Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

Транскрипт

1 Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,nazivam inverzija u odnosu na kruznicu k(o, r). -I(P ) = P 1 je oznaka za sliku tacke P pri inverziji I Stavovi inverzije: Neka je P 1 slika tacke P pri inverziji sa centrom u O i poluprecnikom r. - OQ 1P 1 = OP Q - P 1Q 1 = r2 P Q OP OQ - I(P ) = P 1 I(P 1) = P - OP 1Q 1 OP Q -Prava koja prolazi kroz centar inverzije slika se sama u sebe -Kruznica koja sadrzi centar inverzije slika se u pravu koja ne sadrzi centar inverzije. -Prava koja ne sadrzi centar inverzije slika se u kruznicu koja sadrzi centar inverzije. - Kruznica koja ne sadrzi centar inverzije slika se u kruznicu koja ne sadrzi centar inverzije. Primjer 1. Neka kruznica upisana u trougao ABC dodiruje stranice BC, CA, AB u tackama M, N, P redom.neka su D, E, F sredine segmenata P N, P M, MN redom.odrediti sliku kruznice opisane oko trougla DEF pri inverziji u odnosu na kruznicu upisanu u trougao ABC. Neka je U centar kruznice upisane u trougao ABC,i neka je I inverzija u odnosu na upisanu kruznicu.jasno su A, D, U kolinearne tacke.kako je UDN = ANU = 90 to je ANU DUN te je UA r = r UA UD = r2 UD 1

2 Pa vrijedi da je I(D) = A.Analogno je I(E) = B, I(F ) = C.Kako se kruznica opisana oko trougla DEF takodjer slika u kruznicu to je njezina slika kruznica opisana oko trougla ABC. Primjer 2. Neka su k 1, k 2, k 3, k 4 kruznice takve da se k 1 i k 3 spolja dodiruju u P,k 2 i k 4 se spolja dodiruju u istoj tacki P.Neka se k 1i k 2,k 2i k 3,k 3 i k 4,k 4i k 1 dodiruju u tackama A, B, C, D redom tako da je svaka od njih razlicita od P.Pokazati AB BC AD DC = P B2 P D 2 Neka je I inverzija sa centrom u P poluprecnika r.kruznice k 1, k 2, k 3, k 4 se preslikavaju u prave p 1, p 2, p 3, p 4 takve da je p 1 p 3 i p 2 p 4 dakle A 1B 1C 1D 1 je paralelogram.kako vrijedi To imamo da je AB = r2 A 1B 1 P A 1 P B 1, P B = r2 P B 2 1 AB BC AD DC = P B2 P D 2 P D1 2 A1B1 B1C1 = P D2 1 P B1 2 A 1D 1 D 1C 1 P B1 2 Sto je ocito jer je A 1B 1 = C 1D 1 i B 1C 1 = D 1A 1 Primjer 3. Neka je ωpolukruznica sa precnikom P Q.Kruznica k je iznutra tangentna na ω i dodiruje segment P Q u tacki C.Neka je AB tangentna na k i okomita na P Q gdje je A ω i B CQ.Pokazati da prava AC polovi ugao P AB. 2

3 Neka je I inverzija sa centrom u C i poluprecnikom r.polukruznica ω se slika u polukruznicu ω 1 sa precnikom P 1Q 1.Kruznica k se slika u pravu p tangentnu na ω 1paralelnu sa P 1Q 1,i prava AB se slika u kruznicu t sa centrom na P 1Q 1koja dodiruje p,pa je podudarna kruznici odredjenoj sa polukruznicom ω 1.Kruznica t sijece polukruznicu ω 1 i P 1Q 1 u tackama A 1 i B 1 redom.ocito je trougao P 1A 1B 1 jednakokrak sa P AC = A 1P 1C = A 1B 1C = BAC Primjer 4. Tacke A, B, C su dane na pravoj u ovom redu.polukruznice ω, ω 1, ω 2 su konstruisane nad precnicima AC, AB, BC redom,sa iste strane prave.niz kruznica k n je konstrusan na sljedeci nacin,kruznica k 0 je odredjena sa polukruznicom ω 2,a k n je kruznica tangentna na ω, ω 1, k n 1, n 1.Pokazati da je udaljenost centra kruznice k n od prave AB,2n puta veca od poluprecnika kruznice k n. 3

4 Neka je I inverzija sa centrom u A i poluprecnikom takvim da je r 2 = AB AC.Jasno je I(B) = C, I(C) = B,ω i ω 1 se slikaju u prave p i q okomite na CB u tackama C i B redom.niz kruznica k n se preslikava u niz kruznica a n koje dodiruju prave p i q.jasno je udaljenost os centra kruznice a n do prave AB,2n puta veca od poluprecnika kruznice a n.kako su k n i a n homoteticne u odnosu na tacku A to je udaljenost centra kruznice k n od prave AB,2n puta veca od poluprecnika kruznice k n. Primjer 5. Tacke A, B, C su dane na pravoj u ovom redu.polukruznice k i l su konstruirane nad precnicima AB i BC respektivno,sa iste strane prave.kruznica t je tangentna na k i tangentna je na l u tacki T C i tangentna je na okomicu n na AB u tacki C.Pokazati da je AT tangentna na l. Neka je I inverzija sa centrom u T i poluprecnikom r.kruznice t i l se slikaju u paralelne prave t 1 i l 1,kruznica k i prava n se slikaju u kruznice k 1, n 1 gdje je T n 1,prava AB se slika u kruznicu a 1 okomitu na l 1,i prolazi kroz B 1, C 1 l 1.Dakle a 1 je kruznica sa precnikom B 1C 1.Kruznice k 1i n 1 su podudarne i tangentne na l 1 u B 1 i C 1,i sijeku a 1 u tackama A 1 i T respektivno.dakle A 1 i T su simetricne u odnosu na simetralu segmenta B 1C 1 pa vrijedi da je A 1T l 1dakle AT je tangentna na l. Zadaci za samostalan rad: 1.Neka su k 1, k 2, k 3.k 4 kruznice takve da k 2 dodiruje k 1i k 3,i k 4 dodiruje k 1 i k 3.Pokazati da su tacke dodira kolinearne ili konciklicne. 2.Neka su A, B, C, D tacke u istoj ravni.pokazati da je AB CD + BC DA AC BD Jednakost vrijedi ako i samo ako su tacke A, B, C, D kolinearne ili konciklicne u ovakvom redu. 3.Neka je s poluobim trougla ABC.Tacke E i F su uzete na pravoj AB tako da je CE = CF = s.pokazati da je kruznica opisana oko trougla ABC tangentna na 4

5 kruznicu pripisanu trouglu ABC koja odgovara stranici AB. 4.Pokazati da kruznica devet tacaka dodiruje upisanu i sve tri pripisane kruznice trougla. 5.Neka je P tacka u trouglu ABC takva da je AP B C = AP C B.Neka su D i E centri upisanih kruznica trouglova AP B i AP C redom.pokazati da se prave AP, BD, CE sijeku u jednoj tacki. 5