IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Слични документи
Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Microsoft Word - MATRICE.doc

Microsoft Word - 26ms281

1. Realni brojevi

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Microsoft Word - VALJAK.doc

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Microsoft Word - Analiticka - formule.doc

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Slide 1

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

1

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzitet u Nišu MASTER RAD Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne jednačine Mentor: Prof.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

Microsoft Word - 16ms321

Microsoft Word - FINALNO.doc

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

ISPIT_02_X_2014_R

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

untitled

Ravno kretanje krutog tela

trougao.dvi

Zad.RGS.2012za sajt [Compatibility Mode]

Konacne grupe, dizajni i kodovi

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Microsoft Word - 26ms441

Одлука о изменама и допуни Одлуке о општим правилима за извршавање инстант трансфера одобрења 1. У Одлуци о општим правилима за извршавање инстант тра

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Skripte2013

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Microsoft Word - 15ms261

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

PLB146 Manual

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Title

PowerPoint Presentation

Veeeeeliki brojevi

RMT

Analiticka geometrija

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1

Teorija igara

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Algebarski izrazi (4. dio)

Microsoft Word - IZVODI _3. deo_.doc

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

Osnovni pojmovi teorije verovatnoce

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada:

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

ALGEBRA I (2010/11)

Analiticka geometrija

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

07_JS aktuatori.rev8_lr_bn [Compatibility Mode]

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Osijek, 2013

LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Popravni ispit 7. rujna (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori

DISKRETNA MATEMATIKA

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Vilić Unitarni operatori Završni rad Osije

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

Транскрипт:

IV 3 Prostor mtric dtog tip nd poljem Nek je dto polje (F, +, ) i nek su m, n N Prvougon šem mn sklr iz polj F, koj se sstoji od m vrst i n kolon zpisn ko A = 211 22 2n ili A = 21 22 2n m1 m2 mn m1 m2 mn ili A = 21 22 2n m1 m2 mn nziv se mtric tip m n Pri tome su sklri ij, i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n}, elementi mtrice; i1, i2,, in elementi i-te vrste; 1j, 2j,, mj elementi j-te kolone Mtric tip m n može se strože definisti n sledeći nčine: Definicij Nek je D = {1, 2,, m} {1, 2,, n} i nek su ij F, i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n} Mtric nd poljem F tip m n je funkcij D F definisn s (i, j) ij Mtric A se krće oznčv i s A = [ ij ] m,n ili A = ( ij ) m,n ili A = ij m,n Definicij Mtric je kvdrtn mtric red n ko je broj vrst jednk broju kolon, tj ko je tip n n Mtric A koj im smo jednu vrstu A = [ 1 1 n ] nziv se mtric-vrst Mtric A koj im smo jednu kolonu B = b 1 b 2 1 b m

2 nziv se mtric-kolon Definicij Mtric čiji su svi elementi nule, zove se nul-mtric i oznčv se s 0 pri čemu je tip proizvoljn Skup svih mtric tip m n oznčv se s M m n Definicij Dve mtrice A i B iz skup M m n, tj dve mtrice istog tip, su jednke ko su im odgovrjući elementi jednki, tj ij = b ij z sve i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n} Definicij Nek je A M m n Trnsponovn mtric mtrice A je mtric A M n m koj se dobij kd u mtrici A vrste i kolone zmene mest Definicij Mtric A je simetričn mtric ko je A = A Sledi definicij sbirnj dve mtrice i množenj mtrice sklrom Definicij Nek su A, B M m n i to A = [ ij ] m n i B = [ b ij ] m n, i λ F Zbir mtric A i B je mtric A + B M m n s A + B = [ ij + b ij ] m n Proizvod sklr λ i mtrice A je mtric λa M m n odredjen s λa = [ λ ij ] m n Definicij Mtric A definisn s A = ( 1)A, gde je 1 F, je suprotn mtric mtrice A Nvedimo osnovne osobine uprvo definisne opercije i funkcije n skupu M m n Teorem Nek su A, B, C M m n i λ, µ F Td vže: 1 (A + B) + C = A + (B + C); 2 A + B = B + A; 3 A + 0 = 0 + A; 4 A + ( A) = 0; 5 λ(µa) = (λµ)a; 6 (λ + µ)a = λa + µa; 7 λ(a + B) = λa + λb); 8 1 A = A N osnovu ove teoreme neposredno sledi vžn Posledic Skup mtric M m n nd poljem F ((M m n, +,, F )) čini vektorski prostor nd poljem F u odnosu n sbirnje mtric i množenje sklr i mtrice

