Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o

Транскрипт

1 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o razlomcima proširivanje, skraćivanje, upoređivanje; zapis razlomka u okviru mešovitog broja i decimalnog broja; operacije sa razlomcima sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje; operacije sa decimalnim brojevima sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje; prioritet računskih operacija tzv. ZEMDOS. Uvod U okviru prve lekcije ponovićemo neka osnovna pravila za izračunavanje vrednosti brojevnih izraza, od kojih ste većinu zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Postavljaću vam i linkove pojedinih video zapisa. Većinu ovih videa je snimila Škola Rajak na veoma primerenom nivou i uz visoki kvalitet izrade ( 1. Uvod u razlomke Link: Ono što je potrebno da obnovite za kolokvijum i ispit je sledeće: 1) Proširivanje razlomaka Razlomak proširujemo tako što pomnožimo i brojilac i imenilac istim brojem. Primer. (množimo sa 2 i gore i dole) 2) Skraćivanje razlomaka Razlomak skraćujemo tako što podelimo i brojilac i imenilac istim brojem. Primer. (delimo sa 2 i gore i dole) 3) Upoređivanje razlomaka Funkcioniše suprotno od celih brojeva. Na primeru pozitivnih brojeva, 3 < 5, međutim 1/3 > 1/5. Isto važi i za negativne brojeve: -3 > -5, međutim -1/3 < -1/5. Možete nacrtati ove vrednosti na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli suštinu. 1

2 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi 4) Zapis u obliku mešovitog broja Ukoliko razlomak sadrži više od jednog celog (što znači da mu je brojilac veći od imenioca. tj. ono iznad crte je veće od onoga ispod crte ), onda razlomak možemo zapisati u obliku mešovitog broja. Primer. (jedan ceo je i ostaje nam ) (dva cela je i ostaje nam ) 5) Zapis u obliku decimalnog broja Razlomak možemo uvek zapisati u obliku decimalnog broja, tako što podelimo brojilac ( ono iznad crte ) sa imeniocem ( onim ispod crte ). Primer. 2. Sabiranje i oduzimanje razlomaka Link: Razlomke sabiramo i oduzimamo tako što ih svodimo na zajednički imenilac - drugim rečima, cilj nam je da svim razlomcima koje sabiramo ili oduzimamo "broj ispod crte" bude jednak. Primer. Izračunaj vrednost izraza. (proširićemo prvi razlomak sa 2) (sad možemo da saberemo brojioce) (možemo da skratimo rezultat sa 10) (ovo je naš konačan rezultat) 2

3 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 3. Množenje razlomaka Link: Razlomke množimo vrlo jednostavno - brojilac množimo sa brojiocem (ono iznad razlomačke crte), a imenilac množimo sa imeniocem (ono ispod razlomačke crte). Naravno, razlomke možemo da kratimo kako bismo olakšali postupak, ukoliko je to moguće. Primer. Izračunaj vrednost izraza. (množimo gore sa gore, dole sa dole) (možemo da skratimo rezultat sa 2) (ovo je naš konačan rezultat) 4. Deljenje razlomaka Link: Deljenje razlomaka svodi se na množenje razlomaka. Samo je potrebno da zamenimo mesta brojioca i imenioca kod razlomka sa kojim delimo, tj. deliocem (tzv. recipročna vrednost razlomka). Primer. Izračunaj vrednost izraza. (svedimo prvo ovo deljenje na množenje) (sad primenjujemo množenje) (možemo da skratimo sa 10) (ovo je naš konačan rezultat) BITNA NAPOMENA Recipročna vrednost razlomka je. Samo smo zamenili mesta brojiocu i imeniocu. 3

4 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi 5. Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva Link: Decimalne brojeve sabiramo i oduzimamo tako što ih potpišemo pa prosto sabiramo/oduzimamo jedinice sa jedinicama, desetice sa deseticama, stotine sa stotinama, kao i svaku decimalu sa odgovarajućom decimalom. Primer. Izračunaj vrednost izraza. Vrednost zadatog izraza je 2,21. 5, 6 5 3, 4 4 2, Množenje decimalnih brojeva Link: Množenje decimalnih brojeva svodi se na množenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da pazite na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno. 7. Deljenje decimalnih brojeva Link: Deljenje decimalnih brojeva svodi se na deljenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da pazite na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno. 8. Prioritet računskih operacija Link: Bitno je da zapamtite kakav je redosled izvođenja računskih operacija u matematici, a pri tome vam može pomoći sledeća skraćenica: ZEMDOS. 1. Z = zagrade 2. E = eksponenti (stepenovanje, korenovanje) 3. M = množenje i D = deljenje (s leva na desno) 4. O = oduzimanje i S = sabiranje (s leva na desno) 4

5 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Primer. Izračunaj vrednost izraza ( ). ( ) (prvo zagrade) (sad eksponenti) (sad množenje i deljenje) (sad oduzimanje i sabiranje) (ovo je naš konačan rezultat) Link za dodatnu vežbu Link: Rešeni kolokvijumski zadaci 1. Izračunati vrednost sledećeg izraza: ( ) Rešenje sa postupkom: Pretvaramo sve u razlomke kako bismo olakšali postupak izračunavanja vrednosti izraza. ( ) Potom, sređujemo izraz tako što skraćujemo razlomke gde to možemo da učinimo: ( ) Sada možemo operaciju deljenja da zamenimo operacijom množenja, koristeći recipročne vrednosti: ( ) Primenjujemo množenje i vršimo ponovo skraćivanje razlomaka tamo gde je to moguće: ( ) Sada primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka. Prvo saberimo prva dva razlomka. Ako proširimo drugi razlomak sa 6, možemo ih lako sabrati: ( ) 5

6 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi ( ) Skratimo sad taj razlomak sa 5: ( ) Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 16 je 48. Prvi razlomak množimo sa 8, dok drugi množimo sa 3: ( ) BITNA NAPOMENA: DECIMALNI ZAPIS I RAZLOMCI Kad god imate u brojevnom izrazu mešano decimalni zapis i razlomke, savetujemo da sve pretvorite u razlomke, kako biste lakše skratili ono što se može skratiti i smanjili mogućnost greške. Traži se tačna vrednost izraza, tako da ukoliko pretvorite sve u decimalni zapis možete dovesti sebe u situaciju da morate da zaokružujete brojeve, a to ovde nije dozvoljeno. Samo kada je sve dato u decimalnom zapisu, možete raditi bez problema sa decimalnim brojevima do kraja zadatka. 2. Izračunati vrednost sledećeg izraza: ( ) Rešenje sa postupkom: S obzirom da nam je sve dato u decimalnim brojevima, nema potrebe da pretvaramo decimalne brojeve u razlomke. Odmah vršimo operacije na decimalnim brojevima. Prvo ćemo oduzeti 7 i 6,35: Kako ćemo podeliti 0,65 i 6,5? Ovo deljenje se svodi na isto kao i deljenje 65 sa 650 (pomeramo zarez dva mesta udesno). Stoga, dalje pišemo sledeće: 3. Izračunati vrednost sledećeg izraza: ( ) Rešenje sa postupkom: Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u razlomke: 6

7 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 ( ) Standardno, skratimo ono što se može skratiti: ( ) Umesto deljenja, zapisujemo množenje, koristeći recipročne vrednosti: ( ) ( ) ( ) Primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka, sa najmanjim zajedničkim sadržaocem 55. Prvi razlomak množimo sa 11, drugi razlomak sa 1, a treći razlomak sa 5: ( ) 4. Izračunati vrednost sledećeg izraza: ( ) Rešenje sa postupkom: Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u razlomke: ( ) ( ) Zamenimo operaciju deljenja množenjem, koristeći recipročne vrednosti: ( ) Primenimo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac je 4, tako da prvi razlomak množimo sa 2, a drugi razlomak ostaje isti. Potom, da bismo dobili konačni rezultat, primenićemo operaciju množenja razlomaka: 7

8 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi ( ) 5. Izračunati vrednost sledećeg izraza: ( ) Rešenje sa postupkom: Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u razlomke: ( ) ( ) Primenjujemo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 2 jeste 6. Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi razlomak množimo sa 3: ( ) Konačno, primenjujući skraćivanje i operaciju množenja razlomaka dobijamo finalni rezultat: 6. Izračunati vrednost sledećeg izraza: Rešenje sa postupkom: 8

9 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u razlomke: Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo: Primenimo operaciju oduzimanja razlomaka u brojiocu velikog razlomka. Najmanji zajednički sadržalac je 3. Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi množimo sa 3: Ovo možemo transformisati u dvojni razlomak, koji možemo lako rešiti: BITNA NAPOMENA: KAKO SE REŠAVA DVOJNI RAZLOMAK? Spoljašnji članovi se množe i daju brojilac, a unutrašnji se množe i daju imenilac. 7. Izračunati vrednost sledećeg izraza: ( ) 9

10 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Rešenje sa postupkom: Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u razlomke: ( ) Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo: ( ) ( ) Primenjujemo operaciju oduzimanja razlomaka i u donjem i u gornjem delu velikog razlomka. U gornjem delu, dovoljno je da oduzmemo brojioce, jer su imenioci isti. U donjem delu razlomka, najmanji zajednički sadržalac je 9, te prvi razlomak ostaje isti dok drugi množimo sa 3: Kao u prethodnom zadatku, rešavamo dvojni razlomak poznatim postupkom: 10

11 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kviz 1: Brojevni izrazi Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. Izračunati vrednost sledećeg izraza: 2. Izračunati vrednost sledećeg izraza: 3. Izračunati vrednost sledećeg izraza:. / 4. Izračunati vrednost sledećeg izraza: ( ) 5. Izračunati vrednost sledećeg izraza: 11

12 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi Lekcija 2: Polinomi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o polinomima monom, polinom, koeficijent, stepen, promenljiva, sabiranje i oduzimanje polinoma; faktorizacija polinoma osnovno pravilo, posebna pravila, faktorizacija punog kvadratnog polinoma; deljenje polinoma šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se sprovodi; Bezuova teorema šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se primenjuje. Uvod U okviru prve lekcije ponovićemo osnovno gradivo iz polinoma, od kojih ste većinu zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Postavljaću vam i linkove pojedinih video zapisa. Većinu ovih videa je snimila Škola Rajak na veoma primerenom nivou i uz visoki kvalitet izrade. ( 1. Uvod u polinome Link: Ovo je jedan mali uvod u polinome iz osnovne škole, za one koji baš žele da zađu u same temelje i ako treba da ih popune. Preporučujem da svi pročitate ovaj tekst i pogledate i ukoliko je potrebno uradite navedene primere iz teksta, kako bismo bili sigurni u osnovu znanja iz oblasti polinoma. Ovaj tekst nije naš autorski, ali preporučujemo ga jer je kvalitetan i sadrži sve potrebne informacije. Najbitnije šta treba da znate je sledeće: - šta je monom, šta je polinom; - šta je stepen, šta je koeficijent, šta je promenljiva (primer 1 i 2 na linku); - znate da sa lakoćom sabirate i oduzimate polinome sa jednom ili više promenljivih (primer 7 na linku). 2. Faktorizacija polinoma 1) Osnovno pravilo Faktorizacija polinoma je drugi naziv za ono što vam je verovatno već vrlo poznato rastavljanje polinoma na proste činioce. Napomena: činioci su elementi koje množimo (npr. 12

13 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19, ovde su 2 i 3 činioci a 6 je proizvod). Dakle, kada govorimo o činiocima govorimo o operaciji množenja. Rastavljanje polinoma na proste činioce radimo tako što izvučemo zajednički element ispred zagrade, a u zagradu stavljamo sve ono što ostaje. Primer. Rastaviti na proste činioce izraz:. (zajednički element je x) ( ) (ostatak ostavljamo u zagradi) 2) Posebna pravila Postoje određena posebna pravila za faktorizaciju polinoma kako bi nam olakšala posao. Pravila koja treba da zapamtite su: - razlika kvadrata: ( )( ) - kvadrat razlike: ( ) - kvadrat zbira: ( ) Primeri. - razlika kvadrata: ( ) ( ) ( )( ) - kvadrat razlike: ( ) ( ) - kvadrat zbira: ( ) ( ) 3) Faktorizacija punog kvadratnog polinoma U prevodu, kako rastaviti kvadratnu jednačinu na činioce? Ono što treba da znate je kako izgleda kvadratna jednačina, kako se rešava, i šta su kod nje a, b i c. Mislim da ste ovo svi dovoljno puta ponavljali u srednjoj, ali za svaki slučaj pročitajte o obliku kvadratne jednačine (uvod članka) i kvadratnoj formuli (podnaslov): Nakon što ste pročitali i utvrdili ovo, ono što nam je bitno jeste kako sad faktorišemo kvadratnu jednačinu? Nakon što smo rešili jednačinu pomoću kvadratne formule, vrlo jednostavno to činimo prema sledećem obrascu: ( )( ) gde su i rešenja kvadratne jednačine. Primer. Rastaviti na proste činioce izraz:. Rešavamo kvadratnu jednačinu. 13

14 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi Dakle, samo zamenimo vrednosti i, kao i koeficijenta, u obrazac za rastavljanje kvadratne jednačine na proste činioce: ( )( ) ( ( ))( ( )) ( i daje +) ( )( ) ( )( ) BITNA NAPOMENA Obavezno pazite na minuse kod rastavljanja na činioce! Ovo je jedna od vrlo čestih grešaka studenata. Korisni linkovi: - vežba za rastavljanje kvadratne na činioce (samo pogledajte primere i uradite ih): - koristan video da generalno ponovite faktorizaciju polinoma: 3. Deljenje polinoma Link: Pre nego što krenemo na nešto zastrašujuće, hajde da vidimo kako se dele polinomi. Ovo često ostane nejasno među mnogim učenicima, naročito u srednjim školama gde nije bio toliki fokus na matematici, a i nije se toliko to vežbalo kao kvadratna jednačina da bi se zapamtilo. Ovako u rečima, ne znam kako bih vam objasnio a da vam bude jasno. Zaista je potreban video za to, preporučujem da detaljno pogledajte i provežbate primere iz videa na linku iznad. Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite. 14

15 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 4. Bezuova teorema (Bezuov stav) Link: E sad to zastrašujuće. Šala naravno, nije ništa strašno, ali učenici i studenti čim čuju reč teorema, padaju u nesvest. Nemojte i vi to činite, jer zaista nema potrebe! Bezuova teorema je vrlo jednostavna. Služi nam da rastavimo na činioce polinom koji je većeg stepena od 2, tj. kada ne možemo primeniti izvlačenje ispred zagrade ili rešavanje kvadratne jednačine. Prostim jezikom, Bezu(b) nam kaže: Videćeš kako da rastaviš taj komplikovani polinom kad naš sa čime treba da ga podeliš. A kako to da nađeš? Sve x-eve u polinomu zameni nekim brojem koji će dati rezultat polinoma NULA. Onda podeli taj polinom sa. Rečima možda ipak ne tako prosto, ali u praksi logika je jasna: 1) Imate komplikovan polinom većeg stepena od 2. Odlučujete da ne odustanete već da date sve od sebe da rastavite polinom na proste činioce. 2) Umesto nepoznatih promenljivih u tom polinomu, pokušajte da zamenite neki mali broj, poput 1, -1, 2, -2 (najčešće su ovi brojevi u opticaju). Tu malo nagađate koji je broj koji vam treba. Zamenivši taj broj u polinom, dobijate određeni rezultat. 3) Kada dobijete rezultat 0, to je broj koji vam treba. 4) Podelite polinom sa (x minus taj broj) i rešenje tog deljenja je praktično rastavljeni činilac koji vam je potreban. Teško je razumeti ovako bez primera, zato obavezno detaljno pređite bar video na linku iznad. Postoje i drugi i treći deo videa na istom jutjub kanalu, može vam i to značiti ukoliko pogledate. Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite. Rešeni kolokvijumski zadaci 1. Rastaviti sledeći polinom na proste činioce: Rešenje sa postupkom: Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je x: ( ) 15

16 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg obrasca: ( )( ) Naša kvadratna jednačina izgleda ovako: S obzirom da uz ne stoji ništa, to je zapravo isto kao. Dakle,. Potrebna su nam i rešenja kvadratne jednačine i : Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao: ( )( ) ( )( ) Konačno, naše finalno rešenje je: 2. Faktorisati polinom: ( ) ( )( ) Rešenje sa postupkom: Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je x: ( ) Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg obrasca: ( )( ) Naša kvadratna jednačina izgleda ovako: S obzirom da uz ne stoji ništa, to je zapravo isto kao. Dakle,. Potrebna su nam i rešenja kvadratne jednačine i : 16

17 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 ( ) Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao: ( )( ) ( )( ) Konačno, naše finalno rešenje je: ( ) ( )( ) 3. Izračunati: ( ) ( ) Rešenje sa postupkom: ( ) ( ) Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo sa. Rezultat tog deljenja je, što upisujemo desno od znaka jednakosti. Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači: - množimo sa, čime dobijamo - množimo sa, čime dobijamo Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo: Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu. 17

18 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle, sabiramo i. Rezultat je. Ovaj rezultat upisujemo ispod crte. Ovaj postupak ponavljamo sve dok ne dođemo do situacije da dobijeni rezultat ispod crte jeste nižeg stepena od prvog elementa delioca, zbog čega ne možemo da nastavimo deljenje. U ovom zadatku ćemo proći i kroz ove korake detaljno: Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo sa. Rezultat tog deljenja je, što upisujemo desno od znaka jednakosti. Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači: - množimo sa, čime dobijamo - množimo sa, čime dobijamo Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo: Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu. Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle, sabiramo i. Rezultat je. Ovaj rezultat upisujemo ispod crte. Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo sa. Rezultat tog deljenja je, što upisujemo desno od znaka jednakosti. Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači: - množimo sa, čime dobijamo - množimo sa, čime dobijamo Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo: Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu. Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle, sabiramo i. Rezultat je. Ovaj rezultat upisujemo ispod crte. Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo sa. Rezultat tog deljenja je, što upisujemo desno od znaka jednakosti. 18

19 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači: - množimo sa, čime dobijamo - množimo sa, čime dobijamo Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo: Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu. Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle, sabiramo i. Rezultat je. Ovaj rezultat upisujemo ispod crte. Primećujemo da ne možemo dalje da nastavimo deljenje, jer ne možemo da podelimo 82 sa x. Time, ostatak zadatog deljenja je 82, a ono što smo upisali sa desne strane jednakosti je rešenje našeg deljenja. Dakle rezultat deljenja je, sa ostatkom Skratiti razlomak: Rešenje sa postupkom: Da bismo skratili razlomak, potrebno je da rastavimo i gornji i donji deo razlomka na proste činioce, da bismo videli šta sve može da se skrati. Odvojeno ćemo ovo obaviti za gornji i donji deo razlomka. Gornji deo razlomka rastavićemo na činioce pomoću Bezuove teoreme, jer je u pitanju puna funkcija sa stepenom iznad 2 (imamo i, i i slobodan član). Prvo, moramo da vidimo koji mali broj (najčešće 1, -1, 2, ili -2) se može zameniti u ovu jednačinu umesto x pa da vrednost izraza bude 0. Probajmo da učinimo ovo za : Odlično, sa uspeli smo da dobijemo rezultat nula! Znači,. Prema Bezuovoj teoremi, naš polinom treba da delimo sa ( ), tj. ( ). Dalje, treba da izračunamo ( ) ( ). Znamo za sigurno da će ostatak deljenja biti nula, jer smo našli pravi broj prema Bezuovoj teoremi. Rezultat deljenja će nam koristiti kao osnovna informacija za rastavljanje polinoma na činioce. 19

20 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi ( ) ( ) Ukoliko posmatramo ovo deljenje s desna na levo, vidimo da možemo da zapišemo naš deljenik ( ) kao: ( )( ) Time smo veliki polinom rastavili na činioce. Ono što je još potrebno da uradimo je da proverimo da li možemo i kvadratnu jednačinu rastaviti na činioce. Ovo činimo pomoću sledećeg obrasca: ( )( ) Naša kvadratna jednačina izgleda ovako: Uz stoji dvojka, tako da. Potrebna su nam i rešenja kvadratne jednačine i : ( ) Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao: ( )( ) ( )( ) Konačno, gornji deo razlomka potpuno rastavljen na čionice izgleda ovako: ( )( )( ) 20

21 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Ne zaboravimo da rastavimo na činioce i donji deo razlomka. Imamo, što možemo rastaviti putem razlike kvadrata, tj. ( )( ). Štaviše, primenićemo razliku kvadrata duplo. Prvo, imaćemo da su nam elementi i : ( ) ( )( ) ( ) ne možemo dalje da rastavimo, ali ( ) možemo, i to pomoću ponovne primene razlike kvadrata, gde su nam sada elemeneti i : ( )( )( ) Dakle, ovako izgleda u potpunosti rastavljen donji deo razlomka: ( )( )( ) Konačno, naš početni razlomak u potpunosti rastavljen na činioce je: ( )( )( ) ( )( )( ) Očigledno, možemo skratiti ( ) sa ( ), i ( ) sa ( ): ( )( )( ) ( )( )( ) Finalni rezultat našeg zadatka je: 21

22 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi Kviz 2: Polinomi Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. Izračunati: ( ) ( ) 2. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom: 3. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom: 4. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom: 5. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom: 22

23 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: oblast definisanosti funkcije šta predstavlja i kako ga izračunati; preseci funkcije sa osama šta predstavljaju i kako doći do tačaka koje ih određuju; eksplicitni i implicitni oblik funkcije zašto je to bitno i kako dolazimo do njih; skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija kako ih predstaviti u koordinatnom sistemu; minimalna i maksimalna vrednost funkcije u okviru čega ćemo ponoviti izvode; funkcija funkcije kako računamo ovu neobičnu funkciju. 1. Oblast definisanosti (domen) funkcije Verovatno već znate šta otprilike funkcija predstavlja. Funkcija nam jednostavno opisuje način na koji neki input pretvaramo u određeni autput. Matematički rečeno, funkcija ( ) nam opisuje način na koji promenljivu ( input ) pretvaramo u određenu vrednost ( autput ). Primer. Imamo funkciju ( ). Ukoliko, onda će vrednost funkcije biti 1. Ukoliko, onda će vrednost funkcije biti. Ukoliko je x = 3, onda će vrednost funkcije biti itd. Svaka funkcija ima svoj domen, tj. oblast definisanosti. Domen funkcije predstavlja sve vrednosti x za koje je vrednost funkcije f(x) definisana u skupu realnih brojeva. Veoma bitno je da znate tri osnovna slučaja kada postoji ograničenje na domen funkcije. 1) Kod razlomaka, imenilac mora biti različit od nule Drugim rečima, kada vidite razlomak u okviru funkcije, sve ono što je ispod razlomačke crte ne sme biti jednako nuli. Primer. Imamo funkciju ( ). Imenilac mora biti različit od nule, dakle: Dakle, ova funkcija je definisana u skupu realnih brojeva, osim broja 1. Matematički: *

