IV 3 Prostor mtric dtog tip nd poljem Nek je dto polje (F, +, ) i nek su m, n N Prvougon šem mn sklr iz polj F, koj se sstoji od m vrst i n kolon zpisn ko A = 211 22 2n ili A = 21 22 2n m1 m2 mn m1 m2 mn ili A = 21 22 2n m1 m2 mn nziv se mtric tip m n Pri tome su sklri ij, i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n}, elementi mtrice; i1, i2,, in elementi i-te vrste; 1j, 2j,, mj elementi j-te kolone Mtric tip m n može se strože definisti n sledeći nčine: Definicij Nek je D = {1, 2,, m} {1, 2,, n} i nek su ij F, i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n} Mtric nd poljem F tip m n je funkcij D F definisn s (i, j) ij Mtric A se krće oznčv i s A = [ ij ] m,n ili A = ( ij ) m,n ili A = ij m,n Definicij Mtric je kvdrtn mtric red n ko je broj vrst jednk broju kolon, tj ko je tip n n Mtric A koj im smo jednu vrstu A = [ 1 1 n ] nziv se mtric-vrst Mtric A koj im smo jednu kolonu B = b 1 b 2 1 b m
2 nziv se mtric-kolon Definicij Mtric čiji su svi elementi nule, zove se nul-mtric i oznčv se s 0 pri čemu je tip proizvoljn Skup svih mtric tip m n oznčv se s M m n Definicij Dve mtrice A i B iz skup M m n, tj dve mtrice istog tip, su jednke ko su im odgovrjući elementi jednki, tj ij = b ij z sve i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n} Definicij Nek je A M m n Trnsponovn mtric mtrice A je mtric A M n m koj se dobij kd u mtrici A vrste i kolone zmene mest Definicij Mtric A je simetričn mtric ko je A = A Sledi definicij sbirnj dve mtrice i množenj mtrice sklrom Definicij Nek su A, B M m n i to A = [ ij ] m n i B = [ b ij ] m n, i λ F Zbir mtric A i B je mtric A + B M m n s A + B = [ ij + b ij ] m n Proizvod sklr λ i mtrice A je mtric λa M m n odredjen s λa = [ λ ij ] m n Definicij Mtric A definisn s A = ( 1)A, gde je 1 F, je suprotn mtric mtrice A Nvedimo osnovne osobine uprvo definisne opercije i funkcije n skupu M m n Teorem Nek su A, B, C M m n i λ, µ F Td vže: 1 (A + B) + C = A + (B + C); 2 A + B = B + A; 3 A + 0 = 0 + A; 4 A + ( A) = 0; 5 λ(µa) = (λµ)a; 6 (λ + µ)a = λa + µa; 7 λ(a + B) = λa + λb); 8 1 A = A N osnovu ove teoreme neposredno sledi vžn Posledic Skup mtric M m n nd poljem F ((M m n, +,, F )) čini vektorski prostor nd poljem F u odnosu n sbirnje mtric i množenje sklr i mtrice
Npomen Nek je (F, +, ) dto polje i nek su x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m neki elementi polj F Ako su dti brojevi ij F, gde su i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n}, td se skup sledećih jednkosti y 1 = 11 x 1 + 12 x 2 + 1n x n y 2 = 21 x 1 + 22 x 2 + 2n x n y m = m1 x 1 + m2 x 2 + mn x n nziv linern trnsformcij Prethodne jednkosti mogu se krće zpisti y i = n ij x j, j=1 gde je i {1, 2,, m} Koeficijenti trnsformcije, brojevi ij, su istorvremeno elementi mtrice A = 211 22 2n m1 m2 mn N tj nčin postoji bijekcij (uzjmno jednoznčno preslikvnje) izmedju skup linernih trnsformcij i skup mtric nd dtim poljem Proizvod mtric Proizvod dve mtrice je definisn smo ko je broj kolon prve mtrice jednk broju vrst druge mtrice Definicij Nek su A M m n i B M n p Proizvod mtric redom A i B je mtric C = AB M m p odredjen s AB = [ c ij ] m p = [ i1 b 1j + i2 b 2j + + ip b pj ] m p Z proizvod mtric A i B tim redom vži: AB BA, tj z množenje mtric ne vži komuttivni zkon, št više može se desiti d proizvod BA uopšte ne postoji; proizvod AB može biti nul-mtric i kd su obe mtrice rzličite od nulmtrice Teorem Z proizvod mtric vže: 1 (AB)C = A(BC); 2 A(B + C) = AB + AC i (B + C)A = BA + CA; 3 λ(ab) = (λa)b = A(λB) z λ F ; 3
4 pod uslovom d nvedeni proizvodi postoje Kvdrtne mtrice Oznčimo s M n n svih kvdrtnih mtric red n, (tj mtric kod kojih je broj vrst jednk broju kolon) Z mtricu (2) A = kže se d je kvdrtn mtric red n 21 22 2n n1 n2 nn Nvedimo neke vrste kvdrtne mtrice () gornj (donj) trougon mtric red n je kvdrtn mtric red n z koju je ij = 0 z i > j (z i < j); (b) dijgonln mtric red n je kvdrtn mtric red n u kojoj postoji br jedn element n glvnoj dijgonli koji je rzličit od nule, dok su svi elementi vn glvne dijgonle jednki nuli; (c) jediničn mtric red n oznci I (ili E) je dijgonln mtric čiji su svi elementi n glvnoj dijgonli jednki jedinici; (d) ortogonln mtric je kvdrtn mtric A z koju vži AA = I Lem Z mtrice A, I M n n vži AI = IA = A Teorem (M n n, +, ), tj skup M n n svih kvdrtnih mtric red n s opercijm sbirnj i množenj mtric, je prsten s jedinicom Definicij nek je A, I M n n i nek je n N 0 Td je { A n 1 A n A, n 1 = I, n = 0 Mtric A n je n-stepen mtrice A Teorem Z A, I M n n i m, n N 0 vže: 1 A m A n = A m+n ; 2 (A m ) n = A mn ; 3 I n = I Npomen Ko posledicu prethodne teoreme i definicije možemo dti pojm mtričnog polinom Nime, ko je dt lgebrski polinom P (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0,
td mu se može pridružiti mtrični polinom po kvdrtnoj mtrici A dtog red P (A) = n A n + n 1 A n 1 + + 1 A + 0 I 5 31 Determinnte Pre definisnj determinnte n-tog red neophodno je se s nekim pojmovim veznim z permutcije 311 Permutcije skup {1,2,,n} Nek je dt skup S = {1, 2,, n} Elementi skup S mogu biti poredjni n više nčin Imjući u vidu d je (S, ) totlno ili linerno uredjen skup, kžemo još d skup S može biti prikzn rzličitim linernim rsporedom nj]egovoh element Bilo kkv linern poredk element skup S zove se permutcij p ovih element i može biti zpisn ko p = (p 1, p 2,, p n ) Skup svih permutcij skup S oznčvmo s S n Prirodni poredk prvih n prirodnih brojev čini osnovnu permutciju oznčenu s p 1 Ukupn broj permutcij, tj broj element skup S n je n!, tj S n = n! Npomen Često se u literturi permutcij p skup S definiše ko bijekcij) ( 1-1 funkcij) skup S u smog sebe U skldu s tkvom definicijom permutcij p se može npisti i ko p = ( 1 2 n p 1 p 2 p n Ako dv element permutcije, n primer p i i p j, promene mest dobij se nov permutcij, sm postupk se nziv trnspozicij Ako su p i i p j bilo koj dv elemnt permutcije p, immo ) p = (1, 2,, p i,, p j,, n) i vži d je p i > p j td kžemo d p i i p j obrzuju jednu inverziju u permutciji p Oznčimo s inv(p) broj svih inverzij u permutciji p Td permutcij p je () prn ko je inv(p) prn broj (tj svi njeni elementi čine prn broj inverzij); (b) neprn ko je inv(p) neprn broj
6 Teorem Trnspozicij menj prnost permutcije 312 Determinnt kvdrtne mtrice Nek je M n n skup svih kvdrtnih mtric red n nd dtim poljem F, tj skup svih mtric (2) A = 21 22 2n n1 n2 nn U ovom poglvlju definišemo jednu funkciju skup mtric red n u polje nd kojim su dte, koj im vžnu ulogu u teoriji sistem linernih jednčin Definicij Nek je M n n skup svih kvdrtnih mtric red n nd poljem F Determinnt red n u oznci det je funkcij det : M n n F, definisn s det A = det [ ij ] n n = p S n ( 1) inv(p) 1p1 2p2 npn, gde je S n skup svih permutcij skup {1, 2,, n} p = (p 1, p 2,, p n ) proizvoljn njegov element Determinntu kvdrtne mtrice A dte s (2) oznčvmo i s (3) det A = det [ ij ] n n = A = D n = n = 21 22 2n n1 n2 nn Jednostvnije rečeno determinnt mtrice A je broj koji se dobij ko zbir čiji su sbirci svi proizvodi (s pozitivnim ili negtivnim znkom) formirni od element mtrice A li tko d svki od njih sdrži jedn i smo jedn element iz svke vrste i svke kolone mtrice A
Osnovn svojstv determinntnt Nvedimo njpre svojstv koj se odnose n promenu mest vrstm i kolonm Teorem Ako dve vrste (ili kolone) determinnte medjusobno promene mest, td determinnt menj znk Shodno definiciji dtoj n početku ovog del ko u dtoj kvdrtnoj mtrici A vrste i kolone zmene mest td se dobij mtric A trnsponovn dtoj Teorem det A = det A, tj vrednost determinnte se ne menj trnsponovnjem Prethodn teorem dje dozvolu d se u svkoj teoremi koj se odnosi n vrste reč vrst može zmeniti rečju kolon, tj d sve ono što u formulciji teoreme vži z vrste vži i z kolone Slede svojstv vezn z jednkost dve vrste, z množenje vrste brojem, sbirnje vrst i sl Teorem Ako su dve vrste u determinnti jednke, td je vrednost determinnte nul Teorem Determinnt se množi brojem tko što se svi elementi jedne proizvoljne vrste pomnože tim brojem Neposredn posledice ove teoreme su: Posledic 1 Ako su svi elementi jedne vrste proporcionlni, ond se fktor proporcionlnosti može npisti ispred determinnte Posledic 2 Ako su svi elementi jedne vrste u determinnti jednki nuli, ond je determinnt jednk nuli Posledic 3 Ako su odgovrjući elementi dve vrste u determinnti proporcionlni, td je vrednost determinnte jednk nuli Teorem Ako je svki element i-te vrste dte determinnte zbir dv sbirk td je dt determinnt zbir dve determinnte istog red, pri čemu su elementi i-te vrste u jednoj determinnti prvi sbirci, elementi i-te vrste u drugoj determinnti drugi sbirci Elementi ostlih vrst u determinntm-sbircim jednki su odgovrjućim elementim u dtoj determinnti Sledi teorem koj dje uslove pod kojim vrednost determinsnte ostje nepromenjen Teoreme Determinnt se ne menj ko se m kojoj vrsti dod drug vrst pomnožen proizvoljnim brojem Uzstopnom primenom prethodne teoreme dolzi se do sledeće Posledeic Determinnt se ne menj ko se jednoj vrsti dod linern kombincij drugih vrst determinnte Teorem Ako je jedn vrst determinnte linern kombincij drugih vrst, ond je determinnt jednk nuli Svojstv izložen u prethodnim teoremm i njihovim posledicm često se koriste u postupku izrčunvnj determinnti Npomen D još jednom istknemo i dodtno opišemo pojmove koji su se jvili u prethodnom tekstu, koji će se tkodje jvljti i ndlje: 7
8 () množenje determinnte brojem je množenje svih element neke vrste tim brojem; (b) linern kombincij vrst determinte znči pomnožiti te vrste proizvoljnim brojevim ztim ih sbrti; (c) sbrti dve vrste determinnte znči znči sbrti odgovrjuće elemente tih vrst; (d) dodti i-tu vrstu k-toj vrsti znči zmeniti elemente k-te vrste zbirovim odgovrjućih element i-te i k-te vrste