(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Транскрипт

1 I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj (78), a razlomak prirodan broj (5). Dakle, zadani broj je racionalan i pripada skupu racionalnih brojeva Q.. B. Imamo redom: : = + = + = + = = = C. Preračunajmo najprije stopu u cm. Duljina od metra jednaka je duljini od 00 cm, pa je duljina od m jednaka duljini od = cm. Stoga je duljina od stope jednaka duljini od cm. Odatle slijedi da se duljina iskazana u cm preračunava u stope tako da se njezin mjerni broj podijeli s Dakle, Srećko je visok = stopa, odnosno, zaokruženo na četiri decimale, 6.35 stopa (pri zaokruživanju četvrtu decimalu moramo povećati za jer je peta decimala 7 jednaka ili veća od 5.) 4. A. Mjeru kuta ADE dobit ćemo tako da od 80 oduzmemo mjeru kuta EDB jer su ti kutovi suplementni. Prema tome, ADE = 80 = 58. Kutovi AED i ACB su sukladni (kutovi koje isti pravac u ovom slučaju, pravac AB zatvara s usporednim pravcima u ovom slučaju, pravcima DE i CB uvijek su sukladni), pa imaju jednake mjere. Dakle, AED = ACB = Kutovi α, ADE i AED su kutovi istoga trokuta ADE, pa njihov zbroj mora biti jednak 80. Tako iz slijedi redom: α + ADE + AED = 80 mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

2 α = 80 ADE AED, α = , α = B. Zadani trokut je pravokutan s pravim kutom u vrhu A. Duljine njegovih kateta su AB = 3.47 cm i AC = 9.3 cm. Tražimo duljinu hipotenuze BC. Primjenom Pitagorina poučka dobivamo: BC = AB + AC = = = Zaokružimo li dobivenu vrijednost na dvije decimale, dobit ćemo BC = 6.33 (treća decimala 8 je jednaka ili veća od 5, pa prigodom zaokruživanja drugu decimalu moramo povećati za ). 6. D. Imamo redom: 3 a + (3 a) 3 a + 6 a a + 6 a = = = =. 3 a 3 a (3 a) 3 a (3 a) 3 a (3 a) 3 a 3 a (3 a) 7. D. Iznos sniženja jednak je: P = = kn. Preostaje odrediti koliko postotaka iznosi kn u odnosu na početnu cijenu S = kn: 00 P p = = S Dakle, cijena košulje snižena je za približno 0%. 8. A. Imamo redom: 3 x + 5 < x +, 3 x x < 5, x < 4. Dijeljenjem posljednje nejednakosti s (pri čemu se znak nejednakosti neće promijeniti) dobivamo x <. Dakle, skup svih rješenja polazne nejednadžbe tvore svi realni brojevi strogo manji od. Ti brojevi tvore interval,. 9. B. Imamo redom: a = / ( K ) K a = ( K ), a = K, a + = K. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

3 Odatle dijeljenjem lijeve i desne strane jednakosti s dobivamo 0. A. Imamo redom: a + K =. ( 3 ) 3 = [( ) 3 ] 3 = ( ) 3 (3 ) 3 = ( ) 3 3 = ( ) 3 6 = A. Ako je na svaka dva popunjena mjesta jedno mjesto prazno, onda je od ukupno 3 mjesta jedno mjesto prazno. To znači da je trećina svih mjesta u avionu prazna, odnosno da je popunjeno 3 svih mjesta u zrakoplovu. Od 3 svih mjesta, na 9 8 = = mjesta, pa odrasle osobe zauzimaju ukupno 8 = 6 svih mjesta u zrakoplovu. Stoga je ukupan broj odraslih osoba u zrakoplovu jednak = 64.. A. Duljina od km jednaka je duljini od 000 metara, pa je duljina od 0 km jednaka duljini od m = m. Vrijeme od 4 sata i 57 minuta jednako je vremenu od = = 97 minuta. Prema tome, Anina brzina iskazana u metrima po minuti jednaka je m v = m/min. 97 min ( 46) D. Koordinata točke B je = = = 73, tj. B( 73). Koordinata točke D je = = 44, tj. D(44). Stoga je tražena razlika jednaka 44 ( 73) = = C. Na mljevenje ili prodaju potrošeno je ukupno + = + = + = + = = 3 8 početnoga broja zrna žita. Stoga je preostalo ukupno = = početnoga broja zrna žita, tj (0.75 0) = = = = zrna žita. 5. C. Zadatak ćemo riješiti primjenom jednostavnoga računa smjese jer imamo točno dva sastojka od kojih pravimo smjesu. Odredimo najprije omjer miješanja tih sastojaka. Koristimo shemu zvijezde. U prvi stupac pišemo masnoće sastojaka, i to od najveće prema najmanjoj. U drugi stupac pišemo željenu masnoću smjese. U trećem stupcu izračunavamo omjerni broj koji pripada svakom pojedinom sastojku kao apsolutnu vrijednost razlike željene masnoće smjese i masnoće para dotičnoga sastojka: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 3