24 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije 2) Kod logaritama, ono što se logaritmuje mora biti > 0 i osnova logaritma mora biti > 0 i različita od 1 Pokažimo ovo odmah na primeru. Primer. Imamo funkciju ( ) ( ). Pod logaritmom imamo, znači: Takođe, bitno je da je osnova logaritma (u ovom slučaju 5) veća od nule i različita od 1. Ukoliko bi se nepoznata x javila u osnovi logaritma, i ovaj uslov bi uticao na oblast definisanosti funkcije. Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće od -1. Matematički: ( ) 3) Kod parnih korena, ono pod korenom mora biti 0 Pokažimo ovo odmah na primeru. Primer. Imamo funkciju ( ). U pitanju je kvadratni koren što je parni koren, tako da postoji ograničenje za domen funkcije. Pod korenom imamo, znači: Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće ili jednako od -2. Matematički:, ) BITNA NAPOMENA Gore navedeno ograničenje važi samo za parne korene. Ukoliko imamo funkciju sa neparnim korenom, ne postoji ograničenje za domen funkcije. Primer. Imamo funkciju ( ). U pitanju je kubni koren što je neparni koren, tako da ne postoji ograničenje za domen funkcije. Dakle, ova funkcija je definisana na celom skupu realnih brojeva. Matematički: 24

25 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 2. Preseci funkcije sa osama Funkcije najčešće seku i horizontalnu osu (x-osu) i vertikalnu osu (y-osu). Za vas je bitno da znate kako da odredite koordinate tačaka gde funkcija seče ose. 1) Presek sa y-osom Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je. Primer. Imamo funkciju ( ). Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost : ( ) ( ) ( ) Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački: ( ) 2) Presek sa x-osom Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je. Primer. Imamo funkciju ( ). Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost : ( ) (jer f(x) je isto što i y) (jer zamenjujemo da je ) Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u tački: ( ) 3. Eksplicitni i implicitni oblik funkcije Bitno je da znamo da postoje dva različita oblika funkcije. Kada budemo skicirali grafike linearnih funkcija, biće nam lakše da utvrdimo brojne značajne informacije o funkciji iz eksplicitnog oblika funkcije. Stoga, hajmo da naučimo šta predstavljaju ovi jednostavni koncepti: 25

26 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije 1) Implicitni oblik funkcije Implicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde su x i y na istoj strani jednakosti. Ovaj oblik nam ne govori puno o funkciji, niti nam pomaže da skiciramo funkciju. On je vrlo implicitan ne govori nam skoro ništa o karakteristikama naše funkcije. Primer. Imamo funkciju. Da li vam ovo uopšte liči na funkciju? Svakako nije oblik koji smo navikli da viđamo, gde je sa leve strane ( ) tj., a sa desne strane neki izraz sa promenljivom. 2) Eksplicitni oblik funkcije Eksplicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde na levoj strani jednakosti imamo f(x) tj. y, a na desnoj strani jednakosti imamo neki izraz sa promenljivom x. Ovaj oblik linearne funkcije je prilično eksplicitan, jer nam daje informacije o koeficijentu pravca (nagibu) funkcije, direktno nam govori koji je presek funkcije sa y-osom, i time nam puno pomaže u skiciranju grafika. Primer. Imamo funkciju. Rekli smo da je ovo implicitni oblik. Da bi nam život bio lakši i da bismo rešili zadatak na kolokvijumu, hajmo da prebacimo ovu funkciju u eksplicitni oblik. (treba samo y da bude levo) (x na prvo mesto da bi bilo lakše) Sada možemo videti mnoge stvari iz naše funkcije, a to su: a) pored x stoji -1, što je koeficijent pravca tj. nagib funkcije. b) slobodan član u funkciji je +1, što predstavlja vrednost y gde funkcija seče y-osu tj.a(x, y) 4. Skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija Za kolokvijum i ispit vrlo je bitno da znamo da skiciramo funkcije. Sad ćemo naučiti kako da skiciramo linearne i kvadratne funkcije. 1) Linearne funkcije Linearne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 1. Prosto rečeno, u okviru funkcije ne postoje x 2, x 3 itd. 26

27 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Primeri linearnih funkcija. ( ) ( ) ( ) Kako skiciramo linearne funkcije? Primenimo znanje iz drugog dela ove lekcije, preseci funkcije sa osama: a) odredimo presek funkcije sa y-osom i x-osom b) ucrtamo ove tačke u koordinatni sistem c) spojimo ove tačke kako bismo dobili traženu linearnu funkciju Primer. Uzmimo primer sledeće funkcije: ( ). Faza a): Određujemo presek funkcije sa y-osom i x-osom. Imamo funkciju ( ). Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost : ( ) ( ) ( ) Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački: ( ) Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost : ( ) (jer f(x) je isto što i y) (jer zamenjujemo da je ) Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u tački: ( ) Faza b) : Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu. 27

28 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije B(-1/2,0) A(0,1) Faza c): Spajamo ove tačke kako bismo dobili traženu funkciju. f(x) 2x 1 2) Kvadratne funkcije Kvadratne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 2. Prosto rečeno, u okviru funkcije ne postoje x 3, x 4 itd. Primeri kvadratnih funkcija. ( ) ( ) ( ) Kako skiciramo kvadratne funkcije? Potrebno je da prođemo sledeće korake: a) odredimo koliko iznosi, tj. broj koji stoji uz x 2 ovo će nam reći da li se naša kvadratna funkcija smeje ili plače. Drugim rečima: 28

29 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 ako je a > 0, funkcija se smeje :) ako je a < 0, funkcija plače :( Napomena: Ukoliko je a = 0, onda se kvadratna funkcija svodi zapravo na linearnu funkciju. b) rešimo kvadratnu jednačinu i time odredimo njena rešenja ova rešenja će nam reći koji su to preseci sa x-osom: dva realna rešenja jedno realno rešenje kompleksna rešenja imamo dva preseka sa x-osom imamo jedan presek sa x-osom nema preseka sa x Primer. Uzmimo primer funkcije ( ) do njene skice.. Hajmo da prođemo korake kako bismo došli Faza a): Određujemo koliko iznosi a. U ovoj funkciji, uz x 2 stoji koeficijent 1. Dakle, a = 1. S obzirom da je a > 0, zaključujemo da se naša kvadratna funkcija smeje. Faza b): Rešavamo kvadratnu jednačinu ( ) 29

30 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije Imamo dva realna i različita rešenja, tako da imamo dva preseka sa x-osom, i to -3 i 2. Dakle, možemo skicirati našu kvadratnu funkciju: NAPOMENA Ukoliko želite da budete još precizniji u skiciranju kvadratne funkcije, možete odrediti i presek sa y-osom tako što ćete zameniti u funkciju da je x = 0, kao i ekstremnu vrednost. 5. Ekstremna vrednost funkcije Za kolokvijum je vrlo bitno da znamo da odredimo minimalnu odnosno maksimalnu vrednost funkcije. Ovo ćemo vrlo lako postići primenom izvoda. Izvodi su jedna vrlo obimna tema u matematici, koje je potrebno dosta da vežbate. Ovde ću se zadržati na onome što nam je neophodno za prvi kolokvijum, a kasnije ćemo dosta detaljnije obrađivati ovu oblast. Smatram da je za prvi kolokvijum nije najbitnije da naučite samu suštinu izvoda, već šablon kako da nalazite minimalne i maksimalne vrednosti funkcije. Kasnije će već sve doći na svoje. Da ne bismo komplikovali stvari, za kolokvijum je neophodno da naučite: izvode elementarnih funkcija drugim rečima, tablicu elementarnih izvoda i kako to da primenjujete u zadacima; izvode zbira, razlike, proizvoda i količnika izvod pomoću smene Ovo je vrlo elementarno gradivo iz izvoda koja je velika većina vas prešla u srednjoj školi. Takođe, u čistoj pismenoj formi je malo komplikovano za objasniti, tako da ću vam ostaviti da izvode naučite iz elektronskih izvora. Preporučujem: (ne morate učiti definisanje izvoda, priraštaj i slično) 30

31 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Nemojte nastavljati pre nego što naučite i dobro izvežbate ovo iznad! Kada ste sigurni da ste to dobro savladali, spremni ste da naučite kako odrediti minimalnu odnosno maksimalnu vrednost funkcije. Koraci koje prelazimo kada određujemo minimalnu odnosno maksimalnu vrednost funkcije su sledeći: a) određujemo prvi izvod funkcije b) izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom time dobijamo vrednost x gde postoji ekstrem funkcije (minimum ili maksimum) c) ubacujemo dobijenu vrednost x u početnu funkciju time dobijamo maksimalnu odnosno minimalnu vrednost funkcije y Primer. Uzmimo primer funkcije ( ) do njene ekstremne vrednosti. Faza a: Određujemo prvi izvod funkcije: ( ) ( ). Hajmo da prođemo korake kako bismo došli Faza b: Izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom: ( ) Faza c: Da bismo dobili ekstremnu vrednost funkcije, dobijenu vrednost x zamenjujemo u početnu funkciju (NE U PRVI IZVOD!): ( ). / ( ). /. / Ekstremna vrednost funkcije je -21/4. Tačka ekstrema je u tački E(-1/2, -21/4). BITNA NAPOMENA Na kolokvijumu često neće biti potrebno da odredite da li je ovo minimum ili maksimum funkcije. Međutim, inače ponekad će to i biti potrebno, a to vrlo lako možete učiniti: 31

32 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije a) odrediti drugi izvod funkcije b) ukoliko je pozitivan u pitanju je minimum; ukoliko je negativan u pitanju je maksimum Primer. Drugi izvod dobijamo kada radimo izvod prvog izvoda funkcije. Drugi izvod gore pomenute funkcije ( ) je 2. S obzirom da je ovaj izvod pozitivan, u pitanju je minimum funkcije. 6. Funkcija funkcije Za kraj, pređimo ovaj vrlo kratki koncept u vezi funkcija. Suština je da argument funkcije postaje cela druga funkcija. Drugim rečima, umesto promenljive u funkciji ( ), imamo npr. funkciju ( ) matematički zapisano: ( ( )). Izgleda malo rogobatno, ali sve će biti jasnije kada pogledamo primer. Primer. Uzmimo da je ( ), dok je ( ). Zadatak može da nam traži sledeće varijante: a) Odredite ( ( )). Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati ( ) kao ceo argument za ( ): ( ( )) ( ) -zamenimo g(x) ( ) -zamenimo u f(x) b) Odredite ( ( )). Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati ( ) kao ceo argument za ( ): ( ( )) ( ) -zamenimo f(x) ( ) -zamenimo u g(x) Rešeni kolokvijumski zadaci 1. Koja je najmanja vrednost sledeće funkcije: ( ) Rešenje sa postupkom: Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom: ( ) ( ) 32

33 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za. Da bismo dobili ekstremnu vrednost funkcije f(x), ubacujemo vrednost u jednačinu funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Konačno rešenje zadatka je. Funkcija ( ) dostiže minimum za, i ta minimalna vrednost iznosi. Proverimo da je ovo minimalna vrednost (minimum), a ne maksimalna vrednost (maksimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju je maksimum. ( ) ( ) ( ) Dobili smo pozitivnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima minimum, a ne maksimum. 2. Funkcija ima najveću vrednost za x = i ona iznosi y =. Rešenje sa postupkom: Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom: ( ) ( ) Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za. Da bismo dobili ekstremnu vrednost funkcije f(x), ubacujemo vrednost u jednačinu funkcije: ( ) ( ) ( ) 33

34 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije ( ) Maksimalna vrednost funkcije je. Funkcija ( ) dostiže maksimum za, i ta maksimalna vrednost iznosi. Proverimo da je ovo maksimalna vrednost (maksimalna), a ne minimalna vrednost (minimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju je maksimum. ( ) ( ) ( ) Dobili smo negativnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima maksimum, a ne minimum. 3. Neka je: ( ) ( ) ( ) U koordinatnom sistemu poq skicirati grafike ovih funkcija. Rešenje sa postupkom: Odvojeno ćemo skicirati grafik za funkciju ( ) i grafik za funkciju ( ) ( ). Takođe, odvojeno ćemo tražiti i potrebne informacije za skiciranje ovih funkcija. Kada govorimo o funkciji ( ), primećujemo da je ovo jedna obična linearna funkcija, koju odmah možemo skicirati poznatim postupkom ranije prikazanim na str.27 u odeljku 4 ove lekcije. p tretiramo kao x, a q kao y, jer imamo koordinatni sistem poq (p je horizontalna osa, a q je vertikalna osa). Faza a): Određujemo presek funkcije sa q-osom i p-osom. Imamo funkciju ( ). Da bismo našli presek sa q-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost : ( ) ( ) ( ) Dobili smo da je vrednost funkcije 12 kada je p = 0, tako da presek sa q-osom jeste u tački: ( ) Da bismo našli presek sa p-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost : ( ) 34

35 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 (jer zamenjujemo da je ) Dobili smo da je vrednost funkcije 4 kada je q = 0, tako da presek sa p-osom jeste u tački: ( ) Faza b): Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu. A(0,12) B(4,0) Faza c): Spajamo ove tačke kako bismo dobili traženu funkciju. A(0,12) q 1 (p) 12 3p B(4,0) Kada govorimo o funkciji ( ), primećujemo da je ovo malo neobična funkcija. Međutim, kada zamenimo funkciju ( ) u nju i izrazimo sve preko, dobijamo kvadratnu funkciju koju poznatim postupkom ranije prikazanim na str u odeljku 4 ove lekcije možemo 35

36 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije skicirati. Kao i kod prve funkcije, p tretiramo kao x, a q kao y, jer imamo koordinatni sistem poq (p je horizontalna osa, a q je vertikalna osa): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Faza a): Određujemo koliko iznosi a. U ovoj funkciji, uz p 2 stoji koeficijent 3. Dakle, a = 3. S obzirom da je a > 0, zaključujemo da se naša kvadratna funkcija smeje. Faza b): Rešavamo kvadratnu jednačinu Imamo dva realna i različita rešenja, tako da imamo dva preseka sa p-osom, i to 2 i 4. Dakle, možemo skicirati našu kvadratnu funkciju: NAPOMENA br.1: br.1: PRECIZNIJE SKICIRANJE GRAFIKA Na Na kolokvijumu je je dovoljno dovoljno da da ovako ovako skicirate skicirate kvadratnu funkciju. funkciju. Međutim, Međutim, ukoliko ukoliko vam ostane vam ostane vremena, vremena, ne bi bilo ne bi loše bilo da loše odredite da odredite i ekstrem i ekstrem funkcije funkcije i presek i presek sa y-osom sa y-osom (u ovom slučaju (u ovom q-osom), slučaju kako q-osom), biste preciznije kako biste skicirali preciznije grafik. skicirali Ovo grafik. će vam Ovo svakako će vam koristiti svakako kasnije za koristiti ispit. kasnije za ispit. NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi uslovi uslovi postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda (quantity), a p na cenu postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda, a p na cenu. Nema ekonomskog (price). Nema ekonomskog smisla da se dobije negativna količina i cena. smisla da se dobije negativna količina i cena. NAPOMENA br.3: RAZLIČITI KOORDINATNI SISTEMI U ovakvim zadacima često je dato kakav koordinatni sistem da crtate, u okviru zapisa Dekartov koordinatni sistem poq. Prvi element tretirate kao x-osu (ujedno i kao nepoznatu x), a drugi element kao y-osu (ujedno kao nepoznatu y). U zadacima se najčešće javljaju sistemi poq, qop, xoy i yox. 36

37 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 4. Ako je ( ), odrediti koliko iznosi ( ( )) Rešenje sa postupkom: Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati ( ) kao ceo argument za ( ): ( ( )) ( ) Znamo kako se rešava dvojni razlomak, tako da ovo vrlo jednostavno rešavamo: 5. Odrediti oblast definisanosti sledećih funkcija: a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) Rešenje sa postupkom: a) Imenilac razlomka mora biti različit od nule. Znači: Kada rešimo ovu kvadratnu jednačinu pomoću formule, rešenja koja ćemo dobiti za x su -3 i 2. Dakle, oblast definisanosti funkcije je: * + b) Ono pod logaritmom mora biti veće od nule. Znači: Dakle, oblast definisanosti funkcije je: ( ) c) Kada imamo neparne korene, nema ograničenja za x. Dakle, oblast definisanosti funkcije je: d) Kada imamo parne korene, ono pored korenom mora biti veće ili jednako od nule. Znači: Dakle, oblast definisanosti funkcije je:, ) 37

38 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije Kviz 3: Funkcije Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. Funkcija ima najmanju vrednost za x = i ona iznosi y =. 2. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu qop, skicirati grafike funkcija: 3. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu qop, skicirati grafike funkcija: 4. Za datu funkciju ( ) u qop sistemu skicirati grafik funkcije ( ) i odrediti preseke sa obe ose. 5. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu qop, skicirati grafike funkcija: 38

39 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi (jednačine i nejednačine) Pregled lekcije U okviru ovel lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: linearne jednačine šta predstavljaju i kako ih rešavamo; kvadratne jednačine šta predstavljaju i kako ih rešavamo; linearne nejednačine šta predstavljaju i kako ih rešavamo; kvadratne nejednačine šta predstavljaju i kako ih rešavamo. Uvod Imamo divnu vest za vas. Sigurni smo da već znate da rešavate linearne jednačine, jer ste ovo radili još kod učiteljice, kvadratne jednačine takođe, a i većina vas verovatno je dosta dobro izvežbana u oblasti linearnih i kvadratnih nejednačina. Svakako ćemo ponoviti kako se to radi i preći nekoliko primera, a i pre svega uputićemo vas na ono što velika većina studenata zaboravi da uradi. Zlatno pravilo Čim vidite u zadatku jednačinu ili nejednačinu, odredite ograničenja za x u pogledu domena (ona tri pravila koja smo naučili u prethodnoj lekciji). Ovo je ključno da zapamtite, jer čak ukoliko šablonskim postupkom i dođete do pravih rešenja jednačine ili nejednačine, može se desiti da ta rešenja ne pripadaju domenu. Tada rešenja zapravo nisu rešenja, i ukoliko to ne naznačite, neće vam biti priznat zadatak na kolokvijumu i ispitu! Mala pomoć - Linearno znači da nigde ne možete da vidite x 2, x 3 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je jedan. - Kvadratno znači da nigde ne možete da vidite x 3, x 4 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je dva, tj. x 2. - Jednačina znači da tražimo određenu nepoznatu x (postoji znak jednakosti =). - Nejednačina znači da tražimo određenu oblast rešenja za x (postoji znak nejednakosti). Znakovi nejednakosti mogu biti: < manje > veće manje ili jednako veće ili jednako različito 39

40 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi 1. Linearne jednačine Ovo je najjednostavniji oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan. Postupak za rešavanje je sledeći: 1) obavezno proveravamo koji je domen za x 2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti Primer. Reši jednačinu. (prebacujemo x na levu stranu) U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja za domen i time jeste rešenje ove jednačine. Primer. Reši jednačinu. (množimo sa ) U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen. jednačine. spada u domen i pored ovog ograničenja, tako da jeste rešenje ove 2. Kvadratne jednačine Ovo je vrlo jednostavan oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x dva. Postupak za rešavanje je sledeći: 1) obavezno proveravamo koji je domen za x 2) sredimo jednakost ako je potrebno i rešimo kvadratnu jednačinu putem formule 40

41 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Primer. Reši jednačinu. Kada prebacimo šesticu na levu stranu, naša jednačina svodi se na ( ) U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja za domen i time -3 i 2 zaista jesu rešenja ove kvadratne jednačine. 3. Linearne nejednačine Ovo je najjednostavniji oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan. Postupak za rešavanje je sledeći: 1) obavezno proveravamo koji je domen za x 2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti *) kod razlomaka, na desnoj strani ne ostavljamo ništa tj. ostavljamo nulu (vidi drugi primer) 3) u slučaju razlomaka, analiziramo kada funkcija zadovoljava nejednakost, putem tabele BITNA NAPOMENA Kod nejednačina je ključno da pazite na MINUSE. Ukoliko množite ili delite čitavu nejednakost sa negativnim brojem, znak nejednakosti se obrće. Primer. Reši nejednačinu. (prebacujemo x na levu stranu) U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja za domen i time skup rešenja ove nejednačine jeste. 41

42 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi Primer. Reši nejednačinu. (prebacujemo 1 na levu stranu) (sređujemo razlomak) ( ) + + Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim negativna. Svaki činilac gledamo zasebno. je nula u. Ako je manji od, i će biti negativan. Ako je veći od nule, i će biti pozitivan. je nula u. Ako je manji od, će biti negativno. Ako je veći od, će biti pozitivno. ( ) predstavlja celu našu funkciju. Minus i minus daju plus, minus i plus daju minus, a plus i plus daju plus. Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija veća od nule ukoliko je ( ) ( ) U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen. Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje je sledeće: ( ) ( ) 42

43 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 BITNA NAPOMENA - Kod < i >, svakako ne uračunavamo u rešenje granične vrednosti (npr. ovde ) - Kod i se može desiti da uračunamo u rešenje granične vrednosti, ukoliko i ona pripadaju domenu 4. Kvadratne nejednačine Ovo je relativno jednostavan oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x dva. Postupak za rešavanje je sledeći: 1) obavezno proveravamo koji je domen za x 2) sve prebacujemo na jednu (levu) stranu, dok na desnoj strani ostavljamo nulu 3) analiziramo kada je nejednakost zadovoljena, preko skice i/ili tabele Primer. Reši nejednačinu. Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu iz brojioca, jer će nam to biti potrebno da bismo analizirali znak funkcije: ( ) ( ) ( ) Pravimo tabelu da bismo analizirali znak funkcije. Popunjavamo informacije za svaki činilac x 2-3x x + + f(x)

