INTEGRALI ZADAI ( IV DEO) Integrcij rcionlne funkcije P( ) Rcionln funkcij je oblik Q( ). Može biti prv i neprv. Prv rcionln funkcij je on kod koje je mksimlni stepen polinom P() mnji od mksimlnog stepen + polinom Q(). ( n primer :,, 5 + 5 + + 5 + itd.) Neprv rcionln funkcij je on kod koje je m stepen P() veći ili jednk s m stepenom Q(). ( n primer : + 7 75, +, + itd. ). U slučju d je zdt neprv rcionln funkcij + + mormo podeliti t dv polinom, dobiti rešenje plus prv rcionln funkcij. Integrciju prve rcionlne funkcije vršimo tko što : Imenilc rstvimo n činioce upotrebom: - izvlčimo zjednički ispred zgrde - rzlik kvdrt: b (-b)(+b) - + b +c (- )(- ) ko nm je dt kvdrtn jednčin - -b (-b)( +b+b ) ili +b (+b)( -b+b ) rzlik, odnosno zbir kubov - Koristimo Bezuovu teoremu ili sklpmo dv po dv ko je dt polinom većeg stepen Dlje dtu prvu rcionlnu funkciju rstvljmo n sledeći nčin:( primeri) P( ) A B ( )( + 5) + 5 ko su u imeniocu svi linerni bez stepen, svki ide s po jednim slovom: A,B, P ( ) A + B + + D ( ) ( + 7) ( ) ( ) ( + 7) ko u imeniocu immo linerne člnove, li s stepenom, rstvljmo dok ne doñemo do njvećeg stepen. P( ) A B+ ( )( + ) + ko u imeniocu immo nerzloživ polinom, z njeg mormo d uzmemo izrz tip B+ ( pzi n ovo) P( ) A B+ D+ E F G H + + + + ( 7) ( + 5) 7 + 5 ( + 5) je n kvdrt mormo dv put d uzimmo u rzlgnju. evo primer gde i nerzloživ činilc u imeniocu koji
. d? PRIMERI Ovde se rdi o prvoj rcionlnoj funkciji, p odmh krećemo s rzlgnjem. Njpre imenilc rstvimo n činioce! ( ) ( )( + ) Dkle, nš integrl je d? ( )( + ) Izvučemo rcionlnu funkciju: A B + sve pomnožimo s ( )( + ) ( )( + ) + A( )( + ) + B( + ) + ( ) A( ) + B + B+ + + + A A B B "sklopimo" uz, p one uz, p slobodne č + + ( A B ) ( B ) A sd vršimo upereñivnje: člnovi uz, p uz, p bez A+ B+ N levoj strni nemmo čln ili možemo dodti d je to B N levoj strni immo, to jest, n desnoj ( B ) A Ovo su oni bez -sev Rešvmo ovj sistem jednčin: A+ B+ B A A A+ B+ + B+ B+ B B B B+ Vrtimo rešenj: A B + ( )( + ) + + ( )( + ) + + lnove... E sd se vrtimo d rešimo dti integrl, jer smo g rstvili n tri ml integrl koji su njčešće ili tblični ili se rešvju smenom.
d d d d ( )( + ) + ln ln ln + + Možd će vš profesor d trži d spkujete rešenje upotrebom prvil z logritme. D se podsetimo:. ln. lne. ln( y) ln+ lny. ln ln lny y n 5. ln n ln ln 6. e Nše rešenje će biti: ln ln ln + + ln (ln + ln + ) + ln ln + + ln + ( )( + ) +. d? Opet se rdi o prvoj rcionlnoj funkciji. Izvlčimo je i rstvljmo: + + ( ) + A B + ( ) + A( ) + B( ) + + A A+ B B+ sve pomnožimo s ( ) + ( A+ ) + ( A+ B) B sd vršimo uporeñivnje A+ A+ B B Rešvmo ovj sistem jednčin, iz treće jednčine odmh dobijmo vrednost z B B A+ B A A
+ A B + ( ) + + ( ) + ( ) + + d d+ d+ d d d+ d ln + ln + Mlo prisredimo rešenje: ln ln + + ln + +. + + 6 + 6 d? Ovo je neprv rcionln funkcij ( stepen u brojiocu je veći od stepen imenioc), p mormo podeliti ov dv polinom ( podsetite se deljenj, fjl polinomi iz I godine). + ( + 6 + 6 ± + + + + ± +5 ± 5 6 6) : ( ) 5 9+ 6 ± 5 + osttk + 6 + 6 + + 5+ + + Dobili smo prvu rcionlnu funkciju koju dlje rstvljmo:
+ + ± ± +, + ( )( ) b b c,, + A B ( )( ) + A( ) + B( ) + A A+ B B + ( A+ B) A B A+ B A B A A B + A B ( )( ) Rešimo sd i ceo integrl: 6 6 + + + 6+ 6 d ( + 5 + + ) d 5 ln + ln + + + + + + 5+ + 5+ + ( ) 5+ ln + d.? + Prv rcionln funkcij, izdvojimo je: + Njpre d funkciju u imeniocu rstvimo n činioce... + idej je d sklpmo " po " zto rstvimo + ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( )[ ( + ) ] ( )( + ) +,, + ( )( )( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) 5
A B +.../ ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + A( )( + ) + B( + ) + ( ) A + + + + + ( ) B B ( ) A + A A+ B+ B+ + ( ) ( ) A+ + A+ B A+ B+ A+ A+ B A+ B+ A A+ B+ A A+ B A A+ B A+ B B B A A 9 9 9 + + 9 ( ) ( + ) ( ) + i sd uporedjujemo Još d rešimo integrl: d 9 d+ d+ 9 d ( ) ( + ) ( ) + 9 + 9 + d ( ) d d ln ln + + 9 9 d 5.? + Postupk je dkle isti: kko se rdi o prvoj rcionlnoj funkciji, nju izdvjmo i rstvljmo n sbirke. U imeniocu immo polinom trećeg stepen koji mormo rstviti n činioce. Upotrebićemo sklpnje po, A možemo koristiti i Bezuovu teoremu. 6
+ D sredimo imenilc prvo... + ( ) + ( ) ( )( + ) A B+ ( )( + ) + pzi + ( )( ) A( je nerzloživ u R A B+ i + + + + ) + ( B+ )( ) A + A+ B B+ ( ) ( ) A+ B + B+ + A A+ B B+ A A A+ B A B A A B.../ ( )( ) + A B+ ( ) ( )( + ) + + + + Vrtimo se d rešimo zdti integrl: d ( ) d ( )( + ) + d d+ d + ln ln + rctg + 6.? d + Ovo je već mlo ozbiljniji zdtk! 7
+ Ovde je problem: Kko rstviti imenilc n činioce? Trik je d dodmo i oduzmemo, d npunimo pun kvdrt p iskoristimo formulu z rzliku kvdrt! + + + ( + ) ( + ) ( + ( + ) ( + + ) + ( + ) ( + + )... / i( + ) ( + + ) ( + ) ( + + ) + + + ( A+ B)( + + ) + ( + D)( + ) A + A+ B + D ( ) ( ) ( ) ) ( + ) ( + + ) A + A+ B + B + B+ + + D D + D A+ + A + B + D + A+ B + D + B+ D Uporedjujemo : A+ A + B + D A+ B + D A+ B D ( B D) B D B+ D B D B+ D B D A+ ( A ) A Zmenimo : A+ B + D ( + ) ( + + ) + + + + + ( + ) ( + + ) + + + Immo dkle d rešimo: + + d d+ d ( + ) ( + + ) + + + A+ B Ovo su integrli tip I d + b+ c koji se rešvju preko I b+ d i formule: + c 8
I A ln + b+ c +(B- Ab ) I + Postupk rešvnj je objšnjen u jednom od fjlov integrli - zdci. Evo končnog rešenj vi g proverite. + + ln + rctg + + 7. Kd smo u prvom fjlu integrli zdci ( I deo) dvli tblicu integrl pomenuli smo i integrl d ln + ko tblični. D vidimo kko smo došli do rešenj istog. + On se rdi ko rcionln funkcij: ( )( ) + A B... / i( )( + ) ( )( + ) + A( + ) + B( ) A+ A+ B B ( A+ B) + A B Uporedjujemo : A+ B ( A B) A+ B A B A A B A B ( )( + ) + ( )( + ) + + 9
d d d ( )( + ) + + d d + ( ln ln + ) + ln + +