Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

Транскрипт

1 Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina ima bar jedno rexee x 0, tako da je 0 x 0 2. Dokazati. 3. Tri grada A, B i C povezani su pravolinijskim putevima. Uz put AB nalazi se po e kvadratnog oblika sa stranicom duine 1 2AB; uz put BC nalazi se po e kvadratnog oblika stranice BC, a uz put AC xuma pravougaonog oblika, qija je duina AC, a xirina 4 km. Ako je povrxina xume za 20 km 2 vea od zbira povrxina kvadratnih po a, nai povrxinu xume. 4. Data je kvadratna funkcija y = x 2 + bx + c, b, c R, takva da en grafik seqe koordinatne ose u tri razliqite taqke A, B i C. Dokazati da krug opisan oko trougla sadri fiksiranu taqku. 5. Neka je P (x) = x 2 + ax + b, a, b Z. Ako je P (x) potpun kvadrat za beskonaqno mnogo celih brojeva x, onda je a 2 = 4b. Dokazati. 6. Ako su brojevi 2a, a + b i c celi, dokazati da kvadratni trinom ax 2 + bx + c za sve celobrojne vrednosti x dobija cele vrednosti. 7. Neka su a, b, c R, takvi da jednaqine ax 2 +bx+c = 0 i ax 2 +bx+c = 0 imaju realna rexea. Ako je r bilo koje rexee prve, a s bilo koje rexee druge jednaqina (s > r), dokazati da interval [r, s] sadri bar jedno rexee jednaqine 1 2 ax2 + bx + c = Ako su a, b i c neparni brojevi, onda koreni jednaqine ax 2 +bx+c = 0 nisu racionalni. 9. Odrediti zajedniqke tangente parabola y = x 2 6x + 12 i y = x 2 + 8x Nai najmau vrednost funkcije f(x) = (x + a + b)(x + a b)(x a + b)(x a b). 11. Od pravougaone ploqe ABCD sa stranicama a i b odlom en je trougaoni komad sa stranicama BM = c i BN = d. Od preostalog dela treba izrezati novu pravougaonu ploqu tako da ena povrxina bude xto vea. Nai rexee za ova dva sluqaja: (a) a = 6, b = 3, c = 2, d = 1; (b) a = 3, b = 6, c = 2, d = 1. Kolika je ta povrxina? takmiqea u Srbiji 1

2 12. Nai celobrojna rexea jednaqine (xy 1) 2 = (x + 1) 2 + (y + 1) Neka su a i b realni brojevi takvi da je a 2 2b. Dokazati da za sve realne brojeve x vai x 4 + ax 3 + bx 2 + ax Nai celobrojna rexea jednaqine x 2 xy + y 2 = x + y. 15. Neka su koreni jednaqine x 2 + ax + b + 1 = 0, a, b Z, celi brojevi. Dokazati da je a 2 + b 2 sloen broj. 16. Po oprivrednik eli da elektriqnom ogradom duine 100m ogradi sa tri strane zem ixte koje se nalazi pored reke tako da ograda zajedno sa delom obale kao qetvrtom stranom qini pravougaonik. Kolike bi trebalo da budu dimenzije tog pravougaonika tako da povrxina ograenog zem ixta bude maksimalna? 17. Od svih pravouglih trouglova datog polupreqnika R opisane kru- nice, nai stranice onog sa najveim polupreqnikom upisane kru- nice. 18. Nai sve vrednosti x, za koje postoji bar jedno a, 1 a 2, tako da vai nejednakost (2 a)x 3 + (1 2a)x 2 6x + (5 + 4a a 2 ) < Neka je f(x) = a bx 2, a, b R. Rexiti jednaqinu f(f(x)) = x. 20. Za koje vrednosti parametra m je jednaqina mx 4 +(m+2)x 2 3x 1 = 0 ima jedan koren mai od 2 i tri korena vea od 1? 21. Za koje vrednosti parametra a postoji jedinstven par realnih brojeva (x, y) za koji vai ax 2 + (3a + 2)y 2 + 4axy 2ax + (4 6a)y + 2 = 0? 22. U podne se qamac nalazi 20 km juno od glisera. Qamac se kree na istok brzinom 20 km/h, a gliser na jug brzinom 40 km/h. Da li e se putnici na qamcu i gliseru meusobno videti ako je vid ivost 10 km? 23. Neka su a, b, c R, a 0 takvi da su a i 4a + 3b + 2c istog znaka. Dokazati da jednaqina ax 2 + bx + c = 0 ne moe imati oba korena u intervalu (1, 2). 24. Nai najmai prirodan broj a za koji postoje celi brojevi b i c tako da kvadratni trinom ax 2 + bx + c ima dva razliqita realna korena koji pripadaju intervalu (0, 1). 25. Data je jednaqina x 2 + (3a + 1)x + a = 0, a R. Nai interval u kome se mora nalaziti jedan od korena da bi drugi bio pozitivan. 26. Odrediti oblast vrednosti funkcije f(x) = x2 5x + 7 x 2, x R, x 1, x 3. 4x Nai realna rexea jednaqine (16x )(y ) = 16(xy) Nai minimum i maksimum funkcije y = x 2 +3 x 1 +2 na intervalu [ 2, 2]. 2

3 29. Za koje vrednosti realnog parametra p sistem nejednaqina 9 < 3x2 + px 6 x 2 < 6 vai za sve realne vrednosti x? x Odrediti maksimalnu vrednost funkcije f(x) = x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)(x 6)(x 7) za x [3, 4]. 31. Odrediti sve mogue vrednosti realnog parametra a za koje jednaqina (a 1)x 2 + ax + a 1 = 0 ima jedinstveno rexee u skupu R. x U zavisnosti od realnog parametra a, odrediti broj razliqitih realnih rexea jednaqine x 2 + x + a = x. 33. Rexiti jednaqinu x 5 = y 5 + 3y 4 + 8y 2 + 5y + 1 u Z Neka su a, b, c R a za koje vai 3 + b + c = 0. Dokazati da jednaqina 2 ax 2 + bx + c = 0 ima bar jedno rexee u intervalu (0, 1). 35. Nai sva rexea jednaqine x 4 x 3 10x 2 + 2x + 4 = Date su kvadratne jednaqine x 2 x + m = 0 i x 2 x + 3m = 0 (m 0). Odrediti vrednost m tako da jedno rexee druge jednaqine bude jednako dvostrukoj vrednosti jednog rexea prve jednaqine. 37. Odrediti sve parove x, y realnih brojeva za koje vai: x 2 + y 2 = 1, x < y Rexiti sistem jednaqina: x + y + z = 4 x 2 + y 2 + z 2 = 6 x 3 + y 3 + z 3 = Rexiti sistem jednaqina: { x y 1999 = 1 x y 2000 = Rexiti sistem jednaqina: (x 1,..., x n su realni brojevi). 2x 4 1 = x 2 2(1 + x 4 1) 2x 4 2 = x 2 3(1 + x 4 2)... 2x 4 n = x 2 1(1 + x 4 n) 41. Rexiti jednaqinu 4x 2 40[x] + 51 = 0, gde je sa [x] oznaqen najvei ceo broj koji nije vei od x. 42. Rexiti nejednaqinu x2 + x + 2 3x + 1 x 12 x 9 + x 4 x + 1 > 0. 3

4 43. Ako su x 1 i x 2 rexea kvadratne jednaqine x 2 + px 1 2p 2 p 0 realan broj, dokazati da vai: x x = 0, gde je 44. Nai sve realne brojeve a, za koje postoje realni brojevi x i y tako da vai: x 2 + 2xy 7y 2 1 a a + 1, 3x2 + 10xy 5y Neka je D diskriminanta kvadratnog trinoma ax 2 + bx + c sa celim koeficijentima a, b i c. Da li D moe da bude jednako: (a) 2001 ; (b) 2002 ; (v) 2003? 46. Dat je pravougaonik ABCD, kod koga je AB = 6 cm, a BC = 3 cm. Taqka E nalazi se na stranici AB, BE = 2 cm, a taqka F na stranici BC, BF = 1 cm. U petougao AEF CD treba upisati pravougaonik najvee mogue povrxine. Kolika je to povrxina? 47. Rexiti sistem jednaqina: x 2 y + y + xy 2 + x = 18xy x 4 y 2 + y 2 + x 2 y 4 + x 2 = 208x 2 y U skupu realnih brojeva rexiti sistem jednaqina: y 3 9x x 27 = 0 z 3 9y y 27 = 0 x 3 9z z 27 = Odrediti skup svih realnih vrednosti parametra a za koje nejednaqina x 2 a(a + 1)x + a 3 0 ima taqno pet celobrojnih rexea. 50. Ako su a, b, c duine stranica trougla, dokazati da je trinom ax 2 + (b c a)x + c pozitivan za sve realne brojeve x. 51. Bazen se puni dvema cevima za 6 sati. Prva cev bi ga napunila za 5 sati mae od druge. Za koje vreme bi bazen napunila druga cev? 52. Rexiti jednaqinu (x 3) 4 + (x 4) 4 = (2x 7) 4, u skupu kompleksnih brojeva. 53. Dokazati da za neparan ceo broj q jednaqina x 3 + 3x + q = 0 nema celobrojnih rexea. 54. Ispitati da li je kvadratna jna (a 2 + b 2 + c 2 )x 2 + 2(a + b + c)x + 3 = 0, gde su a, b, c R, a 2 + b 2 + c 2 0, moe imati realne i razliqite korene. 55. Data je jednaqina (a 1)x 2 (a + 1)x + 2a 1 = 0, pri qemu je a 1. Nai sve vrednosti parametra b za koje izraz (x 1 b)(x 2 b) ne zavisi od a, pri qemu su x 1 i x 2 koreni date jednaqine. 56. Rexiti sistem jednaqina u skupu realnih brojeva: x 3 y 3 z 4 = 1 x 2 y 4 z 4 = 2 x 2 y 3 z 5 = 3 4

5 57. Nai realna rexea sistema jednaqina (x y) 2 = z + 4, z x = Dokazati da razlika rexea jne 5x 2 2(5a + 3)x + 5a 2 + 6a + 1 = 0, a R ne zavisi od a. 59. Dokazati da za svako x 0 vai nejednakost x(x+1)+x(x 4) Za koje vrednosti realnih brojeva x i y izraz E = 2x 2 + 2xy + y 2 2x + 2y + 2 ima najmau vrednost? 61. Nai oblast vrednosti funkcije y = x2 + x + 1 x 2 x