Osnovni pojmovi teorije verovatnoce
|
|
|
- Дубравка Марковић
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13
2 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
3 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
4 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
5 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
6 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
7 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
8 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
9 Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13
10 Statistički eksperiment Primeri: Bacanje novčića, bacanje kocke, bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Može se ponavljati neograničen broj puta Unapred je definisano šta se registruje u eksperimentu i poznati su svi mogući ISHODI - elementarni dogad aji U svakom eksperimentu realizuje se JEDAN I SAMO JEDAN ishod. Ishod pojedinačnog eksperimenta ne može se predvideti. Pažnja: Eksperiment se može predstaviti preko različitih mogućih ishoda. Bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 3 / 13
11 Statistički eksperiment Primeri: Bacanje novčića, bacanje kocke, bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Može se ponavljati neograničen broj puta Unapred je definisano šta se registruje u eksperimentu i poznati su svi mogući ISHODI - elementarni dogad aji U svakom eksperimentu realizuje se JEDAN I SAMO JEDAN ishod. Ishod pojedinačnog eksperimenta ne može se predvideti. Pažnja: Eksperiment se može predstaviti preko različitih mogućih ishoda. Bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 3 / 13
12 Statistički eksperiment Primeri: Bacanje novčića, bacanje kocke, bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Može se ponavljati neograničen broj puta Unapred je definisano šta se registruje u eksperimentu i poznati su svi mogući ISHODI - elementarni dogad aji U svakom eksperimentu realizuje se JEDAN I SAMO JEDAN ishod. Ishod pojedinačnog eksperimenta ne može se predvideti. Pažnja: Eksperiment se može predstaviti preko različitih mogućih ishoda. Bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 3 / 13
13 Statistički eksperiment Primeri: Bacanje novčića, bacanje kocke, bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Može se ponavljati neograničen broj puta Unapred je definisano šta se registruje u eksperimentu i poznati su svi mogući ISHODI - elementarni dogad aji U svakom eksperimentu realizuje se JEDAN I SAMO JEDAN ishod. Ishod pojedinačnog eksperimenta ne može se predvideti. Pažnja: Eksperiment se može predstaviti preko različitih mogućih ishoda. Bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 3 / 13
14 Statistički eksperiment Primeri: Bacanje novčića, bacanje kocke, bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Može se ponavljati neograničen broj puta Unapred je definisano šta se registruje u eksperimentu i poznati su svi mogući ISHODI - elementarni dogad aji U svakom eksperimentu realizuje se JEDAN I SAMO JEDAN ishod. Ishod pojedinačnog eksperimenta ne može se predvideti. Pažnja: Eksperiment se može predstaviti preko različitih mogućih ishoda. Bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 3 / 13
15 SKUP Ω Skup Ω svih elementarnih dogad aja (ishoda) Dogad aj: Svaki podskup skupa Ω Dogad aj se realizuje ako... Siguran dogad aj, nemoguć dogad aj Operacije: A, A B, A B,... Uzajamno isključivi dogad aji Relacije: A = B Kako nalazimo verovatnoću dogad aja? Ponavljamo eksperiment i beležimo podatke. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 4 / 13
16 SKUP Ω Skup Ω svih elementarnih dogad aja (ishoda) Dogad aj: Svaki podskup skupa Ω Dogad aj se realizuje ako... Siguran dogad aj, nemoguć dogad aj Operacije: A, A B, A B,... Uzajamno isključivi dogad aji Relacije: A = B Kako nalazimo verovatnoću dogad aja? Ponavljamo eksperiment i beležimo podatke. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 4 / 13