44 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi x 2 3x Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim negativna. Svaki činilac gledamo zasebno. je nula u. Ako je manji od, i će biti negativan. Ako je veći od nule, i će biti pozitivan. je nula u i. S obzirom da je, funkcija plače (vidi skicu ispod tabele). Samo u oblasti između -4 i 1 vrednost funkcije je pozitivna. f(x) predstavlja celu našu funkciju daju minus, plus i plus daju plus, i minus i plus daju minus.. Minus i minus daju plus, plus i minus Nejednakost zahteva da naša funkcija veća ili jednaka nuli. Iz tabele vidimo da je funkcija veća ili jednaka od nule ukoliko je ( -, - U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen. Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje je sledeće: ( - ( - Rešeni kolokvijumski zadaci 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: Rešenje sa postupkom: Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula: Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je ( dok drugi množimo sa ( ): ( ) ) prvi razlomak ostaje isti, 44

45 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Sada možemo da napravimo tabelu: ( ) + + Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim negativna. Svaki činilac gledamo zasebno. je nula u. Ako je manji od, će biti negativno. Ako je veći od, će biti pozitivno. je nula u. Ako je manji od, će biti negativno. Ako je veći od, će biti pozitivno. ( ) predstavlja celu našu funkciju minus, a plus i plus daju plus.. Minus i minus daju plus, minus i plus daju Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 0 1 U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen. Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje je sledeće: [ ) 2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: Rešenje sa postupkom: Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine: ( ) 45

46 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj funkciji, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 3 i 5: + x 2 8x Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Sa skice grafika vidimo da je funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je, - U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen. Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno rešenje je sledeće:, - 3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: Rešenje sa postupkom: Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula: Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je ( dok drugi množimo sa ( ): ( ) ) prvi razlomak ostaje isti, 46

47 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Sada možemo da napravimo tabelu: ( ) + + Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim negativna. Svaki činilac gledamo zasebno. je nula u Ako je manji od, će biti negativno. Ako je veći od, će biti pozitivno. je nula u. Ako je manji od, će biti negativno. Ako je veći od, će biti pozitivno. ( ) predstavlja celu našu funkciju minus, a plus i plus daju plus.. Minus i minus daju plus, minus i plus daju Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija veća ili jednaka od nule ukoliko je ( -, ) U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen. Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje je sledeće: ( - ( ) 4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: Rešenje sa postupkom: Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine: ( ) 47

48 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj funkciji, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 5: + x 2 6x Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je funkcija veća od nule ukoliko je ( ) ( ) U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen. Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno rešenje je sledeće: ( ) ( ) 5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: Rešenje sa postupkom: Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine: ( ) 48

49 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj funkciji, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 5: + x 2 6x Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Sa skice grafika vidimo da je funkcija manja od nule ukoliko je ( ) U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen. Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno rešenje je sledeće: ( ) 6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: Rešenje sa postupkom: Prvo sređujemo izraz, tako što sve prebacujemo sa leve strane, kako bi na desnoj strani ostala samo nula: Razlomak će da bude nula onda kada mu je brojilac nula. Tako da iz ovoga sledi: Uslov za oblast definisanosti koji ne smemo da zaboravimo jeste da, odnosno. Naše rešenje zaista ispunjava ovaj uslov, tako da konačno rešenje zadatka je: 49

50 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi Kviz 4: Racionalni algebarski izrazi Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. U skupu realnih brojeva, rešiti jednačinu: 2. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu: 3. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu: 4. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu: 5. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu: 50

51 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: apsolutna vrednost broja - šta predstavlja i koja je njena suština; skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću; primena apsolutne vrednosti na jednačine i nejednačine. Uvod Apsolutna vrednost je jedan vrlo jednostavan koncept za razumeti, što ćemo videti kada budemo definisali šta on predstavlja. Međutim, ono na šta bih da vam skrenemo pažnju jeste da nikako ne preskočite primenu apsolutne vednosti na jednačine i nejednačine i skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću. Ovo se često previdi jer nema tu mnogo gradiva i dosta liči na ono što smo već naučili u lekcijama 3 i 4, ali je zapravo veoma bitno da uradite dosta primera i dobro izvežbate baratanje sa apsolutnim vrednostima. 1. Apsolutna vrednost broja Najjednostavnije rečeno, apsolutna vrednost broja je njegova numerička vrednost, ukoliko ignorišemo predznak minus ili plus. Primer. - Apsolutna vrednost broja -3 je 3. Matematički zapisano:. - Apsolutna vrednost broja 5 je 5. Matematički zapisano: Koja bi bila apsolutna vrednost broja x? Imamo dva slučaja, koja je ključno da zapamtite. 2 Šta znači ovaj matematički zapis? - Apsolutna vrednost broja iznosi, ukoliko je veće ili jednako od nule (npr. ukoliko je, to znači da je veće ili jednako od nule, tako da je apsolutna vrednost ). - Apsolutna vrednost broja iznosi, ukoliko je manje od nule (npr. ukoliko je, to znači da je manje od nule, tako da je apsolutna vrednost ( ) ). BITNA NAPOMENA Upravo zbog toga, jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo na isti način kao i one bez apsolutnih vrednosti, uz jednu razliku raščlanjavamo ih na 2 dela. 51

52 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost 2. Skiciranje grafika U lekciji 3 smo naučili da skiciramo grafike linearnih i kvadratnih funkcija. Koja bi razlika bila kod skiciranja funkcije sa apsolutnom vrednošću? Zapravo, grafik se skicira identično. Prvo zanemarite da postoji apsolutna zagrada i normalno nacrtajte funkciju, a zatim učinite nešto vrlo bitno izbacite sve negativne vrednosti sa vašeg grafika, preslikavajući ih na pozitivne. Pokazaćemo ovo na primeru kako bi bilo jasno na šta se misli. Primer. Skiciraj grafik funkcije. Prvo zanemarimo da postoje apsolutne zagrade. Skicirajmo grafik funkcije y x Šta treba da promenimo na grafiku kako bismo došli do grafika funkcije? Levo od nule, imamo negativne vrednosti funkcije, što kod apsolutne vrednosti nije moguće jer je ona uvek veća ili jednaka od nule. Potrebno je samo da preslikamo ove negativne vrednosti na pozitivne, kao da je x-osa ogledalo. To bi izgledalo ovako: y x 52

53 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 3. Primena na jednačine i nejednačine Jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo gotovo identično kao jednačine i nejednačine bez apsolutnih vrednosti. Jedino što treba da uradimo zbog apsolutnih vrednosti jeste da raščlanimo jednačinu ili nejednačinu na dva slučaja: 1) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću veći ili jednak 0, izraz ima predznak + 2) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću manji od 0, izraz ima predznak Konačno rešenje je unija rešenja koje nađemo u svakom od ovih slučajeva pojedinačno. Primer. Reši jednačinu. Prvi slučaj:, izraz ima predznak + Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: Naše rešenje jeste veće ili jednako od konačni skup rešenja. Drugi slučaj:, izraz ima predznak ( ), te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: Naše rešenje jeste manje od -, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u konačni skup rešenja. Dakle, konačno rešenje ove jednačine je * +. BITNA NAPOMENA Isti postupak bismo radili i kod nejednačina, samo za skup rešenja. Kada razdvojimo nejednačinu na pojedinačne slučajeve, skup rešenja za svaki slučaj pojedinačno dobijamo kao presek uslova za taj slučaj i dobijenog rešenja. Konačno rešenje je unija rešenja svih pojedinačnih slučajeva. Primer možete pogledati na sledećem linku:

54 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost Rešeni kolokvijumski zadaci 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: Rešenje sa postupkom: Prvi slučaj:, izraz ima predznak + Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše možemo da vidimo preko brojevne prave: 1 Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i >), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova i. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste: [ ) Drugi slučaj:, izraz ima predznak ( ) Dobili smo tačan iskaz, koji važi za svako x iz realnih brojeva. Znači naše rešenje je: Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: 54

55 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Jasno je da je presek skupa svih brojeva i prosto ceo uslov. Dakle rešenje za drugi slučaj je: Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj. Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj: 1 Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je: ( ) [ ) ( ) 2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: Rešenje sa postupkom: Prvi slučaj:, izraz ima predznak + Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše možemo da vidimo preko brojevne prave: 1 Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i >), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova i. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:, ) 55

56 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost Drugi slučaj:, izraz ima predznak ( ) Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Šta presek obuhvata možemo lakše da vidimo na brojevnoj pravoj: Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i >), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova i. Dakle, rešenje za drugi slučaj jeste: [ ) Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj. Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj: Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je: [ ), ) [ ) 56

57 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: Rešenje sa postupkom: Prvi slučaj:, izraz ima predznak + Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: Naše rešenje nije veće ili jednako od, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga u konačni skup rešenja. Drugi slučaj:, izraz ima predznak Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov: Naše rešenje nije manje od, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga u konačni skup rešenja. Konačni skup rešenja je. Alternativni zapis praznog skupa je *

58 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi Kviz 5: Apsolutna vrednost Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. U skupu realnih brojeva, rešiti jednačinu: 2. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu xoy, skicirati krivu: 3. Ako je, koliko je: 4. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu: 5. U skupu realnih brojeva, rešiti jednačinu: 58

59 ŠTA DALJE? DOSTUPNO SAMO U FOTOKOPIRNICI MINERVA Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd kopirnicaminerva@gmail.com /fotokopirnicaminerva /fotokokopirnicaminerva fotokopirnicaminerva.weebly.com

60 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi 2

61

62 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi (jednačine i nejednačine) Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: iracionalne jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju; iracionalne nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju. Uvod Iracionalni algebarski izrazi su zapravo one jednačine i nejednačine gde imamo koren, i pod korenom neki izraz sa nepoznatom x. Ovde ćemo se baviti samo rešavanjem prostih slučajeva iracionalnih jednačina i nejednačina. Obavezno detaljno pređite ovu lekciju. Zadaci iz ove oblasti se gotovo uvek javljaju na prvom kolokvijumu, a tematika se dosta slabo obradi i izvežba. Vrlo često ostane i nejasna, zbog čega se lako gube poeni na kolokvijumu. Ne dozvolite ovo sebi, detaljno pređite i dobro izvežbajte ovu relativno kratku lekciju! 1. Iracionalne jednačine Iracionalne jednačine su one jednačine gde se nepoznata x javlja pod korenom. Opšti princip kako ćemo rešavati ove jednačine je sledeći: 1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti; 2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena; 3. rešimo jednačinu poznatim postupcima; 4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!) Primer. Rešiti iracionalnu jednačinu x + 7 = x + 1. Prvi korak: Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas. Drugi korak: Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo samo jednom: x + 7 = x + 1 / 2 x + 7 = x 2 + 2x

63 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi Treći korak: Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija. x + 7 = x 2 + 2x + 1 x 2 + x 6 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 1 ± ( 6) ± 25 x 1,2 = 2 x 1,2 = 1 ± 5 2 x 1 = 3 x 2 = 2 Četvrti korak: S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune), obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju jednačinu. x + 7 = x = = 2 x = 3 nije rešenje x + 7 = x = = 3 x = 2 jeste rešenje 2. Iracionalne nejednačine Sa iracionalnim nejednačinama stvari su nešto komplikovanije, iz razloga što ne možemo da prevarimo sistem proveravanjem dobijenih rešenja. Drugim rečima, ovde moramo da se pozabavimo određenim uslovima. Srećom, nije ništa toliko strašno potrebno je da naučite samo ovo: Slučaj 1: P(x) < Q(x) uslovi: 1) Q(x) 0 2) P(x) < Q 2 (x) 3) P(x) > 0 konačno rešenje = presek ova 3 uslova Slučaj 2: P(x) > Q(x) uslovi: 1) Q(x) 0 2) P(x) > Q 2 (x) 3) Q(x) < 0 4) P(x) 0 presek presek konačno rešenje = unija ova dva preseka 2

64 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Primer za slučaj 1. Rešiti iracionalnu jednačinu x + 6 < x 6. Po gore navedenoj šemi, konačno rešenje ćemo dobiti kao presek sledeća tri uslova: Prvi uslov: x 6 0 x 6 Drugi uslov: x + 6 < (x 6) 2 x + 6 < x 2 12x + 36 x 2 13x + 30 > 0 Rešenja kvadratne jednačine su 3 i 10. Skiciranjem grafika bismo dobili rešenje da je izraz pozitivan za: x (, 3) (10, + ) Treći uslov: x + 6 > 0 x > 6 Možete skicirati ova tri uslova na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli koji je presek sva tri rešenja. To je x (10, + ) i to je konačno rešenje naše iracionalne nejednačine. Primer za slučaj 2. Rešiti iracionalnu jednačinu x + 7 > 2x 1. Po gore navedenoj šemi, konačno rešenje ćemo dobiti kada nađemo uniju preseka para uslova. Jednostavnije rečeno, tražimo presek prvog i drugog uslova, potom presek trećeg i četvrtog uslova, a konačno rešenje je unija ova dva preseka. Prvi uslov: 2x 1 0 2x 1 x 1/2 Drugi uslov: x + 7 > (2x 1) 2 x + 7 > 4x 2 4x > 4x 2 5x 6 4x 2 5x 6 < 0 Rešenja kvadratne jednačine su 2 i -3/4. Skiciranjem grafika bismo dobili rešenje da je izraz negativan za: x ( 3 4, 2) 3

65 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi Presek prvog i drugog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja. x [ 1 2, 2) Pređimo na treći i četvrti uslov. Treći uslov: Četvrti uslov: 2x 1 < 0 2x < 1 x < 1/2 x x 7 Presek trećeg i četvrtog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja. x [ 7, 1 2 ) Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao uniju ova dva preseka: x [ 7, 2) BITNA NAPOMENA Obratite pažnju da u poslednjem koraku kod slučaja 2 računamo UNIJU, a ne presek skupova rešenja. Ovo je jedna od najčešćih grešaka na kolokvijumu. Rešeni kolokvijumski zadaci 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: x + 4 > x + 2 Rešenje sa postupkom: Ukoliko pogledamo šemu na str.2 koju je bitno da znate u pola noći, primetićemo da je ovo slučaj 2 iracionalnih nejednačina, gde imamo četiri uslova, i naš konačni skup rešenja jeste unija preseka prvog i drugog uslova, i preseka trećeg i četvrtog uslova. Postavka našeg zadatka bi bila sledeća: P(x) = x + 4 Q(x) = x + 2 Prvi uslov: Prvi uslov koji postavljamo jeste da je Q(x) 0: 4

66 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 x x 2 x 2 Drugi uslov: Drugi uslov koji postavljamo jeste da je P(x) > Q 2 (x) x + 4 > ( x + 2) 2 Za ovo pravimo tabelu: x + 4 > (2 x) 2 x + 4 > 4 4x + x 2 x 2 + 3x > 0 / ( 1) x 2 3x < 0 x(x 3) < x + + x 3 + f(x) + + Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim negativna. Svaki činilac gledamo zasebno. x je nula u x = 0. Ako je x manji od 0, i x će biti negativan. Ako je x veći od nule, i x će biti pozitivan. x 3 je nula u x = 3. Ako je x manji od 3, x 3 će biti negativno. Ako je x veći od 3, x 3 će biti pozitivno. f(x) predstavlja celu našu funkciju x(x 3). Minus i minus daju plus, minus i plus daju minus, a plus i plus daju plus. Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija manja od nule ukoliko je x (0, 3). Presek prvog i drugog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja

67 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i >), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova i. Dakle, skup rešenja je: x (0, 2] Pređimo na treći i četvrti uslov. Treći uslov: Treći uslov koji postavljamo jeste da je Q(x) < 0: x + 2 < 0 x < 2 / ( 1) x > 2 Četvrti uslov: Četvrti uslov koji postavljamo jeste da je P(x) 0: x x 4 / ( 1) x 4 Presek trećeg i četvrtog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i >), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova i. Dakle, skup rešenja je: x (2, 4] Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao uniju ova dva preseka: x (0, 4]

68 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 4x 3 = x Rešenje sa postupkom: Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne jednačine uvek isti: 1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti; 2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena; 3. rešimo jednačinu poznatim postupcima; 4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!) Prođimo sad ove korake. Prvi korak: Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas. Drugi korak: Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo samo jednom: 4x 3 = x / 2 4x 3 = x 2 Treći korak: Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.. x 2 + 4x 3 = 0 / ( 1) x 2 4x + 3 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 4 ± ( 4) x 1,2 = 4 ± 4 2 x 1,2 = 4 ± 2 2 x 1 = 3 x 2 = 1 Četvrti korak: S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune), obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu. 4x 3 = x = 3 3 = 3 x = 3 nije rešenje 7

69 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi 4x 3 = x = 1 1 = 1 x = 1 nije rešenje Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste: x. Alternativni zapis praznog skupa je x { }. 3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: x + 9 = x 3 Rešenje sa postupkom: Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne jednačine uvek isti: 1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti; 2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena; 3. rešimo jednačinu poznatim postupcima; 4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!) Prođimo sad ove korake. Prvi korak: Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas. Drugi korak: Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo samo jednom: x + 9 = x 3 / 2 x + 9 = x 2 6x + 9 Treći korak: Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija. x 2 7x = 0 x(x 7) = 0 Kada će ovaj izraz biti jednak nuli? Naravno, ukoliko je bilo koji od činilaca jednak nuli. Znači: x 1 = 0 x 2 = 7 8

70 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Četvrti korak: S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune), obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu. x + 9 = x = = 3 x = 0 nije rešenje x + 9 = x = = 4 x = 7 jeste rešenje Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste: x {7}. 4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: x x > 2 Rešenje sa postupkom: Sredimo ovu nejednačinu kako bismo je sveli na slučaj 1 iracionalnih jednačina (šema na str.2), da bi nam postupak bio lakši. x x > 2 x 2 > x x < x 2 Ukoliko pogledamo šemu na str.2 koju je bitno da znate u pola noći, primetićemo da je ovo slučaj 1 iracionalnih nejednačina, gde imamo tri uslova, i naš konačni skup rešenja jeste presek ova tri uslova. Postavka našeg zadatka bi bila sledeća: P(x) = x Q(x) = x 2 Prvi uslov: Prvi uslov koji postavljamo jeste da je Q(x) 0: x 2 0 x 2 Drugi uslov: Drugi uslov koji postavljamo jeste da je P(x) < Q 2 (x): x < (x 2) 2 x < x 2 4x < x 2 5x + 4 x 2 5x + 4 > 0 Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu poznatim postupcima iz prethodnih lekcija. 9

71 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 5 ± ( 5) x 1,2 = 5 ± 9 2 x 1,2 = 5 ± 3 2 x 1 = 4 x 2 = 1 Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj funkciji a > 0, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 4: + x 2 5x Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je funkcija veća od nule ukoliko je: x (, 1) (4, + ) Treći uslov: Treći uslov koji postavljamo jeste da je P(x) > 0: x > 0 Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao presek ova tri uslova: x (4, + ) U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 6x 8 = x Rešenje sa postupkom: Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne jednačine uvek isti: 1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti; 2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena; 10

72 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 3. rešimo jednačinu poznatim postupcima; 4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!) Prođimo sad ove korake. Prvi korak: Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas. Drugi korak: Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo samo jednom: 6x 8 = x / 2 6x 8 = x 2 Treći korak: Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija. x 2 + 6x 8 = 0 / ( 1) x 2 6x + 8 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 6 ± ( 6) x 1,2 = 6 ± 4 2 x 1,2 = 6 ± 2 2 x 1 = 4 x 2 = 2 Četvrti korak: S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune), obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu. 6x 8 = x = 4 4 = 4 x = 4 jeste rešenje 6x 8 = x = 2 2 = 2 x = 2 jeste rešenje Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste: x {2, 4}. 11

73 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi 6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: x + 18 = x 2 Rešenje sa postupkom: Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne jednačine uvek isti: 1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti; 2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena; 3. rešimo jednačinu poznatim postupcima; 4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!) Prođimo sad ove korake. Prvi korak: Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas. Drugi korak: Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo samo jednom: x + 18 = x 2 / 2 x + 18 = x 2 4x + 4 Treći korak: Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija. x 2 + 5x + 14 = 0 / ( 1) x 2 5x 14 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 5 ± ( 5)2 4 1 ( 14) 2 1 x 1,2 = 5 ± 81 2 x 1,2 = 5 ± 9 2 x 1 = 7 x 2 = 2 Četvrti korak: S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune), obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu. x + 18 = x = = 5 x = 7 jeste rešenje 12

74 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 x + 18 = x = = 4 x = 2 nije rešenje Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste: x {7}. 7. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: x x 3 = 5 Rešenje sa postupkom: Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne jednačine uvek isti: 1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti; 2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena; 3. rešimo jednačinu poznatim postupcima; 4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!) Prođimo sad ove korake. Prvi korak: Sa desne strane treba da imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo. Uradimo ovo tako što ćemo prebaciti x na desnu stranu: x x 3 = 5 x 3 = 5 x Drugi korak: Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo samo jednom: x 3 = 5 x / 2 x 3 = (5 x) 2 Treći korak: Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija. x 3 = 25 10x + x 2 0 = 28 11x + x x + x 2 = 0 x 2 11x + 28 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a 13

75 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi x 1,2 = 11 ± ( 11) ± 9 x 1,2 = 2 x 1,2 = 11 ± 3 2 x 1 = 7 x 2 = 4 Četvrti korak: S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune), obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu. x x 3 = = 5 5 = 5 x = 7 jeste rešenje x x 3 = = 5 3 = 5 x = 4 jeste rešenje Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste: x {7}. 14

76 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kviz 6: Iracionalni algebarski izrazi Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: x + 3 > x U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: x + 2 < 4 3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 2 x 4 = x 4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: 2x 4 > 2x 5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: x + 4 > x 15

77 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija (jednačine i nejednačine) Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: eksponencijalna funkcija - šta predstavlja i koje su njene osobine; eksponencijalne jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju; eksponencijalne nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju. Uvod U ovoj lekciji bavićemo se eksponencijalnom funkcijom i rešavanjem jednačina i nejednačina u vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na kolokvijumu. Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i praćenje video zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta. Stoga ćemo vas ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju. Video zapise obavezno gledajte pažljivo i detaljno. Dok gledate video zapis, radite i primere koji su u njemu obrađeni dok niste sigurni da ste u potpunosti savladali gradivo. Video lekcije je izradila Škola Rajak ( na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou koji je potreban vama za prvi kolokvijum iz Matematike. Linkovi Ukoliko smatrate da je potrebno, ponovite pravila za stepenovanje i korenovanje. Biće ključno da baratate ovim kod eksponencijalnih funkcija, kao i eksponencijalnih jednačina i nejednačina. Ostale video lekcije (u vezi eksponencijalne funkcije, jednačina i nejednačina) obavezno sve detaljno pređite! - Link plejliste: Stepenovanje video 1, 2, 3, 4 Korenovanje video 5, 6, 7, 8, 9 Eksponencijalna funkcija video 39 Eksponencijalne jednačine video 40, 41, 42, 43, 44 Eksponencijalne nejednačine video 45, 46, 47, 48, Stepenovanje Pogledajte video 1, 2, 3, 4 plejliste navedene u odeljku Linkovi. 16

