Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Слични документи
Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

Microsoft Word - 26ms281

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Neodreeni integrali - Predavanje III

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

1. Realni brojevi

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Microsoft Word - 26ms441

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

Microsoft Word - VALJAK.doc

Studij Ime i prezime Broj bodova MATEMATIKA 2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minut

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Microsoft Word - 6ms001

Analiticka geometrija

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]

Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

Jednadžbe - ponavljanje

18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

PLB146 Manual

07jeli.DVI

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Matematika 2

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

Algebarski izrazi (4. dio)

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

1

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

Microsoft Word - 12ms121

Nastavno pismo 3

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

Microsoft Word - FINALNO.doc

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

9. : , ( )

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.

PowerPoint Presentation

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

Microsoft Word - 24ms221

My_ST_FTNIspiti_Free

Транскрипт:

Problem površine - odredeni integrl Mtemtik 2 Ern Begović Kovč, 2019. Litertur: I. Gusić, Lekcije iz Mtemtike 2 http://mtemtik.fkit.hr

Uvod Formule z površinu geometrijskih likov omedenih dužinm (rvnim linijm) prondene su u dlekoj prošlosti (u strogrčkoj, indijskoj i rpskoj mtemtici). Puno je teže rčunti površinu likov omedenih zkrivljenim linijm. Z to ćemo koristiti integrle. 2 / 18

Površin ispod grf funkcije Nek je f pozitivn funkcij n segmentu [, b], tj. f (x) 0 z svki x [, b]. Problem: Treb odrediti površinu omedenu grfom funkcije f, osi x i vertiklnim prvcim x = i x = b. 3 / 18

Riemnnov sum Ovkvu površinu možemo približno rčunti n sljedeći nčin: Segment [, b] podijelimo n n dijelov širine x i. N svkom podsegmentu [x i 1, x i ], i = 1,..., n, odberemo točku xi (npr. uzmemo točku koj je n sredini podsegment). Vrijednost f (x i ) x i proksimir površinu nd [x i 1, x i ]. Sum S = n f (xi ) x i proksimir površinu nd [, b]. i=1 Zbroj S nzivmo Riemnnov sum. 4 / 18

Riemnnov sum Što su prvokutnici uži, Rimnnov sum bolje proksimir površinu pod grfom funkcije. Odredeni integrl je grnični slučj ovkvih sum, kd širin intervl teži u 0. 5 / 18

Odredeni integrl pozitivne funkcije Tržen površin dn je izrzom P = f (x)dx. Tj se izrz nziv odredeni integrl funkcije f n segmentu [, b]. Brojevi i b su grnice integrl, je donj grnic, b je gornj grnic. 6 / 18

Funkcij površine Funkcij površine P(x) z x b definirn se ko P(x) = površin ispod grf od do x. Vrijedi P() = 0, P(b) = P = f (x)dx. 7 / 18

Primjer 1 Odredite funkciju P(x) ko je f (x) = x, = 1. 8 / 18

Diferencijl površine Z prirst površine P(x) = P(x + x) P(x) vrijedi P(x) f (x) x. Iz tog slijedi formul z diferencijl površine dp(x) = f (x)dx. Ovu vezu možemo zpisti ko dp(x) dx = f (x), tj. P (x) = f (x). 9 / 18

Newton-Leibnitzov formul Nek je F nek primitivn funkcij funkcije f. Td je P(x) = F (x) + C. Vrijedi Stog je P = P(b) = P(b) 0 = P(b) P() = (F (b) C) (F () C) = F (b) F (). f (x)dx = F (b) F (), gdje je F bilo koj primitivn funkcij od f. (Rzlik F (b) F () ne ovisi o tome koji smo F izbrli.) Izrz F (b) F () često pišemo ko F (x) b p je f (x)dx = F (x) b. 10 / 18

Primjer 2 Odredite površinu ispod sinusoide (f (x) = sin x) z 0 x π. Primjer 3 Izrzite funkciju površine P u ovisnosti o bilo kojoj primitivnoj funkciji F od f. 11 / 18

Odredeni integrl negtivne funkcije Nek je f negtivn funkcij n segmentu [, b], tj. f (x) 0 z svki x [, b]. Ond definirmo f (x)dx = P. 12 / 18

Odredeni integrl opće funkcije Općenito, f (x)dx = P 1 P 2 + P 3 P 4 f (x)dx = (zbroj površin iznd osi x) (zbroj površin ispod osi x) 13 / 18

Svojstv odredenog integrl (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx αf (x)dx = α f (x)dx c f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx z c b c 14 / 18

Svojstv odredenog integrl f (x)dx = f (x)dx b f (x)dx = 0 Newton-Leibnitzov formul f (x)dx = F (b) F () vrijedi z svki odredeni integrl, bez obzir n funkciju f i grnice integrcije, i z svku primitivnu funkciju F od f. 15 / 18

Primjer 4 Geometrijski interpretirjte i izrčunjte (i) (ii) 2π π 2 3 sin xdx, (x 2 2)dx. 16 / 18

Zdtci 1. Geometrijski interpretirjte i izrčunjte π 0 cos xdx. 2. Objsnite zšto z bilo koju neprnu funkciju f i z bilo koji R vrijedi f (x)dx = 0. 3. Objsnite zšto z bilo koju prnu funkciju f i z bilo koji R vrijedi f (x)dx = 2 0 f (x)dx. 17 / 18

Zdtci 4. Geometrijski interpretirjte, procijenite i izrčunjte (i) (ii) (iii) (iv) 1 0 2 1 2 1 4 0 (x 2 + 6x + 8)dx, (x 1) 3 dx, (x 1)(x + 1)(x 2)dx, x 3 dx. 5. Izrčunjte površinu lik omedenog prbolom y = 2x x 2 i prvcim x = 0, x = 2 i y = 0. 18 / 18