17 SKUP Ω Skup Ω svih elementarnih dogad aja (ishoda) Dogad aj: Svaki podskup skupa Ω Dogad aj se realizuje ako... Siguran dogad aj, nemoguć dogad aj Operacije: A, A B, A B,... Uzajamno isključivi dogad aji Relacije: A = B Kako nalazimo verovatnoću dogad aja? Ponavljamo eksperiment i beležimo podatke. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 4 / 13
18 STATISTIČKO ODREDJIVANJE VEROVATNOĆE m(n): broj pojavljivanja dogad aja A u n ponovljenih eksperimenata. Količnik m(n) n je relativna frekvencija dogad aja A Verovatnoća P(A) nalazi se kao limes: (zakon velikih brojeva, fizički zakon!) ili P(A) = m(n)) lim n + n (u teoriji) P(A) = m(n) (u praksi, za veliko n) n Koliko veliko n treba da bude? (Statistika) Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 5 / 13
19 Aksiome teorije verovatnoće Ovo su tri pravila koja treba da budu ispunjena kad definišemo verovatnoću, na bilo koji način: Neka je dat skup Ω. Funkcija P definisana na podskupovima skupa Ω, naziva severovatnoćom na skupu Ω ako važi: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3. P(A 1 A 2 ) = i P(A i) ako su dogad aji A 1,..., A n,... uzajamno isključivi, pri čemu dogad aja A i može da bude konačno ili prebrojivo mnogo. U slučaju da imamo konačno ili prebrojivo mnogo elementarnih dogad aja E i, aksiome su uvek zadovoljene ako su P(E i ) (0, 1) i P(E i ) = 1. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 6 / 13
20 Aksiome teorije verovatnoće Ovo su tri pravila koja treba da budu ispunjena kad definišemo verovatnoću, na bilo koji način: Neka je dat skup Ω. Funkcija P definisana na podskupovima skupa Ω, naziva severovatnoćom na skupu Ω ako važi: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3. P(A 1 A 2 ) = i P(A i) ako su dogad aji A 1,..., A n,... uzajamno isključivi, pri čemu dogad aja A i može da bude konačno ili prebrojivo mnogo. U slučaju da imamo konačno ili prebrojivo mnogo elementarnih dogad aja E i, aksiome su uvek zadovoljene ako su P(E i ) (0, 1) i P(E i ) = 1. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 6 / 13
21 Aksiome teorije verovatnoće Ovo su tri pravila koja treba da budu ispunjena kad definišemo verovatnoću, na bilo koji način: Neka je dat skup Ω. Funkcija P definisana na podskupovima skupa Ω, naziva severovatnoćom na skupu Ω ako važi: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3. P(A 1 A 2 ) = i P(A i) ako su dogad aji A 1,..., A n,... uzajamno isključivi, pri čemu dogad aja A i može da bude konačno ili prebrojivo mnogo. U slučaju da imamo konačno ili prebrojivo mnogo elementarnih dogad aja E i, aksiome su uvek zadovoljene ako su P(E i ) (0, 1) i P(E i ) = 1. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 6 / 13
22 Aksiome teorije verovatnoće Ovo su tri pravila koja treba da budu ispunjena kad definišemo verovatnoću, na bilo koji način: Neka je dat skup Ω. Funkcija P definisana na podskupovima skupa Ω, naziva severovatnoćom na skupu Ω ako važi: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3. P(A 1 A 2 ) = i P(A i) ako su dogad aji A 1,..., A n,... uzajamno isključivi, pri čemu dogad aja A i može da bude konačno ili prebrojivo mnogo. U slučaju da imamo konačno ili prebrojivo mnogo elementarnih dogad aja E i, aksiome su uvek zadovoljene ako su P(E i ) (0, 1) i P(E i ) = 1. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 6 / 13
23 JEDNAKOVEROVATNI ISHODI U slučajevima kad postoji simetrija, možemo smatrati da se u idealnim uslovima ishodi dogad aju podjednako često, i samim tim njihove verovatnoće su jednake. Ukoliko Ω sadrži n < + ishoda, a dogad aj A ima m ishoda, onda je P(A) = m n. Primer 8. Različiti modeli za bacanje 2 novčića Primer 9. Bacaju se dve kocke i posmatra se zbir brojeva. Izračunati P(9) i P(10). Primer 10. Naći verovatnoće svih zbirova pri bacanju dve kocke. Sve ovo pod idealnim uslovima. U stvarnosti, iako je novčić fer i kocka potpuno homogena, može se desiti da ishodi nisu jednakoverovatni!!! Persi Diaconis, Stanford University, Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 7 / 13