78 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Bitno je da naučimo sledeće osnovne osobine operacija kod stepenovanja. Kad imamo iste brojeve, a različite stepene: 1) a m a n = a m+n Suština: Kada množimo dva ista broja sa različitim stepenima, možemo im sabrati stepene. Primer: = = 2 7 2) a m : a n = a m n Suština: Kada delimo dva ista broja sa različitim stepenima, možemo im oduzeti stepene. Primer: 2 5 : 2 2 = = 2 3 3) (a m ) n m n = a Suština: Kada stepenujemo neki broj sa stepenom, stepeni se množe. Primer: (2 5 ) 3 = = 2 15 Kad imamo različite brojeve, a iste stepene: 4) a m b m = (a b) m Suština: Kada množimo dva različita broja sa istim stepenima, brojeve množimo. Primer: = (2 5) 3 = ) ( a b )m = am b m Suština: Kada imamo razlomak koji se stepenuje, možemo odvojeno stepenovati njegov brojilac i imenilac. Primer: ( 2 3 )3 = Specijalne osobine: 6) a m = 1 a m Primer: 3 2 = Drugim rečima, kada imate minus kod stepena, on čini to da zamenite mesto brojiocu i imeniocu: Primer: ( 5 6 ) 2 = ( 6 5 )2 7) a 0 = 1 Primer: 3 0 = 1 Drugim rečima, kada bilo koji broj stepenujete nulom, dobićete vrednost

79 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija 2. Korenovanje Pogledajte video 5, 6, 7, 8, 9 plejliste navedene u odeljku Linkovi. Bitno je da naučimo osnovno pravilo za pretvaranje korena u stepene, kao i sledeće osnovne osobine operacija kod korenovanja. Osnovno pravilo za pretvaranje korena u stepene: n 1) a m = a m n Suština: Koren možemo da prebacimo u stepen na navedeni način, prilično je jasan. 5 Primer: 2 3 = Kad imamo različite brojeve, a iste stepene: n 2) ab n = a n b Suština: Kada množimo dva broja pod istim korenom, možemo ih odvojiti kao proizvod korena tih brojeva. 5 Primer: = n 3) a b n = a n b Suština: Kada korenujemo ceo razlomak, možemo to razdvojiti tako što ćemo korenovati zasebno imenilac i brojilac razlomka. 5 Primer: 2 6 n 4) a b 5 = n = a n b Suština: Kada imamo neki broj koji množi koren, broj praktično može da pobegne pod koren, jedino je bitno da mu dodamo stepen isti kao koeficijent korena. 5 Primer: = Kad imamo iste brojeve, a različite stepene: n n 5) ( a) m = a m Suština: Kada stepenujemo neki koren, taj stepen može da pobegne pod koren, tako što stepenuje ono što je pod korenom. 5 Primer: ( 7) 2 5 = 7 2 n 6) a nm = a m Suština: Koren možemo da proširimo tako što ćemo sa istim brojem pomnožiti stepen korena i stepenovati ono što je pod korenom. 3 Primer: =

80 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 n m 7) a Suština: nm = a Ukoliko imamo koren pod korenom, možemo da im pomnožimo stepene i svedemo ih na jedan zajednički koren. 3 4 Primer: = 2 Specijalne osobine: n 8) ( a) n = a Suština: Ako n-ti koren nečega stepenujemo sa n, rezultat je samo a. 5 Primer: ( 3) 5 = 3 n 9) (ako je n neparan broj) a n 5 Primer: ( 3) 5 = 3 n 10) (ako je n paran broj) a n 6 Primer: ( 3) 6 = 3 = 3 = a = a 3. Eksponencijalna funkcija Pogledajte video 39 plejliste navedene u odeljku Linkovi. Eksponencijalna funkcija označava funkciju koja ima nepoznatu x kao eksponent (u stepenu). Ukoliko je rastuća, označava da vrednost funkcije raste sve brže i brže, a ukoliko je opadajuća, označava da vrednost funkcije pada sve sporije i sporije. Zapis eksponencijalne funkcije je sledeći: f(x) = a x Obavezni uslovi: a > 0, a 1 Imamo dva slučaja, a to su: 1) a > 1 ovo znači da je funkcija rastuća i raste sve brže i brže; 2) 0 < a < 1 ovo znači da je funkcija opadajuća i opada sve sporije i sporije; Takođe, nema preseka sa x-osom i presek sa y-osom je uvek u y = 1. Grafički: f(x) = a x 0 < a < 1 f(x) = a x a >

81 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija 4. Eksponencijalne jednačine Pogledajte video plejliste navedene u odeljku Linkovi. Kako rešavamo eksponencijalne jednačine? U svim eksponencijalnim jednačinama, cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu a, pa izjednačimo ono što se nalazi u stepenu. Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija kako bismo rešili jednačinu. a f(x) = a g(x) Primer. Reši jednačinu 3 x = 1 9 f(x) = g(x) Prvo, svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu: 3 x = x = x = (3 2 ) 1 3 x = 3 2 Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji kao stepen. Direktno dobijamo da je rešenje: x = 2 Specijalni slučaj 1: Uvođenje smene za kvadratnu jednačinu Suština je da uvodimo određenu smenu, kako bismo učinili da naša jednačina može da se svede na običnu kvadratnu jednačinu. Pogledajmo primer. Primer. Reši jednačinu 10 2 x 4 x = 16 Prvo, svedimo 4 x na osnovu 2: 10 2 x 4 x = x (2 2 ) x = x (2 x ) 2 = 16 Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu 2 x = t: 10 t t 2 = 16 t t 16 =

82 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine, koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za t: t t 16 = 0 t 1,2 = b ± b2 4ac 2a t 1,2 = 10 ± ( 1) ( 16) 2 ( 1) 10 ± t 1,2 = 2 10 ± 36 t 1,2 = 2 t 1,2 = 10 ± 6 2 t 1 = 2 t 2 = 8 Vratimo sada ova rešenja u našu smenu 2 x = t. Prvo rešenje jeste da je t = 2. Znači: 2 x = 2 2 x = 2 1 Drugo rešenje jeste da je t = 8. Znači: x = 1 2 x = 8 2 x = 2 3 x = 3 Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste: x {1, 3} Specijalni slučaj 2: Svođenje dve različite osnove na zajednički razlomak Suština je da nakon što sredimo jednačinu, imamo dve različite osnove. Deljenjem sa određenim deliocem, moći ćemo svesti te dve osnove na jednu zajedničku koja je razlomak, čime ćemo svesti jednačinu na specijalni slučaj 1. Primer. Reši jednačinu 9 x + 6 x = 2 4 x Prvo, svedimo celu jednačinu na osnovu 2 i osnovu 3: 9 x + 6 x = 2 4 x 3 2x + (3 2) x = 2 2 2x 3 2x + 3 x 2 x = 2 2 2x 21

83 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija Sada možemo da podelimo celu jednačinu sa 2 2x ili 3 2x kako bismo sveli sve na jedan zajednički razlomak. Učinimo ovo sa 2 2x : 3 2x + 3 x 2 x = 2 2 2x / :2 2x 3 2x 2 2x + 3x 2 x 2 2x = 2 22x 2 2x Malo sve izgleda konfuzno, pa hajde da prođemo sabirak po sabirak. Prvi sabirak možemo svesti na: 3 2x 2x 2 2x = (3 2 ) Drugi sabirak izgleda najkonfuznije. Šta ovde možemo učiniti? Možemo primetiti da 2x 2 2x jeste deljenje koje možemo da uprostimo, jer su iste osnove. Koristimo osnovnu osobinu stepenovanja, čime se deljenje svodi na oduzimanje eksponenata: 2 x 2 2x = 2x 2x = 2 x = 1 2 x Dakle, naš drugi sabirak se svodi na: 3 x 2 x 2 2x = 3x 2 x = (3 2 ) x Sa desne strane, vrlo očigledno je da treba da skratimo 2 2x i 2 2x : 2 2 2x 2 2x = 2 Kada sve zamenimo u naš izraz, dobijamo sledeće: ( 3 2 ) 2x + ( 3 2 ) x = 2 Kada sve zamenimo u naš izraz, dobijamo sledeće: ( 3 2 ) 2x + ( 3 2 ) x = 2 Očigledno je da smo sveli jednačinu na specijalni slučaj 1. Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu ( 3 2 )x = t: t 2 + t = 2 t 2 + t 2 =

84 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine, koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za t: t 2 + t 2 = 0 t 1,2 = b ± b2 4ac 2a t 1,2 = 1 ± ( 2) ± t 1,2 = 2 1 ± 9 t 1,2 = 2 t 1,2 = 1 ± 3 2 t 1 = 1 t 2 = 2 Vratimo sada ova rešenja u našu smenu ( 3 2 )x = t. Prvo rešenje jeste da je t = 1. Znači: ( 3 2 ) x = 1 ( 3 2 ) x = ( 3 2 ) 0 x = 0 Drugo rešenje jeste da je t = 2. Znači: ( 3 2 ) x = 2 Bilo koji pozitivan broj kada se stepenuje bilo čime ne može da daje vrednost koja je negativna, tako da ovde nemamo rešenja za x. Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste: x {0} Specijalni slučaj 3: Izvlačenje zajedničkog elementa ispred zagrade Suština je da nakon što malo sredimo jednačinu, možemo da izvučimo zajednički element ispred zagrade i time lako dođemo do rešenja početne jednačine. Primer. Reši jednačinu 2 x + 2 x x x+3 =

85 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija Prvo, raščlanimo ono što možemo putem osnovnih osobina stepenovanja: 2 x + 2 x x x+3 = 60 2 x + 2 x x x 2 3 = 60 2 x + 2 x x x 8 = 60 Zajednički element koji može izvući ispred zagrade jeste 2 x : 2 x ( ) = 60 Sređivanjem izraza poznatim postupcima dolazimo do rešenja: 2 x 15 = 60 2 x = 4 2 x = 2 2 x = 2 5. Eksponencijalne nejednačine Pogledajte video plejliste navedene u odeljku Linkovi. Kako rešavamo eksponencijalne nejednačine? Skoro identično kao i eksponencijalne jednačine. Cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu a, pa izjednačimo ono što se nalazi u stepenu. Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija kako bismo rešili nejednačinu. Jedina ključna razlika jeste što nemamo znak jednakosti, već znak veće ili manje, pa pazite na sledeće pravilo: - ukoliko je osnova veća od 1, znak nejednakosti se ne menja; - ukoliko je osnova između 0 i 1, znak nejednakosti menja smer. Primer. Reši jednačinu 3 x > 1 9 Prvo, svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu: 3 x > x > x > (3 2 ) 1 3 x > 3 2 Osnove su jednake, i veće su od 1, tako da znak nejednakosti ostaje isti: x >

86 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Primer. Reši jednačinu ( 1 3 )x > 1 9 Prvo, svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu: ( 1 3 ) x > 1 9 ( 1 3 ) x > ( 1 3 ) 2 Osnove su jednake, i manje su od 1, tako da znak nejednakosti menja smer: x < 2 Rešeni kolokvijumski zadaci 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: 2 x 2 x 0 Rešenje sa postupkom: Prvo, primenimo osnovne osobine operacija kod stepenovanja: 1 2 x 2x 0 Sada možemo da pomnožimo nejednačinu sa 2 x : 1 2 x 2x 0 / 2 x 1 2 x 2 x x+x x 0 Na kraju, dovoljno je da sredimo izraz i primenimo osnovno pravilo za rešavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina: 1 2 2x 2 2x 1 2 2x 2 0 2x 0 x 0 Dakle, konačno rešenje naše eksponencijalne nejednačine je sledeće: x (, 0] 25

87 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija 2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: 4 x 4 x 0 Rešenje sa postupkom: Prvo, primenimo osnovne osobine operacija kod stepenovanja: 4 x 1 4 x 0 Sada možemo da pomnožimo nejednačinu sa 4 x : 4 x 1 4x 0 / 4x 4 x 4 x x+x x 1 0 Na kraju, dovoljno je da sredimo izraz i primenimo osnovno pravilo za rešavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina: 4 2x 1 4 2x 4 0 2x 0 x 0 Dakle, konačno rešenje naše eksponencijalne nejednačine je sledeće: x [0, + ) 3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 5 2x+1 = 5 x + 4 Rešenje sa postupkom: Sredimo prvu ovu jednačinu koliko god možemo, koristeći osnovne osobine operacija kod stepenovanja. Čim vidimo da imamo 2 kod stepena, 1 kod stepena i slobodan član, pretpostavljamo da će se raditi o specijalnom slučaju 1 gde ćemo ovu eksponencijalnu jednačinu svesti na kvadratnu jednačinu. Prvo, sredimo izraz koliko možemo: 5 2x+1 = 5 x x 5 1 = 5 x x 5 = 5 x x = 5 x x 5 x 4 = 0 Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu 5 x = t: 5t 2 t 4 =

88 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine, koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za t : 5t 2 t 4 = 0 t 1,2 = b ± b2 4ac 2a t 1,2 = 1 ± ( 1)2 4 5 ( 4) ± t 1,2 = 10 t 1,2 = 1 ± t 1,2 = 1 ± 9 10 t 1 = 1 t 2 = 4 5 Vratimo sada ova rešenja u našu smenu 5 x = t. Prvo rešenje jeste da je t = 1. Znači: 5 x = 1 5 x = 5 0 x = 0 Drugo rešenje jeste da je t = 4 5. Znači: 5 x = 4 5 Bilo koji pozitivan broj stepenovan bilo kojim brojem daće pozitivan broj, tako da u ovom slučaju nemamo rešenja za x. Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste: x {0} 4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 2 x2 +5x = 1 64 Rešenje sa postupkom: Primećujemo da je jednačina relativno jednostavna i da sve možemo svesti na osnovu 2: 2 x2 +5x = x2 +5x = x2 +5x =

89 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija Osnove su iste, tako da možemo da izjednačimo eksponente leve i desne strane: x 2 + 5x = 6 x 2 + 5x + 6 = 0 S obzirom da nismo uvodili nikakve smene, rešenja ove kvadratne jednačine biće upravo rešenja naše eksponencijalne jednačine. x 2 + 5x + 6 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 5 ± ± x 1,2 = 2 5 ± 1 x 1,2 = 2 x 1,2 = 5 ± 1 2 x 1 = 2 x 2 = 3 Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste: x { 3, 2} BITNA NAPOMENA: RAZLIČITE VRSTE ZAGRADA Primetili ste već u prethodnih nekoliko lekcija da koristimo različite vrste zagrada kada zapisujemo skup rešenja za nepoznatu x. Ovde ćemo napomenuti šta koje od njih znače: 1) velika ( vitičasta ) zagrada { } Suština: skup rešenja su samo konkretne vrednosti unutar ove zagrade Primer: x { 3, 2} - ovo znači da x može biti ili -3 ili -2 2) srednja zagrada [ ] Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, uključujući i granice Primer: x [ 3, 2] - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, a i -3 i -2 3) mala zagrada ( ) Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, ali ne i granice Primer: x ( 3, 2) - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, ali ne -3 i -2 4) kombinovana zagrada ( ] ili [ ) Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, a i vrednost kod srednje zagrade Primer: x [ 3, 2) - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, kao i -3, ali ne

90 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kviz 7: Eksponencijalna funkcija Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 2 3x 8 = U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 3 x+1 5 = U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 4 3x 1 = 32 x 4. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu xoy, skicirati krive: y = 0,2 x y = 2 x 5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: ( 1 x 4 2 ) > ( 1 x+1 4 ) 29

91 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija Lekcija 8: Logaritamska funkcija (jednačine i nejednačine) Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: logaritamska funkcija - šta predstavlja i koje su njene osobine; logaritamske jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju; logaritamske nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju. Uvod U ovoj lekciji bavićemo se logaritamskom funkcijom i rešavanjem jednačina i nejednačina u vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na kolokvijumu. Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i praćenje video zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta. Stoga ćemo vas ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju. Video zapise obavezno gledajte pažljivo i detaljno. Dok gledate video zapis, radite i primere koji su u njemu obrađeni dok niste sigurni da ste u potpunosti savladali gradivo. Video lekcije je izradila Škola Rajak ( na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou koji je potreban vama za prvi kolokvijum iz Matematike. Linkovi Ukoliko smatrate da je potrebno, ponovite pravila logaritmovanja. Biće ključno da baratate ovim kod logaritamskih funkcija, kao i logaritamskih jednačina i nejednačina. Ostale video lekcije (u vezi logaritamske funkcije, jednačina i nejednačina) obavezno sve detaljno pređite! - Link plejliste: Logaritmi video 50, 51, 52 Logaritamska funkcija video 53 Logaritamske jednačine video 54, 55, 56, 57, 58 Logaritamske nejednačine video 59, 60, 61, Logaritmi Pogledajte video 50, 51, 52 plejliste navedene u odeljku Linkovi. 30

92 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Logaritam suštinski predstavlja suprotnu operaciju od stepenovanja. Bitno je da naučimo sledeće osnovne osobine operacija kod logaritmovanja. Osnovna veza stepenovanja i logaritmovanja: 1) log a b = x je identično sa a x = b Suština: Vezu stepenovanja i logaritmovanja možemo posmatrati kao jedan krug: jednako je Primer: log 3 9 = x je identično sa 3 x = 9 log a b = x na stepen Osnovne osobine logaritmovanja: 2) log a x + log a y = log a xy Suština: Kada sabiramo dva logaritma sa istim osnovama, možemo im pomnožiti ono pod logaritmom (numeruse). Primer: log log 5 4 = log 5 32 x 3) log a x log a y = log a y Suština: Kada oduzimamo dva logaritma sa istim osnovama, možemo im podeliti ono pod logaritmom (numeruse). Primer: log 5 8 log 5 4 = log 5 2 4) log a x n = n log a x Suština: Kada imamo stepenovanje u numerusu, taj stepen može da iskoči ispred logaritma bez da promeni svoju vrednost. Primer: log = 4 log 5 3 5) log a n x = 1 n log a x Suština: Kada imamo stepenovanje u osnovi, taj stepen može da iskoči ispred logaritma kao recipročna vrednost. Primer: log = 1 2 log 5 3 6) log a b = 1 log b a Suština: Osnova i numerus mogu da zamene mesta, tako što ćemo onda imati recipročnu vrednost logaritma. Primer: log 3 5 = 1 log

93 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija 7) log a b = log c b = log (nova osnova)(numerus) log c a log (nova osnova) (stara osnova) Suština: Suština je slikovito prikazana u gornjem redu. Možemo da stavimo novu osnovu za logaritam, tako što ćemo napraviti razlomak. Brojilac će da bude log (nova osnova) (numerus), a imenilac će da bude log (nova osnova) (stara osnova). Primer: log 3 5 = log 8 5 log 8 3 8) a log a b = a log a b = b Suština: Znamo da su stepenovanje i logaritmovanje suprotne operacije. Ukoliko imamo neki broj na logaritam sa osnovom koja je jednaka tom broju, oni mogu da se skrate. Primer: 7 log 7 9 = 9 Specijalne osobine logaritmovanja: 9) log a 1 = 0 Suština: Logaritam sa numerusom 1 je jednak nuli. Ovo direktno sledi iz osnovne veze stepenovanja i logaritmovanja, jer a 0 = 1 Primer: log 25 1 = 0 10) log a a = 1 Suština: Logaritam koji ima isti numerus i osnovu jednak je 1. Ovo direktno sledi iz osnovne veze stepenovanja i logaritmovanja, jer a 1 = a Primer: log = 1 BITNA NAPOMENA: UOBIČAJENI ZAPISI 1) log 10 a = log a Suština: Kada nije zapisana osnova logaritma, podrazumeva se da se misli na osnovu 10. Primer: log 10 3 = log 3 2) log a = lg a Suština: Običan logaritam može biti zapisan kao log ili skraćeno kao lg. Preporučujemo da za kolokvijum koristite oznaku log. Primer: log 3 = lg 3 3) log e x = ln x Suština: e je tzv. Ojlerov broj, koji iznosi oko 2,72. Logaritam sa osnovom e naziva se prirodni logaritam i možemo ga označiti kao ln (logarithm natural). Primer: log e 5 = ln 5 2. Logaritamska funkcija Pogledajte video 53 plejliste navedene u odeljku Linkovi. 32

94 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Logaritamska funkcija označava funkciju koja sadrži logaritam. Zapis logaritamske funkcije je sledeći: f(x) = log a x Obavezni uslovi: a > 0, a 1, x > 0 Imamo dva slučaja, a to su: 1) a > 1 onda funkcija počinje iz minus beskonačno i ide na gore kao na slici; 2) 0 < a < 1 onda funkcija počinje iz plus beskonačno i ide na dole kao na slici. Takođe, nema preseka sa y-osom i presek sa x-osom je uvek u x = 1. Grafički: f(x) = log a x a > 1 f(x) = log a x 0 < a < 1 Sličnosti i razlike eksponencijalne i logaritamske funkcije je lako uočiti: 3. Logaritamske jednačine Pogledajte video plejliste navedene u odeljku Linkovi. 33

95 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija Kako rešavamo logaritamske jednačine? U svim logaritamskim jednačinama, cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu a, pa izjednačimo ono što se nalazi pod logaritmima (njihove numeruse). Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija kako bismo rešili jednačinu. log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) Primer. Reši jednačinu log 3 (x 1) = 2 Obavezno prvo postavljamo uslove. Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 3 > 0 Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 3 1 Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle: x 1 > 0 x > 1 Sada možemo da rešavamo jednačinu. Način 1: Treba da svedemo i levu i desnu stranu jednakosti tako da na obe strane imamo logaritam sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a to je da log a a = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod dvojke dodati logaritam sa osnovom 3 i numerusom 3, bez da promenimo vrednost izraza: log 3 (x 1) = 2 log 3 (x 1) = 2 log 3 3 Dalje, znamo da slobodan član ispred logaritma može da uskoči kao stepen numerusa (osobina 4): log 3 (x 1) = 2 log 3 3 log 3 (x 1) = log log 3 (x 1) = log 3 9 Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji pod logaritmima (numeruse). Direktno dobijamo da je rešenje: x 1 = 9 x = x = 10 Rešenje koje smo dobili za x ispunjava početni uslov da je x > 1, tako da konačno rešenje: x {10} 34

