = 1 h x n+2 p 1 (x)dx = 1 h x n+2 p 1 (x)dx = 1 h (AB3) : p (x n+2 +t)dt = 1 2h 3 (t+h)tdt = 5 12 p 1 (x n+2 +t)dt = 1 (t+2h)tdt = 4 h 3 3 p 1 (x n+2 +t)dt = 1 2h 3 ( 23 y n+3 y n+2 = h 12 f n f n ) 12 f n (t+2h)(t+h)dt =
5 Adams-Bashfortovi metodi tačnosti metode AB1 y n+1 y n = hf n 1 1 Eksplicitni Ojlerov metod AB2 ( 3 y n+2 y n+1 = h 2 f n+1 1 ) 2 f n 2 2 AB3 ( 23 y n+3 y n+2 = h 12 f n f n ) 12 f n 3 3 AB4 y n+4 y n+3 = ( f n f n f n+1 9 ) 24 f n 4 4 Adams-Bashfortovi metodi su eksplicitni metodi. Ako želimo da dobijemo implicitne metode, za koje ćemo videti da imaju u mnogim primenama bolja svojstva, možemo u čvorove interpolacije uključiti još jedan čvor, čime dolazimo do nove klase LVM koji se nazivaju Adams- Moultonovih metodi. Za konstrukciju Adams-Moultonovih metoda, dakle, polazi se od iste ideje kao i kod Adams-Bashfortove, ali se u čvorove interpolacije uključuje još jedan čvor x n+k i time dobija interpolacioni polinom većeg stepena k. Dobija se LVM oblika odnosno y n+k = y n+k 1 + f(x n+j,y n+j ) p j (x)dx, p j (x) = x n+k 1 k x x n+m x n+j x n+m (5) y n+k = y n+k 1 +h β j f(x n+j,y n+j ), gde koeficijente β j = h 1 p j (x)dx = x = x h n+k 1 +t = h 1 p j (x n+k 1 +t)dt, j =,1,2,...,k x n+k 1 treba odrediti. Metodi oblika (5) nazivaju se k koračni Adams-Moultonovi metodi. Prvi karaketristični polinom kod ove klase LVM je ρ(w) = w k w k 1. 5
6 Adams-Moultonovi metodi metode tačnosti IO y n+1 y n = hf n Implicitni Ojlerov metod AM1 AM2 ( 1 y n+1 y n = h 2 f n ) 2 f n Trapezno pravilo ( 5 y n+2 y n+1 = h 12 f n f n+1 1 ) 12 f n AM3 ( 9 y n+3 y n+2 = h 24 f n f n f n ) 24 f n 3 4 AM4 y n+4 y n+3 = h 72 (251f n f n+3 264f n+2 +16f n+1 19f n ) 4 5 Nystromovi i Generalisani Milne-Simpsonovi metodi Za konstrukciju ekplicitnih Nystromovih i implicitnih Generalisanih Milne-Simpsonovih formula koeficijenti se dobijaju na isti način kao kod Adamsovih metoda, izuzev što se sada integracija u (3) vrši na [x n+k 2,x n+k ] tj. polazi se od y(x n+k ) y(x n+k 2 ) = x n+k 2 y (x)dx = x n+k 2 f(x,y(x))dx, a zatim se podintegralna funkcija interpolira Lagražeovim interpolacionim polinomom u čvorovima x n k+1,...,x n+k 1 za eksplicitne metode i u čvorovima x n k+1,...,x n+k za implicitne metode. Dakle, prvi karaketristični polinom kod ove klase LVM je ρ(w) = w k w k 2. 6
7 Nystromovi metodi metode tačnosti NM2 y n+2 y n = 2hf n Pravilo srednje tačke NM3 ( 7 y n+3 y n+1 = h 3 f n f n ) 3 f n 3 4 NM4 y n+4 y n+2 = ( 8 3 f n f n f n+1 1 ) 3 f n 4 4 Generalisani Milne-Simpsonovi metodi metode tačnosti GMS2 y n+2 y n = h 3 (f n+2 +4f n+1 +f n ) 2 4 Simpsonovo pravilo Napomenimo, da je Simpsonovo pravilo - optimalni metod, tj. 2k koračni metodi reda tačnosti p = 2k +2. Optimalni četvorokoračni metod (reda tačnosti p = 6) je tkz. Quadeov metod: y n (y n+3 +y n+1 ) y n = 6h 19 (f n+4 +4f n+3 +4f n+1 +f n ) Formule zadnje razlike Pored do sada konstruisanih metoda, vrlo važnu klasu LVM u primenama čine formule zadnje razlike - backward difference formula = BDF. k koračni BDF je imlicitni LVM sa β = β 1 = = β k 1 =, odnosno sa drugim karakterističnim polinomom oblika σ(w) = βw k. U prethodnim metodama za konstrukciju interpolacionog polinoma koristili smo u čvorovima x n,...,x n+k vrednosti f n,...,f n+k. Za odredjivanje koeficijenata α j, j =,1,...,k BDF možemo koristimo istu ideju konstrukcije interpolacionog polinoma sa vrednostima y n,...,y n+k takav da je P(x n+j ) = y(x n+j ), j =,1,2,...,k 1, Korišćenjem Lagranžeovog interpolacionog polinoma imamo P(x) = p j (x)y(x n+j ), p j (x) = k x x n+m x n+j x n+m 7
8 gde je Kako je p j (x) = k x x n+m x n+j x n+m. P (x) = 1 h hp j (x)y(x n+j), tj. P (x n+r ) = 1 h hp j (x n+r)y(x n+j ) zamenom y(x n+j ) y n+j i f n+r = f(x n+r,y n+r ) P (x n+r ), dobijemo metod oblika a j y n+j = hf n+r, gde su koeficijenti a j smenom t = (x x n )/h, oblika a j = hp j (x n+r) = d dt k t m j m = 1 t=r j r Za r = k dobijamo novu klasu implicitnih LVM oblika a j y n+j = hf n+k. dok za r = k 1 dobijamo eksplicitne LVM oblika a j y n+j = hf n+k 1. k,r r m j m. Napomenimo da prethodnu formulu treba normalizovati deljenjem sa koefijentom uz y n+k da bi se dobila formula sa α k = 1. Do BDF možemo doći i postupkom opisanim na početku u datom Primeru 2. Naime, ako je drugi karakteristični polinom oblika σ(w) = βw k, treba odrediti koeficijente prvog karakterističnog polinoma. Teorema 1 Za proizvoljno k 1, k koračni BDF je oblika σ(w) = βw k i ρ(w) = β 1 j wk 1 (w 1) j gde je i ima red tačosti p = k. β = ( ) 1 1 j 8