24 JEDNAKOVEROVATNI ISHODI U slučajevima kad postoji simetrija, možemo smatrati da se u idealnim uslovima ishodi dogad aju podjednako često, i samim tim njihove verovatnoće su jednake. Ukoliko Ω sadrži n < + ishoda, a dogad aj A ima m ishoda, onda je P(A) = m n. Primer 8. Različiti modeli za bacanje 2 novčića Primer 9. Bacaju se dve kocke i posmatra se zbir brojeva. Izračunati P(9) i P(10). Primer 10. Naći verovatnoće svih zbirova pri bacanju dve kocke. Sve ovo pod idealnim uslovima. U stvarnosti, iako je novčić fer i kocka potpuno homogena, može se desiti da ishodi nisu jednakoverovatni!!! Persi Diaconis, Stanford University, Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 7 / 13
25 JEDNAKOVEROVATNI ISHODI U slučajevima kad postoji simetrija, možemo smatrati da se u idealnim uslovima ishodi dogad aju podjednako često, i samim tim njihove verovatnoće su jednake. Ukoliko Ω sadrži n < + ishoda, a dogad aj A ima m ishoda, onda je P(A) = m n. Primer 8. Različiti modeli za bacanje 2 novčića Primer 9. Bacaju se dve kocke i posmatra se zbir brojeva. Izračunati P(9) i P(10). Primer 10. Naći verovatnoće svih zbirova pri bacanju dve kocke. Sve ovo pod idealnim uslovima. U stvarnosti, iako je novčić fer i kocka potpuno homogena, može se desiti da ishodi nisu jednakoverovatni!!! Persi Diaconis, Stanford University, Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 7 / 13
26 JEDNAKOVEROVATNI ISHODI U slučajevima kad postoji simetrija, možemo smatrati da se u idealnim uslovima ishodi dogad aju podjednako često, i samim tim njihove verovatnoće su jednake. Ukoliko Ω sadrži n < + ishoda, a dogad aj A ima m ishoda, onda je P(A) = m n. Primer 8. Različiti modeli za bacanje 2 novčića Primer 9. Bacaju se dve kocke i posmatra se zbir brojeva. Izračunati P(9) i P(10). Primer 10. Naći verovatnoće svih zbirova pri bacanju dve kocke. Sve ovo pod idealnim uslovima. U stvarnosti, iako je novčić fer i kocka potpuno homogena, može se desiti da ishodi nisu jednakoverovatni!!! Persi Diaconis, Stanford University, Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 7 / 13
27 Geometrijska verovatnoća U nekim slučajevima, ako se skup Ω može prikazati kao ograničen skup na pravoj, u ravni ili u prostoru, može se primeniti sledeće pravilo geometrijske verovatnoće: P(A) = m(a) m(ω), gde je m mera (dužina, površina ili zapremina) oblasti A, odnosno Ω. Ovo pravilo važi ako je verovatnoća dogad aja proporcionalna meri oblasti kojom se taj dogad aj predstavlja, tj. ako dva dogad aja iste mere imaju istu verovatnoću. Primer 11. Ako na slučajan način biramo broj X iz intervala (0, 2), naći verovatnoće: a) P(X (0.9, 1.1)); b) P(X = 1)? Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 8 / 13
28 Geometrijska verovatnoća U nekim slučajevima, ako se skup Ω može prikazati kao ograničen skup na pravoj, u ravni ili u prostoru, može se primeniti sledeće pravilo geometrijske verovatnoće: P(A) = m(a) m(ω), gde je m mera (dužina, površina ili zapremina) oblasti A, odnosno Ω. Ovo pravilo važi ako je verovatnoća dogad aja proporcionalna meri oblasti kojom se taj dogad aj predstavlja, tj. ako dva dogad aja iste mere imaju istu verovatnoću. Primer 11. Ako na slučajan način biramo broj X iz intervala (0, 2), naći verovatnoće: a) P(X (0.9, 1.1)); b) P(X = 1)? Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 8 / 13
29 Primer 12. Na slučajan način delimo duž na tri dela. Naći verovatnoću da se od delova može sastaviti trougao. Slika 2. Uz primer 12. a: Podela duži na tri dela. b: Skup svih elementarnih dogad aja Ω i skup povoljnih dogad aja A. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 9 / 13
30 Primer 12. Na slučajan način delimo duž na tri dela. Naći verovatnoću da se od delova može sastaviti trougao. Slika 2. Uz primer 12. a: Podela duži na tri dela. b: Skup svih elementarnih dogad aja Ω i skup povoljnih dogad aja A. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 9 / 13
31 Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13
