Teorija igara

Транскрипт

1

2 Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2... B n A 1 e 11 e e 1n A 2 e 21 e e 2n A m e m1 e m2... e mn Cilj: Odrediti optimalno ponašanje učesnika u igri

3 Ako je dobitak igrača A istovremeno gubitak igrača B, onda se takva igra naziva igra nulte sume (zero sum game). Dobitak igrača A / gubitak igrača B naziva se efekat ili vrednost igre, i označava sa e ij.

4 Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2... B n A 1 e 11 e e 1n A 2 e 21 e e 2n A m e m1 e m2... e mn

5 Strategije Strategije igrača B minimum igrača A B 1 B 2... B n reda A 1 e 11 e e 1n min{e 1j } = α 1 A 2 e 21 e e 2n min{e 2j } = α A m e m1 e m2... e mn min{e mj } = α m

6 Strategije Strategije igrača B minimum igrača A B 1 B 2... B n reda A 1 e 11 e e 1n min{e 1j } = α 1 A 2 e 21 e e 2n min{e 2j } = α A m e m1 e m2... e mn min{e mj } = α m maksimum max{e i1 } max{e i2 } kolone... =β 1 =β 2 max{e in } =β n

7 Strategije Strategije igrača B minimum igrača A B 1 B 2... B n reda A 1 e 11 e e 1n min{e 1j } = α 1 A 2 e 21 e e 2n min{e 2j } = α A m e m1 e m2... e mn min{e mj } = α m max(α i )=α maksimum max{e i1 } max{e i2 } kolone... =β 1 =β 2 max{e in } =β n min(β j )=β α β

8 Kada je α = β tada se radi o čistoj igri i tada postoji bar jedna sedlasta tačka (tačka ravnoteže, prelomna tačka). Ako je α = α r i β = β k tada je T(A r,b k ) sedlasta tačka i kažemo da je A r optimalna strategija za igrača A, B k optimalna strategija za igrača B i Vrednost igre iznosi W = α = β.

9 Strategije Strategije igrača B minimum igrača A B 1 B 2... B k... B n reda A 1 e 11 e e 1n A 2 e 21 e e 2n A r e rk α r A m e m1 e m e mn maksimum kolone β k α = β

10 Izborom strategije A r, igrač A osigurao je da njegov dobitak iznosi najmanje W. Izborom strategije B k, igrač B osigurao je da njegov gubitak iznosi najviše W.

11 Izborom strategije A r, igrač A osigurao je da njegov dobitak iznosi najmanje W. [ α 1r, α 2r,...,α nr min{α 1r, α 2r,...,α nr }=α r =α=w ] Izborom strategije B k, igrač B osigurao je da njegov gubitak iznosi najviše W. [ β k1, β k2,..., β km max{β k1, β k2,..., β km }= β r =β=w ]

12

13 Strategije Strategije igrača B minimum igrača A reda e??... e?? α maksimum kolone β β α = β

14 Strategije Strategije igrača B minimum igrača A reda e?? α e?? α maksimum kolone β α = β

15 Strategije Strategije igrača B minimum igrača A reda e??... e?? α e??... e?? α maksimum kolone β β α = β

16 Da li sledeća matrična igra ima sedlastu tačku? Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 B 3 B 4 A A A A

17 Da li se odgovor menja ako se e 44 uveća za 5?

18 Da li se odgovor menja ako se e 44 uveća za 5? Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 B 3 B 4 A A A A

19 Da li se odgovor menja ako se e 44 uveća za 5 i e 12 smanji za 1/3?

20 Da li se odgovor menja ako se e 44 uveća za 5 i e 12 smanji za 1/3? Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 B 3 B 4 A A A A

21 Ako je α < β, tada se radi o mešovitoj igri. Sedlasta tačka ne postoji. Vrednost igre W nalazi se u intervalu (α, β). Optimalno rešenje iskazuje se u obliku vektora: (p 1, p 2,..., p m ), Igrač A primenjuje strategije A i sa verovatnoćama p i i obezbeđuje dobitak od najmanje W. (q 1, q 2,..., q k ), Igrač B primenjuje strategije B j sa verovatnoćama q j i obezbeđuje gubitak od najviše W.

22 Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 A 1 e 11 e 12 A 2 e 21 e 22 # Sedlasta tačka ne postoji ako se dva maksimalna elementa nalaze na glavnoj dijagonali

23 Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 A 1 e 11 e 12 A 2 e 21 e 22 w e11 e22 e12 e21 ( e11 e21) ( e22 e12) p e22 e21 ( e11 e12) ( e22 e21) q e22 e12 ( e11 e21) ( e22 e12)

24 Zadatak 2. Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 A A a) Naći donju i gornju granicu vrednosti igre. b) Odrediti optimalne strategije i vrednost igre.

25 Zadatak 2. Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 A w e11 e22 e12 e21 ( e11 e21) ( e22 e12) A p e22 e21 ( e11 e12) ( e22 e21) q e22 e12 ( e11 e21) ( e22 e12)

26 Zadatak 2. Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 A A w 2,2 p 0,4 q 0,3

27 Polazna tabela za rešavanje problema: y 1 y 2... y n x 1 e 11 e e 1n 1 x 2 e 21 e e 2n x m e m1 e m2 e mn z = 0

28 Polazna tabela za rešavanje problema: y 1 y 2... y n x 1 e 11 e e 1n 1 x 2 e 21 e e 2n x m e m1 e m2 e mn z = 0... W 1 z p i Wx i q j Wy j max

29 Zadatak 3. Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 A A A a) Naći donju i gornju granicu vrednosti igre. b) Grafički prikazati strategije igrača i odrediti optimalne strategije i vrednost igre rešavajući odgovarajući podproblem. c) Odrediti optimalne strategije i vrednost igre pomoću simpleks metoda.

30 Zadatak 4. Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 B 3 A A a) Naći donju i gornju granicu vrednosti igre. b) Grafički prikazati strategije igrača i odrediti optimalne strategije i vrednost igre rešavajući odgovarajući podproblem. c) Odrediti optimalne strategije i vrednost igre pomoću simpleks metoda.

31 Svaka matrična igra dimenzija mxn ima optimalno rešenje. Tačnije, postoji jedinstvena vrednost igre W i optimalna (čista ili mešovita) strategija za igrače A i B, tako da: Ako igrač A primeni optimalnu strategiju njegov dobitak biće W bez obzira na strategiju igrača B, Ako igrač B primeni optimalnu strategiju, dobitak igrača A biće W bez obzira na strategiju koju primeni igrač A, Optimalno rešenje uvek se može odrediti kao rešenje odgovarajućeg podproblema dimenzija kxk.

32 Drugim rečima, rešenje svake matrične igre dimenzija mxn može se odrediti kao rešenje podproblema dimenzija 1x1 (sedlasta tačka), 2x2, 3x3 ili neke veće kvadratne matrične igre.

33 Strategije Strategije igrača B igrača A B 1 B 2 B 3 A A A a) Naći donju i gornju granicu vrednosti igre. b) Odrediti optimalne strategije i vrednost igre pomoću simpleks metoda.

34 Koji od proizvoda A 1, A 2, A 3, plasirati na tržište, ako mogu nastupiti okolnosti O 1, O 2, O 3, ako su dobiti od proizvoda u zavisnosti od pojedinih okolnosti prikazane u sledećoj tabeli: Strategije Okolnosti O 1 O 2 O 3 A A A

35 Odrediti optimalnu strategiju primenom: a) Valdovog kriterijuma. b) Hurvičovog kriterijuma ako je koeficijent optimizma 0,7. c) Sejvidžovog kriterijuma. d) Laplasovog kriterijuma.

36 e) Bajesovog kriterijuma, ako verovatnoće nastupanja okolnosti O 1, O 2, O 3, iznose 25%, 35%, 40% respektivno. Pretpostaviti da su uslovne verovatnoće za navedene okolnosti prema situaciji S 1, da se proizvod prihvata, odnosno S 2, da se proizvod delimično prihvata date u sledećoj tabeli: Situacije Okolnosti O 1 O 2 O 3 S 1 0,6 0,35 0,5 S 2 0,4 0,65 0,5