9 Backward difference formula metode tačnosti BD1 y n+1 y n = hf n Implicitni Ojlerov metod BD2 y n y n y n = 2 3 hf n BD3 y n y n y n y n = 6 11 hf n BD4 y n y n y n y n y n = hf n
10 Linearni višekoračni metodi Eksplicitni Ojlerov metod (1768.): y n = h f n y n+1 = y n + h f(x n, y n ), n =, 1, 2,..., N Implicitni Ojlerov metod: y n+1 = h f n+1 y n+1 = y n + h f(x n+1, y n+1 ), n =, 1, 2,..., N Metod srednje tačke: µ h δ h y n = 2h f n y n+1 = y n 1 + 2h f(x n, y n ), n = 1, 2,..., N Trapezno pravilo: y n+1 y n = h 2 [ f(xn+1, y n+1 ) + f(x n, y n ) ], n =, 1, 2,..., N Θ metod: y n+1 = y n + h [ θ f(x n, y n ) + (1 θ)f(x n+1, y n+1 ) ], n =, 1, 2,..., N Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 eksplicitni metodi Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 implicitni metodi Nystomovi i Generalisani Milne-Simpsonovi metodi : Nystomovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 2 eksplicitni Generalisani Milne-Simpsonovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 2 implicitni BDF metodi (backward difference formula) kod kojih je σ(w) = βw k za neko β R\{} 1
11 Adams-Bashfortovi metodi tačnosti metode AB1 y n+1 y n = hf n 1 1 Eksplicitni Ojlerov metod AB2 ( 3 y n+2 y n+1 = h 2 f n+1 1 ) 2 f n 2 2 AB3 ( 23 y n+3 y n+2 = h 12 f n f n ) 12 f n 3 3 AB4 y n+4 y n+3 = ( f n f n f n+1 9 ) 24 f n 4 4 Adams-Moultonovi metodi metode tačnosti IO y n+1 y n = hf n Implicitni Ojlerov metod AM1 AM2 ( 1 y n+1 y n = h 2 f n ) 2 f n Trapezno pravilo ( 5 y n+2 y n+1 = h 12 f n f n+1 1 ) 12 f n AM3 ( 9 y n+3 y n+2 = h 24 f n f n f n ) 24 f n 3 4 AM4 y n+4 y n+3 = h 72 (251f n f n+3 264f n f n+1 19f n ) 4 5 2
12 Nystromovi metodi metode tačnosti NM2 y n+2 y n = 2hf n Pravilo srednje tačke NM3 ( 7 y n+3 y n+1 = h 3 f n f n ) 3 f n 3 4 NM4 y n+4 y n+2 = ( 8 3 f n f n f n+1 1 ) 3 f n 4 4 Generalisani Milne-Simpsonovi metodi metode tačnosti GMS2 y n+2 y n = h 3 (f n+2 + 4f n+1 + f n ) 2 4 Simpsonovo pravilo Napomenimo, da je Simpsonovo pravilo - optimalni metod, tj. 2k koračni metodi reda tačnosti p = 2k + 2. Optimalni četvorokoračni metod (reda tačnosti p = 6) je tkz. Quadeov metod: y n (y n+3 + y n+1 ) y n = 6h 19 (f n+4 + 4f n+3 + 4f n+1 + f n ) Backward difference formula metode tačnosti BD1 y n+1 y n = hf n Implicitni Ojlerov metod BD2 y n y n y n = 2 3 hf n BD3 y n y n y n y n = 6 11 hf n BD4 y n y n y n y n y n = hf n
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
ВишеMatematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
Више1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
ВишеNumeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs
Numeričke metode u fizici, Projektni zadataci 8./9.. Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrsta životinja koje se nadmeću za istu hranu, dx ( dt = x x ) xy
ВишеФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
ВишеPRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2.
PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2. Aktivnosti u toku semestra mogu biti obavezne i opcione,
ВишеМатрична анализа конструкција
. 5 ПРИМЕР На слици. је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су константног попречног пресека b/h=./.5 m, док је коси штап са линеарном променом висине. Одредити силе на
Више07jeli.DVI
Osječki matematički list 1(1), 85 94 85 Primjena karakterističnih funkcija u statistici Slobodan Jelić Sažetak. U ovom radu odred ene su funkcije distribucije aritmetičke sredine slučajnog uzorka duljine
Више18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f
8 DERIVACIJA.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadata. Nadite f (x) ao je (a) f(x) = ( + x ) arctg x (b) f(x) = e x cos x (a)
ВишеSkripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
ВишеMy_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
ВишеТехничко решење: Софтвер за симулацију стохастичког ортогоналног мерила сигнала, његовог интеграла и диференцијала Руководилац пројекта: Владимир Вуји
Техничко решење: Софтвер за симулацију стохастичког ортогоналног мерила сигнала, његовог интеграла и диференцијала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аутори: Велибор
ВишеTest iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
ВишеMicrosoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt
Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна
Вишеvjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
ВишеNeodreeni integrali - Predavanje III
Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne
ВишеPRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee
PRVI KOLOKVIJUM 1992. 1. Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t 1. 3. Rexiti sistem
ВишеMicrosoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA II čas Marija Nefovska-Danilović 3. Stabilnost konstrukcija 1 6.2 Osnovne jednačine štapa 6.2.1 Linearna teorija štapa Važe pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj (2) i
ВишеPITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
Више3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ
УНИВЕРЗИТЕТ У БАЊОЈ ЛУЦИ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ МАТЕМАТИКА 3- ПРЕДАВАЊА Aкадемска 207/208 6. ИНТЕГРАЦИЈА ФУНКЦИЈА КОМПЛЕКСНЕ ПРОМЈЕНЉИВЕ 6.. Интеграл функције комплексне промјенљиве 6.2. Кошијева интегрална
ВишеGrafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr
Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odrediti njene krajeve. b) Odrediti sledeće skupove: -
ВишеPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
ВишеSVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
ВишеMicrosoft Word - integrali IV deo.doc
INTEGRALI ZADAI ( IV DEO) Integrcij rcionlne funkcije P( ) Rcionln funkcij je oblik Q( ). Može biti prv i neprv. Prv rcionln funkcij je on kod koje je mksimlni stepen polinom P() mnji od mksimlnog stepen
ВишеCelobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
ВишеТехничко решење: Метода мерења реактивне снаге у сложенопериодичном режиму Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аут
Техничко решење: Метода мерења реактивне снаге у сложенопериодичном режиму Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аутори: Иван Жупунски, Небојша Пјевалица, Марјан Урекар,
Више1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
ВишеMicrosoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
ВишеPEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
ВишеMicrosoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc
IZVOD FUNKCIJE Predpotavimo da je funkcija f( definiana u nekom intervalu (a,b i da je tačka iz intervala (a,b fikirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku iz tog intervala (a,b. Ova tačka može da e pomera
ВишеAlgebarski izrazi (4. dio)
Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija
ВишеТалесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
Више9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
ВишеRokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
ВишеPowerPoint Presentation
Колоквијум # задатак подељен на 4 питања: теоријска практична пишу се програми, коначно решење се записује на папиру, кодови се архивирају преко сајта Инжењерски оптимизациони алгоритми /3 Проблем: NLP:
ВишеMicrosoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc
Konstrukcija i analiza algoritama 2 (prvi kolokvijum, smer R) 1. a) Konstruisati AVL stablo od brojeva 100, 132, 134, 170, 180, 112, 188, 184, 181, 165 (2 poena) b) Konkatenacija je operacija nad dva skupa
ВишеVeeeeeliki brojevi
Matematička gimnazija Nedelja informatike 3 12. decembar 2016. Uvod Postoji 10 tipova ljudi na svetu, oni koji razumeju binarni sistem, oni koji ne razumeju binarni sistem i oni koji nisu očekivali šalu
ВишеТехничко решење: Метода мерења ефективне вредности сложенопериодичног сигнала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић
Техничко решење: Метода мерења ефективне вредности сложенопериодичног сигнала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аутори: Драган Пејић, Бојан Вујичић, Небојша Пјевалица,
ВишеАлгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
ВишеMicrosoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
ВишеЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
ВишеMatematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g.
Besselove funkcije y(x) = m=0 a m x m+σ, x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0 σ 2 = ν 2 (1 ± 2ν)a 1 = 0; n(n ± 2ν)a n + a n 2 = 0 za n 2. J ν (x) = n=0 Besselove funkcije prve vrste reda ν. ( 1) n ( x ) ν+2n n!γ(ν
ВишеЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
ВишеOptimizacija
Optimizacija 1 / 43 2 / 43 Uvod u optimizaciju Zadana funkcija Uvod u optimizaciju f : R n R Cilj: Naći x, točku minimuma funkcije f : - Problem je jednostavno opisati x = arg min x R n f (x). - Rješavanje
Вишеkolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
Више1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
ВишеDvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
ВишеMatematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
ВишеMicrosoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
ВишеUvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler
Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija
ВишеMicrosoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,
ВишеSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA ZA RJEŠAVANJE ODREĐENIH INTEGRALA I IZRAČUNA DERIVACIJE
ВишеМатематика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
ВишеУНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Департман за рачунарске науке Писмени део испита из предмета Увод у рачунарство 1. [7 пое
УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Департман за рачунарске науке 30.06.2018. Писмени део испита из предмета Увод у рачунарство 1. [7 поена] Методом МакКласкија минимизарити систем прекидачких
ВишеПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА ax x c 0 x x D 4ac a ( сви задаци су решени) c D xx x/ a a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реална D Двоструко решење (реална и једнака решења) D=0 Комплексна решења (нису
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Popravni ispit 7. rujna (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori
1. (ukuno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Poravni isit 7. rujna 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni airi i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (4 boda) Neka je nerazan sku. Precizno definirajte ojam σ-rstena
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(07) 9-35 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК7049Ž ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ЈЕДНА КЛАСА ХЕРОНОВИХ ТРОУГЛОВА БЕЗ ЦЕЛОБРОЈНИХ ВИСИНА Милан Живановић Висока
ВишеМатематика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
ВишеТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
ВишеЗадатак 4: Центрифугална пумпа познате карактеристике при n = 2900 min -1 ради на инсталацији приказаној на слици и потискује воду из резервоара А у р
Задатак 4: Центрифугална пумпа познате карактеристике при n = 900 min -1 ради на инсталацији приказаној на слици и потискује воду из резервоара А у резервоар B. Непосредно на излазу из пумпе постављен
ВишеSveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRALI Sastavio: Ante Bilušić Split, rujan 4. 1 Neodredeni
ВишеMetoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija math.e 1 of 15 Vol.25. math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih
1 of 15 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija klavirska žica konačni elementi mehanika numerička matematika Andrej Novak Sveučilište
ВишеОрт колоквијум
Задатак 1 I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада - 008/009 (16.05.009.) Р е ш е њ е a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један, лако
ВишеSkalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
ВишеMere slicnosti
Nenad Mitić Matematički fakultet nenad@matf.bg.ac.rs Kako odrediti sličnost/različitost, obrazaca, atributa, dogadjaja... Podaci različitog tipa i strukture Zavisnost od tipa, raspodele, dimenzionalnosti
ВишеINDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a
INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matmatik u industrijskom inžnjrstvu, 6.9... Diskutovati po a, b R i ršiti sistm linarnih jdnačina b + by = a. Za linarnu funkciju f(,, 3 = 3 3 izračunati minimum i tačku
Више6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
ВишеОрт колоквијум
I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада СИ - 008/009 (10.05.009.) Р е ш е њ е Задатак 1 a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један,
ВишеMicrosoft Word - Molekuli-zadaci.doc
Задаци Други колоквијум - Молекулски спектри Пример 1 Израчунајте апсорбанцију раствора, ако је познато да је транспаренција 89% на 00 nm. А 0,071 λ 00 nm таласна дужина на којој је мерена апсорбанција
ВишеSadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
ВишеZnanstveno računanje 2 3. i 4. predavanje Saša Singer web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb ZR2 2009, 3. i 4. predavanje p.
Znanstveno računanje 2 3. i 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb ZR2 2009, 3. i 4. predavanje p.1/61 Sadržaj predavanja Primjer iz prakse (nastavak):
ВишеMicrosoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc
. C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ
ВишеMAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak
Више1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
ВишеMicrosoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate
ВишеMicrosoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]
КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y
ВишеHej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.
ВишеParticije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn
Particije prirodnog broja druga-0. verzija: 7..03. Duxan uki Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodnih brojeva, pri qemu je redosled sabiraka nebitan. Sa p(n)
ВишеP1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1
Analiza efikasnosti algoritama I Asimptotske notacije Master metoda (teorema) 1 Asimptotske notacije (1/2) Služe za opis vremena izvršenja algoritma T(n) gde je n N veličina ulaznih podataka npr. br. elemenata
ВишеMATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,
MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 3 Kolokviji........................................................... 4 drugi kolokvij, 8.2.2003............................................... 5 drugi kolokvij,
ВишеNewtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0
za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje
ВишеTEORIJA SIGNALA I INFORMACIJA
Multiple Input/Multiple Output sistemi MIMO sistemi Ulazi (pobude) Izlazi (odzivi) u 1 u 2 y 1 y 2 u k y r Obrada=Matematički model Načini realizacije: fizički sistemi (hardware) i algoritmi (software)
ВишеUniverzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za fiziku Rešavanje svojstvenog problema Hamiltonijana:Numerov-Kulijev metod Master rad Stu
Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za fiziku Rešavanje svojstvenog problema Hamiltonijana:Numerov-Kulijev metod Master rad Student: Dijana Milosavljević Br. indeksa: 21 Mentor:
ВишеPitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
ВишеMicrosoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n
4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju
ВишеMatrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
ВишеSlide 1
Merni sistemi u računarstvu, http://automatika.etf.rs/sr/13e053msr Merna nesigurnost tipa A doc. dr Nadica Miljković, kabinet 68, nadica.miljkovic@etf.rs Prezentacija za ovo predavanje je skoro u potpunosti
ВишеMy_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
ВишеFHP-THA-IT-98-34: Video arhiva suđenja u MKSJ, Predmet Mladen Naletilić i Vinko Martinović PERIOD: PRIMARNI IZVORI: Međunarodni krivični su
FHP-THA-IT-98-34: Video arhiva suđenja u MKSJ, Predmet Mladen Naletilić i Vinko Martinović PERIOD: 1999-2006. PRIMARNI IZVORI: Međunarodni krivični sud za bivšu Jugoslaviju. OPSEG I MEDIJ: IV SADRŽAJ:
ВишеSVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada:
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Dražen Adamović Zagreb, rujan, 2015.
ВишеTeorija igara
Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2... B n A 1 e 11 e 12... e 1n A 2 e 21 e 22... e 2n............... A m e m1 e m2... e mn Cilj: Odrediti optimalno ponašanje učesnika u igri Ako je dobitak
ВишеVEŽBE IZ OPERACIONIH ISTRAŽIVANJA
VEŽBE IZ OPERACIONIH ISTRAŽIVANJA Glava 4 1. Metoda grananja i odsecanja 2. Metoda grananja i ograničavanja 3. Metoda implicitnog prebrojavanja MARIJA IVANOVIĆ marijai@math.rs Metoda grananja i odsecanja
ВишеJEDNAKOSTI I JEDNAČINE,
ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА Диофантове једначине смо решавали у петом, шестом и седмом разреду. Тада смо се упознали и са појмом Диофантове једначине и појмом решења Диофантове једначине. Циљ ове наставне
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
Више