32 Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13
33 Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13
34 Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13
35 Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13
36 Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13
37 Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13
38 Neprekidnost verovatnoće Ako je A 1, A 2,... beskonačan niz dogad aja takvih da je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Ako je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Primena: Pri slučajnom izboru tačke X na intervalu (a, b), P(X = c) = 0 za svako c (a, b)!!!!! Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 11 / 13
39 Neprekidnost verovatnoće Ako je A 1, A 2,... beskonačan niz dogad aja takvih da je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Ako je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Primena: Pri slučajnom izboru tačke X na intervalu (a, b), P(X = c) = 0 za svako c (a, b)!!!!! Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 11 / 13
40 Neprekidnost verovatnoće Ako je A 1, A 2,... beskonačan niz dogad aja takvih da je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Ako je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Primena: Pri slučajnom izboru tačke X na intervalu (a, b), P(X = c) = 0 za svako c (a, b)!!!!! Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 11 / 13
41 SLUČAJAN IZBOR Iz konačnog skupa: Iz skupa S, S = n, bira se k elemenata. Kažemo da je izbor slučajan ako svaki podskup od k elemenata ima istu verovatnoću da bude izabran. (p = 1/ ( n k) ). Iz prebrojivog skupa nije moguć slučajan izbor!!. Iz neprebrojivog skupa: Izbor iz beskonačnog skupa koji se može predstaviti kao deo prave, ravni ili prostora je slučajan ako su verovatnoće izbora pojedinih podskupova proporcionalne njihovoj meri (dužini, površini ili zapremini), tj. ako dva podskupa iste mere imaju istu verovatnoću. U ovom slučaju verovatnoće se odred uju po pravilu geometrijske verovatnoće. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 12 / 13
42 SLUČAJAN IZBOR Iz konačnog skupa: Iz skupa S, S = n, bira se k elemenata. Kažemo da je izbor slučajan ako svaki podskup od k elemenata ima istu verovatnoću da bude izabran. (p = 1/ ( n k) ). Iz prebrojivog skupa nije moguć slučajan izbor!!. Iz neprebrojivog skupa: Izbor iz beskonačnog skupa koji se može predstaviti kao deo prave, ravni ili prostora je slučajan ako su verovatnoće izbora pojedinih podskupova proporcionalne njihovoj meri (dužini, površini ili zapremini), tj. ako dva podskupa iste mere imaju istu verovatnoću. U ovom slučaju verovatnoće se odred uju po pravilu geometrijske verovatnoće. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 12 / 13
43 SLUČAJAN IZBOR Iz konačnog skupa: Iz skupa S, S = n, bira se k elemenata. Kažemo da je izbor slučajan ako svaki podskup od k elemenata ima istu verovatnoću da bude izabran. (p = 1/ ( n k) ). Iz prebrojivog skupa nije moguć slučajan izbor!!. Iz neprebrojivog skupa: Izbor iz beskonačnog skupa koji se može predstaviti kao deo prave, ravni ili prostora je slučajan ako su verovatnoće izbora pojedinih podskupova proporcionalne njihovoj meri (dužini, površini ili zapremini), tj. ako dva podskupa iste mere imaju istu verovatnoću. U ovom slučaju verovatnoće se odred uju po pravilu geometrijske verovatnoće. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 12 / 13
44 Za vežbanje: primeri Primer 30 (Kombinacije sa ponavljanjem) Zadaci Zadatak 3 zadaci Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 13 / 13
Slide 1
Statistička analiza u hidrologiji Uvod Statistička analiza se primenjuje na podatke osmatranja hidroloških veličina (najčešće: protoka i kiša) Cilj: opisivanje veze između veličine i verovatnoće njene
Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc
VEROVATNOĆA - ZADAI (II DEO) Klasična definicija verovatnoće Verovatnoća dogañaja A jednaka je količniku broja povoljnih slučajeva za dogañaj A i broja svih mogućih slučajeva. = m n n je broj svih mogućih