96 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Način 2: U ovom zadatku možemo doći do rešenja i jednostavnijim putem. Koristeći osnovnu vezu logaritmovanja i stepenovanja (osobina 1) možemo da zapišemo sledeće: log 3 (x 1) = = x 1 Direktno možemo rešiti ovu jednostavnu linearnu jednačinu po x: x 1 = 9 x = x = 10 Rešenje koje smo dobili za x ispunjava početni uslov da je x > 1, tako da konačno rešenje: x {10} Specijalni slučaj 1: Uvođenje smene za kvadratnu jednačinu Suština je da uvodimo određenu smenu, kako bismo učinili da naša jednačina može da se svede na običnu kvadratnu jednačinu. Pogledajmo primer. Primer. Reši jednačinu log x 2 log 4 x = 0.5 Obavezno prvo postavljamo uslove za svaki logaritam. Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 4 je svakako veće od nule, a imamo i: x > 0 Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 4 je svakako različito od 1, a imamo i: x 1 Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. 2 je svakako veće od nule, a imamo i: x > 0 Sada možemo da rešavamo jednačinu. Prvo, prebacimo sve sa leve strane, ostavljajući na desnoj strani jednakosti nulu: log x 2 log 4 x = 0.5 log x 2 log 4 x = 1 2 log x 2 log 4 x = 3 6 log x 2 log 4 x =

97 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija Sredimo prvi logaritam. Ovo možemo učiniti tako što ćemo zameniti mesta osnovi i numerusu (osobina 6): log x 2 log 4 x = 0 1 log 2 x log 4 x = 0 Drugi logaritam možemo da sredimo tako što ćemo izbaciti stepen iz osnove ispred logaritma kao recipročnu vrednost, da bismo sveli i drugi logaritam na osnovu 2 (osobina 5): 1 log 2 x log 4 x = 0 1 log 2 x log 2 2 x = 0 1 log 2 x 1 2 log 2 x = 0 Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu log 2 x = t: 1 log 2 x 1 2 log 2 x = 0 1 t 1 2 t = 0 Pomnožimo sve sa t : 1 t 1 2 t = t t = 0 / t Pomnožimo izraz sa 6, čisto da ne bismo morali da radimo sa razlomcima: t2 + 7 t = 0 / t t = 0 3t t + 6 = 0 Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine, koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za t: 3t t + 6 = 0 t 1,2 = b ± b2 4ac 2a 36

98 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 t 1,2 = 7 ± 72 4 ( 3) 6 2 ( 3) 7 ± t 1,2 = 6 7 ± 121 t 1,2 = 6 7 ± 11 t 1,2 = 6 t 1 = 2 3 t 2 = 3 Vratimo sada ova rešenja u našu smenu log 2 x = t. Prvo rešenje jeste da je t = 2 3. Znači: log 2 x = = x x = x = Ovo rešenje ispunjava početne uslove, tako da ga svrstavamo u konačni skup rešenja. Drugo rešenje jeste da je t = 3. Znači: log 2 x = = x x = 8 Ovo rešenje ispunjava početne uslove, tako da ga svrstavamo u konačni skup rešenja. Dakle, konačni skup rešenja za našu jednačinu jeste: x { 1 3, 8} 4 BITNA NAPOMENA Za složenije primere pogledajte video zapise 56, 57 i 58 sa linka u odeljku Linkovi. Nećemo ih obraditi ovde u skripti, jer uglavnom ne dolaze na kolokvijumu. Međutim, svakako je poželjno da pogledate ove video zapise i provežbate primere bar jednom. 37

99 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija 4. Logaritamske nejednačine Pogledajte video plejliste navedene u odeljku Linkovi. Kako rešavamo logaritamske nejednačine? Skoro identično kao i logaritamske jednačine. Cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu a, pa izjednačimo ono što se nalazi u numerusima. Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija kako bismo rešili nejednačinu. Ključna razlika jeste što nemamo znak jednakosti, već znak veće ili manje, pa pazite na sledeće pravilo: - ukoliko je osnova veća od 1, znak nejednakosti se ne menja; - ukoliko je osnova između 0 i 1, znak nejednakosti menja smer. Još jedna ključna razlika (a veoma je logična) jeste da konačni skup rešenja nejednačine jeste presek uslova i rešenja koje dobijemo postupkom rešavanja nejednačine. Primer. Reši jednačinu log 3 x > 0 Obavezno prvo postavljamo uslove za svaki logaritam. Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 3 je svakako veće od nule: 3 > 0 Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 3 je svakako različito od 1: 3 1 Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule: x > 0 Sada možemo da rešavamo jednačinu. Svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu: log 3 x > 0 log 3 x > log 3 1 Osnove su jednake, i veće su od 1, tako da znak nejednakosti ostaje isti: x >

100 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći: Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je: x (1, + ) Primer. Reši jednačinu log1 x > 0 3 Obavezno prvo postavljamo uslove za svaki logaritam. Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 1 je svakako veća od nule: > 0 Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 1 je svakako različita od 1: Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule: x > 0 Sada možemo da rešavamo jednačinu. Svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu: log1 x > 0 3 log1 3 x > log1 3 Osnove su jednake, i između 0 i 1 su, tako da znak nejednakosti menja smer: x < 1 1 Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći: 39

101 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je: x (0, 1) Rešeni kolokvijumski zadaci 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: log 2 x = 2 Rešenje sa postupkom: Obavezno prvo postavljamo uslove. Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 2 > 0 Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 2 1 Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle: x > 0 Sada možemo da rešavamo jednačinu. Treba da svedemo i levu i desnu stranu jednakosti tako da na obe strane imamo logaritam sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a to je da log a a = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod -2 dodati logaritam sa osnovom 2 i numerusom 2, bez da promenimo vrednost izraza: log 2 x = 2 log 2 x = 2 log 2 2 Dalje, znamo da slobodan član ispred logaritma može da uskoči kao stepen numerusa (osobina 4): log 2 x = 2 log 2 2 log 2 x = log log 2 x = log log 2 x = log

102 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji pod logaritmima (numeruse). Direktno dobijamo da je rešenje: x = 1 4 Rešenje koje smo dobili za x ispunjava početni uslov da je x > 0, tako da konačno rešenje: x { 1 4 } 2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: log 3 x < 2 Rešenje sa postupkom: Obavezno prvo postavljamo uslove. Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 3 > 0 Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 3 1 Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle: x > 0 Sada možemo da rešavamo jednačinu. Treba da svedemo i levu i desnu stranu nejednakosti tako da na obe strane imamo logaritam sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a to je da log a a = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod 2 dodati logaritam sa osnovom 3 i numerusom 3, bez da promenimo vrednost izraza: log 3 x < 2 log 3 x < 2 log 3 3 Dalje, znamo da slobodan član ispred logaritma može da uskoči kao stepen numerusa (osobina 4): log 3 x < 2 log 3 3 log 3 x < log log 3 x < log 3 9 Osnove su jednake, i veće su od 1, tako da znak nejednakosti ostaje isti: x < 9 Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći: 41

103 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je: x (0, 9) 3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: log 3 (x + 4) > log 3 (2x + 12) Rešenje sa postupkom: Obavezno prvo postavljamo uslove. Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 3 > 0 Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako x R: 3 1 Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle: x + 4 > 0 x > 4 Sada možemo da rešavamo jednačinu. 2x + 12 > 0 2x > 12 x > 6 Već sa obe strane nejednakosti imamo iste osnove. Osnove su veće od 1, tako da se smer nejednakosti ne menja: log 3 (x + 4) > log 3 (2x + 12) x + 4 > 2x > x x < 8 Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći:

104 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je prazan skup: x 4. Izračunaj vrednost sledećeg izraza: log = Rešenje sa postupkom: Sredimo prvo koren u brojiocu: = log = log = log Sada možemo da sredimo dvojni razlomak poznatim postupcima, koje smo naučili u prethodnim lekcijama: 1 = log = log = log Konačno, izraz možemo ovako da sredimo: = log = 1 log = 1 1 = 1 Dakle, konačna vrednost zadatog izraza iznosi

105 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija Kviz 8: Logaritamska funkcija Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. Izračunati vrednost sledećeg izraza: log 10 0,01 log 2 8 = 2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: log 10 (x + 5) = 0 3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: log 2 x + log 2 3 = 3 4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: log 2 (x 3) < 3 5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: log 3 (2 x) >

106 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije (svojstva, jednačine i nejednačine) Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: merenje uglova - pretvaranje stepena u radijane i obrnuto; merenje uglova - šta je pozitivan, a šta negativan ugao i kako ih crtamo; trigonometrijske funkcije - sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg) i kotangens (ctg) šta predstavljaju, koja je tablica osnovnih vrednosti i znakovi ovih funkcija u svakom kvadratnu koordinatnog sistema; osnovne relacije trigonometrijskih funkcija; svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant; adicione formule, trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla i poluugla; trigonometrijske jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju; trigonometrijske nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju. Uvod U ovoj lekciji bavićemo se mnogim stvarima u vezi trigonometrijskih funkcija i rešavanjem jednačina i nejednačina u vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na kolokvijumu. Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i praćenje video zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta. Stoga ćemo vas ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju, kao i kratke preglede gradiva uz to. Video zapise obavezno gledajte pažljivo i detaljno. Dok gledate video zapis, radite i primere koji su u njemu obrađeni dok niste sigurni da ste u potpunosti savladali gradivo. Video lekcije je izradila Škola Rajak ( na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou koji je potreban vama za prvi kolokvijum iz Matematike. Postoje i drugi video zapisi iz ove oblasti koje možete preći a nisu navedeni ovde, ali smatram da je ovo minimum minimuma koji je potreban za prvi kolokvijum, a ukoliko bude potrebno, lako ćemo naučiti i malo dodatnog gradiva. Linkovi - Link plejliste: Radijani, pozitivni i negativni uglovi video 63 Funkcije sin, cos, tg, ctg, trigonometrijski krug i znakovi funkcija video 64 Osnovne relacije trigonometrijskih funkcija video 66 Svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant video 66 i video 67 Trigonometrijske jednačine video 78, 79,

107 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije 1. Radijani, pozitivni i negativni uglovi Pogledajte video 63 plejliste navedene u odeljku Linkovi. 1) Kako pretvaramo stepene u radijane? Tako što podelimo stepene sa 180 i dodamo pi. Primer. Koliko iznosi ugao od 240 u radijanima? 240 = π = 4 3 π 2) A kako pretvaramo radijane u stepene? Samo umesto pi zamenimo 180. Primer. Koliko iznosi ugao od 4 π u stepenima? 3 4 π = = ) Šta znači pozitivan ugao? To znači da merimo ugao u smeru suprotnom od kazaljke na satu. Primer. π 2 π π 4) Šta znači negativan ugao? To znači da merimo ugao u smeru kazaljke na satu. Primer. π 2 3π 2 π π 3π

108 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Primeri. Dodatne primere pogledajte u videu 63 navedene plejliste (od 04:05 pa na dalje). BITNA NAPOMENA U zadacima na kolokvijumu preporučujemo da sve radite preko pozitivnog uglova, manje su šanse da dođe do zabune kada imate više rešenja, npr. u trigonometrijskim jednačinama. 2. Trigonometrijske funkcije Pogledajte video 64 plejliste navedene u odeljku Linkovi. Da biste imali dobar temelj znanja iz trigonometrijskih funkcija, obavezno pogledajte navedeni video 00:00-03:05, koji definiše funkcije sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) i kotagensa (ctg). Ono što je za vas najbitnije u praktičnoj primeni za kolokvijum, a i posle, jeste sledeće: 1) Gde se crta koja funkcija u trigonometrijskom krugu? (03:35-10:00). Najbolje ćete ovo naučiti prateći ovaj deo navedenog video zapisa. Ključno je da zapamtite da se sinus crta na vertikalnoj osi, a kosinus na horizontalnoj osi! 2) Znakovi osnovnih trigonometrijskih funkcija u različitim kvadrantima koordinatnog sistema (10:00-11:14). U ovom delu video zapisa imate pregled za ovo, kao i oblasti definisanosti za svaku trigonometrijsku funkciju, što može da bude korisno kasnije za ispit, kada se budemo bavili trigonometrijskim funkcijama. Ključno je da vidite logiku kada nacrtate sinus ili kosinus (što smo naučili u stavci pod 1), koji je znak vrednosti tu? To vrlo lako možete videti sa punog koordinatnog sistema. 3) Tablica osnovnih vrednosti trigonometrijskih funkcija (03:05-03:35). Kako zapamtiti ovo? Tangens i kotangens nije potrebno da pamtite napamet, jer ih lako možete izvesti iz vrednosti sinusa i kosinusa. Za sinus i kosinus je ključno da zapamtite tri vrednosti: 1 2, A raspoređujete ih preko ove šeme: Prvi kvadrant: (sinus pozitivan, kosinus pozitivan) - sin60 = 3 2 ista vrednost je i za... cos30 = cos60 = sin45 = 2 2 ista vrednost je i za... sin30 = 1 2 ista vrednost je i za... cos45 = 2 2 Drugim rečima, zapamtite koliko je sin60, pa znate već cela prva dva reda. A kada je u pitanju ugao od 45 stepeni, uvek je vrednost koren iz dva kroz dva. Ovo isto možete da primenite i na druge kvadrante, što bude očigledno sa trigonometrijskog kruga. Videćete primenu ovog u trigonometrijskim jednačinama. 47

109 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije 3. Osnovne relacije trigonometrijskih funkcija Pogledajte video 66 plejliste navedene u odeljku Linkovi (00:00-01:55) U suštini, osnovne relacije koje je neophodno da znate u pola noći kada vas probude jesu sledeće: 1) sin 2 x + cos 2 x = 1 2) tgx = sinx cosx 3) ctgx = cosx sinx 4. Svođenje trigonom. funkcija na I kvadrant Pogledajte video 66 (01:55 pa do kraja) i video 67 plejliste navedene u odeljku Linkovi. Ovde je u praksi najbitnije da zapamtite sledeće tri vrlo bitne stavke: 1) Kada imate izraz oblika f(α), onda pratite sledeću šemu: sin( α) = sinα cos( α) = +cosα tg( α) = tgα ctg( α) = ctgα Formalno rečeno, samo kosinus funkcija je parna, a ostale su neparne. Primer. sin ( π 2 ) = sin π 2 = 1 2) Kada imate izraz oblika f(kπ α), gde je α oštar ugao i k Z, onda radimo sledeće: 1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz kπ α, čime vidimo znak rezultata 2. rezultat izražavamo kao funkciju f(α) Primer. sin(π + α) =? 1. π + α pripada trećem kvadrantu, gde je funkcija sinus negativna 2. rezultat je funkcija sinα Konačno rešenje: sin(π + α) = sinα 48

110 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 3) Kada imate izraz oblika f (k π α), gde je α oštar ugao i k Z, onda radimo sledeće: 2 1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz k π α, čime vidimo znak rezultata 2 2. rezultat izražavamo kao kofunkciju f(α) Primer. sin ( π 2 + α) =? 1. π 2 + α pripada drugom kvadrantu, gde je funkcija sinus pozitivna 2. rezultat je kofunkcija sinα, dakle cosα Konačno rešenje: sin ( π + α) = +cosα 2 5. Adicione formule i trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla i poluugla Pogledajte video plejliste navedene u odeljku Linkovi Ovo su, prosto, neke formule koje treba da naučite napamet kako biste mogli da ih primenjujete u zadacima da biste došli do rešenja. Međutim, primena ovih formula vrlo je retko potrebna za kolokvijum, a takođe nisu obuhvaćene ni gradivom za ispit. Stoga, ukoliko vam baš ostane vremena nakon što ste sve drugo lepo provežbali (uključujući sledeći odeljak u vezi trigonometrijskih jednačina i nejednačina, koji i jeste najbitniji deo ove lekcije) savetujemo vam da tek onda pređete na ovaj deo u vezi adicionih formula i trigonometrijskih funkcija dvostrukog ugla i poluugla, jer nije prevelika korist od poznavanja ovih formula, bar na Ekofu. Naravno ukoliko imate vremena i volje, slobodno naučite formule i provežbajte primere iz navedenih videa. 6. Trigonometrijske jednačine i nejednačine Pogledajte video 78, 79, 80 i 81 plejliste navedene u odeljku Linkovi. Ukoliko ste sve prethodno iz ove lekcije do sada savladali, trigonometrijske jednačine i nejednačine biće vam vrlo jednostavne. A ovo je najvažniji deo lekcije, za koji su profesori i napomenuli da će gotovo sigurno doći na kolokvijumu iz oblasti trigonometrije. Postupak sređivanja jednačine je isti kao kod normalnih jednačina i nejednačina, poput linearnih i kvadratnih. Ono što je ključna razlika ovde jeste kako dolazite do vrednosti x (putem trigonometrijskog kruga) i u samoj prirodi rešenja (trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno rešenja se ponavljaju na pola kruga kπ ili na ceo krug 2kπ). Ovo je nekako previše komplikovano da bi vam ovako napamet to napisao u vidu pregleda 49

111 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije ovde, ali verujte mi, sve će vam biti prilično jasno kada detaljno pređete navedene video zapise. Obavezno to učinite, odmah! Ovde ću vam staviti samo jedan primer pre kolokvijumskih zadataka, kako biste shvatili logiku (nejednačine vrlo retko dolaze, to možete samo preći putem video zapisa). Primer. Rešavamo jednačinu 2 cos x 3 = 0. Prvo što treba da uradimo jeste da sa jedne strane ostavimo samo cos x, a sa druge sve prebacimo sve ostalo: 2 cos x 3 = 0 2 cos x = 3 cos x = 3 2 Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za x: π 2 π cosx π 3π 2 Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 30 = 3 2 tako da je 30 svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko π: x = 30 x = 30π 180 x = π 6 Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje povećamo za ceo krug (koji iznosi 2π) dobićemo praktično isti ugao znači da je i takav ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug 50

112 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti kompletno prvo rešenje naše trigonometrijske jednačine: x = π 6 + 2kπ, k Z A sada drugi deo da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 30 stepeni? Svakako, i to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga: π 2 π 30 cosx π 3π 2 Ugao 330 se identično preslikava u isti kosinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje. Možemo ga zapisati preko π: x = 330 x = 330π 180 x = 11π 6 Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje povećamo za ceo krug (koji iznosi 2π) dobićemo praktično isti ugao znači da je i takav ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti kompletno drugo rešenje naše trigonometrijske jednačine: x = 11π 6 + 2kπ, k Z Dakle, konačni skup rešenja zadate jednačine jeste: x { π 6 + 2kπ, 11π 6 + 2kπ}, k Z Rešeni kolokvijumski zadaci 1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu: 2 sin(2x) =

113 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije Rešenje sa postupkom: Prvo što treba da uradimo jeste da sa jedne strane ostavimo samo sin 2x, a sa druge sve prebacimo sve ostalo: 2 sin(2x) = 3 sin(2x) = 3 2 Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za 2x: π 2 60 π sin2x 0 2π 3π 2 Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je sin 60 = 3 2 tako da je 60 svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko π: 2x = 60 2x = 60π 180 2x = π 3 x = π 6 Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje povećamo za ceo krug (koji iznosi 2π) dobićemo praktično isti ugao znači da je i takav ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti kompletno prvo rešenje naše trigonometrijske jednačine: x = π 6 + 2kπ, k Z A sada drugi deo da li imamo još mogućih rešenja za 2x? Odnosno, da li još neki ugao da iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost sinusa kao i ugao od 60 stepeni? Svakako, i to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga: 52

114 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/ π 2 60 π sin2x 0 2π 3π 2 Ugao 120 se identično preslikava u isti sinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje. Možemo ga zapisati preko π: 2x = 120 2x = 120π 180 2x = 2π 3 x = π 3 Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje povećamo za ceo krug (koji iznosi 2π) dobićemo praktično isti ugao znači da je i takav ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti kompletno drugo rešenje naše trigonometrijske jednačine: x = π 3 + 2kπ, k Z Dakle, konačni skup rešenja zadate jednačine jeste: x { π 6 + 2kπ, π 3 + 2kπ}, k Z 2. U intervalu (0, 2π), rešiti sledeću jednačinu: (cos x) 2 = 3 4 Rešenje sa postupkom: Prvo što treba da uradimo jeste da vidimo koliko cosx možemo da iznosi: (cos x) 2 = 3 4 (cos x) 2 = ( ) 53

115 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije cox = ± 3 2 Prvi slučaj ( cox = 3 2 ) Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za x: π 2 π cosx π 3π 2 Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 30 = 3 2 tako da je 30 svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko π: x = 30 x = 30π 180 x = π 6 Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2π) u rešenje, jer smo ograničeni na interval (0, 2π) u pogledu rešenja koja se traže od nas. Da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 30 stepeni? Svakako, i to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga: π 2 π 30 cosx π 3π

116 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Ugao 330 se identično preslikava u isti kosinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje. Možemo ga zapisati preko π: x = 330 x = 330π 180 x = 11π 6 Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2π) u rešenje, jer smo ograničeni na interval (0, 2π) u pogledu rešenja koja se traže od nas. Drugi slučaj ( cox = 3 2 ) Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za x: π 2 π 150 cosx 0 2π 3π 2 Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 150 = 3 tako da je 150 svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko π: x = 150 x = 150π 180 x = 5π 6 2 Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2π) u rešenje, jer smo ograničeni na interval (0, 2π) u pogledu rešenja koja se traže od nas. Da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 150 stepeni? Svakako, i to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga: 55

117 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije π π 210 cosx 0 2π 3π 2 Ugao 210 se identično preslikava u isti kosinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje. Možemo ga zapisati preko π: x = 210 x = 210π 180 x = 7π 6 Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2π) u rešenje, jer smo ograničeni na interval (0, 2π) u pogledu rešenja koja se traže od nas. Dakle, konačni skup rešenja zadate jednačine jeste: 3. Izračunati vrednost sledećeg izraza: x { π 6, 5π 6, 7π 6, 11π 6 } sin( π 2 + π 3 ) sin (π + π 6 ) = Rešenje sa postupkom: U ovom zadatku je potrebno da koristimo svođenje na prvi kvadrant koje smo naučili u ovoj lekciji. Idemo sabirak po sabirak. Prvi sinus prati slučaj 3 iz odeljka o svođenju na prvi kvadrant (odeljak 4 ove lekcije). Kada imate izraz oblika f (k π α), gde je α oštar ugao i k Z, onda radimo sledeće: 2 1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz k π α, čime vidimo znak rezultata 2 2. rezultat izražavamo kao kofunkciju f(α) U našem slučaju: 56

118 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 sin( π 2 + π 3 ) =? 1. π + π pripada drugom kvadrantu, gde je funkcija sinus pozitivna rezultat je kofunkcija sin π, dakle cos π 3 3 Konačno rešenje za prvi sabirak: sin ( π 2 + π 3 ) = +cos π 3 Drugi sinus prati slučaj 2 iz odeljka o svođenju na prvi kvadrant (odeljak 4 ove lekcije). Kada imate izraz oblika f(kπ α), gde je α oštar ugao i k Z, onda radimo sledeće: 1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz kπ α, čime vidimo znak rezultata 2. rezultat izražavamo kao funkciju f(α) U našem slučaju: sin (π + π 6 ) =? 1. π + π pripada trećem kvadrantu, gde je funkcija sinus negativna 6 2. rezultat je funkcija sin π 6 Konačno rešenje za drugi sabirak: sin(π + α) = sin π 6 Dakle, kada ovo zamenimo u naš početni izraz, dobijamo: sin( π 2 + π 3 ) sin (π + π 6 ) = = cos π 3 ( sin π 6 ) = cos π 3 + sin π 6 = = 1 BITNA NAPOMENA: SINUS I KOSINUS OD 0, 90, 180, 270 Osim vrednosti za 30, 45 i 60 stepeni, bitno nam je da znamo i vrednosti sinusa i kosinusa za sledeće uglove: sin 0 = 0 cos0 = 1 sin 90 = 1 cos 90 = 0 sin 180 = 0 cos 180 = 1 sin 270 = 1 cos 270 = 0 Ukoliko nacrtate trigonometrijski krug, lako ćete uočiti zašto su to baš ove vrednosti. 57

119 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije Kviz 9: Trigonometrijske funkcije Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. U intervalu (0, π ), rešiti sledeću jednačinu: 2 2 sin(4x) = 3 2. Izračunati ugao α [0, 2π] za koji važe obe tvrdnje: sin α = 1 2 cos α = U intervalu (0, π ), rešiti sledeću jednačinu: 2 cos(2x) = 1 4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu: cos π 2 + sin 9π 4 = 5. U intervalu (0, 3π ), rešiti sledeću jednačinu: 2 2 cos(4x) =

120 ŠTA DALJE? DOSTUPNO SAMO U FOTOKOPIRNICI MINERVA Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd kopirnicaminerva@gmail.com /fotokopirnicaminerva /fotokokopirnicaminerva fotokopirnicaminerva.weebly.com

121 2 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije

122 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi (progresije) Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: aritmetički nizovi oznake, razlika aritmetičkog niza i zbir članova; geometrijski nizovi oznake, količnik geometrijskog niza i zbir članova. Uvod U ovoj lekciji bavimo se nizovima, tj. progresijama (ovi pojmovi su sinonimi). Lekcija je relativno jednostavna, ali nemojte je zapostaviti dobro provežbajte zadatke iz ove oblasti. Oblast se javlja ređe od raznih jednačina i nejednačina na kolokvijumu, ali je šteta da je dobro ne naučite kada ne predstavlja toliki izazov, a može da vam donese određene poene na kolokvijumu. Šta su nizovi? Da vas ne bih davio sa formalnim definicijama i sličnim, recimo da je brojevni niz lista nekih brojeva koji prate određeno pravilo. Primeri su sledeći: - Primer 1: niz 3, 5, 7, 9, Primer 2: niz 5, 10, 20, 40, Razmotrimo sad osnovne karakteristike ovih nizova koje ćemo dalje izučavati. 1) Prvi član niza (a 1 ) - Kao što mu samo ime kaže, prvi član niza jeste početni član datog niza. Označavamo ga kao a 1. Za primer 1, a 1 = 3. Za primer 2, a 1 = 5. 2) Opšti (n-ti) član niza (a n ) - Opštim članom niza izražavamo pravilo koje prati svaki član niza. Označavamo ga kao a n. Za primer 1, vidimo da je svaki sledeći član niza za 2 veći od prethodnog. To možemo izraziti putem opšteg člana niza: a n = 2 + a n 1 Stoga, imamo da je npr. a 2 = 5, a 3 = 7, a 4 = 9 itd. Za primer 2, vidimo da je svaki sledeći član niza dupliran prethodni član. To možemo izraziti kao: a n = 2 a n 1 Stoga, imamo da je npr. a 2 = 10, a 3 = 20, a 4 = 40 itd. 1

123 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi 3) Zbir n-tih članova niza (S n ) - Ovo je zbir određenog broja članova niza. Za primer 1, uzmimo zbir prvih 5 članova niza to je =35. Za primer 2, zbir prva tri člana je = Aritmetički nizovi Aritmetički niz je onaj gde je razlika između svaka dva susedna člana konstanta. Drugim rečima, postoji konzistentno pravilo da svaki sledeći član niza jeste veći ili manji od prethodnog člana niza za određenu istu vrednost. Primer aritmetičkog niza jeste upravo primer 1 iz uvodnog odeljka: 3, 5, 7, 9, Razmotrimo sad osnovne karakteristike aritmetičkih nizova. 1) Prvi član niza (a 1 ) - Prvi član aritmetičkog niza označavamo sa a 1, kao i za svaki drugi niz. Konkretno za ovaj primer, a 1 = 3. 2) Razlika (d) - Osnovna karakteristika koja je specifična za aritmetičke nizove jeste da je svaki sledeći član niza veći ili manji za određenu vrednost od prethodnog, i ova vrednost je ista kroz celi niz. Drugim rečima, ova vrednost predstavlja razliku između susednih članova niza, i označavamo je sa d. Konkretno za ovaj primer, uzmimo drugi i prvi član niza: a 1 = 3 a 2 = 5 Razlika između ova dva člana je d = 5 3 = 2. 3) Opšti (n-ti) član niza (a n ) Za aritmetičke progresije imamo sledeću formulu za opšti član niza: a n = a 1 + (n 1)d Na primer, peti član niza (n = 5) u primeru bio bi: a 5 = 3 + (5 1) 2 a 5 = 11 Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer peti član jeste =11. 4) Zbir n-tih članova niza (S n ) Za aritmetičke progresije imamo sledeću formulu za zbir n-tih članova niza: S n = n 2 (a 1 + a n ) Na primer, zbir prvih pet članova niza (n = 5) u primeru bio bi (koristimo i formulu za opšti član spomenutu iznad): 2

124 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 S 5 = 5 (3 + 11) 2 S 5 = 35 Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer zbir prvih pet članova jeste = Geometrijski nizovi Geometrijski niz je onaj gde je količnik između svaka dva susedna člana konstantan. Drugim rečima, postoji konzistentno pravilo da svaki sledeći član niza jeste veći ili manji od prethodnog člana niza određeni broj puta. Primer geometrijskog niza jeste upravo primer 2 iz uvodnog odeljka: 5, 10, 20, 40, Razmotrimo sad osnovne karakteristike geometrijskih nizova. 1) Prvi član niza (a 1 ) - Prvi član geometrijskog niza označavamo sa a 1, kao i za svaki drugi niz. Konkretno za ovaj primer, a 1 = 5. 2) Količnik (q) - Osnovna karakteristika koja je specifična za geometrijske nizove jeste da je svaki sledeći član niza veći ili manji određeni broj puta od prethodnog, i ovo pravilo je konzistentno kroz celi niz. Drugim rečima, ova vrednost predstavlja količnik između susednih članova niza, i označavamo je sa q. Konkretno za ovaj primer, uzmimo drugi i prvi član niza: a 1 = 5 a 2 = 10 Količnik ova dva člana je q = 10 = 2. Svaki sledeći član niza je 2 puta veći od prethodnog. 5 3) Opšti (n-ti) član niza (a n ) Za geometrijske progresije imamo sledeću formulu za opšti član niza: a n = a 1 q n 1 Na primer, peti član niza (n = 5) u primeru bio bi: a 5 = a 5 = 80 Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer peti član jeste = 80. 4) Zbir n-tih članova niza (S n ) Za geometrijske progresije imamo sledeću formulu za zbir n-tih članova niza: S n = a 1 qn 1 q 1 Na primer, zbir prvih pet članova niza (n = 5) u primeru bio bi: 3

125 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi S 5 = S 5 = 155 Vidimo da formula funkcioniše, jer zbir prvih pet članova jeste =155. Korisni linkovi Rešeni kolokvijumski zadaci 1. Izračunati član niza: 3, 1, 1, 3, Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog za 2, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz. Formula za izračunavanje n-tog člana niza je: a n = a 1 + (n 1)d Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1, n, d. Prvi član ovog niza jeste -3, odnosno imamo da je: a 1 = 3 n jeste redni broj člana kojeg tražimo. Znači imamo da je: n = 2017 d jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je: d = 2 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 + (n 1)d a 2017 = 3 + (2017 1) 2 a 2017 = a 2017 = a 2017 =

126 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 2. Izračunati zbir prvih 2017 članova niza: 2, 0, 2, 4, Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog za 2, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz. Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je: S n = n 2 (a 1 + a n ) Formula za opšti član niza je: Dakle, imamo: a n = a 1 + (n 1)d S n = n 2 (a 1 + a 1 + (n 1)d) S n = n 2 (2a 1 + (n 1)d) Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1, n, d. Prvi član ovog niza jeste -2, odnosno imamo da je: a 1 = 2 n jeste broj članova. Znači imamo da je: n = 2017 d jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je: d = 2 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: S n = n 2 (2a 1 + (n 1)d) S 2017 = 2017 (2 ( 2) + (2017 1) 2) 2 S 2017 = 2017 ( ) 2 S 2017 = 2017 ( ) 2 S 2017 = S 2017 = S 2017 = S 2017 = NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P NAPOMENA: VELIKI BROJEVI Na kolokvijumu nije potrebno da računate tačnu vrednost ovoliko velikih brojeva. 5

127 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi 3. Izračunati opšti član niza: 2, 4, 8, 16, 32, Rešenje sa postupkom: Primetimo da razlika između susednih članova ovoga niza nije identična. Stoga, zaključujemo da se ne radi o aritmetičkom nizu, već o geometrijskom nizu. Formula za opšti član niza je: a n = a 1 q n 1 Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1 i q. Podatak za n nam nije potreban, jer jednostavno tražimo formulu za opšti član ovog konkretnog niza, a ne neki konkretni član na određenom rednom mestu. Prvi član ovog niza jeste -2, odnosno imamo da je: a 1 = 2 q jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo veći od prethodnog, a pritom menja znak. To znači da: q = 2 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 q n 1 a n = 2 ( 2) n 1 Ovo čak možemo dalje i srediti, korišćenjem pravila za stepenovanje: a n = 2 ( 2) n 1 a n = ( 2) 1+n 1 a n = ( 2) n 4. Naći zbir prvih sedam članova aritmetičke progresije, čiji je prvi član jednak 1, a međusobna razlika susednih članova je 5. Rešenje sa postupkom: U zadatku nam je dato da je reč o aritmetičkoj progresiji. Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je: S n = n 2 (a 1 + a n ) Formula za opšti član niza je: a n = a 1 + (n 1)d 6

128 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Dakle, imamo: S n = n 2 (a 1 + a 1 + (n 1)d) S n = n 2 (2a 1 + (n 1)d) Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1, n, d. Prvi član ovog niza jeste 1, odnosno imamo da je: a 1 = 1 n jeste broj članova. Znači imamo da je: n = 7 d jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je: d = 5 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: S n = n 2 (2a 1 + (n 1)d) S 7 = 7 (2 1 + (7 1) 5) 2 S 7 = 7 ( ) 2 S 7 = 7 (2 + 30) 2 S 7 = S 7 = 7 16 S 7 = Za dati niz odrediti proizvod 19. i 21. člana: 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32, Rešenje sa postupkom: Primetimo da razlika između susednih članova ovoga niza nije identična. Stoga, zaključujemo da se ne radi o aritmetičkom nizu, već o geometrijskom nizu. Šta se nama zapravo traži u zadatku? Proizvod 19. i 21. člana, što možemo zapisati na sledeći način: a 19 a 21 =? Formula za opšti član niza je: a n = a 1 q n 1 Znači, potrebni su nam podaci za a 1, q, i n. 7

129 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi Tražimo devetnaesti član niza. To znači da je: n = 19 Prvi član ovog niza jeste -1/2, odnosno imamo da je: a 1 = 1 2 q jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo manji od prethodnog, a pritom menja znak. To znači da: q = 1 2 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 q n 1 a 19 = 1 2 ( 1 2 )19 1 a 19 = 1 2 ( 1 2 )18 a 19 = a 19 = Zatim, tražimo dvadesetprvi član niza. To znači da je: n = 21 Prvi član ovog niza jeste -1/2, odnosno imamo da je: a 1 = 1 2 q jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo manji od prethodnog, a pritom menja znak. To znači da: q = 1 2 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 q n 1 a 21 = 1 2 ( 1 2 )21 1 a 21 = 1 2 ( 1 2 )20 a 21 = a 21 =

130 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Naš finalni rezultat jeste proizvod ovih članova. Dakle: a 19 a 21 = = 1 1 ( = = ) 6. Izračunati član niza: 2, 5, 8, 11, Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog za 3, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz. Formula za izračunavanje n-tog člana niza je: a n = a 1 + (n 1)d Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1, n, d. Prvi član ovog niza jeste 2, odnosno imamo da je: a 1 = 2 n jeste redni broj člana kojeg tražimo. Znači imamo da je: n = 2016 d jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je: d = 3 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 + (n 1)d a 2016 = 2 + (2016 1) 3 a 2016 = a 2016 = a 2016 = Izračunati 100. član niza: 4, 1, 1 4, 1 16 Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste 4 puta manji od prethodnog po apsolutnoj vrednosti, a takođe menja i znak. Time, zaključujemo da je ovo geometrijski niz tj. geometrijska progresija. 9

131 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi Formula za opšti član niza je: a n = a 1 q n 1 Znači, potrebni su nam podaci za a 1, q, i n. Tražimo 100. član niza. To znači da je: n = 100 Prvi član ovog niza jeste -4, odnosno imamo da je: a 1 = 4 q jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste 4 puta manji od prethodnog, a pritom menja znak. To znači da: q = 1 4 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 q n 1 a 100 = 4 ( 1 4 )100 1 a 100 = 4 ( 1 4 )99 a 100 = 4 ( ) a 100 = a 100 = NAPOMENA: PARNO I NEPARNO STEPENOVANJE NEGATIVNOG BROJA Veoma je bitno da ovo razlikujete: 1) Ukoliko negativni broj stepenujemo parnim koeficijentom, minus se gubi. Primer iz 5. zadatka: ( ) = ) Ukoliko negativni broj stepenujemo neparnim koeficijentom, minus ostaje. Primer iz 7. zadatka: ( 1 4 ) 99 =

132 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 8. Izračunati 201. član niza: 5, 2, 1, 4, Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog za 3, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz. Formula za izračunavanje n-tog člana niza je: a n = a 1 + (n 1)d Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1, n, d. Prvi član ovog niza jeste -5, odnosno imamo da je: a 1 = 5 n jeste redni broj člana kojeg tražimo. Znači imamo da je: n = 201 d jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je: d = 3 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 + (n 1)d a 201 = 5 + (201 1) 3 a 201 = a 201 = a 201 = Izračunati zbir prvih 200 članova niza: 5, 2,1, 4, Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog za 3, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz. Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je: S n = n 2 (a 1 + a n ) Formula za opšti član niza je: Dakle, imamo: a n = a 1 + (n 1)d S n = n 2 (a 1 + a 1 + (n 1)d) 11

133 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi S n = n 2 (2a 1 + (n 1)d) Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1, n, d. Prvi član ovog niza jeste -5, odnosno imamo da je: a 1 = 5 n jeste broj članova. Znači imamo da je: n = 200 d jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je: d = 3 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: 10. Izračunati 25. član niza: S n = n 2 (2a 1 + (n 1)d) S 200 = 200 (2 ( 5) + (200 1) 3) 2 S 200 = 200 ( ) 2 S 200 = 200 ( ) 2 S 200 = S 200 = S 200 = , 1, 1 2, 1 4 Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste 2 puta manji od prethodnog po apsolutnoj vrednosti, i da ne menja znak. Time, zaključujemo da je ovo geometrijski niz tj. geometrijska progresija. Formula za opšti član niza je: a n = a 1 q n 1 Znači, potrebni su nam podaci za a 1, q, i n. Tražimo 25. član niza. To znači da je: n = 25 Prvi član ovog niza jeste 2, odnosno imamo da je: a 1 =

134 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 q jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste 2 puta manji od prethodnog, a pritom ne menja znak. To znači da: q = 1 2 Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: a n = a 1 q n 1 a 25 = 2 ( 1 2 ) Izračunati zbir prvih 25 članova niza: a 25 = 2 ( 1 2 )24 a 25 = a 25 = , 1, 1 2, 1 4, Rešenje sa postupkom: Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član manji od prethodnog dva puta, iz čega možemo zaključiti da je ovo geometrijski niz. Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je: S n = a 1 qn 1 q 1 Znači, potrebno je da nađemo podatke za a 1, n, q. Prvi član ovog niza jeste 2, odnosno imamo da je: a 1 = 2 n jeste broj članova. Znači imamo da je: n = 25 q jeste količnik između susednih članova geometrijskog niza. Svaki sledeći član dobijamo tako što prethodni umanjimo za pola. Znači imamo da je: q =

135 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu: S n = a 1 qn 1 q 1 25 S 25 = 2 (1 2 ) S 25 = S 25 = S 25 = S 25 = S 25 = 4 ( 1 1) 225 S 25 = S 25 = S 25 = S 25 = S 25 =

136 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kviz 10: Nizovi Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. Naći 15. član sledećeg niza: 0, 5, 10, 15, 20, 2. Naći zbir prvih 300 članova sledećeg niza: 5, 1, 3, 7, 3. Naći 20. član sledećeg niza: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 4. Naći zbir prvih 25 članova sledećeg niza: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 5. Odrediti zbir devedesetdevetog i stotog člana sledećeg niza: 3,0, 3, 6, 9, 12, 15

137 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija Lekcija 11: Analitička geometrija Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: koeficijent pravca (nagib funkcije) kako ga određujemo i šta predstavlja, kao i kako preko njega izražavamo paralelne i normalne prave; odsečak funkcije na y-osi kako ga određujemo i šta predstavlja; jednačina prave koja prolazi kroz tačke kako je određujemo; tačke preseka funkcija kako ih određujemo; kružnica oblik funkcije, šta je centar a šta poluprečnik i kako ih određujemo. elipsa, hiperbola i parabola Uvod U ovoj lekciji bavimo se analitičkom geometrijom, odnosno raznim stvarima u vezi funkcija u pogledu njihovog skiciranja, određivanja osobina itd. Postoje još neki delovi ove oblasti koje nismo ovde obradili, a koji se dosta ređe javljaju na kolokvijumu (elipsa, hiperbola i parabola). Naznačili smo vam linkove na kojima možete efikasno naučiti i ovaj deo gradiva. 1. Koeficijent pravca (nagib) funkcije i odsečak Koeficijent pravca, tj. nagib funkcije govori nam, najjednostavnije rečeno, koliko se vrednost Y promeni kada se vrednost X poveća za 1. Označavamo ga sa slovom k, i možemo lako da ga dobijemo iz eksplicitnog oblika linearne funkcije. Odsečak na y-osi govori nam kolika je vrednost funkcije kada je X = 0. Oznčaavamo ga sa slovom n, i možemo lako da ga dobijemo iz eksplicitnog oblika linearne funkcije. Dakle, eksplicitni oblik funkcije opšte možemo prikazati sledećim iskazom: y = kx + n BITNA NAPOMENA Eksplicitni oblik funkcije smo objasnili u lekciji 3, odeljak 3. Obavezno ponovite. Više o koeficijentu pravca i odsečku na y-osi obavezno pročitajte u dodatku na vebsajtu koji smo postavili uz lekciju. Mnogo će vam značiti! (link: skripteekof.com/matematika) Primer. Imamo funkciju y = 3x 2 Koeficijent pravca iznosi k = 3, dok je odsečak na y-osi jednak n =

138 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 2. Paralelne i normalne prave Na osnovu koeficijent pravca jedne prave (odnosno linearne funkcije), možemo odrediti i: a) koliki je koeficijent pravca prave koja je njoj paralelna b) koliki je koeficijent pravca prave koja je normalna na nju Pravilo glasi: 1) Paralelne prave imaju isti koeficijent pravca. k 1 = k 2 2) Normalne prave imaju koeficijent pravca suprotnog znaka i recipročne vrednosti. k 1 = 1 k 2 Pogledajmo ovo na primerima. Primer 1. Imamo funkciju y = 3x 2. Koliko iznosi koeficijent pravca paralelne prave na ovu funkciju? - Koeficijent pravca funkcije y = 3x 2 je k 1 = 3. Paralelne prave imaju isti koeficijent nagiba, tako da će i koeficijent pravca paralelne prave biti k 2 = 3. Primer 2. Imamo funkciju y = 3x 2. Koliko iznosi koeficijent pravca normalne prave na ovu funkciju? - Koeficijent pravca funkcije y = 3x 2 je k 1 = 3. Normalne prave imaju koeficijent nagiba suprotnog znaka i recipročne vrednosti, tako da će koeficijent pravca normalne prave biti k 2 = Jednačina prave koja prolazi kroz tačke VARIJANTA 1: JEDNAČINA KOJA PROLAZI KROZ DVE TAČKE Ovo je jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Potrebno je da zapamtimo formulu: x 1 = x koordinata prve tačke y 1 = y koordinata prve tačke x 2 = x koordinata druge tačke y 2 = y koordinata druge tačke y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) 17

139 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija Primer. Kako glasi jednačina prave koja prolazi kroz tačke A(2,3) i B(1,5)? Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo o koordinatama ovih tačaka i zamenimo ih u formulu. x 1 = 2 y 1 = 3 x 2 = 1 y 2 = 5 y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y 3 = 5 3 (x 2) 1 2 Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik: y 3 = 2(x 2) y 3 = 2x + 4 y = 2x + 7 VARIJANTA 2: JEDNAČINA KOJA PROLAZI KROZ TAČKU I IMA DATI KOEFICIJENT PRAVCA Ovo je takođe jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Potrebno je da zapamtimo formulu: y y 1 = k(x x 1 ) x 1 = x koordinata prve tačke y 1 = y koordinata prve tačke k = dati koeficijent pravca Primer. Kako glasi jednačina prave koja prolazi kroz tačke A(1,1) i ima koeficijent pravca 3? Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i zamenimo ih u formulu. x 1 = 1 y 1 = 1 k = 3 y y 1 = k(x x 1 ) y 1 = 3(x 1) Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik: y 3 = 3x 3 y = 3x 18

140 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 4. Tačke preseka funkcija Ovo je takođe jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Koordinate tačke (ili tačaka) preseka funkcija dobijamo kao rešenja sistema jednačina. Primer. Imamo sledeće linearne funkcije: x + 3y = 25 2x 5y = 27 Koje su koordinate tačke preseka ovih funkcija? Ovo dobijamo rešavanjem datog sistema jednačina, putem metode zamene ili metodom suprotnih koeficijenata. Dobićete rešenje: x = 4 y = 7 odnosno, tačka preseka datih funkcija je P(4,7). BITNA NAPOMENA Više i mnogo detaljnije o odeljku 1-4, kao i brojne primere za vežbu, možete pronaći na sledećem linku: (video 75-87) 5. Kružnica Određivanje centra i poluprečnika kružnice je jedan od najčešćih zadataka na kolokvijumu iz oblasti analitičke geometrije. Postoji odličan niz videa koje je snimila Škola Rajak u vezi ovoga, i najbolje ćete ih naučiti putem njih. Link: (video 88 i video 89) 6. Elipsa, hiperbola i parabola Ove oblasti se mnogo retko javljaju na kolokvijumu, tako da nećemo obraditi u ovoj skripti. Međutim, pružamo vam korisne linkove na kojima možete preći i izvežbati ovo. - Elipsa, hiperbola i parabola: - Elipsa video: - Hiperbola video: - Parabola video:

141 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija Rešeni kolokvijumski zadaci 1. Napiši jednačinu prave koja sadrži tačku A(-3,1) i paralelna je sa sledećom pravom: q: 2x + 3y = 5 Rešenje sa postupkom: Konkretno, zadatak nam je da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz neku tačku i ima koeficijent pravca isti kao i prava q (jer to znači da su ove prave paralelne). Prebacimo jednačinu prave q u eksplicitni oblik kako bismo lakše utvrdili šta je koeficijent pravca ove funkcije: 2x + 3y = 5 3y = 5 2x y = x y = 2 3 x Odavde su očigledni podaci za koeficijent pravca i odsečak na y-osi ove funkcije: k = 2 3 n = 5 3 Naša tražena jednačina prave treba da bude paralelna sa ovom pravom, što znači da ima isti koeficijent pravca. Znači, naš zadatak je da utvrdimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(-3,1) i ima koeficijent pravca k = 2. Za to primenjujemo sledeću formulu: 3 y y 1 = k(x x 1 ) x 1 = x koordinata prve tačke y 1 = y koordinata prve tačke k = dati koeficijent pravca Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i zamenimo ih u formulu. x 1 = 3 y 1 = 1 k =

142 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 y y 1 = k(x x 1 ) y 1 = 2 (x + 3) 3 Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik: y 1 = 2 3 x 2 y = 2 3 x 1 2. Napiši jednačinu prave koja sadrži tačku A(1,3) i normalna je sa sledećom pravom: q: 2x + 3y = 5 Rešenje sa postupkom: Konkretno, zadatak nam je da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz neku tačku i ima koeficijent pravca recipročne vrednosti i suprotnog znaka u odnosu na pravu q (jer to znači da su ove prave normalne). Prebacimo jednačinu prave q u eksplicitni oblik kako bismo lakše utvrdili šta je koeficijent pravca ove funkcije: 2x + 3y = 5 3y = 5 2x y = x y = 2 3 x Odavde su očigledni podaci za koeficijent pravca i odsečak na y-osi ove funkcije: k = 2 3 n = 5 3 Naša tražena jednačina prave treba da bude normalna na ovu pravu, što znači da ima koeficijent pravca recipročne vrednosti i suprotnog znaka. Znači, naš zadatak je da utvrdimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1,3) i ima koeficijent pravca k = 3 2. Za to primenjujemo sledeću formulu: x 1 = x koordinata prve tačke y 1 = y koordinata prve tačke k = dati koeficijent pravca y y 1 = k(x x 1 ) 21

143 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i zamenimo ih u formulu. x 1 = 1 y 1 = 3 k = 3 2 y y 1 = k(x x 1 ) y 3 = 3 (x 1) 2 Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik: y 3 = 3 2 x 3 2 y = 3 2 x Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice: x 2 + y 2 = 14y + 15 Rešenje sa postupkom: U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 r = poluprečnik kružnice a = x-koordinata tačke centra kružnice b = y-koordinata tačke centra kružnice Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog člana na levu stranu: x 2 + y 2 = 14y + 15 x 2 + y y = 15 (x 0) 2 + y y = 15 Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš izraz do punog kvadrata, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike. Znači, imamo y y. Ako bismo ovde dodali +49, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo učinimo, moramo i da dodamo 49, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači: (x 0) 2 + y y = 15 (x 0) 2 + (y + 7) 2 49 = 15 (x 0) 2 + (y + 7) 2 = (x 0) 2 + (y + 7) 2 = 64 Odnosno: (x 0) 2 + (y + 7) 2 = 64 (x 0) 2 + (y ( 7)) 2 =

144 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna: r = 8 a = 0 b = 7 Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 8, a centar je u tački C(0, 7). NAPOMENA NAPOMENA: br.2: KANONSKI SPECIFIČNOSTI OBLIK FUNKCIJE FUNKCIJA Q i P Kada u ovakvim zadacima sa kružnicom dopunjavamo izraz do punog kvadrata, kako bismo imali elemente za kvadrat zbira ili razlike, mi zapravo deo funkcije prebacujemo u tzv. kanonski oblik. Primeri: 1) Eksplicitni oblik funkcije: y = x x 2) Implicitni oblik fukcije: y x 2 14x = 0 3) Kanonski oblik fukcije: y = x x , tj. y = (x + 7) Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice: x 2 + y 2 = 4x a potom odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz centar ove kružnice i tačku A(1,3). Rešenje sa postupkom: U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 r = poluprečnik kružnice a = x-koordinata tačke centra kružnice b = y-koordinata tačke centra kružnice Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog člana na levu stranu: x 2 + y 2 = 4x x 2 + 4x + y 2 = 0 x 2 + 4x + (y 0) 2 = 0 Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod x. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš izraz do punog kvadrata, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike. Znači, imamo x 2 + 4x. Ako bismo ovde dodali +4, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo učinimo, moramo i da dodamo 4, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači: x 2 + 4x (y 0) 2 = 0 (x + 2) (y 0) 2 = 0 (x + 2) 2 + (y 0) 2 =

145 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija Odnosno: (x + 2) 2 + (y 0) 2 = 4 (x ( 2)) 2 + (y 0) 2 = 4 Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna: r = 2 a = 2 b = 0 Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 2, a centar je u tački C( 2,0). Sada, treba da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz ovaj centar C( 2,0) i tačku A(1,3). Potrebno je da primenimo formulu: x 1 = x koordinata prve tačke y 1 = y koordinata prve tačke x 2 = x koordinata druge tačke y 2 = y koordinata druge tačke y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo o koordinatama ovih tačaka i zamenimo ih u formulu. x 1 = 2 y 1 = 0 x 2 = 1 y 2 = 3 y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y 0 = ( 2) (x ( 2)) Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik: y = 3 (x + 2) 1+2 y = 3 (x + 2) 3 y = x Odrediti tačke preseka sledećih funkcija: y = 2 x y = x 2 7x + 10 Rešenje sa postupkom: Znamo da koordinate tačke (ili tačaka) preseka funkcija dobijamo kao rešenja sistema jednačina. Potrebno je da rešimo sledeći sistem jednačina. 24

146 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 y = 2 x y = x 2 7x + 10 Upotrebimo metod zamene, zamenivši prvu jednačinu u drugu: y = x 2 7x x = x 2 7x = x 2 6x = x 2 6x + 8 x 2 6x + 8 = 0 Poznatim postupcima iz prethodnih lekcija, rešimo ovu kvadratnu jednačinu: x 2 6x + 8 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 6 ± ( 6) x 1,2 = 6 ± 4 2 x 1,2 = 6 ± 2 2 x 1 = 4 x 2 = 2 Time smo dobila dva rešenja za x koordinatu naše tačke preseka znači imamo dve tačke preseka. Prva tačka preseka Ako uzmemo da je x = 4, računamo sledećim postupkom vrednost koordinate y: y = 2 x y = 2 4 y = 2 Dakle, prva tačka preseka jeste tačka: A 1 (4, 2) Druga tačka preseka Ako uzmemo da je x = 2, računamo sledećim postupkom vrednost koordinate y: y = 2 x y = 2 2 y = 0 Dakle, druga tačka preseka jeste tačka: A 2 (2, 0) 25

147 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija 6. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice: x 2 + y 2 = x U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 r = poluprečnik kružnice a = x-koordinata tačke centra kružnice b = y-koordinata tačke centra kružnice Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog člana na levu stranu: x 2 2x + y 2 = 24 x 2 2x + (y 0) 2 = 24 Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod x. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš izraz do punog kvadrata, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike. Znači, imamo x 2 2x. Ako bismo ovde dodali +1, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo učinimo, moramo i da dodamo 1, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači: x 2 2x (y 0) 2 = 24 (x 1) (y 0) 2 = 24 (x 1) 2 + (y 0) 2 = 25 Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna: r = 5 a = 1 b = 0 Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 5, a centar je u tački C(1,0). 7. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice: x 2 + y 2 = 8y 12 Rešenje sa postupkom: U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 r = poluprečnik kružnice a = x-koordinata tačke centra kružnice b = y-koordinata tačke centra kružnice 26

148 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog člana na levu stranu: x 2 + y 2 = 8y 12 x 2 + y 2 8y = 12 (x 0) 2 + y 2 8y = 12 Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš izraz do punog kvadrata, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike. Znači, imamo y 2 8y. Ako bismo ovde dodali +16, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo učinimo, moramo i da dodamo 16, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači: (x 0) 2 + y 2 8y = 12 (x 0) 2 + (y 4) 2 16 = 12 (x 0) 2 + (y 4) 2 = (x 0) 2 + (y 4) 2 = 4 Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna: r = 2 a = 0 b = 4 Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 2, a centar je u tački C(0, 4). 8. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice: x 2 + y 2 4x + 2y + 4 = 0 Rešenje sa postupkom: U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 r = poluprečnik kružnice a = x-koordinata tačke centra kružnice b = y-koordinata tačke centra kružnice Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo treba da imamo na levoj strani sve nepoznate, a na desnoj strani da imamo samo slobodan član: x 2 + y 2 4x + 2y + 4 = 0 x 2 + y 2 4x + 2y = 4 x 2 4x + y 2 + 2y = 4 Nemamo zagradu koja nam je potrebna i kod x i kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš izraz do punog kvadrata, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike. 27

149 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija Za nepoznatu x: Imamo y 2 + 2y. Ako bismo ovde dodali +4, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo učinimo, moramo i da dodamo 4, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači: x 2 4x y 2 + 2y = 4 (x 2) y 2 + 2y = 4 (x 2) 2 + y 2 + 2y = (x 2) 2 + y 2 + 2y = 0 Za nepoznatu y: Imamo x 2 4x. Ako bismo ovde dodali +1, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo učinimo, moramo i da dodamo 1, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači: (x 2) 2 + y 2 + 2y = 0 (x 2) 2 + (y 1) 2 1 = 0 (x 2) 2 + (y 1) 2 = (x 2) 2 + (y 1) 2 = 1 Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna: r = 1 a = 2 b = 1 Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 1, a centar je u tački C(2, 1). 28

150 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Kviz 11: Analitička geometrija Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. Naći centar i poluprečnik sledeće kružnice: x 2 + y 2 = 8y + 6x 2. Odrediti jednačinu prave p koja prolazi kroz tačku A(-1,-1) i koja je paralelna sa sledećom pravom: q: 2x 3y = 5 3. Odrediti jednačinu prave p koja prolazi kroz tačku A(-2,-2) i koja je normalna na sledeću pravu: q: 2x 3y = 5 4. Odrediti jednačinu prave p koja prolazi kroz sledeće tačke: A(2, 1) B( 1, 2) 5. Odrediti tačku u kojoj grafik sledeće funkcije seče x-osu: y = 2x

151 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti Lekcija 12: Proporcionanost i procentni račun Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: direktna i obrnuta proporcionalnost šta predstavlja i kako se rešavaju zadaci; proporcionalnost sa koeficijentom k kako se rešavaju ovakvi zadaci; procentni račun šta predstavlja procenat i kako rešavamo zadatke. Uvod Ovo je jedna vrlo kratka i jednostavna lekcija. Uglavnom ponavljamo sve što ste zasigurno već radili u srednjoj školi direktnu i obrnutu proporcionalnost, kao i procente. Zadržaćemo se na vrlo jednostavnim zadacima, jer takvi dolaze i na kolokvijumu. Ona što će za vas možda biti novo jeste proporcionalnost sa koeficijentom k, mada je dosta vas i ovo verovatno obradilo u srednjoj školi. 1. Direktna i obrnuta proporcionalnost Proporcionalnost iskazuje između dve veličine, i ukazuje nam na to da je ta veza proporcionalna drugim rečima, kada promenimo jednu veličinu za određeni iznos, za proporcionalno isti iznos će se promeniti druga veličina. Na primer, uzmimo da su promenljive sati učenja i ocena na ispitu. Ukoliko učite više sati, biće vam proporcionalno veća i ocena na ispitu. Postoje dve osnovne vrste proporcionalnosti: 1) direktna kad se jedna promenljiva poveća, druga promenljiva se povećava (oznaka: ) 2) obrnuta kad se jedna promenljiva poveća, druga promenljiva se smanjuje (oznaka: ) Primeri. Kada učite više sati, veća će vam biti ocena na ispitu direktna proporcionalnost Kada učite više sati, manje ćete gledati televizor obrnuta proporcionalnost Pokažimo sad opšti postupak rešavanja zadataka iz direktne i obrnute proporcionalnosti. Primer 1. Marko za tačno 500 dinara može da kupi 2 kg jabuka. Koliko jabuka može da kupi za 800 dinara? Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. X je ono što tražimo. 30

152 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 kg jabuka količina novca x 800 Zatim određujemo vezu između ove dve promenljive kg jabuka i količina novca. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Logično je da što više novca imamo, to ćemo moći više kilograma jabuka da kupimo stoga, u pitanju je direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. kg jabuka količina novca x 800 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 2 = Proporciju rešavamo tako što množimo međusobno spoljašnje članove i međusobno unutrašnje članove. Mala slika kao pomoć: x 2 = Dakle: 500x = x = 1600 x = 3. 2 kg Interpretacija: Marko za 800 dinara može da kupi 3.2 kg jabuka. Primer 2. Pet radnika će izraditi proizvod za 3 sata. Koliko radnika je potrebno da se proizvod izradi za 1 sat? Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. X je ono što tražimo. broj radnika potrebno vreme u satima 5 3 x 1 Zatim određujemo vezu između ove dve promenljive broja radnika i potrebnog vremena za izradu proizvoda. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Logično je da što je više radnika tu i radi na izradi proizvoda, to će biti potrebno manje vremena da se proizvod izradi stoga, u pitanju je obrnuta proporcionalnost, i crtamo strelice u suprotnom smeru. 31

153 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti broj radnika potrebno vreme u satima 5 3 x 1 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 5 = 3 1 Proporciju rešavamo tako što množimo međusobno spoljašnje članove i međusobno unutrašnje članove. Mala slika kao pomoć: x 5 = 3 1 Dakle: 1x = 5 3 x = 15 radnika Interpretacija: 15 radnika je potrebno da radi kako bi se proizvod izradio za 1 sat. 2. Proporcionalnost sa koeficijentom k U suštini, ovde ćemo vam samo pokazati kako se rešavaju ovakvi zadaci. Znaćete da ih prepoznate jer će biti zadato da su delovi nečega u određenom odnosu, i najčešće biće data vrednost celine. Sad ćemo odmah ovo da vidimo na primeru. Primer. Broj 2420 podeljen je na četiri broja koji stoje u odnosu 1:2:3:5, koji je tada najveći broj od tih četiri? Ovde je celina broj Celina je podeljena na četiri dela. Delovi su u odnosu 1:2:3:5. Koristićemo koeficijent k kako bismo odredili koliko iznose ovi delovi. 1k 2k 3k 5k 11k = 2420 k = 220 Ovim smo odredili koeficijent k. Sada samo zamenimo vrednost k da bismo dobili iznos svakog dela: 1k = = 220 2k = = 440 3k = = 660 5k = = 1100 U zadatku se tražio najveći broj. To je 1100, tako da je to naše konačno rešenje. 32

154 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 3. Procentni račun Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Oznaka za procenat je %. Na primer, 50% od 400 iznosi 200. Pogledajmo kako rešavamo zadatke koji kombinuju proporcije i procentni račun, a koji su nam bitni za kolokvijum. Primer. Posle smanjenja od 10%, cena neke robe je Koliko je iznosila cena pre smanjenja cene? Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x 100 Malo objašnjenje: Cena posle sniženja je Znači od pune cene od 100%, oduzeto je 10% popusta, tako da 5400 dinara predstavlja 90% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno 100% cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. cena robe % x 100 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 5400 = x = x = x = 6000 din Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre sniženja robe, iznosi 6000 dinara. Korisni linkovi - Proporcionalnost (video 14, 15, 16): - Procentni račun:

155 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti Rešeni kolokvijumski zadaci 1. Ako je broj 1210 podeljen na četiri broja koji stoje u odnosu 1 : 2 : 3 : 5, koji je tada najveći od ovih brojeva? Rešenje sa postupkom: Ovde je celina broj Celina je podeljena na četiri dela. Delovi su u odnosu 1:2:3:5. Koristićemo koeficijent k kako bismo odredili koliko iznose ovi delovi. 1k 2k 3k 5k 11k = 1210 k = 110 Ovim smo odredili koeficijent k. Sada samo zamenimo vrednost k da bismo dobili iznos svakog dela: 1k = = 110 2k = = 220 3k = = 330 5k = = 550 U zadatku se tražio najveći broj. To je 550, tako da je to naše konačno rešenje. 2. Posle povećanja od 10% cena neke robe je 5500 dinara. Koliko je iznosila cena pre povećanja cene? Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x 100 Malo objašnjenje: Cena posle povećanja je Znači od pune cene od 100%, dodato je 10% poskupljenja, tako da 5500 dinara predstavlja 110% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno 100% cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. 34

156 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 cena robe % x 100 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 5500 = x = x = x = 5000 din Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre poskupljenja robe, iznosi 5000 dinara. 3. Odrediti 15% od broja 0,5. Rešenje sa postupkom: Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Dakle, ovo možemo zapisati i ovako: 15% 0,5 = = ,5 Daljim postupkom, koji nam je već poznat iz prve lekcije Brojevni izrazi, rešavamo zadatak: = = = U obliku decimalnog broja zapisati 15% od broja Rešenje sa postupkom: Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Dakle, ovo možemo zapisati i ovako: 2 15% 75 = Daljim postupkom, koji nam je već poznat iz prve lekcije Brojevni izrazi, rešavamo zadatak: = =

157 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti = = = = 0, Ako je na račun uloženo dinara i ako je godišnja kamatna stopa 4%, izračunati koliko će novca biti na računu posle 7 godina (napomena: kamata se računa na kamatu, na kraju svake godine). Rešenje sa postupkom: Ovo je malo specifičan tip zadatka, ali je samo potrebno da malo razmislite. Ako imamo na računu dinara, ova suma se svake godine uvećava za kamatnu stopu od 4%. Ono što je ključno kamata se ne obračunava svake godine na dinara, već na ukupni iznos iz prethodne godine. Evo primera za prvu, drugu i treću godinu, da biste videli na šta konkretno mislimo: na kraju prve godine % = na kraju druge godine % = na kraju treće godine % = ,64 itd. Drugim rečima, uvek prethodni iznos uvećavamo za 4%. Trećim rečima, na kraju svake godine imamo 104% od iznosa od iznosa u prošloj godini. Ovo možemo zapisati kao: prethodni iznos 1,04 Znači, kada nešto pomnožimo sa 1,04 zapravo ga uvećavamo za 4% (drugačije zapisano kao: 4/100 ili 0,04). U našem zadatku, treba uvek prethodni iznos da uvećavamo za 4%, 7 puta, na kraju svake godine. Počinjemo svakako sa početnom sumom od dinara. To zapisujemo ovako: ,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 Naravno, ovo možemo zapisati u skraćenom obliku: ,04 7 Iznos koji ćemo imati u banci na kraju 7 godine jeste upravo ovaj iznos, te je ovo konačno rešenje zadatka. 36

158 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 6. Posle poskupljenja od 20% cena neke robe je 9600 dinara. Koliko je iznosila cena pre poskupljenja? Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x 100 Malo objašnjenje: Cena posle povećanja je Znači od pune cene od 100%, dodato je 20% poskupljenja, tako da 9600 dinara predstavlja 120% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno 100% cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. cena robe % x 100 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 9600 = x = x = x = 8000 din Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre poskupljenja robe, iznosi 8000 dinara. 7. Ako je broj 7500 podeljen na pet brojeva koji stoje u odnosu 5 : 4 : 3 : 2 : 1, koji je tada najveći od ovih brojeva? Rešenje sa postupkom: Ovde je celina broj Celina je podeljena na pet delova. Delovi su u odnosu 5:4:3:2:1. Koristićemo koeficijent k kako bismo odredili koliko iznose ovi delovi. 5k 4k 3k 2k 1k 15k = 7500 k =

159 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti Ovim smo odredili koeficijent k. Sada samo zamenimo vrednost k da bismo dobili iznos svakog dela: 5k = = k = = k = = k = = k = = 500 U zadatku se tražio najveći broj. To je 2500, tako da je to naše konačno rešenje. 8. Posle poskupljenja od 25% cena neke robe je 625 dinara. Koliko je iznosila cena pre poskupljenja? Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x 100 Malo objašnjenje: Cena posle povećanja je 625. Znači od pune cene od 100%, dodato je 25% poskupljenja, tako da 625 dinara predstavlja 125% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno 100% cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. cena robe % x 100 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 625 = x = x = x = 500 din Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre poskupljenja robe, iznosi 500 dinara. 9. Posle sniženja od 10% cena neke robe je 1080 dinara. Koliko je iznosila cena pre sniženja? 38

160 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x 100 Malo objašnjenje: Cena posle sniženja je Znači od pune cene od 100%, oduzeto je 10% popusta, tako da 1080 dinara predstavlja 90% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno 100% cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. cena robe % x 100 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 1080 = x = x = x = 1200 din Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre sniženja robe, iznosi 1200 dinara. 10. Ako je cena proizvoda sa 72 dinara snižena za 25%, koliko cena iznosi sada? Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x 75 Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 72 dinara, odnosno početnih 100%. Od ove cene, oduzeto je 25% popusta. Tražimo novu cenu, odnosno 75% prvobitne cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. 39

161 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti cena robe % x 75 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 72 = x = x = 5400 x = 54 din Interpretacija: Nova cena robe, posle sniženja, iznosi 54 dinara. 11. Ako je cena proizvoda sa 200 dinara snižena za 35%, koliko cena iznosi sada? Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x 65 Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 200 dinara, odnosno početnih 100%. Od ove cene, oduzeto je 35% popusta. Tražimo novu cenu, odnosno 65% prvobitne cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. cena robe % x 65 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 200 = x = x = x = 130 din Interpretacija: Nova cena robe, posle sniženja, iznosi 130 dinara. 12. Ako je cena proizvoda sa 60 dinara uvećana na 135 dinara, za koliko se to procenata promenila? 40

162 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. cena robe % x Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 60 dinara, odnosno početnih 100%. Ova cena je poskupila na 135 dinara. Nepoznata x nam ovde predstavlja kolika je nova cena procenat od prvobitne cene. Određujemo vezu između ove dve promenljive cene robe i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. cena robe % x Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 100 = x = x = x = 225 % Interpretacija: Ova veličina predstavlja kolika je nova cena procenat od prvobitne cene, a ne promenu! Nova cena robe je 225% od prvobitne cene, a to znači povećanje cene od 125%, što je naše konačno rešenje. 13. Odrediti broj čiji 18% iznosi 0,324. Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. naš broj % 0, x 100 Malo objašnjenje: 18% našeg traženog broja iznosi 0,324. Zadatak nam je da utvrdimo koliko iznosi ovaj broj, odnosno 100% tog broja. 41

163 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti Određujemo vezu između ove dve promenljive broja i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. naš broj % 0, x 100 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 0,324 = x = 0, x = 32,4 x = 1, 8 Interpretacija: Naš traženi broj jeste broj 1, Odrediti broj čiji 14% iznosi 1,96. Rešenje sa postupkom: Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički razmišljate. X je ono što tražimo. naš broj % 1,96 14 x 100 Malo objašnjenje: 14% našeg traženog broja iznosi 1,96. Zadatak nam je da utvrdimo koliko iznosi ovaj broj, odnosno 100% tog broja. Određujemo vezu između ove dve promenljive broja i %. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru. naš broj % 1,96 14 x 100 Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju: x 1,96 = x = 1, x = 196 x = 14 Interpretacija: Naš traženi broj jeste broj

164 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/ Odrediti C, ukoliko je poznato da je B = 36 i da: A B C = Rešenje sa postupkom: Ovde imamo neku nepoznatu celinu. Celina je podeljena na tri dela A, B, C. Delovi su u odnosu Koristićemo koeficijent k kako bismo rešili zadatak. Naši delovi jesu: 3 4 A = 2k B = 1 3 k C = 13 4 k Dat nam je podatak u zadatku da je B = 36, te odatle možemo da odredimo koliko iznosi koeficijent k. B = 1 3 k 36 = 1 3 k k = 108 U zadatku nam se traži da odredimo koliko iznosi deo C. Zamenivši vrednost k, to možemo direktno izračunati: C = 13 4 k C = C = C = U obliku decimalnog broja zapisati 15% od broja 1 3. Rešenje sa postupkom: Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Dakle, ovo možemo zapisati i ovako: 15% 1 3 = Daljim postupkom, koji nam je već poznat iz prve lekcije Brojevni izrazi, rešavamo zadatak: = = =

165 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti Kviz 12: Proporcionalnost i procentni račun Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. U obliku decimalnog broja zapisati 14 % od vrednosti izraza: Odrediti C ako imamo date sledeće podatke: A B C = A + B + C = Ako je broj 5400 podeljen na tri dela koji stoje u sledećem odnosu, koliko iznosi najveći od tih brojeva? 4. Izračunati 34% od Izračunati 18% od

166 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: potreban i dovoljan uslov šta predstavljaju i kako u principu rešavamo zadatke takvog tipa. Uvod Verovatno najkraća lekcija koju ćete raditi za prvi kolokvijum jeste ova, a i svesni smo da ste verovatno umorni od brojnih lekcija koje smo već prešli. I dalje, ovo je veoma bitna lekcija, jer se zadaci ovakvog tipa vrlo često javljaju na kolokvijumu. Potrebno je da naučite šta je dovoljan i šta je potreban uslov (što mnogi nisu prešli u srednjoj školi) i kako rešavamo relativno jednostavne zadatke iz ove oblasti. Potrebno je i da uvek malo razmislite logički, tako da budite koncentrisani dok radite ovu oblast! Dovoljan i potreban uslov 1. Kažemo da je USLOV 1 dovoljan uslov za USLOV 2 ukoliko važi sledeće: USLOV 1 USLOV 2 je tačan iskaz Jednostavnije rečeno: Da li uslov 2 mora uvek da važi ukoliko važi uslov 1? Na primer, ukoliko je uslov 1: x > 2, a uslov 2: x 1, imamo da: x > 2 x 1 Ovo jeste tačan iskaz. Ukoliko razmislimo malo o tome: ako je x veće od 2, svakako sledi da x mora biti različito od 1 (jer je to manje od 2). Time, zaključujemo da x > 2 jeste dovoljan uslov za x Kažemo da je USLOV 1 potreban uslov za USLOV 2 ukoliko važi sledeće: USLOV 2 USLOV 1 je tačan iskaz Jednostavnije rečeno: Da li uslov 1 mora uvek da važi ukoliko važi uslov 2? Na primer, ukoliko je uslov 1: x > 2, a uslov 2: x 1, imamo da: x 1 x > 2 Ovo nije tačan iskaz. Ukoliko razmislimo malo o tome: ako je x različito od 1, da li to znači da x mora biti veće od 2? Naravno da ne. Time, zaključujemo da x > 2 nije potreban uslov za x

167 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije Primer zadatka sa kolokvijuma. Ako su x, y N onda je uslov x = 2y za uslov x 2 = 4y 2 : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Postupak: 1) Prvo, proverimo da li je x = 2y dovoljan uslov za x 2 = 4y 2. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi x = 2y x 2 = 4y 2. Treba da odgovorimo na pitanje da li važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti tako što ćemo zameniti prvi uslov u drugi: x 2 = 4y 2 (2y) 2 = 4y 2 4y 2 = 4y 2 Dobijamo tačan iskaz, tako da x = 2y jeste dovoljan uslov za x 2 = 4y 2. 2) Drugi korak je da proverimo da li je x = 2y potreban uslov za x 2 = 4y 2. Ovo činimo tako što ćemo proveriti da li važi x 2 = 4y 2 x = 2y. Treba da odgovorimo na pitanje da li važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti tako što ćemo korenovati drugi uslov: x 2 = 4y 2 / ±x = ±2y S obzirom da je dato da x, y N, zanemarićemo negativne brojeve i dobijamo izraz: x = 2y Ovo je upravo naš prvi uslov, tako da x = 2y jeste i potreban uslov za x 2 = 4y 2. BITNA NAPOMENA Kod ovakvih zadataka, bitno je da: 1) sredite uslove koliko god to možete 2) dobro znate šta predstavlja dovoljan a šta potreban uslov 3) obratite pažnju u kojem skupu su definisane promenljive x, y (ili druge). Rešenje se najčešće razlikuje ukoliko je tu skup prirodnih brojeva (x N), celih brojeva (x Z) ili drugi. SAVET Iz ove oblasti je najbitnije da razmišljate logički i da pređete što više zadataka, jer iako se svaki rešava po istom principu, svaki donosi i nešto novo u načinu razmišljanja. Stoga, obavezno pređite sve rešene kolokvijumske primere koji slede, kao i kviz za ovu lekciju. 46

168 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Rešeni kolokvijumski zadaci 1. Ako su x, y Z onda je uslov x < y + 1 za uslov x < y : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Rešenje sa postupkom: 1) Prvo, proverimo da li je x < y + 1 dovoljan uslov za x < y. Ovo činimo tako što proveravamo da li uvek važi x < y + 1 x < y. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? x i y su neki celi brojevi (mogu biti negativni i pozitivni, ali ne mogu biti razlomci, nerešivi koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi x < y + 1 x < y. Dovoljno je da nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije dovoljan uslov. Uzmimo na primer, x = 3 i y = 3. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze: x < y + 1 x < y 3 < < 3 3 < 4 3 < 3 Prvi uslov je tačan, a drugi nije tačan, jer tri nije manje od tri. Stoga, zaključujemo da x < y + 1 nije dovoljan uslov za x < y. 2) Drugi korak je da proverimo da li je x < y + 1 potreban uslov za x < y. Ovo činimo tako što ćemo proveriti da li važi x < y x < y + 1. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? x i y su neki celi brojevi (mogu biti negativni i pozitivni, ali ne mogu biti razlomci, nerešivi koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi x < y x < y + 1. Dovoljno je da nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije potreban uslov. Uzmimo na primer, x = 3 i y = 4. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze: x < y x < y < 4 3 < < 4 3 < 5 Dobili smo tačan iskaz. Ukoliko malo razmislimo, naš iskaz x < y x < y + 1 nam govori: Ako je neki broj manji od nekog drugog broja, taj broj će svakako biti manji od tog drugog broja uvećanog za

169 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije Ako pažljivo pročitate ovu rečenicu, shvatićete da je uvek tačna. Stoga, zaključujemo da x < y + 1 jeste potreban uslov za x < y. Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban. 2. Ako su x, y R onda je uslov xy > 1 za uslov x > 0 : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Rešenje sa postupkom: 1) Prvo, proverimo da li je xy > 1 dovoljan uslov za x > 0. Ovo činimo tako što proveravamo da li uvek važi xy > 1 x > 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? x i y su neki realni brojevi (mogu biti pozitivni i negativni, mogu biti i razlomci pa i nerešivi koreni ne mogu biti samo kompleksni brojevi). Sada proveravamo da li uvek važi xy > 1 x > 0. Dovoljno je da nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije dovoljan uslov. Sredimo prvo malo prvi uslov, da bi nam bilo lakše da uočimo pravilnost. xy > 1 y > 1 x Naše pitanje je sada ukoliko važi ovaj uslov, da li će x uvek biti pozitivno? Uzmemo primer nekog x koje nije pozitivno. Na primer: x = -3, a neka y = 3. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze: 3 > 1 3 Iskaz je tačan, a za x nismo uzeli da je pozitivan broj. Stoga, zaključujemo da xy > 1 nije dovoljan uslov za x > 0. 2) Drugi korak je da proverimo da li je xy > 1 potreban uslov za x > 0. Ovo činimo tako što ćemo proveriti da li važi x > 0 xy > 1. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? x i y su neki celi brojevi (mogu biti negativni i pozitivni, ali ne mogu biti razlomci, nerešivi koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi x > 0 xy > 1. Dovoljno je da nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije potreban uslov. 48

170 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Koristimo opet sređeni vid našeg uslova: xy > 1 y > 1 x Iskaz x > 0 y > 1 nam praktično govori: x Ukoliko je X pozitivan broj, da li Y mora biti veće od njegove recipročne vrednosti? Uzmimo na primer, x = 3 i y = 4. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze: y > 1 x 4 > 1 3 Dobili smo tačan iskaz. Međutim, budimo oprezni. Možemo uzeti bilo koju vrednost Y iz skupa realnih brojeva. Umesto ovoga, uzmimo na primer x = 3 i y = -4. y > 1 x 4 > 1 3 Dobili smo netačan iskaz. Stoga, zaključujemo da xy > 1 nije potreban uslov za x > 0. Dakle, konačni odgovor je d) ni potreban ni dovoljan. 3. Uslov x = 3 je za uslov x 2 4x + 3 = 0 : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Rešenje sa postupkom: 1) Prvo, proverimo da li je x = 3 dovoljan uslov za x 2 4x + 3 = 0. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi x = 3 x 2 4x + 3 = 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti nakon što sredimo drugi uslov, gde imamo kvadratnu jednačinu. x 2 4x + 3 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1,2 = 4 ± ( 4) x 1,2 = 4 ± 4 2 x 1,2 = 4 ±

171 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije x 1 = 3 x 2 = 1 Drugim rečima, rešenje naše kvadratne jednačine je x = 3 ILI x = 1. Zašto nam je ovo bitno? Pogledajmo sada naš iskaz: x = 3 x = 3 ili x = 1 Iskaz nam praktično govori: Ako je x = 3, da li je tačno da je x = 3 ILI x = 1? Svakako je tačno. Ovo možemo da proverimo i putem osnovnih operacija u logici. Pretpostavljamo da je x = 3 tačno, što svakako znači da x nije 1, odnosno x = 1 je netačno. Da li će drugi iskaz biti tačan? x = 3 x = 3 ili x = 1 Tačno Tačno ili Netačno Tačno Tačno Tačno Tačno ILI netačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi tačno (operacija implikacije) u logici daje tačan iskaz. Naša tvrdnja jeste tačna. Stoga, zaključujemo da x = 3 jeste dovoljan uslov za x 2 4x + 3 = 0. 2) Drugi korak je da proverimo da li je x = 3 potreban uslov za x 2 4x + 3 = 0. Ovo činimo tako što ćemo proveriti da li važi x 2 4x + 3 = 0 x = 3. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? Već smo utvrdili da drugi iskaz možemo da zapišemo ovako: x = 3 ili x = 1 Znači, sad se pitamo da li je ovo uvek tačna tvrdnja: x = 3 ili x = 1 x = 3 Tvrdnja nam praktično govori: Ukoliko je x = 3 ili je x = 1, da li x mora biti baš x = 3? Logika nam naravno govori da ne mora. Ako je x = 1, svakako neće biti tačno da je x = 3. To možemo proveriti i putem operacija u logici: x = 3 ili x = 1 x = 3 Netačno ili Tačno Netačno Tačno Netačno Netačno 50

172 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Netačno ILI tačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi netačno (operacija implikacije) u logici daje netačan iskaz. Naša tvrdnja nije tačna. Stoga, zaključujemo da x = 3 nije potreban uslov za x 2 4x + 3 = 0. Dakle, konačni odgovor je a) samo dovoljan 4. Uslov x 2 > 0 je za uslov x > 0 : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Rešenje sa postupkom: 1) Prvo, proverimo da li je x 2 > 0 dovoljan uslov za x > 0. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi x 2 > 0 x > 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Ovo je relativno lak zadatak. Prvi uslov će biti zadovoljen ako uzmemo pozitivan broj za x, ali biće zadovoljen i ako uzmemo negativan broj. Kada kvadriramo negativan broj, dobijamo i dalje pozitivno rešenje. Stoga, ako važi prvi uslov, ne mora da važi i drugi uslov. Time, zaključujemo da x 2 > 0 nije dovoljan uslov za x > 0. 2) Drugi korak je da proverimo da li je x 2 > 0 potreban uslov za x > 0. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi x > 0 x 2 > 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? Ako je x pozitivno, svakako će biti pozitivan i kvadrat pozitivnog broja. Kada kvadriramo neki pozitivan broj, dobijamo uvek pozitivno rešenje. Stoga, ako važi prvi uslov, uvek mora da važi i drugi uslov. Time, zaključujemo da x 2 > 0 jeste potreban uslov za x > 0. Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban 5. Uslov x = 2 je za uslov x 2 = 4 : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Rešenje sa postupkom: 1) Prvo, proverimo da li je x = 2 dovoljan uslov za x 2 = 4. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi x = 2 x 2 = 4. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti nakon što sredimo drugi uslov, gde imamo kvadratnu jednačinu. 51

173 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije x 2 = 4 x 2 4 = 0 (x 2)(x + 2) = 0 Drugim rečima, rešenje naše kvadratne jednačine je x = 2 ILI x = 2. Zašto nam je ovo bitno? Pogledajmo sada naš iskaz: x = 2 x = 2 ili x = 2 Iskaz nam praktično govori: Ako je x = 2, da li je tačno da je x = 2 ILI x = 2? Svakako je tačno. Ovo možemo da proverimo i putem osnovnih operacija u logici. Pretpostavljamo da je x = 2 tačno, što svakako znači da x nije -2, odnosno x = 2 je netačno. Da li će drugi iskaz biti tačan? x = 2 x = 2 ili x = 2 Tačno Tačno ili Netačno Tačno Tačno Tačno Tačno ILI netačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi tačno (operacija implikacije) u logici daje tačan iskaz. Naša tvrdnja jeste tačna. Stoga, zaključujemo da x = 2 jeste dovoljan uslov za x 2 = 4. 2) Drugi korak je da proverimo da li je x = 2 potreban uslov za x 2 = 4. Ovo činimo tako što ćemo proveriti da li važi x 2 = 4 x = 2. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? Već smo utvrdili da drugi iskaz možemo da zapišemo ovako: x = 2 ili x = 2 Znači, sad se pitamo da li je ovo uvek tačna tvrdnja: x = 2 ili x = 2 x = 2 Tvrdnja nam praktično govori: Ukoliko je x = 2 ili je x = 2, da li x mora biti baš x = 2? Logika nam naravno govori da ne mora. Ako je x = 2, svakako neće biti tačno da je x = 2. To možemo proveriti i putem operacija u logici: 52

174 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 x = 2 ili x = 2 x = 2 Netačno ili Tačno Netačno Tačno Netačno Netačno Netačno ILI tačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi netačno (operacija implikacije) u logici daje netačan iskaz. Naša tvrdnja nije tačna. Stoga, zaključujemo da x = 2 nije potreban uslov za x 2 = 4. Dakle, konačni odgovor je a) samo dovoljan 6. Ako su A i B proizvoljni skupovi, onda je uslov x A B je za uslov x A : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Rešenje sa postupkom: 1) Prvo, proverimo da li je x A B dovoljan uslov za x A. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi x A B x A. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti nakon što detaljnije pogledamo prvi uslov x A B. Presek znači da x pripada i skupu A i skupu B. Da li to znači da x mora pripadati skupu A? Svakako važi. Ovo možemo lakše uočiti i preko Venovog dijagrama svaki element iz osenčenog dela mora pripadati skupu A: Stoga, zaključujemo da x A B jeste dovoljan uslov za x A. 2) Drugi korak je da proverimo da li je x A B potreban uslov za x A. Ovo činimo tako što ćemo proveriti da li važi x A x A B Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? 53

175 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije Ovo ćemo proveriti nakon što detaljnije pogledamo uslov x A B. Presek znači da x pripada i skupu A i skupu B. Ako x pripada skupu A, da li to znači da će zasigurno pripadati i preseku? Svakako ne važi. Ovo možemo lakše uočiti i preko Venovog dijagrama x jednostavno može da bude u delu skupa A koji nije uključen u presek. Stoga, zaključujemo da x A B nije potreban uslov za x A Dakle, konačni odgovor je a) samo dovoljan 7. Ako su p i q proizvoljni iskazi, onda uslov p q je za uslov q : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan Rešenje sa postupkom: 1) Prvo, proverimo da li je p q dovoljan uslov za q. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi ( p q) q. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Kada u zadacima imamo iskaze i operacije sa iskazima kao ovde, najbolje je da do zaključka dođemo čistom primenom operacija u logici. Prvi iskaz nije tačan samo ukoliko je p tačno i q netačno (jer tačno sledi netačno daje netačno, kao operacija implikacije u logici). Uzmimo slučaj da je p tačno i q tačno. Onda imamo: ( p q) q ( Tačno Tačno) Tačno Tačno Tačno Tačno Uzmimo slučaj da je p netačno i q tačno. Onda imamo: ( p q) q 54

176 Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 ( Netačno Tačno) Tačno Tačno Tačno Tačno Uzmimo slučaj da je p netačno i q netačno. Onda imamo: ( p q) q ( Netačno Netačno) Netačno Tačno Netačno Netačno Ups, u poslednjem slučaju smo dobili da tvrdnja ne važi. Prvi uslov je zadovoljen, a ukupna tvrdnja nije. Stoga, zaključujemo da ( p q) nije dovoljan uslov za q. 2) Sada proverimo da li je p q potreban uslov za q. Ovo činimo tako što proveravamo da li važi q ( p q). Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Kada u zadacima imamo iskaze i operacije sa iskazima kao ovde, najbolje je da do zaključka dođemo čistom primenom operacija u logici. Uzimamo samo slučajeve kada je q tačno. Znači: Uzmimo slučaj da je p tačno i q tačno. Onda imamo: q ( p q) Tačno ( Tačno Tačno) Tačno Tačno Tačno Uzmimo slučaj da je p netačno i q tačno. Onda imamo: q ( p q) Tačno ( Netačno Tačno) Tačno Tačno Tačno Odlično, u oba slučaja smo dobili da tvrdnja važi. Prvi uslov je zadovoljen, a i ukupna tvrdnja je, u oba slučaja. Stoga, zaključujemo da ( p q) jeste potreban uslov za q. Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban 55

177 SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije Kviz 13: Logika, skupovi i relacije Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije. Zatim, pošaljite nam rešenja na Za svako tačno rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe, kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka. Detaljnije na: 1. Ako su A i B proizvoljni skupovi, onda je uslov x A B je za uslov x A B : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan 2. Ako su p i q proizvoljni iskazi, onda uslov p q je za uslov p : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan 3. Ako su p i q proizvoljni iskazi, onda uslov p q je za uslov p : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan 4. Ako su x, y R, onda je uslov x = 2y za uslov 3 4x = 8y + 3: a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan 5. Ako su A i B proizvoljni skupovi, onda je uslov x A B je za uslov x A B : a) samo dovoljan b) samo potreban c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan 56

178 SREĆNO NA KOLOKVIJUMU! POKIDAJTE! Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd /fotokopirnicaminerva /fotokokopirnicaminerva fotokopirnicaminerva.weebly.com