4 = =. Dakle, sastojke treba pomiješati u omjeru.7 :., tj. u omjeru 7 :. (Članove omjera smijemo pomnožiti realnim brojem različitim od nule, pri čemu se vrijednost omjera neće promijeniti.) Sada obujam od 00 litara smjese dijelimo u omjeru 7 :. Primjenjujemo jednostavni račun diobe. Računamo omjerni koeficijent: k = = Traženi obujam mlijeka s 0.9% masnoće dobit ćemo tako da pripadni omjerni broj koji odgovara tom sastojku (to je broj ) pomnožimo s omjernim koeficijentom. Stoga treba uzeti ukupno = litara mlijeka s 0.9% masnoće D. Primijetimo da je f (0) = a 0 = 0 =. Stoga graf funkcije f mora prolaziti točkom (0, ). Jedini od četiriju ponuđenih grafova koji prolazi točkom (0, ) jest četvrti graf. II. ZADATCI KRATKIH ODGOVORA Broj π napisan na pet decimala glasi: π = Zaokružimo li taj broj na četiri decimale, dobit ćemo: π = 3.46 (peta decimala 9 je jednaka ili veća od 5, pa prigodom zaokruživanja četvrtu decimalu moramo povećati za ). Tako dalje dobivamo: P = ( ) = = Zaokružimo li broj P na dvije decimale, dobit ćemo: P Imamo redom: 4 (4 x + ) = 3 x + = 3 x = 3 3 x = 6 x = mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 4

5 Odatle dijeljenjem s slijedi x = x = 9.. Zadana jednadžba ekvivalentna je jednadžbi x x 8 = 0. Ovu jednadžbu najlakše i najbrže rješavamo primjenom Vièteovih formula. Tražimo dva realna broja čiji je zbroj jednak, a umnožak 8. Ti brojevi su očito 4 i. Stoga je traženo negativno rješenje polazne jednadžbe x =. Ne sjetimo li se Vièteovih formula, gornju jednadžbu rješavamo primjenom formule za određivanje rješenja kvadratne jednadžbe. Očitamo koeficijente u kvadratnoj jednadžbi: pa dobivamo: a =, b =, c = 8, ± ( ) 4 ( 8) ± 4+ 3 ± 36 ± , x = = = = x = = =, x = = = kv. jed. Površina četverokuta KLMN jednaka je zbroju površine trokuta KLN i površine trokuta LMN. Izračunajmo zasebno svaku od tih površina. Površina trokuta KLN jednaka je polovici umnoška duljine stranice LN i visine na tu stranicu povučene iz vrha K. Stranica LN očito pripada pravcu usporednom s osi y, pa njezinu duljinu određujemo tako da prebrojimo za koliko se jediničnih duljina moramo pomaknuti iz točke L usporedno s osi y da bismo došli u točku N. Lako utvrđujemo da moramo napraviti 5 jediničnih koraka, pa je LN = 5. Visina na stranicu LN povučena iz vrha K je pravac usporedan s osi x (jer je pravac LN usporedan s osi y), pa njezinu duljinu određujemo tako da prebrojimo za koliko se jediničnih duljina moramo pomaknuti iz točke K usporedno s osi x da bismo došli do neke točke (koju nazivamo nožište visine) na stranici LN. Lako utvrđujemo da moramo napraviti jedinična koraka. Stoga je duljina visine povučene iz vrha K na stranicu LN jednaka v =. Prema tome, površina trokuta KLN jednaka je PKLN = LN v PKLN = 5 P = 5 kv. jed. KLN mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 5