knjiga.dvi
1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
Uvod u statistiku
Uvod u statistiku Osnovni pojmovi Statistika nauka o podacima Uključuje prikupljanje, klasifikaciju, prikaz, obradu i interpretaciju podataka Staistička jedinica objekat kome se mjeri neko svojstvo. Svi
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14
Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14 Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost
Paper Title (use style: paper title)
Статистичка анализа коришћења електричне енергије која за последицу има примену повољнијег тарифног става Аутор: Марко Пантовић Факултет техничких наука, Чачак ИАС Техника и информатика, 08/09 e-mal адреса:
DISKRETNA MATEMATIKA
DISKRETNA MATEMATIKA Kombinatorika Permutacije, kombinacije, varijacije, binomna formula Ivana Milosavljević - 1 - 1. KOMBINATORIKA PRINCIPI PREBROJAVANJA Predmet kombinatorike je raspoređivanje elemenata
Ukoliko Vam za bilo koji zadatak treba pomoć, slobodno pozovite. Postoji mogućnost kompletnog kursa, kao i individualnih časova. Zadatke prikupio i ot
Ispit iz Matematike 2 I grupa 1. Dato je preslikavanje. Pokazati da je to preslikavanje linearni operator, naći matricu, sopstvene vrednosti i sopstvene vektore tog operatora. 2. Odrediti vrednost parametra
1
Podsetnik: Statističke relacije Matematičko očekivanje (srednja vrednost): E X x p x p x p - Diskretna sl promenljiva 1 1 k k xf ( x) dx E X - Kontinualna sl promenljiva Varijansa: Var X X E X E X 1 N
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar 2016. 1. Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je 0.8. Ako je ispit težak, verovatnoća da se prvo pitanje
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
08 RSA1
Преглед ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције RSA алгоритам Биће објашњено: RSA алгоритам алгоритам прорачунски аспекти ефикасност коришћењем јавног кључа генерисање кључа сигурност проблем
untitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА
МАТЕМАТИКА ЗАДАЦИ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 1. Израчунати вредност израза: а) ; б). 2. Израчунати вредност израза:. 3. Израчунати вредност израза:. 4. Израчунати вредност израза: ако је. 5. Израчунати вредност
Skripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
My_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
Microsoft PowerPoint - Predavanje3.ppt
Фрактална геометрија и фрактали у архитектури функционални системи Улаз Низ правила (функција F) Излаз Фрактална геометрија и фрактали у архитектури функционални системи Функционални систем: Улаз Низ правила
Classroom Expectations
АТ-8: Терминирање производно-технолошких ентитета Проф. др Зоран Миљковић Садржај Пројектовање флексибилних ; Математички модел за оптимизацију флексибилних ; Генетички алгоритми у оптимизацији флексибилних
РАСПОРЕД ИСПИТА У ИСПИТНОМ РОКУ ЈАНУАР 1 ШКОЛСКЕ 2016/2017. ГОДИНЕ (последња измена ) Прва година: ПРВА ГОДИНА - сви сем информатике Име пр
РАСПОРЕД ИСПИТА У ИСПИТНОМ РОКУ ЈАНУАР 1 ШКОЛСКЕ 2016/2017. ГОДИНЕ (последња измена 23.01.2017.) Прва година: ПРВА ГОДИНА - сви сем информатике Име предмета Датум и термин одржавања писменог дела испита
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2017/2018. година
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева. Из скупа {,,,, 0,,, } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.. Запиши
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
ТЕОРИЈА УЗОРАКА 2
ТЕОРИЈА УЗОРАКА 2 12. 04. 13. ВЕЖБАЊА Написати функције за бирање елемената популације обима N у узорак обима n, код простог случајног узорка, користећи алгоритме: Draw by draw procedure for SRS/SRSWOR
Mere slicnosti
Nenad Mitić Matematički fakultet nenad@matf.bg.ac.rs Kako odrediti sličnost/različitost, obrazaca, atributa, dogadjaja... Podaci različitog tipa i strukture Zavisnost od tipa, raspodele, dimenzionalnosti