Npomen Nek je (F, +, ) dto polje i nek su x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m neki elementi polj F Ako su dti brojevi ij F, gde su i {1, 2,, m} i j {1, 2,, n}, td se skup sledećih jednkosti y 1 = 11 x 1 + 12 x 2 + 1n x n y 2 = 21 x 1 + 22 x 2 + 2n x n y m = m1 x 1 + m2 x 2 + mn x n nziv linern trnsformcij Prethodne jednkosti mogu se krće zpisti y i = n ij x j, j=1 gde je i {1, 2,, m} Koeficijenti trnsformcije, brojevi ij, su istorvremeno elementi mtrice A = 211 22 2n m1 m2 mn N tj nčin postoji bijekcij (uzjmno jednoznčno preslikvnje) izmedju skup linernih trnsformcij i skup mtric nd dtim poljem Proizvod mtric Proizvod dve mtrice je definisn smo ko je broj kolon prve mtrice jednk broju vrst druge mtrice Definicij Nek su A M m n i B M n p Proizvod mtric redom A i B je mtric C = AB M m p odredjen s AB = [ c ij ] m p = [ i1 b 1j + i2 b 2j + + ip b pj ] m p Z proizvod mtric A i B tim redom vži: AB BA, tj z množenje mtric ne vži komuttivni zkon, št više može se desiti d proizvod BA uopšte ne postoji; proizvod AB može biti nul-mtric i kd su obe mtrice rzličite od nulmtrice Teorem Z proizvod mtric vže: 1 (AB)C = A(BC); 2 A(B + C) = AB + AC i (B + C)A = BA + CA; 3 λ(ab) = (λa)b = A(λB) z λ F ; 3

4 pod uslovom d nvedeni proizvodi postoje Kvdrtne mtrice Oznčimo s M n n svih kvdrtnih mtric red n, (tj mtric kod kojih je broj vrst jednk broju kolon) Z mtricu (2) A = kže se d je kvdrtn mtric red n 21 22 2n n1 n2 nn Nvedimo neke vrste kvdrtne mtrice () gornj (donj) trougon mtric red n je kvdrtn mtric red n z koju je ij = 0 z i > j (z i < j); (b) dijgonln mtric red n je kvdrtn mtric red n u kojoj postoji br jedn element n glvnoj dijgonli koji je rzličit od nule, dok su svi elementi vn glvne dijgonle jednki nuli; (c) jediničn mtric red n oznci I (ili E) je dijgonln mtric čiji su svi elementi n glvnoj dijgonli jednki jedinici; (d) ortogonln mtric je kvdrtn mtric A z koju vži AA = I Lem Z mtrice A, I M n n vži AI = IA = A Teorem (M n n, +, ), tj skup M n n svih kvdrtnih mtric red n s opercijm sbirnj i množenj mtric, je prsten s jedinicom Definicij nek je A, I M n n i nek je n N 0 Td je { A n 1 A n A, n 1 = I, n = 0 Mtric A n je n-stepen mtrice A Teorem Z A, I M n n i m, n N 0 vže: 1 A m A n = A m+n ; 2 (A m ) n = A mn ; 3 I n = I Npomen Ko posledicu prethodne teoreme i definicije možemo dti pojm mtričnog polinom Nime, ko je dt lgebrski polinom P (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0,

td mu se može pridružiti mtrični polinom po kvdrtnoj mtrici A dtog red P (A) = n A n + n 1 A n 1 + + 1 A + 0 I 5 31 Determinnte Pre definisnj determinnte n-tog red neophodno je se s nekim pojmovim veznim z permutcije 311 Permutcije skup {1,2,,n} Nek je dt skup S = {1, 2,, n} Elementi skup S mogu biti poredjni n više nčin Imjući u vidu d je (S, ) totlno ili linerno uredjen skup, kžemo još d skup S može biti prikzn rzličitim linernim rsporedom nj]egovoh element Bilo kkv linern poredk element skup S zove se permutcij p ovih element i može biti zpisn ko p = (p 1, p 2,, p n ) Skup svih permutcij skup S oznčvmo s S n Prirodni poredk prvih n prirodnih brojev čini osnovnu permutciju oznčenu s p 1 Ukupn broj permutcij, tj broj element skup S n je n!, tj S n = n! Npomen Često se u literturi permutcij p skup S definiše ko bijekcij) ( 1-1 funkcij) skup S u smog sebe U skldu s tkvom definicijom permutcij p se može npisti i ko p = ( 1 2 n p 1 p 2 p n Ako dv element permutcije, n primer p i i p j, promene mest dobij se nov permutcij, sm postupk se nziv trnspozicij Ako su p i i p j bilo koj dv elemnt permutcije p, immo ) p = (1, 2,, p i,, p j,, n) i vži d je p i > p j td kžemo d p i i p j obrzuju jednu inverziju u permutciji p Oznčimo s inv(p) broj svih inverzij u permutciji p Td permutcij p je () prn ko je inv(p) prn broj (tj svi njeni elementi čine prn broj inverzij); (b) neprn ko je inv(p) neprn broj

6 Teorem Trnspozicij menj prnost permutcije 312 Determinnt kvdrtne mtrice Nek je M n n skup svih kvdrtnih mtric red n nd dtim poljem F, tj skup svih mtric (2) A = 21 22 2n n1 n2 nn U ovom poglvlju definišemo jednu funkciju skup mtric red n u polje nd kojim su dte, koj im vžnu ulogu u teoriji sistem linernih jednčin Definicij Nek je M n n skup svih kvdrtnih mtric red n nd poljem F Determinnt red n u oznci det je funkcij det : M n n F, definisn s det A = det [ ij ] n n = p S n ( 1) inv(p) 1p1 2p2 npn, gde je S n skup svih permutcij skup {1, 2,, n} p = (p 1, p 2,, p n ) proizvoljn njegov element Determinntu kvdrtne mtrice A dte s (2) oznčvmo i s (3) det A = det [ ij ] n n = A = D n = n = 21 22 2n n1 n2 nn Jednostvnije rečeno determinnt mtrice A je broj koji se dobij ko zbir čiji su sbirci svi proizvodi (s pozitivnim ili negtivnim znkom) formirni od element mtrice A li tko d svki od njih sdrži jedn i smo jedn element iz svke vrste i svke kolone mtrice A

Osnovn svojstv determinntnt Nvedimo njpre svojstv koj se odnose n promenu mest vrstm i kolonm Teorem Ako dve vrste (ili kolone) determinnte medjusobno promene mest, td determinnt menj znk Shodno definiciji dtoj n početku ovog del ko u dtoj kvdrtnoj mtrici A vrste i kolone zmene mest td se dobij mtric A trnsponovn dtoj Teorem det A = det A, tj vrednost determinnte se ne menj trnsponovnjem Prethodn teorem dje dozvolu d se u svkoj teoremi koj se odnosi n vrste reč vrst može zmeniti rečju kolon, tj d sve ono što u formulciji teoreme vži z vrste vži i z kolone Slede svojstv vezn z jednkost dve vrste, z množenje vrste brojem, sbirnje vrst i sl Teorem Ako su dve vrste u determinnti jednke, td je vrednost determinnte nul Teorem Determinnt se množi brojem tko što se svi elementi jedne proizvoljne vrste pomnože tim brojem Neposredn posledice ove teoreme su: Posledic 1 Ako su svi elementi jedne vrste proporcionlni, ond se fktor proporcionlnosti može npisti ispred determinnte Posledic 2 Ako su svi elementi jedne vrste u determinnti jednki nuli, ond je determinnt jednk nuli Posledic 3 Ako su odgovrjući elementi dve vrste u determinnti proporcionlni, td je vrednost determinnte jednk nuli Teorem Ako je svki element i-te vrste dte determinnte zbir dv sbirk td je dt determinnt zbir dve determinnte istog red, pri čemu su elementi i-te vrste u jednoj determinnti prvi sbirci, elementi i-te vrste u drugoj determinnti drugi sbirci Elementi ostlih vrst u determinntm-sbircim jednki su odgovrjućim elementim u dtoj determinnti Sledi teorem koj dje uslove pod kojim vrednost determinsnte ostje nepromenjen Teoreme Determinnt se ne menj ko se m kojoj vrsti dod drug vrst pomnožen proizvoljnim brojem Uzstopnom primenom prethodne teoreme dolzi se do sledeće Posledeic Determinnt se ne menj ko se jednoj vrsti dod linern kombincij drugih vrst determinnte Teorem Ako je jedn vrst determinnte linern kombincij drugih vrst, ond je determinnt jednk nuli Svojstv izložen u prethodnim teoremm i njihovim posledicm često se koriste u postupku izrčunvnj determinnti Npomen D još jednom istknemo i dodtno opišemo pojmove koji su se jvili u prethodnom tekstu, koji će se tkodje jvljti i ndlje: 7

8 () množenje determinnte brojem je množenje svih element neke vrste tim brojem; (b) linern kombincij vrst determinte znči pomnožiti te vrste proizvoljnim brojevim ztim ih sbrti; (c) sbrti dve vrste determinnte znči znči sbrti odgovrjuće elemente tih vrst; (d) dodti i-tu vrstu k-toj vrsti znči zmeniti elemente k-te vrste zbirovim odgovrjućih element i-te i k-te vrste