6 Odredimo površinu trokuta LMN. Taj trokut je pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu L. Njegove katete su stranice LM i LN, a hipotenuza stranica MN. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška duljine katete LM i duljine katete LN. Duljinu stranice LN već smo izračunali: LN = 5. Preostaje odrediti duljinu katete LM. Uočimo da je pravac LM usporedan s osi x, pa duljinu katete LM određujemo tako da prebrojimo za koliko se jediničnih duljina moramo pomaknuti iz točke L usporedno s osi x da bismo došli u točku M. Lako utvrđujemo da moramo napraviti 4 jedinična koraka. Zato je LM = 4, pa je površina trokuta LMN PLMN = LM LN PLMN = 4 5 P = 0 kv. jed. LMN Tako je tražena površina četverokuta KLMN jednaka. a + 7 a + 6. Imamo redom: P KLMN = P KLN + P LMN = = 5 kv. jed. (a + ) ( a + 3) = a + 4 a + 3 a + 6 = a + 7 a ;.95. Ako za lijepljenje m pločica treba 3 kg ljepila u prahu, onda za lijepljenje.5 m pločica treba.5 puta više ljepila u prahu, tj..5 3 = 7.5 kg ljepila u prahu. Masa ljepila u prahu i obujam vode su upravno razmjerne veličine (koliko puta se poveća masa ljepila u prahu, toliko se puta poveća i potreban obujam vode). Označimo li nepoznati obujam vode s x, možemo postaviti razmjer: Otuda redom dobivamo: x : 7.5 = 6 : x = 7.5 6, 00 x = 95. Dijeljenjem posljednje jednakosti sa 00 dobijemo x =.95. Dakle, za lijepljenje.5 m pločica trebamo ukupno 7.5 kg ljepila u prahu i.95 litara vode. 3. IQ = 6; 5 godina. U izraz za određivanje IQ najprije uvrstimo s = 9 i m =, pa dobijemo: 00 IQ = 00 = Dobiveni rezultat zaokružimo na najbliži cijeli broj. Prva decimala iza decimalne točke jednaka je 7, pa zaokružujemo naviše. Stoga je traženi količnik inteligencije IQ = 6. Potom iz zadane formule za IQ izrazimo starost s. Imamo redom: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 6

7 m IQ = 00 / s s IQ s = m 00 / : IQ m s = 00 IQ U ovu formulu uvrstimo IQ = 0 i m = 8, pa dobijemo: Dakle, osoba ima 5 godina s = 00 = = ; 3. Prvu jednadžbu zadanoga sustava uvrstimo u drugu, pa dobijemo: 3 x = 7 / ( x ) x 3 x = 7 ( x ), 3 x = 7 x 4, 3 x 7 x = 4, ( 4) x = 4 / : ( 4) x = = =. 4 4 Dobivenu vrijednost za x uvrstimo u prvu jednadžbu sustava. Dobivamo: y = x, 7 y =, 7 y =, 7 4 y =, 3 y =. Stoga je rješenje polaznoga sustava 7 3 ( x, y) =, mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 7

8 5..) 4.9. Izrazimo ukupno vrijeme trajanja razgovora u minutama: t = = = 45 minute. Za 45 minute razgovora treba platiti iznos S = = 94.9 kn. Da se dobije ukupan iznos telefonskoga računa, iznosu S treba pribrojiti mjesečnu naknadu od 0 kn. Tako je traženi ukupan iznos telefonskoga računa jednak = 4.9 kn..) 63. Od iznosa 54.3 kn ukupno 0 kn otpada na mjesečnu naknadu, pa je iznos potrošen na plaćanje razgovora jednak = 34.3 kn. Budući da jedna minuta razgovora stoji 0. kn, traženo ukupno trajanje svih razgovora dobit ćemo tako da iznos od 34.3 kn podijelimo s 0. kn: 34.3 : 0. = 63. Dakle, traženo ukupno trajanje svih telefonskih razgovora iznosi 63 minute. 6..) Da bismo nacrtali zadani pravac, dovoljno je odrediti bilo koje dvije njegove točke i spojiti ih pravcem. Odaberemo npr. x = 0, pa izračunamo: y = ( ) = = 5. Dakle, pravac će prolaziti točkom A(0, 5). Odaberemo npr. x =, pa izračunamo: y = ( ) + 5 = + 5 = 3. Dakle, pravac će prolaziti točkom B(, 3). Preostaje ucrtati navedene točke u pravokutni koordinatni sustav u ravnini, te ih spojiti pravcem. Dobivamo pravac prikazan na Slici. Slika. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 8

9 .) y = 5 x. Zadani pravac prolazi ishodištem, pa njegova jednadžba ima oblik y = a x, gdje je a trenutno nepoznata konstanta. Da bismo je odredili, treba nam bilo koja druga točka zadanoga pravca (tj. točka različita od ishodišta). Iz slike se vidi da zadani pravac prolazi točkom T(, 5), pa koordinate točke T moraju zadovoljavati jednadžbu pravca. Uvrstimo li koordinate te točke u jednakost y = a x, dobit ćemo: 5 = a. Odatle dijeljenjem s slijedi a = 5. Dakle, tražena jednadžba pravca je y = 5 x. 7..) stanovnika. Jedan korak prema gore vrijedi Da od osi županije dođemo do krajnje gornje točke u stupcu E, moramo napraviti 4 puna koraka i još pola jednoga koraka, tj. ukupno 4.5 koraka. Stoga je traženi procijenjeni broj stanovnika = = ) 4. Odredimo najprije točku na osi broj stanovnika koja odgovara broju od Od presjecišta osi županije i osi broj stanovnika napravimo ukupno.5 koraka po osi broj stanovnika i dođemo u polovište dužine omeđene trećom i četvrtom točkom na osi broj stanovnika (prva točka je presjecište osi županije i osi broj stanovnika, a druga točka je točka kojoj je pridružen broj ). Tim polovištem povučemo pravac usporedan s osi županije. Prebrojimo koliko dužina u stupcima A H ima krajnju gornju točku strogo ispod dobivenoga pravca. Četiri su takve dužine: dužina u stupcu C, te dužine u stupcima F, G i H. To znači da četiri promatrane županije imaju strogo manje od stanovnika. 3.) 6 puta. Županija s najvećim brojem stanovnika je županija A i ona ima približno stanovnika (moramo napraviti približno 8 punih koraka da od osi županije dođemo do krajnje gornje točke u stupcu A, a svaki korak vrijedi stanovnika). Županija s najmanjim brojem stanovnika je županija C i ona ima približno stanovnika (moramo napraviti svega pola jednoga koraka da od osi županije dođemo do krajnje gornje točke u stupcu C, pa, ako jedan puni korak vrijedi stanovnika, onda polovica punoga koraka vrijedi = stanovnika). Stoga je traženi broj jednak količniku brojeva i , a taj je : = 6. Dakle, županija s najvećim brojem stanovnika ima približno 6 puta više stanovnika od županije s najmanjim brojem stanovnika. 8..) 8.. Izračunajmo najprije energetsku vrijednost 0 g žitarica. Energetska vrijednost i masa žitarica su upravno razmjerne veličine (koliko puta se poveća masa žitarica, toliko puta se poveća i energetska vrijednost). Označimo li s x traženu energetsku vrijednost, možemo postaviti razmjer: Odatle je x : 0 = 34 : x = 34 0, mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 9

10 00 x = Dijeljenjem sa 00 dobivamo x = 68.. Dakle, 0 g žitarica ima energetsku vrijednost 68. kcal. Izračunajmo energetsku vrijednost 50 g mlijeka. Analogno kao i kod žitarica, energetska vrijednost i masa mlijeka su upravno razmjerne veličine. Označimo li s y traženu energetsku vrijednost, možemo postaviti razmjer: Odatle je y : 50 = 60 : y = 50 60, 00 y = Dijeljenjem sa 00 dobivamo y = 50. Dakle, 50 g mlijeka ima energetsku vrijednost 50 kcal. Stoga je ukupna energetska vrijednost Filipova obroka jednaka E = x + y = = 8. kcal..) 8.4. Izračunajmo najprije masu ugljikohidrata u 0 g žitarica. Masa ugljikohidrata i masa žitarica su upravno razmjerne veličine. Označimo li s u traženu masu ugljikohidrata, možemo postaviti razmjer: Odatle je u : 0 = 57 : u = 57 0, 00 u = 40. Dijeljenjem sa 00 dobivamo u =.4. Dakle, u 0 g žitarica ima.4 g ugljikohidrata. Izračunajmo masu ugljikohidrata u 50 g mlijeka. Masa ugljikohidrata i masa mlijeka su upravno razmjerne veličine. Označimo li s u traženu masu ugljikohidrata, možemo postaviti razmjer: Odatle je u : 50 = 4.53 : u = , 00 u = 3.5. Dijeljenjem sa 00 dobivamo u =.35. Dakle, u 50 g mlijeka ima.35 g ugljikohidrata. Ukupna masa Filipova obroka je m = = 70 g. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 0

11 U tih 70 g obroka ima ukupno u = u + u = =.75 g ugljikohidrata. Preostaje izračunati koliko postotaka tvori.75 g u odnosu na ukupnu masu od 70 g. Traženi postotak je: 00 u p = m p =, p = = Dakle, približno 8.4% Filipova obroka tvore ugljikohidrati. pripremio: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač mr.sc. Bojan Kovačić, predavač