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
![VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E](/thumbs/102/155964078.jpg "VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E")
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA NOVI SAD Odsek/smer/usmerenje: Matematika u tehnici DIPLOMSKI - MASTER RAD Kandidat: Ljubo Nedović B
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA NOVI SAD Odsek/smer/usmerenje: Matematika u tehnici DIPLOMSKI - MASTER RAD Kandidat: Ljubo Nedović Broj indeksa: 8 Tema rada: Pseudo-operacije i primena
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJE (PONAŠANJE FUNKCIJE NA KRAJEVIMA OBLASTI DEFINISANOSTI) Ovo je jedna od najznačajnijih tačaka u ispitivanju toka funkcije. Neki profesori zahtevaju da se asimptote rade kao. tačka u
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА ax x c 0 x x D 4ac a ( сви задаци су решени) c D xx x/ a a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реална D Двоструко решење (реална и једнака решења) D=0 Комплексна решења (нису
Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVN
Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školska 2016/2017. godina TEST
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA PRELIMINARNI RASPORED ISPITA ZA JANUARSKI ISPITNI ROK 2008. GODINE Predmet Od. P/U Datum Sala Napomena Akcionarstvo i berzansko poslovanje ME U 03.02.2008----10:00 201 Arhitektura
I
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 2 Status predmeta Web stranica predmeta Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način izvođenja
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA PRELIMINARNI RASPORED ISPITA ZA SEPTEMBARSKI ISPITNI ROK 2008. GODINE Predmet Od. P/U Datum Sal. Napomena Akcionarstvo i berzansko poslovanje ME U 29.08.2008----09:00 Institut
Edicija osnovni udžbenik Osnivač i izdavač edicije Univerzitet u Novom Sadu Poljoprivredni fakultet Trg Dositeja Obradovića br.8, Novi Sad Godina osnivanja 1954. Glavni i odgovorni urednik edicije Dr Nedeljko
Slide 1
Merni sistemi u računarstvu, http://automatika.etf.rs/sr/13e053msr Merna nesigurnost tipa A doc. dr Nadica Miljković, kabinet 68, nadica.miljkovic@etf.rs Prezentacija za ovo predavanje je skoro u potpunosti
Microsoft Word - Raspored ispita Jun.doc
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA KONAČAN RASPORED ISPITA ZA JUNSKI ISPITNI ROK 8. GODINE Predmet Od. P/U Datum Sale Napomena Akcionarstvo i berzansko poslovanje ME U 21/06/8---- Arhitektura računara i oper.
I
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 2 Status predmeta Web stranica predmeta Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način izvođenja
Teorija skupova - blog.sake.ba
Uvod Matematika je jedan od najomraženijih predmeta kod većine učenika S pravom, dakako! Zapitajmo se šta je uzrok tome? Da li je matematika zaista toliko teška, komplikovana? Odgovor je jednostavan, naravno
Title
1. Realni brojevi Prirodno bi bilo konstruisati skup realnih brojeva korak po korak, od prirodnih brojeva preko cijelih, racionalnih i na kraju iracionalnih. Medutim, mi ćemo tom problemu ovdje pristupiti
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/2014. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш
Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП
Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ
Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
untitled
РАЗЛОМЦИ - III ДЕО - РЕШЕЊА МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ. а) + + + + + + = = = ; б) + + + + + + + + + + = = = 8 ; в) 8 + + + + + + + = 8 = = =.. а) = = = ; б) = = = ; 0 0 в) 0 = = = ; г)
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA KONAČAN RASPORED ISPITA ZA OKTOBARSKI ISPITNI ROK (po datumu) Predmet Odsek P/U Datum Sala Upravljanje kvalitetom dokumentacije UK P 22/09/2007----09:00 RC Informacioni sistemi
УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ МАСТЕР РАД Доношење одлука у условима неодређености Студент: Јелена Матић бр.
УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ МАСТЕР РАД Доношење одлука у условима неодређености Студент: Јелена Матић бр. индекса 179 Ментор: Проф. др Драган Ђорђевић Ниш,
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
Програмирај!
Листе Поред појединачних вредности исказаних бројем или ниском карактера, често је потребно забележити већи скуп вредности које су на неки начин повезане, као, на пример, имена у списку путника у неком
Univerzitet u Nišu PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku PORTFOLIO TEORIJA MASTER RAD Student: Bojana Živković Mentor: Prof. dr Miljan
Univerzitet u Nišu PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku PORTFOLIO TEORIJA MASTER RAD Student: Bojana Živković Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Niš, 2019. "Fundamentalni koncept portfolio
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD JEDNODIMENZIONO SLUČAJNO LUTANJE I UOPŠTENJA Student Marko Krstić 1113/2013 Mentor Dr Jelena Jo
UNIVERZITET U BEOGRDU MTEMTIČKI FKULTET MSTER RD JEDNODIMENZIONO SLUČJNO LUTNJE I UOPŠTENJ Student Marko Krstić 1113/2013 Mentor Dr Jelena Jocković Sadržaj Uvod... 1 Slučajni procesi osnovni pojmovi...
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
ИСПИТНА ПИТАЊА ИЗ МЕТОДИКЕ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ ЗА ДЕЦУ ОМЕТЕНУ У ИНТЕЛЕКТУАЛНОМ РАЗВОЈУ, шк. год. 2011/2012. доц. др Мирјана Јапунџа-Милисављевић 1. Пр
ИСПИТНА ПИТАЊА ИЗ МЕТОДИКЕ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ ЗА ДЕЦУ ОМЕТЕНУ У ИНТЕЛЕКТУАЛНОМ РАЗВОЈУ, шк. год. 2011/2012. доц. др Мирјана Јапунџа-Милисављевић 1. Предмет и дефиниција математике 2. Специфичности математике
Ивана Јухас MATEMATИKA 2а Уџбеник за други разред основне школе
Ивана Јухас MATEMATИKA 2а Уџбеник за други разред основне школе Ивана Јухас MATEMATИKA 2а Уџбеник за други разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Проф. др Бошко Влаховић ОДГОВОРНA УРЕДНИЦА Доц. др Наташа
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
Vjezbe 1.dvi
Matematia I Elvis Baraović 0 listopada 08 Prirodno-matematiči faultet Univerziteta u Tuzli, Odsje matematia, Univerzitetsa 75000 Tuzla;http://pmfuntzba/staff/elvisbaraovic/ Sadržaj Sup realnih brojeva
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година
DR DRAGOŚ CVETKOVIC DR SLOBODAN SIMIC DISKRETNA MATEMATIKA MATEMATIKA ZA KOMPJUTERSKE NAUKĘ DRUGO ISPRAYLJENO I PROSIRENO IZDANJE HMUJ
DR DRAGOŚ CVETKOVIC DR SLOBODAN SIMIC DISKRETNA MATEMATIKA MATEMATIKA ZA KOMPJUTERSKE NAUKĘ DRUGO ISPRAYLJENO I PROSIRENO IZDANJE HMUJ Sadrżaj Predgovor Iz predgovora prvoni izdanju knjige "Diskretne mateiuatićke
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 2018/2019. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА РАД Тест
Microsoft PowerPoint - Teorija kretanja vozila-predavanje 3.1.ppt
ТЕОРИЈА КРЕТАЊА ВОЗИЛА Предавање. гусенична возила, површински притисак ослањања, гусеница на подлогу ослањања G=mg p p гусеница на подлогу ослањања G=mg средњи стварни p тврда подлога средњи стварни p
My_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila Potrošnja goriva Teorija kretanja drumskih vozila Potrošnja goriva
Ključni faktori: 1. ENERGIJA potrebna za kretanje vozila na određenoj deonici puta Povećanje E K pri ubrzavanju, pri penjanju, kompenzacija energetskih gubitaka usled dejstva F f i F W Zavisi od parametara
Microsoft Word - CAD sistemi
U opštem slučaju, se mogu podeliti na 2D i 3D. 2D Prvo pojavljivanje 2D CAD sistema se dogodilo pre više od 30 godina. Do tada su inženjeri koristili table za crtanje (kulman), a zajednički jezik komuniciranja
К О Н К У Р С
МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Студентски трг 16 Телефон: 011/2027-801, 2027-811 Факс: 011/2630-151 E-mail: matf@matf.bg.ac.rs Интернет адреса: http://www.matf.bg.ac.rs СТУДИЈСКИ ПРОГРАМИ ЗА КОЈЕ СЕ КОНКУРС РАСПИСУЈЕ
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 24 uzoraka seruma (µmol/l):
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 4 uzoraka seruma (µmol/l): 1.8 13.8 15.9 14.7 13.7 14.7 13.5 1.4 13 14.4 15 13.1 13. 15.1 13.3 14.4 1.4 15.3 13.4 15.7 15.1 14.5
Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA május 5. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pót
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika
Microsoft Word - tumacenje rezultata za sajt - Lektorisan tekst1
ПРИЛОГ ЗА ТУМАЧЕЊЕ РЕЗУЛТАТА ИСТРАЖИВАЊА TIMSS 2015 У међународном испитивању постигнућа TIMSS 2015 по други пут је у нашој земљи испитивано постигнуће ученика четвртог разреда у области математике и природних
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.
MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja 208. (Knjige bilježnice dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (8 bodova) Kao na predavanjima za d N sa P d : a b ] a d b d ] : a i b i R a i b i za i
Popularna matematika
6. lipnja 2009. Russellov paradoks Russellov paradoks Bertrand Arthur William Russell (1872. - 1970.), engleski filozof, matematičar i društveni reformator. Russellov paradoks Bertrand Arthur William Russell
Slide 1
Str. 9 UVOD Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Dokazano je... Da li vama treba statistika? Top ten najboljih zanimanja (Blic, 6.3.2010.): 1. Aktuari 2. Softverski inženjeri
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
Tutoring System for Distance Learning of Java Programming Language
Niz (array) Nizovi Niz je lista elemenata istog tipa sa zajedničkim imenom. Redosled elemenata u nizovnoj strukturi je bitan. Konkretnom elementu niza pristupa se preko zajedničkog imena niza i konkretne
МАТЕМАТИЧКА ГИМНАЗИЈА У БЕОГРАДУ МАТУРСКИ РАД из математике ТЕОРИЈА СКУПОВА ментор: Славко Моцоња ученик: Матија Срећковић, IVБ Београд, јун 2015.
МАТЕМАТИЧКА ГИМНАЗИЈА У БЕОГРАДУ МАТУРСКИ РАД из математике ТЕОРИЈА СКУПОВА ментор: Славко Моцоња ученик: Матија Срећковић, IVБ Београд, јун 2015. САДРЖАЈ УВОД... 2 УВОД У СКУПОВЕ... 4 ЕЛЕМЕНТАРНЕ АКСИОМЕ...
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc
Matematika szerb nyelven középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Важне
STABILNOST SISTEMA
STABILNOST SISTEMA Najvaznija osobina sistema automatskog upravljanja je stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani sistem automatskog upravljanja
Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА О
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi
Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi dokazivanja 28. lipnja 2012. Zašto logika interpretabilnosti?
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
РЕШЕЊА 1. (2) Обележја статистичких јединица посматрања су: а) особине које су заједничке за јединице посматрања б) особине које се проучавају, а подр
РЕШЕЊА. () Обележја статистичких јединица посматрања су: а) особине које су заједничке за јединице посматрања б) особине које се проучавају, а подразумевају различите вредности по јединицама посматрања
Microsoft Word - inicijalni test 2013 za sajt
ИНИЦИЈАЛНИ ТЕСТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ПРВОГ РАЗРЕДА ЗЕМУНСКЕ ГИМНАЗИЈЕ шк. 13 14. Циљ Иницијални тест за ученике првог разреда Земунске гимназије организован је с циљем увида у предзнање ученика, тј.
Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_0911_szerb.doc
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS